金融工程复习宝典(开卷考试必备)

单元一：金融工程概述无套利定价法案例1.2假设种不支付红利的股票目前的市价为10元，3个月后该股票价格或为11元或为9元。

假设现在的无风险连续复利年利率为10%，如何为一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权定价？构建一个由一单位欧式看涨期权空头和∆单位标的股票多头组成的组合。

为了使该组合在期权到期时无风险，∆必须满足下式：∆=-∆95.01125.0=∆该组合在期权到期时价值恒等于∆=925.2，所以无风险组合的现值应为：19.225.225.0*1.0=-e 元由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市价为10元，因此19.225.0*10=-f31.0=f 元，当该期权价格为0.31元时，市场就不存在无风险套利机会，市场处于无套利均衡。

风险中性定价法案例1.3:为了用风险中性定价法求案例1.2的期权价格，假定在风险中性世界中，该股票上升的概率为P ，下跌的概率为1-P 。

则根据风险中性定价原理，[]10)1(91125.0*1.0=-+-P P e6266.0=P由于该期权到期回报为0.5元（股票上升时）和0（股票下跌时），再次运用风险中性定价原理，求出该期权的价值：31.0)3734.006266.05.0(25.01.0=⨯+⨯=⨯-e f 元连续复利假设数额为A 的资产以利率r 投资n 年。

每年计一次复利，投资终值为：n r A )1(+如果每年计m 次复利，则终值为：mn m mr A )1(+ 当m 趋于无穷大时，就称为连续复利，终值为：rn mn mAe mr A =+)1(lim A 元现值的n 年现值为rn Ae - 连续复利的年利率：)1ln(mr m r m += 与之等价每年计m 次复利年利率：)1(-=m rm e m r单元二：远期与期货1、远期与期货的比较交易场所；标准化程度；违约风险；合约双方关系；价格确定方式；结算方式；结清方式不同2、无收益资产、支付已知收益资产、支付已知收益率证券的远期（或期货）合约价值、价格的计算（定价）。

远期价值f ：远期合约本身的市场合理价值。

E.g.一个交割价格为10元，交易数量为100单位、距离到期日还有1年的远期合约，如果标的资产当前的市场价格为15元，市场无风险连续复利年利率为10%，则对多头来说，该远期合约的价值为595100)1015(1%10=⨯⨯-⨯-e元，对于空头来说，该远期合约的价值为-595元。

远期价格F ：使远期合约价值为0的交割价格。

E.g.0100)15(1%10=⨯⨯-⨯-eF F=16.58元，当交割价格为16.58元时，该远期价值等于0。

远期价格与交割价格的差异的贴现决定了远期价值。

当无风险利率恒定且对所有到期日都相同时，交割日相同的远期价格和期货价格应相等。

当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期价格。

无收益资产远期合约定价：（贴现债券）组合A ：一份远期合约多头f 加上一笔数额为)(t T r Ke--的现金。

组合B ：一单位标的资产S 。

t 时刻：S Ke f t T r =+--)(合约现值：)(t T r Ke S f ---=无收益资产的现货-远期平价定理：由于远期价格F 就是使远期价值f 为0的交割价格K ，即当f=0时，K=F 。

据此令上式f=0，则：)(t T r Se F -=假设)(t T r Se K ->，即交易对手报出的交割价格大于现货的终值。

在这种情况下，套利者可以按无风险利率r 借入S 现金，期限为T-t 。

然后用S 购买一单位标的资产，同时卖出一份该资产的远期合约，交割价格为K 。

在T 时刻，套利者可将一单位标的资产交割换得K 现金，并归还借款本息)(t T r Se -,从而实现)(t T r Se K --的无风险利润。

若K<Se...，即交割价格小于现货价格的终值。

套利者可以进行反向操作，即卖空标的资产，将所得收入以无风险利率r 进行投资，期限为T-t 。

同时买进一份该标的资产的远期合约，交割价格为K 。

在T 时刻，套利者将收到投资本息)(t T r Se -，并以K 现金购买一单位标的资产，用于归还卖空时借入的标的资产，从而实现Se...-K 的利润。

案例3.1无收益资产远期合约的价值：目前，6个月期的无风险年利率为4.17%。

市场上正在交易一份标的证券为一年期贴现债券、剩余期限为6个月的远期合约多头，其交割价格为970元，该债券的现价为960元。

请问：对该远期合约的多头和空头来说，远期价值分别是多少？S=960,K=970，r=4.17%，T-t=0.5，该远期合约多头的远期价值f 为：02.109709605.0%17.4)(≈⨯-=-=⨯---e Ke S f t T r 元该远期合约空头的远期价值为-f=-10.02元案例3.2：无收益资产远期合约的远期价格目前，3个月期的无风险年利率为3.99%，市场上正在交易一个期限为3个月的股票远期合约，标的股票不支付红利且当时市价为40元。

那么根据)(t T r SeF -=，这份远期合约的合理交割价格应为40.404025.0%99.3=⨯=⨯e F 元假设市场上该合约的交割价格为40.20元，则套利者可以卖空股票并将所得收入以无风险利率进行投资，期末可以获得无风险利润40.40-40.20=0.20元。

