一种快速求取空间任意两条曲线交点的算法
曲线的交点
思考（ ） ）、（7）交点都是一个，有何不同？ 思考（5）和（3）、（ ）交点都是一个，有何不同？ ）、（
解：1、 当直线斜率不存在时，直线表示为x=0 、 当直线斜率不存在时，直线表示为
x = 0 1 2⇒ y = 2 x
(0,0)
只有一个交点
2 、当直线斜率存在时，设直线为y=kx-2 当直线斜率存在时，设直线为
2、两曲线有交点的充要条件是它们的方 程所组成的方程组有实数解； 程所组成的方程组有实数解； 3、求曲线交点的方法就是求它们方程组 的实数解。 的实数解。 4、方程组有几组实数解，两曲线就有几 方程组有几组实数解， 个交点；方程组没有实数解， 个交点；方程组没有实数解，两条曲 线就没有交点。 线就没有交点。
2
2
解题后的思考
在解法上的相同之处是什么？ 例1，例2在解法上的相同之处是什么？ ， 在解法上的相同之处是什么 都是把直线方程与曲线方程联立成方程组， 都是把直线方程与曲线方程联立成方程组， 通过消元变成一元二次方程， 通过消元变成一元二次方程，再通过解方程 或根的判别式来解决问题。 或根的判别式来解决问题。 这两题在结果上有什么相同与不同吗？ 这两题在结果上有什么相同与不同吗？ 相同之处：直线与抛物线，圆的交点， 相同之处：直线与抛物线，圆的交点，个数都 是两个，一个， 个 是两个，一个，0个； 不同之处： 与抛物线交点为1个时 个时， 不同之处：直线 与抛物线交点为 个时，可能 是切点，即两个重合为一个； 是切点，即两个重合为一个；也可能就只有一 当直线与抛物线的对称轴平行或重合）。 个（当直线与抛物线的对称轴平行或重合）。
曲
线
的
交
点
定义: 定义
两条不同曲线的公共点叫做两条曲 线的交点. 线的交点
交点法原理
交点法原理交点法是一种用来求解两条直线交点坐标的数学方法，它在计算机图形学、几何学和工程学等领域有着广泛的应用。
在实际应用中，我们常常需要求解两条直线的交点坐标，这时候交点法就能派上用场。
首先，我们来看一下两条直线的一般方程。
一条直线的一般方程可以表示为Ax + By = C，其中A、B、C为常数。
当然，这里有一个前提条件，就是A和B不能同时为0。
如果A和B同时为0，那这条直线就不存在了。
假设我们有两条直线，它们的一般方程分别为A1x + B1y = C1和A2x + B2y =C2，我们需要求解它们的交点坐标。
我们可以通过联立这两个方程，得到一个二元一次方程组。
这个方程组的解就是两条直线的交点坐标。
一般来说，我们会选择使用消元法或者代入法来解决这个方程组。
但是，交点法提供了另外一种更加简洁和直接的解决方案。
我们可以通过一些简单的数学推导，得到两条直线交点坐标的表达式。
假设我们有两条直线的一般方程为A1x + B1y = C1和A2x + B2y = C2，它们的交点坐标为(x, y)。
我们可以利用克莱姆法则来求解这个交点坐标。
克莱姆法则告诉我们，如果一个二元一次方程组的系数行列式不为0，那么这个方程组有唯一解，且这个解可以通过系数行列式的比值来求得。
对于两条直线的交点坐标，我们可以利用克莱姆法则得到如下的表达式：x = (C1B2 C2B1) / (A1B2 A2B1)。
y = (A1C2 A2C1) / (A1B2 A2B1)。
通过这个表达式，我们就可以直接计算出两条直线的交点坐标。
这种方法不需要进行繁琐的消元和代入运算，能够更加高效地求解交点坐标。
除了利用克莱姆法则，我们还可以通过向量的方法来求解两条直线的交点坐标。
我们可以将两条直线表示为参数方程的形式，然后通过向量的叉乘运算来求解它们的交点坐标。
这种方法也能够得到同样的结果，而且在一些情况下更加直观和易于理解。
总的来说，交点法是一种简洁而高效的求解两条直线交点坐标的方法。
高中数学直线与曲线交点计算技巧
高中数学直线与曲线交点计算技巧在高中数学中，直线与曲线的交点计算是一个常见的题型。
这种题型考察了学生对直线和曲线的性质、方程的解法以及计算的技巧。
本文将通过具体的例题，详细解析这类题目的解题思路和方法，帮助高中学生和他们的父母更好地掌握这一知识点。
首先，我们来看一个简单的例子。
已知直线y = 2x + 1和曲线y = x^2 + 1，求它们的交点坐标。
解题思路：1. 将直线方程和曲线方程联立，得到一个二次方程。
2. 解二次方程，求出交点的横坐标。
3. 将横坐标代入直线方程或曲线方程，求出交点的纵坐标。
4. 得到交点的坐标。
具体步骤如下：1. 将直线方程和曲线方程联立，得到二次方程：x^2 + 1 = 2x + 1x^2 - 2x = 02. 解二次方程，求出交点的横坐标：x(x - 2) = 0解得 x = 0 或 x = 23. 将横坐标代入直线方程或曲线方程，求出交点的纵坐标：当 x = 0 时，直线方程变为 y = 1，曲线方程变为 y = 1，所以交点为 (0, 1)。
当 x = 2 时，直线方程变为 y = 5，曲线方程变为 y = 5，所以交点为 (2, 5)。
4. 得到交点的坐标：交点坐标为 (0, 1) 和 (2, 5)。
通过这个例子，我们可以看到求解直线与曲线交点的关键在于联立方程，并解方程得到交点的横坐标。
然后，将横坐标代入方程，求出交点的纵坐标。
这样，我们就能得到交点的坐标。
除了直接联立方程求解交点，还有一种更简便的方法，即利用图像求解。
下面我们来看一个例子。
已知直线y = 2x + 1和曲线y = x^2 + 1，求它们的交点坐标。
解题思路：1. 将直线方程和曲线方程绘制在同一坐标系中。
2. 观察图像，确定交点的大致位置。
3. 利用图像求解，求出交点的坐标。
具体步骤如下：1. 绘制直线y = 2x + 1和曲线y = x^2 + 1的图像。
注意，可以使用计算器或绘图软件辅助绘制。
两条双曲线计算交点坐标c语言
