三角形基础知识练习
三角形基础知识及习题
三角形的三线一、概念三角形三条中线的交点叫做。
三角形的中线平分三角形的面积。
重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
三角形三条高线的交点叫做。
三角形三条角平分线线的交点叫做。
注意：三角形的中线，角平分线，高线均为线段二、灵活运用中线篇1.如图7-11所示，在△ABC中，∠1=∠2，点G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，且CF⊥AD于点H，以下判定中正确的选项是( )（1）AD是△ABE的角平分线；(2)BE是△ABD边AD上的中线；(3)CH是△ACD边AD上的高.A.0个B.1个C.2个D.3个2.如图，BM是△ABC的中线，假设AB=5 cm，BC=13cm，那么△BCM的周长与△ABM的周长差是多少?3.能把三角形的面积分成两个相等的三角形的线段是（）A．中线B．高C．角平分线 D．以上三种情形都正确4.若是一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个极点，那么那个三角形是__________5.如图，在△ABC中，已知点D、E、F别离为B C、AD、CE的中点，且S△ABC=4c m2，那么S阴影=__________.6.如图，BD=12BC，那么BC边上的中线为______，△ABD的面积=_____的面积.7.在△ABC中,D是BC上的点,且BD:DC=2:1,S△ACD=12,那么S△ABC等于( )A.30B.36C.72D.248.如图，在△ABC中，D、E别离是BC、AD的中点，S△ABC=4cm2，求S△ABE．9.探讨在如图7-23至图7-25中，△ABC的面积为a.(1)如图7-23，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA.若△ACD的面积为S1，那么S1=__________(用含a的代数式表示)；图7-23 图7-24 图7-25(2)如图7-24，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE.假设△DEC的面积为S2，那么S2=________(用含a的代数式表示)，并写出理由；(3)在图7-25的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，取得△DEF(如图7-25).假设阴影部份的面积为S 3,那么S 3=__________(用含a 的代数式表示).（4）像上面那样，将△ABC 各边均按序延长一倍，连接所得端点，取得△DEF(如图7-25)，现在， 咱们称△ABC 向外扩展了一次.能够发觉，扩展一次后取得的△DEF 的面积是原先△ABC 面 积的__________倍. 应用去年在面积为10 m 2的△ABC 空地上栽种了某种花卉.今年预备扩大种植规模， 把△ABC 向外进行两次扩展，第一次由△ABC 扩展成△DEF ，第二次由△DEF 扩展成△MGH(如图7-26).求这两次扩展的区域(即阴影部份)面积共为多少平方米?10. 在数学活动中，小明为了求23411112222++++ (1)2n +的值（结果用n 表示），设计了如图1所示的几何图形.请你利用那个几何图形求23411112222++++ (1)2n +的值.垂线篇1.如图，在锐角△ABC中，CD、BE别离是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P，假设∠A=50°，那么∠BPC的度数是( )A.150°B.130°C.120°D.100°2.若是一个三角形的三条高的交点正是三角形的一个极点，那么那个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定3.如图，已知AD，AE别离为△ABC的中线、高，且AB=5cm，AC=3cm，那么△ABD与△ACD的周长之差为cm，△ABD与△ACD的面积关系为．4.如图,在ABC∆中,2,3AC cm BC cm==,ABC∆的高AD与BE的比是多少?5.如图，在△ABC中，∠C是钝角，画出∠C的两边AC、BC边上的高BE、AD．B CADE6. 如图7-13，△ABC 的边BC 上的高为AF ，AC 边上的高为BG ，中线为AD ，已知AF=6，BC=10,BG=5.(1)求△ABC 的面积；(2)求AC 的长；(3)说明△ABC 和△ACD 的面积的关系.角平分线篇1. 在△ABC 中,∠B=60°,∠C=40°,AD 、AE 别离是△ABC 的高线和角平分线, 那么∠DAE 的度数为______2. 以下四个命题中是真命题的有（ ）个（1）D 是△ABC 中BC 边上的一个点，且BD =CD ，那么AD 是△ABC 的中线 （2）D 是△ABC 中BC 边上的一个点，且∠ADC =90°，那么AD 是△ABC 的高 （3）D 是△ABC 中BC 边上的一个点，且∠BAD =21∠BAC ，那么AD 是△ABC 的角平线 （4）三角形的中线、高、角平分线都是线段 A.1 B.2 C.3 D.43. 如图BD 、AE 别离是△ABC 的中线、角平分线，AC=10cm ，∠BAC=700，那么AD=_____，∠BAE=____4. 如图DE ∥BC ，CD 是∠ACB 的平分线，∠ACB =60°，那么∠EDC =______度5. 以下说法错误的选项是（ ）A ．三角形的三条高必然在三角形内部交于一点B ．三角形的三条中线必然在三角形内部交于一点D EABC4第题FABCDC ．三角形的三条角平分线必然在三角形内部交于一点D ．三角形的三条高可能相交于外部一点6. 如图,ABC ∆中,90,6,ACB AB CD ∠==为中线,CE 平分ACB ∠,那么DB = , ACE ∠=_______________7. 如图，BD 、CD 别离是△ABC 的两个外角∠CBE 、∠BCF•的平分线，试探讨∠D 与∠A 之间的数量关系．8. 如图，BD 为△ABC 的角平分线，CD 为△ABC 的外角∠ACE 的平分线，它们相交于点D ，试探讨∠BDC 与∠A之间的数量关系．三角形基础知识练习1、若是点G是△ABC的重心，联结AG并延长，交对边BC于点D，那么AG：AD是（）A．2：3 B．1：2 C．1：3 D．3：42、如图，△ABC中，BO，CO别离是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A=50°，那么∠BOC等于（）A．110°B．115°C．120°D．130°3、将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，那么∠1的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°4、如图，AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，垂足别离是D、C、F，以下说法中，错误的选项是（）A．△ABC中，AD是边BC上的高B．△ABC中，GC是边BC上的高C．△GBC中，GC是边BC上的高D．△GBC中，CF是边BG上的高第2题图第3题图第4题图5、如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，那么∠ADB′等于（）A．40°B．35°C．30°D．25°6、AD，AE别离是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，那么∠DAE的度数为（）A ． 20°B ． 18°C ． 38°D ．40° 7、在△ABC 中，∠B 的平分线与∠C 的外角平分线相交于点D ，∠D=40°，那么∠A 等于（ ） A ． 50° B ． 60° C ． 70° D ． 80°8、将一副直角三角板，按如图叠放在一路，那么图中∠α的度数是（ ） A ． 45° B ． 60° C ． 75° D ． 90° 9、如图，EA ⊥AB ，BC ⊥AB EA=AB=2BC ，D 为AB 中点，有以下结论：（1）DE=AC （2）DE ⊥AC （3）∠CAB=30°（4）∠EAF=∠ADE ，其中结论正确的选项是（ ） A ． （1），（3） B ． （2），（3） C ． （3），（4） D ． （1），（2），（4）第5题 第6题 第7题 第8题 第9题10、以下说法中错误的选项是（ ） A ． 三角形三条角平分线都在三角形的内部 B ． 三角形三条中线都在三角形的内部 C ． 三角形三条高都在三角形的内部 D ． 三角形三条高至少有一条在三角形的内部11、在如图中，正确画出AC 边上高的是（ ） A ．B ．C ．D ．12、一个三角形的底边增加10%，高减少10%，那么那个三角形的面积（ ） A ． 增大0.5% B ． 减少1% C ． 增大1% D ． 不改变13、如图，△ABC 的两条中线AM 、BN 相交于点O ，已知△ABO 的面积为4，△BOM 的面积为2，那么四边形MCNO 的面积为（ ） A ． 4 B ． 3 C ． 4.5 D ． 3.514、如图，BD、CE是△ABC的两条高，AB=4，AC=3，那么BD与CE比值是（）A．3：4 B．4：3 C．6：8 D．不能确定15、如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，那么∠BPC的大小是（）A．100°B．110°C．115°D．120°16、直角三角形中两锐角平分线所交成的角的度数是（）A．45°B．135°C．45°或135°D．都不对17、如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠D1BC与∠D1CB的角平分线交于点D2，…依此类推∠D2BC与∠D2CB的角平分线交于点D3，那么∠BD3C的度数是（）A．100°B．120°C．140°D．160°18、如图，点P是△ABC中，∠B、∠C对角线的交点，∠A=102°，那么∠BPC的度数为（）A．39°B．78°C．102°D．141°第13题第14题第15题第17题第18题19、若是三角形的三边长别离为a、a﹣一、a+1，那么a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＞2 C．a＜2 D．0＜a＜220、小亮截了四根长别离为5cm，6cm，10cm，13cm的木条，任选其中三条组成一个三角形，如此拼成的三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个21、如图，BD，CE别离是△ABC的两条高、它们相交于点H，那么以下式子中正确的有（）个．（1）∠DHC=∠A；（2）∠EBH+∠A=90°；（3）∠ACE=∠ABD；（4）∠ECB=∠ABC．A．1B．2C．3D．422、如图，在△ABC中，∠ABC的平分线和∠ACB的外角平分线交于D，已知∠A=80°，那么∠D=（）A．40°B．160°C．120°D．100°23、如图，已知BE，CF别离为△ABC的两条高，BE和CF相交于点H，假设∠BAC=50°，那么∠BHC为（）A．160°B．150°C．140°D．130°24、如图，五角星的极点为A、B、C、D、E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（）A．90°B．180°C．270°D．360°25、如图，射线AD、BE、CF组成∠1，∠2，∠3，那么你发觉，∠1+∠2+∠3的度数是（）A．90°B．180°C．270°D．360°第21题第22题第23题第24题第25题26、如图，△ABC中，E为边BC延长线上一点，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点B，假设∠A=46°，那么∠D的度数为（）A．46°B．92°C．23°D．44°27、如下图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，设∠BOC=α，那么∠A等于（）A．90°﹣2αB．90°﹣C．180°﹣2αD．180°﹣28、已知如图，∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，那么∠DFE等于（）A．120°B．115°C．110°D．105°29、如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，那么∠A5的度数为（）A．19.2°B．8°C．6°D．3°第26题第27题第28题第29题30、如图，BA1和CA1别离是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是A2BD∠的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，假设∠A1=α，那么∠A2021为（）A、B、C、D 、31、如图：（1）在△ABC中，BC边上的高是；（2）在△AEC中，CE边上的高是；（3）在△BCF中，BC边上的高是．32、如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E、F别离是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为18cm2，那么△BEF的面积=cm2．33、如图，对面积为1的△ABC进行以下操作：别离延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，按序连接A1、B1、C1，取得△A1B1C1，记其面积为S，那么S=．34、如图，直角三角形ABC，AC=3，BC=4，BA=5，CD是斜边AB上的高线，那么CD=．35、已知：如图，在△ABC中，点D，E，F别离为三边中点，S△BGD=8，那么△ABC的面积是．36、如图，AD，CE是△ABC的高，已知AD=10，CE=9，AB=12，那么BC=．37、△ABC中，AD为中线，且△ABD的面积为3，那么△ACD的面积为．38、如图，O为△ABC的重心，假设OD=2，那么AO=．39、已知：如图，在△ABC中，∠A=55°，H是高BD、CE的交点，那么∠BHC=度．40、如图，点D、E为△ABC边BC、AC上的两点，将△ABC沿线段DE折叠，点C落在BD上的C′处，假设∠C=30°，那么∠AEC′=．41、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，两个锐角的平分线相交于点D，那么∠ADE=．42、如图，△ABC，CP、BP别离平分三角形的外角∠ECB，∠DBC，假设∠A=50°，那么∠P等于°．43、已知△ABC，（1）如图，假设P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，那么∠P=；（2）如图，假设P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，那么∠P=90°﹣∠A；（3）如图，假设P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，那么∠P=．其中结论必然正确的序号数是．44、如图，∠B=∠ADE，∠1=32°，那么∠2=．45、如图，△ABC中，∠A=80°，剪去∠A后，取得四边形BCDE，那么∠1+∠2=．46、如图，△ABC中，D在AC上，E在BD上，∠1=20°，∠2=50°，∠C=20°，那么∠ADB=∠DBC=．47、如图，△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，∠AFD=158°，那么∠EDF等于度．48、如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD=80°，AB=AD=DC，那么∠C=度．49、已知：如图，△ABC中，AD、AE别离是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF与AE交于O，假设∠ABC=40°，∠C=60°，求∠DAE、∠BOE的度数．50、在△ABC中．（1）假设∠A=60°，AB、AC边上的高CE、BD交于点O．求∠BOC的度数．（如图）（2）假设∠A为钝角，AB、AC边上的高CE、BD所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量∠BAC+∠BOC=°，再用你已学过的数学知识加以说明．（3）由（1）（2）能够取得，不管∠A为锐角仍是钝角，总有∠BAC+∠BOC=°．51、如图，在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．52、已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，别离交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．53、在△ABC中，已知∠ABC=60°，∠ACB=50°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点．求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．。
