第三讲简易高次方程的解法
高次方程分式方程无理方程的解法教程
高次方程分式方程无理方程的解法教程高次方程的解法教程：高次方程是指方程中的最高次项的指数大于1的方程。
一般来说，高次方程的解法相对比较复杂，需要通过一定的代数运算和分解因式的方法逐步求解。
以下是一个示例来说明解高次方程的步骤：假设我们要解方程：x^3-5x^2+6x=0第一步：因式分解观察方程，我们可以发现x是公因子，所以我们可以将方程进行因式分解，得到：x(x^2-5x+6)=0第二步：化简因式继续观察因式(x^2-5x+6)，我们可以发现它可以被进一步分解成(x-2)(x-3)，所以方程可以进一步化简为：x(x-2)(x-3)=0第三步：等式成立条件我们知道，一个数的乘积等于0的时候，其中至少有一个因子等于0。
所以我们得到以下三个解：x=0,x-2=0,x-3=0解得：x=0,x=2,x=3因此，方程的解是x=0,x=2,x=3分式方程的解法教程：分式方程是指方程中含有分式的方程，需要通过合理的方法消去分式并求出方程的解。
以下是一个示例来说明解分式方程的步骤：假设我们要解方程：2/(x-1)+3/(x+2)=1第一步：通分观察方程，我们可以发现，左边的两个分式的分母互为相反数，所以我们可以通过通分来消去分母。
将方程两边乘以(x-1)(x+2)，得到：2(x+2)+3(x-1)=(x-1)(x+2)第二步：化简将方程进行化简，得到：2x+4+3x-3=x^2+x-2第三步：整理将方程整理为标准形式，得到：x^2-x-3=0第四步：因式分解或使用求根公式我们可以尝试将方程进行因式分解或使用求根公式来求解。
这里我们使用求根公式来求解。
根据求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)，我们可以得到：x=(1±√(1+12))/2计算得到：x=(1±√13)/2因此，方程的解是x=(1+√13)/2,x=(1-√13)/2无理方程的解法教程：无理方程是指方程中含有无理数的方程，需要通过合理的方法化简方程并求出方程的解。
高次幂方程怎么解
高次幂方程怎么解
高次幂方程的解法一般比较复杂，没有一般的通解公式。
以下列举一些常见的解法：
1.因式分解法：如果高次幂方程能够因式分解，则可以将其转化为一组一次或低次幂方程，从而求得解。
2.换元法：有些高次幂方程可以通过一些特殊的代换或变换，转化为比较容易解决的一次或低次幂方程。
常见的代换包括三角函数代换、指数函数代换等。
3.数值法：有时候高次幂方程的解很难用代数方法求出来，可以使用数值法逼近其解。
常见的数值法包括牛顿迭代法、二分法、割线法等。
4.根号解法：一些高次幂方程可以通过根号解法转化为无理数方程，从而求解。
常见的根号解法包括拉格朗日等价形式法和积和变换法。
总之，高次幂方程的解法需要根据具体情况而定，有时候需要多种解法结合才能求出其解。
高次方程及解法
高次方程及解法 江苏省通州高级中学 徐嘉伟 一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。
由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。
对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。
对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。
一、±1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则-1是方程的根。
求出方程的±1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（x+1）,降低方程次数后依次求根。
“±1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。
例1解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1),(x4+2x3-9x2-2x+8)÷(x-1)= x3+3x2-6x-8观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根-1”，即方程中含有因式（x+1），∴（x3+3x2-6x-8）÷(x+1)=x2+2x-8，对一元二次方程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0, ∴原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2= -1;当(x-2) =0时，有x3=2; 当(x+4)=0时，有x4=-4点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。
高次方程分式方程无理方程的解法
一化二解三检验
例4 解方程
2
x 2 2 3(2 x 2 1) 2 2 2 2x 1 x 2