双曲线是代数曲线的一种形式，其方程通常可以表示为几何的形式，如x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。
在计算机编程中，如何使用C语言计算双曲线的交点坐标是一个常见的问题。
本文将介绍如何使用C语言计算双曲线的交点坐标，以及两条双曲线的交点坐标的计算方法及其实现。
一、双曲线的一般方程双曲线的一般方程通常可以表示为以下形式：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1其中a和b为双曲线的参数，决定了双曲线的形状。
通常来说，在C 语言中可以通过定义结构体或者数组来表示双曲线的参数。
二、双曲线的交点坐标计算方法双曲线的交点坐标可以通过以下步骤来计算：1. 分别给出两条双曲线的方程，分别为x^2/a1^2 - y^2/b1^2 = 1和x^2/a2^2 - y^2/b2^2 = 1；2. 将两条双曲线的方程联立，得到一个关于x和y的方程组；3. 解方程组，得到双曲线的交点坐标。
在C语言中，可以通过定义函数来实现双曲线的方程求解，以及计算交点坐标的功能。
三、C语言计算双曲线交点坐标的实现在C语言中，可以通过定义结构体或者数组的方式来表示双曲线的参数，然后定义函数来实现双曲线的方程求解和交点坐标的计算。
以下是一个简单的C语言程序，用来计算两条双曲线的交点坐标：```c#include <stdio.h>struct Hyperbola {double a;double b;};struct Point {double x;double y;};struct Point calculateIntersection(struct Hyperbola h1, struct Hyperbola h2) {struct Point intersection;// 计算交点坐标的代码return intersection;}int m本人n() {struct Hyperbola h1 = {1.0, 2.0};struct Hyperbola h2 = {3.0, 4.0};struct Point intersection = calculateIntersection(h1, h2);printf("The intersection coordinates are: (f, f)\n", intersection.x, intersection.y);return 0;}```通过以上的C语言程序，我们可以实现两条双曲线的交点坐标的计算功能。
空间两条直线交点坐标的新求法
空间两条直线交点坐标的新求法
得出两条直线交点坐标的新求法，首先应该把两条直线抽象为两个不同的直线空间中
的给定线段给出，比如，L1表示直线空间1中的给定直线段，L2表示直线空间2中的给
定直线段。
这两个空间可以是任意n维空间，例如3维空间，对应于三维平面中的一条直线，也可以是2维空间，两条直线在r×r上。
根据直线空间1中的直线段L1，参数形式定义为：L1: x=α+t·m1，y=β+t·n1，
z=γ+t·o1。
其中，α,β,γ是x,y,z的坐标值；m1,n1,o1是法向量，t是参数变量，
t∈[a,b]。
直线空间2中的直线段参数形式定义为：L2: x=δ+θ·m2，y=ε+θ·n2，
z=ζ+θ·o2。
其中，δ,ε,ζ是x,y,z的坐标值；m2,n2,o2是法向量，θ是参数变量，θ∈[c,d]。
假设两条直线的参数方程：那么解得的交点的坐标位置可以写为：x=x0，y=y0，z=z0。
那么：
x0=((α·n2-δ·n2)+(β·o2-ε·o2)+(γ·m2-ζ·m2)) /
((m1·n2)+(n1·o2)+(o1·m2))
y0=((δ·m1-α·m1)+(ε·o1-β·o1)+(ζ·。
快速得到曲线与坐标轴交点个数的方法
快速得到曲线与坐标轴交点个数的方法
要快速得到曲线与坐标轴交点的个数，我们可以使用图像处理的方法。
下面是一个简单的步骤来实现这个目标：
1. 首先，将曲线表示为一个函数或方程。
假设我们的曲线是一个二次函数，可以表示为 y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c是常数。
2. 我们需要找到曲线与 x 轴交点的横坐标。
为了找到这些交点，我们可以将方程设置为 y = 0，并解方程。
对于二次函数，我们可以使用求根公式或二次方程的求解方法来找到交点的横坐标。
3. 确定交点的个数。
如果方程有两个实数根，那么曲线与 x 轴有两个交点；如果方程只有一个实数根，那么曲线与 x 轴有一个交点；如果方程没有实数根，那么曲线与 x 轴没有交点。
4. 可以使用类似的方法来确定曲线与 y 轴的交点个数。
将方程设置为 x = 0，并解方程，找到交点的纵坐标。
总结起来，要快速得到曲线与坐标轴交点个数的方法，我们可以将曲线表示为一个方程，并解方程来找到交点的坐标。
通过对方程的根的个数进行判断，就可以确定交点的个数了。
求三维空间中两直线（或线段）的交点
求三维空间中两直线（或线段）的交点1.2D空间的直线相交在⼆维空间中，利⽤两个直线⽅程y = kx + b我们可以直接计算出交点，但是这种⽅法⿇烦了些，并且套⽤到三维空间⽤公式就更⿇烦了，接下来介绍的是如何利⽤向量叉乘求出直线交点。
并且由于利⽤叉乘最后可以的到⼀个⽐例值，这个值的⼤⼩还可以判断四个点所得到的两个线段是延长线相交还是线段相交。
2.向量叉乘三维空间中，两个向量叉乘得到的是⼀个垂直于两向量组成的平⾯的向量，⽅向可利⽤右⼿螺旋法则获取，这⼀点百度⾕歌⼀搜⼀⼤把，不细说了⼤⼩可由下⾯的公式得到，注意和点乘的区别。
向量叉乘的⼏何意义是得到⼀个三⾓形的有向⾯积，如下图所⽰，向量OA和OB叉乘的到的向量⼤⼩的⼆分之⼀就等于三⾓形OAB的⾯积有了以上基础，我们就可以开始计算三维空间中的直线交点了3.三维空间中的两直线交点下图CE和AB是平⾏线且长度相等。