2023全国真题分类卷 第一部分 基础知识分点练 第十三讲三角形
第一部分基础知识分点练第十三讲三角形命题点1三角形及边角关系1. (2022永州)下列多边形具有稳定性的是()2. (2022邵阳)下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是()A. 1 cm，2 cm，3 cmB. 3 cm，4 cm，5 cmC. 4 cm，5 cm，10 cmD. 6 cm，9 cm，2 cm3. (2022河北)平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形(如图所示)，则d可．能．是()第3题图A. 1B. 2C. 7D. 84. (2022德阳)八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5 km和3 km.那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能．．．是()A. 1 kmB. 2 kmC. 3 kmD. 8 km5. (2021盐城)将一副三角板按如图方式重叠，则∠1的度数为()第5题图A. 45°B. 60°C. 75°D. 105°6. (2021陕西)如图，点D，E分别在线段BC，AC上，连接AD，BE.若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，则∠1的大小为()第6题图A. 60°B. 70°C. 75°D. 85°7. (2022湘潭)如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB，OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，则∠AEF＝________．第7题图8. (新趋势)·注重学习过程(2022北京)下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.已知：如图，△AB C.求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.方法一证明：如图，过点A作DE∥B C.方法二证明：如图，过点C作CD∥A B.源自人教八上P12例题命题点2三角形中的重要线段类型一与中点有关的问题9. (2022眉山)在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，点D，E，F分别为边AB，BC，AC的中点，则△DEF 的周长为()A. 9B. 12C. 14D. 1610. (2022南充)数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在AB外选择一点C，测得AC，BC两边中点的距离DE为10 m(如图)，则A，B两点的距离是________m.第10题图11. (2022常州)如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是________．第11题图类型二与角平分线有关的问题12. (新考法)·结合折叠考查角平分线的概念(2022河北)如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的()第12题图A. 中线B. 中位线C. 高线D. 角平分线13. (2022北京)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥A B.若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝________．第13题图14. (2022温州)如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E.(1)求证：∠EBD＝∠EDB；(2)当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．第14题图类型三与高线有关的问题15. (2022杭州)如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则()第15题图A. 线段CD是△ABC的AC边上的高线B. 线段CD是△ABC的AB边上的高线C. 线段AD是△ABC的BC边上的高线D. 线段AD是△ABC的AC边上的高线16. (2022玉林)请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是()第16题图A. 0.5 cmB. 0.7 cmC. 1.5 cmD. 2 cm17. (2021聊城)如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE∶AD∶BF值为________．第17题图命题点3 等腰三角形18. (2022宿迁)若等腰三角形的两边长分别为3 cm 和5 cm ，则这个等腰三角形的周长是( ) A. 8 cm B. 13 cm C. 8 cm 或13 cm D. 11 cm 或13 cm19. (2022嘉兴)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝8，点E ，F ，G 分别在边AB ，BC ，AC 上，EF ∥AC ，GF ∥AB ，则四边形AEFG 的周长是( )第19题图A. 32B. 24C. 16D. 820. (2022天津)如图，△OAB 的顶点O (0，0)，顶点A ，B 分别在第一、四象限，且AB ⊥x 轴，若AB ＝6，OA ＝OB ＝5，则点A 的坐标是( )第20题图A. (5，4)B. (3，4)C. (5，3)D. (4，3)21. (2022海南)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以点B 为圆心，适当长为半径画弧，交BA 于点M ，交BC 于点N ，分别以点M ，N 为圆心，大于12 MN 的长为半径画弧，两弧在∠ABC 的内部相交于点P ，画射线BP ，交AC 于点D ，若AD ＝BD ，则∠A 的度数是( )第21题图A. 36°B. 54°C. 72°D. 108°22. (2022梧州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误．．的是()第22题图A. ∠ADC＝90°B. DE＝DFC. AD＝BCD. BD＝CD23. (2022湖州)如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连接EB，E C.若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是()第23题图A. 12B. 9C. 6D. 3224. (2021宜宾)如图，在△ABC中，点O是角平分线AD，BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan ∠OBD 的值是()第24题图A. 12 B. 2 C.63 D.6425. (2022云南)已知△ABC是等腰三角形. 若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是________．26. (2022苏州)定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC 是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为________．27. (2021南京)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝B D.设∠ABC＝α，则∠ADC＝________(用含α的代数式表示).第27题图28. (2021长沙)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE.(1)求证：∠B＝∠ACB；(2)若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．第28题图29. (挑战题) (2020天水)性质探究如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为________；理解运用(1)若顶角为120°的等腰三角形的周长为4＋23，则它的面积为________；(2)如图②，在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH.在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN.若∠FGH＝120°，EF＝20，求线段MN的长；类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为________(用含α的式子表示).第29题图命题点4等边三角形30. (2020铜仁)已知等边三角形一边上的高为23，则它的边长为()A. 2B. 3C. 4D. 4331. (2020福建)如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是()A. 1B. 12 C.13 D.14第31题图32. (2022张家界)如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝3，则△AOB与△BOC 的面积之和为()第32题图A.34 B.32 C.334 D. 333. (2020台州)如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是________．第33题图34. (挑战题) (2022朝阳)等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE，若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为________．35. (2022怀化)如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H.(1)求证：MP＝NP；(2)若AB＝a，求线段PH的长(结果用含a的代数式表示).第35题图命题点5直角三角形类型一勾股定理及其应用36. (2022遵义)如图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OAB C.若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为()A.55 B.255 C. 1 D. 2第36题图37. (2021成都)如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为________．第37题图38. (2022扬州)在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，若b2＝ac，则sin A的值为________．39. (新趋势)·数学文化(2021宿迁)《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C′处(如图)，水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是________尺．第39题图类型二直角三角形的性质及计算40. (2022沈阳)如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，点D，E分别是直角边AC，BC的中点，连接DE，则∠CED 的度数是()第40题图A. 70°B. 60°C. 30°D. 20°41. (2022宁波)如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为()第41题图A. 22B. 3C. 23D. 442. (2022南充)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误．．的是()第42题图A. BF＝1B. DC＝3C. AE＝5D. AC＝943. (2022梧州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，AC边上的中点，连接CD，DE.如果AB＝5 m，BC＝3 m．那么CD＋DE的长是________m.第43题图44. (2021海南)如图，△ABC的顶点B，C的坐标分别是(1, 0)、(0，3)，且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是________．第44题图45. (2021苏州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF，若∠CFE＝72°，则∠B＝________°.第45题图46. (2022德阳)如图，直角三角形ABC纸片中，∠ACB＝90°，点D是AB边上的中点，连接CD，将△ACD 沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥A B. 若CB＝1，那么CE＝________．第46题图47. (2022杭州)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC 于点F，连接CM，CE.已知∠A＝50°，∠ACE＝30°.(1)求证：CE＝CM；(2)若AB＝4，求线段FC的长．第47题图命题点6等腰直角三角形48. (2021宁波)如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D, BD＝3.若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为()A.33 B.32 C. 1 D.62第48题图49. (2022桂林)如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则△ABC的面积是()第49题图A. 3＋22 B. 1＋2 C. 22 D. 2＋250. (2021枣庄)如图，三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕EF交BC于点F.已知EF＝32，则BC的长是()第50题图A. 322 B.3 C. 32 D. 3351. (2021扬州)如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角．．．．三角形，满足条件的格点C的个数是()第51题图A. 2B. 3C. 4D. 5。
