第十二章 数项级数
12-3——华东师范大学数学分析课件PPT
从而数列S2 m 1是递减的，而数列S2 m 是递增的.
又由条件(ii)知道
0 S2m1 S2m u2m 0 (m ), 从而{ [S2m, S2m-1] }是一个区间套. 由区间套定理, 存
在惟一的实数 S, 使得
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
lim
m
S2m1
lim
m
S2m
S.
所以数列 {Sn } 收敛, 即级数 (1) 收敛.
推论
若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件, 则收敛 级数(1)的余项估计式为
Rn un1 .
对于下列交错级数, 应用莱布尼茨判别法, 容易检验 它们都是收敛的:
数学分析 第十二章 数项级数
Sn
S,
所以对任何正整数 m,都有 m
S,
即级数(7)收敛, 且其和 S.
由于级数(5)也可看作级数(7)的重排, 所以也有
S , 从而得到 S. 这就证明了对正项级数定
理成立. 第二步 证明(7)绝对收敛.设级数(5)是一般项级数 且绝对收敛, 则由级数(6)收敛第一步结论, 可得
um1 um2 umr
因此由柯西准则知级数(5)也收敛. 对于级数(5)是否绝对收敛,可引用正项级数的各种 判别法对级数(6)进行考察.
数学分析 第十二章Байду номын сангаас数项级数
高等教育出版社
§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
例1 级数
n 2
n1 n!
原数列的重排. 相应地称级数 uk(n)为级数(5)的重
数项级数习题课完整版
如果lim n un = ρ ( ρ为数或 + ∞ ) ,
n→ ∞
时级数收敛; 时级数发散; 时失效. 则ρ < 1时级数收敛; ρ > 1时级数发散;ρ = 1时失效.
3、交错级数及其审敛法
定义
∞
负项相间的级数称为交错级数. 正 、负项相间的级数称为交错级数.
∞
(−1)n−1un 或∑(−1)nun (其中 n > 0) u ∑
3n sin ∑
1 ∞
5n
π
5n
n [(−1 + 3] ) （） 6 ∑ n 6 1 解
∞ 6 n
n
n6[(−1)n + 3]n n6 4n * ≤ （） n n 6 6 ∞ ∞ n6 4n ∑vn = ∑ 6n n=1 n=1 (n +1 6 4n+1 6n ) vn+1 = lim ⋅ 6 n 4(n + 1)6 Qlim n→ ∞ 6n+1 n 4 = lim n→∞ v n→∞ n 6n6 6 4 1 = lim 1 + = 4 < 1 n→∞ 6 n 6 ∞ ∞ n6 4n ∴∑vn = ∑ n （* *） 6 n=1 n=1 (*) (**)
第十二章习题课
1、常数项级数
定义
∑u
n=1
∞
n
= u1 + u2 + u3 +L+ un +L
级数的部分和 sn = u1 + u2 +L+ un = 级数的收敛与发散
∑u
i =1
n
i
数 级数 敛 发散 ⇔lim sn存在 不 收 ( ) 常 项 ( 存在 . )
级数最全版
第十二章 级数第一节 数项级数及其敛散性思考题：1. 级数收敛的必要条件所起的作用是什么？答：级数收敛的必要条件可用来判别一些级数的发散性，缩小了收敛级数的范围. 2. 判定一个级数是否收敛，有哪几种方法？ 答：有下列主要方法：（1）利用收敛定义，即考查n n s ∞→lim 是否存在.（2）若为正项级数，则可利用比较判别法或比值判别法. （3）若为非正项级数，考查是否绝对收敛. （4）若为交错级数，用莱布尼茨判别法来判断.习作题：1. 判别下列数项级数是否收敛：（1）∑∞=-+1)1(n n n , （2）∑∞=131n n, （3）∑∞=1!n n nn , （4）)1(1)1(11+-∑∞=-n n n n .解：（1） nn n n ++=-+111121+>n ,而级数∑∞=+111n n 发散, ∴级数∑∞=-+1)1(n n n 发散. （2）∑∞=131n n 是公比31=q 的等比级数，而1<q ， ∴∑∞=131n n 收敛.（3） nn n a a 1lim +∞→ = nn n n n n n !)1()!1(lim 1+∞→++=n n n n )1(lim +∞→=1e 1<-, ∴原级数收敛.（4） ∑∞=-+-11)1(1)1(n n n n=∑∞=+1)1(1n n n ,而级数∑∞=+1)1(1n n n 收敛，故原级数绝对收敛.2. 证明级数 ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++2222sin 33sin 22sin 1sin nn θθθθ对任何θ都收敛. 证明：221s i n n n n ≤θ, 而级数 ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++23221312111n =∑∞=121n n收敛,故因比较判别法知, 原级数对任何θ都绝对收敛.3. 将循环小数83.0 化为分数. 解： 83.0 = +⨯+⨯+⨯+---38.01038.01038.01038.0642=∑∞=⋅1210138n n=∑∞==1299381038n n.4. 判定级数∑∞=142cos n n n α的敛散性. 解：因为级数42cos n n α≤41n , 而级数∑∞=141n n 收敛，故级数∑∞=142cos n n n α绝对收敛.第二节 幂级数思考题：1. 在收敛区间内幂级数有哪些性质？答：幂级数的代数性质有：加法运算性质和乘法运算性质. 幂级数的分析性质有：连续性. 可导性. 可积性，即在收敛区间内：（1）连续，（2）可导，且可逐项求导，（3）可积且可逐项积分.2. 如何将一个函数展开成幂级数？间接展开法有哪些优点？ 答：函数的幂级数展开可利用直接展开法和间接展开法.间接展开法与直接展开法比较有以下优点： （1）避免直接展开法中求系数n a 时)(0)(x fn 的复杂运算，而由基本展开式可直接求出n a ,（2）根据幂级数运算保持收敛性不变的性质，由基本展开式可直接求出展开式的收敛区间，因此不必通过求收敛半径等讨论收敛性.3. 将函数展开成幂级数与将函数在0=x 处展开成泰勒级数两句话的含义一致吗？ 答：不一致.将函数展开成幂级数可以在任意0x x =处展开，而将函数在0=x 处展开成泰勒级数是指将函数在特定的点0=x 处展开成幂级数.4. 计算器上，对函数x ln 的求值算法能通过本节所述的知识实现吗？请详细讨论和实验.答：能.习作题：1. 求下列幂级数的收敛域：（1）∑∞=1!n nx n , （2）∑∞=1)!2(n nn x .解：（1）1lim+∞→=n n n a a R =)!1(!lim +∞→n n n =11lim +∞→n n =0,∴级数∑∞=1!n n x n 的收敛域为}0|{=x x .（2）1lim+∞→=n nn a a R =)]!1(2[1)!2(1lim +∞→n n n =1)22)(12(lim++∞→n n n=∞+,∴级数∑∞=1)!2(n nn x 的收敛域为),(+∞-∞. 2. 求幂级数∑∞=+-0)1()1(n n nx n 的和函数.解：设∑∞=+-=)1()1()(n n nx n x s ,两端关于x 求积分得：x x s x d )(0⎰=∑∞=+-01)1(n n n x =xx+1 )1,1(-∈x 两端求导得：2)1(1)(x x s +=, 即∑∞=-∈+=+-02)1,1(,)1(1)1()1(n n n x x x n . 3. 将xx f 1)(=展开成3-x 的幂级数，并求收敛域. 解：)3(31)(-+=x x f =)33(1131-+⋅x ,因为∑∞=+=-011)1(n n n xx )1,1(-∈x , 所以 ∑∞=-⋅-=-+⋅)33(31)1()33(1131n n n x x =∑∞=+--01)3()31()1(n n n n x , 其中1331<-<-x ， 即60<<x . 当0=x 时，级数为∑∞=031n 发散；当6=x 时，级数为∑∞=⋅-031)1(n n 发散,故 x 1=∑∞=+--01)3()31()1(n nn n x )6,0(∈x .4. 以函数xx f -=11)(的幂级数展开式为基础，分别求出下列函数的幂级数展开式，并写出收敛域.（1）x +11, （2）211x+, （3）)1ln(x +, （4）x arctan , （5）x cot cos .解：（1）x +11=)(11x --=∑∞=-∈-0)1,1(,)1(n nn x x .（2）211x + =∑∞=-02)(n n x =∑∞=-02)1(n nn x ,)1,1(-∈x .（3）)1ln(x +=⎰+xx x 0d 11=⎰∑∞=-x n n n x x 0d )1( =∑⎰∞=-0d )1(n x nnx x =∑∞=++-011)1(n n n x n , ]1,1(-∈x .(4) 211)(arctan x x +='=∑∞=-∈-02)1,1(,)1(n nn x x , 于是 x arctan =⎰∑∞=-x n nnx x 02d )1(=()∑∞=++-012121n n nx n , ]1,1[-∈x .(5) 211)cot arc (x x +-='=∑∞=+-∈-021)1,1(,)1(n nn x x , 于是 x cot arc =⎰∑∞=+-x n n n x x 0021d )1(=()∑∞=+++-0121121n n n x n ,]1,1[-∈x .第三节 傅里叶级数思考题：1. ()x f 是定义在[]b a ,上的函数, 且满足收敛定理的条件，如何将其展成以a b -为周期的傅里叶级数？答：可设)2()(a b x f x F ++=，则)(x F 在]2,2[ab a b ---上有定义，且满足收敛定理条件，故可展开为以a b -为周期的傅里叶级数.2. 函数)(x f 的傅里叶级数展开式是否惟一？设以2l 为周期的函数)(x f ，将其在],[l l -上展开和在[0，2l ]上展开的以2l 为周期的傅里叶级数是否相同？为什么？答：（1）)(x f 的傅里叶展开式并不惟一，因为不同的区间[]b a ,上的展开式的系数可能不同.（2）当)(x f 的周期为l 2时，注意定积分恒等或⎰⎰+=x x f x x f al ald )(d )(220，其中)(x f 的周期为2l ，a 为任意常数，则可知将)(x f 在],[l l -展开和在[]l 2,0上展开的傅里叶级数相同.习作题：1. 将周期为1的函数21)(x x f -=)2121(≤≤-x 展成傅里叶级数.解：令π2tx =，则得()t F 在[]π,π-上的表达式为 22π41)(t t F -=， 611d π41π1d )(π122ππππ0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰--t t t t F a ， ()t nt t F a n d cos π1ππ⎰-==t nt t d cos π41π122ππ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎰- =t nt t d cos π212π03⎰-=t nt t n d sin 2π21π03⎰=()()()212π1πcos π1n n n n +-=-， ()t nt t F n b n d sin 1ππ⎰-==t nt t d sin π41π122ππ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎰-=0 ()x f ∴的傅里叶展开式为()()()x n n x x f n n πc o s 1121111212⋅-+=-=∑∞=+π )2121(≤≤-x 2. 把x x f -=1)(()10≤≤x 展开成正弦级数和余弦级数. 解: (1)先将)(x f 延拓为奇函数⎩⎨⎧<≤---≤<-=,01,1,10,1)(1x x x x x f 再作变换t x π1=, 得⎪⎩⎪⎨⎧<≤---≤<-=,0π,π1,π0,π1)(1x tt t t F 由 t nt t F b n d sin )(π11ππ⎰-==t nt t d sin )π1(π2π0-⎰=π2)1(1n n ⋅-+，得 )(1t F =∑∞=+⋅-11sin π2)1(n n nt n , ππ≤≤-t 且0≠t . 令 x t π=, 得)(x f 的正弦级数展开式为⎪⎩⎪⎨⎧=≤<-=-∑∞=+.0,1,10,πsin )1(π2111x x x n n x n n(2) 先将)(x f 延拓为偶函数⎩⎨⎧<≤-+≤≤-=,01,1,10,1)(2x x x x x f 再作变换t x π1=, 得⎪⎩⎪⎨⎧<≤-+≤≤-=,0π,π1π,0,π1)(2x tt t t F 由 1d )π1(π2d )(π1π02ππ0=-==⎰⎰-t tt t F a ,t nt t F a n d cos )(π11ππ⎰-==t nt t d cos )π1(π2π0-⎰ =⎪⎩⎪⎨⎧,,0,,π422为偶数时为奇数时n n n得 )(2t F =)55cos 33cos (cos π421222 ++++tt t , ππ≤≤-t , 令 x t π=, 得)(x f 的余弦级数展开式为∑∞=++=-122πcos )12(1π4211n x n n x , 10≤≤x .。
数学分析12.3一般项级数
第十二章 数项级数2 一般项级数一、交错级数概念：若级数各项符号正负相间，即u 1-u 2+u 3-u 4+…+(-1)n+1u n +…(u n >0, n=1,2,…)，则称它为交错级数.定理12.11：(莱布尼茨判别法)若交错级数∑∞=+1n n 1n u (-1)满足：(1)数列{u n }单调递减；(2)∞n lim +→u n =0，则该级数收敛.证：交错级数的部分和数列{S n }的奇数项和偶数项分别为： S 2m-1=u 1-(u 2-u 3)-…-(u 2m-2-u 2m-1)，S 2m =(u 1-u 2)+(u 3-u 4)…+(u 2m-1-u 2m ). 由条件(1)知上述两式括号内的数皆非负，从而 数列{S 2m-1}递减，数列{S 2m }递增. 又由条件(2)知0<S 2m-1-S 2m =u 2m →0 (m →∞)，从而{[S 2m ,S 2m-1]}形成一个区间套， 由区间套定理，存在唯一的一个数S ，使得∞m lim +→S 2m-1=∞m lim +→S 2m =S.∴数列{S n }收敛，即该交错级数收敛.推论：若交错级数满足莱布尼茨判别法的条件，则该收敛级数的余项估计式为|R n |≤u n+1.二、绝对收敛级数及其性质概念：若级数各项绝对值所组成的级数|u 1|+|u 2|+…+|u n |+…收敛， 则称它为绝对收敛级数. 若级数收敛，但不绝对收敛，则称该级数为条件收敛级数.定理12.12：绝对收敛级数一定收敛.证：若级数|u 1|+|u 2|+…+|u n |+…收敛，由柯西收敛准则知， 对任意ε>0，总存在正数N ，使得对n>N 和任意正整数r ，有 |u n+1|+|u n+2|+…+|u n+r |<ε，∴|u n+1+u n+2+…+u n+r |<ε， ∴u 1+u 2+…+u n +…收敛. 得证！例1：证明：级数∑!n a n收敛.证：∵n1n ∞n u u lim++→=1n alim ∞n ++→=0<1,∴原级数绝对收敛.性质1：级数的重排：正整数列{1,2,…,n,…}到它自身的一一映射 f:n →k(n)称为正整数列的重排，相应地对数列{u n }按映射F:u n →u k(n)所得到的数列{u k(n)}称原数列的重排；同样的，级数∑∞=1n k(n)u 也是级数∑∞=1n nu 的重排. 记v n =u k(n)，即∑∞=1n k(n)u =v 1+v 2+…+v n +….定理12.13：若级数∑n u 绝对收敛，且其和等于S ，则任意重排后所得到的级数∑n v 也绝对收敛，且有相同的和数.证：不妨设∑n u 为正项级数，用S n 表示它的第n 个部分和， 记T m =v 1+v 2+…+v m 表示级数∑n v 的第m 个部分和.∵级数∑n v 是∑n u 的重排，∴对每一个v k 都等于某一ki u (1≤k ≤m).记n=max{i 1,i 2,…i m }, 则对任何m ，都存在n ，使T m ≤S n .由∞n lim +→S n =S 知，对任何正整数m 有T m ≤S, 即∑n v 收敛，其和T ≤S.又级数∑n u 也是∑n v 的重排，∴S ≤T ，推得T=S.若∑n u 为一般级数且绝对收敛，即正项级数∑n u 收敛，同理可推得 级数∑n v 收敛，∴级数∑n v 收敛. 令p n =2u u nn +，q n =2u u nn -；则当u n ≥0时，p n =u n ，q n =u n ；当u n <0时，p n =0，q n =-u n ≥0. 从而有 0≤p n ≤|u n |，0≤q n ≤|u n |，p n +q n =|u n |，p n -q n =u n . 又∑n u 收敛， ∴∑n p ,∑n q 都是正项的收敛级数，且S=∑n u =∑n p -∑n q .同理得：∑n v =∑'n p -∑'n q ，其中∑'n p ,∑'n q 分别是∑n p ,∑n q 的重排. ∴∑n v =∑'n p -∑'n q =∑n p -∑n q =S. 得证!性质2：级数的乘积：由a ∑n u =∑n au 可推得有限项和与级数的乘积：(a 1+a 2+…+a m )∑∞=1n n u =∑∑∞==1n n m1k k u a .继而可推广到无穷级数之间的乘积：设收敛级数∑n u =A, ∑nv=B.将两个级数中每一项所有可能的乘积列表如下：这些乘积u i v j按各种方法排成不同的级数，如按正方形顺序相加，得u1v1+u1v2+u2v2+u2v1+u1v3+u2v3+u3v3+u3v2+u3v1+…，如下表：或按对角线顺序相加，得u1v1+u1v2+u2v1+u1v3+u2v2+u3v1+…，如下表：定理12.14：(柯西定理) 设绝对收敛级数∑n u=A, ∑n v=B，则由它们中每一项所有可能的乘积u i v j按任意顺序排列所得到的级数∑n w绝对收敛，且其和等于AB.证：设级数∑n w,∑n u,∑n v的部分和分别为：S n =|w 1|+|w 2|+…+|w n |,A m =|u 1|+|u 2|+…+|u m |,B m =|v 1|+|v 2|+…+|v m |. 其中w k =kkj i v u (k=1,2,…,n)，m=max{i 1,j 1,i 2,j 2,…,i n ,j n }，则必有S n ≤A m B m .∵绝对收敛级数∑n u 与∑n v 的部分和数列{A m }和{B m }都有界， ∴{S n }有界，从而级数∑n w 绝对收敛. 利用绝对收敛级数的可重排性， 将绝对收敛级数∑n w 按正方形顺序重排如下： u 1v 1+(u 1v 2+u 2v 2+u 2v 1)+(u 1v 3+u 2v 3+u 3v 3+u 3v 2+u 3v 1)+…， 把每一括号作一项，得新级数：p 1+p 2+p 3+…+p m +…收敛， 且与∑n w 和数相同，其部分和P m =A m B m . 即有∞m lim +→P m =∞m lim +→A m B m =∞m lim +→A m ∞m lim +→B m =AB. 得证！例2：证明：级数1+2r+…+(n+1)r n +…(|r|<1)绝对收敛，并求其和.证：等比级数∑∞=0n n r =1+r+r 2+…+r n +…=r-11(|r|<1)，绝对收敛. 将(∑∞=0n n r )2的所有可能的项按对角线顺序相加得：1+(r+r)+(r 2+r 2+ r 2)+…+(r n +…+r n )+… (括号内共有n+1个r n ) =1+2r+…+(n+1)r n +…=2r)-(11. ∴所求级数绝对收敛，其和为2r)-(11.二、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法引理：(分部求和公式，也称阿贝尔变换)设εi ,v i (i=1,2,…,n)为两组实数， 若令T k =v 1+v 2+…+v k (k=1,2,…,n)，则有如下分部求和公式成立：∑=n1i ii vε=(ε1-ε2)T 1+(ε2-ε3)T 2+…+(εn-1-εn )T n-1+εn T n .证：以v 1=T 1, v k =(T k -T k-1) (k=2,3,…,n)分别乘以εk (k=1,2,…,n)，则∑=n1i ii vε=ε1v 1+ε2v 2+…+εn v n =ε1T 1+ε2(T 2-T 1)+…+εn (T n -T n-1)=(ε1-ε2)T 1+(ε2-ε3)T 2+…+(εn-1-εn )T n-1+εn T n .推论：(阿贝尔引理)若(1)ε1, ε2,…, εn 是单调数组；(2)对任一正整数k(1≤k ≤n)有|T k |=|v 1+v 2+…+v k |≤A ，记ε=kmax {|εk |},有∑=n1k k k v ε≤3εA.证：由(1)知ε1-ε2, ε2-ε3, …, εn-1-εn 同号，于是由分部求和公式及(2)有∑=n1k k kv ε=|(ε1-ε2)T 1+(ε2-ε3)T 2+…+(εn-1-εn )T n-1+εn T n |≤A|(ε1-ε2)+(ε2-ε3)+…+(εn-1-εn )|+A|εn |=A|(ε1-εn )|+ A|εn | ≤A(|ε1|+2|εn |)≤3εA.定理12.15：(阿贝尔判别法)若{a n }为单调有界数列，且级数∑n b 收敛, 则级数∑n n b a =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n +…收敛.证：由级数∑n b 收敛，依柯西准则，对任给正数ε, 存在正数N, 使 当n>N 时，对一切正整数p ，都有∑++=pn 1n k kb<ε.又数列{a n }单调有界，∴存在正数M ，使|a n |≤M ，根据阿贝尔引理有∑++=pn 1n k k kb a≤3εM. ∴级数∑n n b a 收敛.注：由阿贝尔判别法知，若级数∑n u 收敛，则下述两个级数：(1)∑p nn u (p>0)；(2)∑+1n u n 都收敛.定理12.16：(狄利克雷判别法)若数列{a n }单调递减，且∞n lim +→a n =0，又且级数∑n b 的部分和数列有界，则级数∑n n b a 收敛.例3：证明：若数列{a n }单调递减，且∞n lim +→a n =0，则级数∑sinnx a n 和∑cosnx a n 对任何x ∈(0,2π)都收敛.证：2sin 2x (21+∑=n 1k coskx )=sin 2x +2sin 2x cosx+2sin 2x cos2x+…+2sin 2xcosnx= sin 2x +(sin 23x-sin 2x )+…+[sin(n+21)x-sin(n-21)x]=sin(n+21)x. 当x ∈(0,2π)时，sin 2x ≠0, cot 2x ≠+∞.∴∑=n1k coskx =2x 2sinx 21n sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-21=21sinnxcot 2x +2cosnx -21.又-21cot 2x -1≤21sinnxcot 2x +2cosnx -21≤21cot 2x ，即当x ∈(0,2π)时，∑cosnx 的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知级数∑cosnx an收敛.2sin 2x (∑=n 1k sinkx -21cot 2x )=2sin 2x sinx+2sin 2x sin2x+…+2sin 2x sinnx-cos 2x= (cos 2x-cos 23x) +…+[cos(n-21)x-cos(n+21)x]-cos 2x =-cos(n+21)x. 当x ∈(0,2π)时，sin 2x ≠0, cot 2x ≠+∞.∴∑=n1k sinkx =21cot 2x -2x 2sin x 21n cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2x 2sinx 21n cos -2x cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+.又- csc 2x =2x sin 1-≤2x 2sin x 21n cos -2x cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤2x sin1=csc 2x ，即当x ∈(0,2π)时，∑sinnx 的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知级数∑sinnx an收敛.注：作为例3的特例，级数∑n sinnx 和∑ncosnx对一切x ∈(0,2π)都收敛.习题1、下列级数哪些是绝对收敛，条件收敛或发散的：(1)∑!n sinnx ；(2)∑+-1n n )1(n；(3)∑+n1p n n (-1)；(4)∑-n 2sin )1(n ；(5)∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n 1n (-1)n ；(6)∑++1n 1)ln(n (-1)n ；(7)n n 13n 1002n )1(∑⎪⎭⎫ ⎝⎛++-；(8)nn x !n ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛. 解：(1)∵!n sinnx <2n 1(n>4)；又级数∑2n1收敛，∴原级数绝对收敛. (2)∵1n n)1(limn ∞n +-+→=1≠0；∴原级数发散. (3)∵当p ≤0时，n1p n ∞n n(-1)lim++→≠0；∴原级数发散；当p>1时，n1p n n(-1)+≤p n 1；又级数∑p n1(p>1)收敛，∴原级数绝对收敛. 当0<p ≤1时，令u n =n1p n1+，则n1n u u +=1n 1p n 1p 1)(n n++++=1n 1pn1)1n (n 11n++⎪⎭⎫⎝⎛+<1n 1pn 1n n 11n+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=p1)n(n 1n 11n⎪⎭⎫ ⎝⎛++，∵np ∞n n 11lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→=e p>1, 1n 1∞n n lim ++→=1，∴当n 充分大时，npn 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+>1n 1n +，即 p n 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+>1)n(n 1n+，从而n1n u u +<1，即u n+1<u n ，∴{u n }在n 充分大后单调减. 又∞n lim +→u n =n1p ∞n n1lim++→=0(0<p ≤1)，由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛.(4)∵n2n2sin)1(limn ∞n -+→=1, 且级数∑n2发散，∴原级数不绝对收敛. 又{n2sin }单调减，且n2sin lim ∞n +→=0，由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛. (5)∵级数∑n(-1)n收敛，而级数∑n1发散，∴原级数发散.(6)∵1n 1)ln(n (-1)n ++>1n 1+(n ≥2)，且∑+1n 1发散，∴原级数不绝对收敛.又{1n 1)ln(n ++}单调减且1n 1)ln(n lim ∞n +++→=0，∴原级数条件收敛. (7)记u n =n13n 1002n ⎪⎭⎫⎝⎛++，则n ∞n u lim +→=13n 1002n lim ∞n +++→=32，∴原级数绝对收敛. (8)记u n =n n x !n ⎪⎭⎫ ⎝⎛，则n 1n ∞n u u lim ++→=n∞n 1n n x lim ⎪⎭⎫⎝⎛++→=|e x |， ∴当-e<x<e 时，n1n ∞n u u lim++→<1，原级数绝对收敛； 当x ≥e 或x ≤-e 时，n1n ∞n u u lim++→≥1，即当n 充分大时，|u n+1|≥|u n |>0，∴n ∞n u lim +→≠0，∴原级数发散.2、应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性：(1)nn n x 1x n (-1)+⋅∑ (x>0)； (2)∑a n sinnx, x ∈(0,2π) (a>0)； (3)nnxcos )1(2n∑-, x ∈(0,π).解：(1)∵当x>0时，0<n n x 1x +<n n x x =1，且n n1n 1n x 1xx 1x ++++=1n 1n x 1x x ++++； 若0<x ≤1，则1n 1n x 1x x ++++≤1；若x>1，则1n 1n x1x x ++++>1， 即数列{n n x 1x +}单调有界. 又级数∑n(-1)n收敛，由阿贝尔判别法知原级数收敛. (2)∵当a>0时，数列{a n1}单调递减，且∞n lim +→a n 1=0， 又当x ∈(0,2π)时，∑=n1k sinkx ≤csc 2x，即∑sinnx 的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知原级数收敛. (3)∵数列{n 1}单调递减，且∞n lim+→n1=0，又当x ∈(0,π)， ∑=n1k 2kkx cos (-1)=∑=+n1k k21cos2kx (-1)≤∑=n 1k k 2(-1)+∑=n1k k 2cos2kx (-1)≤21+∑=n1k cos2kx 21.又由2sinx ∑=n 1k cos2kx =4sin(2n+1)x-4sinx ，得∑=n1k cos2kx =2sinx4sinx -1)x 4sin(2n +≤sinx 2+2， 即对任意x ∈(0,π)，级数nx cos )1(2n ∑-有界， 根据狄利克雷判别法知原级数收敛.3、设a n >a n+1>0 (n=1,2,…)且∞n lim +→a n =0.证明：级数∑+⋯++na a a (-1)n211-n 收敛.证：由a n >a n+1>0 (n=1,2,…)且∞n lim +→a n =0知， {na a a n21+⋯++}单调减且趋于0，由莱布尼茨判别法知原级数收敛.4、设p n =2u u nn +，q n =2u u nn -.证明：若∑n u 条件收敛，则级数∑n p 与∑n q 都是发散的. 证：若∑n u 条件收敛，则∑n u 发散， ∴∑n p =∑+2u u nn =∑2u n +∑2u n，发散； ∑n q =∑-2u u nn =∑2u n -∑2u n，发散.5、写出下列级数的乘积：(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=1n 1-n 1-n 1n 1-n nx (-1)nx ； (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n 0n n!(-1)n!1. 解：(1)当|x|<1时，两个级数均绝对收敛，乘积按对角线一般项为：w n =k-n k-n n1k 1-k 1)xk -(n (-1)·kx +∑==xn-1∑=+n1k k-n 1)k -k(n (-1), 从而有w 2m =x2m-1∑=+2m1k k-2m 1)k -k(2m (-1)=[-2m+…+(-1)m (m 2+m)+2m+…+(-1)m-1(m 2+m)]=0； w 2m+1=x 2m∑+=++12m 1k 1k -2m 2)k -k(2m (-1)=x 2m[∑+=++12m 1k 1k -2m 1)k -k(2m (-1)+∑+=+12m 1k 1k -2m k (-1)]=-x 2m∑+=+12m 1k k-2m 1)k -k(2m (-1)+x2m∑+=+12m 1k 1k -2m k (-1)=- w 2m +x2m∑+=-12m 1k 1k k (-1)=x2m∑+=-12m 1k 1k k (-1)=x 2m(1-2+3-4+…-2m+2m+1)=(m+1) x 2m.∴⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=1n 1-n 1-n 1n 1-n nx (-1)nx =∑∞=+0m 2m 1)x (m . (|x|<1).(2)两个级数均绝对收敛，其乘积按对角线一般项为：w 0=1, w n =k)!-(n (-1)·k!1k -n nk ∑==n!1∑=nk k -n k)!-(n k!n!(-1)=n!1)-(1n=0(n=1,2,…) ∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n0n n!(-1)n!1=1.注：二项式n 次幂展开式：(1-1)n=∑=nk k -n k)!