12.4用公式法进行因式分解1
因式分解——运用公式法
因式分解——运用公式法因式分解是一种将多项式表达式表示为若干个更简单的乘积形式的方法。
这种分解有许多不同的方法，其中之一是公式法。
公式法是一种将多项式分解为两个不可约的因子的方法，其中一个因子为公因式，另一个则为多项式的剩余因子。
本文将详细介绍使用公式法进行因式分解的步骤和技巧。
首先，我们需要明确所给多项式的形式，并找出其中的特征和模式。
一般来说，多项式可以表达为如下形式之一：$ax^2 + bx + c$，$ax^3 + bx^2 + cx + d$，或者其它类似形式。
接下来，我们需要寻找多项式的因子。
寻找因子的方法主要有以下几种：1.公因式法：如果多项式的各项都有一个或多个公因子，那么我们可以先将这些公因子提取出来，然后再对剩余的部分进行进一步的分解。
例如，对于多项式$2x^2+4x$，我们可以先提取出公因子2，得到$2(x^2+2x)$，然后再对括号中的部分进行分解。
2.模式法：有些多项式具有特定的模式，我们可以利用这些模式进行因式分解。
例如，多项式$x^2-y^2$具有差平方模式，我们可以将其分解为$(x+y)(x-y)$。
3.公式法：一些多项式可以通过特定的公式直接进行因式分解。
例如，二次三项式可以使用二次公式进行因式分解，三次三项式可以使用三次公式进行因式分解。
下面以一些例子来进一步说明公式法的具体步骤和技巧。
例子1：分解多项式$a^2-b^2$。
这个多项式具有差平方模式，我们可以根据差平方公式进行分解。
差平方公式表示为$(a+b)(a-b)$，其中$a$是一个数，$b$是一个数。
将这个公式应用于我们的多项式，我们可以得到$(a+b)(a-b)$。
所以，多项式$a^2-b^2$可以分解为$(a+b)(a-b)$。
例子2：分解多项式$4x^2-9y^2$。
这个多项式还是具有差平方模式，我们可以将其分解为$(2x)^2-(3y)^2$，再根据差平方公式进行因式分解。
根据差平方公式，我们可以将其分解为$(2x+3y)(2x-3y)$。
12.4.3因式分解公式法
3.结论： （正底+负底）（正底-负底）
4.a与b可以取哪些： 单项式，多项式
方法探究
将下面的多项式分解因式 1) m² - 16 2) 4x²- 9y²
1.文字语言描述： 两数的平方差等于这两数和乘以这两数差 2.使用条件：
两项；一正一负；两项都能改写成整式的平方的形式
x y 3
2
7、如果100x2+kxy+y2可以分解为 （10x-y)2,那么k的值是（ B ） A、20 B、-20 C、10 D、-10 8、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式， B） 那么m的值为（ A、6 B、±6 C 、3 D、±3
9、把 a b 4 a b 4 分解因式得 C （ ） 2 2 a b 1 A、 a b 1 B、 2 2 C 、 a b 2 D、 a b 2
10.（2010·眉山中考）把代数式 m x
结果中正确的是（
2 m ( x 3) A．
2
6 m x 9 m 分解因式，下列
2 m ( x 3) D．
）
2 m ( x 4 ) C．
m ( x 3)( x 3) B．
11.（2010·黄冈中考）分解因式：2a2–4a+2
12.（2010·杭州中考）因式分解：9x2－y2－4y－4＝__．
3.结论： （正底+负底）（正底-负底）
4.a与b可以取哪些： 单项式，多项式
（正底+负底）（正底-负底）
例1.把下列各式分解因式
（1）16a² -1 ( 2 ) 4x² - m² n²
山东省聊城市高唐县第二实验中学七年级数学下册 12.4
用公式法进行因式分解 学习目标：1、通过乘法公式的逆向观察，能用公式法分解因式；2、会根据公式的特点，对某些能直接运用公式的多项式进行分解因式。
重点：公式法因式分解难点：根据公式的特点灵活选用公式进行因式分解学习过程：一、预习导航：1、填空：（1）()222=b a （2）()22251=x2、把下列各式因式分解：（1）y x z x 26- （2）()a a m -+-323）（3、完成下列填空：（a ＋b ）(a －b)＝________ ； （a ＋b ）2＝_______ ，（a －b ）2＝_________ __ 。
4、自学教材121页，相信你能很快写出下面的答案！（1）、22b a -＝（ ）（ ）（2）、=++222b ab a （ ）2 （3）、=+-222b ab a （ ）2二、典型例题：例1：把下列各式进行因式分解（1）4x 2-25 （2）16a 2-9b 2概括：1、能用平方差公式分解因式的多项式有什么特点？例2：把下列各式进行因式分解(1) 25x 2+20x+4 (2) 9m 2-6mn+n 2 （3）x 2+x+41概括：2、能用完全平方公式分解因式的多项式有什么特点？三、基础练习：1、完成122页练习1、2。
2、把下列各式进行因式分解（1)、14-x （2）、()()122++-+y x y x温馨提示： 1、因式分解一定要彻底，即分解到每个因式再也不能分解为止；2、可用整式乘法检验因式分解的正确性。
挑战自我: 多项式4x 2-x 加上怎样的单项式 ， 就成为一个完全平方式？多项式0.25x 2+1呢？四、达标测试：1、在22y x - ；22y x +；22y x +-；22y x --中能用平方差公式分解因式的有（ ）个。
