函数中的恒成立问题的解题策略

函数中的恒成立问题的解题策略

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

2

3 / 8

函数中的恒成立问题的解题策略

函数是整个高中知识体系的核心之一，而函数中的绝大多数问题最终归结为函数性质、函数思想在具体解题过程中的应用。恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数等函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。现在我们一起来探讨其中一些典型的问题。

一、一次函数型

给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于

ⅰ）⎩⎨

⎧>>0)(0m f a 或ⅱ）⎩⎨⎧><0)(0n f a 亦可合并定成⎩

⎨⎧>>0)(0)(n f m f 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有⎩⎨⎧<<0)(0)(n f m f

本质上是利用了一次函数的单调行和函数的最值。

例1.对于满足|a|≤2的所有实数a,求使不等式x 2+ax+1>2a+x 恒成立的x 的取值范围。 分析：在不等式中出现了两个字母：x 及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a 的一次函数大于0恒成立的问题。

解：原不等式转化为(x-1)a+x 2-2x+1>0,

设f(a)= (x-1)a+x 2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：

⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0

103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3.

引申：在不等式中出现3个字母：m 、x 、a

已知函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且(1)1f =，若[],1,1a b ∈-，0a b +≠，

n m o x y

n m o x y

4 / 8 有()()0f a f b a b

+>+，（1）证明()f x 在[]1,1-上的单调性；（2）若2()21f x m am ≤-+对所有[]1,1a ∈-恒成立，求m 的取值范围。

分析：第一问是利用定义来证明函数的单调性，第二问中出现了3个字母，最终求的是m 的范围，所以根据上式将m 当作变量，a 作为常量，而x 则根据函数的单调性求出()f x 的最大值即可。

（1） 简证：任取[]12,1,1x x ∈-且12x x <，则[]21,1x -∈-

1212

()()0f x f x x x +>- ()()1212()()0x x f x f x ∴-+-> 又()f x Q 是奇函数 ()()1212()()0x x f x f x ∴--> ()f x ∴在[]1,1-上单调递增。

（2） 解：2

()21f x m am ≤-+Q 对所有[]1,1x ∈-，[]1,1a ∈-恒成立，即 2max 21m am f -+≥，max (1)1f f ==Q 2221120m am m am ∴-+≥∴-≥

即2()20g a am m =-+≥在[]1,1-上恒成立。(1)120(1)120g a g a -=+≥⎧∴⎨=-≥⎩ 1212

a a ⎧≤-⎪⎪∴⎨⎪≤⎪⎩ 1122

a ∴-≤≤。

二、二次函数

若二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)大于0恒成立，则有⎩⎨⎧<∆>0

0a 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。

例2.若函数268y mx mx m =+++在R 上恒成立，求m 的取值范围。

分析：该题就转化为被开方数2

680mx mx m +++>在R 上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论。

5 / 8 略解：要使268y mx mx m =+++在R 上恒成立，即2

680mx mx m +++≥在R 上恒成立。 1o 0m =时，80≥ 0m ∴=成立

2o

0m ≠时，()()2036483210m m m m m >⎧⎪⎨∆=-+=-≤⎪⎩，01m ∴<≤ 由1o ，2o 可知，01m ≤≤

例3.已知函数2

()3f x x ax a =++-，在R 上()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。 分析：()y f x =的函数图像都在X 轴上方，即与X 轴没有交点。

略解：()22434120a a a a ∆=--=+-≤62a ∴-≤≤ 变式1：若[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。 解：22()324a a f x x a ⎛⎫=+--+ ⎪⎝

⎭，令()f x 在[]2,2-上的最小值为()g a 。 ⑴当22a -<-，即4a >时，()(2)730g a f a =-=-≥ 73

a ∴≤ 又4a >Q a ∴不存在。 ⑵当222

a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3024a a g a f a ==--+≥ 62a ∴-≤≤ 又44a -≤≤Q 42a ∴-≤≤

⑶当22

a ->，即4a <-时，()(2)70g a f a ==+≥ 7a ∴≥- 又4a <-Q 74a ∴-≤<-

总上所述，72a -≤≤。

变式2：若[]2,2x ∈-时，()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围。

解法一：分析：题目中要证明a x f ≥)(在[]2,2-上恒成立，若把a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[]2,2-时恒大于等于0的问题。