⾸先确定两条直线是否平⾏，利⽤向量点乘结果是否等于0来判断，等于0垂直，等于1则平⾏。
接着我们需要确定两条直线在⼀个平⾯内，否则⽆论如何也⽆法相交，这个⽤向量叉乘来判断，即判断向量CA和向量AB叉乘得到的向量是否垂直于向量CD。
然后明确⼀个⽬标，在四个点ABCD已知的情况下，求交点O我们只需要知道CO/CD就可以了。
通过观察发现，三⾓形ACD的⾯积⽐三⾓形CDE的⾯积等于线段CO和CD的⽐值，我们来证明⼀下，步骤很简单。
证明：S三⾓形ACD/S三⾓形CDE = AO⽐AB三⾓形AFO和三⾓形EGC相似AF / EG = AO/CE；CE = AB 所以等式成⽴问题转化成要计算两个三⾓形的⾯积，那么我们只需要向量AB，CD和CA就可以了，开始写代码3.代码实现利⽤叉乘求交点少了很多if else的判断，并且可以做到⼆维和三维的通⽤，传递参数的时候只要将所有点和向量y轴的值设为0就可以当作⼆维来使⽤了。
利⽤代码中得到的⽐例值num2的⼤⼩还可以判断是延长线相交还是线段相交注意下述⽅法所传⼊的参数是两个点和两个⽅向，可以改写成传⼊四个点。
曲线求交算法
曲线求交算法曲线求交算法是计算机图形学中的重要问题之一，它能够确定两条曲线之间的交点。
在计算机图形学中，曲线广泛应用于绘制各种形状，例如二维平面图形和三维物体的轮廓。
因此，求解曲线之间的交点是十分关键的。
曲线求交算法有多种方法，其中最常用的是迭代法和二分法。
迭代法是通过反复逼近来找到交点的坐标，而二分法则是通过不断划分曲线段并检查是否有交点的方法。
这两种方法各有优缺点，可以根据实际需求选择合适的方法。
在实际应用中，曲线求交算法有着广泛的应用。
例如，在计算机辅助设计（CAD）软件中，曲线求交算法可以用于绘制曲线之间的交点，帮助设计师更加精确地设计出各种复杂图形。
另外，在计算机动画和游戏开发中，曲线求交算法也可以用于模拟物理效果，例如刚体之间的碰撞检测。
实际上，曲线求交算法并不仅限于求解曲线之间的交点，它还可以应用于其他数学领域。
例如，在数学建模中，曲线求交算法可以用于解决方程系统的求解问题。
此外，在自然科学、工程学和经济学等领域，曲线求交算法也有着广泛的应用。
曲线求交算法的实现并不复杂，但需要注意的是在处理过程中可能会遇到一些问题。
例如，在计算机表示浮点数时存在误差问题，这可能导致算法的精度下降，从而影响结果的准确性。
为了解决这个问题，通常需要进行一定的数值稳定性分析和精度控制。
综上所述，曲线求交算法在计算机图形学和其他领域中起着重要的作用。
通过合理地选择算法和处理潜在的问题，可以有效地求解曲线之间的交点，并在实际应用中发挥巨大的指导意义。
因此，深入理解和研究曲线求交算法对于改进计算机图形学和其他相关领域的技术水平具有重要意义。
一种求解2条任意类型缓和曲线交点的通用算法
一
种 求解 ２条 任 意 类型 缓 和 曲线 交 点 的通 用算 法
李 伟， 蒲 浩
（ 中南大学 土木建筑学院， 湖南 长沙 ４０７ ） １０５
摘 要： 针对 ２条缓和 曲线交点 坐标的计算在线路设计 中的难点 ， 而且 目前 的计 算方法都只针对普 通的三 次抛 物线型缓和
曲线， 不能适用于高次缓和 曲线的情况 ， 建立各种 类型缓和 曲线 坐标计 算的通 用计 算模型 ， 出 了 ２条缓 和曲线相 对纵距 导
Ａｂ ｔａ ｔ Ｈｏ ｔ ｅｅ ｍｉｅ ｔｅ ｉｔｒｅ ｔ ｎ ｐ ｉ ｔｃ ｏ ｄｎ ｔｓ ｏ ｒ ｎ ｉｉｎ ｃ ｒ ｅ ｓ ａ ｄｆ ｃ ｌ ｒｂｌｍ ｎ ａｉｎ ｓｒ ｃ ： ｗ ｏ ｄ ｔｒ ｎ ｈ ｎ ｅ ｓｃｉ ｏｎ ｏ ｒ ｉａｅ ｆｔ ｔａ ｓｔ ｕ ｖ ｓｗａ ｉｆ ｕｔｐ ｏ ｅ ｉ ｌ － ｏ ｗｏ ｏ ｉ ｇ ｍｅ ｔｄ ｓｇ ｎ ｅ ｉｎ．Ｂｅ ｉ ｅ ，ｆｒ ｒａｇ ｒｔｍｓ ｃ ｕ ｄ ｎ ｔａ ｐｌ ｏ ｈｇ ｗｅ ａ ａ ｏ ａ ｔａ ｓｔｏ ｕ ｖ ，ｂ ｃ ｕ ｅ ｔｅ ｒ ｓｄ ｓ ｏｍｅ ｌｏ ｈ ｏ ｌ ｏ ｐ ｙ ｔ ｉｈ ｐｏ ｒｐ ｒｂ ｌ ｒｎ ｉ ｎ ｃ ｒ ｅ ｅ ａ ｓ ｙ ｗｅｅ ｉ ｉ ｈ
ｔ ｎ ｃ ｒ ｅ ’ｒｌｔｖ ｅｔ ａ ｉｔ ｃ ｄ ｔｅ ｄｓａ ｃ ｒ ｍ ａ ｄ ｍ ｉｔｔ ｒＨｚｗａ ｔｄ ｅ ｉ ｕ ｖ ｓ ｅ ａｉｅｖ ｒｉｌ ｄｓａ ｅ ａ ｉｔ ｅｆｏ ａｒ ｎ ｏ ｐ ｎ ｏＺＨｏ ｓ ｓｕ ｉｄ．Ｔ ｅ ｆｎ ｔｏ ｈ ｒ ｏ ｃ ｎ ｎ ｈ ｎ ｏ ｈ ｕ ｃｉｎ ｃ ａ － ａ ｔｒｓｉｓｗｈ ｎ ｔ ｒ ｎ ｉｉｎ ｃ ｒ ｅ ａ ｉ ｅ ｅ ｔｉ ｔｒｅ ｔｏ ｉｔｃ ｕ ｍ ｒ ｓ ａｃ ｅ Ａ ｎｖ ｒａ ｇ ｒｔ ｍ ｒ ｃｅｉｔｃ ｅ ｗｏ ｔａ ｓｔ ｕ ｖ ｓｈ ｄ ｄ ｆ ｒ ｎ ｎｅ ｃ ｉｎ ｐ ｎ ｏ ｎ ｗｅ ｒ ｅ ｒ ｈ ｄ． ｕ ｉｅｓ ａ ｏｉｈ ｆ ｏ ｓ ｏ ｅ ｅ ｌ ｌ ｏ ｃ ｃ ｌｔ ｇ ｉ ｔｒｅ ｔ ｎ ｐ ｉ ｔｃ ｒｉ ａｅ ｆｔ ｏ ｒｎ ｏ ｔ ｎ ｉ ｏ ｕ ｖ ｓｗａ ｒｐ ｓｄ ａ ｄ ａ ｐ ｇａ Ｗ ｅ ｉ ｅ Ｓ ｌ ａ ｕ ａｉ ｎｅ ｃｉ ｏｎ ｏ ｄ ｎ ｔｓｏ ａ ｄ ｍ ｒ ｓｔ ｎ ｃ ｒ ｅ ｓ ｐ ｏ ｏ ｅ ｒ ｒ ｍ ａ ｄ ｓｇ ｄ Ｕ － ｎ ｓ ｏ ｗ ａ ｉ ｎ ｏ ｓ ｎ ｉ ｇ ＶＣ ＋ ＋ ６． Ｃ ｍｐ ｅ ｔ ｅ ｓｍｉａ ｇ ｒｔ ｍｓ，ｉ ｈ ｂ ｉｕ ｕ ｅ ｏ ｔ ｎ ｓ ｅ ｐ ｃｓｏ ｄ ｒｂｕ ｔｅ ｓ ｎ ０． ｏ ａ ｄ ｗｉ ｔ ｉ ｌ ａ ｏ ｈ ｒ ｈ ｈ ｒ ｌ ｉ ｔ ａ ｏ ｖｏ ｓ ｓ ｐ ｒ ｒ ｙ ｉ ｐ ｄ， ｒ ｉｉｎ ａ ｏ ｓｎ ｓ ， ｓ ｉｉ ｅ ｅ ｎ
一种快速求取空间任意两条曲线交点的算法
! 戴葵等译 R（美）/5FA01 SR 85251" 86T5F> PR +CUBA=" /5FV 8R PC5WC 著 R