3 t only. 2 原方程可化为 Evaluation t ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 2 t 2t 3 0 即 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解得 t1 3, t2 1 2 2 x 2 x 2 所以 2 x 2 1 3 或 2 x 2 1 1
高次方程、分式方程、 Evaluation only. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 无理方程的解法 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
内容概况
高次方程
因式分解、 换元
一次或二次方程 Evaluation only. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 两边同乘以最简公分母、 换元 整式方程 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 分式方程
解分式方程的思路是：
分式 方程 去分母
整式 方程
解分式方程的一般步骤
Evaluation only. 1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， ted化成整式方程 with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 . Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
高次方程及其解法
高次方程及其解法求解程序编辑高次方程的根的求解，可以利用bairstow法，通过简单的matlab程序，求得方程的所有复根（实根和虚根）2定义编辑整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程。
3一般形式编辑高次方程的一般形式为anx^n+an-1x^n-1+-------+a1x+a0=高次方程等式两边同时除以最高项系数，得：anx^n/an+an-1x^n-1/an+--------+a1x/an+a0/an=0所以高次方程一般形式又可写为x^n+bnx^n-1+-------b1x+b0=04其它相关编辑解法思想通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．根与系数按这个高次方程的形式x^n+bn-1x^n-1+-------b1x+b0=0，那么有所有根相加等于系数bn-1的相反数所有根两两相乘再相加等于系数bn-2所有根三三相乘再相加等于系数bn-3的相反数依次类推，直到所有根相乘，等于（-1）^nb0成果伽罗华（Galois，1811——1832），法国数学家。
伽罗华15岁进入巴黎有名公立中学学习，偏爱数学。
后来想进工科大学，两次落榜只进一所代等的预备学校，此时，他专攻五次方程代数解法。
第一年写了四篇文章，1828年，17岁的伽罗华写了《关于五次方程的代数解法问题》等两篇论文送交法国科学院，但被柯西（Cauchy,1789——1875）遗失，后来，他又把一篇文章送给傅利（Fourier，1768——1830）。
不久，傅利就去世了，也就不了了之。
1831年，伽罗华完成了《关于用根式解方程的可解性条件》一文，院士普阿松（Poisson，1781-1840）的审查意见却是“完全不能理解”，予以退回。
伽罗华不幸因决斗受重伤于1832年5月31日离世，时年不满21岁，在决斗前夜，他深知为女友决斗而死毫无意义，但又不甘示弱，当晚他精神高度紧张和极度不安，连呼“我没有时间了！”匆忙之中，把他关于方程论的发现草草写成几页说明寄给他的朋友，并附有如下一段话：“你可以公开地请求雅可比（Jacobi）或高斯，不是对于这些定理的真实性而是对于其重要性表示意见，将来我希望有人会发现这堆东西注释出来对于他们是有益的。
解高次方程求解方法与实际应用
解高次方程求解方法与实际应用高次方程是指指数大于1的多项式方程，例如二次方程、三次方程和四次方程等。
解高次方程是数学中重要的内容之一，在实际应用中也有广泛的应用场景。
本文将介绍高次方程的求解方法以及其在实际应用中的应用。
一、高次方程的求解方法高次方程的求解方法有很多种，下面将介绍几种常用的方法。
1. 二次方程的求解方法二次方程是指最高次项为2的方程，一般形式为ax^2+bx+c=0。
二次方程的求解可以通过配方法、因式分解或者求根公式来进行。
- 配方法：将二次方程进行配方，使其变为完全平方式，再进行求解。
- 因式分解：将二次方程进行因式分解，然后令每个因式等于0，求解得到解。
- 求根公式：利用二次方程的求根公式，即x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，可以直接求得方程的解。