A 、1B 、2C 、3D 、42、下列各式不是完全平方式的是（ ）A 、442++x xB 、222y xy x +-C 、1222++xy y xD 、2221n mn m +- 3、把下列各式进行因式分解（1）()12-+b a （2） x x 14492++（3）22254y x - （4）2mn-m 2-n 2五、作业：必做：课本P124习题：12.4 第2题 选做：第6题（2）（4）六、个案补充第41课时 12.4用公式法进行因式分解（2）学习目标：1、综合运用提公因式法和公式法进行因式分解。
因式分解的公式法
因式分解的公式法
因式分解是将一个多项式表达式写成若干个因式相乘的形式。
有以下几种常用的公式法进行因式分解：
1. 公因式提取法：
当多项式的每一项都有一个公因子时，可以将这个公因子提
取出来。
例如：2x + 4y = 2(x + 2y)
2. 完全平方公式：
当一个二次多项式是一个完全平方时，可以使用完全平方公
式进行因式分解。
例如：x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2
3. 差平方公式：
当一个二次多项式可以表示为两个项的差的平方时，可以使
用差平方公式进行因式分解。
例如：x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)
4. 因式定理：
当一个多项式可以被一个因式整除时，可以使用因式定理进
行因式分解。
例如：x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)
5. 一般情况下，可以使用试除法、短除法等方法进行因式分解。
以上是一些常用的公式法进行因式分解的方法，具体的应用需要根据多项式的形式和特点来选择相应的方法进行因式分解。
青岛版七年级下册数学 用公式法进行因式分解素养提升练习(含解析)
第12章乘法公式与因式分解12.4用公式法进行因式分解基础过关全练知识点1用平方差公式分解因式1.(2021浙江杭州中考)因式分解:1-4y2=()A.(1+2y)(1-2y)B.(2+y)(2-y)C.(2+y)(1-2y)D.(1+2y)(2-y)2.(2023浙江绍兴柯桥期中)下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是()A.x2+9y2B.3x2-9yC.-x 24+y29D.−x24−y293.(2023甘肃兰州中考)因式分解:x2-25y2=.4.【一题多变】(2023吉林长春中考)分解因式:m2-1=. [变式:先提公因式再用公式法分解因式](2022山东淄博中考)分解因式:x3-9x=.5.分解因式:(1)3x-12x3.(2)(a+b)2-c2.知识点2用完全平方公式分解因式6.给出下列多项式:①x2+2xy-y2;②-x2-y2+2xy;③x2+xy+y2;④4x2+1+4x.其中能用完全平方公式分解因式的是()A.①②B.②③C.①④D.②④7.【易错题】(2023四川眉山中考)分解因式:x3-4x2+4x=.8.(2023山东菏泽二模)若a+b=2,ab=-2,则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为.9.分解因式:(1)-x3y+2y2x2-xy3.(2)1-a2+2ab-b2.10.利用因式分解计算:2072-414×297+2972.11.【新独家原创】已知9a2+b2+6a-6b+10=0,求(ab)2 024的值.能力提升全练12.(2023浙江杭州中考,3,★☆☆)分解因式:4a2-1=()A.(2a-1)(2a+1)B.(a-2)(a+2)C.(a-4)(a+1)D.(4a-1)(a+1)13.(2023湖南张家界中考,10,★☆☆)因式分解:x2y+2xy+y=.14.(2023山东菏泽中考,9,★☆☆)因式分解:m3-4m=.15.(2023山东东营中考,12,★★☆)因式分解:3ma2-6mab+3mb2=.16.(2023黑龙江绥化中考,13,★★☆)因式分解:x2+xy-xz-yz=.17.【一题多解】(2022四川广安中考,12,★★☆)已知a+b=1,则代数式a2-b2+2b+9的值为.18.(2023山东济宁中考改编,14,★★☆)已知有理数m满足m2-m-1=0,则2m3-3m2-m+9=.素养探究全练19.【运算能力】【新考向·阅读理解题】(2023山东枣庄滕州期末)阅读下列材料:对于二次三项式x2+2ax+a2这样的完全平方式,可以用公式法将它分解成(x+a)2的形式,但是对于二次三项式x2+2ax-3a2,就不能直接应用完全平方公式,我们可以在二次三项式x2+2ax-3a2中先加一项a2,使其一部分成为完全平方式,再减去a2项,使整个式子的值不变,于是有下面的因式分解:x2+2ax-3a2=x2+2ax+a2-a2-3a2=(x+a)2-4a2=(x+a)2-(2a)2=(x+3a)(x-a).领会上述解决问题的思路、方法,认真分析完全平方式的构造,结合自己对完全平方式的理解,解决下列问题:(1)因式分解:①x2-4x+3.②(x2+2x)2-2(x2+2x)-3.(2)【拓展】因式分解:x4+4.答案全解全析基础过关全练1.A1-4y2=12-(2y)2=(1+2y)(1-2y).故选A.2.C-x 24+y29=(-x2+y3)(x2+y3).故选C.3.(x-5y)(x+5y)解析x2-25y2=x2-(5y)2=(x-5y)(x+5y).4.(m+1)(m-1)[变式]x(x+3)(x-3)解析原式=x(x2-9)=x(x+3)(x-3).5.解析(1)3x-12x3=3x(1-4x2)=3x(1+2x)·(1-2x).