沪科版八年级数学下册教案
沪科版八年级数学下册教学设计《第19章四边形19.2平行四边形(第3课时)》
沪科版八年级数学下册教学设计《第19章四边形19.2平行四边形（第3课时）》一. 教材分析本节课的内容是沪科版八年级数学下册第19章四边形中的19.2平行四边形，这是第3课时。
教材首先介绍了平行四边形的定义及其性质，接着讲述了如何判定一个四边形是平行四边形。
这部分内容是学生对四边形知识的进一步拓展，也是后续学习其他四边形的基础。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了四边形的性质，对本节课的内容有一定的认知基础。
但平行四边形的性质较为复杂，需要学生通过大量的练习来熟练掌握。
同时，学生需要在学习过程中培养空间想象能力和逻辑思维能力。
三. 教学目标1.理解平行四边形的定义及其性质。
2.学会判定一个四边形是否为平行四边形。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
4.提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.平行四边形的定义及其性质。
2.如何判定一个四边形是平行四边形。
3.平行四边形在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等多种教学方法，引导学生主动探究、积极思考，提高学生的学习兴趣和参与度。
六. 教学准备1.准备相关的多媒体教学课件。
2.准备一些实际问题供学生练习。
3.准备答案和解析。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出平行四边形的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）介绍平行四边形的定义及其性质，引导学生理解和记忆。
3.操练（10分钟）让学生通过一些练习题来巩固所学知识，教师及时给予指导和解答。
4.巩固（5分钟）通过小组合作，让学生共同完成一个案例分析，进一步巩固平行四边形的性质和判定方法。
5.拓展（10分钟）引导学生思考平行四边形在实际问题中的应用，提高学生的解决问题的能力。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调平行四边形的性质和判定方法。
7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的练习题，让学生回家后巩固所学知识。
8.板书（5分钟）在黑板上写出本节课的主要内容和关键点，方便学生复习。
沪科版八年级数学下册教案
沪科版八年级数学下册教案沪科版八年级数学下册教案2021最新1教学目标：1.体验用拼图解释勾股定理正确的过程，培养学生在数学活动中的探究意识和合作交流的习惯。
2.掌握勾股定理和他的简单应用重点难点：重点：能熟练运用拼图的方法证明勾股定理难点：用面积证勾股定理教学过程七、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需加以论证，下面就是今天所要研究的内容，下边请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形，拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，并与同学交流。
在同学操作的过程中，教师展示投影1(书中p7图1—7)接着提问：大正方形的面积可表示为什么?(同学们回答有这几种可能：(1)(2))学生达成共识后，老师用等号把代表大正方形面积的两个公式连起来。
=请同学们对上面的式子进行化简，得到：即=这可以从理论上解释勾股定理的存在。
让学生用其他谜题解释勾股定理。
八、讲例1.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞机飞到一个男孩头顶正上方4000多米处，过20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米?分析：根据题意：可以先画出符合题意的图形。
如右图，图中△ABC的米，AB=5000米，欲求飞机每小时飞行多少千米，就要知道飞机在20秒的时间里的飞行路程，即图中的CB的长，由于直角△ABC的斜边AB=5000米，AC=4000米，这样的CB就可以通过勾股定理得出。
这里一定要注意单位的换算。
解：由勾股定理得即BC=3千米飞机20秒飞行3千米，那么它1小时飞行的距离为：甲:飞机每小时飞行540公里。
九、议一议展示投影2(书中的图1—9)观察上图，应用数格子的方法判断图中的三角形的三边长是否满足学生通过讨论交流达成共识后，老师总结。
勾股定理存在于直角三角形中，除非是直角三角形，否则不能使用。
沪科版数学八年级下册全册教案(2021年春修订)
沪科版数学八年级下册全册教案（2021年春修订）沪科版数学八年级下册全册教案设计2021-1-24 第16章二次根式二次根式第1课时二次根式的概念及性质（1）【知识与技能】理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．【过程与方法】提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题. 【情感态度】通过本节的学习培养学生准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力. 【教学重点】形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念的理解. 【教学难点】利用“（a≥0）”解决具体问题. 一、创设情境，提出问题 1.用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：（1）面积为3 的正方形的边长为，面积为S 的正方形的边长为 . 问：（1）中式子你是怎么得到的？得到的两个式子有什么不同？（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为m. 问：（2）中得到的式子有什么意义？（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h =5t2，如果用含有h 的式子表示t ，则 . 【教学说明】由数字到字母，逐步渗透二次根式的概念，使学生对二次根式的由来有一个初步的印象. 2.（3）中当h 的值分别为0，10，15，20，25时，得到的结果分别是什么？表示的数怎样变化？【教学说明】让学生自主选择数字代入求值，一方面感知二次根式的计算，另一方面对二次根式有意义的条件有一个具体的认识. 二、合作探究，探索新知 1.上面问题中，得到的结果分别是：（1）这些式子分别表示什么意义？（2）这些式子有什么共同特征？答：（1）分别表示3，S，65 的算术平方根．（2）这些式子的共同特征是:都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根. 【教学说明】让学生观察思考后回答，使学生掌握二次根式的本质含义. 2.根据你的理解，请写出二次根式的定义. 把形如,用来表示一个非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式. 【教学说明】用具体的例子来归纳二次根式的定义，便于学生理解掌握. 3.二次根式：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号. 二次根式→被开方数a≥0；根指数为2. 【教学说明】教师及时归纳总结，形成相应的数学知识. 三、示例讲解，掌握新知例1 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：【分析】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0. 解：二次根式有：；不是二次根式的有：. 【教学说明】教师强调要根据二次根式的定义进行判断,注意二次根式的特征. 例2 当x是多少时，在实数范围内有意义？【分析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义. 解：由3x-1≥0，得：x≥当x≥时，在实数范围内有意义. 【教学说明】教师强调二次根式有意义的条件是被开方数要大于或等于0，然后根据这一条件列出相应的不等式. 3.小结：请比较a和0 的大小分类讨论思想当a＞0 时, 表示a 的算术平方根，因此＞0；当a =0 时，表示0 的算术平方根，因此=0；这就是说，（a≥0）是一个非负数.具有双重非负性【教学说明】教师引导学生进行总结，掌握二次根式的双重非负性. 四、练习反馈，巩固提高 1.下列各式中，是二次根式的为. 2.当x为何值时，下列各式有意义？【教学说明】第1题是对二次根式定义的理解;第2题是对二次根式有意义条件的理解,第3题是对二次根式计算的应用.教师要求学生独立完成，以便于学生及时进行反馈. 五、师生互动，课堂小结（1）本节课你学到了哪一类新的式子？（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？（3）二次根式与算术平方根有什么关系？一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号. 中的a≥0. （4）双重非负性二次根式都是非负数的算术平方根，带有根号的算术平方根是二次根式. 【教学说明】让学生总结归纳，形成知识体系，更进一步掌握本节课知识. 完成同步练习册中本课时的练习. 本节课主要学习二次根式的定义和二次根式有意义的条件，以及它们的简单应用.在教学中，要与前面所学习的算数平方根紧密相连，从一个非负数的算数平方根入手，使学生逐步掌握二次根式的定义和二次根式成立的条件，关键是要学生理解为什么二次根式的被开方数是一个非负数，以及怎样应用它的非负性解决简单的问题.这里要注意除了满足被开方数为非负数以外，还要注意分母不能为0. 第2课时二次根式的概念及性质（2）【知识与技能】理解=a（a≥0）,=a（a≥0）并利用它进行计算和化简. 【过程与方法】通过具体数据的解答，探究=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题. 【情感态度】通过本节的学习培养学生准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力. 【教学重点】（a≥0）是一个非负数；=a（a≥0）和=a（a≥0），及其运用. 【教学难点】用分类思想的方法导出（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出=a（a≥0）. 一、复习提问，导入新课（学生活动）口答：1.什么叫二次根式？2.当a≥0时，叫什么？当a＜0时，有意义吗？【教学说明】通过复习，让学生回顾二次根式的定义和有意义的条件，为本节课的学习奠定基础. 二、合作探究，探索新知 1.问题1 做一做：根据算术平方根的意义填空：老师点评是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数，因此有（）2=4. 【教学说明】这些计算，可以让学生去尝试完成，然后教师引导学生进行总结，发现规律. 【教学说明】教师及时进行总结，并用含字母的式子表示，便于学生理解和记忆. 3.问题2 （学生活动）填空：老师点评：根据算术平方根的意义，我们可以得到：4.小结：因此，一般地：=a（a≥0）【教学说明】让学生先进行相应的计算探究，然后让学生仿照前一个探究进行总结，教师及时予以补充和强调，最后用含有字母的式子进行总结.这里要特别强调a≥0这一条件. 三、示例讲解，掌握新知例1 计算【分析】我们可以直接利用=a（a≥0）的结论解题. 【教学说明】这是对第一个探究的应用，可以让学生自主完成，以加深学生的印象. 例2 化简【分析】因为（1）9=32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，所以都可运用=a（a≥0）去化简. 【教学说明】这是对第二个探究的应用，相对要难一些，可以让学生先自主完成，对于出现的问题教师有针对性的进行讲解，尤其是第（2）、（4）题学生理解起来有一定的困难，教师可以在讲解后，再出1~2题相应的训练及时巩固. 四、练习反馈，巩固提高1.= . 2.已知有意义，那么这个式子是一个数. 3.计算 4.把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5 （2）（3）（4）x（x≥0）5.已知=0，求xy的值. 【答案】 2.非负数【教学说明】第1题、第3题是对性质的直接应用，考察学生对性质的掌握情况，第2题和第5题是对二次根式的双重非负性的应用，学生应该掌握相应的解题方法，第4题是对性质的反向应用，培养学生的逆向思维能力. 五、师生互动，课堂小结（1）你知道了二次根式的哪些性质？（2）运用二次根式性质进行化简需要注意什么？（3）请谈谈发现二次根式性质的思考过程？（4）想一想，到现在为止，你学习了哪几类字母表示数得到的式子？说说你对代数式的认识. 【教学说明】通过回顾本节课知识，查漏补缺，形成相应的知识体系和解题方法. 