X 焦李成 R 神经网络的应用与实现 R 西安：西安电子科技大学出版社， !**YR
’ 孙靖民 R 机械优化设计 R 北京：机械工业出版社，!**%R % 许崎，李永生，威学成 R 梯度法与 PQ 神经网络的结合在机械优化设
2在两条曲线存在交点的区间内计算两条曲线的最短距离在两条曲线存在交点可能的参数区间内利用控制顶点正算出所对应的曲线段求两条曲线的最短距离
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
《机械设计与制造》 ,GAR #&&’ -6R % /5G=01CFM +C@021 _ /51BD5GABFC
所对应的两条曲线没有交点，如图 0 + ; , 和图 0 + < , 所示。
上述判断原理的算法步骤为：
%=*&06 分别选取两条曲线控制多边形的其中一条边。
%=*&"6 计算 !0 和 !"，如果 !0 与 !" 方向相反，计算 !! 与 !5，如果 !! 与 !5 方向相反，则所对应的两条曲线存在相交的可 能性，分别记录所对应的控制顶点 + !" $ 0/ !"/ !" 7 0/ !" 7 " , 、+ -$ $ 0/ -$/ -$ 7 0/ -$ 7 " , 及参数区间，以备下一步处理。如果 !! 与 !5 方向相 同，则所对应的两条曲线没有交点。如果 !0 与 !" 方向相同，则 所对应的两条曲线也没有交点。
交点法和线元法要素转换
交点法和线元法要素转换交点法和线元法是空间几何中常用的两种计算方法，它们可以求解直线、平面、曲线等多种几何图形之间的交点和距离等问题。
在实际应用中，常常需要将其中一种方法的结果转换为另一种方法的结果，以满足实际需求。
本文将介绍交点法和线元法的基本概念，并探讨它们之间的要素转换。
一、交点法和线元法的基本概念1、交点法交点法是一种几何计算方法，它以直线为例，通过求解两直线的交点来得到它们之间的距离、夹角等信息。
对于平面和曲线等几何图形也可以使用类似的方法求解。
在交点法中，需要计算两条直线的方向向量以及它们的重心坐标，然后通过求解方程组来计算出它们的交点。
2、线元法线元法是一种微积分方法，它可以计算给定曲线上的任意一点处的切线、法线以及曲率等信息。
在线元法中，将曲线分为无限小的线元或者曲线段，利用微积分的方法求解每个线元上的切向量、法向量以及曲率等参数，从而得到整条曲线上的相关信息。
1、坐标系的转换在交点法中，需要求解两条直线的交点以及它们之间的距离等信息。
在坐标系的选择上，通常选取其中一条直线作为基准线，将整个坐标系平移到基准线上，然后再计算另一条直线在新坐标系中的方向向量和重心坐标，从而得到它们之间的关系。
而在线元法中，通常需要选取与曲线相关的坐标系，例如自然坐标系、Frenet-Serret坐标系等，以便计算每个线元上的切向量、法向量和曲率等参数。
2、参数的计算方法在交点法中，通常需要计算两条直线的方向向量、重心坐标以及它们的交点。
对于直线的方向向量可以直接从坐标点上得到，而重心坐标通常需要根据直线的端点坐标进行平均计算。
交点计算通常可以采用求解方程组的方法得到。
而在线元法中，需要计算每个线元上的切向量、法向量和曲率等参数。
对于曲线的切向量和法向量可以通过微积分的方法得到，而曲率需要根据曲线的导数和高阶导数等信息来计算，计算方法相对复杂。
3、精度和误差在交点法和线元法的应用中，精度和误差是一个重要的问题。
求曲线的交点
交点个数 判别式
方程组解的情况
直线与圆的位置关系
o o
o
d>r
相离
d=r
相切
d<r 相交
变式题训练
• 1、设直线y=kx+1,圆x2+y2=2.试讨论直线与圆的位置 关系？
• • • •
提示： 1、代数法（利用判别式） 2、几何法 3、数形结合[直线过定点（0，1）]
弦长公式
d ( x1 x 2 ) (1 k )
y1=1/2,
y2=9/
所以交点A、B的坐标分别是 （-1，1/2），（3，9/2）。 直线被曲线截得的线段的长： |AB|= (3+1)2+(9/2-1/2)2=4 2 A
y B
0
x
探究 与发现：
• 如图：l:y=x+3/2 C;y=x2/2
y
• 设A(x1,y1)B(x2,y2)则：y1-y2=x1-x2 • |AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2 • =(x1-x2)2 +(x1-x2)2 • =(1+1)(x1-x2)2 •
B
=2[( x1+x2)2 -4x x2] 1
A
0
x
•
见微知著，联想韦达定理
另解：设A(x1,y1)B(x2,y2) y=x+3/2 y=x2/2 所以 x2-2x-3=0
所以 x1+x2=2 x1x2=-3
|AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2
=
=
2(x1-x2)2
2[(x1+x2)2-4x1x2]
y
X=3 P
(1)当x 3时，化简得： y 2 12( x 4) (2)当x 3时，化简得： y 2 4x
判断二维空间中两曲线相交的算法研究
判断二维空间中两曲线相交的算法研究摘要：研究两条曲线在二维空间中的位置关系是GIS中的重要内容之一，如何判断二维空间中两条曲线相交并计算出交点，是编写程序过程中经常遇到的算法模型，它的准确性与运行效率直接影响程序的可靠性与实用性。
本文介绍了常用的三种判断二维空间中两曲线相交并计算交点的算法：近似解法、包围盒法和快速求交法，详细阐述了三种算法的原理和步骤，并对这些算法在计算速度、可靠性方面进行了对比，最后得出了一种最优的算法。
关键词：曲线求交；最小凸多边形；近似解；包围盒1、引言二维空间中两曲线求交计算是程序编写过程中经常遇到的问题，在目前的技术条件下，判断二维空间中两曲线相交算法通常是将两条曲线的方程联立求解，如果没有解析解，或者解析法计算复杂，可以采用各种近似解，其中一种近似解法是将曲线简化为直线段的集合，然后求直线段的交点，这个交点就作为两曲线求交的近似解。