-(n k!n!(-1).6、证明级数∑∞=0n n n!a 与∑∞=0n n n!b 绝对收敛，且它们的乘积等于∑∞=+0n nn!b)(a .证：n!a 1)!(n a limn 1n ∞n +++→=1n alim ∞n ++→=0,∴∑∞=0n n n!a 绝对收敛. 同理∑∞=0n nn!b 绝对收敛. 按对角线顺序，其乘积各项为：C 0=1=!0b)(a 0+, ……,C n =k)!-(n b k!a k -n n1k k ⋅∑==n!∑=n 0k k -n k k)!-(n k!n!b a =n!b)(a n +. ∴∑∞=0n n n!a ·∑∞=0n n n!b =∑∞=+0n nn!b)(a .7、重排级数∑+-n1)1(1n ，使它成为发散级数. 解：∑+-n 1)1(1n =1-21+31-41+…+n 1)1(1n +-+…=∑∞=1k 1-2k 1-∑∞=1k 2k 1，∑∞=1k 1-2k 1∵∑∞=1k 2k 1和∑∞=1k 1-2k 1是发散的正项级数，∴存在n 1，使u 1=∑=1n 1k 1-2k 1-21>1，又∑∞+=1n k 11-2k 1发散，∴存在n 2>n 1，使u 2=∑+=21n 1n k 1-2k 1-41>21，同理存在n 3>n 2，使u 3=∑+=32n 1n k 1-2k 1-61>31,…,u i+1=∑++=1i i n 1n k 1-2k 1-1)2(i 1+>1i 1+，可得原级数的一个重排∑∞=1i i u . ∵u i >i 1,且∑i 1发散，∴∑∞=1i i u 必发散.8、证明：级数∑-n)1(]n [收敛.证：记A L ={n|[n ]=L}, L=1,2,…，显然A L 中元素n 满足L 2≤n<(L+1)2,且A L 中元素个数为2L+1. 记U L =∑∈-L A n ]n [n )1(，则有u L =∑∈-LA n Ln )1(=(-1)L V L , 其中V L =∑∈L A n n 1，则V L -V L+1=∑=+2L0s 2s L 1-∑+=++1)2(L 0s 2s)1(L 1=∑=++++2Ls 22s])1s)[(L (L 1L 2-1L 2)1(L 12+++-2L 2)1(L 12+++≥∑=+++2L0s 22L]2)1[(L 1L 2-L 2)1(L 22++=222L]2)1[(L L]2)12[(L -1)L 2(L 2+++++=2222L]2)1[(L L)2-1-L 2L -L L 2(2++-+=222L]2)1[(L 1)-3L L (2++->0(当L ≥4时). ∴当L ≥4时, { V L }是单调下降数列. 当n ∈A L 时，21)(L 1+<n 1≤2L 1， ∴21)(L 1L 2++<V L ≤2L 1L 2+，可见∞L lim +→V L =0，从而∑∞=1L L u =∑∞=1L L LV (-1)收敛. 设级数∑∞=-1n ]n [n )1(的部分和为S N ，记级数∑∞=1n n u 的部分和为U M ，则S N =∑=-N1n ]n [n )1(，U M =∑=M1n n u ，任一个S N 均被包含在某相邻两个部分和U M , U M+1之间，即有|S N -U M |≤|U M+1-U M |，由级数∑∞=1n n u 收敛，知∞M lim +→U M+1-U M =0，∴∞N lim +→S N -U M =0，即极限∞N lim +→S N =∞N lim +→U M =∑∞=1n n u 存在，∴级数∑-n)1(]n [收敛.。
第十二章数项级数
第十二章数项级数1级数问题的提出1. 证明：若微分方程xy " y ' xy0 有多项式解y a0a1 x a2 x2a n x n , 则必有 a i0 i n2．试确定系数a0 , a1 , , a n , , 使a n x n满足勒让德方程n 0(1 x2 ) y " 2 xy ' l (l 1)y0.2 数项级数的收敛性及其基本性质1．求下列级数的和：(1)1 ;4)(5 nn 1 (5n 1)(2) 1 ;n 1 4n2 1( 1)n 1(3) n 1 ;n 1 22n 1(4) n ;n 1 2(5) r n sin nx,| r |1;n 1(6) r n cos nx,| r |1.n 12．讨论下列级数的敛散性：(1)n ;n 1 2n 1(2)1 1( n n ); n 1 2 3(3) cos2n ;n 1 1(4) 1 ;2)(3nn 1 (3n 1)(5)1 .n(n 1)( n nn 1 1)3．证明定理 10.2.4．设级数u n 各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数U n , 即n 1 n 1U n 1 u k n 1 u k n 2 u k n 1 , n 0,1,2, ，其中 k0 0, k0 k1 k2 k n k n 1 .若U n收敛，证明原来的级数也收敛.n 13正项级数1．判别下列级数的收敛性：1 (1)n2 ;n 1 n(2)1;2 n 1 n 1 (2n 1)2(3) n n ;n 12n 1 (4) sin n;n 1 2(5)1(a 1);a n n 11(6)1;n 1n n n(7)( 1 )n ; n 1 2n 1(8)1;1)] nn 1[ln( n(9) 2 ( 1)n; n 12n (10)2nsin n ;n 13 (11)n n ;n 1n!(12)n ln nn;n 12(13)n!2n n ; n 1n(14)n!3n n; n 1 n(15)n 2;n 1(n1 )nn(16)x n( x 0);(1 x)(1 x 2 )n 1(1 x n )3 3 53 5 7 3579 (17)1 41 4 7;1 14710(18)1ln n ;n 1n(19)1;(20)ln n ;n 121(21)ln n;n 13 (22)13 n ;n 1(23)n.n 1 3n2．利用泰勒公式估算无穷小量的阶，从而判别下列级数的收敛性：(1)[ e (1 1 )n ] p ;n 1n(2)ln p cos;n 3n(3)( n 1n ) plnn1;n 1n 1(4)( n a4n 2n b ).n 13．已知两正项级数u n 和v n 发散，问max( u ,v ) ，min( u ,v ) 两级数的nnnnn 1n 1n 1n 1收敛性如何？4．若正项级数a n 收敛， a n 1a n (n 1,2, ) ，求证 lim na n 0 .n 1na n1 ,n k2 , k 1,2, , 5．设n 21a k 2 , k 1,2, ,k 2求证 :(1)a n 收敛 ;n 1(2)lim na n0.n6．讨论下列级数的收敛性:(1);n 2 n(ln n)p1 (2)n ln n ;n 2 ln ln n(3)10);n(ln n)1(n 2 ln ln n1(4).n 2 n(ln n)p(ln ln n)q7．利用拉阿比判别法研究下列级数的收敛性:(1) [ (2 n 1)!!] p ( p是实数 );n 1 (2 n)!!(2) ( 1) ( n 1) 1 (0, 0).n 1 n! n8．设a na n 1l ,求证 lim n a n l .反之是否成立? 0, 且 limn a n n9．利用级数收敛的必要条件证明:(1) limn n0; ( n!) 2n(2) lim (2n)!0 ( a 1).n !n a10．设a n0 , 且数列{ na n}有界 , 证明级数a n 2收敛.n 111．设正项级数a n收敛,证明anan 1 也收敛 .n 1 n 1 12．设lim a n l ,求证:n(1) 当 l 1时, 1a 收敛 ;n 1 n n(2) 当 l 1时, 1 发散 .n1n a n问 l 1时会有什么结论?4 一般项级数1．讨论下列级数的收敛性:(1)( 1)nn n ;n 1100(2)ln n sin n ;n 1 n21 1 12n ;(3)( 1)n n 1n(4)( 1)nn ( 1)n;n 2(5)sin(n 21);n 1n( n 1)(6)( 1)2;3nn 1(7)( 1)n ( p0);n 1n p(8)1sin n;3n2n 1(9)( 1)n cos 2n ; n 1n(10)( 1)n sin 2 n ;n 1n(11)( 1)nsin x( x 0) ;n 1n( 1)n n(12)(n2;n 11)(13)1 1 1 1 1 12 12 1313 1n 1;n 1( 1)n 1an ( a 0);(14)n 1 a n 1sin(n1 ) (15)n n ;n 1(16)sin nsin n 2 .n 1n2．讨论下列级数是否绝对收敛或条件收敛:(1)( 1)n;nxn 1(2)sin(2 n x)n!n 1(3)sin nx (0 x );n 1n(4)cosnxx);np(0 n 1(5)( 1)n0);( p n 1n p 1n(6)( 1)n( p0);[n ( n ] pn 21)n(7)( 1)1 ;n 1pnn(8) ( n 12n sin 2 n x 1) n ; n 1(9)( x)n , lim a na 0;n 1a nn(10)( 1)n r nn(r 0);n 1(11)n!( x)n ;(12)( 1)nln(1n p);n 1(13)( 1)np;nn 1] n 1[ ( 1)sinn(14)4.sinnn 1 np43．利用柯西收敛原理判别下列级数的敛散性 :(1) a 0a 1 q a 2 q 2 a n q n,| q | 1,| a n | A (n 0,1,2, );(2)1 1 1 11 1 .2 3 45 64．求证 : 若级数a n (a n 0) 收敛 , 则级数a n 2 收敛 . 但反之不成立 , 请举出例子 .n1n 15．若级数a n 收敛 , 且 limb n 1, 问是否能断定b n 也收敛 ?研究例子n 1 na nn 1a n ( 1)na n 1, b n.nn6．证明 : 若级数a n (A) 及b n (B) 都收敛 , 且n1n 1a n c nb n ( n 1,2, )则级数c n (C ) 也收敛 , 若级数 ( A) 与 (B) 都发散 , 问级数 (C ) 的收敛性如何 ?n 17．证明 : 若a n收敛 , 则当 x x 0 时 ,a n 也收敛 . 若a n发散 , 则当 x x 0 时 ,n 1n x 0n 1 n x n 1 n x 0a n 也发散 . n 1 n x8．求证 : 若数列 { na n } 有极限 ,n(a n a n 1 ) 收敛 , 则a n 也收敛 .n 1n 19．求证 : 若(a n a n 1 ) 绝对收敛 ,b n 收敛 , 则a nb n 收敛 .n 1n 1n 110．求证 : 若级数a n 2 和b n 2 都收敛 , 则级数n 1 n 1| a bn |, （ anb )2 , a nn nnn 1 n 1 n 1也收敛 .11．设正项数列{ x n } 单调上升且有界, 求证 :(1 x n )n 1x n 1收敛 .n12．对数列{ a n},{ b n} , 定义S n a k , b k b k 1 b k,求证:k 1(1)如果{ S n}有界, | b n | 收敛,且 b n0(n ) ,则a n b n收敛,且有n 1 n 1a nb n S n b n ;n 1n 1(2)如果a n与| b n |都收敛,则a n b n收敛.n 1 n 1 n 113．设a n 收敛 , 且lim na n 0,求证:n 1 nn(a n a n 1 )n 1收敛,并且n(a n a n 1 ) a nn 1 n 114．下列是非题 , 对的请给予证明, 错的请举出反例 :(1) 若 a n 0 ,则 a1 a1 a2 a2 a3 a3 收敛 ;(2) 若 a n 0 ,则 a1 a1 a2 a2 a3 a3 收敛 ;(3) 若 a 收敛,则( 1)n a 收敛;n nn 1 n 1(4) 若a n 2收敛,则a n 3绝对收敛 ;n 1 n 1(5) 若a n发散,则 a n不趋于0;n 1(6) 若a n收敛, b n 1 ，则a n b n收敛;n 1 n 1(7) 若| a n |收敛, b n 1，则a n b n收敛;n 1 n 1 (8) 若a n收敛,则a n 2收敛;n 1 n 1(9) 若a n收敛, a n 0 ，则lim na n0.n 1 n15．求下列极限 ( 其中p1)(1) lim(1 1 1p ); (n 1)p(n 2)p(2 n)n(2) lim(1 1 1). p n 1 p n 2 p 2nn5无穷级数与代数运算1．不用柯西准则 , 求证 : 如果| a n |,则a n也收敛.n 1 n 12．设a n收敛,求证:将相邻奇偶项交换后所成的级数收敛, 且具有相同的和数.n 1精品文档3．求证 : 由级数 ( 1)n 1重排所得的级数n 1n1 1 1 1 1 125743发散 .4．证明 : 若 a n 条件收敛 , 则可把级数重排 , 使新级数部分和数列有一子数列趋向于n 1, 有一子数列趋向.5．已知 H n 111 c ln n r n , c 是欧拉常数 , lim r n0,求证:2nn(1)1 1 1 1ln m 1 c 1r m ;2 42m 2 2 2(2)若把级数 11 1 1的各项重排 , 而使依次p 个正项的一组与依次 q 个负234项的一组相交替 , 则新级数的和为 ln 21ln p .2q6．求证 : 级数( 1) n 1的平方 ( 柯西乘积 ) 是收敛的 .n 1n7．令 e xx n , 求证 e x y e x e y .n 0 n!8．证明 : 若级数的项加括号后所成的级数收敛, 并且在同一个括号内项的符号相同 , 那么去掉括号后 , 此级数亦收敛 ; 并由此考察级数( 1)[ n ]n 1n的收敛性 .精品文档。
数项级数及审敛法
级数收敛 ;
级数发散 .
从而
例5. 讨论级数
的敛散性 .
解:
根据定理4可知:
级数收敛 ;
级数发散 ;
对任意给定的正数
*定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)
设
为正项
则
证明提示:
即
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
级数, 且
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
(2) 当 且 收敛时,
(3) 当 且 发散时,
也收敛 ;
也发散 .
注:
1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较.
的敛散性.
～
例3. 判别级数
的敛散性 .
解:
根据比较审敛法的极限形式知
例4. 判别级数
备用题
1. 判别级数的敛散性:
解: (1)
发散 ,
故原级数发散 .
不是 p–级数
(2)
发散 ,
故原级数发散 .
2.
则级数
(A) 发散 ; (B) 绝对收敛;
(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.
分析:
∴ (B) 错 ;
又
C
胞体的直径相差很大，4-150μm， 细胞体是神经元营养、代谢的中心。
则级数
收敛 , 且其和
其余项满足
证:
是单调递增有界数列,
又
故级数收敛于S, 且
故
收敛
收敛
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
收敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
华东师范大学数学分析第12章
,
sin 2n
由 Cauchy 收敛准则得 ,
收敛 .
n 1 2n
(2)
证法 1
因为 lim n
an
n2
lim
n
2n2
1
1 2
0 ,所以
lim
n
an
0 ,由级数收敛的必要条件
1 n 1 n2
知 ,级数
发散 .
n 1 2n2 1
证法 2 (用 Cauchy 收敛准则 ) 取 0
m0
un
n1
n0
un
n1
n
2n 1
(3) 因为
n 1 n2 1
2
n1 1
1 n 1 n2 1
1
1
2
,而数列
n1 1
收敛于零 ,
n2 1
2n 1
由 4 题知 ,
n 1 n2 1
2
n1 1
1
1
12
1
0
.
2
7.应用 Cauchy 收敛准则判别下列级数的敛散性 :
sin 2n
1 n 1 n2
(1)
n1
2n
; (2) n 1 2n2
p1
1
1
np n
故 ,对
1
0, N
,当 n N 时 ,对任意的正整数 p ,都有
n1
1 n1
n2
1 n2
; (3)
1
n1
n
1
1
; (4)
.