完成同步练习册中本课时的练习. 本节课重点是学习如何理解=a（a≥0）, =a（a≥0）并利用它进行计算和化简，难点是通过对具体数据的解答，探究=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．在教学中重点要引导学生对的结果进行分类讨论，并总结规律得出=|a|，然后分三种情况进行讨论，指出不能直接等于a. 二次根式的运算 1.二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法【知识与技能】理解＝（a≥0，b≥0），=（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简【过程与方法】由具体数据发现规律，导出＝（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；利用逆向思维，得出=（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简. 【情感态度】通过本节的学习培养学生准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力. 【教学重点】＝（a≥0，b≥0），=（a≥0，b≥0）及它们的运用. 【教学难点】发现规律，导出＝（a≥0，b≥0）. 一、复习提问，导入新课 1.对于二次根式中的被开方数a，我们有什么规定？ 2.当a≥0 时，等于多少？ 3.当 a≥0 时，等于多少？【教学说明】通过对二次根式的性质的复习，为本节课的学习奠定知识基础. 二、合作探究，探索新知 1.请同学们完成下列各题. 参考上面的结果，用“＞、＜或＝”填空. 【教学说明】这些计算比较简单，可以让学生自主完成，然后引导学生进行总结. 2.利用计算器计算填空【教学说明】使用计算器进行计算，对上面探究的规律进行验证，使它更具有说服力.3.老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数. 一般地，对二次根式的乘法规定为＝（a≥0，b≥0），反过来：=（a≥0，b≥0）【教学说明】教师在学生总结的基础上进行归纳，形成相应的知识点，并用含有字母的式子表示出来. 三、示例讲解，掌握新知例1 计算：【分析】直接利用＝（a≥0，b≥0）计算即可. 【分析】利用=（a≥0，b≥0）直接化简即可. 【教学说明】在讲解例题时，可以只讲解其中一个，然后让学生尝试仿照完成剩下的计算，教师及时发现学生存在的问题，予以纠正.这里要重点强调解题的格式和对法则的应用. 四、练习反馈，巩固提高 4.自由落体的公式为S=gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是. 5.一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？ 6.探究过程：观察下列各式及其验证过程. 【教学说明】学生独立完成，及时进行反馈，便于教师掌握学生的掌握情况.第1题要注意a为负数，第6题要注意寻找规律. 五、师生互动，课堂小结本节课应掌握：（1）＝（a≥0，b≥0），=（a≥0，b≥0）及其运用. 【教学说明】教师引导学生对本节课所学知识进行总结，再用简洁的式子进行归纳，使学生掌握的更牢固. 完成同步练习册中本课时的练习. 1.在教学安排上，体现由具体到抽象的认识过程.对于二次根式的乘法法则的推导，先利用二次根式的几个具体计算，归纳出二次根式的乘法运算法则. 2.在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，有助于学生思维互补、有条理地思考和表达，更有助于学生合作精神的培养. 3.要反复强调利用二次根式乘法法则进行计算时，要注意二次根式中被开方数的取值范围. 4.适当加强练习，使学生较好地理解二次根式的意义，较好地掌握二次根式的性质和运算，为后续的学习打下良好的基础. 第2课时二次根式的除法【知识与技能】 1.理解（a≥0，b＞0）和（a≥0，b＞0）及利用它们进行运算. 2.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式. 【过程与方法】利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简. 【情感态度】通过本节的学习培养学生准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力. 【教学重点】理解（a≥0，b＞0），（a≥0，b＞0）及利用它们进行计算和化简. 【教学难点】发现规律，归纳出二次根式的除法法则和对最简二次根式的理解. 一、复习提问，导入新课请同学们完成下列各题：1.写出二次根式的乘法规定及逆向等式.2.填空3.通过以上计算，你能得出什么规律？【教学说明】通过具体的计算，让学生感知二次根式除法法则的具体来源，然后让学生总结发现的规律.二、合作探究，探索新知 1.教师引导学生总结：一般地，对二次根式的除法规定：（a≥0，b＞0），反过来，（a≥0，b＞0）【教学说明】教师及时总结二次根式除法的法则，并引导学生对法则进行逆向应用，加深对法则的理解. 2.请同学们完成下列各题 3.观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 小结：我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 【教学说明】先让学生进行化简计算，然后再让学生观察计算的结果.这里，学生可能说的不是很完整，教师及时予以补充，最后教师再将探究的结果进行归纳总结，学生做好笔记，形成概念. 三、示例讲解，掌握新知【教学说明】例1是对具体的数进行计算，可以让学生先自主完成，然后教师再针对发现的问题进行讲解. 例2 化简：【分析】直接利用（a≥0，b＞0）就可以达到化简的目的. 【教学说明】例2涉及到含有字母的式子进行化简，对于学生来说有一定的难度，教师可以先示范讲解（1）和（2），适当总结应该注意的问题，然后让学生自主完成（3）（4），最后再进行强调，加深学生的印象，提高学生对法则应用的熟练性. 四、练习反馈，巩固提高 1.如果（y＞0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）. 2.把中根号外的（a-1）移入根号内得（）. 【教学说明】让学生独立完成，对于第2、5、6题，学生理解有一定的困难，教师可以适当引导学生考虑a的取值范围，再进行化简. 五、师生互动，课堂小结 1. （a≥0，b＞0）和（a≥0，b＞0）及其运用. 2.最简二次根式有何特征？被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 完成同步练习册中本课时的练习. 本节内容是在前一节二次根式的学习基础上，在熟练计算积的算术平方根的情况下，学习商的算术平方根的性质，同时为分母有理化作准备.所以在教学中更应注重积和商的互相转换，让学生通过具体实例再结合积的性质，对比、归纳得到商的二次根式的性质在此，过程中给予适当的指导，提出问题让学生有一定的探索方向.要注意二次根式乘除法的计算公式的逆用.乘法公式的逆用就是用来使“被开方数中不含能开的尽方的因数或因式”，除法公式的逆用就是用来使“被开方数不含分母”，从而保证了结果是最简二次根式. 2.二次根式的加减第1课时二次根式的加减【知识与技能】理解和掌握二次根式加减的方法. 【过程与方法】先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简. 【情感态度】通过本节的学习培养学生准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力. 【教学重点】二次根式加减运算. 【教学难点】会熟练进行二次根式的加减运算. 一、复习问题，导入新课学生活动：计算下列各式. （1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3. 【教师点评】上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．【教学说明】通过对同类项的复习，为本节课同类二次根式的学习提供思路. 二、合作探究，探索新知 1.问题1 现有一块长dm、宽5 dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板？问：能截出两块正方形木板的条件是什么？能用数学式子表示吗？能否进一步计算？这是一种什么运算？能进一步计算，这种计算是两个二次根式的加法运算. 【教学说明】通过对具体问题的探究，引起学生的探究兴趣，同时引导学生思考如何进行计算. 2.问题2 怎样计算如果看不出能否化简，我们不妨把问题简化，先看算式能否化简. ＝（3－1）＝2. 这里的两个二次根式有什么特征？被开方数相同，即为同类二次根式. 你能得到这样的两个二次根式加减的方法吗？将同类二次根式用分配律合并【教学说明】类比于合并同类项，逐步引导学生探究二次根式加减的运算方法和步骤. 3.算式与算式有什么相同点与不同点？请化简算式，并说出每一步化简的理由. 能否把这种计算方法推广到一般？【教学说明】通过对比，引导学生进行探究，逐步掌握相关步骤. 4.请计算，并说出计算依据. 【教学说明】让学生自主完成，并进行思考和总结. 5.请总结二次根式加减的步骤、依据和基本思想. 步骤：“一化简、二判断、三合并”；依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则；基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．【教学说明】教师根据学生的回答进行总结和强调，学生做好笔记. 三、示例讲解，掌握新知例1 计算【分析】第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．【教学说明】例1比较简单，可以让学生自主对照步骤进行计算，教师再根据学生出现的问题进行强调. 例2 计算【教学说明】例2（1）稍微复杂些，教师可以引导学生完成，然后让学生自主完成（2），重点强调化简的步骤. 四、练习反馈，巩固提高 1.以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（）A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④【教学说明】1、2两题主要要掌握最简二次根式的特征和化简方法，3、4、5主要是计算，要注意计算的步骤. 五、师生互动，课堂小结（1）二次根式的加减运算分哪几步进行？每一个步骤的依据是什么？（2）在二次根式的加减中，主要的想法是怎样的？（3）在二次根式加减中，有哪些地方容易出现错误？【教学说明】教师引导学生对本节课的重点知识进行回顾，重点强调二次根式加减的步骤以及每一步要注意什么，加深学生的印象，形成计算方法. 完成同步练习册中本课时的练习. 本节课先复习合并同类项、整式的加减，为学习二次根式的加减做好准备.通过具体的实际问题，引出二次根式的加减问题，激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲望.在解决实际问题时，根据所得到的式子，需要先对二次根式进行化简，化简为最简二次根式后仿照合并同类项的方式，合并同类二次根式.然后借助详细的探究再与学生共同总结出“二次根式的加减”的具体步骤和注意问题：①化成最简二次根式；②找出同类二次根式；③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并. 通过本节课的教学，应该注意以下问题：1.将二次根式化简为最简二次根式是这节课的关键一步，不化简为最简二次根式，合并同类二次根式、二次根式的加减就无从谈起，因此这一环节应多下一些功夫，多用些时间. 2.在讲授例题时应仿照合并同类项的方法进行，学生更容易接受一些，以免显得太突然. 3.对易出错的地方应重点强调，再三强调，如：“二次根式的系数是带分数的要写成假分数的形式”，真正做到让每一名学生都清楚这一要求. 第2课时二次根式的混合运算【知识与技能】会进行二次根式的混合运算. 【过程与方法】通过对二次根式的加减乘除的混合运算，提高学生综合解题的能力. 【情感态度】通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力. 【教学重点】会进行二次根式的混合运算. 【教学难点】二次根式混合运算的顺序的确定和运算的准确性. 一、复习问题，导入新课【教学说明】让学生自主完成，检验计算的掌握情况. 2.在整式乘法中，单项式与多项式相乘的法则是什么?多项式与多项式的乘法法则是什么?什么是完全平方式?分别用式子表示出来. 答：单项式与多项式相乘的法则是，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.用式子表示为 m(a＋b＋c)=ma＋mb＋mc 多项式与多项式相乘的法则是，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每项，再把所得的积相加.用式子表示为(a＋b)(m＋n)=am＋an＋bm＋bn,其中a,b,m,n都是单项式. 完全平方式是(a+b)2=a2+b2+2ab;(a-b)2=a2+b2-2ab. 【教学说明】通过对相关的运算律的回顾，为后面的运用奠定基础. 3.在实数范围内，整式中的乘法法则及乘法公式仍然适用，运用乘法法则及乘法公式可以进行二次根式的混合运算. 【教学说明】教师引导学生回答整式的运算律在二次根式的运算中同样适用. 二、示例讲解，掌握新知例1 计算: 【分析】刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律. 【教学说明】学生初次在二次根式的计算中使用运算律，还不太习惯，教师可以适当引导学生先观察式子的特征，确定可以使用什么运算律进行计算，然后再尝试运用.还要注意比较使用运算律后是否便于计算. 例2 计算【分析】刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立. 【教学说明】让学生先观察，再进行计算，注意计算的结果要进行化简，能合并的一定要合并.（2）可以使用平方差公式进行计算，这里可以将使用公式和不使用公式相比较，体会使用公式计算的简便性.同时对使用公式要注意的问题进行强调. 三、练习反馈，巩固提高 1.（-+）2的计算结果（用最简根式表示）是 .2.（1-2）（1+2）-（2-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是.3.若x=-1，则x2+2x+1= .4.已知a=3+2，b=3-2，则a2b-ab2= .5.化简. 【答案】【教学说明】第1、2、3题要注意完全平方公式的使用，第4、5两题可以先分解因式，再进行化简比较简单.第6题比较复杂，教师可适当进行引导. 四、师生互动，课堂小结 1.进行二次根式的混合运算应该注意哪些问题？（1）注意理清运算的顺序，（2）结果化为最简二次根式，（3）正确进行每一步的运算 2.可以利用运算律进行运算完成同步练习册中本课时的练习. 二次根式的混合运算是本章学习的落脚点，是前面学过的二次根乘法、除法及加减法的综合运用.学习二次根式的混合运算应注意以下几点：(1)二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． (2)对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用． (3)整式和分式的运算法则对于二次根式同样适用. (4)在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍. (5)运算的结果可能是二次根式，也可能是有理式，如果最终结果是二次根式要化为最简二次根式. 章末复习【知识与技能】引导学生自己回顾本章内容，以独立思考和小组讨论的学习方式，以便学生自己梳理知识，形成知识的联系，使新旧知识成为一个有机的整体. 【过程与方法】通过小结与复习加深对二次根式概念和性质理解,通过练习，进一步提高学生的计算能力和解决简单实际问题的能力. 【情感态度】培养学生反思意识，进一步体会数学来源于生活，应用于生活. 【教学重点】二次根式性质的运用和含二次根式的式子的混合运算. 【教学难点】综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子. 一、知识框图，整体把握【教学说明】以框图的形式对本章内容做一个形象的解读，便于学生对本章的知识脉络有一个形象的了解，对各知识点之间的关系有一个形象的把握. 二、释疑解惑，加深理解 1.二次根式的定义. 式子（a≥0）叫做二次根式.（当a≥0时，≥0；当a≥0时，在实数范围内有意义.）2.最简二次根式. 必须同时满足下列条件：（1）被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；（2）被开方数中不含分母；（3）分母中不含根式. 3.同类二次根式：。
2023-2024学年(沪科版)八年级数学下册名师教学设计：平行四边形(4)
2023-2024学年（沪科版）八年级数学下册名师教学设计：平行四边形(4)一. 教材分析《沪科版》八年级数学下册第10章平行四边形，是学生在学习了三角形的性质后，进一步研究四边形的性质。
本章通过介绍平行四边形的定义、性质、判定以及应用，使学生掌握平行四边形的有关知识，为后续学习矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形打下基础。
本节课是第4课时，主要学习平行四边形的性质。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了三角形的性质，具备了一定的几何思维能力。
但平行四边形的性质较为抽象，需要学生通过观察、操作、推理等过程来理解和掌握。
同时，学生对于实际生活中的平行四边形应用可能较为陌生，需要通过实例来增强理解。
三. 教学目标1.了解平行四边形的定义和性质。
2.能够运用平行四边形的性质解决实际问题。
3.培养学生的几何思维能力和实际应用能力。
四. 教学重难点1.平行四边形的性质。
2.平行四边形性质在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用“问题驱动”的教学方法，引导学生通过观察、操作、推理等过程自主学习平行四边形的性质。
同时，运用实例教学法，让学生在实际问题中体验平行四边形的应用。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.平行四边形的模型或图片。
3.练习题。
七. 教学过程导入（5分钟）1.复习三角形性质，引导学生联想四边形的性质。
2.提问：你们认为平行四边形有哪些性质呢？呈现（10分钟）1.展示PPT，介绍平行四边形的定义和性质。
2.通过模型或图片，直观演示平行四边形的性质。
操练（10分钟）1.学生分组，每组用提供的模型或图片，验证平行四边形的性质。
2.教师巡回指导，解答学生疑问。
巩固（10分钟）1.学生独立完成练习题，检测对平行四边形性质的掌握。
2.教师批改，及时反馈结果。
拓展（10分钟）1.引导学生思考：平行四边形在实际生活中有哪些应用？2.举例说明，如建筑设计、交通标志等。
小结（5分钟）1.学生总结本节课所学平行四边形的性质。
沪教版数学八年级下册全册教案-沪教版八年级下册数学
变式训练： 见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 3 题 【类型二】 利用 a2＝|a|计算
计算：
(1) 22； (2) （－ 23）2； (3)－ （－ π）2. 解析： 利用 a2＝ |a|进行计算． 解： (1) 22＝2；
(2)
第 20 章“数据的分析”主要研究平均数（主要是加权平均数） 、中 位数、众数以及方差
3
【教学目标】 通过本期的学习， 使学生了解引入二次根式的必要性， 理解二次根式 的意义，经历二次根式性质的探究过程， 经历探究二次根式的加减乘 除运算法则的过程， 学会运用二次根式性质化简二次根式， 了解最简 二次根式和同类二次根式。 会用它们进行有关实数的四则运算。 了解 一元二次方程及其相关概念， 理解一元二次方程解法的基本思想， 理 解配方法的意义，会用开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简 单的数字系数的一元二次方程， 了解勾股定理的证明， 会运用勾股定 理解决简单的数学实际问题， 了解逆命题的概念， 理解勾股定理逆定 理及其证明， 会用勾股定理的逆定理判定直角三角形， 培养学生良好 的思维习惯， 培养学生的爱国主义思想情感。 了解四边形的概念及正 多边形的概念，了解四边形的不稳定性。掌握平行四边形、矩形、菱 形、正方形的性质与判定定理。掌握平行线间距离处处相等的性质。 了解四边形与特殊四边形等概念之间的联系与区别， 培养学生的辩证 唯物主义观点和分析问题解决问题的能力。 理解平均数的意义， 能计 算中位数、众数、 加权平均数，了解它们对数据集中趋势喝离散程度 的刻画，会计算简单数据的方差，体会样本与总体的关系，知道可以 通过样本平均数、样本方差推断总体平均数、总体方差，并能解释统 计的结果。 【教学重难点】 重点；二次根式性质及其计算 ；一元二次方程的解法；勾股定理的 逆定理的应用 ；平行四边形性质与判定；数据的集中趋势。
最新沪科版八年级数学下册教案87466
第1课时二次根式的概念1．了解二次根式的概念；(重点)2．理解二次根式有意义的条件；(重点)3．理解a(a≥0)是一个非负数，并会应用a(a≥0)的非负性解决实际问题．(难点)一、情境导入1．小明准备了一张正方形的纸剪窗花，他算了一下，这张纸的面积是8平方厘米，那么它的边长是多少？2．已知圆的面积是6π，你能求出该圆的半径吗？大家在七年级已经学习过数的开方，现在让我们一起来解决这些问题吧！二、合作探究探究点一：二次根式的概念【类型一】二次根式的识别(2015·安顺期末)下列各式：①12；②2x；③x2＋y2；④－5；⑤35，其中二次根式的个数有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：根据二次根式的概念可直接判断，只有①③满足题意．故选B.方法总结：判断一个式子是否为二次根式，要看式子是否同时具备两个特征：①含有二次根号“”；②被开方数为非负数．两者缺一不可．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】二次根式有意义的条件代数式x＋1x－1有意义，则x的取值范围是( )A．x≥－1且x≠1 B．x≠1C．x≥1且x≠－1 D．x≥－1解析：根据题意可知x＋1≥0且x－1≠0，解得x≥－1且x≠1.故选A.方法总结：(1)要使二次根式有意义，必须使被开方数为非负数，而不是所含字母为非负数；(2)若式子中含有多个二次根式，则字母的取值必须使各个被开方数同时为非负数；(3)若式子中含有分母，则字母的取值必须使分母不为零．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题探究点二：利用二次根式的非负性求值【类型一】 利用被开方数的非负性求字母的值(1)已知a ，b 满足2a ＋8＋|b －1|＝0，求2a －b 的值； (2)已知实数a ，b 满足a ＝b －2＋2－b ＋3，求a ，b 的值．解析：根据二次根式的被开方数是非负数及绝对值的意义求值即可．解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋8＝0，b －1＝0，得2a ＝－8，b ＝1，则2a －b ＝－9；(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧b －2≥0，2－b ≥0，解得b ＝2.所以a ＝0＋0＋3＝3.方法总结：①当几个非负数的和为0时，这几个非负数均为0；②当题目中，同时出现a 和－a 时(即二次根式下的被开方数互为相反数)，则可得a ＝0.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型二】 与二次根式有关的最值问题当x ＝________时，3x ＋2＋3的值最小，最小值为________．解析：由二次根式的非负性知3x ＋2≥0，∴当3x ＋2＝0即x ＝－23时，3x ＋2＋3的值最小，此时最小值为3.故答案为－23，3.方法总结：对于二次根式a ≥0(a ≥0)，可知其有最小值0. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题 三、板书设计本节课的内容是在我们已学过的平方根、算术平方根知识的基础上，进一步引入二次根式的概念．教学过程中，应鼓励学生积极参与，并让学生探究和总结二次根式在实数范围内有意义的条件第2课时 二次根式的性质1．理解和掌握(a )2＝a (a ≥0)和a 2＝|a |；(重点)2．能正确运用二次根式的性质1和性质2进行化简和计算．(难点)一、情境导入如果正方形的面积是3，那么它的边长是多少？若边长是3，则面积是多少？ 如果正方形的面积是a ，那么它的边长是多少？若边长是a ，则面积是多少？你会计算吗？二、合作探究探究点一：利用二次根式的性质进行计算【类型一】 利用(a )＝a (a ≥0)计算计算：(1)(0.3)2;(2)(－13)2；(3)(23)2; (4)(2x －y )2.解析：(1)可直接运用(a )2＝a (a ≥0)计算，(2)(3)(4)在二次根号前有一个因数，先利用(ab )2＝a 2b 2，再利用(a )2＝a (a ≥0)进行计算．解：(1)(0.3)2＝0.3；(2)(－13)2＝(－1)2×(13)2＝13；(3)(23)2＝22×(3)2＝12；(4)(2x －y )2＝22×(x －y )2＝4(x －y )＝4x －4y .方法总结：形如(n m )2(m ≥0)的二次根式的化简，可先利用(ab )2＝a 2b 2，化为n 2·(m )2(m ≥0)后再化简．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】 利用a ＝|a |计算计算： (1)22； (2)（－23）2； (3)－（－π）2.解析：利用a 2＝|a |进行计算．解：(1)22＝2； (2)（－23）2＝|－23|＝23；(3)－（－π）2＝－|－π|＝－π. 方法总结：a 2＝|a |的实质是求a 2的算术平方根，其结果一定是非负数． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题 【类型三】 利用二次根式的性质化简求值先化简，再求值：a ＋1＋2a ＋a 2，其中a ＝－2或3. 解析：先把二次根式化简，再代入求值，即可解答．解：a ＋1＋2a ＋a 2＝a ＋（a ＋1）2＝a ＋|a ＋1|，当a ＝－2时，原式＝－2＋|－2＋1|＝－2＋1＝－1；当a ＝3时，原式＝3＋|3＋1|＝3＋4＝7.方法总结：本题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是先化简，再求值． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题 探究点二：利用二次根式的性质进行化简 【类型一】 与数轴的综合如图所示为a ，b 在数轴上的位置，化简2a 2－（a －b ）2＋（a ＋b ）2.解析：由a ，b 在数轴上的位置确定a ＜0，a －b ＜0，a ＋b ＜0.再根据a 2＝|a |进行化简．解：由数轴可知－2＜a＜－1，0＜b＜1，则a－b＜0，a＋b＜0.原式＝2|a|－|a－b|＋|a＋b|＝－2a＋a－b－(a＋b)＝－2a－2b.方法总结：利用a2＝|a|化简时，先必须弄清楚被开方数的底数的正负性，计算时应包括两个步骤：①把被开方数的底数移到绝对值符号中；②根据绝对值内代数式的正负性去掉绝对值符号．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型二】与三角形三边关系的综合已知a、b、c是△ABC的三边长，化简（a＋b＋c）2－（b＋c－a）2＋（c－b－a）2.解析：根据三角形的三边关系得出b＋c＞a，b＋a＞c，根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号后合并即可．解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴b＋c＞a，b＋a＞c，∴原式＝|a＋b＋c|－|b＋c －a|＋|c－b－a|＝a＋b＋c－(b＋c－a)＋(b＋a－c)＝a＋b＋c－b－c＋a＋b＋a－c＝3a＋b－c.方法总结：解答本题的关键是根据三角形的三边关系(三角形中任意两边之和大于第三边)，得出不等关系，再结合二次根式的性质进行化简．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题三、板书设计二次根式的性质是建立在二次根式概念的基础上，同时又为学习二次根式的运算打下基础．本节教学始终以问题的形式展开，使学生在教师设问和自己释问的过程中萌生自主学习的动机和欲望，逐渐养成思考问题的习惯．性质1和性质2容易混淆，教师在教学中应注意引导学生辨析它们的区别，以便更好地灵活运用第1课时二次根式的乘法1．掌握二次根式的乘法运算法则；(重点)2．会进行二次根式的乘法运算．(重点、难点)一、情境导入小颖家有一块长方形菜地，长6m，宽3m，那么这个长方形菜地的面积是多少？二、合作探究探究点一：二次根式的乘法法则成立的条件式子x ＋1·2－x ＝（x ＋1）（2－x ）成立的条件是( ) A ．x ≤2 B ．x ≥－1C ．－1≤x ≤2D ．－1＜x ＜2解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x ≥0.解得－1≤x ≤2.故选C.方法总结：运用二次根式的乘法法则：a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数这一条件．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 探究点二：二次根式的乘法【类型一】 二次根式的乘法运算计算：(1)53×27125； (2)918×(－1654)；(3)135·23·(－3416)； (4)2a 8ab ·(－236a 2b )·3a (a ≥0，b ≥0)．解析：第(1)小题直接按二次根式的乘法法则进行计算，第(2)，(3)，(4)小题把二次根式前的系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．解：(1)原式＝53×27125＝35； (2)原式＝－(9×16)18×54＝－32182×3＝－273；(3)原式＝－(2×34)85×3×16＝－3245＝－355； (4)原式＝－2a ×238ab ·6a 2b ·3a ＝－16a 3b .方法总结：二次根式与二次根式相乘时，可类比单项式与单项式相乘，把系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．最后结果要化为最简二次根式，计算时要注意积的符号．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】 逆用性质3(即ab ＝a ·b ，a ≥0，b ≥0)进行化简化简： (1)196×0.25； (2)（－19）×（－6481）；(3)225a 6b 2(a ≥0，b ≥0)．解析：利用积的算术平方根的性质，把它们化为几个二次根式的积，(2)小题中先确定符号．解：(1)196×0.25＝196×0.25＝14×0.5＝7； (2)（－19）×（－6481）＝19×6481＝19×6481＝13×89＝827； (3)225a 6b 2＝225·a 6·b 2＝15a 3b . 方法总结：利用积的算术平方根的性质进行计算或化简，其实质就是把被开方数中的完全平方数或偶次方进行开平方计算，要注意的是，如果被开方数是几个负数的积，先要把符号进行转化，如(2)小题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 【类型三】 二次根式的乘法的应用 小明的爸爸做了一个长为588πcm ，宽为48πcm 的矩形木板，还想做一个与它面积相等的圆形木板，请你帮他计算一下这个圆的半径(结果保留根号)．解析：根据“矩形的面积＝长×宽”“圆的面积＝π×半径的平方”进行计算． 解：设圆的半径为r cm.因为矩形木板的面积为588π×48π＝168π(cm)2，所以πr 2＝168π，r ＝242(r ＝－242舍去)． 答：这个圆的半径为242cm.方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题 三、板书设计本节课学习了二次根式的乘法和积的算术平方根的性质，两者是可逆的，它们成立的条件都是被开方数为非负数．在教学中通过情境引入激发学生的学习兴趣，让学生自主探究二次根式的乘法法则，鼓励学生运用法则进行二次根式的乘法运算第2课时 二次根式的除法1．会利用商的算术平方根的性质化简二次根式；(重点，难点)2．掌握二次根式的除法法则，并会运用法则进行计算；(重点、难点)3．掌握最简二次根式的概念，并会熟练运用．(重点)一、情境导入计算下列各题，观察有什么规律？ (1)3649＝________；3649＝________． (2)916＝________；916＝________． 3649________3649；916________916. 二、合作探究探究点一：二次根式的除法计算：(1)4872； (2)612518； (3)27a 2b312ab2； (4)12a 3b 5÷(－23a 2b 6)(a ＞0，b >0)． 解析：(1)直接把被开方数相除；(2)把系数与系数相除，被开方数与被开方数相除；(3)被开方数相除时，注意约分；(4)系数相除时，把除法转化为乘法，被开方数相除时，写成商的算术平方根的形式，再化简．解：(1)4872＝4872＝23＝63； (2)612518＝651218＝6523＝256； (3)27a 2b 312ab2＝27a 2b312ab2＝9ab 4＝32ab ； (4)12a 3b 5÷(－23a 2b 6) ＝12×(－32)a 3b 5a 2b 6＝－34a b ＝－34bab . 方法总结：①二次根式的除法运算，可以类比单项式的除法运算，当被除式或除式中有负号时，要先确定商的符号；②二次根式相除，根据除法法则，把被开方数与被开方数相除，转化为一个二次根式；③二次根式的除法运算还可以与商的算术平方根的性质结合起来，灵活选取合适的方法；④最后结果要化为最简二次根式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 探究点二：最简二次根式下列二次根式中，最简二次根式是( )A.8aB.3aC.a3D.a 2＋a 2b 解析：A 选项8a 中含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；B 选项是最简二次根式；C 选项a3中含有分母，不是最简二次根式；D 选项a 2＋a 2b 中被开方数用提公因式法因式分解后得a 2＋a 2b ＝a 2(1＋b )含能开得尽方的因数a 2，不是最简二次根式．故选B.方法总结：最简二次根式必须同时满足下列两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母．判定一个二次根式是不是最简二次根式，就是看是否同时满足最简二次根式的两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 探究点三：商的算术平方根的性质【类型一】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值若a2－a＝a2－a，则a 的取值范围是( ) A ．a ＜2 B ．a ≤2 C ．0≤a ＜2 D ．a ≥0解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，2－a ＞0，解得0≤a ＜2.故选C.方法总结：运用商的算术平方根的性质：b a ＝ba(a ＞0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．【类型二】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式化简：(1)179； (2)3c34a 4b2(a ＞0，b ＞0，c ＞0)． 解析：按商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根． 解：(1)179＝169＝169＝43； (2)3c 34a 4b 2＝3c 34a 4b 2＝c 2a 2b3c . 方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题 探究点四：二次根式除法的应用 已知某长方体的体积为3010cm 3，长为20cm ，宽为15cm ，求长方体的高． 解析：因为“长方体的体积＝长×宽×高”，所以“高＝长方体的体积÷(长×宽)”，代入计算即可．解：长方体的高为3010÷(20×15)＝301020×15＝30130＝30(cm)．方法总结：本题也可以设高为x，根据长方体体积公式建立方程求解．三、板书设计二次根式的除法是建立在二次根式乘法的基础上，所以在学习中应侧重于引导学生利用与学习二次根式乘法相类似的方法学习，从而进一步降低学习难度，提高学习效率第1课时二次根式的加减1．经历探索二次根式的加减运算法则的过程，让学生理解二次根式的加减法则；2．掌握二次根式的加减运算．(重点、难点)一、情境导入计算：(1)2x－5x；(2)3a2－a2＋2a2.上述运算实际上就是合并同类项，如果把题中的x换成3，a2换成5，这时上述两小题就成为如下题目：计算：(1)23－53；(2)35－5＋2 5.这时怎样计算呢？二、合作探究探究点一：同类二次根式下列二次根式中与2是同类二次根式的是( )A.12B.3 2C.23D.18解析：选项A中，12＝23与2被开方数不同，故与2不是同类二次根式；选项B中，32＝62与2被开方数不同，故与2不是同类二次根式；选项C中，23＝63与2被开方数不同，故与2不是同类二次根式；选项D 中，18＝32与2被开方数相同，故与2是同类二次根式．故选D.方法总结：要判断两个二次根式是否是同类二次根式，根据二次根式的性质，把每个二次根式化为最简二次根式，如果被开方数相同，这样的二次根式就是同类二次根式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题 探究点二：二次根式的加减【类型一】 二次根式的加法或减法(1)8＋32； (2)1223＋1332； (3)448－375； (4)1816－3296. 解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并． 解：(1)原式＝22＋42＝(2＋4)2＝62； (2)原式＝166＋166＝(16＋16)6＝63；(3)原式＝163－153＝(16－15)3＝3；(4)原式＝36－66＝(3－6)6＝－3 6. 方法总结：二次根式加减的实质就是合并同类二次根式，合并同类二次根式可以类比合并同类项进行，不是同类二次根式的不能合并．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 【类型二】 二次根式的加减混合运算计算：(1)12－33－273； (2)324x －3x9＋3x1x；(3)3123－45＋220－1260； (4)0.5－213－(18－75)． 解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并． 解：(1)原式＝23－3－3＝0； (2)原式＝3x －x ＋3x ＝5x ；(3)原式＝15－35＋45－15＝5； (4)原式＝22－233－24＋53＝24＋1333. 方法总结：二次根式的加减混合运算步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②运用加法交换律和结合律把同类二次根式移到一起；③把同类二次根式的系数相加减，被开方数不变．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 【类型三】 二次根式加减法的应用 一个三角形的周长是(23＋32)cm ，其中两边长分别是(3＋2)cm ，(33－22)cm ，求第三边长．解析：第三边长等于(23＋32)－(3＋2)－(33－22)，再去括号，合并同类二次根式．解：第三边长是(23＋32)－(3＋2)－(33－22)＝23＋32－3－2－33＋22＝42－23(cm)．方法总结：由三角形周长的意义可知，三角形的周长减去已知两边的长，可得第三边的长．解决问题的关键在于把实际问题转化为二次根式的加减混合运算．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题三、板书设计通过合并同类项引入二次根式的加减法，让学生类比学习．引导学生归纳总结出二次根式加减运算的两个关键步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②合并同类二次根式．并让学生按步骤解题，养成规范解题的良好习惯．教学过程中，注重数学思想方法的渗透(类比)，培养学生良好的思维品质第2课时二次根式的混合运算1．了解二次根式的混合运算顺序；2．会进行二次根式的混合运算．(重点、难点)一、情境导入如果梯形的上、下底边长分别为22cm，43cm，高为6cm，那么它的面积是多少？毛毛是这样算的：梯形的面积：12(22＋43)×6＝(2＋23)×6＝2×6＋23×6＝2×6＋218＝23＋62(cm2)．他的做法正确的吗？二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算【类型一】二次根式的混合运算计算：(1)48÷3－12×12＋24；(2)12÷43×23－50. 解析：(1)先算乘除，再算加减；(2)先计算第一部分，把除法转化为乘法，再化简．解：(1)原式＝16－6＋24＝4－6＋26＝4＋6；(2)原式＝12×34×233－52＝38×233－52＝64×233－52＝22－52＝－922. 方法总结：二次根式的混合运算与实数的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题【类型二】 运用乘法公式进行二次根式的混合运算计算：(1)(5＋3)(5－3)；(2)(32－23)2－(32＋23)2.解析：(1)用平方差公式计算；(2)逆用平方差公式计算． 解：(1)(5＋3)(5－3)＝(5)2－(3)2＝5－3＝2；(2)(32－23)2－(32＋23)2＝(32－23＋32＋23)(32－23－32－23)＝－24 6.方法总结：多项式的乘法公式在二次根式的混合运算中仍然适用，计算时应先观察式子的特点，能用乘法公式的用乘法公式计算．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型三】 二次根式的化简求值 先化简，再求值：x ＋xy xy ＋y ＋xy －y x －xy(x >0，y >0)，其中x ＝3＋1，y ＝3－1. 解析：首先根据约分的方法和二次根式的性质进行化简，然后再代值计算．解：原式＝x （x ＋y ）y （x ＋y ）＋y （x －y ）x （x －y ）＝x y ＋y x ＝x ＋y xy. ∵x ＝3＋1，y ＝3－1，∴x ＋y ＝23，xy ＝3－1＝2，∴原式＝232＝ 6. 方法总结：在解答此类代值计算题时，通常要先化简再代值，如果不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致烦琐的运算．化简求值时注意整体思想的运用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型四】 二次根式混合运算的应用一个三角形的底为63＋22，这条边上的高为33－2，求这个三角形的面积．解析：根据三角形的面积公式进行计算．解：这个三角形的面积为12(63＋22)(33－2)＝12×2×(33＋2)(33－2)＝(33)2－(2)2＝27－2＝25.方法总结：根据题意列出关系式，计算时注意观察式子的特点，选取合适的方法求解，能应用公式的尽量用公式计算．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题探究点二：二次根式的分母有理化【类型一】 分母有理化计算： (1)215＋122； (2)3－23＋2＋3＋23－2.解析：(1)把分子、分母同乘以2，再约分计算；(2)把3－23＋2的分子、分母同乘以3－2，把3＋23－2的分子、分母同乘以3＋2，再运用公式计算． 解：(1)215＋122＝（215＋12）×22×2＝230＋262＝30＋6； (2)3－23＋2＋3＋23－2＝（3－2）2（3＋2）（3－2）＋（3＋2）2（3－2）（3＋2）＝5－263－2＋5＋263－2＝5－26＋5＋26＝10. 方法总结：把分母中的根号化去就是分母有理化，分母有理化时，分子、分母应同乘以一个适当的式子，如果分母只有一个二次根式，则乘以这个二次根式，使得分母能写成a ·a 的形式；如果分母有两项，分子、分母乘以一个二项式，使得能运用平方差公式计算．如分母是a ＋b ，则分子、分母同乘以a －b .【类型二】 分母有理化的逆用比较15－14与14－13的大小解析：把15－14的分母看作“1”，分子、分母同乘以15＋14；把14－13的分母看作“1”大的反而小”，得到它们的大小关系．解：15－14＝（15－14）（15＋14）15＋14＝115＋14，14－13＝（14－13）（14＋13）14＋13＝114＋13.∵15＋14＞14＋13＞0，∴115＋14＜114＋13即15－14＜14－13.方法总结：把分母为“1”的式子化为分子为“1”的式子，根据分母大的反而小可以比较两个数的大小．三、板书设计二次根式的混合运算可类比整式的运算进行，注意运算顺序，最后的结果应化简．引导学生勇于尝试，加强训练，从解题过程中发现问题，解决问题．本节课的易错点是运算错误，要求学生认真细心，养成良好的习惯。
沪科版数学八年级下册19.1《多边形内角和》教学设计
沪科版数学八年级下册19.1《多边形内角和》教学设计一. 教材分析《多边形内角和》是沪科版数学八年级下册19.1节的内容。
本节课主要让学生掌握多边形内角和定理，并能够运用该定理解决实际问题。
教材通过引入多边形的内角和与边数之间的关系，引导学生探究并发现规律，从而得出多边形内角和的计算方法。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了多边形的概念以及多边形的外角和定理。
他们具备一定的观察、操作和探究能力，能够通过合作交流的方式解决问题。
但是，对于一些复杂的多边形，学生可能还不太会运用内角和定理进行计算。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握多边形内角和定理，并能运用该定理计算多边形的内角和。
2.过程与方法：通过观察、操作、探究等活动，培养学生合作交流的能力。
3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探究、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点：多边形内角和定理的推导及其应用。
2.难点：如何引导学生发现并总结多边形内角和与边数之间的关系。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，引导学生发现规律。
2.合作交流法：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的合作能力。
3.实践操作法：让学生动手操作，加深对多边形内角和定理的理解。
六. 教学准备1.课件：制作多媒体课件，展示多边形的内角和定理。
2.学具：为学生准备一些多边形的模型，方便学生观察和操作。
3.黑板：准备一块黑板，用于板书重点内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些多边形的图片，引导学生回顾多边形的概念，同时提出问题：“你们知道多边形的内角和吗？它们之间有什么关系呢？”2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，呈现多边形的内角和定理，并解释定理的含义。
同时，让学生观察一些多边形的内角和，尝试找出它们之间的关系。
3.操练（10分钟）教师提出一些有关多边形内角和的问题，让学生分组讨论，共同解决问题。
期间，教师巡回指导，帮助学生解决遇到的问题。
2023-2024学年八年级数学下册19.2平行四边形教学设计 新版沪科版
2023-2024学年八年级数学下册19.2平行四边形教学设计新版沪科版一. 教材分析《新版沪科版》的八年级数学下册19.2节主要介绍平行四边形的性质。
本节课的内容是学生学习了四边形的性质后，进一步深入研究平行四边形的特性和运用。
教材通过丰富的例题和练习，帮助学生理解和掌握平行四边形的性质，为学生后续学习几何图形的变换和解决实际问题奠定基础。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了四边形的性质，具备一定的空间想象能力和逻辑思维能力。
但学生在解决实际问题时，往往不能灵活运用所学知识。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握平行四边形的性质，能够运用平行四边形的性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生团结协作、勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：平行四边形的性质及运用。
2.难点：如何引导学生发现并证明平行四边形的性质。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、操作、猜想、验证，发现平行四边形的性质。
2.合作交流法：学生分组讨论，分享学习心得，培养团队协作能力。
3.实例分析法：教师通过举例子，帮助学生理解并运用平行四边形的性质。
六. 教学准备1.教学课件：制作包含动画、图片、例题的教学课件。
2.学习素材：收集一些关于平行四边形的实际问题。
3.练习题：准备一些有关平行四边形的练习题，用于课堂巩固和课后作业。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾四边形的性质，为新课的学习做好铺垫。
例如：“同学们，我们已经学习了四边形的性质，那么请问四边形有哪些特性呢？”呈现（10分钟）1.教师通过课件展示平行四边形的图形，引导学生观察并提问：“请大家观察这些平行四边形，你们能发现它们有什么共同的特点吗？”2.教师邀请学生上台演示，操作课件中的平行四边形，使其发生变换，观察变换后的图形，提问：“同学们，你们发现变换后的图形有什么特点吗？”操练（10分钟）1.教师提出问题：“请大家猜想一下，平行四边形有哪些性质？”2.学生分组讨论，分享猜想结果。
沪教版八年级数学下册教案[001]
![沪教版八年级数学下册教案[001]](https://img.taocdn.com/s3/m/58824a3f26d3240c844769eae009581b6ad9bd03.png)
沪教版八年级数学下册教案[001]
课程目标
通过本节课的学习，学生应该能够：
1.认识二阶行列式的概念
2.掌握二阶行列式的计算方法
3.了解二阶行列式的几何意义
教学重点
•二阶行列式的概念
•二阶行列式的计算方法
教学难点
•二阶行列式的几何意义
教学准备
•课件
•黑板、粉笔
教学过程
导入（5分钟）
1.引导学生回忆行列式的概念和计算方法。
2.介绍本节课要学习的新知识：二阶行列式。
讲解（20分钟）
1.介绍二阶行列式的概念。
2.讲解二阶行列式的计算方法。
3.进行一些列式计算练习，让学生熟悉计算方法。
4.介绍二阶行列式的几何意义。
练习（20分钟）
1.学生自行完成一些熟练练习，巩固计算方法。
2.分组练习，让学生相互问答，互相辅导，增加交流的机会。
总结（5分钟）
课堂小结
1.回顾二阶行列式的概念和计算方法。
2.回顾二阶行列式的几何意义。
课后作业
1.完成课本上的练习题。
2.扩展阅读：通过网站或者书籍了解更多关于行列式的知识。
教学效果评估
1.学生能够熟练掌握二阶行列式的计算方法。
2.学生能够了解二阶行列式的几何意义。
3.学生能够完成相应的作业。