也可以对曲线建立包围盒，当两曲线的包围盒相交时，把曲线分割为两条子线段，对于子线段再建立包围盒，然后重复进行包围盒的求交判断，直到包围盒小于一定尺寸。
但上述两种方法计算量较大，甚至求解困难。
这里提到的另一种快速实用的曲线求交算法，具有较高的稳定性和可靠性。
该算法的原理分两步确定两曲线是否相交，首先根据曲线的最小凸多边形判断两条曲线是否相交，并求出两条曲线存在交点的可能区间，然后在此区间内，利用控制顶点算出所对应的曲线段，进行精确求交计算。
2、近似解法近似解法是将曲线简化为直线段的集合，然后分别求直线段的交点，这个交点就作为曲线求交的近似解。
求两直线段的交点可通过两条曲线方程联立求解法求解，定义、、、为二维空间的点，则有向线段和的参数方程为：如果和相交，则求解方程，求和：设P为直线和的交点，则如果（0≤≤1）并且（0≤≤1）,则有向线段和的交点存在，否则不存在。
如果为0，则和平行。
如果也为0，则和共线。
如果和相交，而交点不位于线段和之间，则交点位置可以通过如下条件进行判断：如果>1，则P点位于有向线段的延长线上；如果1，则P点位于有向线段的延长线上；如果<1，则P点位于有向线段的延长线上。
有关两条曲线交点问题的一种解法
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余弦交点法
余弦交点法余弦交点法是一种常用的数学算法，它可以通过多边形的余弦值来检测两个交点之间的关系。
余弦交点法是一种非常有效的计算方法，它能够快速检测出两个交叉点之间的关系，从而更好地完成坐标系统之间的空间计算。
首先，需要确定坐标系统中的余弦，并且确定余弦的分量方向。
余弦的分量可以使用海伦公式计算出来，也就是由三角形的三个顶点计算出来的。
确定了余弦的分量，就可以用余弦值来表示两个交点之间的距离。
余弦值可以用来表示两个交点之间的距离，但是它也可以表示两个交点之间的夹角，也可以用来计算抛物线等曲线的斜率和弯曲点。
通过海伦公式以及余弦值，可以更好地完成多边形之间的空间计算。
其次，需要根据余弦值来计算交点的空间关系。
当两个交点之间的余弦值越大时，说明两点之间的距离越大。
同时，还可以把余弦值作为交点之间的角度，并且可以使用余弦值来计算两个抛物线等曲线之间的斜率和弯曲点。
再者，可以利用余弦交点法完成坐标系统之间的空间计算。
通过确定坐标系统中的余弦值，利用余弦值计算出交点之间的关系，从而可以完成坐标系统之间的空间计算。
余弦交点法可以完成坐标系统之间的多种基本的运算，包括距离、角度、斜率、弯曲点等计算。
最后，余弦交点法在数学计算中有着广泛的应用，它可以帮助我们更好地完成空间计算，从而可以更准确地掌握坐标系统之间的关系。
余弦交点法可以用来计算多边形的面积，节约时间、减少工作量，并且可以更好地完成空间计算。
总之，余弦交点法是一种非常有效的计算方法，可以快速检测出两个交叉点之间的关系，从而更好地完成坐标系统之间的空间计算。
另外，余弦交点法在数学计算中有着很广泛的应用，可以节约时间、减少工作量，并且可以用来完成多种基本的计算和复杂的空间计算，从而可以更准确地掌握坐标系统之间的关系。
曲线的交点
求曲线C 和曲线C 的交点: 求曲线 1:f1(x,y)=0和曲线 2:f2(x,y)=0的交点 和曲线 的交点 P(x0,y0)是曲线 是曲线 C1和C2的交点
f1 ( x , y ) = 0 ⇔ f2 ( x, y ) = 0
所以曲线C1和曲线 2的交点就是求方程组 所以曲线 和曲线C
P(2,4) B M x A O
l2
l1
2Hale Waihona Puke 21 C. 21 D.− 2
4.在平面直角坐标系中,已知圆心在第二象限, 4.在平面直角坐标系中,已知圆心在第二象限, 在平面直角坐标系中 的圆C和直线y=x相切与原点O, y=x相切与原点O,椭 半径为 2 22 的圆C和直线y=x相切与原点O,椭 2 圆 x + y = 1 与圆C的一个交点到椭圆两 与圆C 2 a 9 个焦点的距离之和是10. 个焦点的距离之和是10. (1)求圆C的方程和椭圆的方程. (1)求圆C的方程和椭圆的方程. 求圆 (2)圆 上是否存在异于原点的点Q,使 (2)圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆 Q, 右焦点F的距离等于线段OF的长?若存在, OF的长 右焦点F的距离等于线段OF的长?若存在,求出 的坐标,若不存在,说明理由. Q的坐标,若不存在,说明理由.
C.可能有一个公共点也可能有两个公共点 C.可能有一个公共点也可能有两个公共点 D.没有公共点. D.没有公共点. 没有公共点
6.设直线 :2x+y+2=0关于原点对称的直线 6.设直线l:2x+y+2=0关于原点对称的直线l/, 2
2
y = 1 交于A,B两点,点P 交于A,B两点, A,B两点 若直线与椭圆 x + 4ABP的面积等于 1 的 在椭圆上的动点,则使ABP 在椭圆上的动点,则使ABP的面积等于 2 的个数是( 点P的个数是( )
一种快速求取空间任意两条曲线交点的算法
一种快速求取空间任意两条曲线交点的算法
董明晓;郑康平
【期刊名称】《机械设计与制造》
【年(卷),期】2004(000)005
【摘要】求空间两条曲线的交点是CAD/CAM重要内容之一,它的准确性与效率直接影响系统的可靠性与实用性.通常是将两条曲线的方程联立求解,或者是对曲线建立包围盒.但上述两种方法计算量较大,甚至求解困难.这里提出一种快速实用的曲线求交算法,具有较高的稳定性和可靠性.该算法分两步进行,首先根据B样条曲线的控制多边形判断两条曲线是否相交,并求出两条曲线存在交点的可能参数区间,然后在此区间内,利用控制顶点算出所对应的曲线段,进行精确求交计算.与常用的包围盒方法相比,该算法效率高、精度易于控制,并通过实例验证算法的有效性.