n
n 1 n n2
证 (1) 对
0 1 ,因为
sin 2n 1 2n 1
sin 2n p
1
2n p
《数学分析》第十二章 数项级数
第十二章 数项级数 （ 1 4 时 ）§1 级数的收敛性（ 3 时 ）一． 概念：1．级数：级数,无穷级数;通项 (一般项, 第n 项), 前n 项部分和等概念 (与中学的有关概念联系).级数常简记为∑nu.2. 级数的敛散性与和:介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想.以在中学学过的无穷等比级数为蓝本, 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念 . 例1 讨论几何级数∑∞=0n nq的敛散性.解 当1||<q 时, ) ( , 11110∞→-→--==∑=n q q q q S n nk kn . 级数收敛;当1||>q 时, , =n S 级数发散 ;当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, ()n n S )1(121-+=, ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数∑∞=0n n q 当且仅当 1||<q 时收敛, 且和为q-11( 注意n 从0开始 ). 例2 讨论级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性. 解 用链锁消去法求. 例3 讨论级数∑∞=12n n n的敛散性. 解 设 ∑=-+-++++==nk n n k n n n k S 11322212322212, =n S 211432221 232221++-++++n n nn ,1322212121212121+-++++=-=n n n n n n S S S12211211211→--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+n n n , ) (∞→n .⇒ n S →2, ) (∞→n .因此, 该级数收敛. 例4 讨论级数∑∞=-1352n n n的敛散性. 解52, 5252352⋅>⇒=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散.3. 级数与数列的关系:⑴设∑nu对应部分和数列{n S }, 则∑nu收敛 ⇔ {n S }收敛;⑵对每个数列{n x },对应级数∑∞=--+211)(n n nx xx ,对该级数,有n S =n x .于是,数列{n x }收敛⇔级数 ∑∞=--+211)(n n nx xx 收敛.可见,级数与数列是同一问题的两种不同形式. 4. 级数与无穷积分的关系:⑴⎰∑⎰+∞∞=+==111)(n n nf dx x f ∑∞=1n nu, 其中 ⎰+=1n nn f u . 无穷积分可化为级数;⑵对每个级数, 定义函数 , 2 , 1 , 1 , )(=+<≤=n n x n u x f n , 易见有∑∞=1n nu=⎰+∞1)(dx x f . 即级数可化为无穷积分.综上所述,级数和无穷积分可以互化,它们有平行的理论和结果.可以用其中的一个研究另一个.二 级数收敛的充要条件 —— Cauchy 准则 ：把部分和数列{n S }收敛的Cauchy 准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy 准则.Th1 ( Cauchy 准则 )∑nu收敛⇔N n N >∀∃>∀ , , 0ε和∈∀p N ⇒ε | |21<++++++p n n n u u u .由该定理可见,去掉或添加上或改变(包括交换次序) 级数的有限项, 不会影响级数的敛散性. 但在收敛时, 级数的和将改变.去掉前 k 项的级数表为∑∞+=1k n nu或∑∞=+1n kn u.推论 (级数收敛的必要条件)∑nu收敛⇒ 0lim =∞→n n u .例5 证明2-p 级数∑∞=121n n 收敛 . 证 显然满足收敛的必要条件.令 21nu n =, 则当 2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++pk pk p n n n n p n n k n k n k n u u u 11221 ,111))(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 |∑=+pk kn u1|不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，令其小于ε，确定N . 例6 判断级数∑∞=11sinn nn 的敛散性. (验证 0→/n u . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)例7 证明调和级数∑∞=11n n发散. 证法一 (用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二 (证明{n S }发散.利用不等式n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . )注: 此例为0→n u 但级数发散的例子.三． 收敛级数的基本性质：（均给出证明）性质1∑nu收敛,a 为常数⇒∑nau收敛,且有∑nau=a∑nu(收敛级数满足分配律)性质2∑nu和∑nv收敛⇒)(n nv u±∑收敛,且有)(n n v u ±∑=∑n u ±∑nv.问题:∑nu、∑nv、)(n nv u±∑三者之间敛散性的关系.性质3 若级数∑nu收敛, 则任意加括号后所得级数也收敛, 且和不变.(收敛数列满足结合律)例8 考查级数 ∑∞=+-11)1 (n n 从开头每两项加括号后所得级数的敛散性. 该例的结果说明什么问题 ?Ex [1]P 5—7 1 — 7.§2 正项级数（ 3 时 ）一. 正项级数判敛的一般原则 :1.正项级数: n n S u , 0>↗; 任意加括号不影响敛散性.2. 基本定理: Th 1 设0≥n u .则级数∑nu收敛⇔)1(0=n S .且当∑nu发散时,有+∞→n S ,) (∞→n . ( 证 )正项级数敛散性的记法 . 3. 正项级数判敛的比较原则: Th 2 设∑nu和∑nv是两个正项级数, 且N n N >∃ , 时有n n v u ≤, 则 ⅰ> ∑nv <∞+ , ⇒ ∑nu<∞+ ;ⅱ>∑nu=∞+, ⇒∑nv=∞+ . ( ⅱ> 是ⅰ>的逆否命题 )例1 考查级数∑∞=+-1211n n n 的敛散性 .解 有 , 2 11 012222nn n n n <+-⇒>+- 例2 设)1( 0π><<q q p . 判断级数∑∞=+111sin n n n q p 的敛散性.推论1 (比较原则的极限形式) 设∑n u 和∑n v 是两个正项级数且l v u nnn =∞→lim,则ⅰ> 当∞+<< 0l 时,∑nu和∑nv共敛散 ; ⅱ> 当0=l 时 ,∑nv<∞+⇒∑nu<∞+ ;ⅲ> 当+∞=l 时,∑nv=∞+⇒∑nu=∞+ . ( 证 )推论2 设∑nu和∑nv 是两个正项级数,若n u =)(0n v ，特别地，若 n u ～n v ,) (∞→n ， 则∑nu<∞+⇔∑nv=∞+.例3 判断下列级数的敛散性:⑴∑∞=-121n n n ; ( n n -21～ n 21) ; ⑵ ∑∞=11sin n n ; ⑶ ∑∞=+12) 11 ln(n n .二 正项级数判敛法:1．比值法：亦称为 D ’alembert 判别法.用几何级数作为比较对象,有下列所谓比值法. Th 3 设∑nu为正项级数, 且0 N ∃ 及 0 , ) 10 ( N n q q ><<时ⅰ> 若11<≤+q u u nn ⇒∑n u <∞+; ⅱ> 若11≥+nn u u ⇒∑n u =∞+ . 证 ⅰ> 不妨设 1≥n 时就有11<≤+q u u nn 成立, 有, , , , 12312q u u q u u q u u n n ≤≤≤- 依次相乘⇒11-≤n n q u u , 即 11-≤n n qu u . 由 10<<q , 得∑<nq∞+⇒∑n u <∞+.ⅱ> 可见}{n u 往后递增⇒ , 0→/n u ) (∞→n . 推论 (比值法的极限形式) 设∑n u 为正项级数, 且 q u u nn n =+∞→1lim. 则ⅰ> 当q <1⇒∑nu<∞+; ⅱ>当q >1或q =∞+⇒∑nu=∞+. ( 证 )注: ⑴倘用比值法判得∑nu=∞+, 则有 , 0→/n u ) (∞→n .⑵检比法适用于n u 和1+n u 有相同因子的级数, 特别是n u 中含有因子!n 者. 例4 判断级数 ()()+-+⋅⋅-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+)1(41951)1(32852951852515212n n的敛散性. 解 1 434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n ⇒∑+∞<.例5 讨论级数∑>-)0( 1x nx n 的敛散性.解 因为) ( , 1)1(11∞→→+⋅+=-+n x n n x nxx n u u n n n n . 因此, 当10<<x 时,∑+∞<; 1>x 时, ∑+∞=; 1=x 时, 级数成为∑n , 发散.例6 判断级数∑+nn n n !21的敛散性 .注: 对正项级数∑n u ，若仅有11<+nn u u ，其敛散性不能确定. 例如对级数∑n 1和∑21n,均有 11<+nn u u ，但前者发散, 后者收敛.Ex [1]P 16 1⑴―⑺， 2⑴⑵⑷⑸，3，4，12⑴⑷；2. 根值法 ( Cauchy 判别法 ): 也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.Th 4 设∑nu为正项级数,且 0 N ∃ 及 0>l , 当 0N n >时,ⅰ> 若 1 <≤l u n n ⇒∑nu<∞+;ⅱ> 若1 ≥n n u ⇒∑nu =∞+. ( 此时有 , 0→/n u ) (∞→n .) ( 证 ) 推论 (根值法的极限形式) 设∑nu为正项级数,且 l u n n n =∞→lim . 则ⅰ> 当1 <l 时⇒∑nu<∞+; ⅱ> 当1 >l 时⇒∑nu=∞+ . ( 证 )注: 根值法适用于通项中含有与n 有关的指数者.根值法优于比值法. (参阅[1]P 12)例7 研究级数 ∑-+nn2) 1 (3的敛散性 .解 1212)1(3l i m l i m <=-+=∞→∞→nnn n nn u ⇒∑+∞<. 例8 判断级数∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 和∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 的敛散性 .解 前者通项不趋于零 , 后者用根值法判得其收敛 . 3． 积分判别法：Th 5 设在区间) , 1 [∞+上函数0)(≥x f 且↘. 则正项级数∑)(n f 与积分⎰+∞1)(dx x f 共敛散.证 对] , 1[ , 1 A R f A ∈>∀ 且 ⎰-=-≤≤nn n n f dx x f n f 1, 3 , 2 , )1()()(⇒⎰∑∑∑=-===-≤≤mmn m n mn n f n f dx x f n f 12112, )()1()()( . 例9 讨论 -p 级数∑∞=11n pn的敛散性. 解 考虑函数>=p xx f p ,1)(0时)(x f 在区间 ) , 1 [∞+上非负递减. 积分⎰+∞1)(dxx f当1>p 时收敛, 10≤<p 时发散⇒级数∑∞=11n pn当1>p 时收敛,当10≤<p 时发散,当0≤p 时,01→/pn , 级数发散. 综上,-p 级数∑∞=11n pn当且仅当1>p 时收敛. 例10 讨论下列级数的敛散性:⑴ ∑∞=2) ln ( 1n p n n ; ⑵ ∑∞=3)ln ln ( ) ln ( 1n pn n n .Ex [1]P 16 1⑻，2⑶⑹，5，6，8⑴―⑶，11；§3 一般项级数 ( 4 时 )一. 交错级数: 交错级数, Leibniz 型级数.Th 1 ( Leibniz ) Leibniz 型级数必收敛,且余和的符号与余和首项相同, 并有1 ||+≤n n u r . 证 (证明部分和序列 } {n S 的两个子列} {2n S 和} {12+n S 收敛于同一极限. 为此先证明} {2n S 递增有界. ))()()()(22122124321)1(2++-+-+-++-+-=n n n n n u u u u u u u u S ≥ n n n S u u u u u u 22124321)()()(=-++-+-- ⇒n S 2↗; 又 1212223212)()(u u u u u u u S n n n n ≤------=-- , 即数列} {2n S 有界. 由单调有界原理, 数列} {2n S 收敛 . 设 )( , 2∞→→n s S n .)( , 12212∞→→+=++n s u S S n n n . ⇒s S n n =∞→lim .由证明数列} {2n S 有界性可见 , ∑∞=+≤-≤111)1 (0n n n u u . 余和∑∞=++-nm m m u 12)1(亦为型级数 ⇒余和n r 与1+n u 同号, 且1 ||+≤n n u r .例1 判别级数∑∞=>-1)0( ) 1 (n nnx n x 的敛散性.解 当10≤<x 时, 由Leibniz 判别法⇒∑收敛;当1>x 时, 通项0→/,∑发散.二. 绝对收敛级数及其性质:1. 绝对收敛和条件收敛: 以Leibniz 级数为例, 先说明收敛⇒/ 绝对收敛.Th 2 ( 绝对收敛与收敛的关系 ) ∑∞+< ||na, ⇒∑na收敛.证 ( 用Cauchy 准则 ).注: 一般项级数判敛时, 先应判其是否绝对收敛. 例2 判断例1中的级数绝对或条件收敛性 . 2. 绝对收敛级数可重排性: ⑴ 同号项级数：对级数∑∞=1n nu，令⎩⎨⎧≤>=+=. 0 , 0 , 0 , 2||n n n n n n u u u u u v ⎩⎨⎧≥<-=-= . 0 , 0 ,0 , 2||n n n n n n u u u u u w 则有 ⅰ>∑nv和∑nw均为正项级数 , 且有|| 0n n u v ≤≤和|| 0n n u w ≤≤;ⅱ> n n n w v u +=|| , n n n w v u -= . ⑵ 同号项级数的性质: Th 3 ⅰ> 若∑||nu +∞< ， 则∑n v +∞< ，∑n w +∞< .ⅱ> 若∑nu条件收敛 , 则∑nv+∞= ,∑nw+∞= .证 ⅰ> 由|| 0n n u v ≤≤和|| 0n n u w ≤≤, ⅰ> 成立 .ⅱ> 反设不真 , 即∑nv和∑nw中至少有一个收敛 , 不妨设∑nv+∞< .由 n u = n v n w - , n w =n v n u - 以及 ∑nv+∞<和∑n u 收敛 ⇒∑n w +∞<.而n n n w v u +=||⇒∑||nu+∞<, 与∑n u 条件收敛矛盾 .⑶ 绝对收敛级数的可重排性: 更序级数的概念. Th 4 设∑'nu 是∑nu的一个更序. 若∑||nu+∞<,则||∑'nu +∞<,且∑'n u =∑n u . 证 ⅰ> 若n u 0≥,则∑'nu 和∑nu是正项级数,且它们的部分和可以互相控制.于是,∑nu+∞< ⇒∑'nu +∞<, 且和相等. ⅱ> 对于一般的n u , ∑nu=∑nv ∑-nw⇒∑'nu = ∑'nv ∑'-nw .正项级数∑'nv 和∑'n w 分别是正项级数∑nv和∑nw的更序. 由∑||nu+∞<, 据Th 1 ,∑nv和∑nw收敛. 由上述ⅰ>所证,有∑'nv +∞<,∑'nw +∞<, 且有∑nv =∑'nv , ∑n w ∑n u =∑'n w ⇒∑nu =∑'nu .由该定理可见, 绝对收敛级数满足加法交换律.是否只有绝对收敛级数才满足加法交换律呢 ? 回答是肯定的 . Th 5 ( Riemann ) 若级数∑nu条件收敛, 则对任意实数s ( 甚至是∞± ),存在级数∑nu的更序∑'nu , 使得∑'nu =s .证 以Leibniz 级数∑∞=+-111) 1 (n n n为样本, 对照给出该定理的证明. 关于无穷和的交换律, 有如下结果: ⅰ> 若仅交换了级数∑nu的有限项,∑nu的敛散性及和都不变.ⅱ> 设∑'nu 是的一个更序. 若N ∈∃K , 使 nu在∑'nu 中的项数不超过K n +,106则∑'n u 和∑n u 共敛散, 且收敛时和相等 .三. 级数乘积简介:1. 级数乘积: 级数乘积, Cauchy 积. [1] P 20—22.2．级数乘积的Cauchy 定理:Th 6 ( Cauchy ) 设∑||n u +∞<, ||∑n v +∞<, 并设∑n u =U , ∑n v =V . 则 它们以任何方式排列的乘积级数也绝对收敛, 且乘积级数的和为UV . ( 证略 ) 例3 几何级数1 || ,1112<+++++=-r r r r rn 是绝对收敛的. 将()2∑n r 按Cauchy 乘积排列, 得到 +++++++++++=++个12222)()()(1)1(1n n n n r r r r r r r r r ++++++=n r n r r )1(3212 .Ex [1] P 24—25 1⑴—⑻ ⑽，4； 31(总Ex ) 2，3，4⑴⑵；四. 型如∑n n b a 的级数判敛法：1．Abel 判别法：引理1 (分部求和公式，或称Abel 变换)设i a 和i b m i ≤≤1)为两组实数.记) (1 ,1m k b B k i i k ≤≤=∑=. 则∑∑=-=++-=m i m i m m i i i i i B a B a a b a 1111)(.证 注意到 1--=i i i B B b , 有∑∑==-+-=m i m i i i ii i b a B B a b a 12111)()()()(123312211--++-+-+=m m m B B a B B a B B a B a107 m m m m m B a B a a B a a B a a +-++-+-=--11232121)()()() )( ( . )(111111∑∑-=+-=+--=+-=m i i i i m m m m m i i i i B a a B a B a B a a. 分部求和公式是离散情况下的分部积分公式. 事实上,⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a ba x a dt t g d x f dx x g x f )()()()( ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a x a b a x a x df dt t g dt t g x f )()()()(⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b a b ax a x df dt t g dt t g b f )()()()(. 可见Abel 变换式中的i B 相当于上式中的⎰x a dt t g )(, 而差i i a a -+1相当于)(x df , 和式相当于积分. 引理 2 ( Abel )设i a 、i b 和i B 如引理1 .若i a 单调 , 又对m i ≤≤1,有M B i ≤||，则||1∑=mi i i b a ) ||2|| (1m a a M +≤.证 不妨设i a ↘.||1∑=m i i i ba ∑-=++-≤111||||||m i m m i i i B a B a a ) ||2|| ( ||)(1111m m i m i i a a M a a a M +≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤∑-=+. 推论 设i a , 0≥i a ↘,(m i ≤≤1 ). i b 和i B 如引理1. 则有||1∑=m i i i ba 1Ma ≤.( 参引理2证明 ) Th 7 (Abel 判别法)设ⅰ> 级数∑n b 收敛,ⅱ> 数列}{n a 单调有界.则级数∑n n b a 收敛. 证 (用Cauchy 收敛准则,利用Abel 引理估计尾项)设K a n ≤||, 由∑n b 收敛 ⇒对N n N >∃>∀ , , 0ε时 , 对N ∈∀p , 有108 ε | |21<++++++p n n n b b b .于是当N n >时对p ∀有()εεK a a b a p n n pn n k k k 3 ||2|| 11≤+≤++++=∑.由Cauchy 收敛准则 ⇒∑n n b a 收敛.2. Dirichlet 判别法:Th 8 ( Dirichlet)设ⅰ> 级数∑n b 的部分和有界, ⅱ> 数列}{n a 单调趋于零. 则级数∑n n b a 收敛.证 设∑==n i n n bB 1, 则M B n ||≤ ⇒对p n , ∀, 有M B B b b b n p n p n n n 2 ||||21≤-=+++++++ .不妨设n a ↘0 ⇒对εε<⇒>∀∃>∀|| , , , 0n a N n N . 此时就有εM a a M b a P n n pn n k k k 6|)|2|(|2 11<+≤++++=∑.由Cauchy 收敛准则,∑n n b a 收敛. 取n a ↘0,∑n b ∑+-=1) 1(n ,由Dirichlet 判别法, 得交错级数∑+-n n a 1) 1(收敛 . 可见Leibniz 判别法是Dirichlet 判别法的特例.由Dirichlet 判别法可导出 Abel 判别法. 事实上, 由数列}{n a 单调有界 ⇒}{n a 收敛, 设) ( , ∞→→n a a n .考虑级数∑∑+-n n n b a b a a )(,a a n -单调趋于零,n B 有界 ⇒级数∑-n n b a a )(收敛,又级数∑n b a 收敛⇒级数∑∑+-n n n b a b a a )(收敛.109 例4 设n a ↘0.证明级数∑nx a n sin 和∑nx a n cos 对)2 , 0(π∈∀x 收敛.证 ++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑= 2s i n 23s i n 2s i n c o s 212s i n 21x x x kx x n k x n x n x n ) 21sin() 21 sin() 21 sin(+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++， ) 2 , 0 (π∈x 时，02sin ≠x ⇒∑=+=+nk x x n kx 12sin 2) 21 sin(cos 21. 可见) 2 , 0 (π∈x 时, 级数∑kx cos 的部分和有界. 由Dirichlet 判别法推得级数∑nx a n cos 收敛 . 同理可得级数数∑nx a n sin 收敛 .Ex [1]P 24 — 25 2， 3.。
第十二章数项级数
第十二章 数项级数选择题1．若正项级数收敛，则下面级数一定收敛的是（ ）；(A) (B)(C) (D)2．下列级数中是条件收敛的级数有（ )；(A) (B)(C) (D)3． 级数 条件收敛;等价于( )(A) 收敛 (B) 发散(C) 收敛且 发散 (D)收敛4． 正项级数收敛是级数收敛的( )(A)充分条件 (B) 必要条件(C) 充要条件 (D) 上述均不对5． 设常数k>0, 则级数(A) 发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)收敛或发散6． 设正项级数收敛, 则级数.(A) 是条件收敛的 (B) 是绝对收敛的(C )可能收敛也可能发散 (D) 上述均不对7．设常数k>0 ,则级数( )(A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)收敛或发散与k 的取值有关8．已知级数 与 都发散,则( )(A) 必发散 (B)必发散(C) 必发散 (D)必发散9．下面级数绝对收敛的是( )(A) (B)(C) (D)10．F(p)= , F 的定义域为( )(A) [0,1] (B) (0,1] (C) (0,1) (D) (1,)11．下面级数收敛的是( ) (A) ∑∞=1!3n n n n n (B) (C) (D)∑-∞=1)1(n n a (a>1)填空题1．设级数∑∞=-1)1(n n u收敛，则= ( )；2．级数,当p= ______________时条件收敛.3．.级数满足莱布尼兹判别法的两个条件,___________________________则它是收敛的.4．.若 ,则级数∑∞=1n n u__________ ,若 则级数_____________5． 级数之和为________________6． 若 收敛 则x=____________7．设>0则数列与级数∑∞=1n n a 的关系是___________________计算题1．已知级数a n =2,,求2．判别级数 的敛散性.3．求级数 的和4．求级数的和证明题1．设}{,0n n a a >单调减少趋于零，证明级数∑⋅-∞=+-111)1(n n n n a a 收敛（8分）2．用级数知识证明当, 是比高阶的无穷小 . （10分）3．设a n > 0 , 证明级数是收敛的.(8分)4．设a n >0, a n >a n+1 (n=1,2,…)且 证明级数 收敛. （10分）5．若级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n c 都收敛且a n ≤b n ≤c n (n=1,2,…) 则∑∞=1n n b 也收敛. (8分)选择题答案1．C 2． B 3． C 4． A 5． C 6．B7．C 8． C 9． C 10．.D 11．B填空题答案1． 1 2． p= -1 3．.ln(1+x) ,ln 4．发散, 绝对收敛5． 6． x>1, 7. 同敛散。
《数学分析》 第十二章 数项级数 1
(
1 2m
1
1 2m
2
1 2m1
)
每项均大于1
2m项
2
即前m 1项大于(m 1) 1 2
级数发散 .