(2)(a+b)2-c2=[(a+b)+c][(a+b)-c]=(a+b+c)·(a+b-c).6.D-x2-y2+2xy=-(x2-2xy+y2)=-(x-y)2,4x2+1+4x=(2x+1)2.故选D.7.x(x-2)2解析本题解答过程中易只提公因式,不用公式法分解,导致分解不彻底.原式=x(x2-4x+4)=x(x-2)2.8.-8解析a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2,把a+b=2,ab=-2代入,得原式=-2×22=-8.故答案为-8.9.解析(1)原式=-xy(x2-2xy+y2)=-xy(x-y)2.(2)原式=1-(a2-2ab+b2)=1-(a-b)2=(1+a-b)(1-a+b).10.解析2072-414×297+2972=2072-2×207×297+2972=(207-297)2=(-90)2=8 100.11.解析∵9a2+b2+6a-6b+10=0,∴9a2+6a+1+b2-6b+9=0,∴(3a+1)2+(b-3)2=0,∴3a+1=0,b-3=0,解得a=-13,b=3,则(ab)2 024=[(-13)×3]2 024=1.能力提升全练12.A4a2-1=(2a)2-12=(2a-1)(2a+1).故选A.13.y(x+1)2解析x2y+2xy+y=y(x2+2x+1)=y(x+1)2.14.m(m+2)(m-2)解析原式=m(m2-4)=m(m+2)(m-2).15.3m(a-b)2解析3ma2-6mab+3mb2=3m(a2-2ab+b2)=3m(a-b)2.16.(x+y)(x-z)解析原式=(x2+xy)-z(x+y)=x(x+y)-z(x+y)=(x+y)(x-z).17.10解析解法一:∵a+b=1,∴a2-b2+2b+9=(a+b)(a-b)+2b+9=a-b+2b+9=a+b+9=1+9=10. 解法二:a2-b2+2b+9=a2-(b2-2b+1)+10=a2-(b-1)2+10=(a+b-1)(a-b+1)+10,∵a+b=1,∴原式=0+10=10.18.8解析∵m2-m-1=0,∴m2-m=1,∴2m3-3m2-m+9=(2m3-2m2)-m2-m+9=2m(m2-m)-m2-m+9=2m-m2-m+9=-m2+m+9=-(m2-m)+9=-1+9=8.素养探究全练19.解析(1)①原式=x2-4x+4-1 =(x-2)2-1=(x-2+1)(x-2-1)=(x-1)(x-3).②原式=(x2+2x)2-2(x2+2x)+1-4 =(x2+2x-1)2-4=(x2+2x-1-2)(x2+2x-1+2)=(x2+2x-3)(x2+2x+1)=(x-1)(x+3)(x+1)2.(2)原式=x4+4x2+4-4x2=(x2+2)2-4x2=(x2+2+2x)(x2+2-2x).。
七年级数学下册12.4用公式法进行因式分解2
a2b2(ab)a (b)
20a 21/122/1 2 2abb2ab2
第三页，共十三页。
在因式分解时，如果发现(fāxiàn)各项中含有公因式，应该先把它提 出来，然后再进一步因式分解。例如：
例1 把下列(xiàliè)各式因式分解：
(1)-2x4+32x2
(2)3ax2-6axy+3ay2
(1)(a-2b)2-(2a+b)2 解：
原式
(2)50n-20n(x-y)+2n(x-y)2 解：原式
=[(a-2b)+(2a+b)][(a-2b)-(2a+b)]
=2n[25-10(x-y)+(x-y)2]
=(3a-b)(-a-3b)
a3b3ab
=2n[52-2×5(x-y)+(x-y)2]
=2n[5-(x-y)]2=2n(5-x+y)2
=(3a-b)(-a-3b)
a3b3ab
2021/12/12
第六页，共十三页。
5 0 n2 0 nxy2 nxy2
解：
原式 2n 2510xyxy2
2 n 5 2
25•xy x
y
2
2n5xy2
2n5xy2
2021/12/12
第七页，共十三页。
例2 把下列(xiàliè)各式进行因式分解：
平方差公式(gōngshì)的逆
用a2b2(ab)a (b)
完全平方公式的逆用
a22abb2ab2
主20要21/1检2/12验除公因式以外的多项式还能不能继续分解！
第十二页，共十三页。
内容(nèiróng)总结
12.4 用公式法进行。12.4 用公式法进行。当各项系数都是整数时，它们(tā men)的最大公约数就是公因式的 系数。公因式的字母应是多项式各项中都含有的字母，其指数取最低的。例2 把下列各式进行因式分解：。例2
初中数学_用公式法进行因式分解教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计学情分析学生已经学习了乘法公式中的完全平方公式和平方差公式，在上一节课学习了提公因式法和平方差公式分解因式，初步体会了分解因式与整式乘法的互逆关系，为本节课的学习奠定了良好的基础。
学生已经建立了较好的预习习惯，为本节课的难点突破提供了先决条件。
效果分析通过本节课的学习，大部分学生能够发现用公式法进行因式分解与乘法公式互为逆运算，能够说出平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能运用公式法进行因式分解。
但一部分同学因为公式不熟，用错公式，还有几个同学对因式分解的概念理解不足，在计算时错用乘法公式，因此还应多加强练习，并及时反馈。
总体来说，安排的检测题题型并不复杂，直接运用公式不超过两次，习题难易有梯度，满足不同层次学生的需要。
教材分析分解因式与数系中分解质因数类似，是代数中一种重要的恒等变形，它是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，是整式乘法的逆向变形。
在后面的学习过程中应用广泛，如： 将分式通分和约分，二 次 根 式 的 计 算 与 化 简 ， 以及解方程都将以它为基础。
因此分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用。
同时， 在因式分解中体现了数学的众多思 想，如：“化归”思想、“类比”思想、“整体”思想等。
因此，因式分解的学习是数学学习的重要 内容。
根据《课标》的要求，本 章 介 绍 了 最 基 本 的 两 种 分 解 因 式 的 方 法 ： 提公因式 法和运用公式法（平方差、完全平方公式）。
因此公式法是分解因式的重要方法之一， 是现阶段的学习重点。
评测练习一、选择题(5分)1.下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）A.y 2－49x 2B.4491x - C.－m 4－n 2 D.9)(412-+q p2.下列各式中，可用平方差公式分解因式的是（ ） A.a ²+b ² B. －a ²－b ² C.－a ²+b ² D. a ²+(-b)²3．下列因式分解错误的是（ ） A.1－16a 2＝（1＋4a ）（1－4a ） B.x 3－x ＝x （x 2－1）C.a 2－b 2c 2＝（a ＋bc ）（a －bc ）D.)l .032)(32l .0(l 0.09422n m m n n m -+=- 4.下列各式分解因式的结果是-（2x-y ）(2x+y)的是（ ） A.4x ²-y ²B. 4x ²+y ²C. -4x ²-y ²D. -4x ²+y ²5.把x ²-22x+121分解因式可得（ ） A.（x-11）² B. （x+11）² C. x(x-22)+121 D.(x-11)(x+11)二、解答题（10分）1.9a 2－41b 2 2.9a 2+6ab+b 23.m 2–9132+m 214.4x x ++2225.25a b c -课后反思没有一节课能够做到真正的完美,总是会有这样那样的不足,而这些不足和遗憾,正是提升我们教学水平的动力。
因式分解的十二种方法
因式分解的十二种方法因式分解是一种将一个数或代数式分解成更简单的乘积的方法。
在数学中，有很多种因式分解的方法可以使用，根据不同的情况可以采用不同的方法，下面将介绍十二种常见的因式分解方法。
1.提取公因子法：当一个式子存在公因子时，可以先将公因子提取出来，然后再进行进一步的因式分解。
2. 公式法：利用公式进行因式分解，例如(a+b)^2=a^2+2ab+b^23.分组法：将一个多项式按照不同的组合方式进行分组，然后再分别进行因式分解，最后将得到的结果合并。
4.平方差公式法：对于一个二次型式，可以利用平方差公式进行因式分解，例如a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
5. 完全平方公式法：对于一个完全平方式，可以通过完全平方公式进行因式分解，例如a^2+2ab+b^2=(a+b)^26. 二次因式法：对于一个二次多项式，可以通过二次因式法进行因式分解，例如ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为方程ax^2+bx+c=0的根。
7.和差立方公式法：对于一个和差立方的多项式，可以通过和差立方公式进行因式分解。
8. 因式分解的配方法：通过配方法进行因式分解，例如ab+ac=a(b+c)。
9.分解因式法：将一个多项式根据不同的性质进行因式分解，例如差平方分解、和的平方分解等。
10.二次根与一次根相结合法：对于一个多项式，通过将二次根与一次根相结合，得到更简单的因式分解结果。
11. 分组求积法：对于一个多项式，可以通过分组求积法进行因式分解，例如(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd。
12.全等公式法：利用全等公式进行因式分解。
以上是常见的十二种因式分解方法。
不同的方法适用于不同的情况，需要根据具体的问题选择合适的方法进行因式分解。
因式分解是数学中的一个重要概念，通过因式分解可以简化计算过程，提高解题效率。
因此，掌握不同的因式分解方法对于提高数学能力和解决实际问题都有很大的帮助。
限时作业
11.1同底数幂的乘法1、下列计算正确的是( )A.、 a · a 2＝ a 2B.、 a ＋a 2 ＝ a 3C. 、 a 3 · a 3＝ a 9D. 、 a 3＋a 3 ＝ 2a 32、下列各式中，计算结果为x 7的是（ ）A 、（-x ）2(-x)5B 、（-x ）2x 5C 、（-x ）3(-x 4)D 、（-x ）(-x)63、y 2m+2可以写成（ ）A 、2y m+1B 、y 2m y 2C 、y 2 y m+1D 、y 2m + y 24、如果a 2m-1a m+2=a 7,则m 的值为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、55、计算：⑴2755⨯ ⑵32777⨯⨯⑶()()3m c c -- ⑷3n a a a ⋅⋅(5) 221m m b b + ⑹()()()32x y x y x y +++ 拓展题：1、已知2,8m n a a ==，求m n a +2、（x-y ）2（y-x ）3（x-y ）43、(4×10n ) ×(2×102)4、计算：a 3 · a 5+ a·a 3 · a 45、已知：x 3 · x 2m+1 x m = x 31,求m 的值。
11.2积的乘方与幂的乘方（1）1、下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？（2分）①②③2、计算：（每题一分）（1）（2）（3）（4）3、（1）（2）（3）（4）拓展题：1、①②③④2、计算：（1）（2）11.2积的乘方与幂的乘方（2）1、若x m·x2m=2，求x9m=__________2、若a2n=3，求（a3n）4=____________。
3、已知a m=2,a n=3,求a2m+3n=___________.4、如果x2n=3，则（x3n）4=_____．5、已知a2m=2，b3n=3，求（a3m）2－（b2n）3+a2m·b3n的值．6、若2x=4y+1，27y=3x- 1，试求x与y的值．7．已知：3x=2，求3x+2的值．8．若52x+1=125，求（x－2）2011+x的值．11.3单项式的乘法（1）1、判断正误(1)43a·22a=86a( )(2)26a·32a=58a( )(3)-62x·3xy=183x y( )(4)(-2x2y)(-3xyz)=-62x3y( )2. 计算(1) 3x2y·(-2xy3)(2) (-5a2b3)·(-4b2c)3.计算(-2a2)3 ·(-3a3)2(-2a4b)(-3abc)4、光速约为3 ×108米/秒，太阳光射到地球上的时间约为5 ×102秒，则地球与太阳的距离是多少米？5、小明的步长为a米，他量得客厅长15步，宽14步，请问小明家客厅有多少平方米？11.3 单项式的乘法（2）1、计算：（2）)(32xy y x xy - （2）(－4x 2＋6x －8)·（－21x 2）2、计算：（1）x (x 2－xy ＋y 2)—y(x 2＋xy ＋y 2)(2) (2x 2)3－6x 3(x 3＋2x 2＋x)3、化简：（1）)5.15(232a a a +-（2）)3)(349231(22a ab b ---（3）))(4()3(322xy xy xy --+（4）)]3(2[223---t t t t11.4多项式乘多项式（1）1、计算(2x －3y )(4x 2＋6xy ＋9y 2)的正确结果是( )A ．(2x －3y )2B ．(2x ＋3y )2C ．8x 3－27y 3D ．8x 3＋27y 32、方程(x ＋4)(x －5)＝x 2－20的解是( ) A ．x ＝0 B ．x ＝－4C ．x ＝5D ．x ＝403、计算(2a －3b )(2a ＋3b )的正确结果是() A ．4a 2＋9b 2B ．4a 2－9b 2C ．4a 2＋12ab ＋9b 2D ．4a 2－12ab ＋9b 24、计算：（1）(2)(53)x y a b --（2）22()()a b a ab b -++5、先化简，再求值：(3)(3)(2)x x x x +---，其中4x =。
青岛版数学七下12.4《用公式法进行因式分解》ppt课件1
PPT素材：/sucai/ PPT图表：/tubiao/ PPT教程： /powerpoint/ 范文下载：/fanwen/ 教案下载：/jiaoan/ PPT课件：/kejian/ 数学课件：/kejian/shu xue/ 美术课件：/kejian/me ishu/ 物理课件：/kejian/wul i/ 生物课件：/kejian/she ngwu/ 历史课件：/kejian/lish i/
• 学习目标： • 1、理解因式分解中的平方差公式、完全平
方公式的意义。ห้องสมุดไป่ตู้
• 2、能运用公式法对多项式进行因式分解。 • 3、了解因式分解的一般步骤。
• 学习重点：能运用公式法对多项式进行因 式分解
• 学习难点：公式法的正确运用
回
顾
思
考
下列各式分解因式：
(1)3a3b2－12ab3
(2)x(a+b)+y(a+b)
课堂小结
公式法因式分解：
平方差公式 完全平方公式
a2-b2= (a+b)(a-b) a2-2ab+b2=(a-b)2 a2+2ab+b2=(a+b)2
当堂检测
(1)1469 x2-36y2 (2)4x2-12xy+9y2 (3)a4-b4 (4)(p+q)2+4(p+q)+4 (5)9m2-6mn+n2
a2+2ab+b2=(a+b)2
这两个公式的特点形象的表示成：
平方差公式： 2
2
2
完全平方公式： 2
用公式法进行因式分解
12、4用公式法进行因式分解（第1课时）学法指导:1．教学方法：讲练结合法、自主学习、小组探究合作．2．学生学习本节时，要注意：（1）进一步弄清因式分解与整式乘法的区别和联系。
（2）分解因式时，要先观察题目的结构特征，看使用哪个公式，同时要养成及时检验的学习习惯。
学习目标1．理解运用公式法因式分解的含义，熟记因式分解公式。
2．搞清楚每个公式的特征，能运用公式进行因式分解。
3．探究逆用乘法公式的过程中培养逆向思维和观察能力。
学习重难点：1、重点：用公式法进行因式分解。
2、难点：“灵活”运用平方差、完全平方公式解决实际问题。
