特殊的高次方程的解法1
高次方程的解法
高次方程的解法有很多中学生一谈起高次方程，就好比见天书一样。
其实高次方程没什么难的，学数学应该学会举一反三。
我们知道初中学了一元二次方程，有些学生只把二次方程的求根公式记住了，但这个求根公式怎么推导的呢，他没有理解。
其实学数学应该学会理解，注重理解，而不在于死记公式。
比如说我们学了一元二次方程，重要的不是这个求根公式，而是一元二次方程有几种解法。
一元二次方程有以下几种解法：1、配方法（二次方程是配平方法）：这一方法虽然是很好理解的，但我通过在网上了解有很多学生对一方法根本就不懂。
因为我问到他们时，他们绝大多数都是只会这个求根公式，一问起是怎么推导的，他们根本就不知道。
其实二次方程的求根公式就是用配方法导出来的，配方法是解方程的里面的，尤其是解高次方程里面的最重要的一个方法。
如果能够彻底理解这一方法，不仅是二次方程这块好掌握，对以后解高次方程也有很大帮助。
比如说对于二次方程ax2+bx+c=0，我们知道可用配平方（完全平方公式）法配成缺少一次项系数的二次方程，即配成关于x的一次代数式的完全平方的行式，这样就可以通过直接开平方法解出此方程。
那么二次方程我们能用配方法求解，我们是不是就考虑举一反三，三次方程ax3+bx2+cx+d=0是不是也可以采取配方来解，当然对于三次方程就应该是配立方法了。
通过研究对于某些特殊的三次方程是可以通过配立方法来求解的，为什么说是要特殊的三次方程呢，因为三次方程和二次方程不一样，它有三个带未知数x的项，这样用配立方法化把二次项系数去掉的同时，不一定一次项系数也同时去掉。
所以对于某特殊的三次方程也适用于配方法的。
比如说x3+6x2+12x+9=0，通过配立方法，可以化成完全立方的形式（x+2）3+1=0，这样就可以解得该方程有一实根X=-3，所以我们学了二次方程的配方法后，可以把这种方法推广到三次方程，甚至更高次数的方程上（例如某些四次方程可以通过配四次方法来解……）。
所以如果能够举一反三，学了二次方程以后。
高次方程及解法
高次方程及解法 江苏省通州高级中学 徐嘉伟 一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。
由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。
对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。
对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。
一、±1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则-1是方程的根。
求出方程的±1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（x+1）,降低方程次数后依次求根。
“±1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。
例1解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1),(x4+2x3-9x2-2x+8)÷(x-1)= x3+3x2-6x-8观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根-1”，即方程中含有因式（x+1），∴（x3+3x2-6x-8）÷(x+1)=x2+2x-8，对一元二次方程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0, ∴原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2= -1;当(x-2) =0时，有x3=2; 当(x+4)=0时，有x4=-4点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。
特殊的高次方程的解法1
特殊的高次方程的解法1特殊的一元高次方程的解法1教学目标知识与技能：理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法；过程与方法：学会把一个代数式看作一个整体，掌握可以通过换元转化为二项方程的方程的解法, 经历知识的产生过程，感受自主探究的快乐.教学重点及难点重点：掌握二项方程的求解方法.难点：把“整体”转化为“新”元的二项方程. 教学过程设计一、 情景引入1．复习提问复习：请同学们观察下列方程(1) 2x+1=0； (2) 0652=++x x； (3) 03422=-+x x ； (4) 23+x =3； (5) 083=-x ； (6) 016215=-x ；(7) 01853=+x ； (8) 0323234=--+-t t t t ；(9)010324=-+y y .提问：（1）哪些是整式方程？一元一次方程？一元二次方程？（2）后5个方程与前3个方程有何异同？（3）方程（5）、（6）、（7）有什么共同特点？二、学习新课1．概念辨析（1）一元高次方程通过上述练习，师生共同得出一元高次方程的特点：（1）整式方程;（2）只含一个未知数;（3）含未知数的项最高次数大于2次.从而提出一元高次方程的概念，并标题，提出本节课的主要内容，学习简单高次方程及其解法.（2）二项方程：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.（3）一般形式：关于x的一元n次二项方程的一般形式为(0≠≠=+ax n,0,0bn是正整数）ab注①n ax=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次.2．例题分析解下列简单的高次方程：（1）83=x （2）164=x （3）016215=-x （4）011853=+x 分析 解一元n 次（n>2）次二项方程，可转化为求一个已知数的n 次方根.如果在实数范围内这个数的n 次方根存在，那么可利用计算器求出这个方程的根或近似值.思考：解二项方程 是正整数）n b a b ax n ,0,0(0≠≠=+（学生自主归纳，教师总结）结论：对于二项方程 是正整数）n b a b ax n ,0,0(0≠≠=+ 当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根. 当n 为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这那么方程没有实数根.两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根.特殊的高次方程的解法2教学目标知识与技能：理解双二次方程的意义，了解高次方程求解的基本方法是降次，会用换元法把双二次方程转化为一元二次方程；过程与方法：学会判断双二次方程的根的个数;情感态度与价值观：通过学习增强分析问题和解决问题的能力.教学重点及难点掌握双二次方程的求解方法，学会判断双二次方程的根的个数.教学过程设计一、 情景引入1．复习请同学们解下列一元二次方程：(1)0452=+-y y (2) 0122=-+y y（解题时可以穿插复习一元二次方程的四种解法：因式分解法、开平方法、配方法、求根公式法）2．思考：若令2x y =,则方程变形为（1）04524=+-x x，（2）01224=-+x x 如何求解上述方程？3．观察：提问：以下哪些方程与04524=+-x x，01224=-+x x 具有共同的特点？（1）0451424=+-x x （2）060723=-+x x x （3）0105223=+--x x x （4）013224=-+x x （5）012134=-+x x这类方程有什么共同的特点？二、学习新课1．概念辨析（1） 双二次方程：只含有偶数次项的一元四次方程.注 当常数项不是0时，规定它的次数为0.（2）一般形式：)0(024≠=++a c bx ax（3）学生归纳：如何求解双二次方程？分析 求解的思想方法是“降次”，通过换元把它转化为一元二次方程.换元法对于某些特殊的一元高次方程，可以添设一个辅助元替换原来的未知数，达到使高次方程降次的目的，这种解一元高次方程的方法称为换元法。
