《幂函数》解析
2020年高考数学(理)高频考点 函数与导数 专题06 幂函数(解析版)
函数与导数06 函数 幂函数一、具体目标： 1.了解幂函数的概念.2.结合函数12312,,,,y x y x y x y x y x -=====的图象,了解它们的变化情况.二、知识概述： 1.幂函数的概念(1)一般地，形如ny x =的函数叫做幂函数，其中x 是自变量，n 是常数．(2)在同一平面直角坐标系中，幂函数12312,,,,y x y x y x y x y x -=====的图象的比较如下．2.幂函数的性质：（1）恒过点(1,1)；（2）在第一象限当0n >时ny x =是增函数，当0n <时ny x =是减函数； （3）幂函数的图象不经过第四项限. 3.判数函数是幂函数的依据：【考点讲解】幂函数错误!未找到引用源。
，其中错误!未找到引用源。
为常数，其本质特征是以幂的底错误!未找到引用源。
为自变量，指数错误!未找到引用源。
为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准． 4.在错误!未找到引用源。
上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴 (简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．5.幂函数y ＝x α的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α的正负：α>0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸． 2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键．1. 【2019年高考北京文数】下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．12y x = B ．y =2x - C ．12log y x =D ．1y x=【解析】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性问题，由题意可知函数122,log xy y x -==，1y x=在区间(0,)+∞上单调递减，函数12y x =在区间(0,)+∞上单调递增.故选A.【答案】A【真题分析】2.【2018优选题】函数()()952411＝－－-+m m f x m m x是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，+∞)，且x 1≠x 2，满足f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，若a ，b ∈R ，且a ＋b >0，ab <0，则f (a )＋f (b )的值( )A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【解析】由题意可知，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )单调递增．∵()()952411＝－－-+m m f x m m x是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，4m 9－m 5＋1＝4×29－25＋1＝2017， f (x )＝x 2017 在(0，＋∞)上为增函数，符合题意；当m ＝－1时，4m 9－m 5＋1＝4×(－1)9－(－1)5＋1＝－2, f (x )＝x -2在 (0，＋∞)上为减函数，不符合题意．∴f (x )＝x 2017，该函数为R 上的奇函数，且为R 上的增函数．∵a ＋b >0，∴a >－b ，∴f (a )>f (－b )＝－f (b )，即f (a )＋f (b )>0.故选A. 【答案】A3.【2018优选题】在同一平面直角坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax ＋1a的图像可能是( )【解析】当a ＞0时，函数y ＝x a 在第一象限单调递增，直线y ＝ax ＋1a 经过第一、二、三象限，无选项符合题意；当a ＜0时，函数y ＝x a 在第一象限单调递减，直线y ＝ax ＋1a 经过第二、三、四象限，选项B 符合题意．故选B. 【答案】B4.【2016全国Ⅲ】已知a ＝432，b ＝233，c ＝1325，则( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b【解析】∵b ＝233＝433，c ＝1325＝235＝435，a ＝432，且函数y ＝43x 在区间(0，＋∞)上单调递增，5>2>3，∴)435>432>433，∴b <a <c .故选A.【答案】A5.【2019优选题】幂函数f (x )的图像经过点(4，2)，若0<a <b <1，则下列各式正确的是( )A ．f (a ) < f (b ) < f ⎝⎛⎭⎫1a < f ⎝⎛⎭⎫1bB ．f ⎝⎛⎭⎫1a < f ⎝⎛⎭⎫1b < f (b ) < f (a )C ．f (a ) < f (b ) < f ⎝⎛⎭⎫1b < f ⎝⎛⎭⎫1aD ．f ⎝⎛⎭⎫1a < f (a ) < f ⎝⎛⎭⎫1b < f (b ) 【解析】设幂函数的解析式为f (x )＝x α，由f (x )的图像经过点(4，2)，得4α＝2，解得α＝12，即f (x )＝12x .∵f (x )＝12x 在(0，＋∞)上是增函数，且0 < a < b < 1，∴0 < a < b < 1b < 1a ，∴f (a )< f (b ) < f ⎝⎛⎭⎫1b < f ⎝⎛⎭⎫1a . 【答案】C6.【2018上海卷7】已知⎭⎬⎫⎩⎨⎧---∈3,2,1,21,21,1,2α，若幂函数αx x f =)(为奇函数，且在0+∞（，）上递减，则α=_____【解析】本题考点是幂函数与奇函数的综合应用，由题意可知幂函数要满足两个条件，一个条件就是奇函数，此时3,1,1-=α，另一个条件是在区间0+∞（，）上递减，此时1-=α，所以答案是-1. 【答案】1-7.【2014上海,理9】若2132)(x x x f -=，则满足0)(<x f 的x 取值范围是 .【解析】根据幂函数的性质，由于1223<，所以当01x <<时2132x x <，当1x >时，2132x x >，因此()0f x <的解集为(0,1). 【答案】(0,1)8.【2019优选题】幂函数1222)33)(+-+-=m m x m m x f （在区间()+∞,0上是增函数，则=m ．【解析】若幂函数1222)33)(+-+-=m m xm m x f （在区间()+∞,0上是增函数，则由2331m m -+=，解得：2m =或1m =，2m =时，()f x x =，是增函数，1m =时，()1f x =，是常函数，故答案为2．【答案】29.【2017优选题】幂函数错误!未找到引用源。
高三数学幂函数试题答案及解析
高三数学幂函数试题答案及解析1.若，则满足的取值范围是 .【答案】【解析】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此的解集为.【考点】幂函数的性质.2.对于函数f(x)若存在x0∈R，f(x)＝x成立，则称x为f(x)的不动点．已知f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；(3)在(2)的条件下，若y＝f(x)图象上A，B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A，B两点关于直线y＝kx＋对称，求b的最小值．【答案】（1）－1和3.（2）(0,1)（3）－【解析】解：(1)∵a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3，f(x)＝x⇒x2－2x－3＝0⇒x＝－1，x＝3，∴函数f(x)的不动点为－1和3.(2)即f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1＝x有两个不等实根，转化为ax2＋bx＋b－1＝0有两个不等实根，需有判别式大于0恒成立，即Δ＝b2－4a(b－1)>0⇒Δ1＝(－4a)2－4×4a<0⇒0<a<1，∴a的取值范围为(0,1)．(3)设A(x1，x1)，B(x2，x2)，则x1＋x2＝－，则A，B中点M的坐标为(，)，即M(－，－)．∵A，B两点关于直线y＝kx＋对称，且A，B在直线y＝x上，∴k＝－1，A，B的中点M在直线y＝kx＋上．∴－＝＋⇒b＝－＝－，利用基本不等式可得当且仅当a＝时，b的最小值为－.3.若幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(25)＝________．【答案】【解析】设f(x)＝xα，则＝9α，∴α＝－，即f(x)＝x－，f(25)＝4.设α∈{-1,1,,3},则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为() A．1,3B．-1,1C．-1,3D．-1,1,3【答案】A【解析】当α=-1时函数定义域为{x|x≠0}.当α=时,定义域是[0,+∞),都不符合条件.当α=1,3时,幂函数定义域为R且为奇函数.故选A.5.幂函数y＝f(x)的图像经过点(4，)，则f()的值为()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】设幂函数，由，得.【考点】幂函数6.已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数（1）求函数的解析式；（2）设函数，其中.若函数仅在处有极值，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据函数的单调性分析出指数大于零，解不等式可得的取值范围，再利用得，然后根据幂函数为偶函数可得；（2）根据导数求极值，为使方程只有一个根，则必须恒成立，于是根据判别式可求.试题解析：（1）在区间上是单调增函数，即又 4分而时，不是偶函数，时，是偶函数，. 6分（2）显然不是方程的根.为使仅在处有极值，必须恒成立， 8分即有，解不等式，得. 11分这时，是唯一极值. . 12分【考点】1.幂函数；2.函数的单调性；3.导数公式；4.函数的极值.7.已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数（1）求函数的解析式；（2）设函数，其中.若函数仅在处有极值，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据函数的单调性分析出指数大于零，解不等式可得的取值范围，再利用得，然后根据幂函数为偶函数可得；（2）根据导数求极值，为使方程只有一个根，则必须恒成立，于是根据判别式可求.试题解析：（1）在区间上是单调增函数，即又 4分而时，不是偶函数，时，是偶函数，. 6分（2）显然不是方程的根.为使仅在处有极值，必须恒成立， 8分即有，解不等式，得. 11分这时，是唯一极值. . 12分【考点】1.幂函数；2.函数的单调性；3.导数公式；4.函数的极值.8.函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是（）A．B．C．D．或【答案】【解析】是幂函数或 . 又上是增函数,所以.【考点】幂函数的概念及性质.9.函数由确定，则方程的实数解有( )A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【解析】因为，所以.方程为：，化简得，其根有3个，且1不是方程的根.【考点】幂的运算，分式方程的求解.10.下列对函数的性质描述正确的是（）A．偶函数，先减后增B．偶函数，先增后减C．奇函数，减函数D．偶函数，减函数【答案】B【解析】是偶函数，图象关于y轴对称，而在（0，+∞）是减函数，所以，在（-∞.0）是增函数，故选B。
人教A版高中数学必修一课件 《幂函数》函数的概念与性质名师优秀课件
在下列四个图形中，y＝x－12的图象大致是( ) 解析：选 D.函数 y＝x－21的定义域为(0，＋∞)，是减函数．
若 y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则 m＋n＝________．
解析：因为 y＝mxα＋(2n－4)是幂函数， 所以 m＝1，2n－4＝0，即 m＝1，n＝2，所以 m＋n＝3. 答案：3
已知幂函数 y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于 y 轴对 称，且在 x∈(0，＋∞)上为减函数，求满足不等式(a＋1) －m3＜ (3a－2) －m3的实数 a 的取值范围．
解：若幂函数 y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于 y 轴对称，则为偶函 数，即 m 为奇数，又在 x∈(0，＋∞)上为减函数，因而 3m－9 ＜0，即 m＜3.又 m∈N*，从而 m＝1.故不等式(a＋1) －m3＜(3a －2) －m3可化为(a＋1) －31＜(3a－2) －13. 函数 y＝x－31的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(－∞，0)与(0， ＋∞)上均为减函数，因而 a＋1＞3a－2＞0，或 0＞a＋1＞3a－2， 或 a＋1＜0＜3a－2，解得 a 的取值范围为a|a＜－1或23＜a＜32.
B．1
1 C.2
D．0
解析：选 A.因为 f(x)＝ax2a＋1－b＋1 是幂函数，所以 a＝1，－b
＋1＝0，
即 a＝1，b＝1，所以 a＋b＝2.
幂函数的图象及应用
已知幂函数 f(x)＝xα的图象过点 P2，14，试画出 f(x)的 图象并指出该函数的定义域与单调区间．
【解】 因为 f(x)＝xα 的图象过点 P2，14， 所以 f(2)＝14，即 2α＝14， 得 α＝－2，即 f(x)＝x－2，f(x)的图象如图所示，定义域为(－∞， 0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．
幂函数解析
专题6 简单的幂函数与函数的奇偶性【知识回顾】一、简单的幂函数1．幂函数的定义 如果一个函数， 是自变量x ， 是常量α，即y ＝x α，这样的函数称为幂函数．2．简单的幂函数的图像和性质函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x－1在同一平面直角坐标系中的图像如图所示：二、函数的奇偶性1、一般地，函数图像关于原点对称函数叫做 ，有 ；反之，若满足 的函数y=f(x)一定是奇函数。
2、函数图像关于y 轴对称函数叫做 ，有 ；反之，若满足 的函数y=f(x)一定是偶函数。
【典例应用】考点1 幂函数的概念例1 下列所给出的函数中，是幂函数的是______（填序号）.①3y x =-；①3y x -=；①32y x =；①31y x =-【答案】①【解析】【分析】由幂函数的定义，排除不是幂函数的选项【详解】根据幂函数的定义可知，形如()y f x x α==的函数是幂函数①中，3x 的系数不为1；①中，=-3α的幂函数；①中，3x 的系数不为1；①中，3x 之后不能加常数项；故答案为①【点睛】本题考查了幂函数的定义，判断函数是否为幂函数，注意x α的系数为1且不含常数项，属于基础题.练习：已知幂函数2223(1)mm y m m x --=--⋅，求此幂函数的解析式，并指出其定义域. 【答案】3y x -=或0y x =，{|0}x x ≠.【解析】【分析】由幂函数的概念求解．【详解】2223(1)m m y m m x --=--为函数，211m m ∴--=，解得2m =或1m =-.当2m =时，2233m m --=-，则3y x -=，且有0x ≠； 当1m =-时，2230m m --=，则0y x =，且有0x ≠.故所求幂函数的解析式为3y x -=或0y x =，它们的定义域都是{|0}x x ≠.【点睛】本题考查幂函数的概念与性质，属于基础题．考点2 幂函数的图像例2 如图，给出四个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（ ）① ① ① ①A ．①12y x =；①2y x ；①3y x =；①1y x -=B ．①3y x =；①12y x =；①2y x ；①1y x -=C ．①2y x ；①3y x =；①12y x =；①1y x -=D ．①3y x =；①2y x ；①12y x =；①1y x -= 【答案】D【解析】【分析】利用幂函数的奇偶性、单调性、定义域等来分析判断图象得解.【详解】3y x =是奇函数，且在R 上递增，对应题图①；2y x 是偶函数，对应题图①；12y x =的定义域为[)0,+∞，对应题图①；1y x -=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，对应题图①．故选D ．【点睛】本题主要考查幂函数的定义域、单调性和奇偶性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.练习：幂函数24m m y x =－（m Z ∈）的图象如图所示，则m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】 由给出的幂函数的图象，得到幂指数小于0，且幂函数为偶函数，然后逐一代入验证即可得到答案．【详解】解：由函数图象可知，幂函数为偶函数，且幂指数小于0，当0m =时，240m m -=，不合题意；当1m =时，243m m -=-，幂函数为奇函数，不合题意；当2m =时，244m m -=-，满足幂函数为偶函数，且幂指数小于0，符合题意； 当3m =时，243m m -=-，幂函数为奇函数，不合题意．①m 的值为2．故选C ．【点睛】本题考查了幂函数的图象，考查了幂函数的性质，训练了代入验证法，是基础题． 考点3 利用幂函数的特点求参数的值例3 已知幂函数()()23m f x m x -=-在()0,∞+为单调增函数，则实数m 的值为（ ）AB ．2±C ．2D ．2-【答案】D【解析】【分析】 根据()f x 为幂函数，求得m 的可能取值，再由()f x 在()0,∞+上的单调性，求得m 的值.【详解】由于()f x 为幂函数，所以231,2m m -==±，当2m =时，()2f x x -=在()0,∞+上递减，不符合题意，当2m =-时()2f x x =在()0,∞+上递增，符合题意. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据函数为幂函数求解析式，考查幂函数的单调性，属于基础题.练习：若函数()223()1m m f x m m x +-=--是幂函数且在(0,)+∞是递减的，则m =（ ）A ．-1B ．2C ．-1或2D ．3 【答案】A【解析】【分析】 根据幂函数的定义和性质列方程和不等式，求解即可．【详解】解：函数()223()1m m f x m m x +-=--是幂函数且在(0,)+∞是递减的，则221130m m m m ⎧--=⎨+-<⎩，解得1m =-． 故选：A ．【点睛】本题考查幂函数的定义和性质，是基础题．考点4：函数奇偶性例4.已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－2x .(1)求出函数f (x )在R 上的解析式；(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出函数f (x )的图像．练习：已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减小的，且f (3)＝0，则使f (x )<0的x 的范围为________．【等级过关练】1．幂函数()y f x =图象过点11(,)42，则[(9)]f f =（ ）A B ．3 C ．13 D2．已知幂函数223()m m f x x --=（m ∈Z ）是偶函数，且112⎛⎫> ⎪⎝⎭f ，则m 的值是（ ） A ．－1 B ．0 C ．1D ．2 3．下列幂函数中过点)0,0(，)1,1(的偶函数是（ ）A ．21x y = B ．4x y = C ．1y x -= D ．3y x =4．已知一个偶函数的定义域为{}2,1,,m n -,则m n +的值为（ ）A ．1-B ．1C ．0D ．25．判断下列函数的奇偶性; (1)1()f x x x=+;(2)()2||f x x =-;(3)()1x f x x =-. 参考答案1．A【解析】【分析】用待定系数法求出幂函数的解析式，然后用代入法进行求解即可.【详解】设()y f x x α==，因为幂函数()y f x =图象过点11(,)42， 所以有11()24α=，解得12α=，所以12()y f x x ===因为(9)3f ==，所以[(9)](3)f f f ==故选：A【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法，考查了求函数值问题，考查了数学运算能力.2．C【解析】【分析】 先化简112⎛⎫> ⎪⎝⎭f 得到实数m 的范围，再检验即得解. 【详解】 因为112⎛⎫> ⎪⎝⎭f ，所以2230211(),31()230,122m m m m m -->-=-∴-<∴<<. 因为m ∈Z ，所以0,1,2m =.经检验，当1m =时，函数是偶函数，当0,2m =时，函数是奇函数.故选：C【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，考查指数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．B【解析】试题分析：根据幂函数nx y =的性质，当0>n 时，图象过)1,1()0,0(、点，在第一象限部分图象为增函数；当0<n 时，图象过点)1,1(，在第一象限部分图象为减函数；排除C ，而D B A 、、中只有B 是偶函数，因此选B .考点：1.幂函数图象和性质;2.函数的奇偶性；4．B【解析】【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称可得结果．【详解】解：如果一个偶函数的定义域为{}2,1,,m n -,则210m n -+++=，得1m n +=，故选：B ．【点睛】本题考查奇偶函数的性质，奇偶函数的图像不仅自身具有对称性，定义域也必须要关于原点对称，本题难度不大．5．(1)奇函数.(2)偶函数.(3)非奇非偶函数.【解析】【分析】利用函数的奇偶性的定义判断得解.【详解】解:(1)函数()f x 的定义域是{|R x x ∈且0x ≠},关于原点对称,11()()f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭,()f x ∴为奇函数. (2)函数()f x 的定义域为R ,关于原点对称,()2||2||()f x x x f x -=--=-=,()f x ∴为偶函数.(3)①函数()f x 的定义域为{|R x x ∈且1x ≠},显然不关于原点对称, ()f x ∴为非奇非偶函数.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