【总页数】2页(P55-56)
【作者】董明晓;郑康平
【作者单位】山东建筑工程学院,济南,250014;西安交通大学,西安710049;西安交通大学,西安710049
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.72
【相关文献】
1.一种求解2条任意类型缓和曲线交点的通用算法 [J], 李伟;蒲浩
2.一种快速求取空间点到曲面最短距离的算法 [J], 董明晓;郑康平;许伯彦;宋世军
3.一类空间曲线与平面交点的快速算法 [J], 洪毅;丁仕虹;吕晓敏
4.有关两条曲线交点问题的一种解法 [J], 潘国权
5.一种快速完备的自由曲线和曲面间最短距离求取算法 [J], 陈丽萍;陈燕;胡德金因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
两条线段是否相交,计算交点公式
两条线段是否相交，计算交点公式。
A本身无限长，假设B也无限长，直接求得AB的交点坐标，然后再判断该坐标是否在定长线段B的内部就可以了啊AB本身就是两条直线，知道两端点就可以知道其直线方程，B也是一样，两个方程联立，得到一个坐标，再看该坐标是否在B的定义域内就可以啊A的两点为(x1,y1),(x2,y2)则A的直线方程为l1:y-y1=(y2-y1)(x-x1)/(x2-x1)B的两点为(x3,y3),(x4,y4)则B的直线方程为l2:y-y3=(y4-y3)(x-x3)/(x4-x3)联立解出交点坐标为的横坐标为：x=(k2x3-y3-k1x1+y1)/(k2-k1)其中k1=(y2-y1)/(x2-x1)k2=(y4-y3)/(x4-x3)可以推导出来x = ((x2 - x1) * (x3 - x4) * (y3 - y1) -x3 * (x2 - x1) * (y3 - y4) + x1 * (y2 - y1) * (x3 - x4)) /((y2 - y1) * (x3 - x4) - (x2 - x1) * (y3 - y4));同理也可以推导出y的值：y = ((y2 - y1) * (y3 - y4) * (x3 - x1) -y3 * (y2 - y1) * (x3 - x4) + y1 * (x2 - x1) * (y3 - y4)) /((y2 - y1) * (y3 - y4) - (y2 - y1) * (x3 - x4));总结：//第一条直线double x1 = 10, y1 = 20, x2 = 100, y2 = 200; double a = (y1 - y2) / (x1 - x2); double b = (x1 * y2 - x2 * y1) / (x1 - x2); System.out.println("求出该直线方程为: y=" + a + "x + " + b); //第二条double x3 = 50, y3 = 20, x4 = 20, y4 = 100; double c = (y3 - y4) / (x3 - x4); double d = (x3 * y4 - x4 * y3) / (x3 - x4); System.out.println("求出该直线方程为: y=" + c + "x + " + d); double x = ((x1 - x2) * (x3 * y4 - x4 * y3) - (x3 - x4) * (x1 * y2 - x2 * y1)) / ((x3 - x4) * (y1 -y2) - (x1 - x2) * (y3 - y4)); double y = ((y1 - y2) * (x3 * y4 - x4 * y3) - (x1 * y2 - x2 * y1) * (y3 - y4)) / ((y1 - y2) * (x3 - x4) - (x1 - x2) * (y3 - y4)); System.out.println("他们的交点为: (" + x + "," + y + ")");********************************************************************下面附上java的实现，前提是：a 线段1起点坐标b 线段1终点坐标c 线段2起点坐标d 线段2终点坐标Java代码import java.awt.Point; public class AlgorithmUtil { public static void main(String[] args) { AlgorithmUtil.GetIntersection(new Point(1, 2), new Point(1, 2), new Point(1, 2), new Point(1, 2)); AlgorithmUtil.GetIntersection(new Point(1, 2), new Point(1, 2), new Point(1, 4), new Point(1, 4));AlgorithmUtil.GetIntersection(new Point(100, 1), newPoint(100, 100), new Point(100, 101), new Point(100, 400));AlgorithmUtil.GetIntersection(new Point(5, 5), new Point(100, 100), new Point(100, 5), new Point(5, 100)); } /** * 判断两条线是否相交a线段1起点坐标 b 线段1终点坐标c 线段2起点坐标d 线段2终点坐标intersection 相交点坐标* reutrn 是否相交: 0 : 两线平行-1 : 不平行且未相交 1 : 两线相交*/ private static int GetIntersection(Point a, Point b, Point c, Point d) { Point intersection = new Point(0, 0); if (Math.abs(b.y - a.y) + Math.abs(b.x - a.x) + Math.abs(d.y - c.y) + Math.abs(d.x - c.x) == 0) { if ((c.x - a.x) + (c.y - a.y) == 0){ System.out.println("ABCD是同一个点！"); } else{ System.out.println("AB是一个点，CD 是一个点，且AC不同！"); }return 0; } if (Math.abs(b.y - a.y) + Math.abs(b.x - a.x) == 0) { if ((a.x - d.x) * (c.y - d.y) - (a.y - d.y) * (c.x - d.x) == 0){ System.out.println("A、B是一个点，且在CD线段上！"); } else{ System.out.println("A、B是一个点，且不在CD线段上！"); } return 0; } if (Math.abs(d.y - c.y) +Math.abs(d.x - c.x) == 0) { if ((d.x - b.x) * (a.y - b.y) - (d.y - b.y) * (a.x - b.x) == 0){ System.out.println("C、D是一个点，且在AB线段上！"); } else{ System.out.println("C、D是一个点，且不在AB线段上！"); } return 0; } if ((b.y - a.y) * (c.x - d.x) - (b.x - a.x) * (c.y - d.y) == 0) { System.out.println("线段平行，无交点！"); return 0; } intersection.x = ((b.x - a.x) * (c.x - d.x) * (c.y - a.y) -c.x * (b.x - a.x) * (c.y -d.y) + a.x * (b.y - a.y) * (c.x - d.x)) / ((b.y - a.y) * (c.x - d.x) - (b.x - a.x) * (c.y - d.y)); intersection.y = ((b.y - a.y) * (c.y - d.y) * (c.x - a.x) - c.y* (b.y - a.y) * (c.x - d.x) + a.y * (b.x - a.x) * (c.y - d.y))/ ((b.x - a.x) * (c.y - d.y) - (b.y - a.y) * (c.x - d.x));if ((intersection.x - a.x) * (intersection.x - b.x) <= 0&& (intersection.x - c.x) * (intersection.x - d.x) <= 0 && (intersection.y - a.y) * (intersection.y - b.y) <= 0 && (intersection.y - c.y) * (intersection.y - d.y) <= 0){ System.out.println("线段相交于点(" + intersection.x + "," + intersection.y + ")！"); return 1; // '相交} else{ System.out.println("线段相交于虚交点(" +intersection.x + "," + intersection.y + ")！");return -1; // '相交但不在线段上} } }========================下面是找到的另外的一种方法====================第二种方法: 利用斜率公式, 直线方程为ax+bx+c=0, 先求出a,b,c, 然后再求出交点Java代码public static void main(String[] args) { Point2D p1 = new