由性质4推论,调和级数发散.
五、小结
常数项级数的基本概念
基本审敛法
1.由定义,若sn s,则级数收敛;
2.当lim n
un
0,则级数发散;
3.按基本性质.
思考题
设 bn 与 cn 都收敛，且bn an cn
lim
n
sn不存在
发散
综上
n0
aq
n
当q 当q
1时,收敛 1时, 发散
例 2 判别无穷级数
1 1
1
的收敛性.
13 35
(2n 1) (2n 1)
解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1( 1 2 2n
1
1 2n
), 1
sn
1 1
1
13 35
(2n 1) (2n 1)
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
1 (4)2 39
1 (4)n2 ]} 39
n 2,3,
于是有
lim
n
Pn
1
lim
n
An
A1
(1
1
3
4
)
A1 (1
3) 5
2 3. 5
9
雪花的面积存在极限（收敛）．
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
例 1 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 aqn (a 0)
n0
的收敛性.
第十二章 数项级数
第十二章 数项级数§1 级数的收敛性要求：1 掌握级数的基本概念，敛散性定义、记住几何级数、调和级数的敛散结论，2 掌握理解级数的基本性质要点：1）级数的收敛性，2）级数的基本性质1 数项级数的概念、记号： 将数列}{n u 的各项用加号连接起来，即n u u u 21 或1n nu称为数值级数，简称级数。
其中第n 项 nu 称为通项。
级数的敛散性与和 : .2 介绍从有限和入手,引出无限和的极限思想 级数的部分和： . n n u u u S 213 以在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念级数的收敛性：若S S n nlim 存在，称级数1n n u 收敛，S 称为级数的和； 余和：称 nk k n n u S S r 为级数1n n u 的余和若部分和数列}{n S 发散，则称级数1n nu发散，发散级数没有和。
这就是说，级数的敛散性可通过数列的敛散性来判断。
例1 讨论几何级数 0,11a ar n n 的敛散性。
按照级数收敛性的定义，其敛散性可通过部分和数列的敛散性判断。
由等比数列前n 项和的计算公式，1 r 时，n n n n r ra r a r ar a arar a S 11111） 当 1|| r 时，r a S n n 1lim ，几何级数收敛，其和为 r a1；2） 当 1|| r 时，n n S lim ，此时几何级数发散，和不存在； 3） 当 1|| r 时，显然 }{n S 发散；结论：几何级数 0,11a arn n ，当 1|| r 时，收敛，其和为 ra 1；例2 讨论级数1)1(1n n n 的敛散性.解 利用 111)1(1 n n n n 求出部分和 n S ,例3 讨论级数12n n n的敛散性.解 设 n k n n k n nn k S 11322212322212,n S 211432221 232221 n n n n , 1322212121212121 n n n n n nS S S =1211211211n n n ,) ( n .n S 2, ) ( n .因此, 该级数收敛. 例4 讨论级数1352n n n的敛散性.解 52 , 5252352 n S n n n n n, ) ( n . 级数发散.二 收敛级数的性质因为级数的敛散性等价于部分和数列的敛散性，由数列收敛的柯西准则，级数收敛的充分必要条件为：定理1，（柯西准则）级数1n n u 收敛N p N n N ,,,0 有 ||n p n S S根据定理1，取 1 p ，有 n n n u S S ||1 ，于是有下面结论：推论1， 级数1n n u 收敛的必要条件为 0limn n u本推论可以方便的用来判断级数发散。
数学分析(下册)(华东师大第三版)
!!第十二章数项级数内容提要!一!定义给定一个数列!!""#对它的各项依次用$!%号连接起来的表示式!"!!#!&&!"!&&!称为数项级数或无穷级数’也常简称级数(#其中!"称数项级数!的通项#数项级数!记作"$"$"!"或"!"#二!级数收敛的柯西准则级数!收敛的充要条件是)任给!#%#总存在自然数%#使得当&#%和任意的自然数’#都有$!&!"!!&!#!&!!&!’$%!反之#级数!发散的充要条件是)存在某正数!%#对任何自然数%#都存在&%#%和自然数’%#有$!&%!"!!&%!#!&!!&%!’%$&!由此易得)若级数!收敛#则&’()’!$*)+*,三!正项级数收敛性的判别方法"-正项级数!"!!#!&!!"!&&收敛的充要条件是)部分和数列!(""有界#即存在某正数)#对一切自然数"有("%)##-比较判别法.-比较原则的极限形式/-达朗贝尔判别法’或称比较判别法(0-比较判别法的极限形式*!*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#1-柯西判别法’或称根式判别法(2-根式判别法的极限形式3-积分判别法4-拉贝判别法"%-拉贝判别法的极限形式四!一般项级数收敛性的判别方法"-级数"$!"$收敛#则级数"!"绝对收敛#若"!"收敛#"$!"$发散#称级数"!"为条件收敛##-莱布尼兹判别法.-阿贝尔判别法/-狄利克雷判别法典型例题与解题技巧$例!%!设"$"$"*#"收敛#证明)"$"$#*"!"&)"收敛’*"#%(#分析!本题主要考查正项级数的判敛#要求灵活运用正项级数的几种判敛法#证明!%%*"!"&)"%"#*#"!""&)#’("易知)"$"$#""&)#"收敛’积分判别法(#又"$"$#*#"收敛#所以"$"$#"#*#"""&)#’("收敛#由比较判别法知"$"$#*"!"&)"收敛’*"#%(#$例"%!设+’,(在点,+%的某一邻域内具有连续的二阶导数#且&’(,’%+’,(,+%#证明)级数"$"$"+’""(绝对收敛#分析!本题考查级数与之前所学知识的综合运用#级数的绝对收敛的判定#证明!由&’(,’%+’,(,+%#又+’,(在,+%的某邻域内具有连续的二阶导数#可推出+’%(+%#!+’-%(+%将+’,(在,+%的某邻域内展成一阶泰勒公式+’,(++’%(!+’-%(,!"#+.’"(,#+"#+.’"(,#!’"在%与,之间(又由题设+’.,(在属于邻域内包含原点的一个小闭区间连续#因此()#%#使$+’.,($)!#于是$+’,($+"#$+.’"($,#)!#,#令,+""#则$+’""($)!#*""##因为"$"$"""#收敛#故"$"$"+’""(绝对收敛#*"*第十二章!数项级数历年考研真题评析!$题!%!’中山大学##%%1年(级数"$"$"*"收敛的充要条件是)对任意的正整数序列/"#/##&#/"#&都有&’("’!$’*"!"!*"!#!&!*"!/"(+%#分析!本题考查对级数收敛的定义的理解程度#证明!必要性!因为"$"$"*"收敛#所以对*!#%#(%#%#当"#%及*0+%#有$*"!"!*"!#!&!*"!’$%!特别地$*"!"!*"!#!&!*"!/"$%!所以&’("’!$’*"!"!*"!#!&!*"!/"(+%充分性!用反证法#若"*"发散#则(!%#%#*%#%#("#%及自然数’#使$*""!"!&!*"!’$&!%特别地%"+"#(""#"及自然数/"使$*"!"!&!*""!/"$&!%%#+(56!""##"#("##%##及自然数/##使$*""!"!&!*"#!/#$&!%&&&&这与&’("’!$’*"!"!*"!#!&!*"!/"(+%的假设矛盾#$题"%!’同济大学##%%1年(证明)级数"$"$"’7"("8’),"*,,%都是条件收敛的#分析!本题考查条件收敛的判断#莱布尼兹判别法与比较判别法的灵活运用#证明!不妨设,#%#则(%,#%#当"#%,时#%%,"%###此时8’),"#%#且8’),!""为单调递减数列#且&’("’!$8’),"+%#由莱布尼兹判别法知"$"$"’7"("8’),"收敛#而当"#%,时#’7"("8’),"+8’),"#%#&’("’!$8’),","+"#又"$"$","发散#由比较判别法知"$"$"8’),"也发散#所以*,,%#级数"$"$"’7"("8’),"都是条件收敛的#课后习题全解!!!9"!级数的收敛性-"-证明下列级数的收敛性#并求其和数)*#*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#’"(""*11"1*""1"""*"11&1"’0"2/(’0"1"(1&+’#(’"#1".(1’"##1".#(1&1’"#"1"."(1&+’.(""$"$""’"1"(’"1#(+’/(""$"$’"1!#2#"1!"1!"(+’0(""$"$#"2"#"-!分析!’"(进行积分和差的转化#’/(以某一项拆分为两项的方式重新组合原式#!解!’"(("$"3$"""’032/(’031"($"0"3$""’"032/2"031"($"0’"2"0"1"(于是($&’("’$("$"0#故级数收敛且其和为"0-’#(("$"3$""’"#31".3($"3$"""#31"3$""".3$"#2"#"1""2"#1".2"."1""2".$.#2"#"2"#4."于是($&’("’$("$.##故级数收敛且其和为.#-’.(("$"3$"""3’31"(’31#($"#"3$"","3’31"(2"’31"(’31#(-$"#,"#2"’"1"(’"1#(-于是($&’("’$("$"/#故级数收敛且其和为"/-’/(("$"3$""’31!#2#31!"1!3($"3$""’31!#231!"(2"3$""’31!"2!3($’"1!#2!#(2’"1!"2"($"2!#1""1!#1"1!"于是("$&’("’$("$"2!##故级数收敛且其和为"2!#-’0(("$#("2("$"3$""#32"#32"2"3$""#32"#3$"1"3$#"#32"#32"2"3$""#32"#3$"1"3$""2"##32#"2"#"*$*第十二章!数项级数$"1"2"#"2""2"#2#"2"#"$.2"#"2#2#"2"#"’"&#(于是($&’("’$("$.#故级数收敛且其和为.-.#-证明)若级数"!"发散#5,%#则"5!"也发散-!证明!因为级数"!"发散#即(!%#%#对任何%+:1#总有&%+:1和’%+:1使6!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%6&!%所以65!&%1"15!&1#1&15!&%1’%6$6566!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%6&656!%于是"5!"亦发散-..-设级数"!"与"7"都发散#试问"’!"17"(一定发散吗.又若!"与7"’"$"###&(都是非负数#则能得出什么结论.!解!若"!"#"7"都发散#则"’!"17"(不一定发散-例如#""和"’2"(是发散的#但"’"1’2"((是收敛的+""和"#是发散的#"’"1#($".亦是发散的-若"!"#"7"都发散且!&%#7"&%#则"’!"17"(发散-由柯西收敛准则#知(!%#!"#%#对任何的%+:1#总存在&%#’%#&"+:1#使6!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%6$!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%&!%和67&"1"17&"1#1&17&"1’"6$7&"1"17&"1#1&17&"1’"&!"故6’!&%1"17&%1"(1’!&%1#17&%1#(1&1’!%1’%17&%1’%(6$’!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%(1’7&%1"17&%1#1&7&%1’%(&!%即"’!"17"(必发散--/-证明)若数列!*""收敛于*#则级数"$"$"’*"2*"1"($*"2*#!分析!单项收敛则和也收敛#!证明!由已知条件知#数列!*""收敛于*#即&’("’$*"$*#故("$"3$""’*32*31"($*"2*"1"从而($&’("’$("$&’("’$’*"2*"1"($*"2&’("’$*"1"$*"2*-0-证明)若数列!8""有&’("’$8"$$#则’"(级数"’8"1"28"(发散+’#(当8",%时#级数""8"2"8"1’("$"8"-分析!’#(中间项相互抵消即可#证明!’"(因为("$"3$""’831"283($8"1"28"($&’("’$("$&’("’$’8"1"28"($$*%*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#故"’8"1"28"(发散-’#(当8",%时("$"3$"""832"831’("$"8"2"8"1"即($&’("’$("$"8"2&’("’$"8"1"$"8"故级数""8"2"8"1’("收敛于"8"--1-应用第/#0题的结果求下列级数的和)’"(""$"$"’*1"2"(’*1"(+!!!!!!’#(""$"$’2"("1"#"1""’"1"(+’.(""$"$#"1"’"#1"(,’"1"(#1"--!分析!’"(积化和差将原式拆分#简化了问题#’.(识记&’("’$""#$%#!解!’"(因为""$"$"’*1"2"(’*1"($""$"$"*1"2"2"*1’("而数列"*1"2!""收敛于%#故由第/题的结论#可知""$"$"’*1"2"(’*1"($"*1"2"2%$"*’*,%(’#(因为""$"$’2"("1"#"1""’"1"($""$"$,2’2"(""2’2’2"("1""1"(-而数列2’2"("!""收敛于%#故""$"$’2"("1"#"1""’"1"($2’2"(""2%$"’.(因为""$"$#"1"’"#1"(,’"1"(#1"-$""$"$,""#1"2"’"1"(#1"-而数列""#1!""收敛于%#故""$"$#"1"’"#1"(,’"1"(#1"-$""#1"2%$"#-2-应用柯西准则判别下列级数的敛散性)’"("8’)#"#"+!!!!’#("’2"("2""##"#1"+’.("’2"(""+’/("""1"!#-分析!’"(运用柯西准则进行判别#’/(注意取"%时#应考虑合适的取法#*&*第十二章!数项级数解!’"(由于!6!&1"1!&1#1&1!&1’6$68’)#&1"#&1"18’)#&1##&1#1&8’)#&1’#&1’6!!%"#&1"1"#&1#1&1"#&1’$"#&2"#&1’%"#&因此#对任意的!#%-取&$&;<#",-!使得当&#%及*’+:1#由上式就有6!&1"1!&1#1&1!&1’6%!成立#故由柯西准则可推出"8’)#"#"收敛-’#(因&’("’$’2"("2""##"#1"$"##"/#故取!%$"/-对任一%+:1#总存在&%#%#和’%$"#有6!&%1"6$’&%1"(##’&%1"(#1"#"/$!%由柯西准则可知"’2"("2""##"#1"发散-’.(由于数列"!""单调减小#故6!&%1"1!&%1#1&1!&%1’6$"&%1"2"&%1#1&1’2"(’2""&%1’%"&%1"%"&%因此#*!#%#取%$",-!1"当&%#%及’+:1时#都有6!&%1"1!&%1#1&1!&%1’6%!成立-由柯西准则可知级数"’2"("""收敛-’/(取!%$"!##*%+:1#及取&%$#%#’%$&%#则当&%#%时#就有"3$"’%"’&%13(1’&%13(!##"3$"’%"#’&%13(!#$"’%3$""!#’&%13(#"3$"’%"!#’&%1&%($"!##由柯西准则知"""1"!#发散-/3-证明级数"!"收敛的充要条件是)任给正数!#存在某正整数%#对一切"#%总有6!%1!%1"1&1!"6%!-!分析!由结论6!%1&1!"6%"的形式推出用柯西准则证明#!证明!必要性!若"!"收敛#则由柯西准则可知*!#%#(%"+:1使得*"#&#%"时有*’*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#6!