高中幂函数解析式的求法
高中幂函数解析式的求法高中数学中，幂函数是一类常见的函数，其解析式一般为形如f(x) = ax^n 的形式，其中 a 和 n 分别是函数的系数和指数。
要求一个幂函数的解析式，可以通过以下几种方法来实现：1. 已知特定点如果已知幂函数通过某些特定点，可以利用这些信息来求解解析式。
例如，如果已知幂函数过点 (x1, y1) 和 (x2, y2)，我们可以得到以下方程组：y1 = a * x1^ny2 = a * x2^n通过求解这个方程组，我们可以确定 a 和 n 的值，从而得到幂函数的解析式。
2. 已知函数图像如果已知幂函数的图像或者部分图像，我们可以根据图像的性质来求解解析式。
例如，如果已知幂函数经过原点 (0, 0) 并且曲线在 x 轴的非负区间递增或递减，那么可以确定 a 的符号是正数或者负数。
进一步地，如果我们知道曲线在某个点处的斜率，就可以确定 a 的值。
3. 利用导数幂函数的导数形式为 f'(x) = a * n * x^(n-1)。
如果已知幂函数的导数，我们可以根据导数的形式来确定 a 和n 的值。
例如，如果已知幂函数的导数形式为 f'(x) = 3x^2，那么可以得到以下方程：3x^2 = a * n * x^(n-1)通过求解这个方程，可以确定 a 和 n 的值。
4. 求导数次数不同的点如果已知幂函数通过不同导数次数的点，可以根据这些信息来求解解析式。
例如，如果已知幂函数经过点 (1, 2)，并且一阶导数在点 (2, 3) 处为 4，那么可以得到以下方程组：2 = a * 1^n3 = a * 2^(n-1) * (n-1)4 = a * 2^(n-1)通过求解这个方程组，可以确定 a 和 n 的值。
以上是求解高中幂函数解析式的几种常见方法，根据具体题目的条件，选择合适的方法来求解即可。
突破15 幂函数(重难点突破)(解析版)
突破15 幂函数重难突破一、基础知识【知识点一、幂函数】 1．幂函数的概念一般地，函数(y x αα=是常数）叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．2．幂函数的结构特征幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足： （1）指数为常数； （2）底数为自变量； （3）系数为1．3．幂函数与指数函数的区别与联系函数 解析式相同点不同点指数函数 (0,1)x y a a a =>≠且右边都是幂的形式指数是自变量，底数是常数幂函数()y x αα=∈R底数是_______，指数是_______【知识点二、幂函数的图象与性质】 1．几个常见幂函数的图象与性质函数y x =2y x =3y x =12y x =1y x=图象定义域 R R R [0,)+∞ {|0}x x ≠ 值域 R[0,)+∞R[0,)+∞{|0}y y ≠奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性 在R 上单调递增在(,0)-∞上单调递减；在[0,)+∞上单调递增在R 上单调递增在[0,)+∞上单调递增在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递减 过定点过定点(0,0),(1,1)过定点(1,1)【注】幂函数(y x αα=是常数）中，α的取值不一样，对应的幂函数的定义域不一样．注意α是正分数或负分数（正整数或负整数）时的不同．2．幂函数(y x αα=是常数）的指数对图象的影响（1）当_______时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于1y x -=的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大；（2）当_______时，函数图象向x 轴弯曲，类似于y x =的图象；（3）当_______时，函数图象向y 轴弯曲，类似于2y x =的图象，而且逆时针方向指数在增大．具体如下：αα>10<α<1α<0图象特殊点 过（0，0），（1，1） 过（0，0），（1，1）过（1，1） 凹凸性 下凸 上凸 下凸 单调性 递增 递增递减举例y =x 212y x =1y x -=、12y x -=3．常用结论（1）幂函数在_______ 上都有定义． （2）幂函数的图象均过定点_______．（3）当0α>时，幂函数的图象均过定点(0,0),(1,1)，且在(0,)+∞上单调_______． （4）当0α<时，幂函数的图象均过定点(1,1)，且在(0,)+∞上单调_______． （5）幂函数在第四象限无图象．知识参考答案： 一、3．自变量常数二、2．（1）0α< （2）01α<< （3）1α> 3．（1） (0,)+∞（2） (1,1)（3） 递增（4） 递减二、题型分析1．K 重点——幂函数的定义判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y x α=（α是常数）的形式，即满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1． 【例1】已知幂函数()f x 的图象过点（2， 41），试求该函数的解析式． 【答案】2y x -=．【名师点睛】虽然幂函数y x α=（α是常数）和指数函数(0,1)xy a a a =>≠都具有幂的形式，但幂函数以幂的底数x 为自变量，指数α为常数；指数函数以幂的底数a 为常数，指数x 为自变量．当遇到一个有关幂的形式的问题时，要先看自变量所在的位置，然后决定是用幂函数的知识解决，还是用指数函数的知识解决．【变式训练1】（2019春•闵行区校级月考）已知函数()f x 是幂函数，且2f （4）(16)f =，则()f x 的解析式是 ．【分析】设f （x ）＝x α，根据条件建立方程求出α的值即可． 【答案】解：设f （x ）＝x α， ∵2f （4）＝f （16）， ∴2×4α＝16α，即＝2，则4α＝2，α＝，即f （x ）＝x ， 故答案为：f （x ）＝x【点睛】本题主要考查幂函数解析式的求解，利用待定系数法建立方程是解决本题的关键．【变式训练2】（2018秋•道里区校级月考）已知幂函数2242()(1)m m f x m x --=+在(0,)+∞上单调递减，则函数()f x 的解析式为 ．【分析】利用幂函数的性质直接求解． 【答案】解：∵幂函数f （x ）＝（m +1）2在（0，+∞）上单调递减，∴，解得m ＝0，∴函数f （x ）的解析式为f （x ）＝x ﹣2．故答案为：f （x ）＝x ﹣2．【点睛】本题考查函数解析式的求法，考查幂函数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【变式训练3】已知幂函数22(29)()(919)()m m f x m m x m Z --=-+∈的图象不过原点，则()f x 的解析式为 ．【分析】由幂函数f （x ）＝（m 2﹣9m +19）（m ∈Z ）的图象不过原点，列举方程组，求出m ，由此能求出f （x ）的解析式．【答案】解：∵幂函数f （x ）＝（m 2﹣9m +19）（m ∈Z ）的图象不过原点，∴，解得m ＝3，∴f （x ）＝x ﹣6．故答案为：f （x ）＝x ﹣6．【点睛】本题考查函数的解析式的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 2．幂函数的图象要牢记幂函数的图象，并能灵活运用．由幂函数的图象，我们知道：（1）当α的值在（0，1）上时，幂函数中指数越大，函数图象越接近x 轴（简记为“指大图低”）；当α的值在（1，+∞）上时，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．（2）任何幂函数的图象与坐标轴最多只有一个交点（原点）；任何幂函数的图象都不经过第四象限． 【例2】已知函数ay x =，by x =，cy x =的图象如图所示，则实数,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A【名师点睛】本题也可采用特殊值法，如取2x =，结合图象可知222a b c >>，又函数2xy =是增函数，于是a b c >>．【变式训练1】（2019秋•涪城区校级月考）幂函数a y x =，b y x =，c y x =的图象如图所示，则实数a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>【分析】利用幂函数图象和单调性即可得出．【答案】解：由幂函数图象和单调性可知：a ＞1，0＜b ＜1，c ＜0． ∴a ＞b ＞c ．故选：A ．【点睛】本题考查了幂函数图象和单调性，属于基础题．【变式训练2】已知幂函数n y x =，m y x =，p y x =的图象如图，则( )A ．m n p >>B ．m p n >>C ．n p m >>D ．p n m >>【分析】根据幂函数的图象特征：在区间（1，+∞）上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴，结合图象即可得到答案．【答案】解：因为在区间（1，+∞）上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴， 所以由图象可得：n ＞p ＞m ，故选：C ．【点睛】本题考查幂函数图象的特征，以及数形结合思想，属于基础题． 【变式训练3】（2019•开福区校级模拟）如图，函数1y x=、y x =、1y =的图象和直线1x =将平面直 角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧．则函数1y x=的图象经过的部分是( )A ．④⑦B ．④⑧C ．③⑦D ．③⑧【分析】根据幂函数的图象和性质即可得到结论． 【答案】解：∵y ＝＝，幂指数，∴函数在第一象限内单调递减， 当x ＞1时，函数y ＝x a 为增函数，则此时＞x ﹣1，即函数y ＝的图象经过的部分是④⑧，故选：B ．【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，根据幂函数的性质和指数函数的性质是解决本题的关键． 3．幂函数性质的应用（1）幂函数的单调性主要用来比较指数相同、底数不同的幂的值的大小，这时需要注意幂函数的定义域和利用幂函数的奇偶性进行转化；（2）与幂函数有关的综合性问题一般是利用单调性、奇偶性以及函数图象求函数值域、不等式解集等． 【例3】如图，幂函数()37m y xm -=∈N 的图象关于y 轴对称，且与x 轴，y 轴均无交点，求此函数的解析式及不等式(2)16f x +<的解集．【答案】函数的解析式是4y x -=，不等式的解集为53(,)(,)22-∞--+∞．【名师点睛】解决与幂函数有关的综合性问题时，一定要考虑幂函数的概念．对于幂函数y x α=（α是常数），由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．4．幂函数单调性的应用（1）注意利用幂函数的性质比较幂值大小的方法步骤． 第一步，根据指数分清正负；第二步，正数区分大于1与小于1的情况，a >1，α>0时，a α>1；0<a <1，α>0时，0<a α<1；a >1，α<0时，0<a α<1；0<a <1，α<0时，a α>1；第三步，构造幂函数应用幂函数单调性，特别注意含字母时，要注意底数不在同一单调区间内的情形． （2）给定一组数值，比较大小的步骤．第一步：区分正负．一种情形是幂函数或指数函数值即幂式确定符号；另一种情形是对数式确定符号，要根据各自的性质进行．第二步：正数通常还要区分大于1还是小于1．第三步：同底的幂，用指数函数单调性；同指数的幂用幂函数单调性；同底的对数用对数函数单调性． 第四步：对于底数与指数均不相同的幂，或底数与真数均不相同的对数值大小的比较，通常是找一中间值过渡或化同底（化同指）、或放缩、有时作商（或作差）、或指对互化，对数式有时还用换底公式作变换等等．【例4】设525352)52(,)52(,)53(===c b a ，则c b a ,,的大小关系是A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a【答案】A【名师点睛】同底数的两个数比较大小，考虑用指数函数的单调性；同指数的两个数比较大小，考虑用幂函数的单调性，有时需要取中间量．【变式训练1】（2019秋•武邑县校级期中）若120.5a =，130.5b =，140.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a b c >>B ．a b c <<C ．a c b <<D ．a c b >>【分析】利用指数函数的单调性进行判断．【答案】解：构造函数f （x ）＝0.5x ，因为函数f （x ）＝0.5x ，为单调递减函数．且，所以，即，所以a ＜b ＜c ．故选：B ．【点睛】本题主要考查指数幂的大小比较，构造指数函数利用指数函数的单调性是解决本题的关键． 【变式训练2】（2019秋•开封校级期中）下列大小关系，正确的是( ) A ． 3.3 4.50.990.99< B ．23log 0.8log π< C ． 5.2 5.20.530.35<D ．0.3 3.11.70.9<【分析】结合函数y ＝0.99x ，y ＝x 5.2，等指数函数、对数函数和幂函数的单调性判断各函数值的大小或与0和1的大小，从而比较大小．【答案】解：对于A ：考察指数函数y ＝0.99x ，由于0.99＜1，故它在R 上是减函数， ∵3.3＜4.5，∴0.993.3＞0.994.5 故A 错；对于B ：考察对数函数log 2x ，由于2＞1，故它在（0，+∞）上是增函数， ∴log 20.8＜log 21＝0，而log 3π＞log 31＝0，∴log 20.8＜log 3π 故B 正确；对于C ：考察幂函数y ＝x 5.2，由于5.2＞0，故它在（0，+∞）上是增函数， ∵0.53＞0.35，∴0.535.2＞0.355.2故C 错；对于D ：考考察指数函数y ＝1.7x ，由于1.7＞1，故它在R 上是增函数， ∴1.70.3＞1.70＝1，考考察指数函数y ＝0.9x ，由于0.9＜1，故它在R 上是减函数， 0.93.1＜0.90＝1，故1.70.3＞0.93.1故D 错； 故选：B ．【点睛】本题是幂函数、指数函数与对数函数的单调性的简单应用，在比较指数（对数）式的大小时，若是同底的，一般直接借助于指数（对数）函数的单调性，若不同底数，也不同指（真）数，一般与1（0）比较大小．【变式训练3已知432a =，254b =，1325c =，则( ) A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<【分析】a ＝＝，b ＝，c ＝＝，结合幂函数的单调性，可比较a ，b ，c ，进而得到答案．【答案】解：∵a ＝＝， b ＝＝（22）＝＜＜a ， c ＝＝＞＝＝a ，综上可得：b ＜a ＜c ， 故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．【变式训练4】（2019秋•青阳县校级期中）若221333111(),(),()252a b c ===，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【分析】由在第一象限内是增函数，知．由是减函数，知．由此可知a 、b 、c 的大小关系．【答案】解：∵在第一象限内是增函数，∴，∵是减函数，∴，所以b ＜a ＜c ． 故选：D ．【点睛】本题考查指数函数和幂函数的性质及其应用，解题时要合理运用指数函数和对数函数的单调性． 5．求出参数后，忽略检验致错【例5】已知幂函数13()n y x n *-=∈N 的定义域为(0,)+∞，且单调递减，则n =_______． 【错解】因为幂函数13()n y xn *-=∈N 的定义域为(0,)+∞，且单调递减，所以103n <-，解得3n <．又因为n *∈N ，所以1n =或2．【错因分析】错解中对求出的n 的值没有代回题目中进行检验，造成多解．【正解】因为幂函数13()n y x n *-=∈N 的定义域为(0,)+∞，且单调递减，所以103n <-，解得3n <．又因为n *∈N ，所以1n =或2．当1n =时，12y x -=，其定义域为(0,)+∞，且函数单调递减，符合题意； 当2n =时，1y x -=，其定义域是{|0}x x ≠，不符合题意，舍去．综上，得1n =．【名师点睛】根据题目条件及幂函数的定义求出参数的值后，一定要把参数的值代回题目中进行检验，看是否满足题意，否则容易造成多解或错解．【变式训练1】（2019秋•葫芦岛期末）幂函数2()(1)m g x m m x =--的图象关于y 轴对称． （1）求()g x 的解析式；（2）若函数()()21f x g x ax =-+在[1x ∈-，2]上单调递增，求a 的取值范围．【分析】（1）由幂函数g （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 的图象关于y 轴对称，列出方程组，能求出m ． （2）由函数f （x ）＝g （x ）﹣2ax +1＝x 2﹣2ax +1，其对称轴为x ＝a 在x ∈[﹣1，2]上单调递增，能求出a 的取值范围．【答案】解：（1）幂函数g （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 的图象关于y 轴对称， ∴，解得m ＝2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）函数f （x ）＝g （x ）﹣2ax +1＝x 2﹣2ax +1， 其对称轴为x ＝a 在x ∈[﹣1，2]上单调递增， ∴a ≤﹣1，故a 的取值范围是（﹣∞，﹣1]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点睛】本题考查函数的解析式的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【变式训练1】（2019秋•连江县校级期中）已知幂函数93*()()m f x x m N -=∈的图象关于原点对称，且在R 上单调递增．（1）求()f x 表达式；（2）求满足(1)(34)0f a f a ++-<的a 的取值范围．【分析】（1）由题意可得9﹣3m ＞0，解不等式可得m 的整数解，结合题意可得m ，即有函数的解析式； （2）由（1）可得奇函数f （x ）在R 上单调递增，原不等式可化为a +1＜4﹣3a ，解不等式即可得到所求范围．【答案】解：（1）幂函数f （x ）＝x 9﹣3m （m ∈N *）的图象关于原点对称， 且在R 上单调递增， 可得9﹣3m ＞0， 解得m ＜3，m ∈N *， 可得m ＝1，2，若m ＝1，则f （x ）＝x 6的图象不关于原点对称，舍去； 若m ＝2，则f （x ）＝x 3的图象关于原点对称， 且在R 上单调递增，成立． 则f （x ）＝x 3；（2）由（1）可得奇函数f （x ）在R 上单调递增， f （a +1）+f （3a ﹣4）＜0，可得f （a +1）＜﹣f （3a ﹣4）＝f （4﹣3a ）， 即为a +1＜4﹣3a ， 解得a ＜．【点睛】本题考查幂函数的解析式的求法，以及函数的奇偶性和单调性的判断和运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题．【变式训练2】（2019秋•静宁县校级期中）已知函数()f x 是幂函数，()f x 在(,0)-∞上是减函数，且3((2))8f f =（1）求函数()f x 的解析式（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由（3）若函数23()[()]()g x f x ax a R -=-∈在[1，2]上的最小值为14-，求实数a 的值．