概率论 第五章汇总

1
t2
e 2 dt ( x).
n np(1 p) 2
证 由§4.2例知, n可以看成n个相互独立的服从同一(0-1)分
布的随机变量X1,...,Xn之和，即 近n 似X1 X2 Xn
np n
N (0,1) E(X i ) p, D(Xi ) p(1 p),
i 1,2,, n
均
1 n
n
Xi
i1
接
近
于
它
们
的
数
学
期
望的
算
术
平
均
值
1 n
n
i1
E(Xi )
.
（这个接近是概率意义下的接近）
即在定理条件下, n个随机变量的算术平均, 当n 无限增加时, 几乎变成一个常数.
定理2 （伯努利大数定律）设nA是n 次独立重复 试验中A发生的次数. p 是事件A在每次试验中发
生的概率, 则对任意 > 0,有
)
μ
D(X)
D
1 n
n i 1
Xi
1 n2
n
σ2
D(X i )
i 1
n
由切比雪夫不等式
D(X) P{ X E( X ) ε} 1
ε2
即
P{
1 n
n i 1
Xi -
ε}
1
2 n
lim P{|X - | } 1
n
关于定理1的说明:
当 n 很大 时, 随机 变量X1, X2 ,, Xn 的算 术平
解：设Xi 为第i个螺丝钉的重量, i=1,2,…,100, 且相互独立,
100
于是, 一盒螺丝钉的重量为 X X i i 1
且 E( Xi ) 100, D( Xi ) 10, n 100
由中心极限定理
100 P{X 10200} P{
i 1
Xi
10200}
P
100
Xi
i 1
n
n
10200 n
n
P
X
1000 100
10200 1000
100
P
X
1000 100
2
1 (2) 1 0.97725 0.02275
定理3 (德莫佛-拉普拉斯定理)设随机变量n(n=1,2,…)服从
参数为n，p(0< p < 1)的二项分布，则对任意 x，恒有
lim P n np x x
问题: 某个随机变量是由大量相互独立且均匀 小的随机变量相加而成的, 研究其概率分布情况.
➢独立同分布的中心极限定理
定理1 设随机变量X1,X2,…,Xn,… 相互独立，服从同一 分布, 且 E(Xk)=，D(Xk)=20 (k=1,2, ...) , 则
Yn
n
i1 X i n n
的分布函数Fn(x)满足:对任意实数x，有
➢ 伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况.
§5.2 中心极限定理
在客观实际中有许多随机变量,它们是由 大量的相互独立的随机因素的综合影响所 形成的,而其中每一个别因素在总的影响中 起到的作用都是微小的.这种随机变量往往 近似的服从正态分布.这种现象就是中心极 限定理的客观背景.
本节只介绍三个常用的中心极限定理.
lim
~ ~ n
Fn
(
X
xY) nnlim
P
nn
N i i11
XXi
i近n似 nx近
nnn
似 0x,N121(0e,1)t22
dt
( x). (证明略)
定理表明,当n充分大时,Yn近似服从标准正态分布.
例1 一盒同型号螺丝钉共100个，已知该型号的螺丝钉的重量是
一个随机变量，期望值是100g，标准差是10g ，求一盒螺丝钉 的重量超过10.2kg的概率.
大数定律 与 中心极限定理
下面我们先介绍大数定律
§5.1 大数定律
定义1 设Y1, Y2 …,Yn ,...为一随机变量序列，a是常数， 若对任意正数，有
lim
n
P{|Yn
a
|
}
1
则称随机变量序列Y1, Y2 ,…,Yn , ... 依概率收敛于a ，
记为: Yn P a
例如:
P
Xn a
意思是:当 n 时,Xn落在
lim
n
P
nA n
-
p
1
lim
n
P
nA n
-
p
0
此证因定:而理因E表为(X明nk)A=：p~，bnnD(An(,XpkP))=,p有(P1-(pnA)A,),((knX=11,2X,.2.).),由定X理n 1,
即 这：个nlim事定 P件理 A以n1 发k严n1生格X的k的-频p数率学依形概式1 率即表收达nl敛i了m于频P事率nn件A的-的稳p 概定率性 p.1.
实例: 考察射击命中点与靶心距离的偏差.
这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微 小误差的总和, 这些因素包括: 瞄准误差、测量 误差、子弹制造过程方面 (如外形、重量等) 的 误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、 风向、能见度、温度等) 的作用, 所有这些不同 因素所引起的微小误差是相互独立的, 并且它们 中每一个对总和产生的影响不大.
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(a , a ) 内的概率越来越大. n0 , n n0
Xn
a a a
而 X n a 意思是: 0, n0 ,当 n n0 | X n a |
定理1 （切比雪夫定理的特殊情况）设随机变量序
列 X1,X2,…,Xn, ...相互独立，且具有相同的数学期望
和方差： E(Xk)=，D(Xk)=2 (k=1,2,...) , 则对任意
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理
第五章 大数定律及中心极限定理
概率论与数理统计是研究随机现象统计 规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相 同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出 来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然 的法则，应该研究大量随机现象.
研究大量的随机现象，常常采用极限 形式，由此导致对极限定理进行研究. 极 限定理的内容很广泛，其中最重要的有两 种:
的
> 0，有 lim P n
1 n
n i 1
Xi
1
即
X
1 n
n i 1
Xi
P
提示：利用切比雪夫不等式证.
此定理表明: 相互独立具有相同期望和方差的随机变 量X1, X2, …, Xn的算术平均值依概率收敛于其数学期 望值 .
证
E(X)
E
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E(X i
定理3（辛钦定理）设随机变量序列X1,X2,…,Xn,...
相互独立且同分布，数学期望：E(Xk)=，则对任 意正数，有
[注]
lim P
n
1 n
n i 1
Xi
1
(证明略)
➢ 伯努利大数定律就是频率稳定性的理论依据． 因而在实际应用中，当试验次数很大时，往往 用事件发生的频率来代替事件的概率．