小学数学三角形的练习题
小学数学三角形的练习题一、基础知识回顾在开始练习题之前，让我们先来回顾一下一些基础知识。
三角形是由三条线段组成的，这三条线段称为三角形的边。
而三角形的顶点则是三条边的交汇点。
除此之外，三角形还有一些特性，比如我们可以根据三角形的边长和角度来分类它们。
二、选择题1. 下列哪种情况下，三条线段可以构成一个三角形？A. 12 cm, 15 cm, 30 cmB. 5 cm, 6 cm, 7 cmC. 8 cm, 4 cm, 3 cmD. 10 cm, 12 cm, 25 cm2. 已知一个三角形的三个内角分别为30°，60°，90°，那么这个三角形的形状是什么？A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形3. 如果一条边的长度大于另外两条边的长度之和，那么这三个线段能否构成一个三角形？A. 可以B. 不可以三、计算题根据下列信息，解答问题：已知三角形ABC，边长分别为AB = 5 cm，BC = 7 cm，AC = 8 cm。
1. 这是一个什么类型的三角形？2. 计算三角形ABC的周长。
四、填空题在下列各题中，根据给定信息填空。
1. 已知一个等边三角形的边长为 __ cm，则这个三角形的周长为 __ cm。
2. 在一个等腰直角三角形中，直角边的长度为 __ cm，则等腰边的长度为 __ cm。
3. 已知一个钝角三角形的两个角度分别为 135°和 40°，则第三个角度为 __°。
五、解决问题根据提供的信息，解答下列问题。
1. 如果一个三角形的两个角度分别为60°和90°，那么第三个角度是多少度？2. 如果一个三角形的周长为15 cm，其中两个边的长度分别为4 cm 和6 cm，那么第三个边的长度是多少 cm？六、应用题根据实际情景，解答下列问题。
1. 甲、乙两个相邻的小镇，分别位于村庄AB和村庄CD的两侧，其距离为7 km。
全等三角形的基础和经典例题含有答案
第十一章：全等三角形一、基础知识1.全等图形的有关概念 （1）全等图形的定义能够完全重合的两个图形就是全等图形。
例如：图13-1和图13-2就是全等图形图13-1图13-2 （2）全等多边形的定义两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。
例如：图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。
图13-3 图13-4（3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。
（4）全等多边形的表示例如：图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE ≌五边形A ’B ’C ’D ’E ’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。
图13-5表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。
（5）全等多边形的性质全等多边形的对应边、对应角分别相等。
A B DC E B ’A ’ C ’ D ’ E ’（6）全等多边形的识别多边形相等、对应角相等的两个多边形全等。
2.全等三角形的识别（1）根据定义若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。
（2）根据SSS如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。
（3）根据SAS如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。
（4）根据ASA如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
（5）根据AAS如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
3.直角三角形全等的识别（1）根据HL如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
三角形(知识点+题型分类练习+基础检测+能力提高)
三角形章节复习全章知识点梳理：一、三角形基本概念1. 三角形的概念由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。
2.3. 三角形三边的关系（重点）三角形的任意两边之和大于第三边。
三角形的任意两边之差小于第三边。
（这两个条件满足其中一个即可）用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。
已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b解题方法：①数三角形的个数方法：分类，不要重复或者多余。
②给出三条线段的长度或者三条线段的比值，要求判断这三条线段能否组成三角形方法：最小边＋较小边＞最大边不用比较三遍，只需比较一遍即可③给出多条线段的长度，要求从中选择三条线段能够组成三角形方法：从所给线段的最大边入手，依次寻找较小边和最小边；直到找完为止，注意不要找重，也不要漏掉。
④已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围方法：第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b⑤给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。
二、三角形的高、中线与角平分线1. 三角形的高从△ABC的顶点向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，那么线段AD叫做△ABC的边BC上的高。
三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”。
2. 三角形的中线连接△ABC的顶点A和它所对的对边BC的中点D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。
三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。
三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。
3. 三角形的角平分线∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线。
要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。
三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”。
人教版八年级上册三角形有关基础知识练习题
三角形大体知识测试一、选择题(12*3’=36’)1．如图1所示，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A=35°，那么∠D的度数为（）A．35°B．65°C．55°D．45°（1）（2） (3)2．如图2所示，AB∥CD，∠A=55°，∠C=80°，那么∠M等于（）A．55° B．25° C．35° D．15°3．三角形中，最大的内角不能小于（）A．30° B．60° C．90° D．45°4．如图3所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，与∠1互余的角有（）A．∠B B．∠A C．∠BCD和∠A D．∠BCD5、以以下长度的三条线段为边，能组成三角形的（）A、7㎝，8㎝，15㎝B、15㎝，20㎝，5㎝C、6㎝，7㎝，5㎝D、7㎝，6㎝，14㎝6．假设三角形的三边长别离为1，a，8，且a为整数，那么a的值为（）A．6 B．7 C．8 D．97．在等腰三角形ABC中，它的两边长别离为8cm和3cm，那么它的周长为（）A．19cm或11cm B．19cm或14cm C．11cm 或14cm D．10cm8．如下图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，那个地址所运用的几何原理是（）A．三角形的稳固性；B．两点之间线段最短；C．两点确信一条直线；D．垂线段最短9．如图4所示，在△ABC中，∠BAC=80°，∠B=35°，AD平分∠BAC，那么∠ADC的度数为（）A．90° B．95° C．75° D．55°(4) (5) (6)10．如图5所示，在△ABC中，∠ABC=40°，AD，CD•别离平分∠BAC，•∠ACB，•那么∠ADC 等于（）A．110° B．100° C．190° D．120°11．如图6所示，BD平分∠ABC，DE∥BC，且∠D=30°，那么∠AED的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°12．两根木棒长别离为5cm和7cm，要选择第三根，将它们钉成一个三角形，•若是第三根木棒长为偶数，那么组成方式有（）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种二、填空题(2’*16=32’)1．在一个三角形中，最多有______个锐角，有______个直角，有_______个钝角．(7) (8) (9) （10）2．如图7所示，以∠1为内角的三角形有____ ___．3．如图8所示，AB∥CD，∠E=130°，∠F=70°，那么∠1+∠2=_______，∠3+•∠4=_______．4．如图9所示，平面上放着等距离的10个点，把这些点作为三角形的极点，•可作_____个等边三角形．5．如图10所示，AB∥CD，AD∥BC，∠1=65°，∠2=55°，求∠C的度数．（11）（12）（13）6．如图11所示，将一幅直角三角板叠在一路，使直角极点重合于点O，使∠AOB+∠DOC=_______．7．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=10，那么BC=_______．8．在△ABC中，∠A：∠B=5：7，∠C-∠A=10°，那么∠C=________．9．假设一个三角形的两边长是2和9，那么第三边长a的取值范围是_______．10．已知等腰三角形的一边长为4cm，另一边长为7cm，求三角形的周长．11．如图12所示，以点A为极点的三角形有_______个，它们别离是__________．12．如图13所示，以AE为边的三角形有________个，它们别离是________．(14) (15) (16)13．如图14所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A<∠B，CM是斜边AB的中线，•将△ACM 沿直线CM折叠，点A落在点D处，若是CD恰好与AB垂直，那么∠A等于_______．14．假设一个三角形三条高线的交点在那个三角形的一个极点上，•那么那个三角形是__________三角形．15．如图15所示，△ABC中，BD=DE=EC，那么AD，AE别离是________的中线．16．如图16所示，假设∠ACB=90°，CD⊥AB于D，那么AC边上的高是______，CD是____边上的高．三、解答题(32’)1、如图, 在△ABC中, 请作图：（保留作图痕迹，不写画法）（6’）①画出△ABC的一条角平分线；②画出△ABC中AC边上的中线；③画出△ABC中BC边上的高。
三角形基础知识及习题
三角形基础知识及习题三角形是几何学中最基本的图形之一，其基础知识对于学习几何学和解决几何问题至关重要。
本文将介绍三角形的基本定义、分类和性质，并提供一些习题供读者练习。
一、三角形的定义和分类1. 定义：三角形是由三条线段（边）所围成的图形。
三角形的三个顶点（角）和三个边缘（边）都相互连接。
2. 分类：根据三个角的大小，三角形可以分为三种类型：a. 锐角三角形：三个角都小于90度。
b. 直角三角形：其中一个角为90度。
c. 钝角三角形：其中一个角大于90度。
二、三角形的性质1. 角度和：三角形的三个角的角度和总是等于180度。
无论三角形是锐角、直角还是钝角三角形，其内角之和都是180度。
2. 边长关系：a. 等边三角形：三个边的长度都相等。
b. 等腰三角形：两个边的长度相等。
c. 直角三角形：满足毕达哥拉斯定理，即两直角边的平方和等于斜边的平方。
3. 角度关系：a. 锐角三角形：三个角都是锐角。
b. 直角三角形：其中一个角是直角。
c. 钝角三角形：其中一个角是钝角。
三、三角形的习题下面是几个关于三角形的习题，供读者练习运用三角形的基础知识与技巧。
1. 题目：已知三角形的两边长分别为5厘米和8厘米，夹角为60度，求第三条边的长度。
解法：利用余弦定理，可以得到第三条边的长度：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC。
带入数值计算得到c≈7.53厘米。
2. 题目：在直角三角形ABC中，AB = 3厘米，BC = 4厘米，求AC的长度。
解法：根据毕达哥拉斯定理，可以得到AC的长度：AC^2 =AB^2 + BC^2。
带入数值计算得到AC = 5厘米。
3. 题目：已知三角形的两边长分别为6厘米和8厘米，以及夹角为30度，求第三条边的长度。
解法：利用正弦定理，可以得到第三条边的长度：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
带入数值计算得到第三条边的长度约为7.61厘米。
4. 题目：在锐角三角形ABC中，AB = 7厘米，BC = 9厘米，夹角为45度，求角度C的大小。
《解直角三角形》全章复习与巩固(基础篇)九年级数学下册基础知识专项讲练