学习过程：（一）温故知新，情境导航：1、什么叫因式分解？我们学过的因式分解的方法是什么?2、因式分解与整式乘法有什么区别和联系？你能对a 2-b 2，a 2+2ab+b 2，n 2-4进行因式分解吗？（二）课堂探究：探究一：平方差篇（一）根据乘法公式计算：① =_________ ② =_________③ =_________（二）根据等式的对称性填空① =_________② =_________③ =_________(2)(2)m m +-()()a b a b -+)22)(22(-+n n 42-m 22b a -442-n讨论：对比（一）和（二）你有什么发现？结合上面规律把平方差公式反过来进行因式分解，你会得到什么？（学生总结）平方差公式因式分解特征：典题探讨（1）4 x 2-25 (2) 16a 2 -9 b 2探究二：完全平方差篇（一）根据乘法公式计算：① =_________ ② =_________③ =_________（一）根据乘法公式计算：① =_________ ② =_________③ =_________讨论：对比（一）和（二）你有什么发现？结合上面规律把完全平方公式反过来进行因式分解，你会得到什么？（学生总结）完全平方公式因式分解特征：例2：把下列各式进行因式分解: (1)25x 2+20x+4 (2)9m 2-6mn+n 2 （3）（三）课堂小结，回顾反思学习了本节课，你有什么收获？如何利用乘法公式进行因式分解？说出来与大家分享吧！2)(b a +2)(b a -2)2(+m 222b ab a ++222b ab a +-442++m a 41x x 2++（四）课当堂检测1、因式分解(1) 4x 2-16y 2 (2)64m 2-25n 2(3)4x 2-12xy+9y 2 (4)81m 2-144mn+64n 22、多项式4 x 2-x 加上一个怎样的单项式，就成为一个完全平方式？并对其进行因式分解（五）课后作业必做题：习题12.4第1题。
用公式法进行因式分解
用公式法进行因式分解因式分解是数学中的重要概念之一，它可以将一个多项式分解成若干个乘积的形式，方便我们进行进一步的运算和简化。
下面我们将通过公式法来学习因式分解的方法，帮助大家更好地掌握这一知识点。
一、什么是因式分解因式分解是指将一个多项式化为由若干个因子相乘的形式。
这些因子可以是一次式、二次式、甚至高次式。
因式分解是解决方程、求导、求极值等问题的基础之一，是数学中必不可少的知识点。
二、如何用公式法进行因式分解通过观察多项式中各项的项数、次数以及系数的情况，我们可以尝试使用公式法进行因式分解。
以下是一些常见的公式：1、平方差公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$2、配方法公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$3、三次方差公式：$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$，$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$4、四次方差公式：$a^4-b^4=(a^2+b^2)(a^2-b^2)=(a^2+b^2)(a+b)(a-b)$5、完全平方公式：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$使用这些公式可以大大简化因式分解的过程，但是不同的多项式使用的公式可能不同，需要根据具体情况进行分析。
三、实例演示下面我们通过一个实例来演示如何用公式法进行因式分解。
将多项式$x^3-4x^2+3x+18$分解因式。
首先我们观察多项式中各项的项数、次数以及系数的情况，可以发现它们之间并没有特别明显的关系。
因此我们可以尝试使用配方法公式进行因式分解。
将$x^3-4x^2+3x+18$按照$x^3$和$-4x^2$为一组，$3x$和$18$为一组，得到：$x^3-4x^2+3x+18=(x^3-4x^2)+(3x+18)=x^2(x-4)+3(x+6)$这里使用了$x^2$作为公因式，然后将剩余部分分别提取，得到最终的因式分解形式。
山东省泰安市东平县戴庙乡中学数学(青岛版)七年级下册：12.4用公式法进行因式分解(2)
第四关：总结概括
（1）形如___a_2___2_a__b__zxx_kwb_2__形式的多项式可以用完全
平方公式分解因式。 （2）因式分解通常考虑__提__取__公__因__式__法__再考虑其它方法, 并且因式分解要彻底。 （3）注意_整__体__数学思想和_换__元__数学思想。
思考题：
那么m的值为（
B）
A、6 B、±6
C、3 (x D3、y)±2 3x2 6xy 9 y2
m 6
过关测试
5.已知x,
y满足2xzxxxkw 3
y y
16，不解方程组，
求7 y(x 3y)2 2(3y x)3的值。
解：7 y(x 3y)2 23y x3
7 y(x 3y)2 2[(3y x)]3 7 y(x 3y)2 2 (1)3(x 3y)3
7 y(x 3y)2 2(x 3y)3
(x 3y)2[7 y 2(x 3y)]
(x 3y)2 ( y 2x) 12 6 6
zxxkw
运用完全平方公式
戴庙中学 王保瑞
第一关：知识回顾
问题1：整式乘法中的平法差公式是怎样的?
zxxkw
答案: (a b)(a b) a2 b2
问题2：因式分解中的学平科网法差公式是怎样的?
答案：a2 b2 (a b)(a b)
你能熟练的运用平方差公式进行因式分解吗？
998（ 2）1 1997
过关测试
1.把下列式子分解因式： （20分） （1） 2a3b 8a2b2 8ab3; (2)(x zxxkw y)2 4(x y 1);
(3)(x2 y2)2 4x2 y2; (4)(x2 2x)2 2(x2 2x) 1;
七年级数学下册 12.4 用公式法进行因式分解 因式分解
因式分解中考风向标一、 直接提公因式提公因式法是分解因式时的首选方法.对于一个多项式，首先要看能否提公因式，其次才考虑其他方法.例1分解因式：222a ab -= ．析解：第一步找出公因式2a ，第二步用多项式2a 2-2ab 除以公因式2a 得另一个因式（a-b ），所以答案为2()a a b -.例2下列分解因式正确的是（ ）A.)1(222--=--y x x x xy xB. )32(322---=-+-x xy y y xy xyC. 2)()()(y x y x y y x x -=---D. 3)1(32--=--x x x x 析解：此题A 选项中的多项式2x 2-xy-x 的公因式是x 而不是2x, B 选项提出公因式-y 后应为-y （xy-2x+3），D 选项从左到右的变形不是因式分解，故A 、B 、D 都错误，对于C 选项中的多项式x （x-y ）-y （x-y ），可提出公因式（x-y ）进行分解.原式=（x-y ）（x-y ）=（x-y ）2.所以应选C.说明：用提公因式法分解因式要先确定多项式各项的公因式，然后再提取公因式.当多项式的第一项符号为负时，连同负号和公因式一起提出来，使括号内的第一项变为正.如果多项式的某一项恰好是公因式，提取公因式后，该项变为1，而不是0，不要丢项.二、 直接运用公式当一个多项式没有公因式时，就应考虑运用公式法分解因式，然后再考虑其他方法. 例3分解因式：24x -= ．析解：本例是两个平方数之差，所以应用平方差公式.24x -=x 2-22=（x+2）(x-2). 故应填（x+2）(x-2).例4因式分解：122+-x x = .析解：此题是关于三项式的因式分解，要考虑用完全平方公式.x 2-2x+1= x 2-2×1×x +12=（x-1）2，故应（x-1）2.说明：在运用公式法分解因式时要注意两个公式的特征，另外公式中的字母可以是单项式，也可以是多项式.三、 先提公因式，再分解很多多项式的因式分解仅用一种方法无法完成，需要先提公因式，再运用公式法分解. 例5分解因式：34x x - = ．析解：多项式的各项都含有一个相同的字母x ，提出公因式x 以后的另一因式为（x 2-4），可以用平方差公式继续分解.34x x - =x （x 2-4）=(2)(2)x x x +-. 故答案为(2)(2)x x x +-.例6把多项式2mx 2－4mxy ＋2my 2分解因式的结果是 ．析解：多项式的各项都含有相同的因式2m ，提出公因式2m 以后的另一因式为（x 2-2xy+ y 2），可以用完全平方公式继续分解.2mx 2－4mxy ＋2my 2=2m （x 2-2xy+ y 2）=2m (x-y)2. 故答案为2m (x-y)2.说明：因式分解的结果要求分解到每个多项式因式都不能再分解为止.四、先计算，再分解有的题目需要先进行计算，再根据计算结果中多项式的特点选择适当方法进行分解. 例7分解因式：ab b a 8)2(2+- =____________．析解：不难发现，此题化简后是一个三项式，可以用完全平方公式分解.ab b a 8)2(2+-=4a 2+4ab 2+b 2=(2a)2+ 2×2ab+b 2=2)2(b a +.故应填2)2(b a +. 例8给出三个多项式X =2a 2＋3ab ＋b 2，Y =3a 2＋3ab ，Z = a 2＋ab ，请你任选两个进行加(或减)法运算，再将结果分解因式．析解：这是一道答案不唯一的开放性试题，以下给出三种选择方案，其他方案从略. 解答一：Y + Z =(3a 2+3ab)+ (a 2+ab)=4a 2+4ab=4a(a+b)．解答二： X- Z = (2a 2＋3ab ＋b 2)-(a 2+ab)=a 2+2ab+b 2=(a+b)2．解答三：Y- X=(3a 2+3ab)- (2a 2＋3ab ＋b 2)=a 2- b2 =(a+b)(a-b)．说明：以上两例是对整式运算与因式分解的综合考查，先准确地进行整式运算，再根据结果中多项式的结构特征确定分解方法是解决此类问题的关键。
用公式法进行因式分解课件青岛版数学七年级下册
12.4 用公式法进行因式分解
12.4 用公式法进行因式分解
练习
1. 把下列各式进行因式分解：
1用公式法进行因式分解 2. 把下列各式进行因式分解：
12.4 用公式法进行因式分解 例3
拓展与延伸
5. 将391写成平均数是20的两个数的乘积. 设这两个数为x、y； 根据题意，得
∴ 这两个数为23和17.
习题 12.4 6. 把下列各式进行因式分解：
习题 12.4
习题 12.4
探索与创新
7. 两个正方形的周长之差为8厘米，面积之差为72平方 厘米，求这两个正方形的边长.
设这两个正方形的边长分别为a，b，则这两个正 方形的周长分别为4a、4b，面积分别为a2，b2.
12.4 用公式法进行因式分解
12.4 用公式法进行因式分解 2. 把下列各式进行因式分解：
＝[5a＋2(b＋c)][5a－2 (b＋c)] ＝(5a＋2b＋2c) (5a－2b－2c)
＝ (x＋y＋3)2.
习题 12.4
习题 12.4
复习与巩固
1. 把下列各式进行因式分解：
习题 12.4
习题 12.4
习题 12.4 2. 把下列各式进行因式分解：
习题 12.4 3. 把下列各式进行因式分解：
习题 12.4
习题 12.4 4. 利用因式分解计算：
＝ (2015＋2013)(2015－2013) ＝4028×2 ＝8056
＝(207－7)2 ＝2002 ＝40000
习题 12.4
12.4 用公式法进行因式分解
但是，2 014由于不能被 4整除，所以不能写成两个整 数的平方差. 如果不信，请你自己试一试.一般地，形如 4n＋2 (n为自然数) 的偶数都不能写成两个整数的平方差. 其道理将来学过“反证法”后，便会明白.