高次方程的解法技巧,初中数学特殊方程例题大全及答案解析
转化与化归一■特殊方程,方程组阅读与思考特殊方程、方程垣通常是指高次方程（组）（次数高于两次）、结构巧妙而富有规律性的方程、方程组.降次与消元是解待殊方程、方程蛆的基本策略，而降次与消元的常用方法是：1、因式分解；2、稣；3、平方；转化是解各类特殊方程、方程组的基本思想，而化归的途径是降次与消元，而化归的方向是一元二次方程，这也可以说是“九九归宗“.例题与求解【例1】已知方程绢";侦,?二23的两组解是（而5）与巧），贝勺冲+矽i的值是（北京市竞赛题）解裁思踣：通过消元，将待求式用同一字母的代数式表示，运用根与系数的关系求值，【例2］方程组栏］富笠的正龄豚的砌是（）A.1组B.2组C.3组D.4组解黑单踏:原方程组是三元二次，不易消元降次，不妨从分忻常数的特征入手.【例3】解下列方程：13丫一/13-r（1）—―O+——）=42;（“祖冲之杯”12清赛试题）A+1X+1f x 2 +3x x'+x - 4 11(Z) —i ------+ -----=—2 疽+2x-8 3x+9x 12(3) (1999-对3 十(尤一1998)3=1；（河南省竞赛畋（山东省竞赛试题）(4) (W 3 +3x-4): +(2x 2-7x + 6)2 = (3： -4x+2)2（“祖冲之杯“邀请赛试题）解题思路：注意到方程左i右边项与项的结构特点、内在联系，利用换元法求解.【例4】解下列方程组;⑵x(x+lK3x+5y) = 144' ' ，+4x+5y = 24;)(3)、尸='一3】十2与⑴ ]/二丈一3." + 2尹（山东省竞赛理（西安市意赛试题）（全苏数学奥林匹克瞄）解题思踣：观察发现方程组中两个方程的特点和联系.用换元法求解或整体处理.【例5】 若关于x 的方程毛一、一只有—4＜解（相等的解也算一＞b ）.试求Ar 的值与方程X —1 XX —X 的解.g 省竞赛趣）【例61方程Zv 〕一Ay+3x+j ，+ 2006=0的正做解有多少对?（江苏省竞赛试题）解题思路：确定主元，综合利用I 余及分解因帝知炭行瞄能力训练A级方程2（/+%）一Xx+-）=1的实数根是X X2.（/+3入・一4『+（2疽一7x+6）'=（3J-4x+2）\逮个方程的解为》=3.实数芯M二海足昨：?一3*八则/七的®^.（上海市竞赛题）[x十3y一2x\'+2r=O s-----------ax2+&v+l=O,4,设方程缩况2十工十a=0「有实数解，5W〃十3+]=.x+av4-6=0（武汉市嬖赛皿5.使得（/一4缶-1）=（/+3》+2]，一软十7）成立的、的值得个数为（）A.4个B.3个C. 2个D.1个（“五羊杯“意赛试匙）6.已知方程钏"?指七有实数根，月眼它有（）A.一球B。
高次方程的求解方法
高次方程的求解方法在数学中，高次方程是指其最高次数大于等于2的多项式方程。
对于高次方程的求解是数学中的重要课题之一。
本文将介绍几种常见的高次方程求解方法。
一、一元高次方程的求解方法一元高次方程是指只含有一个未知数的高次方程。
下面将介绍二次方程和三次方程的求解方法。
1. 二次方程的求解方法二次方程是指最高次数为2的一元方程。
一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，而x为未知数。
求解二次方程的一种常见方法是使用求根公式。
根据二次方程的解法，可以得到求根公式为：x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)。
当求根公式中的判别式(b^2-4ac)大于零时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于零时，方程有两个共轭复数根。
2. 三次方程的求解方法三次方程是指最高次数为3的一元方程。
一般形式为：ax^3 + bx^2 + cx + d = 0。
求解三次方程的一种常见方法是使用牛顿迭代法。
该方法通过不断逼近，寻找多项式的根。
牛顿迭代法的迭代公式为：x(n+1) = x(n) - f(x(n))/f'(x(n))，其中x(n+1)为下一个近似解，x(n)为当前的近似解，f(x(n))为方程的多项式函数值，f'(x(n))为多项式函数的导数值。
二、多元高次方程的求解方法多元高次方程是指含有多个未知数的高次方程。
下面将介绍二元高次方程和三元高次方程的求解方法。
1. 二元高次方程的求解方法二元高次方程是指含有两个未知数的高次方程。
一般形式为：f(x, y) = 0。
求解二元高次方程可以采用消元法或者代入法。
消元法是通过将一个未知数用另一个未知数表示，从而减少方程的未知数个数。
代入法是将一个未知数的表达式代入到另一个方程中，从而求解方程的解。
2. 三元高次方程的求解方法三元高次方程是指含有三个未知数的高次方程。
一元高次不等式的解法
一元高次方程的解法
分解因式法
通过因式分解将高次方程 化为低次方程，从而求解。
公式法
利用一元高次方程的求根 公式进行求解。
迭代法
通过不断迭代逼近方程的 解。
一元高次不等式的变种
区间不等式
在给定区间内解一元高次不等式。
参数不等式
含有参数的一元高次不等式，需 要讨论参数的取值范围。
绝对值不等式
含有绝对值符号的一元高次不等 式，需要去掉绝对值符号进行求
配方法
总结词
通过配方将高次不等式化为完全平方形式，便于求解。
详细描述
配方法是另一种常用的解一元高次不等式的方法。它通过将高次多项式配成完全平方的形式，将高次 不等式转化为易于解决的一元二次不等式。在进行配方时，需要注意项的调整和符号的处理，以确保 不等式的正确性。
迭代法
总结词
通过不断迭代逼近解，适用于求解复杂 或难以因式分解的高次不等式。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ决策分析
在决策分析中，一元高次不等式可 以用来描述成本、收益和风险等因 素之间的关系，帮助决策者做出最 优选择。
04 一元高次不等式的注意事 项
符号判断
符号判断是解一元高次不等式的重要步骤，需要根据不等式的性质和一元函数的单 调性来判断解集的符号。
在判断符号时，需要特别注意不等式的临界点和拐点，这些点可能会导致符号发生 变化。
特殊情况处理
特殊情况是指一些特殊形式的一 元高次不等式，如等根、重根、
不等式两边同时为0等。
在处理特殊情况时，需要根据具 体情况采用不同的方法，如因式
分解、配方法、参数方程等。
特殊情况处理需要综合考虑不等 式的形式和性质，以及解的取值 范围和实际意义，采用合适的方
方程的主要解法
方程的主要解法
在数学中，解方程是求出满足方程式的未知数值的过程。
方程的主要解法取决于方程的类型和次数。
以下是常见的方程主要解法：
1. 一元一次方程的解法：
一元一次方程的一般形式为：ax + b = 0，其中a和b是已知常数，x是未知数。
解法：通过移项和合并同类项，将方程化简为x = -b/a的形式，即可得到方程的解。