2. 三次方程的求解方法三次方程是指最高次项为3的方程，一般形式为ax^3+bx^2+cx+d=0。
三次方程的求解方法有图像法、普通解法和待定系数法等。
- 图像法：通过绘制方程的图像，观察曲线与x轴的交点来估计方程的根的位置。
- 普通解法：将三次方程转化为二次方程，然后再进行求解，一般需要进行一些代换和变形。
- 待定系数法：设方程的解为r，将方程化为(r-x)的形式，再进行系数的比较和求解。
3. 四次方程的求解方法四次方程是指最高次项为4的方程，一般形式为ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0。
四次方程的求解方法有配方法、求根公式和待定系数法等。
- 配方法：通过变换，将四次方程转化为二次方程，然后再应用二次方程的求解方法。
- 求根公式：有一些特殊情况下，可以利用求根公式直接求得四次方程的解。
- 待定系数法：设方程的解为r，将方程化为(r-x)的形式，再进行系数的比较和求解。
二、高次方程的实际应用高次方程在实际应用中有广泛的应用场景，下面将介绍几个常见的实际应用。
1. 物理学中的应用高次方程在物理学中有很多应用，例如描述质点的运动轨迹、电路中的电流关系等。
高中数学解三次方程的方法及相关题目解析
高中数学解三次方程的方法及相关题目解析一、引言三次方程是高中数学中常见的一类方程，解三次方程是数学学习的重要内容之一。
本文将介绍解三次方程的三种常用方法，并通过具体题目进行解析，以帮助高中学生掌握解题技巧。
二、直接解法直接解法是最常用的解三次方程的方法之一。
对于形如ax^3 + bx^2 + cx + d =0的三次方程，我们可以通过整理方程，将其变形为(x - α)(x - β)(x - γ) = 0的形式，然后利用因式分解的方法求解。
例如，考虑方程x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0，我们可以通过观察发现x = 1是方程的一个根，进而得到(x - 1)(x^2 - 5x + 6) = 0，进一步分解为(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0。
因此，方程的解为x = 1，x = 2，x = 3。
三、代换法代换法是解三次方程的另一种常用方法。
对于形如ax^3 + bx^2 + cx + d = 0的三次方程，我们可以通过代换x = t - b/3a将其转化为形如t^3 + pt + q = 0的方程，其中p和q是关于t的多项式。
通过选择合适的代换，可以使得方程的形式更简单，从而更容易求解。
例如，考虑方程x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0，我们可以通过代换x =t + 1将其转化为t^3 - 8 = 0的形式，进而得到(t - 2)(t^2 + 2t + 4) = 0。
因此，方程的解为x = 1，x = 2 - √3i，x = 2 + √3i。
四、Cardano公式Cardano公式是解三次方程的一种较为复杂但更通用的方法。
对于形如ax^3 +bx^2 + cx + d = 0的三次方程，我们可以通过Cardano公式求解。
公式的表达式较为复杂，这里不做详细展开，但需要注意的是，Cardano公式的求解过程需要借助复数运算，因此方程的解可以是实数，也可以是复数。
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方程
解高次方程的一般步骤
1、整理方程，右边化为0. 2、将方程左边因式分解，或者进行换元 3、将方程转化为若干个一次或二次方程 4、写出原方程的根.
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高次方程解法方法提炼
所以 4x 5 2x a ，2x 5 a
所以 x 5 a 0 且 5 a 1
2
2
解得 a 5 且 a 7
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分式方程解法方法提炼
1.在分式方程两边同乘以最简公分母，
可把分式方程化为整式方程
原方程可化为 t(t 18) 19
解得 t 19 或 t 1
即 x2 5x 14 19 或 x2 5x 14 1
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高次方程的解法例题2（2）
解得：
典
x1
5
2
5
5 5 x2 2
型 例 题
x3
7 5 x2 x
典 型 例
解： 两边同乘以最简公分母 x(x 2) 题
得 7x 5(x 2)
解得 x 5 经检验， x 5 是原方程的解.
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例3（2） 解方程
5x x2
2 x
3 x 1
典 型 例
3、解无理方程的注意点 在解无理方程后必需检验,这是因为从无理 方程到有理方程的转化有时不是等价的.
