必修五 解三角形 讲义

人教版数学必修五

第一章 解三角形 重难点解析

【重点】

1、正弦定理、余弦定理的探索和证明及其基本应用。

2、在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；

3、三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用；实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解决。

4、结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题。

5、能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。

6、推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目。

【难点】

1、已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

2、勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用，正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

3、根据题意建立数学模型，画出示意图，能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件。

4、灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。

5、利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题。

【要点内容】 一、正弦定理：

在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即A a sin =B b sin =C

c

sin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 1．直角三角形中：sinA=

c a ，sinB=c

b

， sinC=1 即 c=

A a sin ， c=

B b sin ， c=C

c

sin ． ∴

A a sin =

B b sin =C

c sin 2．斜三角形中

证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中 S △ABC =A bc B ac C ab sin 2

1

sin 21sin 2

1

==

两边同除以

abc 2

1即得：

A a sin =

B b sin =

C c

sin a b

c

O

C

A

D

证明二：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴

R CD D

a

A a 2sin sin === 同理

B b sin =2R ，C

c

sin ＝2R 正弦定理的应用

正弦定理可以用来解两种类型的三角问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；

2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。（见图示）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: ⑴若A 为锐角时:

⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA a

sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a b

a

b

a

b a b

a

a 已知边a,

b 和∠A

仅有一个解有两个解

仅有一个解无解

a ≥

b CH=bsinA

A

C A

C

B1A

B

A

C

B2

C

H

H

⑵若A 为直角或钝角时:⎩

⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解

b a

2、余弦定理

余弦定理用语言可以这样叙述，三角形一边的平方等于另两边的平方和再减去

这两边与夹角余弦的乘积的2倍．即：

C

ab b a c B ca a c b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+= 若用三边表示角，余弦定理可以写为

余弦定理可解以下两种类型的三角形：

（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角； （2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边． 注意：

在（0，π）范围内余弦值和角的一一对应性．若cosA ＞0．则A 为锐角；若cosA=0，则A 为直角；若cosA ＜0，则A 为钝角．

3、余弦定理与勾股定理的关系、余弦定理与锐角三角函数的关系

在△ABC 中，c 2

=a 2

+b 2

-2abcosC ．若∠C=90°，则cosC=0，于是

c 2

=a 2

+b 2

-2ab ·0=a 2

+b 2

．

说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．

这与Rt △ABC 中，∠C=90°的锐角三角函数一致，即直角三角形中的锐角三角函数是余弦定理的特例． 4、三角形的有关定理：

内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,

cos

2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2

B A + 面积公式：S=

21absinC=21bcsinA=2

1

casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=

2

c

b a ++, r 为内切圆半径)

射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 5、求解三角形应用题的一般步骤： （1）、分析题意，弄清已知和所求； （2）、根据提意，画出示意图；