反思
•本节课讲解部分略长，时间分配不够均匀。
•互动性不够，应当更好地利用互动环节。
沪科版八年级数学下册教案课程
第1课时二次根式的概念1．了解二次根式的概念；(重点)2．理解二次根式有意义的条件；(重点)3．理解a(a≥0)是一个非负数，并会应用a(a≥0)的非负性解决实际问题．(难点)一、情境导入1．小明准备了一张正方形的纸剪窗花，他算了一下，这张纸的面积是8平方厘米，那么它的边长是多少？2．已知圆的面积是6π，你能求出该圆的半径吗？大家在七年级已经学习过数的开方，现在让我们一起来解决这些问题吧！二、合作探究探究点一：二次根式的概念【类型一】二次根式的识别(2015·安顺期末)下列各式：①12；②2x；③x2＋y2；④－5；⑤35，其中二次根式的个数有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：根据二次根式的概念可直接判断，只有①③满足题意．故选B.方法总结：判断一个式子是否为二次根式，要看式子是否同时具备两个特征：①含有二次根号“”；②被开方数为非负数．两者缺一不可．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】二次根式有意义的条件代数式x＋1x－1有意义，则x的取值范围是( )A．x≥－1且x≠1 B．x≠1C．x≥1且x≠－1 D．x≥－1解析：根据题意可知x＋1≥0且x－1≠0，解得x≥－1且x≠1.故选A.方法总结：(1)要使二次根式有意义，必须使被开方数为非负数，而不是所含字母为非负数；(2)若式子中含有多个二次根式，则字母的取值必须使各个被开方数同时为非负数；(3)若式子中含有分母，则字母的取值必须使分母不为零．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题探究点二：利用二次根式的非负性求值【类型一】利用被开方数的非负性求字母的值(1)已知a，b满足2a＋8＋|b－1|＝0，求2a－b的值；(2)已知实数a，b满足a＝b－2＋2－b＋3，求a，b的值．解析：根据二次根式的被开方数是非负数及绝对值的意义求值即可．解：(1)由题意知⎩⎨⎧2a ＋8＝0，b －1＝0，得2a ＝－8，b ＝1，则2a －b ＝－9； (2)由题意知⎩⎨⎧b －2≥0，2－b ≥0，解得b ＝2.所以a ＝0＋0＋3＝3. 方法总结：①当几个非负数的和为0时，这几个非负数均为0；②当题目中，同时出现a 和－a 时(即二次根式下的被开方数互为相反数)，则可得a ＝0.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型二】 与二次根式有关的最值问题当x ＝________时，3x ＋2＋3的值最小，最小值为________．解析：由二次根式的非负性知3x ＋2≥0，∴当3x ＋2＝0即x ＝－23时，3x ＋2＋3的值最小，此时最小值为3.故答案为－23，3. 方法总结：对于二次根式a ≥0(a ≥0)，可知其有最小值0.变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计本节课的内容是在我们已学过的平方根、算术平方根知识的基础上，进一步引入二次根式的概念．教学过程中，应鼓励学生积极参与，并让学生探究和总结二次根式在实数范围内有意义的条件第2课时 二次根式的性质1．理解和掌握(a)2＝a(a≥0)和a2＝|a|；(重点)2．能正确运用二次根式的性质1和性质2进行化简和计算．(难点)一、情境导入如果正方形的面积是3，那么它的边长是多少？若边长是3，则面积是多少？如果正方形的面积是a，那么它的边长是多少？若边长是a，则面积是多少？你会计算吗？二、合作探究探究点一：利用二次根式的性质进行计算【类型一】计算：(1)(错误!)2; (2)(－错误!)2；(3)(23)2; (4)(2x－y)2.解析：(1)可直接运用(a)2＝a(a≥0)计算，(2)(3)(4)在二次根号前有一个因数，先利用(ab)2＝a2b2，再利用(a)2＝a(a≥0)进行计算．解：(1)(错误!)2＝；(2)(－13)2＝(－1)2×(13)2＝13；(3)(23)2＝22×(3)2＝12；(4)(2x－y)2＝22×(x－y)2＝4(x－y)＝4x－4y.方法总结：形如(n m)2(m≥0)的二次根式的化简，可先利用(ab)2＝a2b2，化为n2·(m)2(m≥0)后再化简．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】计算：(1)22；(2)（－23）2；(3)－（－π）2.解析：利用a2＝|a|进行计算．解：(1)22＝2；(2)（－23）2＝|－23|＝23；(3)－（－π）2＝－|－π|＝－π.方法总结：a2＝|a|的实质是求a2的算术平方根，其结果一定是非负数．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题【类型三】利用二次根式的性质化简求值先化简，再求值：a＋1＋2a＋a2，其中a＝－2或3.解析：先把二次根式化简，再代入求值，即可解答．解：a＋1＋2a＋a2＝a＋（a＋1）2＝a＋|a＋1|，当a＝－2时，原式＝－2＋|－2＋1|＝－2＋1＝－1；当a＝3时，原式＝3＋|3＋1|＝3＋4＝7.方法总结：本题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是先化简，再求值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题探究点二：利用二次根式的性质进行化简【类型一】与数轴的综合如图所示为a，b在数轴上的位置，化简2a2－（a－b）2＋（a＋b）2.解析：由a，b在数轴上的位置确定a＜0，a－b＜0，a＋b＜0.再根据a2＝|a|进行化简．解：由数轴可知－2＜a＜－1，0＜b＜1，则a－b＜0，a＋b＜0.原式＝2|a|－|a－b|＋|a＋b|＝－2a＋a－b－(a＋b)＝－2a－2b.方法总结：利用a2＝|a|化简时，先必须弄清楚被开方数的底数的正负性，计算时应包括两个步骤：①把被开方数的底数移到绝对值符号中；②根据绝对值内代数式的正负性去掉绝对值符号．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型二】与三角形三边关系的综合已知a、b、c是△ABC的三边长，化简（a＋b＋c）2－（b＋c－a）2＋（c－b－a）2.解析：根据三角形的三边关系得出b＋c＞a，b＋a＞c，根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号后合并即可．解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴b＋c＞a，b＋a＞c，∴原式＝|a＋b＋c|－|b＋c －a|＋|c－b－a|＝a＋b＋c－(b＋c－a)＋(b＋a－c)＝a＋b＋c－b－c＋a＋b＋a－c＝3a ＋b－c.方法总结：解答本题的关键是根据三角形的三边关系(三角形中任意两边之和大于第三边)，得出不等关系，再结合二次根式的性质进行化简．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题三、板书设计二次根式的性质是建立在二次根式概念的基础上，同时又为学习二次根式的运算打下基础．本节教学始终以问题的形式展开，使学生在教师设问和自己释问的过程中萌生自主学习的动机和欲望，逐渐养成思考问题的习惯．性质1和性质2容易混淆，教师在教学中应注意引导学生辨析它们的区别，以便更好地灵活运用第1课时二次根式的乘法1．掌握二次根式的乘法运算法则；(重点)2．会进行二次根式的乘法运算．(重点、难点)一、情境导入小颖家有一块长方形菜地，长6m，宽3m，那么这个长方形菜地的面积是多少？二、合作探究探究点一：二次根式的乘法法则成立的条件式子x ＋1·2－x ＝（x ＋1）（2－x ）成立的条件是( )A ．x ≤2B ．x ≥－1C ．－1≤x ≤2D ．－1＜x ＜2解析：根据题意得⎩⎨⎧x ＋1≥0，2－x ≥0.解得－1≤x ≤2.故选C. 方法总结：运用二次根式的乘法法则：a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数这一条件．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题探究点二：二次根式的乘法【类型一】 二次根式的乘法运算计算：(1)53×27125； (2)918×(－1654)； (3)135·23·(－3416)；(4)2a8ab·(－236a2b)·3a(a≥0，b≥0)．解析：第(1)小题直接按二次根式的乘法法则进行计算，第(2)，(3)，(4)小题把二次根式前的系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．解：(1)原式＝53×27125＝35；(2)原式＝－(9×16)18×54＝－32182×3＝－273；(3)原式＝－(2×34)85×3×16＝－3245＝－355；(4)原式＝－2a×238ab·6a2b·3a＝－16a3b.方法总结：二次根式与二次根式相乘时，可类比单项式与单项式相乘，把系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．最后结果要化为最简二次根式，计算时要注意积的符号．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】化简：(1)错误!；(2)错误!；(3)225a6b2(a≥0，b≥0)．解析：利用积的算术平方根的性质，把它们化为几个二次根式的积，(2)小题中先确定符号．解：(1)错误!＝错误!×错误!＝14×＝7；(2)（－19）×（－6481）＝19×6481＝19×6481＝13×89＝827；(3)225a6b2＝225·a6·b2＝15a3b.方法总结：利用积的算术平方根的性质进行计算或化简，其实质就是把被开方数中的完全平方数或偶次方进行开平方计算，要注意的是，如果被开方数是几个负数的积，先要把符号进行转化，如(2)小题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】二次根式的乘法的应用小明的爸爸做了一个长为588πcm，宽为48πcm的矩形木板，还想做一个与它面积相等的圆形木板，请你帮他计算一下这个圆的半径(结果保留根号)．解析：根据“矩形的面积＝长×宽”“圆的面积＝π×半径的平方”进行计算．解：设圆的半径为r cm.因为矩形木板的面积为588π×48π＝168π(cm)2，所以πr2＝168π，r＝242(r＝－242舍去)．答：这个圆的半径为242cm.方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题三、板书设计本节课学习了二次根式的乘法和积的算术平方根的性质，两者是可逆的，它们成立的条件都是被开方数为非负数．在教学中通过情境引入激发学生的学习兴趣，让学生自主探究二次根式的乘法法则，鼓励学生运用法则进行二次根式的乘法运算第2课时 二次根式的除法1．会利用商的算术平方根的性质化简二次根式；(重点，难点)2．掌握二次根式的除法法则，并会运用法则进行计算；(重点、难点)3．掌握最简二次根式的概念，并会熟练运用．(重点)一、情境导入计算下列各题，观察有什么规律？(1)3649＝________；3649＝________． (2)916＝________；916＝________． 3649________3649；916________916. 二、合作探究探究点一：二次根式的除法计算：(1)4872； (2)612518； (3)27a 2b 312ab 2；(4)12a 3b 5÷(－23a 2b 6)(a ＞0，b >0)．解析：(1)直接把被开方数相除；(2)把系数与系数相除，被开方数与被开方数相除；(3)被开方数相除时，注意约分；(4)系数相除时，把除法转化为乘法，被开方数相除时，写成商的算术平方根的形式，再化简．解：(1)4872＝4872＝23＝63； (2)612518＝651218＝6523＝256； (3)27a 2b 312ab2＝27a 2b 312ab 2＝9ab 4＝32ab ； (4)12a 3b 5÷(－23a 2b 6)＝12×(－32)a 3b 5a 2b 6＝－34a b ＝－34bab . 方法总结：①二次根式的除法运算，可以类比单项式的除法运算，当被除式或除式中有负号时，要先确定商的符号；②二次根式相除，根据除法法则，把被开方数与被开方数相除，转化为一个二次根式；③二次根式的除法运算还可以与商的算术平方根的性质结合起来，灵活选取合适的方法；④最后结果要化为最简二次根式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题探究点二：最简二次根式下列二次根式中，最简二次根式是( )解析：A选项8a中含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；B选项是最简二次根式；C选项a3中含有分母，不是最简二次根式；D选项a2＋a2b中被开方数用提公因式法因式分解后得a2＋a2b＝a2(1＋b)含能开得尽方的因数a2，不是最简二次根式．故选B.