2. 一元二次方程的解法：
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是已知常数，x是未知数。
解法：可以使用配方法、因式分解、求根公式（二次方程的根公式）等方法来求解方程的解。
3. 一元高次方程的解法：
对于一元高次方程（三次及以上），一般没有通用的代数解法。
在一些特殊情况下，可以使用因式分解、降阶等方法进行求解。
4. 二元一次方程组的解法：
二元一次方程组的一般形式为：
{ ax + by = c
{ dx + ey = f
其中a、b、c、d、e、f为已知常数，x和y为未知数。
解法：可以使用消元法、代入法或Cramer法则等方法求解方程组的解。
5. 高阶多元方程组的解法：
对于高阶多元方程组，解法往往较为复杂，可以使用线性代数的知识和数值计算方法来求解。
需要注意的是，解方程的过程可能涉及代数运算、因式分解、开方等数学技巧，解方程时应根据方程的具体形式选择合适的解法，并注意验证解的合法性。
在实际问题中，解方程是数学在各个领域的基础和关键步骤，具有重要的应用价值。
一元高次方程求解方法
一元高次方程的漫漫求解路若有人问你：“你会解一元二次方程吗？”你会很轻松地告诉他：会的，而且非常熟练！任给一个一元二次方程20,0,ax bx c a ++=≠ ①由韦达定理，①的根可以表示为2b x a-±=。
若进一步问你，会解一元三次方程或更高次数的方程吗？你可能要犹豫一会儿说，只会一些简单的方程。
于是你就会想：一元三次方程或更高次数的方程，是否也像一元二次方程的情形一样，有一个公式，它可以用方程的系数，经过反复使用加减乘除和开方运算，把方程的根表示出来？数学家们当然应当给出完美的理论来解决高次方程的求解问题。
有关理论至少应当包括高次方程是否有解？如果有解，如何求得？n 次方程的一般表达式是101100,0,n n n n a x a x a x a a --++⋅⋅⋅++=≠而1011()n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++称为n 次多项式，其中00a ≠。
当系数01,,a a1,,n n a a -⋅⋅⋅都是实数时，称()f x 是n 次实多项式，当系数中至少有一个为复数时，称()f x 为n 次复系数多项式。
如果存在复数α，使得()0f α=，就称α是n 次方程()0f x =的一 个根，或称为n 次多项式()f x 的一个根。
1799年，年仅22岁的德国数学家高斯在他的博士论文中首先证明了“代数基本定理”：复数域上任一个次数大于零的多项式，至少有一个复数根。
根据代数基本定理可以推出：复数域上n 次多项式恰有n 个复数根，其中k 重根以k 个根计算。
这一结论也可以用多项式的因式分解语言来叙述：“复数域上任何n 次多项式都可以分解成n 个一次式的乘积。
”代数基本定理是一个纯粹的多项式根的存在定理，它没有给出求根的具体方法。
要求得n 次方程的根，一般是希望得到n 次方程1011()0n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++= ②的求解公式，如二次方程①的求根公式那样。
高次方程解法[整理版]
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高次方程解法1.高次方程的定义整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程。
2.高次方程的一般形式高次方程的一般形式为anx^n+an-1x^n-1+-------+a1x+a0=0等式两边同时除以最高项系数，得：anx^n/an+an-1x^n-1/an+--------+a1x/an+a0/an=0所以高次方程一般形式又可写为x^n+bnx^n-1+-------b1x+b0=03.高次方程解法思想通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解4.高次方程根与系数的关系按这个高次方程的形式x^n+bn-1x^n-1+-------b1x+b0=0，那么有所有根相加等于系数bn-1的相反数所有根两两相乘再相加等于系数bn-2所有根三三相乘再相加等于系数bn-3的相反数依次类推，直到所有根相乘，等于(-1)^nb05.阿贝尔定理对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式(即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解)，这称为阿贝尔定理。
换句话说，只有三次和四次的高次方程可解．下面介绍三次和四次方程的解法。
6.四次方程解法卡尔丹公式诞生后，卡尔丹的学生费拉里便发明了一元四次方程的求根公式。
【费拉里公式】一元四次方程aX＾4＋bX＾3＋cX＾2＋dX＋e=0，（a，b，c，d，e∈R，且a≠0）。
令a=1，则X＾4＋bX＾3＋cX＾2＋dX＋e=0，此方程是以下两个一元二次方程的解。
2X＾2＋(b＋M)X＋2(y＋N/M)=0；2X＾2＋(b—M)X＋2(y—N/M)=0。
其中M=√(8y＋b＾2—4c)；N=by—d，(M≠0)。
y是一元三次方程8y＾3—4cy＾2—(8e—2bd)y—e(b＾2—4c)—d＾2=0的任一实根。
7.三次方程解法一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如aX^3＋bX^2＋cX＋d=0的标准型一元三次方程形式化为X^3＋pX＋q=0的特殊型。
高次方程解法
高次方程解法 一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。
由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。
对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。
对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。
一、±1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则 -1是方程的根。
求出方程的±1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（ x+1）,降低方程次数后依次求根。
“±1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。
例1解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1),(x4+2x3-9x2-2x+8)÷(x-1)= x3+3x2-6x-8观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根 -1”，即方程中含有因∴（x3+3x2-6x-8）÷ (x+1)=x2+2x-8，对一元二次方式（x+1），∴原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0,可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2= -1;当(x-2) =0时，有x3=2; 当(x+4)=0时，有x4=-4点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。