反之，如果市场上远期合约的交割价格大于40.40元，如40.80元，套利者可以借入40元买入股票并以40.80元的价格卖出远期合约，期末也可以获得无风险利润0.40元。

远期价格的期限结构)()(t T r t T r Fe F ---***=案例3.3：无收益资产远期合约的远期价格期限结构目前，3个月期与6个月期的无风险年利率分别为3.99%与4.17%。

某不支付红利的股票3个月远期合约的远期价格为20元，该股票6个月期的远期价格应为多少？)()(t T r t T r Fe F ---***=支付已知现金收益资产远期合约的定价：（附息债券、支付已知现金红利的股票、黄金白银） 组合A ：一份远期合约多头加上一笔数额为)(t T r Ke --的现金。

组合B ：一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限为从当前时刻到现金收益派发日、本金为I 的负债。

I S Ke f t T r -=+--)()(t T r Ke I S f ----=案例3.4：支付已知现金收益资产远期合约的价值目前，6个月期与1年期的无风险年利率分别为4.17%和4.11%。

市场上一种10年期国债现货价格为990元，该证券一年期远期合约的交割价格为1001元，该债券在6个月和12个月后都将收到60元的利息，且第二次付息在远期合约交割之前，求该合约的价值。

计算该债券已知现金收益的现值：35.11660601%11.45.0%17.4=⨯+⨯=⨯-⨯-e eI 元（I 要贴现）计算该远期合约多头的价值为：04.87100135.1169901%11.4)(-=⨯--=--=⨯---e Ke I S f t T r 元该合约空头的远期价值为87.04元支付已知现金收益资产的现货-远期平价定理：)()(t T r e I S F --=案例3.5：支付已知现金收益资产的期货价格：假设黄金现价为每盎司733美元，其存储成本为每年每盎司2美元，一年后支付，美元一年期无风险利率为4%。

则一年期黄金期货的理论价格为1%4)()733()(⨯-⨯-=-=e I e I S F t T r式中，92.121%4-=⨯-=⨯-e I （I 要贴现)故，91.764)92.1733(1%4=⨯+=⨯e F （美元/盎司）支付已知收益率资产远期合约的定价： 组合A:一份远期合约多头加上一笔数额为)(t T r Ke--的现金。

组合B:)(t T q e --单位证券并且所有收入都再投资于该证券，其中q 为该资产按连续复利计算得已知收益率。

)()(t T q t T r Se Ke f ----=+)()(t T r t T q Ke Se f -----=支付已知收益率资产的现货-远期评价公式：))((t T q r Se F --=课后习题1、假设一种无红利支付的股票目前的市价为20 元，无风险连续复利年利率为10%，求该股票3 个月期远期价格。

如果3个月后该股票的市价为15元，求这份交易数量为100单位的远期合约多头方的价值。

()0.10.252020.51r T t F Se e -⨯==⨯=三个月后，对于多头来说，该远期合约的价值为(1520.51)100551-⨯=-2、假设一种无红利支付的股票目前的市价为20元，无风险连续复利年利率为10%，市场上该股票的3个月远期价格为23元，请问应如何进行套利？()0.10.252020.5123r T t F Se e -⨯==⨯=<，在这种情况下，套利者可以按无风险利率10%借入现金X 元三个月，用以购买20X 单位的股票，同时卖出相应份数该股票的远期合约，交割价格为23元。

三个月后，该套利者以20X 单位的股票交割远期，得到2320X 元，并归还借款本息0.10.25X e ⨯⨯元，从而实现0.10.2523020X Xe ⨯->元的无风险利润。

4、某股票预计在2个月和5个月后每股分别派发1元股息，该股票目前市价等于30元，所有期限的无风险连续复利年利率均为6%，某投资者刚取得该股票6个月期的远期合约空头，交易单位为100。

请问：1该远期价格等于多少？若交割价格等于远期价格，则远期合约的初始价值等于多少？（2）3个月后，该股票价格涨到35元，无风险利率仍为6%，此时远期价格和该合约空头价值等于多少？（1）2个月和5个月后派发的1元股息的现值=e -0.062/12+e -0.065/12=1.97元。

远期价格=(30-1.97)e 0.060.5=28.88元。

若交割价格等于远期价格，则远期合约的初始价值为0。

（2）在3个月后的这个时点，2个月后派发的1元股息的现值= e -0.062/12=0.99元。

远期价格=（35-0.99）e 0.063/12=34.52元。

此时空头远期合约价值=100×(28.88-34.52）e -0.063/12=-556元。

3、 远期与期货的三大运用领域：套期保值、套利、投机。

基差风险： G H b -=b 特定时刻的基差，H 是需要进行套期保值的现货价格，G 是用以进行套期保值的期货价格。

在1单位现货空头用1单位期货多头进行套期保值的情况下，投资者的套期保值收益： )()()()(1100011010G H G H G G H H b b ---=-+-=-在1单位现货多头而用1单位期货空头进行套期保值的情况下，投资者的套期保值收益： 01b b -当前时刻的基差0b 是已知的，1b 是否确定则决定了套期保值收益是否确定，是否能够完全消除价格风险。