金融工程复习宝典(开卷考试必备)

单元一：金融工程概述

无套利定价法

案例1.2假设种不支付红利的股票目前的市价为10元，3个月后该股票价格或为11元

或为9元。假设现在的无风险连续复利年利率为10%，如何为一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权定价？

构建一个由一单位欧式看涨期权空头和∆单位标的股票多头组成的组合。为了使该组合

在期权到期时无风险，∆必须满足下式：∆=-∆95.011

25.0=∆

该组合在期权到期时价值恒等于∆=925.2，所以无风险组合的现值应为：

19.225.225.0*1.0=-e 元

由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市价为10元，因此19.225.0*10=-f

31.0=f 元，当该期权价格为0.31元时，市场就不存在无风险套利机会，市场处于无

套利均衡。

风险中性定价法

案例1.3:为了用风险中性定价法求案例1.2的期权价格，假定在风险中性世界中，该

股票上升的概率为P ，下跌的概率为1-P 。则根据风险中性定价原理，[]10)1(91125.0*1.0=-+-P P e

6266.0=P

由于该期权到期回报为0.5元（股票上升时）和0（股票下跌时），再次运用风险中性

定价原理，求出该期权的价值：

31.0)3734.006266.05.0(25.01.0=⨯+⨯=⨯-e f 元

连续复利

假设数额为A 的资产以利率r 投资n 年。

每年计一次复利，投资终值为：n r A )1(+

如果每年计m 次复利，则终值为：mn m m

r A )1(+ 当m 趋于无穷大时，就称为连续复利，终值为：rn mn m

Ae m

r A =+)1(lim A 元现值的n 年现值为rn Ae - 连续复利的年利率：)1ln(m

r m r m += 与之等价每年计m 次复利年利率：)

1(-=m r

m e m r

单元二：远期与期货

1、远期与期货的比较

交易场所；标准化程度；违约风险；合约双方关系；价格确定方式；结算方式；结清方式不同

2、无收益资产、支付已知收益资产、支付已知收益率证券的远期（或期货）合约价值、价格的计算（定价）。

远期价值f ：远期合约本身的市场合理价值。

E.g.一个交割价格为10元，交易数量为100单位、距离到期日还有1年的远期合约，如果标的资产当前的市场价格为15元，市场无风险连续复利年利率为10%，则对多头来说，该远期合约的价值为595100)1015(1%10=⨯⨯-⨯-e

元，对于空头来说，该远期合约的价值为-595元。

远期价格F ：使远期合约价值为0的交割价格。

E.g.0100)15(1%10=⨯⨯-⨯-e

F F=16.58元，当交割价格为16.58元时，该远期价值等于0。

远期价格与交割价格的差异的贴现决定了远期价值。

当无风险利率恒定且对所有到期日都相同时，交割日相同的远期价格和期货价格应相等。 当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期价格。

无收益资产远期合约定价：（贴现债券）

组合A ：一份远期合约多头f 加上一笔数额为)(t T r Ke

--的现金。 组合B ：一单位标的资产S 。

t 时刻：S Ke f t T r =+--)(

合约现值：)(t T r Ke S f ---=

无收益资产的现货-远期平价定理：

由于远期价格F 就是使远期价值f 为0的交割价格K ，即当f=0时，K=F 。据此令上式f=0，则：)(t T r Se F -=

假设)

(t T r Se K ->，即交易对手报出的交割价格大于现货的终值。在这种情况下，套利者可以按无风险利率r 借入S 现金，期限为T-t 。然后用S 购买一单位标的资产，同时卖出一份该资产的远期合约，交割价格为K 。在T 时刻，套利者可将一单位标的资产交割换得K 现金，并归还借款本息)(t T r Se -,从而实现)(t T r Se K --的无风险利润。

若K

案例3.1无收益资产远期合约的价值：

目前，6个月期的无风险年利率为4.17%。市场上正在交易一份标的证券为一年期贴现

债券、剩余期限为6个月的远期合约多头，其交割价格为970元，该债券的现价为960元。请问：对该远期合约的多头和空头来说，远期价值分别是多少？S=960,K=970，r=4.17%，T-t=0.5，该远期合约多头的远期价值f 为：

02.109709605.0%17.4)(≈⨯-=-=⨯---e Ke S f t T r 元

该远期合约空头的远期价值为-f=-10.02元

案例3.2：无收益资产远期合约的远期价格

目前，3个月期的无风险年利率为3.99%，市场上正在交易一个期限为3个月的股票远

期合约，标的股票不支付红利且当时市价为40元。那么根据)(t T r Se

F -=，这份远期合约的合理交割价格应为40.404025.0%99.3=⨯=⨯e F 元

假设市场上该合约的交割价格为40.20元，则套利者可以卖空股票并将所得收入以无风

险利率进行投资，期末可以获得无风险利润40.40-40.20=0.20元。

反之，如果市场上远期合约的交割价格大于40.40元，如40.80元，套利者可以借入

40元买入股票并以40.80元的价格卖出远期合约，期末也可以获得无风险利润0.40元。 远期价格的期限结构

)()(t T r t T r Fe F ---***=

案例3.3：无收益资产远期合约的远期价格期限结构

目前，3个月期与6个月期的无风险年利率分别为3.99%与4.17%。某不支付红利的股

票3个月远期合约的远期价格为20元，该股票6个月期的远期价格应为多少？

)()(t T r t T r Fe F ---***=

支付已知现金收益资产远期合约的定价：（附息债券、支付已知现金红利的股票、黄金白银） 组合A ：一份远期合约多头加上一笔数额为)(t T r Ke --的现金。

组合B ：一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限为从当前时刻到现金收益派发日、本金为I 的负债。

I S Ke f t T r -=+--)(

)(t T r Ke I S f ----=

案例3.4：支付已知现金收益资产远期合约的价值

目前，6个月期与1年期的无风险年利率分别为4.17%和4.11%。市场上一种10年期国

债现货价格为990元，该证券一年期远期合约的交割价格为1001元，该债券在6个月和12个月后都将收到60元的利息，且第二次付息在远期合约交割之前，求该合约的价值。

计算该债券已知现金收益的现值：35.11660601%11.45.0%17.4=⨯+⨯=⨯-⨯-e e

I 元（I 要

贴现）

计算该远期合约多头的价值为：