七年级数学下册12.4用公式法进行因式分解说课稿
七年级数学下册12.4用公式法进行因式分解说课稿一. 教材分析《七年级数学下册》第12.4节“用公式法进行因式分解”是初中数学的重要内容，是学生掌握因式分解方法的转折点。
这一节的内容是在学生已经掌握了多项式的基本概念、运算法则和提公因式法等知识的基础上进行学习的。
教材中通过公式法来进行因式分解，让学生感受数学的规律性和美感，培养学生对数学的兴趣和探究精神。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对数学的学习有了一定的基础。
但是，学生对于新知识的学习还是以形象思维为主，对于抽象的数学公式和定理的理解和运用还需要通过具体的例子和实际操作来进行。
在因式分解的学习中，学生可能会对于公式的推导和运用存在困难，需要通过多次的练习和教师的引导来逐步掌握。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生会掌握公式法进行因式分解的方法，能够运用公式法解决一些实际问题。
2.过程与方法：学生会通过观察、猜想、验证、总结等过程，体验数学的探究过程，培养学生的探究能力和思维能力。
3.情感态度价值观：学生会感受数学的规律性和美感，培养对数学的兴趣和探究精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够掌握公式法进行因式分解的方法，并能够运用公式法解决一些实际问题。
2.教学难点：学生对于公式的推导和运用，以及对于因式分解的理解。
五. 说教学方法与手段在这一节课中，我会采用问题驱动的教学方法，通过提问和引导，让学生主动去探究和发现公式法进行因式分解的方法。
同时，我会运用多媒体教学手段，通过动画和图形的展示，帮助学生直观地理解因式分解的过程。
六. 说教学过程1.导入：通过复习多项式的基本概念和运算法则，引导学生进入新课。
2.探究：通过具体的例子，引导学生观察和猜想公式法进行因式分解的方法，然后进行验证和总结。
3.讲解：通过讲解和示范，让学生理解和掌握公式法进行因式分解的方法。
4.练习：通过布置一些实际的练习题，让学生运用公式法进行因式分解，巩固所学知识。
12.4用公式法进行因式分解1
12.4用公式法进行因式分解(1) 学习目标： 1．会用公式法进行因式分解。
2．了解因式分解的步骤。
重点：会用公式法进行因式分解。
难点：熟练应用公式法进行因式分解。
在具体问题中，会正确运用完全平方公式。
教学过程： 【温故知新】 1.什么叫因式分解？我们学过的因式分解的方法是什么? 2.因式分解与整式乘法有什么区别和联系？ 3.你能对44,422++-m m m 进行因式分解吗？ 【探索新知】 活动一： （一）根据乘法公式计算： ①=-+)2)(2(m m ②=-+))((b a b a ③=+2)2(m ④=+2)(b a （二）根据等式的对称性填空 ①=-42m ②=-22b a ③=++442m m ④=++222b ab a （三）思考： １、（二）中四个多项式的变形是因式分解吗？ ２、对比（一）和（二）你有什么发现？ 活动二： （一）、说出下列多项式哪些可用平方差公式进行因式分解？ ①22y x -; ②22y x +- ; ③ 22y x +; ④22y x --; ⑤ 216b -。
平方差公式的结构特征： （1）左边是 项式，每项都是 的形式，两项的符号 ； （2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的 ，另一个因式是这两数的 。
（二）、说出下列多项式哪些可用完全平方公式进行因式分解？ ①222y xy x ++；②222y xy x ++-；③22y xy x ++；④22y xy x +-完全平方公式的结构特征：（1）左边是 项式，有两项都为正且能够写成 的形式，另一项是刚才写成平方项两底数 。
（2）右边是两平方项底数 。
【应用新知】例1：把下列各式进行因式分解:（1）4 x 2-25 (2) 16a 2 -91 b 2 解：(1) 4 x 2-25=(2x)2-52=(2x+5)(2x-5)(2) 16a 2 -91b 2= =要求：完成填空，你能用乘法检验做的对错吗？试试看。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
诸城市初中数学导学稿（七下）
课题：12.4用公式法进行因式分解(1)
繁华初中学校备课组编写
学习目标：
1．会用公式法进行因式分解。
2．了解因式分解的步骤。
重点：会用公式法进行因式分解。
难点：熟练应用公式法进行因式分解。
在具体问题中，会正确运用完全平方公式。
教学过程：
【温故知新】
1、（a+b）(a-b)= 用语言叙述为
2、(a+b)2 = 用语言叙述为
把这两个公式反过来，就得到（1）
（2）
把它们当做公式，就可以把某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。
【探索新知】
例1：把下列各式进行因式分解:
（1）4 x 2-25 (2) 16a2 -1/9 b2
解：(1) 4 x 2-25
=(2x)2-52
=(2x+5)(2x-5)
(2) 16a2 -1/9 b2
=
=
要求：完成填空，你能用乘法检验做的对错吗？试试看。
思考：（1）遇到例1题型时，使用哪个公式，注意什么事项?
例2：把下列各式进行因式分解:
(1)25x2+20x+4 (2)9m2-3mn+1/4n2
解：(1) 25x2+20x+4
=(5x) 2+2ⅹ5x ⅹ2+22 (为什么这样变形？)
=(5x+2)2
[教学要点]引导学生观察原式,启发他们发现第一步,可以用公式法分解因式了。
学生自己完成（2），然后总结一下学例题的收获。
(2) 9m2-3mn+1/4n2
=
=
【巩固提升】
[课堂练习一] 课本122页练习1、2
[课堂练习二]用公式法进行因式分解：
（1）-16+9x 2
（2）x 2-6x+9
(3) m 2+2/3mn+1/9n 2
[课堂练习三]下列各式是不是完全平方式？
2224444y x x a a +++- 2
2224124b ab a b ab a +-++ 25.09622++--a a x x 挑战自我
1、多项式4 x 2-x 加上一个怎样的单项式，就成为一个完全平方式？多项式0.25 x 2+1呢？
【课堂小结】
1、主要内容
2、规律总结
【达标检测】
用公式法分解因式：
（1）64m 2-25n 2 (2)a 2b 2-0.25c 2 (3)-x 2+81y 2
(4)(x+y) 2-6(x+y)+9
【我的反思】。