【分析】（1）用待定系数法求得幂函数f （x ）的解析式； （2）根据奇偶性的定义判断函数f （x ）是定义域上的奇函数；（3）求出函数g （x ）的解析式，讨论a 的取值范围，利用g （x ）在区间[1，2]上的最小值求出a 的值． 【答案】解：（1）设幂函数f （x ）＝x α，α为常数；∴f（）＝＝，∴f（f（））＝＝8，∴＝3，解得α＝±3；又f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，∴α＝﹣3，∴f（x）＝x﹣3；（2）函数f（x）＝x﹣3，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）；任取x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），则f（﹣x）＝（﹣x）﹣3＝﹣x﹣3＝﹣f（x），∴函数f（x）是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数；（3）函数g（x）＝[f（x）]﹣ax＝x2﹣ax（a∈R）；则函数g（x）＝x2﹣ax的对称轴为x＝，当＜1，即a＜2时，函数g（x）在区间[1，2]上单调递增，g（x）的最小值为g（1）＝1﹣a＝﹣，解得a＝，满足题意；当1≤≤2，即2≤a≤4时，函数g（x）在区间[1，2]上的最小值为g（）＝﹣＝﹣a2＝﹣，解得a＝±1（不合题意，舍去）；当＞2，即a＞4时，函数g（x）在区间[1，2]上单调递减，g（x）的最小值为g（2）＝4﹣2a＝﹣，解得a＝（不合题意，舍去）；综上，a＝．【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，也考查了函数的奇偶性和单调性、最值的应用问题，是中档题．三、课后作业1．如果幂函数f（x）=xα的图象经过点139⎛⎫⎪⎝⎭，，则α=A ．–2B ．2C ．12-D ．12【答案】A2．若幂函数f （x ）的图象经过点（4，12），则f （14）的值是 A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】设幂函数f （x ）=x α，其图象过点（4，12），∴4α=12，解得α=–12，∴f （x ）=12x -，∴f （14）=1214-⎛⎫⎪⎝⎭=2．故选C ．3．幂函数的图象经过点333⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，则f （2）的值等于A ．4B ．14C ．2D ．22【答案】D【解析】幂函数f （x ）=x n的图象经过点333⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，可得3n =33，解得n =–12，则f （2）=21222-=，故选D ． 4．函数()21f x x=的单调递增区间为 A ．（–∞，0] B ．[0，+∞）C ．（0，+∞）D ．（–∞，0）【答案】D5．若幂函数y =f （x ）经过点333⎛ ⎝⎭，，则此函数在定义域上是A ．增函数B ．减函数C ．偶函数D ．奇函数【答案】B【解析】幂函数y =f （x ）是经过点3⎛ ⎝⎭，设幂函数为y =x α，将点代入可得3α，得到12α=-，此时函数12y x -=是（0，+∞）的减函数．故选B ．6．若函数f （x ）=（m 2–m –1）x m 是幂函数，且图象与坐标轴无交点，则f （x ） A ．是偶函数B ．是奇函数C ．是单调递减函数D ．在定义域内有最小值【答案】B【解析】幂函数f （x ）=（m 2–m –1）x m 的图象与坐标轴无交点，可得m 2–m –1=1，且m ≤0，解得m =–1，则函数f （x ）=x –1．是奇函数，在定义域上不是减函数，且无最值．故选B ．7．幂函数f （x ）=x α的图象经过点(3，则实数α=___________． 【答案】12【解析】∵幂函数f （x ）=x a 的图象经过点（3），∴（3）a a =12，故答案为：12． 8．幂函数y =f （x ）的图象经过点144⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则14f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为___________． 【答案】4【解析】根据题意，设幂函数f （x ）=x a ，幂函数y =f （x ）的图象经过点144⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则有14=4a，则a =–1，则f （x ）=x –1，14f ⎛⎫⎪⎝⎭=（14）–1=4；故答案为：4． 9．已知幂函数f （x ）经过点（2，8），则f （3）=___________． 【答案】27【解析】设f （x ）=x n ，由题意可得2n =8，解得n =3，则f （x ）=x 3，f （3）=33=27，故答案为：27． 10．函数()322(6)f x x x =--的单调递减区间为A ．122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．132⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，D ．12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，【答案】A【解析】由题意，得26012x xx⎧--≥⎪⎨-≥-⎪-⎩，解得–12≤x≤2，故选A．11．已知点18a⎛⎫⎪⎝⎭，在幂函数f（x）=（a–1）x b的图象上，则函数f（x）是A．定义域内的减函数B．奇函数C．偶函数D．定义域内的增函数【答案】B【解析】点（a，18）在幂函数f（x）=（a–1）x b的图象上，∴a–1=1，解得a=2，故2b=18，解得b=–3，∴f（x）=x–3，∴函数f（x）是定义域上的奇函数，且在每一个区间内是减函数．故选B．12．已知点（a，12）在幂函数f（x）=（a–1）x b的图象上，则函数f（x）是A．奇函数B．偶函数C．定义域内的减函数D．定义域内的增函数【答案】A【解析】点12a⎛⎫⎪⎝⎭，在幂函数f（x）=（a–1）x b的图象上，∴a–1=1，解得a=2，又2b=12，解得b=–1，∴f（x）=x–1，∴函数f（x）是定义域上的奇函数，且在每一个区间内是减函数．故选A．学科&网13．已知幂函数f（x）=x a的图象经过函数g（x）=a x–2–12（a>0且a≠1）的图象所过的定点，则幂函数f（x）不具有的特性是A．在定义域内有单调递减区间B．图象过定点（1，1）C．是奇函数D．其定义域是R【答案】D14．若函数f（x）=（m+2）x a是幂函数，且其图象过点（2，4），则函数g（x）=log a（x+m）的单调增区间为A ．（–2，+∞）B ．（1，+∞）C ．（–1，+∞）D ．（2，+∞）【答案】B【解析】由题意得：m +2=1，解得：m =–1，故f （x ）=x a ，将（2，4）代入函数的解析式得：2a =4，解得：a =2，故g （x ）=log a （x +m ）=log 2（x –1），令x –1>0，解得：x >1，故g （x ）在（1，+∞）递增，故选B ． 15．已知函数()12f x x=，则A ．存在x 0∈R ，使得f （x ）<0B ．对于任意x ∈[0，+∞），f （x ）≥0C ．存在x 1，x 2∈[0，+∞），使得()()12120f x f x x x -<-D ．对于任意x 1∈[0，+∞），∃x 2∈[0，+∞）使得f （x 1）>f （x 2） 【答案】B【解析】由函数()12f x x=，知，在A 中，f （x ）≥0恒成立，故A 错误；在B 中，∀x [（0，+∞），f （x ）≥0，故B 正确；在C 中，∃x 1，x 2∈[0，+∞），使得()()1212f x f x x x -->0，故C 错误；在D 中，当x 1=0时，不存在x 2∈[0，+∞）使得f （x 1）>f （x 2），故D 不成立．故选B ． 16．已知幂函数()22422m my m m x +=--的图象关于原点对称且与x 轴、y 轴均无交点，则整数m 的值为___________． 【答案】–1【解析】()22422m my m m x+=--为幂函数，∴m 2–2m –2=1，解得m =–1或m =3；当m =–1时，函数y =x –3的图象关于原点对称且与x 轴、y 轴均无交点，当m =3时，函数y =x 21的图象关于原点对称，与x 轴、y 轴有交点，综上整数m 的值为–1．故答案为：–1．17．幂函数f （x ）=（t 3–t +1）x 3t +1是奇函数，则f （2）=___________． 【答案】2【解析】函数f （x ）=（t 3–t +1）x 3t +1是幂函数，∴t 3–t +1=1，解得t =0或t =±1；当t =0时，f （x ）=x 是奇函数，满足题意；当t =1时，f （x ）=x 4是偶函数，不满足题意；当t =–1时，f （x ）=x –2是偶函数，不满足题意．综上，f （x ）=x ；∴f （2）=2．故答案为：2．18．已知33255()(3)m m m +≤-，求实数m 的取值范围． 【答案】m ∈[–3，1]19．已知幂函数f （x ）=x 21()mm -+（m ∈N *）的图象经过点(22，．（1）试求m 的值，并写出该幂函数的解析式；（2）试求满足f （1+a ）>f （3a a 的取值范围． 【答案】（1）m =1，f （x ）x x ∈[0，+∞）；（2）（1，9]． 【解析】（1）∵幂函数f （x ）的图象经过点(22，， 21()22mm -+=，即m 2+m =2，解得m =1或m =–2， ∵m ∈N *，故m =1，故f （x ）x ，x ∈[0，+∞）； （2）∵f （x ）在[0，+∞）递增， 由f （1+a ）>f （3a得103013a a a a+≥⎧⎪≥⎨⎪+>⎩， 解得1<a ≤9，故a 的范围是（1，9]．20．已知幂函数f （x ）=（m 3–m +1）x ()21182m m --的图象与x 轴和y 轴都无交点．（1）求f （x ）的解析式；（2）解不等式f（x+1）>f（x–2）．【答案】（1）f（x）=x–4；（2）{x|x<12，x≠0}．【解析】（1）因为f（x）是幂函数，所以m3–m+1=1，解得m∈{0，±1}，又f（x）的图象与x轴和y轴都无交点，经检验只有当m=1时符合题意，此时f（x）=x–4；（2）f（x）=x–4是偶函数且在（0，+∞）递减，所以要使f（x+1）>f（x–2）成立，学科&网只需|x+1|<|x–2|，解得x<12，又f（x）的定义域为{x|x≠0}，所以不等式的解集为{x|x<12，x≠0}．21．已知f（x）=（m2–m–1）x–5m–1是幂函数，且在区间（0，+∞）上单调递增．（1）求m的值；（2）解不等式f（x–2）>16．【答案】（1）m=–1；（2）x>4或x<0．22．已知幂函数f（x）=xα（α∈R），且1222f⎛⎫=⎪⎝⎭．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明函数f（x）在定义域上是增函数．【答案】（1）()f x x =；（2）证明详见解析．【解析】（1）由12()22α=，得12α=，所以()f x x =；（2）函数f （x ）的定义域是[0，+∞）， 设任意的x 2>x 1≥0，则()()21212121x x f x f x x x x x --=-=+，∵212100x x x x -+＞，＞， ∴f （x 2）>f （x 1），函数f （x ）在定义域上是增函数．23．（2018•上海）已知α∈{–2，–1，–1122，，1，2，3}，若幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=__________． 【答案】–1。
《幂函数》 讲义
《幂函数》讲义一、幂函数的定义形如y ＝x^α（α 为常数）的函数，叫做幂函数。
其中x 是自变量，α 是常数。
需要注意的是，幂函数的系数必须为 1 ，例如 y ＝ 2x^3 就不是幂函数，而 y ＝ x^3 就是幂函数。
二、幂函数的图像1、当α ＞ 0 时（1）当α 为整数时若α 为偶数，幂函数的图像在第一、二象限，关于 y 轴对称，在第一象限，函数单调递增；在第二象限，函数单调递减。
例如，y ＝ x^2 的图像是一个开口向上的抛物线，顶点在原点，对称轴为 y 轴。
若α 为奇数，幂函数的图像在第一、三象限，关于原点对称，在第一象限，函数单调递增；在第三象限，函数单调递减。
比如，y ＝x^3 的图像是一个经过原点，穿过第一、三象限的曲线。
（2）当α 为分数时若α 的分子为奇数，分母为偶数，幂函数的图像在第一象限，函数单调递增。
若α 的分子为偶数，分母为奇数，幂函数的图像在第一象限，函数单调递增，且图像在 x 轴上方。
2、当α ＜ 0 时幂函数的图像在第一、二象限，在第一象限，函数单调递减。
例如，y ＝ x^（－1) ，也就是 y ＝ 1/x ，其图像是双曲线，分布在第一、三象限。
三、幂函数的性质1、定义域当α 为整数时，定义域为 R；当α 为分数时，分母为偶数时，定义域为 0, ＋∞），分母为奇数时，定义域为 R。
2、值域与定义域和α 的取值有关。
3、奇偶性当α 为整数时，若α 为偶数，函数为偶函数；若α 为奇数，函数为奇函数。
当α 为分数时，需要根据具体情况判断奇偶性。
4、单调性当α ＞ 0 时，函数在第一象限单调递增；当α ＜ 0 时，函数在第一象限单调递减。
四、幂函数的应用1、在物理学中的应用例如在研究自由落体运动时，下落的距离与时间的关系可以用幂函数来表示。
2、在经济学中的应用如成本与产量的关系，可能符合幂函数的特征。
3、在数学建模中的应用通过建立幂函数模型来解决实际问题，如人口增长、资源消耗等。
高三数学幂函数试题答案及解析
高三数学幂函数试题答案及解析1.若，则满足的取值范围是 .【答案】【解析】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此的解集为.【考点】幂函数的性质.2.已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1,2a]，则y＝f(x)的值域为______．【答案】[1，]【解析】∵f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，∴其定义域[a－1,2a]关于原点对称，∴即a－1＝－2a，∴a＝，∵f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，即f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴f(x)＝x2＋1，x∈[－，]，其值域为{y|1≤y≤}．3.已知函数f(x)＝x2－2ax＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，则实数a的取值范围为______．【答案】[2,3]【解析】函数f(x)＝(x－a)2＋5－a2在(－∞，2]上是减函数，∴a≥2，函数f(x)在[1，a]上是减函数，在[a，a＋1]上是增函数，要使x1，x2∈[1，a＋1]时，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，只要又f(1)≥f(a＋1)，∴只要f(1)－f(a)≤4，即(6－2a)－(5－a2)≤4，解得－1≤a≤3.又a≥2，故2≤a≤3.4.（5分）（2011•陕西）函数的图象是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先找出函数图象上的特殊点（1，1），（8，2），（，），再判断函数的走向，结合图形，选出正确的答案．解：函数图象上的特殊点（1，1），故排除A，D；由特殊点（8，2），（，），可排除C．故选B．点评：幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质，把握幂函数的关键点（1，1）和利用直线y=x来刻画其它幂函数在第一象限的凸向．5.若a＋a－1＝3，则－a－＝______．【答案】±4【解析】－a－＝(－a－)(a＋a－1＋1)．∵(－a－)2＝a＋a－1－2＝1，∴(－a－)＝±1，∴原式＝(±1)×(3＋1)＝±4.6.幂函数的图像经过点，则的值为 .【答案】2【解析】本题要求出幂函数的表达式，才能求出函数值，形如的函数叫幂函数，故，，因此．【考点】幂函数的定义．7.幂函数的图像经过点，则的值为 .【答案】2【解析】本题要求出幂函数的表达式，才能求出函数值，形如的函数叫幂函数，故，，因此．【考点】幂函数的定义．8.幂函数y＝f(x)的图像经过点(4，)，则f()的值为()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】设幂函数，由，得.【考点】幂函数9. .当α∈{－1，，1,3}时，幂函数y＝xα的图像不可能经过__________象限．【答案】第二、第四【解析】因为幂函数y＝x-1，y=x，y=x3，y=的图象在第一或第三象限，所以，满足条件的幂函数y＝xα的图像不可能经过第二、第四象限．【考点】幂函数的图象.10.已知函数,其中是取自集合的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为_____．【答案】【解析】所取的值有6种等可能的结果：，，，，，，使函数为偶函数的所取的值有，，所以所求的概率为.【考点】幂函数、函数的奇偶性.11.下图给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是A．B．C．D．【答案】B【解析】通过②的图象的对称性判断出②对应的函数是偶函数；①对应的幂指数大于1，通过排除法得到选项．解：②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项C，D,①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A,故选B【考点】幂函数的性质点评：本题考查幂函数的性质、考查幂函数的图象取决于幂指数．12.已知幂函数的部分对应值如图表：则不等式的解集是【答案】【解析】将（）代入得，，所以，，其定义域为，为增函数，所以可化为，解得，故答案为。
高一上数学必修一第四章《4.4幂函数》知识点梳理