方法总结：最简二次根式必须同时满足下列两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母．判定一个二次根式是不是最简二次根式，就是看是否同时满足最简二次根式的两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题探究点三：商的算术平方根的性质【类型一】利用商的算术平方根的性质确定字母的取值若a2－a＝a2－a，则a的取值范围是( )A．a＜2 B．a≤2 C．0≤a＜2 D．a≥0解析：根据题意得⎩⎨⎧a ≥0，2－a ＞0，解得0≤a ＜2.故选C.方法总结：运用商的算术平方根的性质：b a ＝ba(a ＞0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．【类型二】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式化简：(1)179； (2)3c 34a 4b 2(a ＞0，b ＞0，c ＞0)． 解析：按商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根．解：(1)179＝169＝169＝43； (2)3c 34a 4b 2＝3c 34a 4b2＝c2a 2b 3c . 方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题探究点四：二次根式除法的应用已知某长方体的体积为3010cm3，长为20cm，宽为15cm，求长方体的高．解析：因为“长方体的体积＝长×宽×高”，所以“高＝长方体的体积÷(长×宽)”，代入计算即可．解：长方体的高为3010÷(20×15)＝301020×15＝30130＝30(cm)．方法总结：本题也可以设高为x，根据长方体体积公式建立方程求解．三、板书设计二次根式的除法是建立在二次根式乘法的基础上，所以在学习中应侧重于引导学生利用与学习二次根式乘法相类似的方法学习，从而进一步降低学习难度，提高学习效率第1课时二次根式的加减1．经历探索二次根式的加减运算法则的过程，让学生理解二次根式的加减法则；2．掌握二次根式的加减运算．(重点、难点)一、情境导入计算：(1)2x－5x；(2)3a2－a2＋2a2.上述运算实际上就是合并同类项，如果把题中的x换成3，a2换成5，这时上述两小题就成为如下题目：计算：(1)23－53；(2)35－5＋2 5.这时怎样计算呢？二、合作探究探究点一：同类二次根式下列二次根式中与2是同类二次根式的是( )解析：选项A中，12＝23与2被开方数不同，故与2不是同类二次根式；选项B中，32＝62与2被开方数不同，故与2不是同类二次根式；选项C中，23＝63与2被开方数不同，故与2不是同类二次根式；选项D中，18＝32与2被开方数相同，故与2是同类二次根式．故选D.方法总结：要判断两个二次根式是否是同类二次根式，根据二次根式的性质，把每个二次根式化为最简二次根式，如果被开方数相同，这样的二次根式就是同类二次根式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题探究点二：二次根式的加减【类型一】二次根式的加法或减法(1)8＋32； (2)1223＋1332； (3)448－375； (4)1816－3296. 解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并．解：(1)原式＝22＋42＝(2＋4)2＝62；(2)原式＝166＋166＝(16＋16)6＝63；(3)原式＝163－153＝(16－15)3＝3；(4)原式＝36－66＝(3－6)6＝－3 6.方法总结：二次根式加减的实质就是合并同类二次根式，合并同类二次根式可以类比合并同类项进行，不是同类二次根式的不能合并．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】 二次根式的加减混合运算计算：(1)12－33－273；(2)324x －3x 9＋3x1x；(3)3123－45＋220－1260；(4)错误!－2错误!－(错误!－错误!)．解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并．解：(1)原式＝23－3－3＝0；(2)原式＝3x－x＋3x＝5x；(3)原式＝15－35＋45－15＝5；(4)原式＝22－233－24＋53＝24＋1333.方法总结：二次根式的加减混合运算步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②运用加法交换律和结合律把同类二次根式移到一起；③把同类二次根式的系数相加减，被开方数不变．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】二次根式加减法的应用一个三角形的周长是(23＋32)cm，其中两边长分别是(3＋2)cm，(33－22)cm，求第三边长．解析：第三边长等于(23＋32)－(3＋2)－(33－22)，再去括号，合并同类二次根式．解：第三边长是(23＋32)－(3＋2)－(33－22)＝23＋32－3－2－33＋22＝42－23(cm)．方法总结：由三角形周长的意义可知，三角形的周长减去已知两边的长，可得第三边的长．解决问题的关键在于把实际问题转化为二次根式的加减混合运算．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题三、板书设计通过合并同类项引入二次根式的加减法，让学生类比学习．引导学生归纳总结出二次根式加减运算的两个关键步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②合并同类二次根式．并让学生按步骤解题，养成规范解题的良好习惯．教学过程中，注重数学思想方法的渗透(类比)，培养学生良好的思维品质第2课时 二次根式的混合运算1．了解二次根式的混合运算顺序；2．会进行二次根式的混合运算．(重点、难点)一、情境导入如果梯形的上、下底边长分别为22cm ，43cm ，高为6cm ，那么它的面积是多少？毛毛是这样算的：梯形的面积：12(22＋43)×6＝(2＋23)×6＝2×6＋23×6＝2×6＋218＝23＋62(cm 2)．他的做法正确的吗？二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算【类型一】二次根式的混合运算计算：(1)48÷3－12×12＋24；(2)12÷43×23－50.解析：(1)先算乘除，再算加减；(2)先计算第一部分，把除法转化为乘法，再化简．解：(1)原式＝16－6＋24＝4－6＋26＝4＋6；(2)原式＝12×34×233－52＝38×233－52＝64×233－52＝22－52＝－922.方法总结：二次根式的混合运算与实数的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题【类型二】运用乘法公式进行二次根式的混合运算计算：(1)(5＋3)(5－3)；(2)(32－23)2－(32＋23)2.解析：(1)用平方差公式计算；(2)逆用平方差公式计算．解：(1)(5＋3)(5－3)＝(5)2－(3)2＝5－3＝2；(2)(32－23)2－(32＋23)2＝(32－23＋32＋23)(32－23－32－23)＝－24 6.方法总结：多项式的乘法公式在二次根式的混合运算中仍然适用，计算时应先观察式子的特点，能用乘法公式的用乘法公式计算．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型三】二次根式的化简求值先化简，再求值：x＋xyxy＋y＋xy－yx－xy(x>0，y>0)，其中x＝3＋1，y＝3－1.解析：首先根据约分的方法和二次根式的性质进行化简，然后再代值计算．解：原式＝x（x＋y）y（x＋y）＋y（x－y）x（x－y）＝xy＋yx＝x＋yxy.∵x＝3＋1，y＝3－1，∴x＋y＝23，xy＝3－1＝2，∴原式＝232＝ 6.方法总结：在解答此类代值计算题时，通常要先化简再代值，如果不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致烦琐的运算．化简求值时注意整体思想的运用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型四】 二次根式混合运算的应用 一个三角形的底为63＋22，这条边上的高为33－2，求这个三角形的面积．解析：根据三角形的面积公式进行计算．解：这个三角形的面积为12(63＋22)(33－2)＝12×2×(33＋2)(33－2)＝(33)2－(2)2＝27－2＝25.方法总结：根据题意列出关系式，计算时注意观察式子的特点，选取合适的方法求解，能应用公式的尽量用公式计算．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题探究点二：二次根式的分母有理化【类型一】 分母有理化计算：(1)215＋122； (2)3－23＋2＋3＋23－2.解析：(1)把分子、分母同乘以2，再约分计算；(2)把3－23＋2的分子、分母同乘以3－2，把3＋23－2的分子、分母同乘以3＋2，再运用公式计算． 解：(1)215＋122＝（215＋12）×22×2＝230＋262＝30＋6； (2)3－23＋2＋3＋23－2＝（3－2）2（3＋2）（3－2）＋（3＋2）2（3－2）（3＋2）＝5－263－2＋5＋263－2＝5－26＋5＋26＝10. 方法总结：把分母中的根号化去就是分母有理化，分母有理化时，分子、分母应同乘以一个适当的式子，如果分母只有一个二次根式，则乘以这个二次根式，使得分母能写成a ·a 的形式；如果分母有两项，分子、分母乘以一个二项式，使得能运用平方差公式计算．如分母是a ＋b ，则分子、分母同乘以a －b .【类型二】 分母有理化的逆用 比较15－14与14－13的大小解析：把15－14的分母看作“1”，分子、分母同乘以15＋14；把14－13的分母看作“1”，分子、分母同乘以14＋13，再根据“分子相同的两个正分数比较大小，分母大的反而小”，得到它们的大小关系．解：15－14＝（15－14）（15＋14）15＋14＝115＋14，14－13＝（14－13）（14＋13）14＋13＝114＋13.∵15＋14＞14＋13＞0，∴115＋14＜114＋13即15－14＜14－13.方法总结：把分母为“1”的式子化为分子为“1”的式子，根据分母大的反而小可以比较两个数的大小．三、板书设计二次根式的混合运算可类比整式的运算进行，注意运算顺序，最后的结果应化简．引导学生勇于尝试，加强训练，从解题过程中发现问题，解决问题．本节课的易错点是运算错误，要求学生认真细心，养成良好的习惯。
沪科版初二下册数学全册教案(教学设计)
沪科版八年级下册初中数学全册资料汇编教案（教学设计）16.1二次根式（1）主备人：教学反思16.1二次根式（2）主备人：教学反思16.2 二次根式的运算第1课时二次根式的乘法第2课时 二次根式的除法学习目标1．会利用商的算术平方根的性质化简二次根式.(重点、难点) 2．掌握二次根式的除法法则，并会运用法则进行计算.(重点、难点) 3．掌握最简二次根式的概念，并会熟练运用．(重点) 教学过程一、情境导入计算下列各题，观察有什么规律？ (1)3649＝________；3649＝________． (2)916＝________；916＝________． 3649________3649；916________916. 二、合作探究探究点一：二次根式的除法计算：(1)4872； (2)612518； (3)27a 2b 312ab 2；(4)12a 3b 5÷(－23a 2b 6)(a ＞0，b >0)． 解析：(1)直接把被开方数相除；(2)把系数与系数相除，被开方数与被开方数相除；(3)被开方数相除时，注意约分；(4)系数相除时，把除法转化为乘法，被开方数相除时，写成商的算术平方根的形式，再化简．解：(1)4872＝4872＝23＝63； (2)612518＝651218＝6523＝256； (3)27a 2b 312ab2＝27a 2b 312ab 2＝9ab 4＝32ab ；(4)12a 3b 5÷(－23a 2b 6) ＝12×(－32)a 3b 5a 2b 6＝－34a b ＝－34bab . 方法总结：①二次根式的除法运算，可以类比单项式的除法运算，当被除式或除式中有负号时，要先确定商的符号；②二次根式相除，根据除法法则，把被开方数与被开方数相除，转化为一个二次根式；③二次根式的除法运算还可以与商的算术平方根的性质结合起来，灵活选取合适的方法；④最后结果要化为最简二次根式．探究点二：最简二次根式下列二次根式中，最简二次根式是( ) A.8a B.3a C.a3D.a 2＋a 2b 解析：A 选项8a 中含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；B 选项是最简二次根式；C 选项a3中含有分母，不是最简二次根式；D 选项a 2＋a 2b 中被开方数用提公因式法因式分解后得a 2＋a 2b ＝a 2(1＋b )含能开得尽方的因数a 2，不是最简二次根式．故选B.