&1"1!&1#1&1!"6%!取%#%"1"#则*"#%#有6!%1!%1"1&1!"6%!充分性!若*!#%#(%+:1#*"#%#总有6!%1!%1"1&!"6%!/#则*&#%及’+:1有!6!&1"1!&1#1&1!&1’6)6!%1!%1"1&1!&1’616!%1!%1"1&1!&6%!/#1!/#$!由柯西准则知级数"!"收敛-!小结!"/#和"都是表示无穷小的数#形式不一样但含义一样#.4-举例说明)若级数"!"对每个固定的’满足条件&’("’$’!"1"1&1!"1’($%#此级数仍可能不收敛-!解!调和级数"""对每一个固定自然数’#有&’("’$""1"1""1#1&1""1’(’$&’("’$""1"1&’("’$""1#1&1&’("’$""1’$%但该级数""#是发散的-/"%-设级数"!"满足)加括号后级数"3$"$’!"31"1!"31#1&1!"31"(收敛’""$%(#且在同一括号的!"31"#!"31##&#!"31"符号相同#证明"!"亦收敛-分析!证明"!"收敛需要证其和表达式("收敛于某数(#证明!因为级数"3$"$’!"31"1!"31#1&1!"31"(收敛#则有&’("’$’!"31"1!"31#1&1!"31"($%所以*"+:1#总存在3+:1#使"$"319’")9)"31"2"3(时#有("$":$""!"$":$"32"’!":1"1!":1#1&1!":1"(1’!"31"1!"31#1&!"319($(-32"1’!"31"1!"31#1&1!"319(其中(-32"表示加括号级数的前32"项之和-当"’$时#32"’1$#从而有($&’("’$("$&’("’$(-32"1&’("’$’!"31"1!"31#1&1!"319($&’("’$(-32"故"!"收敛#其和不变-小结!此题根据3’1$时和(3与(31"的极限一样得出结论#9#正项级数-"-应用比较原则判别下列级数的敛散性)*(*第十二章!数项级数’"("""#1*#+!!!!!!!!!!’#("#"8’)#."+’.("""1"!#+’/(""$#$"’&)"("+’0("’"2=;8""(+’1(""""!"+’2("’"!*2"(’*#"(+’3(""$#$"’&)"(&)"+’4("’*""1*2""2#(’*#%(-!分析!’"(将原式同""#比较得出结果#’#(考虑8’)#."*#"$#’#.("#’1(识记"""数列是发散的#’2(先做代换;$""#!解!’"(因为%)""#1*#%""#而正项级数"""#收敛#所以级数"""#1*#收敛-’#(因为%%#"8’)#."$#’(#."!’"’$(而正项级数"#’(#."收敛#所以级数"#"8’)#."收敛-’.(因为""1"!#&""1"&%而正项级数"""1"发散#所以级数"""1"!#发散-’/(因为%%"’&)"("%"#"!’"#>#(而正项级数""#"收敛#所以级数""’&)"("收敛-’0(因为"2=;8""$"#"’("#’"’1$(而正项级数""#"#收敛#所以级数""2=;8"’("收敛-’1(因为&’("’$"!"$"#故(%+:1#当"#%时#有"!"%#即"""!"#"#"而正项级数""#"发散-所以级数""""!"发散-’2(因为&’("’$"!*2"""令;$"000000"&’(;’%*;2";$&’(;’%*;&)*"$&)**)*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#而正项级数"""发散#所以级数"’"!*2"(发散-’3(因为"’&)"(&)"$">&)’&)"(&)"$"’>&)"(&)’&)"($""&)’&)"(%""#而正项级数"""#收敛#所以级数""’&)"(&)"收敛-’4(因为&’("’$*""1*2""2#’"#"(#$&’("’$’*"#"2*2"#"(#’"#"(#令;$"#000000"&’(;’%1*;2*2;’(;#$’#&)*(#而正项级数"’"#"(#收敛#所以级数"’*""1*2""2#(收敛--#-用比式判别法或根式判别法鉴定下列级数的敛散性)’"(""*.*&*’#"2"("0+!!!’#("’"1"(0"%"+’.("’"#"1"("+’/(""0""+’0(""##"+’1("."*"0""+’2("8*’(""’其中*"’*’"’$(+*"#8#*#%#且#*,8(-分析!’/(运用到&’(,’%’"1,(",$>知识点#’2(根据*18不同取值情况考虑#解!’"(因为!&’("’$!"1"!"$&’("’$"*.*&*’#"1"(’"1"(0*"0"*.*&*’#"2"($&’("’$#"1""1"$#所以由比式判别法知正项级数""*.*&*’#"2"("0发散-’#(因为&’("’$!"1"!"$&’("’$’"1#(0"%"1"*"%"’"1"(0$&’("’$"1#"%$1$所以由比式判别法知正项级数"’"1"(0"%"发散-’.(因为&’("’$"’"#"1"(!"$&’("’$"#"1"$"#%"所以由根式判别法知正项级数"’"#"1"("收敛-’/(因为&’("’$!"1"!"$&’("’$’"1"(0’"1"("1"*"""0$&’("’$"’"1""("$">%"所以由比式判别法知正项级数""0""收敛-’0(因为&’("’$"!!"$&’("’$""!##$&’("’$’"!"(##$"#%"**!*所以由根式判别法知正项级数""##"收敛-’1(因为&’("’$!"1"!"$&’("’$."1"’"1"(0’"1"("1"*"".""0$&’("’$.’"1""("$.>#"所以由比式判别法知正项级数".""0""发散-’2(因为&’("’$"!!"$&’("’$8*"$8*所以由根式判别法知#当*#8时#正项级数"’8*"("收敛+当*%8时#正项级数"’8*"("发散--.-设"!"和"7"为正项级数#且存在正数%%#对一切"#%%#有!"1"!")7"1"7"-证明)若级数"7"收敛#则级数"!"也收敛+若"!"发散#则"7"也发散-!分析!运用比式判别法进行证明即可#!证明!若"7"收敛#由题意#知当"#%%时#有!"1"!")7"1"7"#即%%!"1"7"1")!"7")&)!%%1"7%%1"故!"1")!%%1"7%%1"*7"1"!’"#%%(而!%%1"7%%1"是常数#所以由比式判别法知正项级数"!"亦收敛-若正项级数"!"发散#同理可证正项级数"7"亦发散-./-设正项级数"*"收敛#证明"*#"亦收敛+试问反之是否成立.!证明!由正项级数"*"收敛可知!!&’("’$*"$%即(%%+:1#当"#%%时#有!!%)*"%"从而%)*#"%*"由比较原则可知#正项级数"*#"收敛#但反之不一定成立#例如正项级数"""#收敛#但正项级数"""发散--0-设*"&%#"$"###&#且!"*""有界#证明"*#"收敛-!分析!注意条件$!"*""有界%#可由此设%)"*"%)再进行证明#!证明!由题意可知()#%#*"+:1#有%)"*"%)*!!*即%)*"%)"从而%)*#"%)#"#而级数"""#收敛#由比较原则可知级数"*#"亦收敛-.1-设级数"*#"收敛#证明"*""’*"#%(也收敛-!证明!对*"#%及任意正整数"#有%%*"")"#*#"1""’(#而"*#"#"""#都收敛#故"*""亦收敛--2-设正项级数"!"收敛#证明级数"!"!"1!"也收敛-!分析!注意运用!*8)"#’*18(#!证明!对!"#%#及任意正整数"#有%)!"!"1!")"#’!"1!"1"(而级数"!"收敛#故由比较原则知级数"!"!"1!"收敛-.3-利用级数收敛的必要条件#证明下列等式)’"(&’("’$""’"0(#$%+!!!’#(&’("’$’#"(0*"0$%!’*#"(-!解!’"(设!"$""’"0(##则正项级数"!"$"""’"0(#是收敛的#这是因为&’("’$!"1"!"$&’("’$’"1"("1",’"1"(0-#*’"0(#""$&’("’$""1""1"’(""$%故由柯西准则可知&’("’$!"$&’("’$""’"0(#$%-’#(设!"$’#"(0*"0则正项级数"!"$"’#"(0*"0是收敛的#这是因为&’("’$!"1"!"$&’("’$’#’"1"((0*’"1"(0**"’#"(0$&’("’$’#"1"(’#"1#(*"1"$%故由柯西准则知&’("’$!"$&’("’$’#"(0*"0$%--4-用积分判别法讨论下列级数的敛散性)’"("""#1"+!!!!!!!’#("""#1"+’.(""$."""&)"&)’&)"(+’/(""$.$""’&)"(’’&)&)"(<#!分析!’.(运用积分判别法#’/(分别讨论’1<的不同取值情况#!解!’"(设+’,($",#1"*"!*则+’,(在,"#1$(上为非负递减函数#而11$"?,"1,#$#/故由积分判别法知"""#1"收敛-’#(设+’,($,,#1"则+’,(在,"#1$(上为非负递减函数#而&’(,’$,*,,#1"$"由11$",,#1"?,发散#于是由积分判别法知"""#1"发散-’.(设+’,($",&),&)’&),(则+’,(在,.#1$(上为非负递减#而11$.+’,(?,$11$.?,,&),&)’&),($11$&)&).?!!$1$故由积分判别法知""$."""&)"&)’&)"(发散-’/(设+’,($",’&),(’’&)&),(<则+’,(在,.#1$(上非负递减-$(若’$"#这时有11$.?,,&),’&)&),(<$11$&)&).?!!<当<#"时级数收敛#当<)"时级数发散-%(若’,"#这时有11$.?,,’&),(’’&)&),(<$11$&)&).?!>’’2"(!!<对任意的<#当’2"#%时#取;#"#有&’(!’$!;*">’’2"(!!<$%即该积分收敛#当’2"%%时#有&’(!’$!;*">’’2"(!!<$1$即该积分发散-即对任意的<#当’#"时级数收敛+当’%"时级数发散-/"%-设!*""为递减正项数列#证明)级数""$"$*"与"#&*#&同时收敛或同时发散-!分析!首先证明(")="#即可证="收敛2("收敛+证发散也可类似此法#!证明!设正项级数"*"的部分和为("#正项级数"#&*#&的部分和为="#则由于!*""为递减正项数列#即有*#!*("$*"1’*#1*.(1’*/1*01*11*2(1&1*")*"1’*#1*.(1’*/1*01*11*2(1&’*#91&1*#91"2"()*"1#*#1&1#9*#9$=9!’")#9(故若正项级数"#&*#&收敛#则正项级数"*"亦收敛-反之当"	时#则("&*"1*#1’*.1*/(1&1’*#92"1"1&1*#9(#"#’*"1#*#1/*/1&1#9*#9($"#=9故若正项级数"*"收敛#则正项级数"#&*#&亦收敛-发散的情况类似可证-!小结!需要对"的取值分类讨论#.""-用拉贝判别法判别下列级数的敛散性)’"(""*.*&*’#"2"(#*/*&*’#"(*"#"1"+’#(""0’,1"(’,1#(&’,1"(!’,#%(-!解!’"(因为!&’("’$""2!"1"!’("$&’("’$,"2"*.*&*’#"1"(#*/*&*’#"1#(*’#"1.(*#*/*&*’#"(*’#"1"("*.*&*’#"2"(-$&’("’$"’1"10(’#"1#(’#"1.($.##"所以由拉贝判别法知级数收敛-’#(因为!&’("’$""2!"1"!’("$&’("’$""2’"1"(0’,1"(’,1#(&’,1"1"(’,1"(’,1#(&’,1"(",-0$&’("’$",,1"1"$,所以由拉贝判别法知+当,#"时级数收敛+当,)"时级数发散--"#-用根式判别法证明级数"#2"2’2"("收敛#并说明比式判别法对此级数无效-!分析!此题是说明比式与根式判别法并不是在任何地方都有效的例子#!证明!设!"$#2"2’2"("#则&’("’$"!!"$&’("’$"#""#’2"(!"$"#由根式判别法知"!"收敛#但&’("’$!"1"!"$&’("’$#2"1#’2"("不存在#所以比式判别法对此级数无效-*$!*.".-求下列极限’其中’#"()’"(&’("’$"’"1"(’1"’"1#(’1&1"’#"(,-’+’#(&’("’$"’"1"1"’"1#1&1"’#’("-!解!’"(因为’#"#"""’收敛-由柯西准则知*!#%#(%+:1#当"#%时#有"’"1"(’1"’"1#(’1&1"’#"(’%!所以&’("’$"’"1"(’1"’"1#(’1&1"’#"(,-’$%’#(因为’#"#级数""’"收敛#由柯西准则知*!#%#(%+:1使得对一切"#%时#有"’"1"1"’"1#1&1"’#"%!所以&’("’$"’"1"1"’"1#1&1"’#’("$%/"/-设*"#%#证明数列!’"1*"(’"1*#(&’"1*"("与级数"*"同时收敛或同时发散-!分析!由题意可知两数列有相同敛散性#只需证明一种即可#!证明!由于数列!’"1*"(’"1*#(&’"1*"("与级数"&)’"1*"(有相同的敛散性-因而本题只需证"*"和"&)’"1*"(的敛散性相同-这两者之一若收敛#必有&’("’$*"$%且当&’("’$*"$%时&’("’$&)’"1*"(*"$"故由比较原则的推论可知"&)’"1*"(与"*"有相同的敛散性-故数列!’"1*"(’"1*#(&’"1*"("与级数"*"有相同的敛散性-!小结!注意运用比较原则的推论#9.!一般项级数-"-下列级数哪些是绝对收敛#条件收敛或发散的)’"("8’)","0+!!!!!!!’#("’2"("""1"+’.("’2"(""’1""+’/("’2"("8’)#"+’0("’2"("!"1"’("+’1("’2"("&)’"1"("1"+*%!*’2("’2"("#"1"%%."1’(""+’3(""0,’(""-!分析!’.(需要将’分为’2%#%-#’%#"-#’"#1$(三段讨论#’1(通常是先证绝对收敛#再证条件收敛#!解!’"(因为8’)","0)""0而"""0收敛#所以"8’)","0为绝对收敛-’#(因为&’("’$’2"("""1"$",%所以"’2"("""1"发散-’.(当’)%时&’("’$’2"(""’1"",%故这时级数发散-当’#"时#由于’2"(""’1""$""’而"""’收敛#故这时级数绝对收敛-当%%’)"时#令!!!"$""’1""则!"1"!"$"""’"1""(’’"1"(""1"%"""’"1""(’"""1"$"""’"1"(’"1""(’而"1"’("’’>’#"#"""’"1"(’"!’"’$(从而当"充分大时#有!"1"%!"即!!""为单调递减#又有&’("’$!"$%故由定理"#-""’莱布尼茨判别法(可知#级数"’2"(""’1""在%%’)"时条件收敛-’/(因为’2"("8’)#"$#"’"’$(而"""发散#即原级数不是绝对收敛级数#但8’)#!""是单调递减且&’("’$8’)#"$%-所以由莱布尼茨判别法可知"’2"("8’)#"条件收敛-’0(由于"""发散#"’2"(""!"收敛#故"’2"("!"1"’("发散-’1(因为&)’"1"("1"#""1"*&!*。
数学分析12.2正项级数