专题1.17《解直角三角形》全章复习与巩固（基础篇）（专项练习）一、单选题1．2sin60°的值等于（）A ．12B ．3C ．2D 2．如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，下列结论中正确的是（）A ．sin BC A AB=B ．cos BC A AC=C ．tan AB C BC=D ．cos AC C BC=3．如图，在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为6米，那么相邻两树在坡面上的距离AB 为（）A ．6cos αB ．6cos αC ．6sin αD ．6sin α4．如图，为了测量河岸A 、B 两地间的距离，在与AB 垂直的方向上取点C ，测得AC ＝a ，ABC α∠=，那么A 、B 两地的距离等于（）A ．tan a αB ．tan a α⋅C ．sin a α⋅D ．cos a α⋅5．点()sin 60,cos30︒︒关于y 轴对称的点的坐标是（）．A ．12⎛- ⎝⎭B ．1,2⎛ ⎝⎭C ．22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．⎝⎭6．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(﹣1，2)，以点O 为圆心，将线段OA 逆时针旋转，使点A 落在x 轴的负半轴上点B 处，则点B 的横坐标为（）AB C D7．已知，斜坡的坡度i =1：2，小明沿斜坡的坡面走了100米，则小明上升的距离是（）A ．B ．20米C ．D ．1003米8．为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座小山上新建了一座大型的网络信号发射塔．如图，在高为12米的建筑物DE 的顶部测得信号发射塔AB 顶端的仰角∠FEA ＝56°，建筑物DE 的底部D 到山脚底部C 的距离DC ＝16米，小山坡面BC 的坡度（或坡比）i ＝1：0.75，坡长BC ＝40米（建筑物DE 、小山坡BC 和网络信号发射塔AB 的剖面图在同一平面内，信号发射塔AB 与水平线DC 垂直），则信号发射塔AB 的高约为（）（参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48）A ．71.4米B ．59.2米C ．48.2米D ．39.2米9．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒．边BC 在x 轴上，顶点,A B 的坐标分别为()2,6-和()7,0．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移当点E 落在AB 边上时，点D 的坐标为（）A ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()2,2C ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,210．某车库出口安装的栏杆如图所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF 最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB ⊥BC ，EF ∥BC ，∠AEF ＝143°，AB ＝1.18米，AE ＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC sin2A＝_____．12．若关于x 的方程x 2+sin α=0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为___．13．如图，P （12，a ）在反比例函数60y x=图象上，PH ⊥x 轴于H ，则tan ∠POH 的值为_____．14．如图，在矩形ABCD 中，DE AC ⊥，垂足为点E ．若4sin 5ADE ∠=，4=AD ，则AB 的长为______．15．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2=_____．16．如图，在ABC ∆中，1sin 3B =，tan C =3AB =，则AC 的长为_____．17．如图，ABC 的顶点B C 、的坐标分别是(1,0)、，且90,30ABC A ∠=︒∠=︒，则顶点A 的坐标是_____．18．如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°，AB =6．折叠该菱形，使点A 落在边BC 上的点M 处，折痕分别与边AB ，AD 交于点E ，F ．当点M 与点B 重合时，EF 的长为________；当点M 的位置变化时，DF 长的最大值为________．三、解答题19．计算：（1sin 602︒；（2）26tan 30cos30tan 602sin 45cos 60︒-︒︒-︒+︒ ．20．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 是BC 边上一点，AC =2，CD =1，设∠CAD =α．(1)求sin α、cos α、tan α的值；(2)若∠B =∠CAD ，求BD 的长．21．如图，为了测得旗杆AB 的高度，小明在D 处用高为1m 的测角仪CD ，测得旗杆顶点A 的仰角为45°，再向旗杆方向前进10m ，又测得旗杆顶点A 的仰角为60°，求旗杆AB 的高度．22．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A （2，2），B （4，0），C （4，﹣4）．（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．23．如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）24．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°．根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险．学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）（参考数据：sin 39°≈0.63，cos 39°≈0.78，tan 39°≈0.81，≈1.41）参考答案1．D【分析】根据特殊锐角三角函数值代入计算即可．解：2sin60°＝故选：D ．【点拨】本题考查特殊角三角函数值，熟知sin60°的值是正确计算的关键．2．C【分析】根据锐角三角函数的定义解答．解：在Rt △ABC 中，∠B =90°，则sin ,cos ,tan ,cos BC AB AB BCA A C C AC AC BC AC====．故选：C ．【点拨】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．3．B【分析】根据余弦的定义计算，判断即可．解：在Rt △ABC 中，6BC =米，ABC α∠=，∵cos BCABC AB∠=，∴6cos BC AB ABC coa α==∠，故选：B ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．4．A【分析】根据正切的定义计算选择即可．解：∵tanα=ACAB，∴AB =tan tan AC aαα=，故选A ．【点拨】本题考查了正切的定义即对边比邻边，熟练掌握正切的定义是解题的关键．5．C【分析】先利用特殊角的三角函数值得出点的坐标，再写出其关于y 轴对称的坐标即可．解：∵sin60°cos30°，）关于y 轴对称的点的坐标是（．故选：C ．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值和关于坐标轴对称的点的特征，掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．6．C【分析】利用勾股定理求出OA ，可得结论．解：∵A （﹣1，2），∴OA由旋转的性质可知，OB ＝OA∴B 0）．故选：C ．【点拨】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是利用勾股定理求出OA 即可．7．A【分析】根据坡度意思可知1tan 2A ∠=，设BC h =米，则2AC h =米，由勾股定理可得：222AB AC BC =+，即2221004h h =+，求出h 即可．解：如图：由题意可知：1tan 2A ∠=，100AB =米，设BC h =米，则2AC h =米，由勾股定理可得：222AB AC BC =+，即2221004h h =+，解得：h =米，h =-．故选：A【点拨】本题考查勾股定理，坡度坡比问题，解题的关键是理解坡度的意思，找出BC ，AC之间的关系．8．D【分析】延长EF交AB于点H，DC⊥AB于点G，可得四边形EDGH是矩形，根据小山坡面BC的坡度i＝1：0.75，即43BGCG=，求得BG＝32，CG＝24，再根据三角函数即可求出信号发射塔AB的高．解：如图，延长EF交AB于点H，DC⊥AB于点G，∵ED⊥DG，∴四边形EDGH是矩形，∴GH＝ED＝12，∵小山坡面BC的坡度i＝1：0.75，即43 BGCG=，设BG＝4x，CG＝3x，则BC x，∵BC＝40，∴5x＝40，解得x＝8，∴BG＝32，CG＝24，∴EH＝DG＝DC+CG＝16+24＝40，BH＝BG﹣GH＝32﹣12＝20，在Rt△AEH中，∠AEH＝56°，∴AH＝EH•tan56°≈40×1.48≈59.2，∴AB＝AH﹣BH＝59.2﹣20＝39.2（米）．答：信号发射塔AB的高约为39.2米．故选：D．【点拨】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．9．B【分析】先画出E 落在AB 上的示意图，如图，根据锐角三角函数求解O B '的长度，结合正方形的性质，从而可得答案．解：由题意知：()2,0,C - 四边形COED 为正方形，,CO CD OE ∴==90,DCO ∠=︒()()2,2,0,2,D E ∴-如图，当E 落在AB 上时，()()2,6,7,0,A B - 6,9,AC BC ∴==由tan ,AC EO ABC BC O B'∠=='62,9O B∴='3,O B '∴=734,2,OO OC ''∴=-==()2,2.D ∴故选.B 【点拨】本题考查的是平移的性质的应用，同时考查了正方形的性质，图形与坐标，锐角三角函数，掌握以上知识是解题的关键．10．A【分析】延长BA 、FE ，交于点D ，根据AB ⊥BC ，EF ∥BC 知∠ADE =90°，由∠AEF =143°知∠AED =37°，根据sin ∠AED AD AE=，AE =1.2米求出AD 的长，继而可得BD 的值，从而得出答案．解：如图，延长BA 、FE ，交于点D ．∵AB ⊥BC ，EF ∥BC ，∴BD ⊥DF ，即∠ADE =90°．∵∠AEF =143°，∴∠AED =37°．在Rt △ADE 中，∵sin ∠AED AD AE=，AE =1.2米，∴AD =AE •sin ∠AED =1.2×sin37°≈0.72(米)，则BD =AB +AD =1.18+0.72=1.9(米)．故选：A ．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建直角三角形，并熟练掌握正弦函数的概念．11．12【分析】根据∠A 的正弦求出∠A ＝60°，再根据30°的正弦值求解即可．解：∵sin BC A AB ==∴∠A ＝60°，∴1sin sin 3022A ︒==．故答案为12．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．12．30°##30度解：∵关于x 的方程2sin 0x α+=有两个相等的实数根，∴(241sin 0 ，α=-⨯⨯=解得：1sin 2α=∴锐角α的度数为30°．故答案为∶30°13．512解：∵P （12，a ）在反比例函数60y x =图象上，∴a=6012=5，∵PH ⊥x 轴于H ，∴PH=5，OH=12，∴tan ∠POH=512，故答案为512．14．3【分析】在Rt ADE △中，由正弦定义解得165AE =，再由勾股定理解得DE 的长，根据同角的余角相等，得到sin sin ADE ECD ∠=∠，最后根据正弦定义解得CD 的长即可解题．解：在Rt ADE △中，4sin 5AE ADE AD ∠==4AD = 165AE ∴=125DE ∴===DE AC⊥ 90ADE EDC EDC ECD ∴∠+∠=∠+∠=︒ADE ECD∴∠=∠4sin sin 5DE ADE ECD CD ∴∠=∠==534CD DE ∴=⋅=在矩形ABCD 中，3AB CD ==故答案为：3．【点拨】本题考查矩形的性质、正弦、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15．45°【分析】根据等角的正切值相等得出∠1=∠3，再根据特殊角的三角函数值即可得出答案．解：如图所示：由题意可得：11tan 3,tan 122BC CF AB EF ∠==∠==∴∠1=∠3，tan 1FM FAM AM∠== 122345FAM ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒故答案为：45°．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数以及等角三角函数关系，由图得出∠1=∠3是解题的关键．16【分析】过A 作AD 垂直于BC ，在直角三角形ABD 中，利用锐角三角函数定义求出AD 的长，在直角三角形ACD 中，利用锐角三角函数定义求出CD 的长，再利用勾股定理求出AC 的长即可．解：过A 作AD BC ⊥，在Rt ABD ∆中，1sin 3B =，3AB =，∴sin 1AD AB B =⋅=，在Rt ACD ∆中，tan 2C =，∴AD CD =CD ，根据勾股定理得：AC =．【点拨】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．17．【分析】根据B C 、的坐标求得BC 的长度,60CBO ∠=︒，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，求得AC 的长度，即点A 的横坐标，易得//AC x 轴，则C 的纵坐标即A 的纵坐标．解：B C 、的坐标分别是(1,0)、2BC ∴=tan OC CBOOB∴∠==60CBO ∴∠=︒90,30ABC A ∠=︒∠=︒60,24ACB AC BC ∴∠=︒==//AC x ∴轴A ∴．故答案为：．【点拨】本题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点有特殊角的三角函数，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角的三角函数是解题的关键．18．6-【分析】当点M 与点B 重合时，EF 垂直平分AB ，利用三角函数即可求得EF 的长；根据折叠的性质可知，AF =FM ,若DF 取最大值，则FM 取最小值，即为边AD 与BC 的距离DG ，即可求解.解：当点M 与点B 重合时，由折叠的性质知EF 垂直平分AB ，∴AE =EB =12AB =3，在Rt △AEF 中，∠A =60°，AE =3，tan60°=EF AB，∴EF当AF 长取得最小值时，DF 长取得最大值，由折叠的性质知EF 垂直平分AM ，则AF =FM ，∴FM ⊥BC 时，FM 长取得最小值，此时DF 长取得最大值，过点D 作DG ⊥BC 于点C ，则四边形DGMF 为矩形，∴FM =DG ，在Rt △DGC 中，∠C =∠A =60°，DC =AB =6，∴DG =DC∴DF 长的最大值为AD -AF =AD -FM =AD -DG故答案为：【点拨】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．19．（1（2）1【分析】（1）根据二次根式与特殊角的三角函数值即可求解；（2）根据特殊角的三角函数值即可求解．解：（1）原式＝11232-＝16（2）原式21316221222=⨯-⨯=--=-【定睛】此题主要考查实数的运算。
解直角三角形练习题
解直角三角形练习题解直角三角形练习题一、基础知识练习题：1. 在一个直角三角形ABC中，∠A = 90°， AB = 6cm， AC = 8cm，求BC的长度。
2. 若一个直角三角形的另外两个角的度数分别是30°和60°，求斜边的长。
3. 已知一个直角三角形的斜边长是10cm，一个锐角的度数是45°，求直角边的长度。
4. 在一个直角三角形PQR中，∠P = 90°， PQ = 5cm， QR = 13cm，求PR的长度。
5. 若一个直角三角形的直角边长分别是3cm和4cm，求斜边的长。
