e是自然对数的底数
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ln和e是什么关系?
对数和底数是干嘛的?
三角函数的画图?
ln就是loge
lne=logee=1 lne=1
他俩没啥关系一个是运算符号一个是自然数e的ln次方等于1
e^(ln3)=3
In=loge
ln(1)=loge(1)=0
e=2.71多
e是自然对数的底数,是一个无限不循环小数。e在科学技术中用得非常多,一般不使用以10为底数的对数。学习了高等数学后就会知道,许多结果和它有紧密的联系,以e为底数,许多式子都是最简的,用它是最“自然”的,所以叫“自然对数”,因而在涉及对数运算的计算中一般使用它,是一个数学符号,没有很具体的意义。其值是2.71828……,是这样定义的:
当n->∞时,(1+1/n)^n的极限。
注:x^y表示x的y次方。
你看,随着n的增大,底数越来越接近1,而指数趋向无穷大,那结果到底是趋向于1还是无穷大呢?其实,是趋向于2.718281828……这个无限不循环小数1+1/1!+1/2!+1 /3!+1/4!+……+1/n!,当n趋近无穷时,其极限值就为e.
对数(Logarithm 若)。则b叫做以a为底N的对数,记作。当a=10时称作常用对数,当a=e时,称作自然对数。
我们知道,一般对数的底可以为任意不等于1的正数。即对数的底如果为超越数e(e=2.718)我们就把这样的对数叫作自然对数,用符号“LN”表示。在这里“1”是对数“logarithm"的第一个字母,“N”是自然“nature"的第一个字母,把两个字母合在一起,就表示自然对数。
“lg”才表示以10为底的对数!!!!
ln1=0 表示e的0次方=1
ln100=4.605170…… 表示e的4.605170次方=100
放心,绝对没有错的!以10为底的对数。
ln1=0,
ln100=2
ln1=x,即
10^x=1,可得x=0
同理ln100=y
10^y=100,可得y=2
ln= log e
是以e为底的自然对数
是以e为底的对数,以10为底一般写作lg
您好!不知你是否知道对数函数,它是指数函数y=a^x(a>0且a不为1)的反函数,记作y=log a x(这里a应该写为下标,只是打不出来,请见谅!a称为底数,x称为真数,x>0)显然log a x表示的是求a的多少次幂等于x?特别地,我们把以10为底的对数称为常用对数,记作lg x;把以e为底的对数成为自然对数。这里的e是科学界非常重要而常见的常数,e=2.718281828……。按照上述记号的定义,你应该可以知道ln e=1(因为e^1=e)。无论以什么数a(a>0且a不为1)为底,1的对数都是0(因为a^0=1)。所以ln 1=0。对于一般的正数x,求它的自然对数ln x可以查自然对数表,也可以通过科学计算器来求。解答完毕,如果还有什么不明白的地方,欢迎继续讨论,谢谢!
这个问题属于初等函数范畴,需要具备函数极限、微积分方面的知识基础。浏览了楼主的回答列表,我认为楼主的知识基础已经具备。
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设函数f(x) = (1 + 1/x)^x
首先证明当x 趋向正无穷大时,该函数有极限。其次求该极限。
取x为整数n的情况,利用二项式定理
f(n) = (1+1/n)^n
=(k从0到n的求和)∑n(n-1)(n-2)……(n-k+1)/(k!*n^k)
=(k从0到n的求和)∑(1/k!)*(1-1/n)(1-2/n)……[1-(k-1)/n]
同理写出f(n+1)的展开式,容易看出f(n+1) > f(n)
因此f(n)是单调递增函数
同时从f(n)的展开表达式还可以得到
f(n) ≤ 1 + 1 + 1/2!+ 1/3!+ …… + 1/n!
再利用n! > 2^(n-1) ,。。。(此定理的证明从略)
f(n) < 2 + 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + …… + 1/2^(n-1)
= 3 - 1/2^(n-1) < 3
综上所述,f(n)随n单调递增,同时有界。因此f(n)有极限。
之后利用初等函数中的夹挤定理,又可以进一步证明f(x) 与f(n)类似。于是定义x趋于正无穷大时,f(x)极限值为e。
通过对x取一个很大的数,可以计算出e。x取得越大,e值越精确。
e≈2.7182818284……
e 值是这样定义出的。进一步研究又表明e值有一些有趣的数学性质。
例如对于以a为底的对数函数f(x)=loga(x)求微分,
其结果为f'(x)= [loga(e)]/x
这个结果的简单证明过程:
f'(x) = lim [f(x+Δx) - f(x)]/Δx 。其中Δx 趋向0。
代入f(x)及f(x+Δx)表达式后,
f'(x)= (1/x) * lim lo ga(1+Δx/x)^(Δx/x)
f'(x) = (1/x) * lim loga(1 +1/z)^z ,其中z趋向正无穷大
所以
f'(x)=(1/x)* loga(e)
然后在利用这个结果以及反函数的微分,可以证明指数函数的微分为
f(x) = a^x
f'(x) = loge(a) * a^x
因此定义loge(a) = ln a
自此出现了自然对数。另外从(a^x)' = lna * a^x 可以推出e^x 的导数恰好是其自身
对数的发明是16世纪末至17世纪初的事。当时在自然科学领域特别是天文学方面经常遇到十分复杂的数值计算,数学家们为了寻求化简计算的方法而发明了对数。一般认为,对数是由苏格兰数学家纳皮尔和瑞士工程师比尔吉彼此独立地发明的。但在此之前,在法国数学家许凯(15世纪)和德国数学家施蒂费尔(1487—1567)的工作中就孕育了对数的思想。他们研究等比数列与等差数列之间的关系,特别是施蒂费尔将这两种数列加以对比,指出,等比数列各项的乘、除、乘方、开方运算、相当于等差数列相应各项的加、减、乘、除运算。但是他们都没有进一步发展这种思想。
比尔吉是瑞士的一位工程师,他曾担任著名天文学家开普勒的助手,因此经常接触复杂的天文计算,于是产生了化简数值计算的强烈愿望。他受施蒂费尔工作的影响,考虑等差数列
0,10,20,…,10n和与之对应的等比数列
由此建立了一种对数体系,于1620年发表在《等差数列和等比数列表》中。不难看出,比尔吉所造的对数表,把对数的底取为,与现在自然对数的底e相差甚小。
比尔吉发明对数的时间大约在1610年,但他推迟了发表的时间,而纳皮尔的对数表在1614年公诸于世,早比尔吉6年。纳皮尔是苏格兰的一个贵族,他对数值计算颇有研究。他制造的“纳皮尔算筹”,化简了乘除法运算,其原理就是用加减法来代替乘除法。纳皮尔发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法,他依据一种非常独特的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法,其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理(见[《奇妙的对数表的描述》]),后人称他发明的对数为纳皮尔对数,记为,它与自然对数的关系为
以10为底的常用对数,是由另一位英国数学家布里格斯首先采用的。在他1624年出版的《对数算术》中,载有14位的常用对数表。他还制作了正弦、正切对数表。荷兰数学家兼出版商弗拉克补充了布里格斯的对数表,他出版的几种对数表(包括三角函数对数表)很快在欧洲普及。弗拉克还最早阐明对数首数的意义。
关于以e为底的自然对数的准确涵义,是由英国一位数学教师斯佩德尔
(J.Speiodell)首先指出的,他在1619年出版了关于对数的著作,包含1—1000的自然对数表。
对数传到中国的时间是17世纪中叶,中国数学家薛风祚和波兰传教士穆尼阁合作的《比例对数表》是我国最早的对数著作。