一元高次不等式的解法
一元高次不等式的解法步骤：正化，求根，标轴，穿线（奇过偶不过），定解穿根法（零点分段法）（高次不等式：数轴穿根法: 奇穿，偶不穿）解题方法：数轴标根法。
解题步骤： （1）首项系数化为“正”（2）移项通分，不等号右侧化为“0”（3）因式分解，化为几个一次因式积的形式（4）数轴标根。
求解不等式：)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n解法：①将不等式化为0123()()()()0n a x x x x x x x x ---->L 形式，并将各因式中的x 系数化“+”(为了统一方便)②求根，并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点。
（即从右向左、从上往下：看x 的次数：偶次根穿而不过，奇次根一穿而过）。
注意：奇穿偶不穿。
④若不等式（x 系数化“+”后）是“0>”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“0<”,则找“线”在x 轴下方的区间：注意：“≤或≥”标根时，分子实心，分母空心。
例1： 求不等式223680x x x --+>的解集。
解：将原不等式因式分解为：(2)(1)(4)0x x x +-->由方程：(2)(1)(4)0x x x +--=解得1232,1,4x x x =-==，将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如图由图可看出不等式223680x x x --+>的解集为：{}|21,4x x x -<<>或 （1）()()()()00,f x f x g x g x >⇔⋅> ()()()()(2)00;f x f xg x g x <⇔⋅< （3）()()()()()000f x g x f x g x g x ⋅≥⎧⎪≥⇔⎨≠⎪⎩ （4）()()()()()000f xg x f x g x g x ⋅≤⎧⎪≤⇔⎨≠⎪⎩ 解题方法：数轴标根法。
21.2 特殊的高次方程的解法(1)
概念
如果方程中只有一个未知数且两边都是关 于未知数的整式，这个方程叫做一元整式 方程；
一元整式方程中含未知数的项的最高次数 是 n（n 是正整数），这个方程叫做一元 n 次方程；其中次数 n 大于2的方程统称 为一元高次方程，简称高次方程。
例题讲解
2、判断下列关于x的方程，哪些是整式方程？ 这些整式方程分别是一元几次方程？
概念
在方程 ax = 12 和 bx2 = s 中，x 是未知数，字母 a、 b 是项的系数，
s 是常数项，它们都表示已知数，我 们称这样的方程是含字母系数的方
程，这些字母叫做字母系数．
例题讲解
1、解下列关于的方程： （1）(3a - 2)x = 2(3 - x)； （2）bx2 - 1 = 1 - x2（b≠-1）
思考
含字母系数的方程与不含字母系数的
方程在解的过程中存在什么区别吗？
结论
含字母系数的一元一次和一元二次方程
在解的过程中，由于字母的不确定性， 在使用等式性质和根的判别式时，往往
需要进行分情况进行讨论；
如果字母能确定，则不需要讨论．
根据题意列方程来自有一块边长为10分米的正方形薄铁皮，在 它的四个角上分别剪去大小一样的一个小 正方形，然后做成一个容积为48立方分米 的无盖长方体物件箱． 设小正方形的边长为 x 分米 某厂2006年产值为 100 万元，计划到2010 年产值增长到 161.051 万元． 设每年的平均增长率为 x
21.2 特殊的高次方程的解法
浦东新区进才中学北校
初二年级数学组
吴有明
复习
一元高次方程的特点： ① 整式方程； ② 只含一个未知数； ③ 含未知数的项最高次数大于 2 次． 二项方程 如果一元 n 次方程的一边只有含未知数的一项 和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方 程就叫做二项方程．
一元高次不等式的解法
一元高次不等式的解法步骤：正化，求根，标轴，穿线（奇过偶不过），定解穿根法（零点分段法）（高次不等式：数轴穿根法: 奇穿，偶不穿）解题方法：数轴标根法。
解题步骤： （1）首项系数化为“正”（2）移项通分，不等号右侧化为“0”（3）因式分解，化为几个一次因式积的形式（4）数轴标根。
求解不等式：)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n解法：①将不等式化为0123()()()()0n a x x x x x x x x ---->L 形式，并将各因式中的x 系数化“+”(为了统一方便) ②求根，并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点。
（即从右向左、从上往下：看x 的次数：偶次根穿而不过，奇次根一穿而过）。
注意：奇穿偶不穿。
④若不等式（x 系数化“+”后）是“0>”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“0<”,则找“线”在x 轴下方的区间：注意：“≤或≥”标根时，分子实心，分母空心。
例1： 求不等式223680x x x --+>的解集。
解：将原不等式因式分解为：(2)(1)(4)0x x x +-->由方程：(2)(1)(4)0x x x +--=解得1232,1,4x x x =-==，将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如图 由图可看出不等式223680x x x --+>的解集为：{}|21,4x x x -<<>或 （1）()()()()00,f x f x g x g x >⇔⋅> ()()()()(2)00;f x f xg x g x <⇔⋅< （3）()()()()()000f x g x f x g x g x ⋅≥⎧⎪≥⇔⎨≠⎪⎩ （4）()()()()()000f xg x f x g x g x ⋅≤⎧⎪≤⇔⎨≠⎪⎩ 解题方法：数轴标根法。
任意高次方程的解法
任意高次方程的解法
任意高次方程的解法通常需要通过特殊方法或技巧来求解。
以下是一些常见的解法：
1. 因式分解法：对于二次或三次方程，可以通过因式分解来求解。
首先将方程进行因式分解，然后令每个因式等于零，求解出对应的根。
2. 配方法：对于二次方程，可以使用配方法将方程转化为一个完全平方形式，然后求解。
3. 常数项假设法：对于特定的高次方程，可以根据一些已知根的特性假设一个或多个常数项，然后通过代入求解其他未知数。
4. 基本恒等式法：对于特殊的高次方程，可以使用基本恒等式法将方程转化为一个更简单的形式，然后求解。
5. 变量代换法：对于某些复杂的高次方程，可以通过引入新的变量代换来简化方程，然后求解。
6. 数值逼近法：对于无法解析求解的高次方程，可以使用数值逼近的方法来找到方程的数值解。
这包括二分法、牛顿法、割线法等。
总的来说，求解任意高次方程需要根据方程的具体形式和特性选择合适的解法，有时可能需要结合多种方法来求解。
高次方程、分式方程、无理方程的解法
通过换元可将原方程化为关于 t的一元二次方程.
方
法
1. 移项，平方可把无理方程化为有理方程
提 炼
2.换元可以使解方程的过程变得简便
3.解无理方程时应注意检验
一化二解三检验
课 堂 小
1.三种方程高次、分式、无理方程的解法 结 2.一个方法——换元 3.一个思想——等价转化的数学思想
典 型
x1x2 2xa 的解为负数
x2 x1 (x2)x (1)
例 题
求实数 a的范围.