二、综合运用练习题：1. 一个直角三角形ABC，∠A = 90°， AB = x cm， AC = 8cm，BC = 10cm。
求x的值。
2. 已知一个直角三角形的斜边长是8cm，一个锐角的度数是30°，求直角边的长度。
3. 在一个直角三角形MNP中，∠N = 90°， MN = x cm， NP = 12cm， MP = 20cm。
求x的值。
4. 若一个直角三角形的直角边长分别是2x cm和3x cm，求斜边的长。
5. 已知一个直角三角形的斜边长是15cm，一个锐角的度数是60°，求直角边的长度。
三、挑战练习题：1. 在一个直角三角形DEF中，∠D = 90°， DE = 12cm， DF = x cm， EF = x + 2cm。
求x的值。
2. 若一个直角三角形的直角边长是4x cm和5x cm，求斜边的长。
3. 在一个直角三角形XYZ中，∠Z = 90°， XY = 10cm， XZ = 3x cm， YZ = 4x cm。
求x的值。
4. 已知一个直角三角形的斜边长是20cm，一个锐角的度数是45°，求直角边的长度。
5. 在一个直角三角形GHI中，∠G = 90°， GH = x cm， GI = 15cm， HI = 3x cm。
初中一年级三角形基础知识练习题
用心 爱心 专心 1 第七章三角形基础知识练习题选择题（4分×6=24分）1．下列图形中具有稳定性的有（）A 、正方形B 、长方形C 、梯形D 、 直角三角形2.下列长度的三条线段能组成三角形的是 （ ）A 、 3，4，8B 、 5，6，11C 、 1，2，3D 、 5，6，103．关于三角形的边的叙述正确的是 （ ）A 、 三边互不相等B 、至少有两边相等C 、 任意两边之和一定大于第三边D 、 最多有两边相等4．一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是（）A 、 四边形B 、 五边形C 、 六边形D 、 八边形5． 如图，点P 有△ABC 内，则下列叙述正确的是（）A 、y xB 、x >yC 、x <yD 、不能确定6.已知，如图，AB ∥CD ，∠A=700，∠B=400，则∠ACD=（）A 、 550B 、 700C 、 400D 、 1100填空题（4分×9=36分）7．已知在△ABC 中，∠A=700，∠B=∠C ，则∠C= 08．七边形的外角和为 ，n 边形的外角和为9．一个等腰三角形的两条边长分别为8㎝和3㎝，那么它的周长为10．如图，则∠1= 0，∠2= 0，∠3= 0 11．桥梁拉杆，电视塔底座，都是三角形结构，这是利用三角形的 性；而活动挂架是四边形结构，这是利用四边形的 性。
12．在△ABC 中，∠A=900，∠B-∠C=240，那么∠B= 0，∠C= 013．一个多边形中，它的内角最多可以有 个锐角14．正方形每个内角都是 度，每个外角都是 度15．已知一个十边形中九个内角的和的度数是12900，那么这个十边形的另一个内角为 度第（5）题P y 0x 0C B A 第（6）题D C B A 第（10）题1500321500。
数学中考三角形知识加例题（含答案）
a60第4题图题图NPOA三角形复习★知识点1. 三角形的定义三角形是多边形中边数最少的一种。
它的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
顺次相接组成的图形叫做三角形。
★知识点2.三角形的分类（1） 按角分类按角分类(2) 按边分类按边分类例：如果三角形的一个外角等于它相邻内角的2倍，且等于它不相邻内角的4倍，那么这个三角形一定是（么这个三角形一定是（ ）A 、锐角三角形、锐角三角形B 、直角三角形、直角三角形C 、钝角三角形、钝角三角形D 、正三角形、正三角形 解题思路：根据角度来判断是哪一种三角形。
答案B 练习：如图，已知OA ＝a ，P 是射线ON 上一动点（即P 可在射线ON 上运动），∠AON ＝600，填空：，填空：（1）当OP ＝ 时，△AOP 为等边三角形；为等边三角形； （2）当OP ＝ 时，△AOP 为直角三角形；为直角三角形； （3）当OP 满足满足 时，△AOP 为锐角三角形；为锐角三角形； （4）当OP 满足满足 时，△AOP 为钝角三角形。
为钝角三角形。
答案：（1）a ；（2）a 2或2a ；（3）2a ＜OP ＜a 2；（4）0＜OP ＜2a或OP ＞a 2 ◆知识点3.三角形三条重要线段三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线。
这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上，通过作图加以熟练掌握。
并且对这三条线段必须明确三点：握它的定义的基础上，通过作图加以熟练掌握。
并且对这三条线段必须明确三点：三角形三角形锐角三角形锐角三角形 直角三角形直角三角形钝角三角形钝角三角形三角形三角形 不等边三角形不等边三角形等腰三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角等边三角形等边三角形2A 1A 3题图题图DC B A（1）三角形的角平分线、中线、高线均是线段，不是直线，也不是射线。
线、中线、高线均是线段，不是直线，也不是射线。
（2）三角形的角平分线、中线、高线都有三条，角平分线、中线，都在三角形内部。
四年级数学下册《三角形的内角和》知识点及基础习题
方法4：转化法：
转化成两个直角三角形。
把三角形沿着高剪开,变成两个直角三角形,直角三角形中,第一个直角三角形的两个锐角的和是90°,第二个直角三角形的两个锐角的和也是90°,合起来就是180°,刚好是原来三角形的内角和。
所以三角形的内角和是180°。
三、求出下面∠1的度数。
①180°-105°-40°②∠2=180°-60°-50°=70°
=75°-40°因为对顶角相等
=35°所以∠1=70°
180°-35°=145°
③180°-（120°+25°）④180°-90°-30°
=180°-145°=90°-30°
=35°=60°
四、解答题
张叔叔不小心把家里的一块玻璃摔成3块（如下图），可他
只拿其中一块玻璃去玻璃店划了一块与原来一样大的玻璃，
你知道他拿的是哪一块玻璃吗？动脑想一想吧！
3号；这三块玻璃中，只有3号玻璃中有原来三角形的两个角，可以用这块玻璃得到与原来一样大的玻璃。
以下是4组小棒的长度，都能分别围成三角形吗？你从中发
现了什么？（单位：cm）
①1、2、3
②2、3、4
③7、8、9
④19、20、21
除第一组外，其它的三组都能围成三角形，我发现，三角形
的任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小
于第三边。
高考数学解三角形中的要素基础知识与典型例题讲解
高考数学解三角形中的要素基础知识与典型例题讲解一、基础知识： 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。
其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。
如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 例如：（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +−=⇔+−= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式） （3）22sin sin sin bc B Ca A= 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+−变式：（1）222cos 2b c a A bc+−=① 此公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出A 是钝角还是锐角 当222b c a +>时，cos 0A >，即A 为锐角；当222b c a +=（勾股定理）时，cos 0A =，即A 为直角； 当222b c a +<时，cos 0A <，即A 为钝角② 观察到分式为齐二次分式，所以已知,,a b c 的值或者::a b c 均可求出cos A（2）()()2221cos a b c bc A =+−+ 此公式在已知b c +和bc 时不需要计算出,b c 的值，进行整体代入即可3、三角形面积公式：（1）12S a h =⋅ （a 为三角形的底，h 为对应的高） （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===（3）()12S a b c r =++⋅ （r 为三角形内切圆半径，此公式也可用于求内切圆半径）（4）海伦公式：()12S p a b c ==++（5）向量方法：()()22S a ba b=⋅−⋅ （其中,a b 为边,a b 所构成的向量，方向任意）证明：()2222222111sin sin 1cos 244S ab C S a b C a b C =⇒==−S ∴=cos a b ab C ⋅=∴ ()()22S a b a b =⋅−⋅坐标表示：()()1122,,,a x y b x y =，则122112S x y x y =− 4、三角形内角和A B C π++=（两角可表示另一角）。
1.1认识三角形(知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接)
A.至少有一个直角
B. 至少有一个钝角 C. 至多有两个锐角
D.至少有两个锐角
3.如图，在△ABE 中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点 D，有如下结论：①图中只有两个直角三角形；②∠1=∠2；③
∠1=∠B；④∠A 与∠B 互余.其中正确的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
4.能将一个三角形分成面积相等两部分的线是（ ）
三角形.
8.现有长度分别为 3cm，5cm，7cm，9cm 的木棒，从中任取三根，制成三角形支架的个数为
.
9.若三角形的三条高所在的直线的交点不在外部，则这样的三角形是
三角形.
10.将一副三角板的直角顶点 A 如图叠放在一起，则∠DAC+∠BAE=
°.
11.如图，在△ABC 中，作出 BC 边上的高线 AD（要求：标出垂足符号，写出垂足字母）；作出∠B 的平分线 BE；作
B．三角形三条边上高线的交点
C．三角形三条边垂直平分线的交点 D．三角形三条内角平行线的交点
9.(2018 浙江萧山)若线段 AM、AN 分别是△ABC 的 BC 边上的高线和中线，则（ ）
A. AM＞AN B.AM≥AN
C.AM＜AN
D.AM≤AN
参考答案： 例 1 12 例 2 C 例 3 △ABE 的周长比△ACE 的周长大 4cm. △ABE 的面积等于△ACE 的面积. 例 4 ∠BOC=128°. ∠BOC=128°. BOC = 90 + 1 BAC 2
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=14°.
（2）∵CE 是∠BCA 的平分线， ∴ ACE = 1 ACB = 38 . 2 ∴ AEC =180 − BAC − ACE
三角形中的几个重要几何模型(专项练习)(教师版) 2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项
专题11.13三角形中的几个重要几何模型（专项练习）一、单选题1．如图，在由线段,,,,AB CD DF BF CA 组成的平面图形中，28D ∠=︒，则A B C F ∠+∠+∠+∠的度数为（）．A ．262︒B ．152︒C ．208︒D ．236︒2．如图，已知在ABC 中，40A ∠=︒，现将一块直角三角板放在ABC 上，使三角板的两条直角边分别经过点,B C ，直角顶点D 落在ABC 的内部，则ABD ACD +=∠∠（）．A ．90︒B ．60︒C ．50︒D ．40︒3．如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（）A ．240°B ．280°C ．360°D ．540°4．如图，在ABC 中，20A ∠=︒，ABC ∠与ACB ∠的角平分线交于1D ，1ABD ∠与1ACD ∠的角平分线交于点2D ，依此类推，4ABD ∠与4ACD ∠的角平分线交于点5D ，则5BD C ∠的度数是（）A ．24︒B ．25︒C ．30︒D ．36︒5．如图所示，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的结果为（）A ．90°B ．360°C ．180°D ．无法确定6．如图，已知BE ，CF 分别为△ABC 的两条高，BE 和CF 相交于点H ，若∠BAC=50°，则∠BHC 为（）A ．115°B ．120°C ．125°D ．130°7．如图，ABD ∠，ACD ∠的角平分线交于点P ，若48A ∠=︒，10D ∠=︒，则P ∠的度数（）A ．19︒B ．20︒C ．22︒D ．25︒8．如图，BE 平分ABD ∠，CF 平分ACD ∠，BE 与CF 交于点G ，若140BDC ∠=︒，100BGC ∠=︒，则A ∠=（）A ．80°B ．75°C ．60°D ．45°9．如图，△ABC 中，∠E =18°，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，则∠A 等于（）A ．36°B ．30°C ．20°D ．18°10．如图，已知△ABC ，O 是△ABC 内的一点，连接OB 、OC ，将∠ABO 、∠ACO 分别记为∠1、∠2，则∠1、∠2、∠A 、∠O 四个角之间的数量关系是（）A ．∠1+∠0=∠A+∠2B ．∠1+∠2+∠A+∠O=180°C ．∠1+∠2+∠A+∠O=360°D ．∠1+∠2+∠A=∠O二、填空题11．如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H +∠I ＝．12．如图，则A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的度数是．13．如图，若115EOC ∠=︒，则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=．14．如图，在ABC 中，BO 、CO 分别平分ABC ∠，ACB ∠，BO 的延长线交外角ACD ∠的角平分线于点E ．以下结论：①122∠=∠；②32BOC ∠=∠；③902BOC ∠=︒+∠；④901BOC ∠=︒+∠．其中正确的结论有（填序号）．15．如图，在ABC 中，A α∠=，ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠；1A BC ∠与1ACD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ；L ；2019A BC ∠与2019A CD ∠的平分线相交于点2020A ，得2020A ∠，则2020A ∠=．16．如图，五边形ABCDE 在,BCD EDC ∠∠处的外角分别是,,,FCD GDC CP DP ∠∠分别平分FCD ∠和GDC ∠且相交于点P ．若160,80,90A B E ∠=︒∠=︒∠=︒，则CPD ∠=．17．如图，已知ABC 的两条高BD 、CE 交于点F ，ABC ∠的平分线与ABC 外角ACM ∠的平分线交于点G ，若8BFC G ∠=∠，则A ∠=︒．18．如图，点M 是△ABC 两个内角平分线的交点，点N 是△ABC 两外角平分线的交点，如果∠CMB ：∠CNB ＝3：2，那么∠CAB ＝．三、解答题19．如图所示，ABC ADE △△≌，且1025120，,CAD D EAB ∠=︒∠=︒∠=︒，求DFB ∠和DGB ∠的度数．