高一上必修二第四章《指数函数、对数函数与幂函数》知识点梳理§4.4 幂函数学习目标 1.了解幂函数的概念.2.掌握y ＝x α(α＝－1，12，1，2，3)的图像与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．知识点一 幂函数的概念一般地，函数y ＝x α称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．提醒 幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．知识点二 幂函数的图像和性质1．幂函数的图像在同一平面直角坐标系中，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝，y ＝x －1的图像如图．2．五个幂函数的性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝y ＝x －1定义域R R R [0，＋∞){x |x ≠0}值域R [0，＋∞)R [0，＋∞){y |y ≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上是增函数在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0]上是减函数在R 上是增函数在[0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是减函数12x 12x公共点(1,1)1．y ＝－1x 是幂函数．( × )2．当x ∈(0,1)时，x 2>x 3.( √ )3．y ＝与y ＝定义域相同．( × )4．若y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.( √ )一、幂函数的概念例1 (1)(多选)下列函数为幂函数的是( )A ．y ＝x 3 B ．y ＝(12)xC ．y ＝4x 2D ．y ＝x答案 AD解析 B 项为指数函数，C 中的函数的系数不为1，AD 为幂函数．(2)已知y ＝(m 2＋2m －2)＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．解 由题意得Error!解得Error!或Error!所以m ＝－3或1，n ＝32.反思感悟 判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.跟踪训练1 已知f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，则a ＋b 等于( )A ．2 B ．1 C.12 D ．0答案 A解析 因为f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，所以a ＝1，－b ＋1＝0，即a ＝1，b ＝1，则a ＋b ＝2.32x 64x 22m x二、幂函数的图像例2 如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图像，已知n 取±2，±12四个值，则对应于c 1，c 2，c 3，c 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12答案 B解析 根据幂函数y ＝x n 的性质，故c 1的n ＝2，c 2的n ＝12，当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线c 3的n ＝－12，曲线c 4的n ＝－2.反思感悟 解决幂函数图像问题应把握的两个原则(1)依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图像越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图像越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图像确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像(类似于y ＝x －1 或y ＝或y ＝x 3)来判断．跟踪训练2 函数f (x )＝的大致图像是( )答案 A解析 因为－12<0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，排除选项B ，C ；又f (x )的定义域为(0，＋∞)，故排除选项D.三、比较幂值的大小12x 12x例3 比较下列各组数中两个数的大小：(1)(25)0.5与(13)0.5；(2)(－23)－1与(－35)－1；(3)与.解 (1)∵幂函数y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又25>13，∴(25)0.5>(13)0.5.(2)∵幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35，∴(－23)－1>(－35)－1.(3)∵函数y 1＝(23)x为R 上的减函数，又34>23，∴>.又∵函数y 2＝在(0，＋∞)上是增函数，且34>23，∴>，∴>.反思感悟 比较幂值大小的方法跟踪训练3 比较下列各组值的大小：(1)，；(2)，，1.42.解 (1)∵y ＝为R 上的偶函数，∴＝.又函数y ＝为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，3423⎛⎫⎪⎝⎭2334⎛⎫⎪⎝⎭2323⎛⎫ ⎪⎝⎭3423⎛⎫ ⎪⎝⎭23x 2334⎛⎫⎪⎝⎭2323⎛⎫ ⎪⎝⎭2334⎛⎫ ⎪⎝⎭3423⎛⎫⎪⎝⎭()650.31-650.35121.2121.465x ()650.31-650.3165x∴<，即<.(2)∵y ＝在[0，＋∞)上是增函数，且1.2<1.4，∴<.又∵y ＝1.4x 为增函数，且12<2，∴<1.42，∴<<1.42.幂函数性质的应用典例 已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N ＋)的图像关于y 轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足的a 的取值范围．解 因为函数y ＝x 3m －9在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0，解得m <3.又因为m ∈N ＋，所以m ＝1,2.因为函数的图像关于y 轴对称，所以3m －9为偶数，故m ＝1.则原不等式可化为.因为y ＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.故a 的取值范围是Error!.[素养提升] (1)幂函数y ＝x α中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值．(2)通过具体实例抽象出幂函数的概念和性质，并应用单调性求解，体现了数学中数学运算与直观想象的核心素养．650.31650.35()650.31-650.3512x 121.2121.4121.4121.2121.433(1)(32)m m a a --+<-1133(1)(32)a a --+<-13x-1．下列函数是幂函数的是( )A ．y ＝5x B ．y ＝x 5C ．y ＝5x D ．y ＝(x ＋1)3答案 B解析 函数y ＝5x 是指数函数，不是幂函数；函数y ＝5x 是正比例函数，不是幂函数；函数y ＝(x ＋1)3的底数不是自变量x ，不是幂函数；函数y ＝x 5是幂函数．2．幂函数y ＝x α(α∈R )的图像一定不经过( )A ．第四象限 B ．第三象限C ．第二象限 D ．第一象限答案 A解析 由幂函数的图像可知，其图像一定不经过第四象限．3．设α∈{－1，1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3答案 A解析 可知当α＝－1,1,3时，y ＝x α为奇函数，又因为y ＝x α的定义域为R ，则α＝1,3.4．已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图像过点(12，2)，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2答案 A解析 ∵幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图像过点(12，2)，∴k ＝1，f(12)＝(12)α＝2，即α＝－12，∴k ＋α＝12.5．已知f (x )＝，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f(1a )<f(1b)B ．f (1a )<f(1b )<f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f (1b )<f(1a )D ．f (1a )<f (a )<f(1b )<f (b )12x答案 C解析 因为函数f (x )＝在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1<1b <1a ，故f (a )<f (b )<f(1b )<f(1a).1．知识清单：(1)幂函数的概念．(2)幂函数的图像．(3)幂函数的性质及其应用．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：幂函数与指数函数的区别；幂函数的奇偶性．1．幂函数f (x )＝x α的图像经过点(2,4)，则f (－12)等于( )A.12B.14 C ．－14 D ．2答案 B解析 幂函数f (x )＝x α的图像经过点(2,4)，则2α＝4，解得α＝2；∴f (x )＝x 2，∴f (－12)＝(－12)2＝14.2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2 D ．y ＝答案 A解析 所给选项都是幂函数，其中y ＝x －2和y ＝x 2是偶函数，y ＝x －1和y ＝不是偶函数，故排除选项B ，D ，又y ＝x 2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y ＝x －2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意．3．设a ＝，b ＝，c ＝，则a ，b ，c 的大小关系是( )12x 13x13x 2535⎛⎫ ⎪⎝⎭3525⎛⎫⎪⎝⎭2525⎛⎫⎪⎝⎭A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a答案 A解析 ∵y ＝(x >0)为增函数，又35>25，∴a >c .∵y ＝(25)x (x ∈R )为减函数，又25<35，∴c >b .∴a >c >b .4．在同一坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax －1a的图像可能是( )答案 C解析 选项A 中，幂函数的指数a <0，则y ＝ax －1a 应为减函数，A 错误；选项B 中，幂函数的指数a >1，则y ＝ax －1a 应为增函数，B 错误；选项D 中，幂函数的指数a <0，则－1a >0，直线y ＝ax －1a在y 轴上的截距为正，D 错误．5．若幂函数f (x )的图像过点(2，2)，则函数g (x )＝f (x )－3的零点是( )A.3 B ．9 C ．(3，0) D ．(9,0)答案 B解析 ∵幂函数f (x )＝x α的图像过点(2，2)，∴f (2)＝2α＝2，解得α＝12，∴f (x )＝，∴函数g (x )＝f (x )－3＝－3，由－3＝0，得x ＝9.∴函数g (x )＝f (x )－3的零点是9.6．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如表：x11225x 12x 12x 12xf (x )122则f (x )的单调递增区间是________．答案 [0，＋∞)解析 因为f(12)＝22，所以(12)α＝22，即α＝12，所以f (x )＝的单调递增区间是[0，＋∞)．7．已知幂函数f (x )＝x α(α∈R )的图像经过点(8,4)，则不等式f (6x ＋3)≤9的解集为________．答案 [－5,4]解析 由题意知8α＝4，故α＝log 84＝23，由于f (x )＝＝x 2为R 上的偶函数且在(0，＋∞)上递增，故f (6x ＋3)≤9即为f (6x ＋3)≤f (27)，所以|6x ＋3|≤27，解得－5≤x ≤4.8．设a ＝，b ＝，c ＝，则a ，b ，c 从小到大的顺序是________．答案 b <a <c解析 由a ＝，b ＝，可利用幂函数的性质，得a >b ，可由指数函数的单调性得c >a ，∴b <a <c .9．已知幂函数f (x )＝x α的图像过点P (2，14)，试画出f (x )的图像并指出该函数的定义域与单调区间．解 因为f (x )＝x α的图像过点P (2，14)，所以f (2)＝14，即2α＝14，得α＝－2，即f (x )＝x －2，f (x )的图像如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调递减区间为(0，＋∞)，单调递增区间为(－∞，0)．10．已知幂函数f (x )＝x 9－3m (m ∈N ＋)的图像关于原点对称，且在R 上单调递增．(1)求f (x )的解析式；(2)求满足f (a ＋1)＋f (3a －4)<0的a 的取值范围．解 (1)由幂函数f (x )＝x 9－3m (m ∈N ＋)的图像关于原点对称，且在R上单调递增，可得9－3m >0，解得m <3，m ∈N ＋，可得m ＝1,2，12x 23x 2312⎛⎫⎪⎝⎭2315⎛⎫ ⎪⎝⎭1312⎛⎫⎪⎝⎭2312⎛⎫ ⎪⎝⎭2315⎛⎫⎪⎝⎭若m ＝1，则f (x )＝x 6的图像不关于原点对称，舍去；若m ＝2，则f (x )＝x 3的图像关于原点对称，且在R 上单调递增，成立．则f (x )＝x 3.(2)由(1)可得f (x )是奇函数，且在R 上单调递增，由f (a ＋1)＋f (3a －4)<0，可得f (a ＋1)<－f (3a －4)＝f (4－3a )，即为a ＋1<4－3a ，解得a <34.11．若函数f (x )＝(m ＋2)x a 是幂函数，且其图像过点(2,4)，则函数g (x )＝ log a (x ＋m )的单调递增区间为( )A ．(－2，＋∞) B ．(1，＋∞)C ．(－1，＋∞) D ．(2，＋∞)答案 B解析 由题意得m ＋2＝1，解得m ＝－1，则f (x )＝x a ，将(2,4)代入函数的解析式得，2a ＝4，解得a ＝2，故g (x )＝log a (x ＋m )＝log 2(x －1)，令x －1>0，解得x >1，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增．12．函数y ＝－1的图像关于x 轴对称的图像大致是( )答案 B解析 y ＝的图像位于第一象限且为增函数，所以函数图像是上升的，函数y ＝－1的图像可看作由y ＝的图像向下平移一个单位长度得到的(如选项A 中的图所示)，将y ＝－1的图像关于x 轴对称后即为选项B.13．为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y ＝x α(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________．答案 9解析 由题意可知加密密钥y ＝x α(α为常数)是一个幂函数，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值．由题意，得2＝4α，解得α＝12，则y ＝.由＝3，得x ＝9，即明文是9.14．已知幂函数f (x )＝，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．12x 12x 12x 12x 12x 12x 12x 12x答案 (3,5)解析 ∵f (x )＝＝1x(x >0)，易知f (x )在(0，＋∞)上为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )，∴Error!解得Error!∴3<a <5.15.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图像三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么，αβ等于________．答案 1解析 由条件，得M (13，23)，N (23，13)，可得13＝(23)α，23＝(13)β，即α＝13，β＝23.所以αβ＝13·23＝lg 13lg 23·lg 23lg 13＝1.16．已知幂函数g (x )过点(2，12)，且f (x )＝x 2＋ag (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由．解 (1)设幂函数的解析式g (x )＝x α(α为常数)．因为幂函数g (x )过点(2，12)，所以2α＝12，解得α＝－1，所以g (x )＝1x.(2)由(1)得f (x )＝x 2＋a x.①当a ＝0时，f (x )＝x 2.12x 23log 13log 23log 13log由于f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，可知f(x)为偶函数．②当a≠0时，由于f(－x)＝(－x)2＋a－x＝x2－ax≠x2＋ax＝f(x)，且f(－x)＝(－x)2＋a－x＝x2－ax≠－(x2＋a x)＝－f(x)，所以f(x)是非奇非偶函数．综上，①当a＝0时，f(x)为偶函数；②当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数．。
3-3 幂函数(精讲)(解析版)
3.3 幂函数（精讲）思维导图常见考法考点一 幂函数的概念【例1】（1）（2020·全国高一课时练习）在函数21y x=，22y x =，2y x x =+，1y =中，幂函数的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3（2）．（2021·福建高一期末）若函数1()|1|m f x m x +=-是幂函数，则m =（ ） A ．0B ．1C ．0或2D ．1或2【答案】（1）B （2）C 【解析】（1）因为221y x x-==，所以是幂函数； 22y x =由于出现系数2，因此不是幂函数； 2y x x =+是两项和的形式，不是幂函数；01y x ==（0x ≠），可以看出，常数函数1y =的图象比幂函数0y x =的图象多了一个点(0,1)，所以常数函数1y =不是幂函数.故选：B .（2）若函数1()|1|m f x m x +=-是幂函数， 则11m -=，解得：0m =或2m =， 当0m =时，()f x x =符合题意， 当2m =时3()f x x =符合题意， 所以0m =或2，故选：C 【一隅三反】1．（2021·陕西高一期末）已知函数()()()2211 n n f x n n xn Z -+=--∈为幂函数，则()2f =___.【答案】8【解析】由于函数()()()2211 n n f x n n xn Z -+=--∈为幂函数，则211n n --=，即220n n --=，n Z ∈，解得1n =-或2，所以，()3f x x =，因此，()3228f ==.故答案为：8.2（2021年广东湛江）在函数y ＝1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为【答案】1【解析】∵y ＝1x 2＝x －2，∵是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数． 3.（2021年广东潮州）已知y ＝(m 2＋2m －2)22m x-＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．【答案】见解析【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－3，n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝32.所以m ＝－3或1，n ＝32.考点二 幂函数的三要素【例2】（1）（四川省成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高一下学期开学考试数学试题）若幂函数()f x 的图象过点19,3⎛⎫⎪⎝⎭，则()12f =___________．（2）（2021·上海高一课时练习）在函数①75y x =；②56y x =；③47y x =；④25y x -=；⑤13y x -=；⑥23y x =中定义域与值域相等的有_________个. 【答案】（1）36（2）3 【解析】（1）设()f x x α=，则1(9)93f α==，12α=-，所以12()f x x -=， 所以123(12)126f -==．故答案为：36（2）①75y x =的定义域为R ，值域为R .②56y x =的定义域为[)0+∞，，值域为[)0+∞，. ③47y x =的定义域为R ，值域为[)0+∞，. ④25y x -=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，值域为(0+)∞，. ⑤13y x-=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，值域为(,0)(0,)-∞+∞.⑥23y x =的定义域为R ，值域为[)0+∞，. 故定义域与值域相等的有①, ②和⑤ 故答案为：3 【一隅三反】1．（2021·安徽高一期末）已知点()4,8P 在幂函数()f x 的图象上，则()5f 等于_______________. 【答案】55【解析】由题意，可设()n f x x =，又()4,8P 在()f x 上，∴48n =，即32n =，∴32(5)555f ==， 故答案为：55.2.．（专题4.3幂函数（A 卷基础篇））设α∈11,132⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，，，则使函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为（ ） A ．1,3 B ．－1,1 C ．－1,3 D ．－1,1,3【答案】A【解析】当1α=-时，函数y ＝1x -的定义域为{}|0x x ≠，不是R ，所以1α=-不成立； 当12α=时，函数y ＝12x 的定义域为{}|0x x ≥，不是R ，所以12α=不成立； 当1α=或3α=时，满足函数y ＝x α的定义域为R ，故选：A.考点三 幂函数的性质【例3】（1）（2021·广西高一期末）幂函数()f x x α=的图象过点(9,3)，那么函数()f x 的单调递增区间是（ ） A ．(2,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．[0,)+∞D ．(,2)-∞-（2）（2021·安徽高一开学考试）已知幂函数()()233mf x m m x =-+是偶函数，则()2f =________.（3）（2021·安徽省安庆九一六学校高一开学考试）已知幂函数()(1)n f x a x =-的图象过点(2,8)，且(2)(12)f b f b -<-，则b 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞（4）（2021·上海高一期末）幂函数1y x -=，及直线,1,1y x y x ===将直角坐标系第一象限分成八个“卦限： I, II, III,IV, V, VI, VII, VIII （如图所示），那么，而函数13y x -=的图象在第一象限中经过的“卦限”是（ ）A ． IV,VIIB ． IV,VIIIC ． III, VIIID ．III, VII 【答案】（1）C （2）4（3）C （4）B【解析】（1）因为幂函数过点(9,3)，所以()993f α==，解得12α=，所以()f x x =，那么可知函数的增区间为[0,)+∞．故选：C（2）因为函数()f x 为幂函数，所以2331m m -+=，解得1m =或2m =. 当1m =时，()f x x =，函数()f x 为奇函数，不合题意；当2m =时，()2f x x =，函数()f x 为偶函数，所以()24f =.