高次方程解法[整理版]
![高次方程解法[整理版]](https://img.taocdn.com/s3/m/d2e1172442323968011ca300a6c30c225901f07c.png)
高次方程解法1.高次方程的定义整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程。
2.高次方程的一般形式高次方程的一般形式为anx^n+an-1x^n-1+-------+a1x+a0=0等式两边同时除以最高项系数，得：anx^n/an+an-1x^n-1/an+--------+a1x/an+a0/an=0所以高次方程一般形式又可写为x^n+bnx^n-1+-------b1x+b0=03.高次方程解法思想通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解4.高次方程根与系数的关系按这个高次方程的形式x^n+bn-1x^n-1+-------b1x+b0=0，那么有所有根相加等于系数bn-1的相反数所有根两两相乘再相加等于系数bn-2所有根三三相乘再相加等于系数bn-3的相反数依次类推，直到所有根相乘，等于(-1)^nb05.阿贝尔定理对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式(即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解)，这称为阿贝尔定理。
换句话说，只有三次和四次的高次方程可解．下面介绍三次和四次方程的解法。
6.四次方程解法卡尔丹公式诞生后，卡尔丹的学生费拉里便发明了一元四次方程的求根公式。
【费拉里公式】一元四次方程aX＾4＋bX＾3＋cX＾2＋dX＋e=0，（a，b，c，d，e∈R，且a≠0）。
令a=1，则X＾4＋bX＾3＋cX＾2＋dX＋e=0，此方程是以下两个一元二次方程的解。
2X＾2＋(b＋M)X＋2(y＋N/M)=0；2X＾2＋(b—M)X＋2(y—N/M)=0。
其中M=√(8y＋b＾2—4c)；N=by—d，(M≠0)。
y是一元三次方程8y＾3—4cy＾2—(8e—2bd)y—e(b＾2—4c)—d＾2=0的任一实根。
7.三次方程解法一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如aX^3＋bX^2＋cX＋d=0的标准型一元三次方程形式化为X^3＋pX＋q=0的特殊型。
简单的高次不等式与分式不等式的解法
简单的高次不等式与分式不等式的解法学校：年级：课时数：教学目标：教学内容：一、简单的高次不等式：1.可解的一元高次不等式的标准形式：x-x1)(x-x2)(x-xn)>0 (<0)1) 左边是关于x的一次因式的积；2) 右边是；2.一元高次不等式的解法：数轴标根法：1.将高次不等式变形为标准形式；2.求根x1.x2.xn，画数轴，标出根；3.从数轴右上角开始穿根，穿根时的原则是“奇穿偶回”（奇穿偶不穿）；3.典型例题：例1、(x-1)(x-2)(x-3)<0例2、x(x-1)2(x-2)(x+1)≥0变式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.例3、(x-1)(x+2)(3-x)>0例4、(x-2)(x+3)(x2-2x-1)≥0例5、(x-1)(x-2)(x2-4x+5)≥0例6、2x3-x2-2x+1≤0将一次项系数化为正数。
将二次三项式尽量因式分解为一次式。
二次三项式不能因式分解且二次项系数为正，则此式一定为正数。
练】1、(x+1)(x-3)(x2-6x+8)≥02、(3x+2x-8)(1+x-2x)≤03、(x-2x-3)(x-6x-7)≥04、(x-4x-5)(x+x+1)≤05、(x-2)(x+3)2(x-6)3(x+8)≥06、x4+2x3-x-2>0二、分式不等式的解法：例7解不等式：小结：由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数x，不等式两边同乘以一个含x的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂。
因此，解分式不等式，切忌去分母。
简单的高次方程(课堂总结)
简单的高次方程总结一、知识梳理1、解简单高次方程的常用方法有：余数定理因式分解法、换元因式分解法、化为x a x +形式、均值换元法、反客为主法等。
二、解高次方程常用方法1、余数定理因式分解法例1 061023=--+x x x解：由余数定定理可知，方程的根可能为6,3,2,1±±±±，当3=x 时，原方程为0。
0)3(2)3(4)3(2=-+-+-x x x x x即0)3)(24(2=-++x x x解得：22,22,3321--=+-==x x x 。