20．如图，ABC ∆中，（1）若ABC ∠、ACB ∠的三等分线交于点1O 、2O ，请用A ∠表示1BO C ∠、2BO C ∠；（2）若ABC ∠、ACB ∠的n 等分线交于点1O 、21n O O -⋅⋅⋅⋅⋅⋅（1O 、21n O O -⋅⋅⋅⋅⋅⋅依次从下到上），请用A ∠表示1BO C ∠，1n BO C -∠．21．如图，已知ABC ∠、ACB ∠的平分线相交于点O ，EF 过点O 且//EF BC ．（1）若50ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，求BOC ∠的度数；（2）若130BOC ∠=︒，1:22:3∠∠=，求ABC ∠、ACB ∠的度数．22．（1）如图所示，在ABC 中，,BO CO 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，证明：1902BOC A ∠=+∠︒．（2）如图所示，ABC 的外角平分线BD 和CD 相交于点D ，证明：1902BDC A -︒∠=∠．（3）如图所示，ABC 的内角平分线BD 和外角平分线CD 相交于点D ，证明：12D A ∠=∠．（2）如图②，AP ，CP 分别平分BAD ∠，BCD ∠，若36ABC ∠=︒，16ADC ∠=︒，求P ∠的度数．（3）如图（3），直线AP 平分BAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B ∠、D ∠的数量关系是________；（4）如图（4），直线AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B ∠、D ∠的数量关系是________．（2）如图②，,AP CP 分别平分,BAD BCD ∠∠，若36,16ABC ADC ∠=︒∠=︒，求P ∠的度数．（3）如图③，直线AP 平分BAD ∠的外角,FAD CP ∠平分BCD ∠的外角BCE ∠，若,ABC ADC αβ∠=∠=，则P ∠=________用αβ、的代数式表示）25．（1）问题发现：如图1，在ABC 中，40A ∠=︒，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于P ，则BPC ∠的度数是______（2）类比探究：如图2，在ABC 中，ABC ∠的平分线和ACB ∠的外角ACE ∠的角平分线交于P ，则BPC ∠与A ∠的关系是______，并说明理由．（3）类比延伸：如图3，在ABC 中，ABC ∠外角FBC ∠的角平分线和ACB ∠的外角BCE ∠的角平分线交于P ，请直接写出BPC ∠与A ∠的关系是______．26．【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；【简单应用】（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度数；【问题探究】（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．【拓展延伸】（4）①在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为：（用α、β表示∠P）；②在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论．参考答案：1．C【分析】如图标记1,2,3行，然后利用三角形的外角性质得13B F D ∠=∠+∠=∠+∠，2A C ∠=∠+∠，再利用2,3∠∠互为邻补角，即可得答案．【详解】解：如下图标记1,2,3行， 13B F D ∠=∠+∠=∠+∠，28D ∠=︒ ，328B F ∴∠=∠+∠-︒，又2A C ∠=∠+∠ ，2328A C B F ∴∠+∠=∠+∠+∠+∠-︒，23180∠+∠=︒18028A C B F ∴︒=∠+∠+∠+∠-︒，18028208A C B F ∴∠+∠+∠+∠=︒+︒=︒，故选C ．【点拨】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键．2．C【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC +∠ACB +∠A =180°，即∠ABC +∠ACB =180-∠A =140°，再说明∠DBC +∠DCB =90°，进而完成解答．【详解】解：∵在△ABC 中，∠A =40°∴∠ABC +∠ACB =180-∠A =140°∵在△DBC 中，∠BDC =90°∴∠DBC +∠DCB =180°-90°=90°∴ABD ACD +=∠∠40°-90°=50°故选C．【点拨】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．3．A【分析】根据三角形内角和定理得到∠B与∠C的和，然后在五星中求得∠1与另外四个角的和，加在一起即可．【详解】解：由三角形外角的性质得：∠3=∠A+∠E，∠2=∠F+∠D，∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°，∴∠2+∠3=120°，即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°，∵∠B+∠C=120°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．故选A．【点拨】本题考查了三角形的外角和三角形的内角和的相关知识，解决本题的关键是将题目中的六个角分成两部分来分别求出来，然后再加在一起．4．B【分析】根据题意可得∠ABC+∠ACB=160°，BD1，CD1，CD2，BD2…BD n，CD n是角平分线，可得∠ABD n+∠ACD n=160×（12）n，可求∠BCD n+∠CBD n的值，再根据三角形内角和定理可求结果．【详解】解：∵∠A=20°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=160°，∵BD1平分∠ABC，CD1平分∠ACB，∴∠ABD1=12∠ABC，∠ACD1=12∠ACD，∵BD2平分∠ABD1，CD2平分∠ACD1，∴∠ABD2=12∠ABD1=14∠ABC，∠ACD2=12∠ACD1=14∠ACB，同理可得∠ABD5=132∠ABC，∠ACD5=132∠ACB，∴∠ABD5+∠ACD5=160×132=5°，∴∠BCD5+∠CBD5=155°，∴∠BD5C=180-∠BCD5-∠CBD5=25°，故选B．【点拨】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，关键是找出其中的规律，利用规律解决问题．5．C【详解】如图，连接BC，∵∠D+∠E+∠DOE=∠BOC+∠OCB+∠BOC=180°，∠DOE=∠BOC，∴∠D+∠E=∠OBC+∠OCB，又∵∠A+∠ABO+∠ACO+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠A+∠ABO+∠ACO+∠D+∠E=180°．故选：C．6．D【详解】∵BE为△ABC的高，∠BAC=50°，∴∠ABE=90°-50°=40°，∵CF为△ABC的高，∴∠BFC=90°，∴∠BHC=∠ABE+∠BFC=40°+90°=130°．故选D．7．A【分析】法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，根据三角形的内角和定理得到∠A＋∠ABF＋∠AFB ＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°推出∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，根据三角形的外角性质得到∠P＋∠PBE ＝∠PED，推出∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，根据PB、PC是角平分线得到∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，推出2∠P＝∠A−∠D，代入即可求出∠P．法二：延长DC，与AB交于点E．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，可得∠P＋12∠ACD＝∠A＋12∠ABD，代入计算即可．【详解】解：法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°，∵∠AFB＝∠PFC，∴∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD−∠D，∴∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，∴2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A−∠D＋∠ABF＋∠PCD，∵PB、PC是角平分线∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，∴2∠P＝∠A−∠D∵∠A＝48°，∠D＝10°，∴∠P＝19°．法二：延长DC，与AB交于点E．∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝48°，∴∠ACD＝∠A＋∠AEC＝48°＋∠AEC．∵∠AEC是△BDE的外角，∴∠AEC ＝∠ABD ＋∠D ＝∠ABD ＋10°，∴∠ACD ＝48°＋∠AEC ＝48°＋∠ABD ＋10°，整理得∠ACD −∠ABD ＝58°．设AC 与BP 相交于O ，则∠AOB ＝∠POC ，∴∠P ＋12∠ACD ＝∠A ＋12∠ABD ，即∠P ＝48°−12（∠ACD −∠ABD ）＝19°．故选A .【点拨】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对顶角的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．8．C【分析】连接,BC 先求解,DBC DCB ∠+∠再求解,GBC GCB ∠+∠可得,GBD GCD ∠+∠再利用角平分线的定义可得：,ABD ACD ∠+∠从而可得：,ABC ACB ∠+∠再利用三角形的内角和定理可得A ∠的大小.【详解】解：连接,BC 140,BDC ∠=︒ 18014040,DBC DCB ∴∠+∠=︒-︒=︒100,BGC ∠=︒ 18010080,GBC GCB ∴∠+∠=︒-︒=︒40,GBD GCD GBC GCB DBC DCB ∴∠+∠=∠+∠-∠-∠=︒ BE 平分ABD ∠，CF 平分ACD ∠，()280,ABD ACD GBD GCD ∴∠+∠=∠+∠=︒+8040120,ABC ACB ABD ACD DBC DCB ∴∠+∠=∠∠+∠+∠=︒+︒=︒()18060.A ABC ACB ∴∠=︒-∠+∠=︒故选：.C 【点拨】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键.9．A【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC；由角平分线的性质，得∠ECD=12（∠A+∠ABC），∠EBC=12∠ABC，利用等量代换，即可求得∠A与∠E的关系，即可得到结论．【详解】解：∵∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠ECD=12（∠A+∠ABC）．又∵∠ECD=∠E+∠EBC，∴∠E+∠EBC=12（∠A+∠ABC）．∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=12∠ABC，∴12∠ABC+∠E=12（∠A+∠ABC），∴∠E=12∠A=18°，∴∠A=36°．故选A．10．D【分析】连接AO并延长，交BC于点D，由三角形外角的性质可知∠BOD=∠BAD+∠1，∠COD=∠CAD+∠2，再把两式相加即可得出结论．【详解】解：连接AO并延长，交BC于点D，∵∠BOD是△AOB的外角，∠COD是△AOC的外角，∴∠BOD=∠BAD+∠1①，∠COD=∠CAD+∠2②，①+②得，∠BOC=（∠BAD+∠CAD）+∠1+∠2，即∠BOC=∠BAC+∠1+∠2．故选：D．【点拨】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．11．900°【分析】根据多边形的内角和，可得答案．【详解】解：连EF ，GI ，如图，∵6边形ABCDEFK 的内角和＝（6－2）×180°＝720°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝720°－（∠1＋∠2），即∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋（∠1＋∠2）＝720°，∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H ＝180°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ∠H ＋（∠3＋∠4）＝900°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F （∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H ＝720°＋180°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＋∠I ＝900°，故答案为：900°．【点拨】本题考查了n 边形的内角和定理：n 边形的内角和为（n －2）×180°（n ≥3的整数）．12．180︒/180度【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得ANB A D ∠=∠+∠，BMC C E ∠=∠+∠，然后利用三角形的内角和定理即可得解．【详解】解：如图，∵ANB ∠是ADN △的外角，BMC ∠是CEM 的外角，∴ANB A D ∠=∠+∠，BMC C E ∠=∠+∠，又∵180ANB BMC B ∠+∠+∠=︒，∴180A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠=︒．故答案为：180︒．【点拨】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．熟记性质并准确识图是解题的关键．13．230°【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC =∠E +∠2=115°，∠2=∠D +∠C ，∠EOC =∠1+∠F =115°，∠1=∠A +∠B ，即可得到结论．【详解】解：如图∵∠EOC =∠E +∠2=115°，∠2=∠D +∠C ，∴∠E +∠D +∠C =115°，∵∠EOC =∠1+∠F =115°，∠1=∠A +∠B ，∴∠A +∠B +∠F =115°，∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =230°，故答案为：230°．【点拨】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质．14．①③/③①【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到122∠=∠，19012BOC ∠=︒+，902BOC ∠=︒+∠，即可得出答案．