故答案为：4.（3）因为幂函数()(1)n f x a x =-的图像过点(2,8)，所以1128n a -=⎧⎨=⎩，所以23a n =⎧⎨=⎩，所以3()f x x =，由于函数3()f x x =在R 上单调递增，所以(2)(12)212f b f b b b -<-⇔-<-，解得：1b <．故b 的取值范围是(,1)-∞.故选：C.（4）对于幂函数13y x -=，因为103-< ，所以13y x -=在第一象限单调递减，根据幂函数的性质可知：在直线1x =的左侧，幂函数的指数越大越接近y 轴 ，因为113->-，所以13y x -=的图象比1y x -=的图象更接近y 轴 ，所以进过第IV 卦限， 在直线1x =的右侧，幂函数的指数越小越接近x 轴，因为1103-<-<，所以13y x -=的图象位于1y x -=和1y =之间，所以经过VIII 卦限， 所有函数13y x -=的图象在第一象限中经过的“卦限”是IV,VIII ， 故选：B【一隅三反】1．（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）幂函数()()22222mf x m m x-=--在()0,∞+为增函数，则m 的值是（ ） A ．1- B ．3C ．1-或3D ．1或3-【答案】B 【解析】()f x 为幂函数，2221m m ∴--=，解得：1m =-或3m =；当1m =-时，()1f x x -=，则()f x 在()0,∞+上为减函数，不合题意； 当3m =时，()7=f x x ，则()f x 在()0,∞+上为增函数，符合题意；综上所述：3m =.故选：B.2．（2021·重庆巴蜀中学高一期末）已知幂函数()()231mf x m m x =--在其定义域内不单调，则实数m =（ ）A ．23-B ．1C ．23D ．1-【答案】A【解析】由幂函数定义，2311m m --=，解得：23m =-或1m =，又()f x 在定义域内不单调，所以23m =-，故选：A ．3．（2021·四川高一期末）若幂函数()()223,p p f x qx q R p Z -++=∈∈在()0,∞+上是增函数，且在定义域上是偶函数，则p q +=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】因为()()223,p p f x qx q R p Z -++=∈∈是幂函数，所以1q =；又()()223pp f x x p Z -++=∈在()0,∞+上是增函数，所以2230p p -++>，解得13p -<<，因为p Z ∈， 所以0p =或1或2，当0p =时，()3f x x =，因为()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以()3f x x =是奇函数，不满足题意，舍去；当1p =时，()4f x x =，因为()()()44f x x x f x -=-==，所以()4f x x =是偶函数，满足题意；当2p =时，()3f x x =是奇函数，不满足题意，舍去；故1p =，所以2p q +=.故选：C.4．（2021·上海高一期末）在同一直角坐标系中，二次函数2y ax bx =+与幂函数(0)ba y x x =>图像的关系可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】对于A ，二次函数2y ax bx =+开口向上，则0a >，其对称轴bx 02a =->，则0b a<，即幂函数(0)bay x x =>为减函数，符合题意；对于B ， 二次函数2y ax bx =+开口向下，则0a <，其对称轴bx 02a =->，则0b a<，即幂函数(0)b a y x x =>为减函数，不符合题意；对于C ，二次函数2y ax bx =+开口向上，则0a >，其对称轴12b x a=-=-，则2ba =，即幂函数(0)b a y x x =>为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意；对于D ， 二次函数2y ax bx =+开口向下，则0a <，其对称轴122b x a =->-，则01ba<<，即幂函数(0)b ay x x =>为增函数，且其增加的越来越慢快，不符合题意； 故选：A5．（2021·全国高一课时练习）（多选）已知幂函数(*(),mnf x x m n =∈N，m ，n 互质），下列关于()f x 的结论正确的是（ ）A ．当m ，n 都是奇数时，幂函数()f x 是奇函数B ．当m 是偶数，n 是奇数时，幂函数()f x 是偶函数C ．当m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数D ．当01mn<<时，幂函数()f x 在(0,)+∞上是减函数 【答案】AB【解析】()mn m n f x x x ==，当m ，n 都是奇数时，幂函数()f x 是奇函数，故A 中的结论正确； 当m 是偶数，n 是奇数时，幂函数()f x 是偶函数，故B 中的结论正确； 当m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 在0x <时无意义；故C 中的结论错误； 当01mn<<时，幂函数()f x 在()0.+∞上是增函数，故D 中的结论错误． 故选AB ．6．（2021·海南省）（多选）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．y x = B ．3y x =C ．1y x=-D ．4y x =【答案】AB【解析】对于选项A ：y x =是奇函数且是增函数，故选项A 正确； 对于选项B ：3y x =是奇函数且是增函数，故选项B 正确； 对于选项C ：1y x=-是奇函数，在(),0-∞和()0,∞+单调递增，但在定义域内不是增函数，故选项C 不正确； 对于选项D ：4y x =是偶函数，不符合题意，故选项D 不正确； 故选：AB7（2021·广东高一期末）已知幂函数21()m f x x +=过点(3,27)，若()23(98)0f k f k ++-<，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】(2,6) 【解析】幂函数21()m f x x +=过点(3,27)，21333m +∴=， 1m ∴=，幂函数3()f x x =，显然()f x 是奇函数，且在R 上单调递增． 若2(3)(98)0f k f k ++-<，则不等式即2(3)(89)f k f k +<-，2389k k ∴+<-，26k ∴<<，故答案为：(2,6)．考点四 幂函数的综合运用【例4】（2021·湖南高一月考）已知幂函数()()2144m f x m m x +=+-在区间0,上单调递增.（1）求()f x 的解析式；（2）用定义法证明函数()()()43m g x f x x+=+在区间()0,2上单调递减. 【答案】（1）()2f x x =；（2）证明见解析.【解析】（1）解：由题可知：2441+-=m m ，解得1m =或5m =-.若1m =，则()2f x x =在区间0,上单调递增，符合条件； 若5m =-，则()4f x x -=在区间0,上单调递减，不符合条件.故()2f x x =.（2）证明：由（1）可知，()216g x x x=+. 任取1x ，()20,2x ∈，且12x x <，则()()()()22121212121212161616g x g x x x x x x x x x x x ⎡⎤-=+--=-+-⎢⎥⎣⎦. 因为1202x x <<<， 所以120x x -<，124x x +<，12164x x >， 所以()()121212160x x x x x x ⎡⎤-+->⎢⎥⎣⎦，即()()12g x g x >，故()g x 在区间()0,2上单调递减. 【一隅三反】1．（2021·福建仙游一中高一开学考试）若幂函数221()(22)m f x m m x +=+-在其定义域上是增函数.（1）求()f x 的解析式；（2）若2(2)(4)f a f a -<-，求a 的取值范围.【答案】（1）3()f x x =；（2）{2a a >或}3a <-. 【解析】（1）因为221()(22)m f x m m x +=+-是幂函数，所以2221m m +-=，解得32m =-或1m =， 又()f x 是增函数，210m +>即12m >-，1m ∴=，则3()f x x =； （2）因为()f x 为增函数，所以由2(2)(4)f a f a -<-可得224a a -<-，解得2a >或3a <-a ∴的取值范围是{2a a >或}3a <-.2．（2021·平罗中学高一期末）已知幂函数()()22122m f x m m x +=+-在()0,∞+上是增函数 （1）求()f x 的解析式（2）若(2)(1)f a f a -<-，求a 的取值范围.【答案】（1）3()f x x =，（2）3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】（1）因为221()(22)m f x m m x +=+-是幂函数，所以2221m m +-=，解得32m =-或1m = 因为()f x 在(0,)+∞上是增函数，所以210m +>，解得12m >-，则1m =， 故3()f x x =（2）因为()f x 为R 上的增函数，因为(2)(1)f a f a -<-所以201021a a a a -⎧⎪-⎨⎪-<-⎩，解得：322a <， 故a 的取值范围是3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦． 3．（2021·湖南高一月考）已知幂函数()()225222k k f x m m x -=-+（k ∈Z ）是偶函数，且在()0,∞+上单调递增．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()212f x f x -<-，求x 的取值范围；（3）若实数a ，b （a ，b +∈R ）满足237a b m +=，求3211a b +++的最小值． 【答案】（1）()2f x x =；（2）()1,1-；（3）2． 【解析】（1）．2221m m -+=，1m ∴=2520k k ->，502k ∴<<（k ∈Z ） 即1k =或2()f x 在()0+∞，上单调递增，()f x 为偶函数2k ∴=即()2f x x =（2）()()()()212212f x f x f x f x -<-⇒-<- 212x x ∴-<-，22(21)(2)x x -<-，21x <， ∴()1,1x ∈-（3）由题可知237a b +=，()()()()11213112164a b a b ++∴+++=⇒+= ()()()1132323111112211641141314a b b a a b a b a b ++⎡⎤++⎛⎫∴+=+⋅+=+⋅+≥+=⎢⎥ ⎪++++++⎝⎭⎣⎦， 当且仅当()3112314131b a a b a b ++⋅=⇒=+++，即2a =，1b =时等号成立． 所以3211a b +++的最小值是2．。
高一数学幂函数试题答案及解析
高一数学幂函数试题答案及解析1. (1)化简；(2)已知且，求的值.【答案】(1)1; (2)【解析】(1)注意根式与分数指数幂的关系:,将所求式子全用分数指数幂来表示,再利用幂的运算法则:可化简已知式子;(2)注意到,将已知代入即可求得所求式子的平方值,再注意到,所以>0,从而就可得到所求式子的值．试题解析：原式.(2)．又因为，所以故知：．【考点】根式与分数指数幂的运算．2.若上述函数是幂函数的个数是（）A．个B．个C．个D．个【答案】C【解析】形如的函数，是幂函数。
所以幂函数有，共两个，故选C。
【考点】本题主要考查幂函数的概念。
点评：简单题，形如的函数，是幂函数。
3.当时，幂函数为减函数，则实数( )A．m＝2B．m＝－1C．m＝2或m＝－1D．【答案】A【解析】因为，当时，幂函数为减函数，所以或，解得，m＝2，故选B。
【考点】本题主要考查幂函数的概念及其性质。
点评：简单题，注意形如为常数）的函数是幂函数。
4.已知幂函数在增函数，则的取值范围 .【答案】(0,10)【解析】根据已知表达式可知，幂函数在增函数，首先分析对数式y=lga中真数大于零，即a>0，同时要满足在增函数，说明了幂指数为正数，即1-lga>0，得到lga<1=lg10,a<10,这样结合a>0，可知实数a的取值范围是(0,10)。
【考点】本试题主要是考查了幂函数的单调性与幂指数的正负之间的关系的应用，属于基础题。
点评：解决该试题关键是理解幂函数在y轴右侧的单调性是增，说明了幂指数为正，如果在y轴右侧为减，说明幂指数为负数。
同时对数真数大于零是易忽略点。
5.设幂函数的图像经过点，设，则与的大小关系是（）A．B．C．D．不能确定【答案】A【解析】因为幂函数的图像经过点，设因为图像经过点，所以，解得，所以在第一象限单调递减.因为，所以，所以.【考点】本小题主要考查幂函数的图象和性质，考查利用幂函数的单调性比较两个函数值的大小. 点评：幂函数的定义是形式定义，是形如的函数，当时，函数在第一象限单调递增.6.若函数是幂函数，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数是幂函数，则即。
高考数学专题《幂函数》习题含答案解析
专题3.4 幂函数1．（2021·全国高一课时练习）下列命题中，不正确的是（ ）A ．幂函数y =x -1是奇函数B ．幂函数y =x 2是偶函数C ．幂函数y =x 既是奇函数又是偶函数D ．y =12x 既不是奇函数，又不是偶函数【答案】C 【解析】根据奇偶函数的定义依次判断即可.【详解】因为11xx -=，11=--xx ，所以A 正确；因为22()x x -=，所以B 正确；因为x x -=不恒成立，所以C 不正确；因为12y x =定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以D 正确.故选：C.2.（2020·上海高一课时练习）下列函数中，既是偶函数，又在(,0)-∞上单调递增的函数是( )A ．2y x -=-B ．23y x=-C ．13y x=-D ．3y x -=【答案】B 【解析】A: 2y x -=-为偶函数，且在()0,∞+上递增，即2y x -=-在(,0)-∞上单调递减，排除；B: 23y x =-为偶函数，在(,0)-∞上单调递增；C: 13y x=-为奇函数，故排除；D: 3y x -=为奇函数，故排除.故选:B.练基础3．（2020·石嘴山市第三中学高二月考（文））幂函数()221()21m f x m m x -=-+在()0,∞上为增函数，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．1或2D ．2【答案】D 【解析】由题意()f x 为幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =.因为()f x 在()0,∞上为增函数，所以210m ->，即12m >，所以2m =.故选D.4．（2020·上海高一课时练习）下面是有关幂函数3()-=f x x 的四种说法，其中错误的叙述是( )A ．()f x 的定义域和值域相等B ．()f x 的图象关于原点中心对称C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 是奇函数【答案】C 【解析】3()-=f x x ，函数的定义域和值域均为()(),00,-∞⋃+∞，A 正确；3()-=f x x ，()()33()f x x x f x ---=-=-=-，函数为奇函数，故BD 正确；()f x 在(),0-∞和()0,∞+是减函数，但在()(),00,-∞⋃+∞不是减函数，C 错误.故选：C.5．（2020·上海高一课时练习）若幕函数()f x 的图像经过点1,42⎛⎫⎪⎝⎭，则该函数的图像（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称【答案】B 【解析】设()f x x α=，依题意可得1(42α=，解得2α=-，所以2()f x x -=，因为22()()()f x x x f x ---=-==，所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称.故选：B.6．（2019·延安市第一中学高三月考（文））已知幂函数()f x x α=的图像过点1(2，则方程()2f x =的解是（ ）A ．4BC ．2D ．12【答案】A 【解析】依题意得1(2α=，解得12α=，所以12()f x x =，由()2f x =得122x =，解得4x =.故选：A.7．（2021·浙江高一期末）幂函数()()22222m f x m m x-=--在()0,∞+为增函数，则m 的值是（）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【答案】B 【解析】由幂函数解析式的形式可构造方程求得1m =-或3m =，分别验证两种情况下()f x 在()0,∞+上的单调性即可得到结果.【详解】()f x 为幂函数，2221m m ∴--=，解得：1m =-或3m =；当1m =-时，()1f x x -=，则()f x 在()0,∞+上为减函数，不合题意；当3m =时，()7=f x x ，则()f x 在()0,∞+上为增函数，符合题意；综上所述：3m =.故选：B.8．（2021·全国高一课时练习）下列结论正确的是（ ）A ．幂函数图象一定过原点B ．当0α<时，幂函数y x α=是减函数C ．当1α>时，幂函数y x α=是增函数D ．函数2y x =既是二次函数，也是幂函数【答案】D 【解析】由函数1y x -=的性质，可判定A 、B 不正确；根据函数2y x =可判定C 不正确；根据二次函数和幂函数的定义，可判定D 正确.【详解】由题意，函数1y x -=的图象不过原点，故A 不正确；函数1y x -=在(,0)-∞及(0,)+∞上是减函数，故B 不正确；函数2y x =在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数，故C 不正确；根据幂函数的定义，可得函数2y x =是二次函数，也是幂函数，所以D 正确.故选：D.9．（2021·全国高一课时练习）幂函数的图象过点(3， )，则它的单调递增区间是（ ）A ．[-1，+∞)B ．[0，+∞)C ．(-∞，+∞)D ．(-∞，0)【答案】B 【解析】根据利用待定系数法求出幂函数的解析式，再根据幂函数求出单调增区间即可.【详解】设幂函数为f (x )=x α，因为幂函数的图象过点(3， )，所以f (3)=3α=123，解得α=12，所以f (x )=12x ，所以幂函数的单调递增区间为[0，+∞).故选：B10．（2021·全国高三专题练习）下列关于幂函数图象和性质的描述中，正确的是（）A ．幂函数的图象都过(1,1)点B ．幂函数的图象都不经过第四象限C ．幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种D ．幂函数必定是增函数或减函数中的一种【答案】AB 【解析】举反例结合幂函数的性质判断即可.【详解】因为11α=，所以的幂函数都经过(1,1)，故A 正确；当0x >时，0x α>，幂函数的图象都不经过第四象限，故B 正确；12y x =的定义域为[)0,+∞，为非奇非偶函数，故C 错误；1y x=在(),0-∞和()0,∞+上为减函数，但在定义域内不是减函数，故D 错误.故选：AB1．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））若a ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭23，b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23，c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．b ＜c ＜a D ．b ＜a ＜c【答案】D 【解析】∵y ＝x 23 (x >0)是增函数，∴a ＝12⎛⎫⎪⎝⎭23>b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23.∵y ＝12⎛⎫⎪⎝⎭x 是减函数，∴a ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭23＜c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，∴b ＜a ＜c .故本题答案为D.2．（2019·湖北高三高考模拟（理））幂函数f (x )=x m的图象过点(2,4)，且a =m 12，b =(13)m，c =―log m 3，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a >c >bB ．b >c >aC ．a >b >cD ．c >a >b 【答案】C练提升【解析】幂函数f (x )=x m 的图象过点(2,4)，∴2m ＝4，m ＝2；∴a =m 12=2>1，b =(13)m =19∈(0,1)，c =―log m 3＝﹣log 23＜0，∴2＞19＞―log 23，∴a >b >c ．故选：C ．3．