2、换元因式分解法例2 0)322(4)(222=----x x x x解：令a x x =-201282=+-a a即 0)6)(2(=--a a …………3、化为x ax +形式（观察各项系数）例3 062512256234=+++-x x x x解：显然0=x 不是原方程的根，原方程两边同除以2x 得： 06251225622=+++-x x x x024)1(25)1(62=+---x x x x即08)1(33)1(2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--x x x x……解得：3,31,2,214321=-==-=x x x x 。
例4 0485614334=+++x x x解：显然0=x 不是原方程的根，原方程两边同除以2x 得：0485614322=+++x x x x 0)4(14)16(322=+++x x x x 024)4(14)4(32=-+++x x x x即0644)4(3=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+x x x x……解得原方程的解为：53,5321--=+-=x x 。
4、均值换元法例3 82)1()3(44=+++x x解：令a x =+2，则有82)1()1(44=-++a a化简得：040624=-+a a0)4)(10(22=-+a a………解得原方程的解为：4,021-==x x 。
如何求解高次方程和分式方程
如何求解高次方程和分式方程在数学中，高次方程和分式方程是常见且重要的问题。
本文将介绍如何求解高次方程和分式方程，并提供相应的解题方法和步骤。
一、高次方程的求解方法高次方程是指包含以上两次方或更高次方的方程。
常见的高次方程类型包括一元高次方程和多元高次方程。
在求解高次方程时，可以采用以下方法：1. 因式分解法：对一元高次方程进行因式分解，将方程转化为二次方程、三次方程或低次方程，从而求得方程的解。
2. 公式法：对一元高次方程可以使用一些经典公式进行求解，例如二次方程的求根公式、三次方程的求根公式等。
3. 代换法：对于一元高次方程，可以尝试将其转化为一个新变量的较低次方程，通过代换求解。
4. 迭代法：对于一些无法通过传统方法求解的高次方程，可以使用迭代法逼近方程的解。
二、分式方程的求解方法分式方程是指方程中包含有分式的方程。
在求解分式方程时，可以采用以下方法：1. 通分法：对于分式方程中的分式，可以通过通分的方法，将方程转化为等价的含有相同分母的方程，从而求解。
2. 消元法：对于包含多个分式的方程，可以通过消去分母的方式，将方程转化为一个多项式方程或低次方程，从而进行求解。
3. 假设法：对于一些特殊的分式方程，可以通过假设一个未知数的值，将方程转化为一个等式，从而求解。
4. 代换法：对于较为复杂的分式方程，可以尝试通过代换的方法，将方程转化为一个简化的方程，从而进行求解。
三、高次方程和分式方程的例题解析为了更好地理解高次方程和分式方程的求解方法，以下举例说明：【例题1】解一元高次方程：$x^3-9x^2+26x-24=0$。
解法：观察方程，发现$x=1$是方程的根。
通过除以$x-1$得到$x^2-8x+24=0$，再应用一元二次方程求根公式，可以求得方程的另外两个根为$x=4$和$x=6$。
【例题2】解分式方程：$\frac{x+1}{x}+\frac{x-1}{x+1}=\frac{6}{5}$。
三次方程的求解方法
三次方程的求解方法在数学中，三次方程是一种常见的高次方程，它的一般形式为ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c、d为已知系数，x为未知数。
解三次方程是解决许多实际问题的关键步骤，因此掌握三次方程的求解方法对于数学学习至关重要。
本文将介绍几种常见的三次方程求解方法，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、换元法换元法是解三次方程的一种常见方法。
通过适当的变量替换，将原方程转化为一个更简单的形式，从而使求解变得更加容易。
这里介绍一种常用的换元法，即令x = y - b/3a，将原方程化简为y^3 + py + q = 0。
接下来，我们需要解这个新方程。
首先，通过观察方程的系数p和q的正负性，可以初步判断出方程有一个实根和两个复根，或者三个实根。
然后，可以利用数值计算方法如二分法、牛顿法等来逐步逼近方程的根。
这种方法虽然相对繁琐，但是在实际应用中非常有效。
二、Vieta定理Vieta定理是解三次方程的另一种常用方法。
根据Vieta定理，三次方程的根与系数之间存在特定的关系。
对于方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，设其三个根为x1、x2、x3，则有以下关系成立：x1 + x2 + x3 = -b/ax1x2 + x1x3 + x2x3 = c/ax1x2x3 = -d/a通过这些关系，我们可以利用已知的系数来求解方程的根。