【详解】解：∵CE 为外角ACD ∠的平分线，BE 平分ABC ∠，∴1122DCE ACD DBE ABC ∠=∠∠=∠，，又∵DCE ∠是BCE 的外角，∴()112122DCE DBE ACD ABC ∠=∠-∠=∠-∠=∠，即122∠=∠，故①正确；∵BO 、CO 分别平分ABC ∠，ACB ∠，∴1122OBC ABC OCB ACB ∠=∠∠=∠，，∴()180BOC OBC OCB ∠=︒-∠+∠()11802ABC ACB =-∠+∠︒()118018012=︒-︒-∠19012=︒+∠，故④错误；∵CO 平分ACB ∠，CE 平分ACD ∠，∴1122ACO ACB ACE ACD ∠=∠∠=，，∴()111809022OCE ACB ACD ∠=∠+∠=⨯︒=︒，∵BOC ∠是COE 的外角，∴2902BOC OCE ∠=∠+∠=︒+∠，故②错误、③正确；综上，正确的有①③．故答案为：①③．【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．15．20202α【分析】结合题意，根据角平分线、三角形外角、三角形内角和的性质，得112A A ∠=∠，同理得212122A A α∠=∠=；再根据数字规律的性质分析，即可得到答案．【详解】根据题意，A α∠=，ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ∴11118022A ABC ACB ACD ∠=︒-∠-∠-∠∵ACD A ABC∠=∠+∠∴111802A ABC ACB A ∠=︒-∠-∠-∠∵180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒∴112A A ∠=∠同理，得2121112222A A A α∠=∠=⨯∠=；323111122222A A A α∠=∠=⨯⨯∠=；43411111222222A A A α∠=∠=⨯⨯⨯∠=；…1122n n n A A α-∠=∠=∴202020202A α∠=故答案为：20202α．【点拨】本题考查了三角形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、角平分线、数字规律的性质，从而完成求解．16．105°【分析】根据多边形内角和公式求出五边形的内角和，根据题意求出∠BCD ＋∠CDE 的度数，从而求出∠PCD ＋∠PDC 的度数，运用三角形内角和定理即可求出∠CPD 的度数．【详解】解：∵∠A ＝160°，∠B ＝80°，∠E ＝90°，∴∠BCD ＋∠CDE ＝（5−2）×180°−160°−80°−90°＝210°，∴∠PCD ＋∠PDC ＝12（180°×2−210°）＝75°，在△CPD 中，∠CPD ＝180°−（∠PCD ＋∠PDC ）＝180°−75°＝105°，故答案为：105°．【点拨】本题主要考查多边形内角和公式，三角形内角和定理，以及外角的平分线，根据已知条件求出∠BCD ＋∠CDE 的度数是解题的关键．17．36【分析】首先根据三角形的外交性质求出2A G ∠=∠，结合三角形的高的知识得到G ∠和A ∠之间的关系，进而可得结果；【详解】由图知：ACM A ABC ∠=∠+∠，∵CG 是ACM ∠的角平分线，∴2ACM GCM ∠=∠，∴2A ABC GCM ∠+∠=∠，∵BG 是ABC ∠的角平分线，∴12GBC ABC ∠=∠，∴GBC G GCM ∠+∠=∠，即12ABC G GCM ∠+∠=∠，∴22ABC G GCM ∠+∠=∠，∴2ABC G A ABC ∠+∠=∠+∠，∴2A G ∠=∠，∵ABC 的两条高BD 、CE 交于点F ，∴CE AB ⊥，BD AC ⊥，∴90AEF ADF ∠=∠=︒，∴在四边形AEFD 中有：180A DFE ∠+∠=︒，∵DFE BFC ∠=∠，∴180A BFC ∠+∠=︒，∵18842BFC G A A ∠=∠=⨯∠=∠，∴45180A BFC A A A ∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴180536A ︒∠=÷=︒．故答案为：36．【点拨】本题主要考查了与角平分线有关的三角形的内角和与外角性质，准确分析计算是解题的关键．18．36°【分析】由角平分线的定义得∠NCM =∠MBN =12×180°=90°，再比的关系可求得∠CMB =108°，再由内角平分线及三角形内角和即可求得结果．【详解】由题意得：∠NCM =∠MBN =12×180°=90°，∴∠CMB +∠CNB =180°，又∠CMB ：∠CNB =3：2，∴∠CMB =108°，∴12（∠ACB +∠ABC ）=180°-∠CMB =72°，∴∠ACB +∠ABC =144°，∴∠CAB =180°-（∠ACB +∠ABC ）=36°．【点拨】本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线的定义等知识，由条件得到∠NCM =∠MBN =90°是关键．19．9065，DFB DGB ∠=︒∠=︒【分析】本题主要考查三角形全等的性质，找到相应等量关系的角是解题的关键，做题时要结合图形进行思考．由ABC ADE △△≌，可得()12DAE BAC EAB CAD ∠=∠=∠-∠，根据三角形外角性质可得DFB FAB B ∠=∠+∠，可得DFB ∠的度数；根据三角形内角和定理可得90DGB D ∠=︒-∠，即可得DGB ∠的度数．【详解】解：∵ABC ADE △△≌，∴()()11120106522DAE BAC EAB CAD ∠=∠=∠-∠=⨯︒-︒=︒，25B D ∠=∠=︒，∴652590＝DFG FAB B ∠=∠+∠=︒+︒︒，∴90DFB DFG ∠=∠=︒，在Rt DCG △中，90902565DGB D ∠=︒-∠=︒-︒=︒．20．(1)111203BO C A ∠=︒+∠，22603BO C A ∠=︒+∠，(2)()118011n BO C A n n︒-∠=+∠，11801n n BO C A n n -︒-∠=+∠【分析】（1）根据三角形的内角和定理可得180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠，再由ABC ∠、ACB ∠的三等分线交于点1O 、2O ，可得111(180),3O BC O CB A ∠+∠=︒-∠222(180),3O BC O CB A ∠+∠=︒-∠再根据三角形的内角和定理，即可求解；（2）根据三角形的内角和定理可得180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠，再由ABC ∠、ACB ∠的n 等分线交于点1O 、21n O O -⋅⋅⋅⋅⋅⋅，可得111(180),O BC O CB A n ∠+∠=︒-∠111(180),n n n O BC O CB A n---∠+∠=︒-∠再根据三角形的内角和定理，即可求解．【详解】（1）解：∵180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，∴180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠，∵ABC ∠、ACB ∠的三等分线交于点1O 、2O ，∴111(180),3O BC O CB A ∠+∠=︒-∠222(180),3O BC O CB A ∠+∠=︒-∠∴11111180()180(180)12033BO C O BC O CB A A ∠=︒-∠+∠=︒-︒-∠=︒+∠，22222180()180(180)6033BO C O BC O CB A A ∠=︒-∠+∠=︒-︒-∠=︒+∠；（2）解：∵180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，∴180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠，∵ABC ∠、ACB ∠的n 等分线交于点1O 、21n O O -⋅⋅⋅⋅⋅⋅，∴111(180),O BC O CB A n ∠+∠=︒-∠111(180),n n n O BC O CB A n---∠+∠=︒-∠∴()()111180111180180(180)n BO C O BC O CB A A n n n︒-∠=︒-∠+∠=︒-︒-∠=+∠，()11111801180180(180)n n n n n BO C O BC O CB A A n n n----︒-∠=︒-∠+∠=︒-︒-∠=+∠．【点拨】本题主要考查了有关角平分线三角形的内角和问题，熟练掌握三角形的内角和定理，并利用类比思想解答是解题的关键．21．（1）125°（2）60°；40°【分析】（1）由角平分线的定义可求得∠OBC=25°，∠OCB=30°，再利用三角形的内角和定理求解即可；（2）由已知条件易求∠1，∠2的度数，根据平行线的性质即可得∠OBC ，∠OCB 的度数，利用角平分线的定义可求解；【详解】解：（1）∵ABC ∠和ACB ∠的平分线BO 与CO 相交于点O ，∴12EBO OBC ABC ∠=∠=∠，12FCO OC ACB ∠=∠=∠，又50ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，∴25OBC ∠=︒，30OCB ∠=︒，∴180125BOC OBC OCB ∠=-∠-∠=︒︒；（2）∵130BOC ∠=︒，∴1250∠+∠=︒，∵1:23:2∠∠=，∴3150305∠=⨯︒=︒，2250205∠=⨯︒=︒，∵//BF BC ，∴130OBC ∠=∠=︒，220OCB ∠=∠=︒，∵ABC ∠和ACB ∠的平分线BO 与CO 相交于点O ，∴60ABC ∠=︒，40ACB ∠=︒．【点拨】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．22．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【详解】（1）设,ABO OBC x ACO BCO y ∠=∠=∠=∠=．由ABC 的内角和为180︒，得22180A x y ︒∠++=．①由BOC 的内角和为180︒，得180BOC x y ∠++=︒．②由②得180x y BOC +=-∠︒．③把③代入①，得()2180180A BOC ∠+-∠=︒︒，即2180BOC A ∠=︒+∠，即1902BOC A ∠=+∠︒（2）∵BD 、CD 为△ABC 两外角∠ABC 、∠ACB 的平分线，∴()()1122BCD A ABC DBC A ACB ∠=∠+∠∠=∠+∠、，由三角形内角和定理得，180BDC BCD DBC ∠=︒-∠-∠，=180°-12[∠A +（∠A +∠ABC +∠ACB ）]，=180°-12（∠A +180°），=90°-12∠A ；（3）如图：∵BD 为△ABC 的角平分线，交AC 与点E ，CD 为△ABC 外角∠ACE 的平分线，两角平分线交于点D ∴∠1=∠2，∠5=12（∠A +2∠1），∠3=∠4，在△ABE 中，∠A =180°-∠1-∠3∴∠1+∠3=180°-∠A ①在△CDE 中，∠D =180°-∠4-∠5=180°-∠3-12（∠A +2∠1），即2∠D =360°-2∠3-∠A -2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A ②，把①代入②得∠D =12∠A ．【点拨】此题考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学常规题．23．（1）见解析；（2）26°；（3）()1902P B D ∠=︒+∠+∠；（4）()11802P B D ∠=︒-∠+∠【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°和对顶角的性质即可得证；（2）设BAP PAD x ∠=∠=，BCP PCD y ∠=∠=，x ABC y P x P y ADC +∠=+∠⎧⎨+∠=+∠⎩解方程即可得到答案；（3）根据直线AP 平分BAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，得到1=2PAB PAD BAD ∠=∠∠，1=2PCB PCE PCD ∠=∠∠从而可以得到180°()2PAB PCB D B -∠+∠+∠=∠，再根据∠P +∠PAD =∠PCD +∠D ，∠BAD +∠B =∠BCD +∠D 得到=P B PAD PCB PAB PCB ∠-+=∠+∠∠∠∠即可求解；（4）连接PB ，PD 根据APB PBA PAB +∠+∠=∠180°，PCB PBC BPC +∠+∠=∠180°得到APC ABC PCB PAB ∠+∠+∠+=∠360°，同理得到：APC ADC PCD PAD ∠+∠+∠+=∠360°，再根据=PCE PCD ∠+∠180°，=PAB PAF +∠∠180°，FAP PAO ∠=∠，PCE PCB ∠=∠，即可求解.【详解】解：（1）A B AOB ∠+∠+∠= 180°，C D COD ∠+∠+∠=180°，A B AOB C D COD ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠．AOB COD ∠=∠ ，A B C D ∴∠+∠=∠+∠；（2）AP ，CP 分别平分BAD ∠，BCD ∠，设BAP PAD x ∠=∠=，BCP PCD y ∠=∠=，则有x ABC y P x P y ADC+∠=+∠⎧⎨+∠=+∠⎩，ABC P P ADC ∴∠-∠=∠-∠，()1122P ABC ADC ∴∠=∠+∠=（36°+16°）=26°（3） 直线AP 平分BAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，1=2PAB PAD BAD ∴∠=∠，1=2PCB PCE BCE ∠=∠∠，∴2PAB B ∠+∠=180°-2PCB D ∠+∠，∴180°()2PAB PCB D B-∠+∠+∠=∠∵∠P +∠PAD =∠PCD +∠D ，∠BAD +∠B =∠BCD +∠D∴=P PAD BAD B PCD BCD∠+---∠∠∠∠∠,P PAB B PCB ∴∠-∠-∠=∠∴P B PAB PCB∠-=∠+∠∠∴180°()2P B D B -∠-∠+∠=∠，即P ∠=90°()12B D +∠+∠．（4）连接PB ，PD直线AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，FAP PAO ∴∠=∠，PCE PCB ∠=∠，∵APB PBA PAB +∠+∠=∠180°，PCB PBC BPC +∠+∠=∠180°∴APC ABC PCB PAB ∠+∠+∠+=∠360°同理得到：APC ADC PCD PAD ∠+∠+∠+=∠360°∴2APC ABC ADC PCB PAB PCD PAD ∠+∠+∠+∠++∠+=∠∠720°∴2APC ABC ADC PCE PAB PCD PAF ∠+∠+∠+∠++∠+=∠∠720°∵=PCE PCD ∠+∠180°，=PAB PAF +∠∠180°∴2APC ABC ADC ∠+∠+∠=360°，APC ∴∠=180°-()12ABC ADC ∠+∠【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.24．（1）证明见解析；（2）26P ∠=︒；（3）1()2P αβ∠=+．【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证；（2）设∠BAP =∠PAD =x ，∠BCP =∠PCD =y ，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题；（3）表示出∠PAD 和∠PCD ，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解．