必修五 解三角形 讲义

人教版数学必修五第一章 解三角形 重难点解析【重点】1、正弦定理、余弦定理的探索和证明及其基本应用。

2、在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；3、三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用；实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解决。

4、结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题。

5、能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。

6、推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目。

【难点】1、已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

2、勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用，正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

3、根据题意建立数学模型，画出示意图，能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件。

4、灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。

5、利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题。

【要点内容】 一、正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 1．直角三角形中：sinA=c a ，sinB=cb， sinC=1 即 c=A a sin ， c=B b sin ， c=Ccsin ． ∴A a sin =B b sin =Cc sin 2．斜三角形中证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中 S △ABC =A bc B ac C ab sin 21sin 21sin 21==两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =C csin a bcOCAD证明二：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴R CD DaA a 2sin sin === 同理B b sin =2R ，Ccsin ＝2R 正弦定理的应用正弦定理可以用来解两种类型的三角问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。

（见图示）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: ⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA asin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a babab a baa 已知边a,b 和∠A仅有一个解有两个解仅有一个解无解a ≥b CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinAAC ACB1ABACB2CHH⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a2、余弦定理余弦定理用语言可以这样叙述，三角形一边的平方等于另两边的平方和再减去这两边与夹角余弦的乘积的2倍．即：Cab b a c B ca a c b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+= 若用三边表示角，余弦定理可以写为余弦定理可解以下两种类型的三角形：（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角； （2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边． 注意：在（0，π）范围内余弦值和角的一一对应性．若cosA ＞0．则A 为锐角；若cosA=0，则A 为直角；若cosA ＜0，则A 为钝角．3、余弦定理与勾股定理的关系、余弦定理与锐角三角函数的关系在△ABC 中，c 2=a 2+b 2-2abcosC ．若∠C=90°，则cosC=0，于是c 2=a 2+b 2-2ab ·0=a 2+b 2．说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．这与Rt △ABC 中，∠C=90°的锐角三角函数一致，即直角三角形中的锐角三角函数是余弦定理的特例． 4、三角形的有关定理：内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,cos2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + 面积公式：S=21absinC=21bcsinA=21casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2cb a ++, r 为内切圆半径)射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 5、求解三角形应用题的一般步骤： （1）、分析题意，弄清已知和所求； （2）、根据提意，画出示意图；（3）、将实际问题转化为数学问题，写出已知所求； （4）、正确运用正、余弦定理。

【典型例题】例1 已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,100===∆ 解：030,45,10===C A c ∴0105)(180=+-=C A B由C cA a sin sin =得 21030sin 45sin 10sin sin 00=⨯==C A c a 由CcB b sin sin =得 25654262075sin 2030sin 105sin 10sin sin 000+=+⨯==⨯==C B c b例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆解：∵21360sin 1sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=b B c C C c B b 00090,30,,60,==∴<∴=>A C C B C B c b 为锐角，∴222=+=c b a 例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆解：23245sin 6sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=a Ac C C c A a0012060,sin 或=∴<<C c a A c1360sin 75sin 6sin sin ,75600+=====∴CBc b B C 时，当， 1360sin 15sin 6sin sin ,151200-=====∴C B c b B C 时，当或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b例4 已知△ABC ，B Ｄ为B 的平分线，求证：AB ∶BC ＝A Ｄ∶ＤC 分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B 的平分线BD 将△ABC 分成了两个三角形：△ABD 与△CBD ，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB ∶AD ＝BC ∶DC ，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为DBCDCBDC BC ABD AD ABD AB sin sin ,sin sin ==，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论. 证明：在△ABD 内，利用正弦定理得：ABDADBAD AB ABD AD ADB AB sin sin sin sin ==即 在△BCD 内，利用正弦定理得：.sin sin ,sin sin DBCBDCDC BC DBC DC BDC BC ==即∵BD 是B 的平分线.∴∠ABD ＝∠DBC ∴sin ABD ＝sin DBC .∵∠ADB ＋∠BDC ＝180°∴sin ADB ＝sin （180°－∠BDC ）＝sin BDC∴CD BCDBC BDC ABD ADB AD AB ===sin sin sin sin ∴DCADBC AB = 评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用.例5在ΔABC 中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C 及边c ．解：由正弦定理得：sinA=23245sin 3sin =⋅= b B a ,因为B=45°<90°且b<a, 所以有两解A=60°或A=120°(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°， c=22645sin 75sin 2sin sin +=⋅=B Cb , (2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15 °，c=22645sin 15sin 2sin sin -=⋅=BCb 思维点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情况的讨论．例6△ABC 中，若22tan tan b a B A =，判断△ABC 的形状。

解一：由正弦定理：B A BAA A AB B A 2sin 2sin sin sin cosA cosB sin sin cos sin cos sin 22=∴==即： ∴2A = 2B 或 2A = 180︒ - 2B 即：A = B 或 A + B = 90︒∴△ABC 为等腰或直角三角形解二： 由题设：22222222222222sin cos cos sin ba Rb bc a c b ac b c a R a b a B A B A =⋅-+-+⋅⇒= 化简：b 2(a 2 + c 2 - b 2) = a 2(b 2 + c 2 - a 2) ∴(a 2 -b 2)(a 2 + b 2 - c 2)=0 ∴a = b 或 a 2 + b 2 = c 2 ∴△ABC 为等腰或直角三角形． 思维点拨：判断三角形的形状从角或边入手．例7在ΔABC 中，已知Ａ，Ｂ，Ｃ成等差数列，b=1, 求证：1<a+c ≤2. 解：由正弦定理:Cc B b A a sin sin sin ==,得a+c=B bsin (sinA+sinC)= 232(sinA+sinC)= 332 [sinA+sin(120°－A)]=2sin(A+30°)，因为0°<A<120°，所以30°<A+30°<150°,故1<2sin(A+30°)≤2.法二．∵B=60°,b=1，∴a 2+c 2-b 2=2accos60°, ∴a 2+c 2-1=ac, ∴a 2+c 2-ac=1,∴(a+c) 2+3(a-c) 2=4, ∴(a+c) 2=4-3(a-c) 2. ∵0≤a-c<1 ∴0≤3(a-c)2<3, ∴4-3(a-c) 2≤4, 即(a+c) 2≤4, a+c ≤2a+c>1, 1<a+c ≤2． 思维点拨：边角互化是解三角形问题常用的手段． 例8已知⊙O 的半径为R ，，在它的内接三角形ABC 中，有()()B b aC A R sin 2sin sin 222-=-成立，求△ABC 面积S 的最大值．解：由已知条件得()()()b a BR B A R -=-2sin 2sin sin2222．即有 2222b ab c a -=-，又 222cos 222=-+=ab c b a C ∴ 4π=c ． ∴ B A R ab C ab S sin sin 44242sin 212⋅===()()[]BA B A R --+-=cos cos 222()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=B A R cos 22222 ．所以当A = B 时，2max 212R S +=． 思维点拨：：三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理．在求值时，要利用三角函数的有关性质．例9AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法。