（2021·全国高三专题练习）已知幂函数()f x x α=满足()()2216f f =，若()4log 2a f =，()ln 2b f =，()125c f -=，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a>>【答案】C 【解析】由()()2216f f =可求得13α=，得出()f x 单调递增，根据单调性即可得出大小.【详解】由()()2216f f =可得4222αα⋅=，∴14αα+=，∴13α=，即()13f x x =.由此可知函数()f x 在R 上单调递增.而由换底公式可得242log 21log 2log 42==，22log 2ln 2log e =，125-=，∵21log 2e <<，∴2222log 2log 2log 4log e<，于是4log 2ln 2<，12<，∴1245log 2-<，故a ，b ，c 的大小关系是b a c >>.故选：C.4．（2021·安徽高三二模（理））函数()nxf x x a =，其中1a >，1n >，n 为奇数，其图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】分析()f x 在()0,∞+、(),0-∞上的函数值符号，及该函数在()0,∞+上的单调性，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意x ∈R ，0x a >，由于1n >，n 为奇数，当0x <时，0n x <，此时()0f x <，当0x >时，0n x >，此时()0f x >，排除AC 选项；当0x >时，任取1x 、()20,x ∈+∞且12x x >，则120x x a a >>，120n nx x >>，所以()()12f x f x >，所以，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，排除D 选项.故选：B.5．（2021·新疆高三其他模拟（理））若实数m ，n 满足m n >，且0mn ≠，则下列选项正确的是（ ）A ．330m n ->B ．1122m n⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()lg 0m n ->D ．11m n<【答案】A 【解析】利用幂函数、指数函数单调性和对数的运算可求解.【详解】解：∵函数3y x =，在R x ∈时单调递增，且m n >，∴330m n ->，故A 正确；∵函数1(2x y =，在R x ∈时单调递减，且m n >，∴11()()22mn<，故B 错误；当11,2m n ==时，()1lg lg 02m n -=<，故C 错误；当,11m n ==-时，1111m n=>=-，故D 错误；故选：A.6.【多选题】（2020·新泰市第二中学高二月考）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ）A ．函数为增函数B ．函数为偶函数C ．若，则D ．若，则.【答案】ACD 【解析】将点(4,2)代入函数得：，则.所以，显然在定义域上为增函数，所以A 正确.的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B 不正确.当，即，所以C 正确.当若时，=..=.即成立，所以D 正确.()f x x α=1x >()1f x >120x x <<()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭()f x x α=2=4α1=2α12()f x x =()f x [0,)+∞()f x [0,)+∞()f x 1x >1>()1f x >120x x <<()()122212(()22f x f x x x f ++-22-122x x +-0<()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭故选：ACD.7．【多选题】（2021·湖南高三月考）已知函数1,0(),0x x e x f x xe x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =有且仅有一个实数解，且幂函数()a g x x =在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值可能是（ ）A ．1B ．1eC ．2D ．e【答案】AD 【解析】作出()f x 的图象，根据方程根的个数判断参数a 的取值，再结合函数()a g x x =在()0,∞+上单调递增，即可求解出结果．【详解】当0x ≤时，()x f x xe =，()()1xf x e x '=+，当1x <-时()0f x '<，当10x -<<时()0f x '>所以()x f x xe =在(),1-∞-上单调递减，在()1,0-上单调递增，最小值为1(1)f e --=-；所以()f x 的图象如图所示，因为()f x a =有且仅有一个实数解，即()y f x =的图象与y a =有且只有一个交点，所以[)1,1,0,a e e ⎧⎫∈+∞-⎨⎬⎩⎭，又因为()a g x x =在()0,∞+上单调递增，所以0a >，所以[){},1a e ∈+∞ .故选：AD8.（2019·上海高考模拟）设α∈12,―1,―2,3，若f (x )=x α为偶函数，则α=______．【答案】―2【解析】由题可知，α=―2时，f (x )=x ―2，满足f(-x)=f(x),所以是偶函数；α=13,12,―1,3时，不满足f(-x)=f(x), ∴α=―2．故答案为：―2．9．（2021·全国高三专题练习（理））已知幂函数()39*N m y x m -=∈的图像关于y 轴对称，且在()0,∞+上函数值随着x 的增大而减小.（1）求m 值.（2）若满足()()22132mma a +<-，求a 的取值范围.【答案】（1）1m =；（2）()2,4,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.【解析】（1）由题意可知39m -为负偶数，且*N m ∈，即可求得m 值；（2）将所求不等式化为()()22132a a +<-，求解，即可得出结果.【详解】（1）因为函数39*()m y x m N -=∈在()0,∞+上单调递减，所以390m -<，解得3m <.又因为*m N ∈，所以1m =，2；因为函数的图象关于y 轴对称，所以39m -为偶数，故1m =.（2）由（1）可知，1m =，所以得()()22132a a +<-，解得4a >或23<a ，即a 的取值范围为()2,4,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.10．（2021·浙江高一期末）已知幂函数2242()(1)mm f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2g x x k =-．（1）求m 的值；（2）当[1,2)x ∈时，记(),()f x g x 的值域分别为集合A ，B ，设:,:p x A q x B ∈∈，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．（3）设2()()1F x f x kx k =-+-，且|()|F x 在[0,1]上单调递增，求实数k 的取值范围．【答案】（1）0m =；（2）01k ≤≤；（3）[][)1,02,-+∞ 【解析】（1）由幂函数的定义2(1)1m -=，再结合单调性即得解.（2）求解()f x ，()g x 的值域，得到集合A ，B ，转化命题p 是q 成立的必要条件为B A ⊆，列出不等关系，即得解.（3）由（1）可得22()1F x x kx k =-+-，根据二次函数的性质，分类讨论02k ≤和12k ≥两种情况，取并集即可得解.【详解】（1）由幂函数的定义得：2(1)1m -=，0m ⇒=或2m =，当2m =时，2()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，与题设矛盾，舍去；当0m =时，2()f x x =在(0,)+∞上单调递增，符合题意；综上可知：0m =.（2）由（1）得：2()f x x =，当[1,2)x ∈时，[)()1,4f x ∈，即[)1,4A =，当[1,2)x ∈时，[)()2,4g x k k ∈--，即[)2,4B k k =--，由命题p 是q 成立的必要条件，则B A ⊆，显然B ≠∅，则2144k k -≥⎧⎨-≤⎩，即10k k ≤⎧⎨≥⎩，所以实数k 的取值范围为：01k ≤≤.（3）由（1）可得22()1F x x kx k =-+-，二次函数的开口向上，对称轴为2k x =，要使|()|F x 在[0,1]上单调递增，如图所示：或即02(0)0k F ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩或12(0)0k F ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，解得：10k -≤≤或2k ≥.所以实数k 的取值范围为：[][)1,02,-+∞ 1.（2019·全国高考真题（理））若a >b ，则（ ）A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取，满足，，知A 错，排除A ；因为，知B 错，排除B ；取，满足，，知D 错，排除D ，因为幂函数是增函数，，所以，故选C ．2．（2020·天津高考真题）已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩…若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（）A．1,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ B．1,(0,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C．(,0)(0,-∞ D．(,0))-∞+∞ 【答案】D 【解析】2,1a b ==a b >ln()0a b -=9333a b =>=1,2a b ==-a b >12a b =<=3y x =a b >33a b >练真题注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =，所以k >综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D.3.（2020·江苏高考真题）已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23f x x = ，则f (-8)的值是____.【答案】4-【解析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=-故答案为：4-4. (2018·上海卷)已知α∈{－2，－1，－12，12，1，2，3}.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝ .【答案】-1【解析】∵幂函数f (x )＝x α为奇函数，∴α可取－1,1,3，又f (x )＝x α在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故α＝－1.5.（浙江省高考真题（文））已知函数()2,1{ 66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦ ， ()f x 的最小值是 ．【答案】162-【解析】如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知()()min 12,62f f f x f ⎡⎤-=-==⎣⎦.6．（江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为，则满足条件的实数a 的所有值为________．【答案】－1【解析】试题分析：设点1,P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0x >，则PA ===令1,0,2t x x t x=+>∴≥ 令()()22222222g t t at a t a a =-+-=-+-（1）当2a ≥时，t a =时()g t 取得最小值()22g a a =-，=，解得a =（2）当2a <时，()g t 在区间[)2,+∞上单调递增，所以当2t =时，()g t 取得最小值()22242g a a =-+=1a =-综上可知：1a =-或a =所以答案应填：-1.。
3.3 幂函数(重难点突破)解析版 2023-2024学年高一数学重难点突破
3.3 幂函数重难点幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.重难点题型突破1 求幂函数的解析式幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.例1．(1)、（2022·江苏·无锡市教育科学研究院高二期末）已知幂函数()y f x =的图像过点⎛ ⎝，则(16)f =（ ）A ．14-B ．14C ．4-D ．4【变式训练1-1】、（2022·江苏·扬州中学高二阶段练习）若幂函数()a f x x =的图象经过点(，则函数()f x 的解析式是（ ）A ．()43f x x =B ．()13f x x =C．()43f x x-=D．()2 3f x x=重难点题型突破2 幂函数的图像及其性质的应用幂函数的图像及其性质的应用1．幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查：①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．②幂函数的指数与图象特征的关系当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下：A ．①1y x -=，②12y x =，③13y x =C ．①13y x =，②12y x =，③1y x -=【答案】AA．⑥③④②⑦①⑤B．⑥④②③⑦①⑤C．⑥④③②⑦①⑤D．⑥④③②⑦⑤①【答案】C【分析】根据幂函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.例3．（1）、（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数()f x 的图象过点()2,32，若()()110f a f ++->，则a 的取值范围为（ ）A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ．()0,∞+D ．()1,-+∞【答案】C【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，可得其为奇函数，且在R 上单调递增，()()110f a f ++->可转化为()()11f a f +>，根据单调性即可求解.【详解】设幂函数()y f x x α==，其图象过点()2,32，所以232α=，解得5α=，所以()5f x x =.因为()()()5f x x f x -=-=-，所以()5f x x =为奇函数，且在R 上单调递增，所以()()110f a f ++->可化为()()()111f a f f +>--=，可得11a +>，解得0a >，所以a 的取值范围为()0,∞+.故选:C.（2）．（2020·全国高一专题练习）下列关系中正确的是A ．221333111252⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．122333111225⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．212333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．221333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】D 【分析】利用指数函数的单调性和幂函数的单调性比较即可.【详解】因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是单调递减函数，1233<，所以12331122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为幂函数23y x =在()0,∞+上递增，1152<；所以22331152⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即223323111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选D.【点睛】同底指数幂比较大小常用的方法是利用指数函数的单调性，不同底数指数幂比较大小一般应用幂函数的单调性.【变式训练3-1】、（2019·江西九江·高二期末（理））设e e a =，e πb =，πe c =，则,,a b c 大小关系是A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】C 【分析】由幂函数的单调性可以判断出,a b 的大小关系，通过指数函数的单调性可以判断出,a c 的大小关系，比较,b c 的大小可以转化为比较eln π与π的大小，设()eln f x x x =-求导，判断函数的单调性，利用函数的单调性可以判断出eln π与π的大小关系，最后确定,,a b c 三个数的大小关系.【详解】解:由幂函数和指数函数知识可得e e πe >，πe e e >，即b a >，c a >.下面比较,b c 的大小，即比较eln π与π的大小.设()eln f x x x =-，则e ()xf x x-'=，()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，(e)(π)f f ∴>，即eln e e eln ππ->-，即eln ππ<，e ππe ∴<，即c b >，即c b a >>，故选C.【点睛】本题考查了幂函数和指数函数的单调性，通过变形、转化、构造函数判断函数值大小是解题的关键.重难点题型突破3 幂函数型复合函数(2)答案见解析【分析】（1）根据题意，由幂函数的性质列出方程即可求得m ，从而得到函数()f x 的解析式；（2）根据题意，由幂函数的值域即可求得结果.【详解】（1）∵()223mm f x x --+=，其中22m -<<，m ∈Z当1m =-时()2f x x =，当0m =时()3f x x =，当1m =时()01f x x ==，（0x ≠），∵()f x 在区间()0,∞+上单调递增，∴1m =-，或0m =选①时，可知函数()f x 为偶函数，则()f x 的解析式为()2f x x =，选②时，可知函数()f x 为奇函数，则()f x 的解析式为()3f x x =.（2）若函数()[]233f x x ,x ,=∈-易知()2f x x =在[]3,0-上单调递减，在[]0,3上单调递增当0x =时，()min 0f x =，当3x =±时，()max 9f x =，∴()f x 的值域为[]0,9.若()[]333f x x ,x ,=∈-，易知()3f x x =在[]3,3-上是增函数当3x =-时，()min 27f x =-，当3x =时，()max 27f x =，∴()f x 的值域为[]2727,-.。
《幂函数》函数的概念与性质PPT教学课件
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【例3】 比较下列各组中幂值的大小： (1)0.213,0.233；(2)1.212，0.9－12， 1.1.
[思路点拨] 构造幂函数，借助其单调性求解． [解] (1)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23， ∴0.213<0.233. (2)0.9－12＝19012， 1.1＝1.112. ∵1.2>190>1.1，且y＝x12在[0，＋∞)上单调递增， ∴1.212>19012>1.112，即1.212>0.9－12> 1.1.
x∈(－∞，0)
时，减函数
时，减函数
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6
C [只有y＝3x不符合幂函数y 1．下列函数中不是幂函数的是 ＝xα的形式，故选C.] () A．y＝ x B．y＝x3 C．y＝3x D．y＝x－1
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7
2．已知 f(x)＝(m＋1)xm2＋2 是幂函
D [由题意可知m＋1＝1，即m
数，则 m＝( )
第三章 函数的概念与性质
3.3 幂函数
2
学习目标
核心素养
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、 1.结合幂函数的图
易混点)
象，培养直观想象
2．结合幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图
的数学素养． 2．借助幂函数的性
象，掌握它们的性质．(重点、难点)
质，培养逻辑推理
3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点) 的数学素养.