解： 左边通分
4x5 2xa (x2)x (1) (x2)x (1)
所以 4 x 5 2 x a，2x5a
所以 x 5 a 0 且 5 a 1
2
2
解得 a5且 a7
方
1.在分式方程两边同乘以最简公分母，
典
例6（1）解方程 x7x1
型
例
x 7 (x 1)2 *
解： x 7 0
x 1 0
题
为什么会产 生增根？
解得 x2 （ x3为增根 ）
此题也可先解出方程*的根， 再代回原方程检验.
典
例6（2）解方程 2x2x15
型
例
解：移项， 2x12x5
题
两边平方，化简得 2 x 2 1x 1 1 2 0
典 型 例
解：令
x2 2 2x2 1
t
原方程可化为
t 3 2 t
题
即 t22t30
解得 t13,t21
所以
x2 2 2x2 1
3
或
x2 2 2x2 1
1
典
即 7x210或 x230
型 例
题
解得 x17 7,x27 7,x33,x43
一元三次方程的15种解法
一元三次方程的15种解法引言一元三次方程是高中数学中的重要概念之一。
解一元三次方程需要灵活运用代数的各种解法，包括因式分解、配方法、Vieta定理等等。
本文将介绍一元三次方程的15种解法，帮助读者更好地理解和掌握这个概念。
1. 因式分解法对于一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，当方程左边可以因式分解时，可以直接利用因式分解法求解。
具体步骤如下：1.将方程左边进行因式分解，得到a(x-r1)(x-r2)(x-r3) = 0的形式；2.令每个括号内的表达式分别等于零，解方程得到x= r1，x = r2，x = r3。
2. 配方法当一元三次方程不能直接进行因式分解时，可以利用配方法来求解。
具体步骤如下：1.将方程的x^3项与x^2项之间的系数去掉；2.构造一个三次方程y^3 + py + q = 0，使得其方程的二次项和常数项的系数与原方程一致；3.根据配方法的原理，使得y + a为一个因式，进而得到新的方程y^3 + py + q = (y+a)(y^2+by+c)；4.令(y^2+by+c)等于零，解出y，再代入原来的方程，得到x的解。
3. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种数值计算的方法，可以用来求解一元三次方程的近似解。
具体步骤如下：1.假设x0为一个初始值，计算f(x0) = ax0^3 +bx0^2 + cx0 + d和f'(x0) = 3ax0^2 + 2bx0 + c；2.根据牛顿迭代法的迭代公式，计算x1 = x0 -f(x0) / f'(x0)；3.重复步骤2，直到满足收敛准则，即|x(n+1) -x(n)| < ε，其中ε是一个预设的小数值。
4. 二倍角公式二倍角公式可以用来求解三次方程中的根。
具体步骤如下：1.将一元三次方程的三次项系数化为1，即将方程变形为x^3 + bx^2 + cx + d = 0；2.计算p = (3b - a^2) / 3和q = (2a^3 - 9ab+ 27c) / 27；3.根据二倍角公式，得到三个根x1 = 2∛[-q/2 +√(q^2/4 + p^3/27)] - a/3，x2 = 2∛[-q/2 -√(q^2/4 + p^3/27)] - a/3，x3 = -∛[-q/2 +√(q^2/4 + p^3/27)] - a/3。
一元二次方程的基本概念与常见求解方法
一元二次方程的基本概念与常见求解方法知识点睛一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，最高次数的项系数不为 0 的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式2(0)0ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．（1）要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准：一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．一元二次方程最高次数的项系数不为0．（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式2(0)0ax bx c a ++=≠． 要特别注意对于关于 x 的方程2(0)0ax bx c a ++=≠．当0a ≠时，方程是一元二次方程；当00a b =≠且时，方程是一元一次方程． （3）关于x 的一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠的项与各项的系数．ax 2 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．一元二次方程的解法（1）直接开平方法：适用于解形如 (ax +b )2 = ()00a c ≠， 的一元二次方程． （2）配方法：解形如2 )00(ax bx c a ++=≠的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：① 二次项系数化为1．② 常数项右移．③ 配方 (两边同时加上一次项系数一半的平方)．④ 化成 (x +m )2 = n 的形式．⑤ 若0n ≥，直接开平方得出方程的解。
（3）公式法：设一元二次方程为2 )00(ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：2124b ac x x ∆=-，， 是方程的两根，则：1. ∆ > 0 ⇔ 方程 2)00(ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根 x = 2. ∆ = 0 ⇔ 方程 2 )00(ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根 122b x x a==-； 3. ∆ < 0 ⇔ 方程2 )00(ax bx c a ++=≠ 没有实数根．运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：① 把方程化为一般形式．② 确定 a 、b 、c 的值．③ 计算24b ac -的值．④ 若 240b ac -≥，则代入公式求方程的根．⑤ 若240b ac -<，则方程无实数根．（4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．因式分解法的一般步骤：① 将方程化为一元二次方程的一般形式；② 把方程的左边分解为两个一次因式的积；③ 令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④ 解出这两个一元一次方程得到原方程的解． 一元二次方程解法的灵活运用直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如 ax 2 = b 或 (x +a )2 = b (0)b ≥ 或 (ax +b )2 =(cx +d )2 的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．（2）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式 ax 2 +bx +c = 0(a 、b 、c 为常数，0a ≠) 转化为它的简单形式 Ax 2 = B ，这种转化方法就是配方，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．（3）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算 24b ac -的值．（4）因式分解法：适用于右边为 0(或可化为 0)，而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．【例 1】（1） 若 x 2a +b -3x a-b +1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，求 a 、b 的值．（2） 若 n (n ≠0) 是关于 x 的方程 x 2 +mx +2n = 0 的根，则 m +n 的值为 ( )A. 1B. 2C. -1D. -2（3） 已知 43x =，则2421x x x ++的值是 .（4） 当 111552n n x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，(.n x = （ n 为自然数）【例 2】（1） 用直接开平方法解方程：2269(5) 2x x x -+=-． （2） 用配方法解方程：22310x x ++=．（3） 用分解因式法解方程：2()2136x x -=-． （4） 用公式法解方程：161432)2(2x x x x ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭例 3】（1） 解关于 x 的方程： 21 213()()0m x m x m -+-+-=． （2） 解关于 x 的方程22656223200x xy y x y --++-=． 【例 4】（1）如果方程 22()2020x px q x qx p p q -+=-+=≠和 有公共根，则该公共根为 ．（2）若方程2222100ax ax x ax a +-=--=和有公共根，求a 的值例 5】（1） 解方程：22132(10)|2|x x ---+=．（2） 解方程：221|4|x x +-=．练习2 高次方程和无理方程知识点睛1.特殊高次方程的解法:一般的高次方程没有统一的求解方法. 对于一些特殊的高次方程, 可通过降次, 转化为一元二次方程或一元一次方程求解，转化的方法有因式分解法（因式定理）、换元法、变换主元法等.2. 特殊分式方程的解法:求解分式方程总的原则是通过去分母或换元, 使其转化为整式方程, 然后再求解. 在这个过程中离不开分式的恒等变形, 如通分、约分及降低分子的次数等等, 这就有可能使方程产生增根（或遗根）.3. 特殊无理方程的解法:解无理方程的基本思路是把根式转化为有理方程求解. 转化过程中常用的方法有: 乘方、配方、因式分解、等价变换、换元、增元、对偶、利用比例性质等. 如果变形过程是非等价变形（如方程两边平方）, 可能产生增根, 因此应注意验根.精讲精练【例 6】（1） 解方程：43225122560x x x x --++=．（2）解关于 x 的方程 ()()322212 0x t x tx t t +--+-=．（3）解方程 321010x x ++++=【例 7】（1）解方程：(8x + 7)2 (4x + 3)(x + 1)= 29 ；（2）解方程： x x x x x x +-=------2221120102910451069． （3）解方程：222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+．【例 8】（1）解方程：()()222323322x x x x x =+-++--． （2）解方程：22252x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭． （3）方程()()3232232?47615180x x x x x x x x -+---++-+=全部实根是 ．【例 9】（12=．（2）解方程 266 0x x --+=．【例 10】（1）已知 2x =，求．（2）无理方程 221518x x -=-的解是 。
高次方程的韦达定理
高次方程的韦达定理韦达定理是关于高次方程根与系数关系的一个重要定理。
它由法国数学家韦达于16世纪提出，并被广泛应用于代数学中。
韦达定理揭示了高次方程根与系数之间的关联，对于解高次方程以及研究多项式函数性质具有重要的指导意义。
一个高次方程一般可以表示为：a n x n + a n−1x n−1 + … + a₁x + a₀=0其中n为方程的次数，各项为多项式的系数，nn≠0。
韦达定理给出了方程根与系数之间的关系。
设方程的根为n₁、n₂、…、nn，韦达定理告诉我们：n₁ + n₂ + … + nn = - nn−1/nnn₁n₂ + n₁n₃ + … + nn₋₁nn = n₂/nnn₁n₂n₃ + n₁n₂n₄ + … + nn₋₂nn₋₁ = - n₁/nn…n₁n₂…nn = (-1)^n n₀/nn这些公式描述了方程根之间的各种组合情况与系数之间的对应关系。
通过韦达定理，我们可以更好地理解多项式方程的根与系数之间的关系，进而对方程的求解、因式分解以及多项式函数的性质进行分析。
韦达定理的应用非常广泛。
首先，它可以用于求解高次方程。
通过韦达定理，我们可以根据方程的系数直接计算出方程的根，从而得到方程的解析解。
这对于一些特殊的高次方程来说，求解过程会更加简捷。
同时，韦达定理也为我们提供了一些启示，例如当方程的系数都为实数且方程有复数根时，通过系数之间的关系我们可以判断出方程有无实数根。
这对于我们判断方程的解的性质，例如解的个数、解的范围等等，提供了很大的帮助。
其次，韦达定理还可以帮助我们进行多项式的因式分解。
通过韦达定理，我们可以将多项式拆分成更简单的形式，进而帮助我们研究多项式的性质。
例如，对于二次方程来说，通过韦达定理我们可以很容易地将其分解成两个一次因式。
对于更高次的多项式，韦达定理同样可以指导我们进行因式分解，使问题变得更加简化。
韦达定理的应用还可以延伸到多项式函数的性质研究。
多项式函数是数学中非常重要的一类函数，它们具有简单且易于计算的特点。
(完整版)特殊的高次方程的解法
特殊的高次方程的解法教学目标1．根据方程的特征，运用适当的因式分解法求解一元高次方程. 2．通过学习增强分析问题和解决问题的能力.教学重点及难点用因式分解法求解一元高次方程.教学流程设计复习引入例题分析巩固练习布置作业课堂小结教学过程设计一、情景引入1．复习（1）将下列各式在实数范围内分解因式：①x2-4x+3；② x4-4；③x3-2x2-15x；④ x4-6x2+5；⑤（x2-x）2-4（x2-x）-12.教师指出：在分解④、⑤题时，应利用换元的思想，分别把x2和x2-x看成y，于是就有y2-6y+5和y2-4y-12.从而把四次多项式转化为二次三项式，使问题易于解决.（2）提问：①解二项方程的基本方法是什么？（开方）②解双二次方程的基本方法是什么？（换元）分析：不管是开方还是换元都是通过“降次”达到化归目的. 2．观察：（1）若令①x2-4x+3；② x4-4；③x3-2x2-15x；④ x4-6x2+5；⑤（x2-x）2-4（x2-x）-12的右边都为0，请指出哪些是高次方程？（2）这些高次方程如何求解？分析：后面四个都是高次方程，②x4-4=0是二项方程，利用开方法求解；④、⑤都可以利用换元法把它转化为一元二次方程；而③x3-2x2-15x=0则是利用因式分解法降次.所以，这节课我们一起来学习用因式分解法把一元高次方程转化成一元一次方程或一元二次方程.二、学习新课1．例题分析例6 解下列方程（1）5x 3=4x 2； （2）2x 3+x 2-6x=0.[说明] 只有方程整理成一边为零时，才能用因式分解法解方程. 例7 解下列方程（1）x 3-5x 2+x-5=0； （2）x 3-6=x-6x 2.2．问题拓展（1）解方程x 3-2x 2-4x ＋8=0．