【详解】解：（1）∵∠A +∠B +∠AOB =180°，∠C +∠D +∠COD =180゜，∴∠A +∠B +∠AOB =∠C +∠D +∠COD ．∵∠AOB =∠COD ，∴∠A +∠B =∠C +∠D ；（2）∵,AP CP 分别平分,BAD BCD ∠∠，设∠BAP =∠PAD =x ，∠BCP =∠PCD =y ，则有x ABC y P x P y ADC +∠=+∠⎧⎨+∠=+∠⎩，∴∠ABC -∠P =∠P -∠ADC ，∴11()(3616)2622P ABC ADC ∠=∠+∠=︒+︒=︒；（3）如图，∵AP 平分∠BAD 的外角∠FAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD =180°-∠2=180°-∠1，∠PCD =180°-∠3，∵∠P +（180°-∠1）=∠ADC +（180°-∠3），∠P +∠1=∠ABC +∠4，∴2∠P =∠ABC +∠ADC ，∵,ABC ADC αβ∠=∠=，∴11()()22P ABC ADC αβ∠=∠+∠=+．【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8字形”的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．25．（1）110°；（2）12BPC A ∠=∠；（3）1902BPC A ∠=︒-【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB ，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可；（2）根据三角形外角的性质得到∠ACE=∠ABC+∠A 、∠PCE=∠PBC+∠BPC ，根据角平分线的定义解答；（3）根据（1）的结论然后用角分线的定义，计算即可．【详解】解：（1）∵40A ∠=︒，∴18040ABC ACB ∠+∠=︒-，∵ABC ∠和ACB ∠的平分线交于P ，∴12PBC ABC ∠=∠，12PCB ACB ∠=，∴()118090202BPC ABC ACB ∠=︒-∠+=︒+︒故答案为110°（2）12BPC A ∠=∠，证明：∵ACE ∠是ABC 的外角，PCE ∠是PBC 的外角，∴ACE ABC A∠=∠+∠PCE PBC BPC ∠=∠+∠，∵BP 平分ABC ∠，CP 平分ACE ∠，∴1122PBC ABC PCE ACE ∠=∠∠=∠，∴1122ACE ABC BPC ∠=∠+∠，∴()111222BPC ABC ACE ABC ACE ∠=∠-∠=∠-∠，∴12BPC A ∠=∠，故答案为：12BPC A ∠=∠；（3）由（1）得，1902BPC A ∠=︒-∠，故答案为：1902 BPC A ∠=︒-．【点拨】本题考查的是三角形内角和定理的应用以及角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°和三角形外角性质是解题的关键．26．（1）见解析；（2）36°；（3）26°，理由见解析；（4）①∠P=23αβ+②∠P=1802B D︒+∠+∠【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；（2）直接利用（1）中的结论两次，两式相加，然后根据角平分线的性质求解即可；（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3，由∠P+（180°﹣∠1）=∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解决问题．（4）①同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题．②同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题．【详解】（1）在△AEB中，∠A+∠B+∠AEB=180°．在△CED中，∠C+∠D+∠CED=180°．∵∠AEB=∠CED，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）由（1）得：∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠D=∠2+∠P，∴∠1+∠B+∠4+∠D=∠3+∠P+∠2+∠P．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴2∠P=∠B+∠D=46°+26°=72°，∴∠P=36°．（3）∠P=26°，理由是：如图3：∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3．∵∠PAB=∠1，∠P+∠PAB=∠B+∠4，∴∠P+∠1=∠B+∠4．∵∠P+（180°﹣∠2）=∠D+（180°﹣∠3），∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=12（∠B+∠D）=12×（36°+16°）=26°．（4）①设∠CAP=m，∠CDP=n，则∠CAB=3m，，∠CDB=3n，∴∠PAB=2m，∠PDB=2n．∵∠C+∠CAP=∠P+∠PDC，∠P+∠PAB=∠B+∠PDB，∵∠C=α，∠B=β，∴α+m=∠P+n，∠P+2m=β+2n，∴α－∠P=n－m，∠P－β=2n－2m=2（n－m），∴2α+β=3∠P∴∠P=23αβ+．故答案为：∠P=23αβ+．②设∠BAP=x，∠PCE=y，则∠PAO=x，∠PCB=y．∵∠PAO+∠P=∠PCD+∠D，∠B+∠BAO=∠OCD+∠D，∴x+∠P=180°－y+∠D，∠B+2x=180°－2y+∠D，∴∠P=1802B D︒+∠+∠．故答案为：∠P=1802B D︒+∠+∠．【点拨】本题考查了三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考几何问题，属于中考常考题型．。
全等三角形基础知识测试
CABB ' A ' AEDOC B图2全等三角形基础知识测试1. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等 C. 两锐角对应相等D. 斜边相等2.根据下列条件，能画出唯一ABC ∆的是( )A. 3AB =，4BC =，8CA =B. 4AB =，3BC =，30A ∠=C. 60C ∠=，45B ∠=，4AB =D. 90C ∠=，6AB =3. 如图1，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（ ） A ．20° B ．30° C ．35°D ．40°图14.如图2，已知直线AB CD ，相交于点O ，OA 平分EOC ∠，100EOC ∠=，则BOD ∠的度数是（ ） A ．20B ．40C ．50D ．805.如图3，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58°图3 图4 图5 6.如图4，已知12∠=∠，AC AD =，增加下列条件：①AB AE =；②BC ED =；③C D ∠=∠；④B E ∠=∠。
其中能使ABC AED ∆≅∆的条件有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个7. 如图5，已知AB CD =，BC AD =，23B ∠=，则D ∠等于( )A. 67B. 46C. 23D. 无法确定 二、填空题1.在△ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 上的点． ① AD 平分∠BAC ， ② DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，③ AD ⊥EF ．以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即： ①② ⇒ ③，①③ ⇒ ②，②③ ⇒ ①． 三个选项中正确的是 .2.图1中、△OAD ≌△OBC ，且∠O ＝70°，∠C ＝25°，则∠AEB ＝________3.将一张正方形纸片按如图2的方式折叠，,BC BD 为折痕，则CBD ∠的大小为_________；图2 图44.如图4，点,,,DE F B 在同一条直线上，AB //CD ，AE //CF ，且A E C F =，若10BD =，2BF =，则EF =___________；三、证明题1. 如图，,AP CP 分别是ABC ∆外角MAC ∠和NCA ∠的平分线，它们交于点P 。
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三角形知识梳理
一、知识框架：
二、知识概念：
1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.
3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.
4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.
5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.
7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.
9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对
角线.
11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形. 12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用
多边形覆盖平面， 13.公式与性质：
⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180° ⑵三角形外角的性质：
性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
⑶多边形内角和公式：n 边形的内角和等于(2)n -·180° ⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°. ⑸多边形对角线的条数：
① n 边形的一个顶点出发可以引(3)n -条对角线，把多边形分成(2)n -个三角形. ②n 边形共有(3)
2
n n -条对角线.
一、选择题(每小题3分，共30分）
1、三角形的三边分别为3，1+2a ，8，则a 的取值范围是（ ）
A 、﹣6＜a ＜﹣3
B 、﹣5＜a ＜﹣2
C 、2＜a ＜5
D 、a ＜﹣5或a ＞﹣2
2、适合条件C B A ∠=
∠=∠2
1
的三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、等边三角形 C 、钝角三角形 D 、直角三角形
3、过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（ ）
A 、8
B 、9
C 、10
D 、11
4、在等腰三角形ABC 中，它的两边长分别为8cm 和3cm ，则它的周长为（ ）
A 、19cm
B 、19cm 或14cm
C 、11cm
D 、10cm
5、一个三角形的两边长分别为3和7,且第三边的边长为整数,这样的三角形的周长的最小值是
( )
A 、14
B 、15
C 、16
D 、17
6、下列命题中正确的是（ ）
A ．全等三角形的高相等
B ．全等三角形的中线相等
C ．全等三角形的角平分线相等
D ．全等三角形对应角的平分线相等
7、如图，从下列四个条件：①BC ＝B ′C ， ②AC ＝A ′C ，③∠A ′CA ＝∠B ′CB ，④AB ＝A ′B ′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8、D 是△ABC 内一点，那么，在下列结论中错误的是（ ）．
A ．BD+CD>BC
B ．∠BDC>∠A
C ．BD>C
D D ．AB+AC>BD+CD
9．如图1，将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC BD ，为折痕，则CBD ∠的度数为（ ）
A ．60°
B ．75°
C ．90°
D ．95°
二、填空题（每小题3分，共30分）
11、如果等腰三角形的一边长是5cm ，另一边长是7cm ，则这个等腰三角形的周长为 ． 12、△ABC 中，∠A+∠B=2∠C，则∠C= ．
13、十边形的外角和是 0；如果十边形的各个内角都相等，那么它的一个内角是 0 14、如图3，AB∥CD，∠B=68°，∠E=20°，则∠D 的度数为 度．
15、用黑白两种颜色的正六边形地板砖按图所示的规律镶嵌成若干个图案：
A
E
C
B A ′
E ′
D
N
M
B
图1 图2
图3
(3)
(2)
(1)
23题图
E D C B
A ⑴第四个图案中有白色地板砖 块；⑵第n 个图案中有白色地板砖 块.
16、四条线段的长分别为5cm 、6cm 、8cm 、13cm ，•以其中任意三条线段为边可以构成________
个三角形．
17、如图4：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 等于________．
18、乘火车从A 站出发，沿途经过3个车站方可到达B 站，那么A 、B 两站之间需要安排______种不同的车票．
19、如图所示，在长为5cm ，宽为3cm 的长方形内部有一平行四边形，则平行四边形的面积为
（ ）．
A ．7cm 2
B ．8cm 2
C ．9cm 2
D ．10cm 2
20、如图5，在△ABC 中，AD =DE ，AB =BE ，∠A =80°，则∠CED =_____
三、解答题（21—24题每题7分，25—28题每题8分）
21、一个多边形的外角和是内角和的7
2
，求这个多边形的边数。
22、如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，
已知AB ＝6，AD ＝5，BC ＝4，求CE 的长.
23、如图所示，在△ABC 中，已知点E 、F 分别为BC 、AD 、BE 的中点，且S △ABC =8cm 2
，则图中阴影部分△CEF 的面积是多少？
A
D
图4
图5
24．在△ABC 中，∠A=
21∠C=2
1
∠ABC ， BD 是角平分线，求∠A 及∠BDC 的度数。
25、如图，在△ABC 中．
（1）如果AB=7cm ，AC=5cm ，BC 是能被3整除的的偶数，求这个三角形的周长． （2）如果BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线．
a 、当∠A=50°时，求∠BPC 的度数．
b 、当∠A=n°时，求∠BPC 的度数．
26．如图，BE 平分∠ABD ，DE 平分∠CDB ，BE 和DE 相交于AC 上一点E ，•如果∠BED=90°，试
说明AB ∥CD ．
27、如图，A 、B 、C 三点在同一条直线上AB=2BC ，分别以AB,BC 为边做正方形ABEF 和正方形BCMN 连接FN,EC.
求证：FN=EC
D C
B A
28 在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．（1）求证：△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．。