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专题 幂函数(基础)(解析版)
专题3.5 幂函数知识点一幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．思考如何判断一个函数是幂函数？知识点二五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝12x；(3)y ＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．2．五个幂函数的性质y＝x y＝x2y＝x3y＝12x y＝x－1定义R R R[0，＋∞){x|x≠0}域值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减知识点三一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．3．当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x对称．5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．幂函数的概念 幂函数的判断及应用(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③x α的系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数．(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y ＝x α(α为常数)这一形式．【例1】现有下列函数：①3y x =；②1()2x y =；③24y x =；④51y x =+；⑤2(1)y x =-；⑥y x =；⑦(1)xy a a =>，其中幂函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：形如(y x αα=为常数）的函数叫做幂函数，∴①3y x =、⑥y x =是幂函数，故①⑥满足条件；而②1()2xy =、⑦(1)xy aa =>是指数函数，故②⑦不满足条件；显然，③24y x =、④51y x =+；⑤2(1)y x =-不是幂函数，故③④⑤不满足条件；故其中幂函数的个数为2，故选：B ．【变式训练1】在函数①1y x=，②33y x =，③21y x =+，④1y =，⑤3y x =，⑥12y x -=中，是幂函数的是( ) A ．①②④⑤ B ．①⑤⑥ C ．①②⑥ D ．①②④⑤⑥【解答】解：根据幂函数的定义，在函数①11y x x-==，②33y x =，③21y x =+，④1y =，⑤3y x =，⑥12y x -=中，是幂函数的有①⑤⑥， 故选：B ． 【例2】已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，则(α=)A ．1-B ．0C ．1D ．2【解答】解：幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，42α∴=，2α∴=， 故选：D ．【变式训练1】幂函数()a f x x =的图像过点(2,4)，且()16f m =，则实数m 的值为( ) A ．4或12B ．2±C ．4±D ．14或2【解答】解：幂函数()af x x =的图像过点(2,4)，24a∴=，2a ∴=，即2()f x x =．2()16f m m ==，则实数4m =±，故选：C ．【变式训练2】已知幂函数()(,)f x k x k R R αα=⋅∈∈的图象经过点1(4,)2，则(k α+= )A ．12B ．1C ．32D ．2【解答】解：幂函数()(,)f x k x k R R αα=⋅∈∈的图象经过点1(4,)2，∴1142k α=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1k =，12α=-，11122k α∴+=-=． 故选：A ．幂函数的图象及应用 (1)幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y ＝x α在第一象限内的图象．②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f (x )在其他象限内的图象． (2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y ＝x α(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．【例3】幂函数1y x -=及直线y x =，1y =，1x =将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），则幂函数12y x =的图象经过的“卦限”是()A ．①，⑦B ．④，⑧C ．③，⑦D ．①，⑤【解答】解：取12x =得，12112()(0,1)22y ==，故在第⑤卦限；再取2x =得，1222(1,2)y ==，故在第①卦限，故选：D ．【变式训练1】如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是( )A ．3y x =B ．2y x =C ．y x =D ．58y x =【解答】解：由于①对应的幂函数图象是上凸型的，故有幂指数(0,1)α∈， 故选：D ．【变式训练2】幂函数()y f x =的图象过点(4,2)，则幂函数()y f x =的图象是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：设幂函数的解析式为ay x =， 幂函数()y f x =的图象过点(4,2)，24a ∴=，解得12a =∴y x=，其定义域为[0，)+∞，且是增函数，当01x <<时，其图象在直线y x =的上方．对照选项． 故选：C ．【变式训练3】函数y x =，2y x =和1y x=的图象如图所示，有下列四个说法：①如果21a a a>>，那么01a <<；②如果21aa a>>，那么1a >； ③如果21aa a>>，那么10a -<<；④如果21aa a>>时，那么1a <-． 其中正确的是( )A ．①④B ．①C ．①②D ．①③④【解答】解：易知函数y x =，2y x =和1y x=的图象交点坐标为(1,1)， 函数y x =与1y x=的图象还有一个交点(1,1)--，当三个函数的图象依1y x=，y x =，2y x =次序呈上下关系时，01x <<，故①正确，当三个函数的图象依2y x =，y x =，1y x=次序呈上下关系时，10x -<<或1x >，故②错误，由于三个函数的图象没有出现1y x=，2y x =，y x =次序的上下关系，故③错误，当三个函数的图象依2y x =，1y x=，y x =次序呈上下关系时，1x <-，故④正确，所以正确的有①④， 故选：A ．【例4】已知幂函数21()(3)m f x m x -=-在(0,)+∞内是单调递减函数，则实数m =2-．【解答】解：由题意得，23110m m ⎧-=⎨-<⎩，解得2m =-．故答案为：2-．【变式训练1】已知幂函数2()(57)m f x mm x =-+是R 上的增函数，则m 的值为 3 ． 【解答】解：函数2()(57)m f x m m x =-+是幂函数，则2571m m -+=，即2560mm -+=，解得2m =或3m =；当2m =时，2()f x x =不是R 上的增函数，不满足题意；当3m =时，3()f x x =是R 上的增函数，满足题意．则m 的值为3 故答案为：3 【变式训练2】幂函数2225()(5)mm f x m m x +-=+-在区间(0,)+∞上单调递增，则f （3）(= ) A ．27B ．9C ．19D ．127【解答】解：幂函数2225()(5)mm f x m m x +-=+-在区间(0,)+∞上单调递增，∴225125m m m m ⎧+-=⎨+-⎩是正数， 解得2m =，3()f x x ∴=， f∴（3）3327==．故选：A ．【变式训练3】若幂函数21()(5)m f x m m x -=+-在(0,)+∞上单调递减，则(m = ) A ．3-或2B ．2C ．3-D ．2-【解答】解：幂函数21()(5)m f x mm x -=+-在(0,)+∞上单调递减，∴25110m m m ⎧+-=⎨-<⎩，解得3m =-， 故选：C ．比较幂值的大小 比较幂值大小的方法(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．【例5】若2222555511(2),3,(),()23a b c d ====，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．a b c d >>>B ．b a d c >>>C ．b a c d >>>D ．a b d c >>>【解答】解：2222555511(2),3,(),()23a b c d ====，函数25y x =是(0,)+∞上的增函数，113223>>>，b a c d ∴>>>， 故选：C ．【变式训练1】已知2525()24a =，501.02b =，1001.01c =，则( )A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【解答】解：2525()24a =，502251.02(1.02)b ==，1004251.01(1.01)c ==， 251.04124≈，21.02 1.0404=，41.01 1.0406≈， 函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，b c a ∴<<．故选：B ．【变式训练2】若120.5a =，130.5b =，140.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c >>B ．a b c <<C ．a c b <<D ．a c b >>【解答】解：构造函数()0.5xf x =，因为函数()0.5xf x =，为单调递减函数． 且111234>>，所以111()()()234f f f <<，即1113240.50.50.5<<， 所以a b c <<． 故选：B ．【变式训练3】三个数20.3a =，0.31.9b =，0.32c =之间的大小关系是( ) A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<【解答】解：幂函数0.3y x =在(0,)+∞上为增函数，0.30.302 1.9 1.9∴>>，即1c b >>， 200.30.31a =<=， c b a ∴>>，故选：B ．幂函数综合问题 【例6】已知幂函数22()(317)m f x m m x -=--的图象关于y 轴对称．（1）求()f x 的解析式；（2）求函数2()(2)43g x f x x=-+在[1-，2]上的值域． 【解答】解：（1）因为22()(317)m f x m m x -=--是幂函数，所以23171m m --=，解得6m =或3m =-．又()f x 的图象关于y 轴对称，所以6m =， 故4()f x x =．（2）由（1）可知，4222222111()164316()4316()84g x x x x x x =-+=-+=-+．因为[1x ∈-，2]，所以2[0x∈，4]，所以221111116()[,243]844x -+∈．故()g x 在[1-，2]上的值域为11[,243]4． 【变式训练1】已知幂函数2()(33)m f x m m x =-+的图象关于y 轴对称，集合{|131}A x a x a =-<+．（1）求m 的值； （2）当2[x ∈时，()f x 的值域为集合B ，若x B ∈是x A ∈成立的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）由幂函数2()(33)m f x m m x =-+，可知2331mm -+=，解得1m =或2m =，当1m =时，()f x x =的图象不关于y 轴对称，舍去， 当2m =时，2()f x x =的图象关于y 轴对称，满足条件，因此，2m =．（2）当[1x ∈-，2]时，()f x 的值域为1[,4]2，则集合1[,4]2B =，由题意知BA ，得131112314a a a a -<+⎧⎪⎪-<⎨⎪+⎪⎩，解得1a ，所以a 的取值范围为[1，)+∞． 【变式训练2】已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,2)．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若函数()f x 满足条件(2)(1)f a f a ->-，试求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）幂函数()f x x α=的图象经过点(2,2)，∴(2)2α=，2α∴=，2()f x x ∴=．（Ⅱ）函数2()f x x =为偶函数，在(0,)+∞上单调递增，且满足()(||)f x f x =，∴不等式(2)(1)f a f a ->-可化为(|2|)(|1|)f a f a ->-，|2||1|a a ∴->-，两边平方得22(2)(1)a a ->-，解得32a <，即实数a 的取值范围为3(,)2-∞．1．若函数2()(1)m f x mm x =--为幂函数，则实数(m = )A ．2B ．1-C ．1-或2D ．3【解答】解：函数2()(1)m f x m m x =--为幂函数，211m m ∴--=，求得1m =-或2， 故选：C ．2．现有下列函数：①3y x =；②1()2xy =；③24y x =；④51y x=+；⑤2(1)y x =-；⑥y x =；⑦(1)xy aa =>，其中幂函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：形如(y x αα=为常数）的函数叫做幂函数，∴①3y x =、⑥y x =是幂函数，故①⑥满足条件；而②1()2xy =、⑦(1)xy aa =>是指数函数，故②⑦不满足条件；显然，③24y x =、④51y x =+；⑤2(1)y x =-不是幂函数，故③④⑤不满足条件；故其中幂函数的个数为2， 故选：B ． 3．若函数2223()(1)mm f x m m x --=--是幂函数，则实数m 的值是( )A ．1或2-B ．1-C ．2D ．1-或2【解答】解：幂函数的系数为1，211m m ∴--=，解得2m =或1m =-． 故选：D ．4．设()y f x =和()y g x =是两个不同的幂函数，则它们图像交点的个数为( ) A ．1或2或0 B ．1或2或3 C ．1或2或3或4D ．0或1或2或3【解答】解：取13()f x x =，3()g x x =，由133xx =可得0x =或1x =或1x =-，故()y f x =和()y g x =是有3个交点， 取12()f x x =，3()g x x =，由132xx =可得0x =或1x =，故()y f x =和()y g x =是有2个交点， 取2()f x x -=，3()g x x =，由23xx -=可得1x =，故()y f x =和()y g x =是有1个交点，任意幂函数的图像必过(1.1)点，即()y f x =和()y g x =至少有1个交点，任意两个幂函数的图像不可能有4个交点，故()y f x =和()y g x =交点个数为1或2或3， 故选：B ．5．已知幂函数()y f x =的图象过点(2,8)，则(3)f -的值为( ) A ．27B ．27-C ．127D ．127-【解答】解：设幂函数()f x 的解析式为()y f x x α==，R α∈， 因为()f x 的图象过点(2,8)， 所以28α=，解得3α=， 所以3()f x x =，所以3(3)(3)27f -=-=-．故选：B ．6．如图所示的曲线是幂函数ny x =在第一象限内的图象．已知n 分别取1-，1，12，2四个值，则与曲线1C ，2C ，3C ，4C 相应的n 依次为( )A ．2，1，12，1-B ．2，1-，1，12C ．12，1，2，1-D ．1-，1，2，12【解答】解：根据幂函数ny x =在第一象限内的图象，已知n 分别取1-，1，12，2四个值，在图象中，做出直线2x =，根据直线2x =和曲线交点的纵坐标的大小，可得曲线1C ，2C ，3C ，4C 相应的n 依次为：2，1，12，1-，故选：A ．7．已知幂函数1()(21)a g x a x +=-的图象过函数1()(0,1)2x bf x mm m -=->≠的图象所经过的定点，则b 的值等于( ) A ．12±B ．2C ．2D ．2±【解答】解：函数1()(21)a g x a x +=-是幂函数，211a ∴-=，解得1a =，2()g x x ∴=；令0x b -=，解得x b =，∴函数1()2x bf x m-=-的图象经过定点1(,)2b ，212b ∴=，解得2b =．故选：B ．8．函数23()f x x =的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y x =-对称 C ．坐标原点对称D ．直线y x =对称【解答】解：函数()f x 的定义域是实数集合，关于原点对称，2233()()()f x x x f x -=-==，是偶函数，∴函数()f x 图象关于原点y 轴对称，故选：A ．9．已知对数函数log(0,1)ay x a a =>≠的图象经过点(3,1)P -，则幂函数ay x =的图象是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：对数函数log(0,1)ay x a a =>≠的图象经过点(3,1)P -，1log 3a ∴-=，13a ∴=，故幂函数3a y x x ==D 所示，故选：D．10．写出一个同时满足下列性质的幂函数2()f x x-=．①偶函数；②在(,0)-∞上递增．【解答】解：根据幂函数()f x xα=是偶函数，且在(,0)-∞上递增，可以写出2()f x x-=．故答案为：2()f x x-=．11．函数21()(5)mf x m m x+=--是幂函数，且为偶函数，则实数m的值是．【解答】解：由函数21()(5)mf x m m x+=--是幂函数，得251m m--=，即260m m--=，解得2m=-或3m=；又()f x为偶函数，即1m+为偶数，所以实数m的值是3．故答案为：3．12．幂函数2225()(5)m mf x m m x+-=+-在区间(0,)+∞上单调递增，则f（3）(=)A．27B．9C．19D．127【解答】解：幂函数2225()(5)m mf x m m x+-=+-在区间(0,)+∞上单调递增，∴225125m mm m⎧+-=⎨+-⎩是正数，解得2m =，3()f x x ∴=， f∴（3）3327==．故选：A ．13．函数()af x x =的图象经过点1(3，9)，则f （9）的值为( )A ．13B ．3C ．181D ．81【解答】解：函数()af x x =的图象经过点1(3，9)，∴1()93a=，2a ∴=-， 则f （9）21981-==， 故选：C ．14．已知幂函数22()(317)m f x mm x -=--的图象关于y 轴对称．（1）求()f x 的解析式； （2）求函数2()(2)43g x f x x=-+在[1-，2]上的值域． 【解答】解：（1）因为22()(317)m f x m m x -=--是幂函数，所以23171m m --=，解得6m =或3m =-．又()f x 的图象关于y 轴对称，所以6m =， 故4()f x x =．（2）由（1）可知，4222222111()164316()4316()84g x x x x x x =-+=-+=-+．因为[1x ∈-，2]，所以2[0x∈，4]，所以221111116()[,243]844x -+∈．故()g x 在[1-，2]上的值域为11[,243]4． 15．已知函数2255(32)aa y aa x -+=-+．（1）a 为何值时此函数为幂函数？（2）a 为何值时此函数为正比例函数？ （3）a 为何值时此函数为反比例函数． 【解答】解：（1）由于函数2255(32)aa y a a x -+=-+，故当2321aa -+=，即35a +=，或35a -=时，函数为幂函数．（2）当22320551a a a a ⎧-+≠⎨-+=⎩，即4a =时，此函数为正比例函数．（3）当22320551a a a a ⎧-+≠⎨-+=-⎩，即3a =时，此函数为反比例函数．16．已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,2)．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若函数()f x 满足条件(2)(1)f a f a ->-，试求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）幂函数()f x x α=的图象经过点(2,2)，∴(2)2α=，2α∴=，2()f x x ∴=．（Ⅱ）函数2()f x x =为偶函数，在(0,)+∞上单调递增，且满足()(||)f x f x =，∴不等式(2)(1)f a f a ->-可化为(|2|)(|1|)f a f a ->-，|2||1|a a ∴->-，两边平方得22(2)(1)a a ->-，解得32a <，即实数a 的取值范围为3(,)2-∞．。
2024年新高一数学暑假提升精品讲义(上海专用)专题10 幂函数(解析版)
专题10幂函数【应知应会】 (1)一、复习引入........................................................................................................................................................1二、知识梳理.. (1)（一）幂函数的定义....................................................................................................................................1（二）幂函数的图象....................................................................................................................................2（三）幂函数的性质 (2)考点剖析....................................................................................................................................................................2过关检测....................................................................................................................................................................4A 组双基过关....................................................................................................................................................4B 组巩固提高....................................................................................................................................................6C 组综合训练..................................................................................................................................................10D 组拓展延伸 (16)【应知应会】一、复习引入在初中阶段，我们已经学习过正比例函数y x =，反比例函数1y x=即1y x -=以及二次函数2y x =，它们的“音容笑貌”还记得吗？这三个函数从形式上具备怎样的共同特征？二、知识梳理【难度系数：★★★参考时间：15min 】（一）幂函数的定义当指数a 固定，等式ay x =确定了变量y 随变量x 变化的规律，称为指数为a 的幂函数（powe rfunctions ）.使得ay x =有意义的x 的取值范围，称为此幂函数的定义域.幂函数的定义域可以是不相同的，它与指数a 的值有关.【注】（1）幂函数的系数为1；（2）幂函数的指数R a ∈.（二）幂函数的图象（三）幂函数的性质所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图像都通过点（1，1）.∙0>a 时：（图A ）（1）图象都通过（0，0），（1，1）；（2）在第一象限内，函数值y 随x 的（严格）增大而（严格）增大（严格增函数）.