解 原方程可变形为x 2(x-2)-4(x-2)=0，(x-2)(x 2-4)=0，(x-2)2(x+2)=0．所以x 1＝x 2＝2，x 3=-2．（2）归纳：当ad=bc≠0时，形如ax 3＋bx 2＋cx ＋d=0的方程可这样解决： 令0≠==k dc b a，则a=bk,c=dk,于是方程ax 3+bx 2+cx+d=0 可化为bkx 3+bx 2+dkx+d=0，即 (kx+1)(bx 2+d)=0．三、巩固练习1．直接写出方程x(x+5)(x-4)=0的根，它们是__________________.2．解下列方程：（1）3x3-2x=0 ; （2）y3-6y2+5y=0.3．解下列方程：（1）2x3+7x2-4x=0; （2）x3-2x2+x-2=04．拓展：（1）（x2-x-6）（x2-x＋2）=0，（2）（x-3）（x＋2）（x2-x＋2）=0.分析：在具体操作过程中，把x2-x当作一个“整体”，可直接利用十字相乘法分解，这样省略了许多代换程序.（3）解方程(x-2)(x＋1)(x＋4)(x+7)=19．解把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得(x2+5x-14)(x2＋5x＋4)=19．设则(y-9)(y+9)=19，即y2-81＝19．[说明] 在解此题时，仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法解之．在换元时也可以令y= x2+5x，因为换元的目的是为了降次.拓展部分是学有余力的学生选做，教师可根据学生的实际进行选择.四、课堂小结（学生总结，教师归纳）1．解一元高次方程的基本方法是什么？2．我们现在学习了哪些方法能把高次方程“降次”？3．用因式分解法解高次方程时要注意些什么？五、作业布置1．练习册：习题21.2（3）2．选做题：解下列方程：（1）x3+3x2+3x+1=0（2）(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) =24（3）x(x+1)(x-3) =x+1（4）(x+5)2+(2x-1)2=(x+5)(2x-1)+67教学设计说明1．本节课学习的是用因式分解法求解一元高次方程，所以在情景引入部分复习了实数范围内的因式分解，为后面的新授课做准备.并在此环节中还复习了二项方程和双二次方程的解法，由此自然地过渡到本节课的内容：用因式分解法求解一元高次方程.2．新授课中的问题拓展是对常见的能用因式分解法求解的一元三次方程做了一个简单的归纳.使学生感知从具体到抽象、从特殊到一般的事物发展规律，提高他们自己解决问题的能力.3．在巩固练习部分，增加了一些用因式分解解一元高次方程的特殊类型，是对书本例题的一个补充和提高，同时也是课堂分层教学的需要.4．作业同样采取了分层设计，尽可能使所有学生都能通过作业巩固新知.选做题的类型与难度相当于巩固练习中的四星级和五星级，是针对一些学有余力的同学设计，帮助他们进一步巩固提高.。
韦达定理在求解一类一元高次方程中的应用_张金良
i =1
i =1
b < 1 或a > b >1) ;
n
n
∑ ∑ (2)若 pi axi ≤ par , 则 pibx < pbs (b <
i =1
i =1
a < 1或b > a > 1) .
本文从幂的角度亦给出文[1]的推广:
定理 设 ai , pi , a, r, s 均为正数, pi ≥ p(i = 1, 2,Ln.n ≥ 2) .
解方程分析本题的解法我们发现本题并没有直接给出两数之和也没有给出两数之积原方程通过变形运用字母代换数字通过韦达定理来构造方程使问题化难为易
韦达定理在求解一类一元高 次方程中的应用
福建建阳师范学校 张金良
问题的提出:
解方程 (6x + 7)2 (3x + 4)(x +1) = 6 .
解 原方程可化为
(6x + 7)2 (6x + 8)(6x + 6) = 72 ,
因此,当 ae = ah = b 且 af + ak = 2c 时方
dg
dg
程 (ax2 + bx + c)2 (dx2 + ex + f )(gx2 + hx + k ) =
m (其中 a, b, c, d, e, f, g, h, k, m∈ R 且 d ⋅ g ≠ 0 ) 都可通过韦达定理构造方程来求解.
显然 x = 2 是方程的一个解. 当 x > 2 时,由定理
6 ⋅ 3x + 4x + 2 ⋅ 5x <12x ⋅ 5 / 6 ; 当 0 < x < 2 时,由定理
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特殊的一元高次方程的解法1教学目标知识与技能：理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法； 过程与方法：学会把一个代数式看作一个整体，掌握可以通过换元转化为二项方程的方程的解法, 经历知识的产生过程，感受自主探究的快乐. 教学重点及难点重点：掌握二项方程的求解方法.难点：把“整体”转化为“新”元的二项方程. 教学过程设计 一、 情景引入 1．复习提问复习：请同学们观察下列方程(1) 2x+1=0； (2) 0652=++x x ； (3) 03422=-+x x ； (4)23+x =3； (5) 083=-x ； (6) 016215=-x ； (7) 01853=+x ； (8) 0323234=--+-t t t t ；(9) 010324=-+y y .提问：（1）哪些是整式方程？一元一次方程？一元二次方程？ （2）后5个方程与前3个方程有何异同？（3）方程（5）、（6）、（7）有什么共同特点？ 二、学习新课 1．概念辨析 （1） 一元高次方程通过上述练习，师生共同得出一元高次方程的特点：（1）整式方程;（2）只含一个未知数;（3）含未知数的项最高次数大于2次.从而提出一元高次方程的概念，并标题，提出本节课的主要内容，学习简单高次方程及其解法.（2）二项方程：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程. （3）一般形式：关于x 的一元n 次二项方程的一般形式为是正整数）n b a b ax n ,0,0(0≠≠=+ 注 ①nax =0（a ≠0）是非常特殊的n 次方程，它的根是0. ②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次. 2．例题分析解下列简单的高次方程：（1）83=x （2）164=x （3）016215=-x （4）011853=+x分析 解一元n 次（n>2）次二项方程，可转化为求一个已知数的n 次方根.如果在实数范围内这个数的n 次方根存在，那么可利用计算器求出这个方程的根或近似值.思考：解二项方程 是正整数）n b a b ax n ,0,0(0≠≠=+（学生自主归纳，教师总结） 结论：对于二项方程 是正整数）n b a b axn,0,0(0≠≠=+当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根.当n 为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这那么方程没有实数根.两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根.特殊的高次方程的解法2教学目标知识与技能：理解双二次方程的意义，了解高次方程求解的基本方法是降次，会用换元法把双二次方程转化为一元二次方程；过程与方法：学会判断双二次方程的根的个数;情感态度与价值观：通过学习增强分析问题和解决问题的能力. 教学重点及难点掌握双二次方程的求解方法，学会判断双二次方程的根的个数. 教学过程设计 一、 情景引入 1．复习请同学们解下列一元二次方程：(1)0452=+-y y (2) 0122=-+y y（解题时可以穿插复习一元二次方程的四种解法：因式分解法、开平方法、配方法、求根公式法） 2．思考：若令2x y =,则方程变形为（1）04524=+-x x ，（2）01224=-+x x如何求解上述方程？ 3．观察：提问：以下哪些方程与04524=+-x x ，01224=-+x x 具有共同的特点？ （1）0451424=+-x x （2）060723=-+x x x （3）0105223=+--x x x （4）013224=-+x x （5）012134=-+x x 这类方程有什么共同的特点？ 二、学习新课 1．概念辨析（1） 双二次方程：只含有偶数次项的一元四次方程. 注 当常数项不是0时，规定它的次数为0. （2）一般形式：)0(024≠=++a c bx ax （3）学生归纳：如何求解双二次方程？分析 求解的思想方法是“降次”，通过换元把它转化为一元二次方程. 换元法对于某些特殊的一元高次方程，可以添设一个辅助元替换原来的未知数，达到使高次方程降次的目的，这种解一元高次方程的方法称为换元法。