Point2D.Double(10, 20); Point2D p2 = newPoint2D.Double(100, 200); Point2D p3 = new Point2D.Double(50, 20); Point2D p4 = newPoint2D.Double(20, 100); Param pm1 = CalParam(p1, p2); Param pm2 = CalParam(p3, p4); Point2D rp = getIntersectPoint(pm1, pm2);System.out.println("他们的交点为: (" + rp.getX() + "," +rp.getY() + ")"); } /** * 计算两点的直线方程的参数a,b,c * @param p1 * @param p2 * @return */ public static Param CalParam(Point2D p1, Point2D p2){ double a,b,c; double x1 = p1.getX(), y1 = p1.getY(), x2 =p2.getX(), y2 = p2.getY(); a = y2 - y1; b = x1 - x2;c = (x2 - x1) * y1 - (y2 - y1) * x1; if (b < 0){ a *= -1; b *= -1; c *= -1; }else if (b == 0&& a < 0) { a *= -1; c *= -1; } return new Param(a, b, c); } /** * 计算两条直线的交点* @param pm1 * @param pm2 * @return */ public static Point2D getIntersectPoint(Param pm1, Parampm2){ return getIntersectPoint(pm1.a, pm1.b, pm1.c,pm2.a, pm2.b, pm2.c); } public static Point2D getIntersectPoint(double a1, double b1, double c1, double a2, double b2, double c2){ Point2D p = null; double m = a1 * b2 - a2 * b1; if (m == 0) { return null; } double x = (c2 * b1 - c1 * b2) / m;double y = (c1 * a2 - c2 * a1) / m; p = newPoint2D.Double(x, y); return p; } 输出的结果为: Java代码求出该直线方程为: y=2.0x + -0.0 求出该直线方程为:y=-2.6666666666666665x + 153.33333333333334 他们的交点为: (32.857142857142854,65.71428571428571) 他们的交点为: (32.857142857142854,65.71428571428571)。
求两条线段的交点
求两条线段的交点 两条线段的两个端点坐标(x1,y1) (x2,y2) (x3,y3) (x4,y4) b1=(y2-y1)*x1+(x1-x2)*y1 b2=(y4-y3)*x3+(x3-x4)*y3 D=(x2-x1)(y4-y3)-(x4-x3)(y2-y1) D1=b2*(x2-x1)-b1*(x4-x3) D2=b2*(y2-y1)-b1*(y4-y3) 交点(x0,y0) x0=D1/D y0=D2/D推导：E. Covered Pointstime limit per test2 secondsmemory limit per test256 megabytesinputstandard inputoutputstandard outputYou are given nn segments on a Cartesian plane. Each segment's endpoints have integer coordinates. Segments can intersect with each other. No two segments lie on the same line.Count the number of distinct points with integer coordinates, which are covered by at least one segment.InputThe first line contains a single integer nn (1≤n≤10001≤n≤1000) — the number of segments.Each of the next nn lines contains four integers Axi,Ayi,Bxi,ByiAxi,Ayi,Bxi,Byi (−106≤Axi,Ayi,Bxi,Byi≤106−106≤Axi,Ayi,Bxi,Byi≤106) — the coordinates of the endpoints AA, BB (A≠BA≠B) of the ii-th segment.It is guaranteed that no two segments lie on the same line.OutputPrint a single integer — the number of distinct points with integer coordinates, which are covered by at least one segment.Examplesinput90 0 4 4-1 5 4 04 0 4 45 2 11 26 1 6 75 6 11 610 1 10 77 0 9 810 -1 11 -1output42input4-1 2 1 2-1 0 1 0-1 0 0 30 3 1 0output7The image for the first example:Several key points are marked blue, the answer contains some non-marked points as well.The image for the second example:求线段进过的整数点。
屏幕坐标系中求任意曲线交点的一种方法
屏幕坐标系中求任意曲线交点的一种方法
李亚安
【期刊名称】《微电子学与计算机》
【年(卷),期】1993(10)11
【摘要】本文讨论了用光栅比较法在屏幕坐标系中求任意曲线交点的一种方法.与传统的解析法相比,具有简单、准确等特点,且节省了大量的求交运算.
【总页数】3页(P44-46)
【关键词】计算机图形学;曲线
【作者】李亚安
【作者单位】西北工业大学航海工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.41
【相关文献】
1.用广义矩阵法求任意正交曲线坐标系中的导热方程 [J], 朱菊香;叶勤兴
2.极坐标系中求曲线的交点的方法 [J], 吕通恩;王明午
3.在极坐标系中,用解析法求曲线交点时,关于极点遗失问题粗探 [J], 张大海;
4.用广义矩阵法求任意曲线坐标系的积分方程 [J], 徐重光
5.求一般正交曲线坐标系中单位基矢之时空导数的一种简便方法 [J], 安秉权
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! 引言
再建立包围盒，然后重复进行包围盒的求交判断，直到包围盒小
两空间曲线求交计算是 NE+ O NE/ 经常遇到的问题，通常 的做法是将两曲线的方程联立求解 [ ! \ 。如果没有解析解，或者 解析法计算复杂，可以采用各种近似解，其中一种近似解法是
于一定尺寸。但上述两种方法计算量较大，甚至求解困难。本文 提出一种快速实用的曲线求交算法，算法分3; "5 - 0，…，/ , 边和第 $5 + $5 - 0，…，0 , 边，两个边
的相对位置有四种情况，分别如图 0 + 8 , 9 + : , 所示。其中 "a " 7
0 为一曲线控制多边形的其中一条边，$a $ 7 0 为另一曲线控制
多边形的其中一条边，!0 是 + "a " 7 0 , 边到 + "a $ , 边连线的有向 夹角，!" 是 + "a " 7 0 , 边到 + "a $ 7 0 , 边连线的有向夹角，!! 是 + $a $ 7 0 , 边到 + "a $ , 边连线的有向夹角，!5 是 + $a $ 7 0 , 边到 + $a " 7 0 , 边连线的有向夹角。规定逆时针方向角为正，顺时针
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《机械设计与制造》 ,GAR #&&’ -6R % /5G=01CFM +C@021 _ /51BD5GABFC
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文章编号：!&&! ^ X**) $ #&&’ ( &% ^ &&%% ^ &#
一种快速求取空间任意两条曲线交点的算法
方向角为负，判断规则如下。
图 0 线段相互位置关系 如果 !0 与 !" 方向相反，则进一步判断 !! 与 !5，如果 !! 与 !5 方向相反，则所对应的两条曲线存在相交的可能性，而且交 点在由 + !" $ 0/ !"/ !" 7 0/ !" 7 " , 所定义的那段曲线与 + -$ $ 0/ -$/ -$ 7 0/ -$ 7 " , 所定义的那段曲线上，所对应的参数区间为 2 &"/ &" 7 0 3 和 2 +$/ +$ 7 0 3 ，如图 0 + 8 , 所示。如果 !! 与 !5 方向相同，则所对应的 两条曲线没有交点，如图 0 + : , 所示。如果 !0 与 !" 方向相同，则
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$ 0 ! $ ! 0 -. ) !