∙0<a 时：（图B ）（1）图象都通过点（1，1）；（2）在第一象限内，函数值y 随x 的（严格）增大而（严格）减小（严格减函数）；（3）在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近.【思考】0=a 时，图像如何画？【小结】ax y =与两坐标轴都无公共点0≤⇒a ∙幂的基本不等式：当0>a 时，若012>>x x ，则112>x x，得112>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ax x.考点剖析【难度系数：★★★参考时间：30min 】例1.求函数()10322y xx x -=+-+的定义域.【答案】),2()2,0(+∞ 例2.写出函数12y x-=的定义域，作出其大致图像，并根据图像判断其单调性.【答案】(0,)+∞，严格减法二：穿针引线：变式3.已知()()22132a a --+<-，求实数a 的取值范围.例4.已知点()2,5在函数11ax y x +=-的图像上.（1）求实数a 的值；.例5.设幂函数,0.（1）求证：该函数在区间()0,+∞上是严格减函数；（2）设0a b >>，0c >，利用（1）的结论，比较1c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与1cb ⎛⎫⎪⎝⎭的大小.过关检测A 组双基过关【难度系数：★时间：8分钟分值：20分】1．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数()21()22m f x m m x -=--⋅的图象不经过坐标原点，则m =（）A ．1-B ．3C ．1或3-D ．1-或33．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数()()221=343m f x m m x---在2π,∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上是严格减函数，则m =.，则此幂函数为.5．（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数-=--为偶函数，且在(0,)+∞上严格单调递减，则实数m 的值为．【答案】1-【分析】利用幂函数的定义和性质即可求解.【详解】因为()21()1m f x m m x -=--是幂函数，所以211m m --=，解得2m =或1m =-.又因为()f x 在(0,)+∞上严格单调递减，所以10m -<，解得1m <，故而1m =-.而且当1m =-时，2()f x x -=是偶函数，符合题意，从而实数m 的值为1-.故答案为：1-.6．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）幂函数a y x =的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为.【答案】(1,1)【分析】根据幂函数的图象与性质，直接求出定点坐标即得.【详解】因为对任意实数a ，当1x =时，1y =，所以所有幂函数的图象都过点(1,1).故答案为：(1,1)7．（23-24高一上·上海浦东新·期中）不等式()()3355252x x --+<-的解集为．8．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知幂函数=++在0,∞+上为严格减函数.(1)求实数m 的值；(2)若(21)(3)m m a a -<+，求实数a 的取值范围.B 组巩固提高【难度系数：★★时间：10分钟分值：20分】9．（23-24高一上·上海·期末）下列命题中正确的是（）A ．当0m =时，函数m y x =的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C ．幂函数m y x =图象不可能在第四象限内D ．若幂函数m y x =为奇函数，则m y x =是定义域内的严格增函数【答案】C【分析】由幂函数的图象与性质判断即可.【详解】对A ，当0m =时，函数m y x =的图象是一条直线除去点(0,1)，所以A 项不正确；对B ，幂函数的幂指数小于0时，图象不经过(0,0)，所以B 项不正确；对C ，幂函数m y x =的图象不可能在第四象限内，所以C 项正确；对D ，当1m =-时，幂函数m y x =为奇函数，但在定义域内不是严格的增函数，所以D 项不正确；故选：C.10．（22-23高一上·上海·期末）已知幂函数·y k x α=的图像过点11,24⎛⎫⎪⎝⎭，则k α+=．312实数123a a a ､､从小到大的排列顺序为.（请用“<”连接）【答案】123a a a <<【分析】利用幂函数的性质判断123a a a ､､的大小即可得解.【详解】对于1a y x =，由其图象可知11a <-，例如12a =-；12．（23-24高一上·上海·期末）若幂函数--=--在0,∞+上是严格增函数，则实数【答案】1-【分析】根据幂函数的定义和性质分析求解.【详解】由题意可得：211m m --=，解得2m =或1m =-，若2m =，则1y x -=在()0,∞+上是严格减函数，不合题意；若1m =-，则2y x =在[)0,∞+上是严格增函数，符合题意；综上所述：1m =-.故答案为：1-.13．（23-24高一上·上海浦东新·期末）若一个幂函数的图像经过点13,9⎛⎫⎪⎝⎭，则它的单调减区间是．14．（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数21mm y m m x+-=-+的图像过原点，则.【答案】2【分析】由幂函数的概念求出0m =或2，再利用幂函数的图象性质进行验证即可.【详解】因为函数222(21)mm y m m x +-=-+是幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2，当0m =时，2y x -=其图像不过原点，应舍去，当42,m y x ==，其图像过原点．故答案为：2.15．（23-24高一上·上海·期末）若幂函数()24kf x x -=在()0,∞+上是严格减函数，则实数k 的取值范围为.【答案】()2,2-【分析】利用幂函数的单调性即可得解.【详解】因为幂函数()24kf x x -=在()0,∞+上是严格减函数，所以240k -<，解得2<<2k -，即实数k 的取值范围为()2,2-.故答案为：()2,2-.16．（23-24高一上·上海虹口·期末）设122,,,323α⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭，若幂函数y x α=的图像关于y 轴对称，且在区间(0,)+∞上是严格增函数，则实数α=．=∈R 的图像经过点2,3，则=.(1)523.14-与52π-；(2)35(-与35(-.C 组综合训练【难度系数：★★★时间：15分钟分值：30分】19．（23-24高一上·上海·期中）若对任意()()1,00,1x ∈-U ，都有kx x ≥成立，则k 的值可能是（）A ．2-B ．1-C ．1D ．220．（23-24高一上·上海·期末）已知a ∈R ，若函数3,1y x x ⎧-+>=⎨≤⎩的值域为R ，则a 的取值范围是.时的取值集合包含中n 是正整数；②如果ac bc =，那么a b =；③如果22()()0a b b c -+-=，那么a b c ==；④如果n n a b =，那么a b =，其中n 是正整数；⑤如果22a b >，那么a b >；⑥如果33a b >，那么a b >.其中真命题的序号为.22．（22-23高一上·上海徐汇·期末）不等式()()33213x x +<-的解为.23．（22-23高一上·上海静安·期中）已知函数是幂函数，其图像分布在第一、三象限，则m =．故2m =-舍去，当3m =-时，33()1f x x x-==，则其定义域关于原点对称，在一、三象限，图像如图所示：故答案为：3-.24．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数-=-+的图像关于点0,0对称．(1)求该幂函数()f x 的解析式；(2)设函数()()g x f x =，在如图的坐标系中作出函数()g x 的图象；（提示：列表、描点、连线作图）则()g x 的图象为：25．（23-24高一上·上海·期中）幂函数()24m my x m -=∈Z 的图象关于y 轴成轴对称，且与x 轴、y 轴均无交点，求m 的值.26．（23-24高一上·上海青浦·期中）若幂函数()43251m m y m m x++=+-⋅的定义域为R ，求实数m 的值.【答案】1【分析】由幂函数的概念建立方程，再验证定义域是否为R .27．（23-24高一上·上海静安·期中）已知幂函数-≡-+的图象关于点0,0中心对称;(1)求该幂函数()f x 的解析式；(2)设函数()()11g x f x =--，在直角坐标系中做出函数()y g x =的图像；(3)根据()2中图像，直接写出不等式()1g x >的解集，（3）观察（2）中图象得，故函数∴不等式()1g x >的解集是1∞-⋃（，）（D 组拓展延伸【难度系数：★★★时间：20分钟分值：30分】28．（22-23高一上·上海·期末）记号[]x 表示不超过实数x 的最大整数，若()270x f x ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则()()()()()1236970f f f f f +++++ 的值为（）A ．4898B ．4899C ．4900D ．490129．（21-22高一上·上海浦东新·期中）已知a 为奇数且0a >，则关于x 的不等式21a xx x ≤-的解集为．为[,]a b ，则称()f x 为“A 佳”函数.已知幂函数()()1221p f x p p x -=+-在(0,)+∞上是单调增函数.(1)求函数()f x 的解析式:(2)2()()9g x f x =-是否为“A 佳”函数.若是，请指出所在区间；若不是，请说明理由.(3)若函数()(1)h x n f x =-+，且()h x 是“A 佳”函数，试求出实数n 的取值范围.。
专题20 幂函数(解析版)
专题20 幂函数题组1幂函数的概念1.若y＝x2，y＝（）x，y＝4x2，y＝x5＋1，y＝（x－1）2，y＝x，y＝a x（a＞1），上述函数中幂函数的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】由幂函数的定义知，y＝x2，y＝（）x，y＝4x2，y＝x5＋1，y＝（x－1）2，y＝x，y＝ax（a＞1）七个函数中，是幂函数的是y＝x2和y＝x，故选C.2.幂函数f（x）＝x3m－5（m∈N）在（0，＋∞）上是减函数，且f（－x）＝f（x），则m等于（）A.0B.1C.2D.0或1【答案】B【解析】因为f（x）＝x3m－5（m∈N）在（0，＋∞）上是减函数，所以3m－5<0，故m<.又因为m∈N，所以m＝0或m＝1，当m＝0时，f（x）＝x－5，f（－x）≠f（x），不符合题意；当m＝1时，f（x）＝x－2，f（－x）＝f（x），符合题意.综上知，m＝1.3.当x∈（0，＋∞）时，幂函数y＝（m2－m－1）·x－m－1为减函数，则实数m等于（）A. B.－1 C.2或－1 D.2【答案】D【解析】因当x∈（0，＋∞）时，幂函数y＝（m2－m－1）·x－m－1为减函数，所以m2－m－1＝1，且－m－1＜0，解得m＝2或－1，且m＞－1，即m＝2.故选D.题组2求幂函数的解析式4.已知点（，）在幂函数y＝f（x）的图象上，则f（x）的表达式是（）A.f（x）＝3xB.f（x）＝x3C.f（x）＝x－2D.f（x）＝（）x【答案】B【解析】幂函数f（x）＝xα的图象过点（，），所以＝（）α，解得α＝3，所以幂函数为f（x）＝x3，故选B.5.已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（16，4），则f（）的值为（）A.3B.C.D.【答案】C【解析】∵幂函数y＝f（x）＝xα的图象经过点（16，4），∴16α＝4，解得α＝，∴f（x）＝，∴f（）＝＝.故选C.题组3 幂函数的定义域和值域6.若函数f（x）＝，则函数y＝f（4x－3）的定义域是（）A.（－∞，＋∞）B.（－∞，）C.[，＋∞）D.（，＋∞）【答案】D【解析】幂函数f（x）＝＝，其定义域为（0，＋∞），∴4x－3>0，∴x>，∴函数y＝f（4x－3）的定义域是（，＋∞）.7.有四个幂函数：①f（x）＝x－1;②f（x）＝x－2;③f（x）＝x3；④f（x）＝.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的两个性质：（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.如果这个同学给出的两个性质都是正确的，那么他研究的函数是（）A.①B.②C.③D.④【答案】A【解析】对于①，具有（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.对于②，具有性质（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；但不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.对于③，不具有性质（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；也不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.对于④，不具有性质（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；也不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.故选A.题组4比较幂值的大小8.下列关系中正确的是（）A.<<B.<<C.<<D.<<【答案】D【解析】由于幂函数y＝在（0，＋∞）上递增，因此<，又指数函数y＝（）x在（0，＋∞）上递减，因此<，故<<.故选D.9.设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a、b、c的大小关系是（）A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a【答案】C【解析】∵0.6∈（0，1），∴y＝0.6x是减函数，∴0.60.6>0.61.5，又y＝x0.6在（0，＋∞）是增函数，∴1.50.6>0.60.6，∴b<a<c，故选C.题组5 幂函数的图像10.函数y＝的图象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设y＝f（x）＝，f（－x）＝＝＝＝＝f（x），又函数f（x）的定义域为R，故f（x）为偶函数，即其图象关于y轴对称.又∵>0，∴f（x）在（0，＋∞）上为增函数，又∵>1，∴f（x）在第一象限的图象与函数y＝x2的图象相类似，故选A.11.函数y＝ax2＋a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当a＞0时，二次函数y＝ax2＋a的图象开口向上，且对称轴为x＝0，顶点坐标为（0，a），故排除A，C；当a＜0时，二次函数y＝ax2＋a的图象开口向下，且对称轴为x＝0，顶点坐标为（0，a），函数y＝的图象在第二、四象限，故选D.12.如图所示，幂函数y＝xα在第一象限的图象，比较0，α1，α2，α3，α4，1的大小（）A.α1<α3<0<α4<α2<1B.0<α1<α2<α3<α4<1C.α2<α4<0<α3<1<α1D.α3<α2<0<α4<1<α1【答案】D【解析】由图知取x＝2得0<<<1<<，∴α3<α2<0<α4<α1.又α1>1，0<α4<1，故选D.13.幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数y＝的图象经过的“卦限”是（）A.④⑦B.④⑧C.③⑧D.①⑤【答案】D【解析】幂函数y＝的图象形状是上凸形，在经过（1，1）点以前在y＝x上方，而过了（1，1）点后在y ＝x下方，故可知y＝过①⑤“卦限”.题组6 幂函数的性质14.幂函数y＝xα，对于给定的有理数α，其定义域与值域相同，则此幂函数（）A.一定是奇函数B.一定是偶函数C.一定不是奇函数D.一定不是偶函数【答案】D【解析】函数y＝的定义域和值域都是[0，＋∞），它既不是奇函数，也不是偶函数；函数y＝x3的定义域和值域都是R，它是奇函数；如果一个幂函数是偶函数，它的图象一定分布在第一和第二象限，它的值域是（0，＋∞）或[0，＋∞），与它的定义域不同，所以如果一个幂函数的定义域与值域相同，它一定不是偶函数，答案为D.15.函数f（x）＝在[－1，1]上是（）A.增函数且是奇函数B.增函数且是偶函数C.减函数且是奇函数D.减函数且是偶函数【答案】A【解析】因为f（－x）＝＝－＝－f（x），所以f（x）是奇函数.因为>0，f（x）＝在第一象限内是增函数，所以f（x）＝在[－1，1]上是增函数，综上可知，f（x）＝在[－1，1]上是增函数且是奇函数.16.函数y＝x－2在区间[，2]上的最大值是（）A. B.－1 C.4 D.－4【答案】C【解析】函数y＝x－2在区间[，2]上是减函数，所以x＝时，y取最大值，最大值是（）－2＝4.故选C.17.下列结论中，正确的是（）A.幂函数的图象都经过点（0，0），（1，1）B.幂函数的图象可以出现在第四象限C.当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数D.当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数【答案】C【解析】当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不经过原点，故A错误；因为所有的幂函数在区间（0，＋∞）上都有定义，且y＝xα>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B错误；当α>0时，y＝xα是增函数，故C正确；当α＝－1时，y＝x－1在区间（－∞，0），（0，＋∞）上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D 错误，故选C.18.已知幂函数的图象过点（2，），则它的单调增区间为________.【答案】[0，＋∞）【解析】设幂函数的解析式为y＝xα，∵幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），∴＝2α，解得α＝，∴y＝，所以其单调增区间为[0，＋∞）.19.已知幂函数f（x）＝x3m－9（m∈N*）的图象与x轴、y轴都无公共点且关于y轴对称，求满足≤的a的取值范围.【答案】由已知得3m－9≤0，∴m≤3.又∵幂函数f（x）的图象关于y轴对称，∴3m－9为偶数，又∵m∈N*，∴m＝1，3.当m＝1或m＝3时，有≤或（a＋1）－1≤（3－2a）－1.又∵y＝和y＝x－1在（－∞，0），（0，＋∞）上均单调递减，∴a＋1≥3－2a>0或0>a＋1≥3－2a或a＋1<0<3－2a，解得≤a＜或a＜－1.故a的取值范围是（－∞，－1）∪[，）.题组7 幂函数的综合应用20.已知幂函数f（x）＝x（2－k）（1＋k）（k∈Z）满足f（2）<f（3）.（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；（2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数m，使函数g（x）＝1－mf（x）＋（2m－1）x在区间[0，1]上的最大值为5.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）对于幂函数f（x）＝x（2－k）（1＋k）满足f（2）<f（3），因此（2－k）（1＋k）>0，解得－1<k<2.因为k∈Z，所以k＝0或k＝1.当k＝0时，f（x）＝x2，当k＝1时，f（x）＝x2，综上所述，k的值为0或1，f（x）＝x2.（2）函数g（x）＝1－mf（x）＋（2m－1）x＝－mx2＋（2m－1）x＋1，由于要求m>0，因此抛物线开口向下，对称轴方程为x＝，当m>0时，＝1－<1，因为在区间[0，1]上的最大值为5，所以或解得m＝＋，满足题意.21.集合A是由具备下列性质的函数f（x）组成的：①函数f（x）的定义域是[0，＋∞）；②函数f（x）的值域是[－2，4）；③函数f（x）在[0，＋∞）上是增函数，试分别探究下列两小题：（1）判断函数f1（x）＝－2（x≥0）及f2（x）＝4－6·（）x（x≥0）是否属于集合A？并简要说明理由；（2）对于（1）中你认为属于集合A的函数f（x），不等式f（x）＋f（x＋2）<2f（x＋1）是否对于任意的x≥0恒成立？若不成立，为什么？若成立，请说明你的结论.【答案】（1）函数f1（x）＝－2不属于集合A.因为f1（x）的值域是[－2，＋∞），所以函数f1（x）＝－2不属于集合A.f2（x）＝4－6·（）x（x≥0）在集合A中，因为①函数f2（x）的定义域是[0，＋∞）；②f2（x）的值域是[－2，4）；③函数f2（x）在[0，＋∞）上是增函数.（2）∵f（x）＋f（x＋2）－2f（x＋1）＝6·（）x（－）<0，∴不等式f（x）＋f（x＋2）<2f（x＋1）对任意的x≥0恒成立.。
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3、提高作业： 若 q 是既约分数，讨论
p
q
y x p 的定
义域、奇偶性和单调性；
y x3 -27 -8 -1 0 1 8 27
1
y x2
0 1 1.411.73
展示
y x1
-1 3
-1 2
-1
01
1 1 23
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幂函数的性质：
(1)所有的幂函数在(0,＋∞)都有意义，并且图象 都通过点(1,1)
(2)如果a＞0，则幂函数图象过原点， 并且在区
人教出版社B版高中数学必修一第三章3.3节
幂函数
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观察下列一组函数：
(1) y 2x (2) y (1)x 3
(3) y x (4) y x2 (5) y x3
1
(6) y x 2
(7) y x1
形如这样的函数我们称为幂函数， 一般形式为
例1. 比较下列各题两个值的大小
(1)31.5 ,41.5
(2)(a
2
2)
2 3
,2
2 3
解析：
(1)构造函数y x1.5 , 该函数在[0， ）为增函数，
由于3 4, 所以31.5 41.5
(2)构 造 函 数y
x
2 3
, 该函数在（0, ）为减函数，
由 于a2
2
2, 所 以(a2
2
2) 3
y=xa (a∈R)
其中x为自变量，a为常数
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判断下列函数是否为幂函数？
√ (1) y x4
√ 1
(2) y x 2
× (3) y 0.6x × (5) y x 2
× (4) y x2
√ (6) y
1 x2
注意：
（1）自变量为底数； （2）幂指数是常数；
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总结： 1.本节课你学到了什么数学知识？ 2.本节课你感悟了什么数学思想？
展示
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1、基础作业：
课本第110页习题A
2、发展作业：
请思考：
若n为偶数，判断 y= xn 的奇偶性
若n为奇数，判断 y= xn 的奇偶性
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性质辨析：判断下列说法是否正确，并说明理由
1. a>0时幂函数在定义域内为增函数 2. a<0时幂函数在定义域内为减函数
(× ) (× )
3. 两个幂函数若有三个公共点，则必为相同
函数 4. 幂函数在第四象限无图象
( ×) (√ )
演示
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概念探究 性质归纳 典例分析 课堂总结 课后作业
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例2. 讨论幂函数 y x 3 定义域，奇偶性，并根
据函数性质作出函数的图象，说明单调性
解析：
y
2
x3
3
x2
定义域：R
奇偶性：因为f(-x)=f(x)，易知f(x)为偶函数
图 象：函数关于 增函数
演示
在(-∞,0)为减函数
间[0,＋∞)上是增函数
(3)如果a＜0，则幂函数图象不过原点，无限接近
坐标轴，但没有交点，并且在区间(0,＋∞)上是 减函数
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y
a 1 a 1 大1昂首向青天；
小0滑向无穷远；
0a 1
0,1之间似飞燕；
(1,1)
O
a 0 图象恒过(1,1)点
x
（3）y=xa (a∈R)系数为1
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画出下列函数图象
1
(1) y x, (2) y x2 , (3) y x3, (4) y x 2 , (5) y x1
-3 -2 -1 0 1 2 3
y x -3 -2 -1 0 1 2 3
y x2 9 4 1 0 1 4 9