第十二章 数项级数2 正项级数一、正项级数收敛的一般判别原则概念：若数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数. 各项都是正数组成的同号级数称为正项级数.定理12.5：正项级数∑n u 收敛的充要条件是：部分和数列{S n }有界，即存在某正数M ，对一切正整数n ，有S n <M.证：∵u i >0(i=1,2,…)，∴{S n }递增. 根据数列的单调有界定理，得证.定理12.6：(比较原则)设∑n u 和∑n v 是两个正项级数，如果存在某正数N ，对一切n>N ，都有：u n ≤v n 则： (1)若级数∑n v 收敛，则级数∑n u 也收敛； (2)若级数∑n u 发散，则级数∑n v 也发散. 证：由改变级数的有限项不影响其收敛性， 不妨设对一切正整数，u n ≤v n 都成立.以S ’n 和S ”n 分别记级数∑n u 和∑n v 的部分和，则对一切正整数n ， 有S ’n ≤S ”n .(1)若∑n v 收敛，则∞n lim +→S ”n 存在，记为S ，则S ’n ≤S ，即{S ’n }有界，∴∑n u 也收敛.(2)若级数∑n v 收敛，由(1)知级数∑n u 收敛，矛盾！得证.例1：考察∑+1n -n 12的收敛性.解：当n ≥2时，1n -n 12+<1)-n (n 1.∵正项级数∑-1)n(n 1收敛，∴∑+1n -n 12也收敛.推论：设∑n u =u 1+u 2+…+u n +…与∑n v =v 1+v 2+…+v n +… 是两个正项级数，若nn∞n v u lim+→=l. 则 (1)当0<l<+∞时，同时收敛或同时发散； (2)当l=0且级数∑n v 收敛时，级数∑n u 也收敛； (3)当l=+∞且级数∑n v 发散时，级数∑n u 也发散.证：(1)当0<l<+∞时，对任意正数ε(ε<l)，存在某正数N ，当n>N 时， 恒有l -nnv u <ε，即(l-ε)v n <u n <(l+ε)v n . 显然， 若∑n v 收敛，则∑n ε)v +(l 收敛，∴∑n u 也收敛； 若∑n v 发散，则∑-n ε)v (l 发散，∴∑n u 也发散.(2)当l=0时，由u n <(l+ε)v n =εv n ，可知∑n v 收敛时，∑n u 也收敛. (3)当l=+∞时，任给正数M ，存在相应的正数N ，当n>N 时，都有nnv u >M ，即u n >Mv n ，由比较原则知：若∑n v 发散时，∑n u 也发散.例2：证明：级数∑n -21n 收敛.证：∵nn ∞n 21n -21lim+→=n ∞n 2n 11lim -+→=1， 又等比级数∑n21收敛，∴级数∑n -21n 也收敛.例3：证明：级数∑n 1sin =sin1+sin 21+…+sin n1+…发散. 证：∵n1n 1sinlim∞n +→=1，又调和级数∑n 1发散，∴级数∑n 1sin 也发散.二、比式判别法和根式判别法定理12.7：(达朗贝尔判别法，或称比式判别法)设∑n u 为正项级数，且存在某正整数N 0及常数q(0<q<1). (1)若对一切n> N 0，不等式n1n u u +≤q 成立，则级数∑n u 收敛； (2)若对一切n> N 0，不等式n1n u u +≥1成立，则级数∑n u 发散. 证：(1)不妨设不等式n1n u u +≤q 对一切n ≥1都成立，于是有 12u u ≤q, 23u u ≤q,…, n 1n u u +≤q, .... 把前n-1个不等式的左右各相乘得 12u u .23u u .. (1)-n n u u ≤q n-1，即u n ≤u 1q n-1. ∵等比级数∑1-n q (0<q<1)收敛，∴级数∑n u 也收敛. (2)由对一切n> N 0，不等式n1n u u +≥1成立，∴有u n+1≥u n ≥0N u ，可知∞n lim +→u n ≠0，∴级数∑n u 发散.推论1：(比式判别法极限形式)若∑n u 为正项级数，且n1n ∞n u u lim++→=q ，则 (1)当q<1时，级数∑n u 收敛； (2)当q>1或q=+∞时，级数∑n u 发散. 证：∵n 1n ∞n u u lim++→=q ，∴对取定的正数ε=21|1-q|，存在正数N ， 当n>N 时，都有q-ε<n1n u u +<q+ε. (1)当q<1时，n 1n u u +<q+ε=21(1-q)<1，∴级数∑n u 收敛. (2)当q>1时，n 1n u u +>q-ε=21(1+q)>1，∴级数∑n u 发散； 当q=+∞时，存在N ，当n>N 时，有n1n u u +>1，∴级数∑n u 发散.例4：证明：级数12+5152⨯⨯+951852⨯⨯⨯⨯+…+)]1n (41[951)]1n (32[852-+⋯⨯⨯-+⋯⨯⨯+…收敛.证：∵n 1n ∞n u u lim++→=n 41n 32lim ∞n +++→=43<1，∴该级数收敛.例5：讨论级数∑1-n nx (x>0)的敛散性. 解：当x=1时，级数∑n 发散. 又n 1n ∞n u u lim++→=nx)1n (lim ∞n ++→=x. ∴当0<x<1时，该级数收敛；当x ≥1时，该级数发散；推论2：设∑n u 为正项级数，则 (1)若n1n ∞n u u lim++→=q<1，则级数∑n u 收敛； (2)若n1n ∞n u u lim ++→=q>1，则级数∑n u 发散.例6：讨论级数1+b+bc+b 2c+b 2c 2+…+b m c m-1+b m c m +…的敛散性，0<b<c.解：∵n 1n u u +=⎩⎨⎧为偶数为奇数n c n b . ∴n1n ∞n u u lim ++→=c, n 1n ∞n u u lim ++→=b. ∴当c<1时，该级数收敛；当b>1时，该级数发散； 当c<1<b 时，无法判定.定理12.8：(柯西判别法，或称根式判别法)设∑n u 为正项级数，且存在某正数N 0及正常数l ，则(1)若对一切n>N 0，不等式n n u ≤l<1成立，则级数∑n u 收敛； (2)若对一切n>N 0，不等式n n u ≥1成立，则级数∑n u 发散. 证：(1)∵n n u ≤l<1，∴u n ≤l n ，又等比级数∑n l 当0<l<1时收敛， 由比较原则知∑n u 也收敛.(2)∵n n u ≥1，∴u n ≥1n =1， ∴∞n lim +→u n ≠0，∴级数∑n u 发散.推论1：(根式判别法极限形式)设∑n u 为正项级数，且n n ∞n u lim +→=l ，则 (1)当l<1时，级数∑n u 收敛；(2)当l>1时，级数∑n u 发散.证：∵n n ∞n u lim +→=l ，∴当取ε<|1-l|时，存在某正数N ，对一切n>N ， 有l-ε<n n u <l+ε. 根据定理12.8得证.例7：研究级数∑+nn2)(-12的敛散性.解：∵n n ∞n u lim +→=nnn ∞n 2)(-12lim ++→=21<1，∴该级数收敛.推论2：设∑n u 为正项级数，且n n ∞n u lim +→=l ，则当 (1)当l<1时，级数∑n u 收敛；(2)当l>1时，级数∑n u 发散.例8：讨论级数b+c+b 2+c 2+…+b m +c m +…的敛散性，0<b<c<1.解：∵n n u =⎪⎩⎪⎨⎧-为偶数为奇数n cn b 2m m12m m . ∴n n∞n u lim +→=2m m ∞n c lim +→=c <1， ∴该级数收敛.注：根式判别法较比式判别法更有效，所以优先使用根式判别法.例9：讨论级数∑∞=+1n n2nx1x 的敛散性，其中x>0. 解：∵nn 2∞n x 1lim ++→=max{1,x 2}，∴n n ∞n u lim +→=nn 2n∞n x 1x lim ++→=}x max {1,x 2=⎩⎨⎧==≠<1x 11x 1. ∴当x ≠1时，该级数收敛；当x=1时，该级数发散.例10：判别下列级数的敛散性：(1)∑∞=1n 2!n)2()(n!；(2)∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+1n n2n 12n .解：(1)∵n1n ∞n u u lim ++→=1)2)(2n n 2(1)(n lim 2∞n ++++→=41<1，∴该级数收敛. (2)∵n n ∞n u lim+→=n12n lim n2∞n ++→=21<1，∴该级数收敛.三、积分判别法定理12.9：设f 为[1,+∞)上非负减函数，那么正项级数∑f(n)与反常积分⎰+∞1f(x )dx 同时收敛或同时发散.证：∵f 在[1,+∞)上非负减，∴对任何正数A ，f 在[1,A]上可积，从而 有f(n)≤⎰n1-n f(x )dx ≤f(n-1), n=2,3,…. 依次相加可得：∑=m2n f(n)≤⎰m1f(x )dx ≤∑=m 2n 1)-f(n =∑=1-m 1n f(n).若反常积分收敛，则有S m =∑=m1n f(n)≤f(1)+⎰m 1f(x )dx ≤f(1)+⎰+∞1f(x )dx ，根据定理12.5知，级数∑f(n)收敛.若级数∑f(n)收敛，则有⎰m1f(x )dx ≤S m-1≤∑f(n)=S. 又f 在[1,+∞)上非负减，∴对任何正数A ，都有 0≤⎰A1f(x )dx ≤S n <S, n ≤A ≤n+1. ∴⎰+∞1f(x )dx 收敛.用反证法或同理可证：正项级数∑f(n)与反常积分⎰+∞1f(x )dx 同时发散.例11：讨论p 级数∑p n1的敛散性. 解：当p<0时，p∞n n 1lim+→≠0，∴级数∑p n 1的发散. 当p>0时，f(x)=p x1为[1,+∞)上非负减函数，又当0<p ≤1时，⎰+∞1px 1dx 发散，∴级数∑p n 1也发散； 当p>1时，⎰+∞1p x 1dx 收敛，∴级数∑p n1也收敛.例12：讨论下列级数的敛散性：(1)∑∞=2n p lnn)(n 1；(2)∑∞=3n plnlnn)(lnn)(n 1. 解：(1)∵⎰+∞2p lnn)(n 1dx=⎰+∞2p lnn)(1dlnn=⎰+∞ln2p u1du. ∴当p ≤1时，原级数发散；当p>1时，原级数收敛. (2)∵⎰+∞3plnlnn)(lnn)(n 1dx=⎰+∞3p lnlnn)(lnn 1dlnn=⎰+∞ln3p u(lnu)1du. 由(1)可知： ∴当p ≤1时，原级数发散；当p>1时，原级数收敛.四、拉贝判别法定理12.10：(拉贝判别法)设∑n u 为正项级数，且存在某正整数N 0及数常r, 则：(1)若对一切n>N 0, 不等式n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+n 1n u u 1≥r>1成立，则级数∑n u 收敛； (2)若对一切n>N 0, 不等式n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n 1n u u 1≤1成立，则级数∑n u 发散. 证：(1)由n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n 1n u u 1≥r>1可得n 1n u u +<1-nr，取p 使1<p<r ，则 由nr n 1-1-1lim p∞n ⎪⎭⎫⎝⎛+→=()rx x -1-1lim p0x →=rp <1知：存在正数N ，使对任意n>N ，有n r >p n 1-1-1⎪⎭⎫ ⎝⎛. ∴n n u 1u +<1-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛p n 1-1-1=p n 1-1-1⎪⎭⎫ ⎝⎛=pn 1-n ⎪⎭⎫⎝⎛. 于是当n>N 时，就有u n+1=N N 1N 1-n n n 1n u u u u u u u ⋅⋅⋯⋅⋅++≤pn 1-n ⎪⎭⎫ ⎝⎛p1-n 2-n ⎪⎭⎫ ⎝⎛…Npu N 1-N ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=u N (N-1)p ·p n 1. ∵p>1，∴∑p n1收敛，∴原级数收敛. (2)由n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n 1n u u 1≤1可得n1n u u +≥1-n 1=n 1-n ，于是 u n+1=2231-n n n 1n u u u u u u u ⋅⋅⋯⋅⋅+>2u 211-n 2-n n 1-n ⋅⋅⋯⋅⋅=u 2·n1. ∵调和级数∑n1发散，∴原级数发散.推论：(拉贝判别法的极限形式)设∑n u 为正项级数，且极限⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++→n 1n ∞n u u 1n lim =r 存在，则 (1)当r>1时，级数∑n u 收敛；(2)当r<1时，级数∑n u 发散.例13：讨论级数：∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋯⋅⋯⋅s(2n)421)-(2n 31当s=1,2,3时的敛散性. 解：n1n ∞n u u lim++→=s∞n (2n)421)-(2n 312)(2n 421)(2n 31lim ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋅⋯⋅+⋯⋅+⋯⋅+→=s ∞n 22n 12n lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++→=1，无法判别. 当s=1时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++→n 1n ∞n u u 1n lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+→22n 12n 1n lim ∞n =22n n lim ∞n ++→=21<1，∴发散； 当s=2时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n 1n u u 1n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛++-222n 12n 1n =4n 84n 3n4n 22+++<1，∴发散；当s=3时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++→n 1n ∞n u u 1n lim =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+→3∞n 22n 12n 1n lim=8n 42n 248n n 7n 1812n lim 2323∞n ++++++→=23>1，∴收敛.习题1、应用比较原则判别下列级数的敛散性： (1)∑+22a n 1；(2)∑n n3πsin 2；(3)∑+2n11；(4)∑n )n (ln 1； (5)∑⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 1cos 1；(6)∑n nn 1；(7)∑-)1a (n (a>1)；(8)∑∞=2n n ln )n (ln 1；(9)∑-+)2a 1a (nn(a>0)；(10)∑n12nsinn1.解：(1)∵0≤22a n 1+≤2n 1，又级数∑2n 1收敛，∴原级数收敛. (2)∵0<n n 3πsin 2<n32π⎪⎭⎫ ⎝⎛，又等比级数∑⎪⎭⎫⎝⎛n32收敛，∴原级数收敛.(3)∵2n 11+>1n 1+，又级数∑+1n 1发散，∴原级数发散. (4)∵0<n )n (ln 1<n 21 (n>e 2)，又级数∑∞=2n n21收敛，∴原级数收敛. (5)∵0≤n 1cos 1-=2sin 22n 1<22n 1，又级数∑22n1收敛，∴原级数收敛. (6)∵n nn 1>2n 1，又级数∑2n1发散，∴原级数发散. (7)∵1a n ->n a ，又当a>1时，n∞n a lim +→=1≠0，∴级数∑n a 发散， ∴原级数发散. (8)∵0≤n ln )n (ln 1=ln(lnn)n 1<2n 1 (n>2e e )，又级数∑2n 1收敛，∴原级数收敛.(9)∵2nn∞n n 12a1a lim-++→=2t t 0t t2a 1a lim-+→=(lna)2>0， 又级数∑2n 1收敛，∴原级数收敛. (10)∵2n12nsin∞n n 1n 1lim +→=2tsint 20t t tlim ⋅→=1>0，又级数∑2n 1收敛，∴原级数收敛.2、用比式判别法或根式判别法鉴定下列级数的敛散性.(1)∑⋯⋅n!1)-(2n 31；(2)∑+n 101)!(n ；(3)∑⎪⎭⎫⎝⎛+n1n 2n ；(4)∑n n n!；(5)∑n 22n ；(6)∑⋅n n n n!3；(7)∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn a b (其中n ∞n a lim +→=a, a n ,b,a>0, 且a ≠b). 解：(1)∵n1n ∞n u u lim++→=n!1)-(2n 31!)1(n 1)(2n 31lim ∞n ⋯⋅++⋯⋅+→=1n 12n lim ∞n +++→=2>1，∴原级数发散. (2)∵n1n ∞n u u lim++→=n1n ∞n 101)!(n 102)!(n lim ++++→=102n lim ∞n ++→=+∞，∴原级数发散. (3)∵n n∞n u lim +→=n n∞n 1n 2n lim ⎪⎭⎫⎝⎛++→=1n 2n lim∞n ++→=21<1，∴原级数收敛. (4)∵n1n ∞n u u lim++→=n1n ∞n n n!)1(n 1)!