第十二章 数项级数

第十二章 数项级数

1 级数问题的提出

1.证明：若微分方程"'0xy y xy ++=有多项式解

2012,n n y a a x a x a x =+++

+

则必有0i a i n = ( =1,2,

,) . 2．试确定系数01,,

,,

,n a a a 使0n n n a x ∞

=∑满足勒让德方程

2(1)"2'(1)0.x y xy l l y --++=

2 数项级数的收敛性及其基本性质

1．求下列级数的和： (1)

1

1

;(54)(51)n n n ∞

=-+∑ (2)

2

11

;41

n n

∞

=-∑

(3) 1

1

1(1);2

n n n -∞

-=-∑ (4)

1

21

;2n n n ∞

=-∑

(5)

1sin ,n

n r

nx ∞

=∑||1;r < (6)

1

cos ,n

n r

nx ∞

=∑|| 1.r <

2．讨论下列级数的敛散性：

(1)

1;21n n =-∑

(2)

111(

);23n n

n ∞

=+∑ (3)

1cos

;21

n n π

∞

=+∑ (4)

11

;(32)(31)

n n n ∞

=-+∑

(5)

1

n ∞

=

3．证明定理10.2. 4．设级数

1

n

n u

∞

=∑各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数

1

,n

n U

∞

=∑即

1112,n n n n k k k U u u u ++++=++

+0,1,2,

n =，

其中001210,.n n k k k k k k +=<<<<<<

若1

n n U ∞

=∑收敛，证明原来的级数也收敛.

3 正项级数

1．判别下列级数的收敛性：

(1)

n ∞

=

(2)

21

11

;(21)2

n n n ∞

-=-∑

(3)

1n ∞

= (4)

1

sin ;2

n

n π

∞

=∑

(5)

11n

n a

=+∑ (1);a >

(6)

1n ∞

=

(7)

11(

);21

n

n n ∞

=+∑ (8)

1

1

;[ln(1)]n

n n ∞

=+∑ (9) 1

2(1);2n

n

n ∞

=+-∑ (10)

12sin

;3

n n

n π

∞

=∑

(11) 1;!

n

n n n ∞

=∑

(12)

1ln ;2

n

n n n

∞

=∑ (13) 1!2;n

n n n n ∞

=∑

(14) 1!3;n

n n n n

∞

=∑

(15) 2

1

;1()n

n n n n

∞

=+∑ (16) 2

1(1)(1)

(1)

n

n

n x x x x ∞

=+++∑ (0);x ≥

(17)

3353573579;11414714710

⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅

(18)

ln 11

;n

n n

∞

=∑

(19)

ln 1

1

;(ln )n

n n ∞

=∑

(20)

ln 1;2

n

n =∑

(21)

ln 1

1;3n n ∞

=∑

(22)

1n ∞

=

(23)

1

n ∞=

2．利用泰勒公式估算无穷小量的阶，从而判别下列级数的收敛性： (1)

11

[(1)];n p

n e n ∞

=-+∑

(2)

3

ln cos ;p n n π

∞

=∑

(3)

11

ln

;1

p n n n ∞

=--+∑

(4)

1

n ∞

=∑

3．已知两正项级数1

n

n u

∞

=∑和

1

n

n v

∞

=∑发散，问

1

max(,)n

n

n u v ∞

=∑，1

min(,)n

n

n u v ∞

=∑两级数的

收敛性如何？

4．若正项级数

1

n

n a

∞

=∑收敛，1n n a a +≤(1,2,)n =，求证lim 0n n na →∞

=.

5．设22221,,1,2,,

1,1,2,,n k

a n k k n a k k ⎧=≠=⎪⎪⎨

⎪==⎪⎩

求证:(1)

1

n

n a

∞

=∑收敛;

(2) lim 0.n n na →∞

≠

6．讨论下列级数的收敛性: