湖南省地质中学2020-2021学年第一学期期末考试题解析(2)
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平面 ， 平面 ， ，
又 ，
平面 ；
（2） ，
解得： ，
如图，以 为原点， ，为 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
， ， ， ， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
，
显然 平面 ，设平面 的法向量 ，
，
二面角 是锐二面角，
二面角 的余弦值是 .
24．（1） ；（2）证明见解析，定值为1.
故选：B.
11．B
【详解】
由于五位数为偶数，则个位数必为偶数，可在 、 、 种任选一个数，有 种选择，
其它数位任意排列，由分步乘法计数原理可知，所求偶数的个数为 .
故选：B.
12．C
【详解】
设
由题得 ，
故切线斜率为 ，
所以切线方程为 ，
即 ．
故选：C．
13．D
14．A
【详解】
解：由题意知：双曲线的右焦点 ，渐近线方程为 ，
A． B． C． D．
4．已知 的展开式中 的系数为 ，则 的值为（）
A． 或
B． 或
C．
D．
5．设ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于（）
A． B． C． D．
6．命题“若 ，则方程 有实根”及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题个数为（）
A． B． C． D．
7．直三棱柱 中， ， ，则直线 与平面 所成的角的大小为（）
故选：A.
8．C
【详解】
先安排甲､乙相邻，有 种排法，
再把甲、乙看作一个元素，与其余三个人全排列，
故有排法种数为 .
故选：C
9．D
【详解】
由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，
设男生甲被选中为事件 ，其概率为 ，
设女生乙也被选中为事件 ，其概率为 ，
所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为 .
21．（1） ， ， ， ；（2）统计图见解析，看出暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度；（3）至少有 把握.
【详解】
（1）设“从所有投票中抽取一个，取到不支持投入的投票”为事件 ，
由已知得 ，∴ ， ， ， ；
（2）由（1）知北京暴雨后支持为 ，不支持率为 ，
北京暴雨前支持率为 ，不支持率为 ，
支持
不支持
总计
北京暴雨后
北京暴雨前
总计
已知工作人员从所有投票中任取一个，取到“不支持投入”的投票的概率为 .
（1）求列联表中的数据 、 、 、 的值；
（2）绘制条形统计图，通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度？
（3）能够有多大把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关？
故选A.
4．A
【详解】
，
由 得 ，
∴ ，
故选：A.
5．D
【详解】
E(ξ)＝1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝ ，所以E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2× ＋5＝ .
故选：D.
6．C
【详解】
解：若方程 有实根，则 解得
所以命题：“若 ，则方程 有实根”为真命题，则其逆否命题也为真命题；
命题：“若 ，则方程 有实根”的否命题为“若 ，则方程 没实根”，显然为假命题，故原命题的逆命题也为假命题
（1）若 ，求证： 平面 ；
（2）若四棱锥 的体积为2，求二面角 的余弦值.
24．(本题8分)椭圆 ： ( )的左焦点为 ，且椭圆 经过点 ，直线 ( )与 交于 ， 两点（异于点 ）.
（1）求椭圆 的方程；
（2）证明：直线 与直线 的斜率之和为定值，并求出这个定值.
25．(本题8分)（2018年新课标I卷文）已知函数 ．
A． B． C． D．
15．已知函数 是定义域为 ， 是 的导函数，满足 ，且 ，则关于不等式 的解集为（）
A． B． C． D．
二、填空题(共15分)
16．若随机变量ξ～N(2，1)，且 ，则 ＝________.
17．双曲线 的渐近线方程为等于____________．
18．命题 ，它的否定 为_________．
答 道题进入下一轮的概率为 ，
答 道题进入下一轮的概率为 ，
张明进入下一轮的概率为 ；
（2） 可能取值为 ､ ､ ､ ，
当 时可能答对 道题进入下一轮，也可能打错 道题被淘汰，
， ，
，
，
于是 的分布列为：
.
23．（1）详见解析；（2） .