换元法是一种重要的数学方法，它不仅可以用在解方程中，在其他许多领域都有着广泛的应用。
换元法解一元高次方程的一般步骤：(1) 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式(2) 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值 (3) 把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值，即原方程的解2．例题分析例4：解下列方程：（1）014924=+-x x （2）024524=-+x x 例5：解方程 020924=++x x分析：双二次方程既可以用换元法，也可以把2x 看作一个整体直接求解. 3．问题拓展不解方程，判断下列方程的根的个数：①06524=+-x x ； ②013224=--x x ； ③04224=+-x x ； ④036224=++x x . 分析：令2x y =①△>0,y 1y 2>0,y 1+y 2>0 ∴原方程有四个实数根. ②△>0,y 1y 2>0,y 1+y 2<0 ∴原方程没有实数根. ③△>0,y 1y 2<0, ∴原方程有两个实数根. ④△<0 ∴原方程没有实数根. ★★★★： （1）（x 2+2x ）2-7(x 2+2x)+12=0; （2）（x 2+x ）2+（x 2＋x ）=2; （3）（6x 2-7x ）2-2（6x 2-7x ）=3;（4）(x 2+x)2-5x 2-5x=6. ★★★★★：（1）(2x 2-3x+1)2+4x 2-1=6x ; （2）12x 4-56x 3+89x 2-56x+12=0.解：观察方程的系数，可以发现系数有以下特点：x 4的系数与常数项相同，x 3的系数与x的系数相同，像这样的方程我们称为倒数方程．由四、课堂小结（学生总结，教师归纳）1．解双二次方程的一般过程是什么？（1）换元；（2）解一元二次方程；（3）回代.2．如何判断双二次方程的根的个数？五、作业布置解下列高次方程:（1）（x2-x）2-4（2x2-2x-3）=0;（2）（x2-2x+3）2=4x2-8x+17;（3）x4-（a2+b2）x2＋a2b2=0;（4）（x2+8x＋12）2＋6（x2＋8x＋12）＋9=0.特殊的高次方程的解法3教学目标知识与技能：根据方程的特征，运用适当的因式分解法求解一元高次方程.过程与方法：通过学习增强分析问题和解决问题的能力.教学重点及难点用因式分解法求解一元高次方程.教学过程设计一、情景引入1．复习（1）将下列各式在实数范围内分解因式：①x2-4x+3；②x4-4；③x3-2x2-15x；④x4-6x2+5；⑤（x2-x）2-4（x2-x）-12.（2）提问：①解二项方程的基本方法是什么？（开方）②解双二次方程的基本方法是什么？（换元）分析：不管是开方还是换元都是通过“降次”达到化归目的. 2．观察：（1）若令①x 2-4x+3；② x 4-4；③x 3-2x 2-15x ；④ x 4-6x 2+5；⑤（x 2-x ）2-4（x 2-x ）-12的右边都为0，请指出哪些是高次方程？ （2）这些高次方程如何求解？二、学习新课因式分解法因式分解法是解一元高次方程首选的方法。
这种解法的理论根据是两个因式的积等于零的充分必要条件是这两个因式至少要有一个等于零，即： 。
因式分解法解一元高次方程的一般步骤：(1) 将方程右边化为零(2) 将方程左边分解为几个一次因式乘积(3) 令每个因式分别为零，得到几个一元一次方程或一元二次方程 (4) 解这几个一元一次方程或一元二次方程，它们的解就是原方程的解1．例题分析例6 解下列方程 （1）5x 3=4x 2； （2）2x 3+x 2-6x=0. [说明] 只有方程整理成一边为零时，才能用因式分解法解方程. 例7 解下列方程 （1）x 3-5x 2+x-5=0； （2）x 3-6=x-6x 2. 2．问题拓展（1）解方程 x 3-2x 2-4x ＋8=0． 解 原方程可变形为x 2(x-2)-4(x-2)=0， (x-2)(x 2-4)=0， (x-2)2(x+2)=0． 所以 x 1＝x 2＝2，x 3=-2． （2）归纳：当ad=bc≠0时，形如ax 3＋bx 2＋cx ＋d=0的方程可这样解决： 令0≠==k dcb a ，则a=bk,c=dk,于是方程ax 3+bx 2+cx+d=0 可化为 bkx 3+bx 2+dkx+d 即 (kx+1)(bx 2+d)=0． 三、巩固练习1．直接写出方程x(x+5)(x-4)=0的根，它们是__________________. 2．解下列方程：（1）3x 3-2x=0 ; （2）y 3-6y 2+5y=0. 3．解下列方程：（1）2x 3+7x 2-4x=0; （2）x 3-2x 2+x-2=0 4．拓展： （1）（x 2-x-6）（x 2-x ＋2）=0， （2）（x-3）（x ＋2）（x 2-x ＋2）=0. 分析：在具体操作过程中，把x 2-x 当作一个“整体”，可直接利用十字相乘法分解，这样省略了许多代换程序.（3）解方程(x-2)(x＋1)(x＋4)(x+7)=19．解把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得(x2+5x-14)(x2＋5x＋4)=19．设则(y-9)(y+9)=19，即y2-81＝19．[说明] 在解此题时，仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法解之．在换元时也可以令y= x2+5x，因为换元的目的是为了降次.拓展部分是学有余力的学生选做，教师可根据学生的实际进行选择.分层作业：解下列方程：（1）x3+3x2+3x+1=0（2）(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) =24（3）x(x+1)(x-3) =x+1（4）(x+5)2+(2x-1)2=(x+5)(2x-1)+67高次方程及解法4一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。
由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。
对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。
对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。
一、 ±1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则 -1是方程的根。