(n lim ++→++=n∞n 1n n lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→=e1<1，∴原级数收敛. (5)∵n n∞n u lim +→=nn 2∞n 2n lim +→=2n lim n2∞n +→=21<1，∴原级数收敛.(6)∵n1n ∞n u u lim++→=n n 1n 1n ∞n nn!31)(n 1)!n (3lim ⋅++⋅+++→=n∞n 1n n 3lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→=e 3>1，∴原级数发散.(7)∵n n∞n u lim +→=n ∞n a b lim +→=ab，∴当a=b 时，无法判定； 当b>a>0时，原级数发散；当a>b>0时，原级数收敛.3、设∑n u 与∑n v 为正项级数，且存在正数N 0，对一切n>N 0, 有n1n u u +≤n 1n v v +. 证明： 若级数∑n v 收敛，则级数∑n u 收敛；若∑n u 发散，则∑n v 发散. 证：由题意知：当n>N 0时，1n 1n v u ++≤nn v u，从而对n>N 0有， 0<1n 1n v u ++≤n n v u ≤1-n 1-n v u ≤…≤1N 1N 00v u ++，∴u n ≤1N 1N 00v u ++v n ，又1N 1N 00v u ++是常数， 根据比较原则，得证.4、设正项级数∑n a 收敛，证明∑2n a 也收敛；试问反之是否成立？ 证：由∑n a 收敛知n ∞n a lim +→=0，∴存在N ，使n ≥N 时，有0≤a n <1,从而n ≥N 时，有0≤a n 2<a n ，由比较原则知 ∑2n a 也收敛.但反之不成立，如∑2n1收敛，而∑n 1发散.5、设a n ≥0, n=1,2,…. 且{na n }有界，证明∑2n a 收敛. 证：∵a n ≥0, {na n }有界，可设0≤na n ≤M ，则0≤a n ≤nM，从而a n 2≤22nM ，又级数∑22n M 收敛，由比较原则知 ∑2na也收敛.6、设级数∑2n a 收敛，证明∑na n(a n >0)也收敛. 证：∵0<n a n <21(a n 2+2n 1)，又级数∑2n a 和∑2n1都收敛，∴级数∑+)n1(a 22n 收敛，由比较原则知级数∑n a n 也收敛.7、设正项级数∑n u 收敛，证明级数∑+1n n u u 也收敛.证：∵0<1n n u u +<21(u n +u n+1)，又由级数∑n u 收敛知∑+1n u 也收敛， ∴级数∑)u +(u 1+n n 收敛，由比较原则知∑+1n n u u 也收敛.8、利用级数收敛的必要条件，证明下列等式：(1)2n∞n )(n!n lim +→=0；(2)n!∞n a )!(2n lim +→=0 (a>1). 证：(1)记u n =2n)(n!n ，则n1n ∞n u u lim ++→=2n 21n ∞n )(n!n ]1)
第十二章 数 项 级 数一、主要内容与教学要求主要内容数项级数极其收敛与和的定义，柯西收敛准则，收敛级数的基本性质。
正顶级数收敛性的一般判别原则（比较原则），比式判别法与根式判别法，积分判别法。
拉贝判别法*。
交错级数，莱布尼兹判别法，绝对收敛级数与性质，条件收敛，阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。
教学要求1 深刻理解数项级数收敛、发散和的概念，以及收敛级数的基本性质。
2 理解级数绝对收敛与条件收敛的概念，了解绝对收敛级数的性质。
3 熟练掌握正顶级数收敛性的比较原则，比式判别法与根式判别法，并记注几何级数与P 级数的收敛性。
4 掌握交错级数的莱布尼兹判别法，会用其它判别法。
5 会应用级数收敛定义、收敛级数的性质及判别法证明级数中的有关问题。
教学重点：1 数项级数及其收敛与和的定义，柯西收敛准则，收敛级数的基本性质。
2 正项级数收敛性的比较原则，比式判别法与根式判别法。
3 绝对收敛与条件收敛的概念及其相互联系。
4 交错级数的莱布尼兹判别法，一般项级数的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法教学难点：1 收敛级数和绝对收敛级数级数的性质及其证明方法。
2 一般项级数的判敛法。
二、本章教材处理建议1. 通过讨论“无限多个数相加”引入数项级数1nn u∞=∑及其“和”的概念，从有限和出发，借助于数列极限的工具给出无限和的定义是很自然的。
通过级数与数列之间的联系使学生明确研究级数及其和数只不过是研究数列及其极限的一种新形式。
2. 尽管形式上无穷级数是无限和向无限和的推广，但两者有实质性的差别。
加法运算中的运算律（如，交换律、结合律、分配律）和性质都不能照搬到无穷级数中来，在学习收敛级数的性质时一定要注意这种对比。
3. 正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界，这是正项级数敛散性判别法的理论基础。
在此基础上得到一些敛散性判别法：比较判别法、比式判别法、根式判别法，每种判别法都有两种形式：不等式形式与极限形式。
要求学生记住几何级数和p-级数的敛散性。
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第十二章 数项级数1 级数问题的提出1.证明：若微分方程"'0xy y xy ++=有多项式解2012,n n y a a x a x a x =++++则必有0i a i n = ( =1,2,,) . 2．试确定系数01,,,,,n a a a 使0n n n a x ∞=∑满足勒让德方程2(1)"2'(1)0.x y xy l l y --++=2 数项级数的收敛性及其基本性质1．求下列级数的和： (1)11;(54)(51)n n n ∞=-+∑ (2)211;41n n∞=-∑(3) 111(1);2n n n -∞-=-∑ (4)121;2n n n ∞=-∑(5)1sin ,nn rnx ∞=∑||1;r < (6)1cos ,nn rnx ∞=∑|| 1.r <2．讨论下列级数的敛散性：(1)1;21n n =-∑(2)111();23n nn ∞=+∑ (3)1cos;21n n π∞=+∑ (4)11;(32)(31)n n n ∞=-+∑(5)1n ∞=3．证明定理10.2. 4．设级数1nn u∞=∑各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数1,nn U∞=∑即1112,n n n n k k k U u u u ++++=+++0,1,2,n =，其中001210,.n n k k k k k k +=<<<<<<若1n n U ∞=∑收敛，证明原来的级数也收敛.3 正项级数1．判别下列级数的收敛性：(1)n ∞=(2)2111;(21)2n n n ∞-=-∑(3)1n ∞= (4)1sin ;2nn π∞=∑(5)11nn a=+∑ (1);a >(6)1n ∞=(7)11();21nn n ∞=+∑ (8)11;[ln(1)]nn n ∞=+∑ (9) 12(1);2nnn ∞=+-∑ (10)12sin;3n nn π∞=∑(11) 1;!nn n n ∞=∑(12)1ln ;2nn n n∞=∑ (13) 1!2;nn n n n ∞=∑(14) 1!3;nn n n n∞=∑(15) 21;1()nn n n n∞=+∑ (16) 21(1)(1)(1)nnn x x x x ∞=+++∑ (0);x ≥(17)3353573579;11414714710⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅(18)ln 11;nn n∞=∑(19)ln 11;(ln )nn n ∞=∑(20)ln 1;2nn =∑(21)ln 11;3n n ∞=∑(22)1n ∞=(23)1n ∞=2．利用泰勒公式估算无穷小量的阶，从而判别下列级数的收敛性： (1)11[(1)];n pn e n ∞=-+∑(2)3ln cos ;p n n π∞=∑(3)11ln;1p n n n ∞=--+∑(4)1n ∞=∑3．已知两正项级数1nn u∞=∑和1nn v∞=∑发散，问1max(,)nnn u v ∞=∑，1min(,)nnn u v ∞=∑两级数的收敛性如何？4．若正项级数1nn a∞=∑收敛，1n n a a +≤(1,2,)n =，求证lim 0n n na →∞=.5．设22221,,1,2,,1,1,2,,n ka n k k n a k k ⎧=≠=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩求证:(1)1nn a∞=∑收敛;(2) lim 0.n n na →∞≠6．讨论下列级数的收敛性:(1)2;(ln )pn n n =∑ (2)21;ln ln ln n n n n ∞=⋅⋅∑ (3)121(ln )ln ln n n n nσ∞+=∑(0);σ>(4)21.(ln )(ln ln )p qn n n n ∞=∑ 7．利用拉阿比判别法研究下列级数的收敛性: (1)1(21)!!!pn n n ∞=-∑();p 是实数(2)1(1)(1)1!n n n n βααα∞=++-∑(0,0).αβ>>8．设0,n a >且1limn n na l a +→∞=,求证n l =.反之是否成立?9．利用级数收敛的必要条件证明:(1) 2lim0;(!)nn n n →∞= (2) !(2)!lim0n n n a →∞=(1).a >10．设0n a ≥,且数列{}n na 有界,证明级数21nn a∞=∑收敛.11．设正项级数1nn a∞=∑收敛,证明1n ∞=也收敛.12．设lim n n a l →∞=,求证:(1) 当1l >时,11na n n +∞=∑收敛; (2) 当1l <时,11na n n ∞=∑发散. 问1l =时会有什么结论?4 一般项级数1．讨论下列级数的收敛性:(1)1(1);100nn n ∞=-+∑(2)1ln sin ;2n n n nπ∞=∑(3)11112(1);nn nn∞=+++-∑ (4)n n ∞=(5)1sin(n π∞=∑(6)(1)21(1);3n n n n -∞=-∑(7) 1(1)npn n∞=-∑(0);p > (8)11sin ;23nn n π∞=∑ (9)1cos 2(1);nn nn∞=-∑ (10) 21sin (1);nn nn ∞=-∑ (11)1(1)sinn n xn∞=-∑(0)x ≠; (12) 21(1);(1)n n nn∞=-+∑11;11n n +-++-+-+(14) 11nn n a =+∑(0);a > (15) 11sin();n n n n ∞=+∑ (16) 21sin sin .n n n n ∞=∑ 2．讨论下列级数是否绝对收敛或条件收敛:(1) 1(1);n n n x ∞=-+∑ (2) 1sin(2)!n n x n ∞= ;∑ (3)1sin n nxn ∞=∑(0);x π<< (4)1cos pn nxn ∞=∑(0);x π<< (5) 1(1)1np n n n ∞=-+∑(0);p >(6) 2(1)[(1)]nn pn n ∞=-+-∑(0);p > (7)11(1);n p n nn∞+=-∑(8)2112sin (1);n n n n xn∞-=-∑ (9)1(),nn nx a ∞=∑lim 0;n n a a →∞=>(10)1(1)nn n r ∞=-∑(0);r >(11)1!();nn x n n ∞=∑(12) 1ln(1);p n n =+∑(13)1n n ∞=(14) 1sin 4.sin 4p n n n n ππ∞=+∑ 3．利用柯西收敛原理判别下列级数的敛散性:(1) 2012,||1,||n n n a a q a q a q q a A +++++<≤ (0,1,2,);n =(2) 111111.23456+-++-+4．求证:若级数1nn a∞=∑(0)n a ≥收敛,则级数21n n a ∞=∑收敛.但反之不成立,请举出例子.5．若级数1n n a ∞=∑收敛,且lim 1nn nb a →∞=,问是否能断定1n n b ∞=∑也收敛?研究例子1.nn n n a b a n ==+6．证明:若级数1()nn aA ∞=∑及1()n n b B ∞=∑都收敛,且n n n a c b ≤≤(1,2,)n =则级数1()n n c C ∞=∑也收敛,若级数()A 与()B 都发散,问级数()C 的收敛性如何?7．证明:若01n x n a n ∞=∑收敛,则当0x x >时,1n x n a n ∞=∑也收敛. 若01nx n a n ∞=∑发散,则当0x x <时,1nxn a n∞=∑也发散. 8．求证:若数列{}n na 有极限,11()nn n n aa ∞-=-∑收敛,则1n n a ∞=∑也收敛.9．求证:若11()nn n aa ∞-=-∑绝对收敛,1n n b ∞=∑收敛,则1n n n a b ∞=∑收敛.10．求证:若级数21nn a∞=∑和21nn b∞=∑都收敛,则级数2111||,),nn n n n n n n a a b a b n∞∞∞===+∑∑∑（ 也收敛.11．设正项数列{}n x 单调上升且有界,求证:11(1)nn n x x ∞=+-∑ 收敛.12．对数列{},{}n n a b ,定义11,nn k kk k k S a bb b +==∆=-∑,求证:(1) 如果{}n S 有界,1||nn b∞=∆∑收敛,且0()n b n →→∞,则1n n n a b ∞=∑收敛,且有11;n nn n n n a bS b ∞∞===-⋅∆∑∑(2) 如果1nn a∞=∑与1||nn b∞=∆∑都收敛,则1n n n a b ∞=∑收敛.13．设1nn a∞=∑收敛,且lim 0n n na →∞=,求证:11()nn n n aa ∞+=-∑收敛,并且111()nn n n n n aa a ∞∞+==-=∑∑14．下列是非题,对的请给予证明,错的请举出反例: (1) 若0n a >,则112233a a a a a a -+-+-+收敛; (2) 若0n a →,则112233a a a a a a -+-+-+收敛;(3) 若1nn a∞=∑收敛,则1(1)nn n a ∞=-∑收敛;(4) 若21nn a∞=∑收敛,则31nn a∞=∑绝对收敛;(5) 若1nn a∞=∑发散,则n a 不趋于0;(6) 若1nn a∞=∑收敛,1n b →，则1n nn a b∞=∑收敛;(7) 若1||nn a∞=∑收敛, 1n b →，则1n n n a b ∞=∑收敛;(8) 若1nn a∞=∑收敛,则21nn a∞=∑收敛;(9) 若1nn a∞=∑收敛,0n a >，则lim 0n n na →∞=.15．求下列极限(其中1p >) (1)111lim();(1)(2)(2)p ppn n n n →∞+++++ (2)122111lim().n n nn p p p ++→∞+++5 无穷级数与代数运算1．不用柯西准则,求证:如果1||nn a∞=∑,则1n n a ∞=∑也收敛.2．设1nn a∞=∑收敛,求证:将相邻奇偶项交换后所成的级数收敛,且具有相同的和数.3．求证:由级数11n n -∞=1+-++-+发散.4．证明:若1n n a∞=∑条件收敛,则可把级数重排,使新级数部分和数列有一子数列趋向于+∞,有一子数列趋向-∞.5．已知111ln 2n n H c n r n=+++=++,c 是欧拉常数,lim 0n n r →∞=,求证: (1) 111111ln 242222m m c r m +++=++; (2) 若把级数1111234-+-+的各项重排,而使依次p 个正项的一组与依次q 个负项的一组相交替,则新级数的和为1ln 2ln 2p q+. 6．求证:级数11(1)n n n +∞=-∑的平方(柯西乘积)是收敛的. 7．令0!nx n x e n ∞==∑,求证x y x y ee e +=⋅. 8．证明:若级数的项加括号后所成的级数收敛,并且在同一个括号内项的符号相同,那么去掉括号后,此级数亦收敛;并由此考察级数1(1)n n ∞=-∑的收敛性.。