【详解】
（1）当 时， ，点 是 的中点，
，
又 平面 ， ，且 ， ，
故真命题有2个；
故选：C
7．A
【详解】
在直三棱柱 中， 平面 ，
又 ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
设 ，则 、 、 、 ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，可得 ，令 ，可得 ， ，
所以，平面 的一个法向量为 ， ，
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，则直线 与平面 所成角为 .
所以函数在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
， ，
所以 ，
所以 .
故答案为：4
20．
【解析】
作出函数 与函数 的图象，如图所示：
由题意,直线 过(1,0)时, ，
x>1时, ，
直线与y=lnx相切时,设切点坐标为(a,lna),
则切线方程为 ,即 ，
令 ,则 ,∴ ，
∴函数 若方程 恰有四个不相等的实数根，实数 的取值范围是 .
条形统计图如图：
由图可以看出暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度；
（3） ，
故至少有 把握认为
北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关.
22．（1） ；（2）分布列答案见解析，数学期望： .
【详解】
（1）张明答 道题进入下一轮的概率为 ，
答 道题进入下一轮的概率为 ，
A． B．
C． D．
8．某班优秀学习小组有甲､乙､丙､丁､戊共5人，他们排成一排照相，则甲､乙二人相邻的排法种数为（）
A．24B．36C．48D．60
9．现有4名男生，2名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（）
A． B． C． D．
10．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其线性相关系数比较，正确的是（）
A． B．
C． D．
11．用数字 、 、 、 、 组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（ ）
A． B． C． D．
12．曲线 在点 处的切线方程是（）．
A． B．
C． D．
13．设P为椭圆 上的点， 分别是椭圆C的左，右焦点， ，则 的面积为（）
A．3B．4C．5D．9
14．已知双曲线 ， 过 的右焦点 作垂直于渐近线的直线 交两渐近线于 、 两点 、 两点分别在一、四象限，若 ，则双曲线 的离心率为（）
所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．
（2）当a≥ 时，f（x）≥ ．
设g（x）= ，则
当0<x<1时，g′（x）<0；当x>1时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．
故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．
因此，当 时， ．
故选：A
16．0.1587
【详解】
随机变量ξ～N(2，1)
正态曲线关于x=2对称，
17．
【详解】
由题意，双曲线 的焦点在 上，且 ，
所以双曲线的渐近线的方程为 .
故答案为： .
18．
【详解】
全称命题的否定，需改变量词和否定结论，
所以 为“ ”.
故答案为：
19．4
【详解】
由 ，则 ，
令 ，解得 ，
令 ，解得 或 ，
（1）设 是 的极值点．求 ，并求 的单调区间；
（2）证明：当 时， ．
参考答案
1．A
【详解】
当 时，可得
当 ，不一定有 成立
所以 是 的充分不必要条件
故选：A
2．A
【详解】
，故 ，
故选：A.
3．A
【详解】
∵抛物线的方程为x=2y2，
∴化成标准方程，得y2= x，
由此可得抛物线的2p= ，得 =
∴抛物线的焦点坐标为（ ，0）
综合 直线 与直线 的斜率之和为定值 ．
25．(1)a= ；f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析.
【解析】
详解：（1）f（x）的定义域为 ，f ′（x）=aex– ．
由题设知，f ′（2）=0，所以a= ．
从而f（x）= ，f ′（x）= ．
当0<x<2时，f ′（x）<0；当x>2时，f ′（x）>0．
2020-2021学年度湖南省地质中学期末考试卷
高二数学
时量：120分钟分值：100分命题人：李良军审题人：杨莉
第I卷（选择题）
一、单选题(共45分)
1． 是 的（）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
2．若复数 ，则 （）
A． B．13C． D．10
3．已知抛物线方程 ，则该抛物线的焦点坐标是（ ）
故选：D.
10．B
【详解】
解：由给出的四组数据的散点图可以看出，
图1和图3是正相关，相关系数大于0，则 ，
图2和图4是负相关，相关系数小于0，则 ，
图3和图4的点相对更加集中，所以相关性较强，所以 接近于1， 接近于 ，
图1和图2的点相对分散一些，所以相关性较弱，所以 和 比较接近0，
由此可得： .
【详解】
（1）由题意得：
则
椭圆方程为 ；
（2）解法一（常规方法)：设 ，
联立
化简可得： ，
直线 与椭圆 交于Fra Baidu bibliotek两点
即
解得：
由韦达定理
直线 得斜率和为定值 ．
解法二（构造齐次式)：由题直线 恒过定点
①当直线 不过原点时，设直线 为
则
即 有
由 有
则
整理成关于 的齐次式： ，
进而两边同时除以 ，
则
令
则
②当直线 过原点时，设直线 的方程为
即 ，
如下图所示:
由点到直线距离公式可知： ，
又 ，
，
，
即 ，
设 ，
由双曲线对称性可知 ，
而 ， ，
由正切二倍角公式可知： ，
即 ，
化简可得： ，
即 ，
由双曲线离心率公式可知： .
故选：A.
15．A
【详解】
结合不等式结构特征，原不等式等价于 ，
令 ，则 ，
所以 在 上为减函数，而 ，
所以 ，
所以原不等式的解集为 ，
附：
22．(本题8分)张明要参加某单位组织的招聘面试.面试要求应聘者有 次选题答题的机会(选一题答一题)，若答对 题即终止答题，直接进入下一轮，否则被淘汰.已知张明答对每一道题的概率都为 .
（1）求张明进入下一轮的概率；
（2）设张明在本次面试中答题的个数为 ，试写出 的分布列，并求 的数学期望.
23．(本题8分)如图，四棱锥 中， 底面 ， ， ， ，且 ， ， 分别为 ， 的中点.
19．函数 在[－1，1]上的最大、小值分别为 和 ，则 ____.
20．函数 若方程 恰有四个不相等的实数根，则实数 的取值范围是__________．
三、解答题(共40分)
21．(本题8分)某网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投票.按照北京暴雨前后两个时间收集有效投票，暴雨后的投票收集了 份，暴雨前的投票也收集了 份，所得统计结果如下表：
又 ，
平面 ；
（2） ，
解得： ，
如图，以 为原点， ，为 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
， ， ， ， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
，
显然 平面 ，设平面 的法向量 ，
，
二面角 是锐二面角，
二面角 的余弦值是 .
24．（1） ；（2）证明见解析，定值为1.
故选：B.
11．B
【详解】
由于五位数为偶数，则个位数必为偶数，可在 、 、 种任选一个数，有 种选择，
其它数位任意排列，由分步乘法计数原理可知，所求偶数的个数为 .
故选：B.
12．C
【详解】
设
由题得 ，
故切线斜率为 ，
所以切线方程为 ，
即 ．
故选：C．
13．D
14．A
【详解】
解：由题意知：双曲线的右焦点 ，渐近线方程为 ，
A． B． C． D．
4．已知 的展开式中 的系数为 ，则 的值为（）
A． 或
B． 或
C．
D．
5．设ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于（）
A． B． C． D．
6．命题“若 ，则方程 有实根”及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题个数为（）
A． B． C． D．
7．直三棱柱 中， ， ，则直线 与平面 所成的角的大小为（）
故选：A.
8．C
【详解】
先安排甲､乙相邻，有 种排法，
再把甲、乙看作一个元素，与其余三个人全排列，
故有排法种数为 .
故选：C
9．D
【详解】
由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，
设男生甲被选中为事件 ，其概率为 ，
设女生乙也被选中为事件 ，其概率为 ，
所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为 .
21．（1） ， ， ， ；（2）统计图见解析，看出暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度；（3）至少有 把握.
【详解】
（1）设“从所有投票中抽取一个，取到不支持投入的投票”为事件 ，
由已知得 ，∴ ， ， ， ；
（2）由（1）知北京暴雨后支持为 ，不支持率为 ，
北京暴雨前支持率为 ，不支持率为 ，
支持
不支持
总计
北京暴雨后
北京暴雨前
总计
已知工作人员从所有投票中任取一个，取到“不支持投入”的投票的概率为 .
（1）求列联表中的数据 、 、 、 的值；
（2）绘制条形统计图，通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度？
（3）能够有多大把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关？
故选A.
4．A
【详解】
，
由 得 ，
∴ ，
故选：A.
5．D
【详解】
E(ξ)＝1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝ ，所以E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2× ＋5＝ .
故选：D.
6．C
【详解】
解：若方程 有实根，则 解得
所以命题：“若 ，则方程 有实根”为真命题，则其逆否命题也为真命题；
命题：“若 ，则方程 有实根”的否命题为“若 ，则方程 没实根”，显然为假命题，故原命题的逆命题也为假命题
（1）若 ，求证： 平面 ；
（2）若四棱锥 的体积为2，求二面角 的余弦值.
24．(本题8分)椭圆 ： ( )的左焦点为 ，且椭圆 经过点 ，直线 ( )与 交于 ， 两点（异于点 ）.
（1）求椭圆 的方程；
（2）证明：直线 与直线 的斜率之和为定值，并求出这个定值.
25．(本题8分)（2018年新课标I卷文）已知函数 ．
A． B． C． D．
15．已知函数 是定义域为 ， 是 的导函数，满足 ，且 ，则关于不等式 的解集为（）
A． B． C． D．
二、填空题(共15分)
16．若随机变量ξ～N(2，1)，且 ，则 ＝________.
17．双曲线 的渐近线方程为等于____________．
18．命题 ，它的否定 为_________．
答 道题进入下一轮的概率为 ，
答 道题进入下一轮的概率为 ，
张明进入下一轮的概率为 ；
（2） 可能取值为 ､ ､ ､ ，
当 时可能答对 道题进入下一轮，也可能打错 道题被淘汰，
， ，
，
，
于是 的分布列为：
.
23．（1）详见解析；（2） .
【详解】
（1）当 时， ，点 是 的中点，
，
又 平面 ， ，且 ， ，
故真命题有2个；
故选：C
7．A
【详解】
在直三棱柱 中， 平面 ，
又 ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
设 ，则 、 、 、 ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，可得 ，令 ，可得 ， ，
所以，平面 的一个法向量为 ， ，
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，则直线 与平面 所成角为 .
所以函数在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
， ，
所以 ，
所以 .
故答案为：4
20．
【解析】
作出函数 与函数 的图象，如图所示：
由题意,直线 过(1,0)时, ，
x>1时, ，
直线与y=lnx相切时,设切点坐标为(a,lna),
则切线方程为 ,即 ，
令 ,则 ,∴ ，
∴函数 若方程 恰有四个不相等的实数根，实数 的取值范围是 .
条形统计图如图：
由图可以看出暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度；
（3） ，
故至少有 把握认为
北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关.
22．（1） ；（2）分布列答案见解析，数学期望： .
【详解】
（1）张明答 道题进入下一轮的概率为 ，
答 道题进入下一轮的概率为 ，
A． B．
C． D．
8．某班优秀学习小组有甲､乙､丙､丁､戊共5人，他们排成一排照相，则甲､乙二人相邻的排法种数为（）
A．24B．36C．48D．60
9．现有4名男生，2名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（）
A． B． C． D．
10．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其线性相关系数比较，正确的是（）
A． B．
C． D．
11．用数字 、 、 、 、 组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（ ）
A． B． C． D．
12．曲线 在点 处的切线方程是（）．
A． B．
C． D．
13．设P为椭圆 上的点， 分别是椭圆C的左，右焦点， ，则 的面积为（）
A．3B．4C．5D．9
14．已知双曲线 ， 过 的右焦点 作垂直于渐近线的直线 交两渐近线于 、 两点 、 两点分别在一、四象限，若 ，则双曲线 的离心率为（）
所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．
（2）当a≥ 时，f（x）≥ ．
设g（x）= ，则
当0<x<1时，g′（x）<0；当x>1时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．
故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．
因此，当 时， ．
故选：A
16．0.1587
【详解】
随机变量ξ～N(2，1)
正态曲线关于x=2对称，
17．
【详解】
由题意，双曲线 的焦点在 上，且 ，
所以双曲线的渐近线的方程为 .
故答案为： .
18．
【详解】
全称命题的否定，需改变量词和否定结论，
所以 为“ ”.
故答案为：
19．4
【详解】
由 ，则 ，
令 ，解得 ，
令 ，解得 或 ，
（1）设 是 的极值点．求 ，并求 的单调区间；
（2）证明：当 时， ．
参考答案
1．A
【详解】
当 时，可得
当 ，不一定有 成立
所以 是 的充分不必要条件
故选：A
2．A
【详解】
，故 ，
故选：A.
3．A
【详解】
∵抛物线的方程为x=2y2，
∴化成标准方程，得y2= x，
由此可得抛物线的2p= ，得 =
∴抛物线的焦点坐标为（ ，0）
综合 直线 与直线 的斜率之和为定值 ．
25．(1)a= ；f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析.
【解析】
详解：（1）f（x）的定义域为 ，f ′（x）=aex– ．
由题设知，f ′（2）=0，所以a= ．
从而f（x）= ，f ′（x）= ．
当0<x<2时，f ′（x）<0；当x>2时，f ′（x）>0．
2020-2021学年度湖南省地质中学期末考试卷
高二数学
时量：120分钟分值：100分命题人：李良军审题人：杨莉
第I卷（选择题）
一、单选题(共45分)
1． 是 的（）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
2．若复数 ，则 （）
A． B．13C． D．10
3．已知抛物线方程 ，则该抛物线的焦点坐标是（ ）
故选：D.
10．B
【详解】
解：由给出的四组数据的散点图可以看出，
图1和图3是正相关，相关系数大于0，则 ，
图2和图4是负相关，相关系数小于0，则 ，
图3和图4的点相对更加集中，所以相关性较强，所以 接近于1， 接近于 ，
图1和图2的点相对分散一些，所以相关性较弱，所以 和 比较接近0，
由此可得： .
【详解】
（1）由题意得：
则
椭圆方程为 ；
（2）解法一（常规方法)：设 ，
联立
化简可得： ，
直线 与椭圆 交于Fra Baidu bibliotek两点
即
解得：
由韦达定理
直线 得斜率和为定值 ．
解法二（构造齐次式)：由题直线 恒过定点
①当直线 不过原点时，设直线 为
则
即 有
由 有
则
整理成关于 的齐次式： ，
进而两边同时除以 ，
则
令
则
②当直线 过原点时，设直线 的方程为
即 ，
如下图所示:
由点到直线距离公式可知： ，
又 ，
，
，
即 ，
设 ，
由双曲线对称性可知 ，
而 ， ，
由正切二倍角公式可知： ，
即 ，
化简可得： ，
即 ，
由双曲线离心率公式可知： .
故选：A.
15．A
【详解】
结合不等式结构特征，原不等式等价于 ，
令 ，则 ，
所以 在 上为减函数，而 ，
所以 ，
所以原不等式的解集为 ，
附：
22．(本题8分)张明要参加某单位组织的招聘面试.面试要求应聘者有 次选题答题的机会(选一题答一题)，若答对 题即终止答题，直接进入下一轮，否则被淘汰.已知张明答对每一道题的概率都为 .
（1）求张明进入下一轮的概率；
（2）设张明在本次面试中答题的个数为 ，试写出 的分布列，并求 的数学期望.
23．(本题8分)如图，四棱锥 中， 底面 ， ， ， ，且 ， ， 分别为 ， 的中点.
19．函数 在[－1，1]上的最大、小值分别为 和 ，则 ____.
20．函数 若方程 恰有四个不相等的实数根，则实数 的取值范围是__________．
三、解答题(共40分)
21．(本题8分)某网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投票.按照北京暴雨前后两个时间收集有效投票，暴雨后的投票收集了 份，暴雨前的投票也收集了 份，所得统计结果如下表：