例如，已知方程的系数为a = 1，b = -5，c = 6，d = -4，我们可以根据Vieta定理得到：x1 + x2 + x3 = 5x1x2 + x1x3 + x2x3 = 6x1x2x3 = 4然后，我们可以通过代入法或者其他数值计算方法来求解这个方程组，得到方程的根。
三、Cardano公式Cardano公式是解三次方程的经典方法之一。
根据Cardano公式，对于方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，可以通过以下步骤求解：1. 令x = u + v，其中u和v为待定变量。
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第三讲简易高次方程的解法
在整式方程中，如果未知数的最高次数超过2，那么这种方程称为高次方程．一元三次方程和一元四次方程有一般解法，但比较复杂，且超过了初中的知识范围，五次或五次以上的代数方程没有一般的公式解法，这由挪威青年数学家阿贝尔于1824年作出了证明，这些内容我们不讨论．本讲主要讨论用因式分解、换元等方法将某些高次方程化为低次方程来解答．例1 解方程
x3-2x2-4x＋8=0．
解原方程可变形为
x2(x-2)-4(x-2)=0，
(x-2)(x2-4)=0，
(x-2)2(x+2)=0．
所以
x1＝x2＝2，x3=-2．
说明当ad=bc≠0时，形如ax3＋bx2＋cx＋d=0的方程可这样
=0可化为
bkx3+bx2+dkx+d=0，
即(kx+1)(bx2+d)=0．
方程ax4+bx3+cx+d=0也可以用类似方法处理．
例2 解方程
(x-2)(x＋1)(x＋4)(x+7)=19．
解把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得
(x2+5x-14)(x2＋5x＋4)=19．
设
则
(y-9)(y+9)=19，
即y2-81＝19．
说明在解此题时，仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法解之．
例3 解方程
(6x＋7)2(3x+4)(x+1)=6．
解我们注意到
2(3x+4)=6x＋8=(6x+7)+1，
6(x+1)=6x＋6=(6x＋7)-1，
所以利用换元法．设y=6x＋7，原方程的结构就十分明显了．令
y=6x＋7，①
由(6x＋7)2(3x＋4)(x＋1)=6得
(6x＋7)2(6x＋8)(6x＋6)=6×12，
即
y2(y＋1)(y-1)=72，
y4-y2-72＝0，
(y2＋8)(y2-9)=0．
因为y2＋8＞0，所以只有y2-9=0，y=±3．代入①式，解得原方程的根为
例4 解方程
12x4-56x3+89x2-56x+12=0．
解观察方程的系数，可以发现系数有以下特点：x4的系数与常数项相同，x3的系数与x的系数相同，像这样的方程我们称为倒数方程．由
例5 解方程
解方程的左边是平方和的形式，添项后可配成完全平方的形式．
所以
=-1，x2=2是原方程的根．
经检验，x
1
例6 解方程
(x+3)4+(x+1)4=82．
分析与解由于左边括号内的两个二项式只相差
一个常数，所以设
于是原方程变为
(y＋1)4＋(y-1)4＝82，
整理得
y4+6y2-40=0．
解这个方程，得y=±2，即
x+2=±2．
解得原方程的根为x
=0，x2=-4．
1
说明本题通过换元，设y=x＋2后，消去了未知数的奇次项，使方程变为易于求解的双二次方程．一般地，形如
(x＋a)4＋(x+b)4=c
例7 解方程
x4-10x3-2(a-11)x2＋2(5a+6)x+2a+a2=0，其中a是常数，且a≥-6．
解这是关于x的四次方程，且系数中含有字母a，直接对x求解比较困难(当然想办法因式分解是可行的，但不易看出)，我们把方程写成关于a的二次方程形式，即
a2-2(x2-5x-1)a+(x4-10x3＋22x2+12x)=0，
△=4(x2-5x-1)2-4(x4-10x3＋22x2＋12x)
=4(x2-2x+1)．
所以
所以
a=x2-4x-2或a=x2-6x．
从而再解两个关于x的一元二次方程，得
练习三
1．填空：
(1)方程(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)=24的根为
_______．
(2)方程x3-3x＋2=0的根为_____．
(3)方程x4+2x3-18x2-10x+25=0的根为_______．
(4)方程(x2+3x-4)2＋(2x2-7x＋6)2=(3x2-4x+2)2的根为______．
2．解方程
(4x＋1)(3x+1)(2x+1)(x+1)=3x4．3．解方程
x5＋2x4-5x3＋5x2-2x-1=0．
4．解方程
5．解方程
(x+2)4+(x-4)4=272．
6．解关于x的方程
x3+(a-2)x2-(4a+1)x-a2＋a+2=0．。