其中 .0 ’00，( - .，0，…，/ $ !，.0 ,00，. - .，0，…，0 $ !。
"6 0 判断两条曲线是否有可能相交以及存在交点区间
由 # $ %&’()* 曲线定义可知，顺序连接控制顶点的折线可组
成 # $ %&’()* 控制多边形。上面两条曲线，对于控制顶点 !"，" ./ 0/ …1 /，其节点矢量 2 -D&.，&0，…，&/ 7 5E，曲线定义域 &6 2 +!，&/ 7 0E，在定义域内不含重节点时，曲线段数为 / $ " 段，控 制多边形的边数为 / 条。对于控制顶点 #$，$ ! ./ 0/ …/ 0，其节 点矢量 3 4 2 +.，+0 ，…，+0 7 5E，曲线定义域 +6 2 +!，+0 7 0E，在定 义域内不含重节点时，曲线段数为 0 $ " 段，控制多边形的边数
《机械设计与制造》 @<=6 "..5 JP6 E C8<Q()*RS H*%(T) I C8)UV8<=UR*
" 算法原理
下面以均匀三次 # $ %&’()* 曲线 + 开曲线 , 为例，说明算法的
原理和步骤。
给定控制顶点 !"，" - ./ 0/ …/ )，及控制顶点 #$，$ - ./ 0/
…/ 1，则空间两条曲线为 2 " 3 2 ! 3
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设计变量自动搜索寻优计算，弥补了过去在实体结构上只能进行 # 张立明 R 人工神经网络的模型及其应用 R 上海：复旦大学出版社，!**’R
方案式比较优化的缺陷，消除了人为因素的影响。因此利用 PQ 神经网络模型进行优化计算要比在有限元模型上容易得多。
（#）利用 PQ 网络的自学习功能和分布式处理功能，可以实 现传动系统知识的自动获取，但仅靠神经网络还不能完全满足 实际复杂系统设计的需求，还应考虑引入其他智能系统来对 PQ 网络进行全局的优化设计。
为 0 条。另外，# $ %&’()* 曲线具有局部支撑性，移动第 " 个控
制顶点，至多将影响到定义在区间 + &"1 &" 7 5 , 上那部分曲线的形 状203 2"3。
判断两条曲线是否有可能相交，可利用控制多边形进行判
断，如果两条曲线的控制多边形存在相交的可能，则两条曲线
也同样存在相交的可能。判断方法如下：首先取两条曲线控制
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1!5!( !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" 【摘要】求空间两条曲线的交点是 NE+ O NE/ 重要内容之一，它的准确性与效率直接影响系统的可
靠性与实用性。通常是将两条曲线的方程联立求解，或者是对曲线建立包围盒。但上述两种方法计算量 较大，甚至求解困难。这里提出一种快速实用的曲线求交算法，具有较高的稳定性和可靠性。该算法分两 步进行，首先根据 P 样条曲线的控制多边形判断两条曲线是否相交，并求出两条曲线存在交点的可能参 数区间，然后在此区间内，利用控制顶点算出所对应的曲线段，进行精确求交计算。与常用的包围盒方法 相比，该算法效率高、精度易于控制，并通过实例验证算法的有效性。
$ ! ( 首先判断两条曲线是否有可能相交，求出存在交点的可
将曲线“化为”直线段的集合，然后求直线段的交点，这个交点 能区间。
就作为曲线求交的近似解。也可以对曲线建立包围盒 [ ! \ ，当两
$ # ( 在两条曲线存在交点的区间内，计算两条曲线的最短距
曲线的包围盒相交时，把曲线分割为两条子线段，对于子线段 离 U01]>0@，当 &0U01]>0@0 ! 时，所对应的点即为交点，否则两
条曲线不相交。
%来稿日期：#&&’ ^ &X ^ &)
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性关系转换成了纯粹的数学关系，采用多水平正交表选取样本， 神经网络设计 R 北京：机械工业出版社，#&&XR
931 6&’24：:")3’43/)(&" &, /.’734; !$%&’()*+; < = 45$("3 /.’73; >’33 = ,&’+ /.’73
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中图分类号：SQX*!R )# 文献标识码：E
所对应的两条曲线没有交点，如图 0 + ; , 和图 0 + < , 所示。
上述判断原理的算法步骤为：
%=*&06 分别选取两条曲线控制多边形的其中一条边。
%=*&"6 计算 !0 和 !"，如果 !0 与 !" 方向相反，计算 !! 与 !5，如果 !! 与 !5 方向相反，则所对应的两条曲线存在相交的可 能性，分别记录所对应的控制顶点 + !" $ 0/ !"/ !" 7 0/ !" 7 " , 、+ -$ $ 0/ -$/ -$ 7 0/ -$ 7 " , 及参数区间，以备下一步处理。如果 !! 与 !5 方向相 同，则所对应的两条曲线没有交点。如果 !0 与 !" 方向相同，则 所对应的两条曲线也没有交点。
计中的应用 R 机械设计与制造工程，#&&# $ # ( R Y 飞思科技产品研发中心 R /ESZEPYR % 辅助神经网络分析与设计 R 北
京：电子工业出版社，#&&XR ) 黄润青，杨汝清，陈亮，袁池 R PQ 神经网络在减速器回差数据拟合中
的应用 R 机械与电子，#&&#（%）R
7 9: 7
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董明晓 !" # 郑康平 #
$ ! 山东建筑工程学院，济南 #%&&!’ ( $ # 西安交通大学，西安 )!&&’* ( !" #$%&’()*+ ,&’ -.(/0$1 ,("2("% )*3 (")3’43/)(&" 5&(") &, )6& ’#"2&+ /.’734 (" 45#/3