方法总结：最简二次根式必须同时满足下列两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母．判定一个二次根式是不是最简二次根式，就是看是否同时满足最简二次根式的两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．探究点三：商的算术平方根的性质【类型一】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值若a2－a＝a2－a，则a 的取值范围是( )A ．a ＜2B ．a ≤2 C．0≤a ＜2 D ．a ≥0解析：根据题意得⎩⎨⎧a ≥0，2－a ＞0，解得0≤a ＜2.故选C.方法总结：运用商的算术平方根的性质：b a ＝ba(a ＞0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．【类型二】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式化简：(1)179； (2)3c 34a 4b 2(a ＞0，b ＞0，c ＞0)． 解析：按商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根． 解：(1)179＝169＝169＝43； (2)3c 34a 4b 2＝3c 34a 4b 2＝c2a 2b3c . 方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．探究点四：二次根式除法的应用已知某长方体的体积为3010 cm 3，长为20 cm ，宽为15 cm ，求长方体的高． 解析：因为“长方体的体积＝长×宽×高”，所以“高＝长方体的体积÷(长×宽)”，代入计算即可．解：长方体的高为3010÷(20×15)＝301020×15＝30130＝30(cm)． 方法总结：本题也可以设高为x ，根据长方体的体积公式建立方程求解． 教学反思二次根式的除法是建立在二次根式乘法的基础上，所以在学习中应侧重于引导学生利用与学习二次根式乘法相类似的方法学习，从而进一步降低学习难度，提高学习效率。
沪科版初二下册数学全册教案(教学设计)
沪科版八年级下册初中数学全册资料汇编教案（教学设计）16.1二次根式（1）主备人：教学反思16.1二次根式（2）主备人：教学反思16.2 二次根式的运算第1课时二次根式的乘法第2课时 二次根式的除法学习目标1．会利用商的算术平方根的性质化简二次根式.(重点、难点) 2．掌握二次根式的除法法则，并会运用法则进行计算.(重点、难点) 3．掌握最简二次根式的概念，并会熟练运用．(重点) 教学过程一、情境导入计算下列各题，观察有什么规律？ (1)3649＝________；3649＝________． (2)916＝________；916＝________． 3649________3649；916________916. 二、合作探究探究点一：二次根式的除法计算：(1)4872； (2)612518； (3)27a 2b 312ab 2；(4)12a 3b 5÷(－23a 2b 6)(a ＞0，b >0)． 解析：(1)直接把被开方数相除；(2)把系数与系数相除，被开方数与被开方数相除；(3)被开方数相除时，注意约分；(4)系数相除时，把除法转化为乘法，被开方数相除时，写成商的算术平方根的形式，再化简．解：(1)4872＝4872＝23＝63； (2)612518＝651218＝6523＝256； (3)27a 2b 312ab2＝27a 2b 312ab 2＝9ab 4＝32ab ；(4)12a 3b 5÷(－23a 2b 6) ＝12×(－32)a 3b 5a 2b 6＝－34a b ＝－34bab . 方法总结：①二次根式的除法运算，可以类比单项式的除法运算，当被除式或除式中有负号时，要先确定商的符号；②二次根式相除，根据除法法则，把被开方数与被开方数相除，转化为一个二次根式；③二次根式的除法运算还可以与商的算术平方根的性质结合起来，灵活选取合适的方法；④最后结果要化为最简二次根式．探究点二：最简二次根式下列二次根式中，最简二次根式是( ) A.8a B.3a C.a3D.a 2＋a 2b 解析：A 选项8a 中含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；B 选项是最简二次根式；C 选项a3中含有分母，不是最简二次根式；D 选项a 2＋a 2b 中被开方数用提公因式法因式分解后得a 2＋a 2b ＝a 2(1＋b )含能开得尽方的因数a 2，不是最简二次根式．故选B.方法总结：最简二次根式必须同时满足下列两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母．判定一个二次根式是不是最简二次根式，就是看是否同时满足最简二次根式的两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．探究点三：商的算术平方根的性质【类型一】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值若a2－a＝a2－a，则a 的取值范围是( )A ．a ＜2B ．a ≤2 C．0≤a ＜2 D ．a ≥0解析：根据题意得⎩⎨⎧a ≥0，2－a ＞0，解得0≤a ＜2.故选C.方法总结：运用商的算术平方根的性质：b a ＝ba(a ＞0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．【类型二】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式化简：(1)179； (2)3c 34a 4b 2(a ＞0，b ＞0，c ＞0)． 解析：按商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根． 解：(1)179＝169＝169＝43； (2)3c 34a 4b 2＝3c 34a 4b 2＝c2a 2b3c . 方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．探究点四：二次根式除法的应用已知某长方体的体积为3010 cm 3，长为20 cm ，宽为15 cm ，求长方体的高． 解析：因为“长方体的体积＝长×宽×高”，所以“高＝长方体的体积÷(长×宽)”，代入计算即可．解：长方体的高为3010÷(20×15)＝301020×15＝30130＝30(cm)． 方法总结：本题也可以设高为x ，根据长方体的体积公式建立方程求解． 教学反思二次根式的除法是建立在二次根式乘法的基础上，所以在学习中应侧重于引导学生利用与学习二次根式乘法相类似的方法学习，从而进一步降低学习难度，提高学习效率。
沪科版初中数学初二数学下册《矩形菱形正方形》教案及教学反思
沪科版初中数学初二数学下册《矩形菱形正方形》教案及教学反思一、教学目标1.掌握矩形、菱形、正方形的概念及特征。
2.能够辨认并绘制矩形、菱形、正方形。
3.能够求解矩形、菱形、正方形的周长和面积。
4.能够利用矩形、菱形、正方形进行简单的数学推理。
二、教学内容1.矩形、菱形、正方形的定义及特征。
2.矩形、菱形、正方形的绘制方法。
3.矩形、菱形、正方形的周长和面积计算。
4.利用矩形、菱形、正方形进行简单的数学推理。
三、教学重点1.掌握矩形、菱形、正方形的概念及特征。
2.能够求解矩形、菱形、正方形的周长和面积。
四、教学难点1.能够利用矩形、菱形、正方形进行简单的数学推理。
2.能够辨认并绘制矩形、菱形、正方形。
五、教学方法1.板书法2.讲解示范法3.互动探究法4.解决问题法六、教学过程1.引入新知识1.出示几张矩形、菱形、正方形图片，请同学们来辨认，并分别说出它们的特征。
2.通过让同学们互相辨认，引入矩形、菱形、正方形的定义及特征。
2.学习新知识1.让同学们分别绘制矩形、菱形、正方形，并检查绘制是否正确。
2.学习矩形、菱形、正方形的周长和面积计算方法，包括公式和计算步骤。
3.掌握新知识1.通过多个实例的联系，巩固同学们掌握矩形、菱形、正方形的概念及特征。
2.让同学们利用矩形、菱形、正方形进行简单的数学推理，巩固计算方法的掌握。
4.拓展应用1.利用矩形、菱形、正方形解决生活中的实际问题。
2.让同学们根据自己的想象绘制各种形状，并计算周长和面积，拓展应用知识。
七、教学反思本节课是初二数学下册中的一节重点课程，本次教学主要目标是帮助同学们掌握矩形、菱形、正方形的定义及特征，能够辨认并绘制这些图形，求解它们的周长和面积，以及能够利用它们进行简单的数学推理。
这次教学我主要采用了板书法、讲解示范法、互动探究法和解决问题法，通过多个实例和练习，提高了同学们的掌握能力。
在教学难点上，我采用了解决问题法和互动探究法，让同学们自己去想去发现，提高了他们的思维能力和应用能力。
沪科八年级数学下册全册教案
第1课时二次根式的概念1．了解二次根式的概念；(重点)2．理解二次根式有意义的条件；(重点)3．理解a(a≥0)是一个非负数，并会应用a(a≥0)的非负性解决实际问题．(难点)一、情境导入1．小明准备了一张正方形的纸剪窗花，他算了一下，这张纸的面积是8平方厘米，那么它的边长是多少？2．已知圆的面积是6π，你能求出该圆的半径吗？大家在七年级已经学习过数的开方，现在让我们一起来解决这些问题吧！二、合作探究探究点一：二次根式的概念【类型一】二次根式的识别(2015·安顺期末)下列各式：①12；②2x；③x2＋y2；④－5；⑤35，其中二次根式的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：根据二次根式的概念可直接判断，只有①③满足题意．故选B.方法总结：判断一个式子是否为二次根式，要看式子是否同时具备两个特征：①含有二次根号“”；②被开方数为非负数．两者缺一不可．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】二次根式有意义的条件代数式x＋1x－1有意义，则x的取值范围是()A．x≥－1且x≠1 B．x≠1C．x≥1且x≠－1 D．x≥－1解析：根据题意可知x＋1≥0且x－1≠0，解得x≥－1且x≠1.故选A.方法总结：(1)要使二次根式有意义，必须使被开方数为非负数，而不是所含字母为非负数；(2)若式子中含有多个二次根式，则字母的取值必须使各个被开方数同时为非负数；(3)若式子中含有分母，则字母的取值必须使分母不为零．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题探究点二：利用二次根式的非负性求值【类型一】 (1)已知a ，b 满足2a ＋8＋|b －1|＝0，求2a －b 的值； (2)已知实数a ，b 的值．解析：根据二次根式的被开方数是非负数及绝对值的意义求值即可． 解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋8＝0，b －1＝0，得2a ＝－8，b ＝1，则2a －b ＝－9；(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧b －2≥0，2－b ≥0，解得b ＝2.所以a ＝0＋0＋3＝3.方法总结：①当几个非负数的和为0时，这几个非负数均为0；②当题目中，同时出现a 和－a 时(即二次根式下的被开方数互为相反数)，则可得a ＝0.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 【类型二】 与二次根式有关的最值问题当x ＝________时，3x ＋2＋3的值最小，最小值为________．解析：由二次根式的非负性知3x ＋2≥0，∴当3x ＋2＝0即x ＝－23时，3x ＋2＋3的值最小，此时最小值为3.故答案为－23，3.方法总结：对于二次根式a ≥0(a ≥0)，可知其有最小值0. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题 三、板书设计本节课的内容是在我们已学过的平方根、算术平方根知识的基础上，进一步引入二次根式的概念．教学过程中，应鼓励学生积极参与，并让学生探究和总结二次根式在实数范围内有意义的条件第2课时 二次根式的性质1．理解和掌握(a )2＝a (a ≥0)和a 2＝|a |；(重点)2．能正确运用二次根式的性质1和性质2进行化简和计算．(难点)一、情境导入如果正方形的面积是3，那么它的边长是多少？若边长是3，则面积是多少？ 如果正方形的面积是a ，那么它的边长是多少？若边长是a ，则面积是多少？你会计算吗？二、合作探究探究点一：利用二次根式的性质进行计算【类型一】 计算： (1)(0.3)2; (2)(－13)2；(3)(23)2; (4)(2x －y )2.解析：(1)可直接运用(a )2＝a (a ≥0)计算，(2)(3)(4)在二次根号前有一个因数，先利用(ab )2＝a 2b 2，再利用(a )2＝a (a ≥0)进行计算．解：(1)(0.3)2＝0.3；(2)(－13)2＝(－1)2³(13)2＝13； (3)(23)2＝22³(3)2＝12； (4)(2x －y )2＝22³(x －y )2＝4(x －y )＝4x －4y .方法总结：形如(n m )2(m ≥0)的二次根式的化简，可先利用(ab )2＝a 2b 2，化为n 2·(m )2(m ≥0)后再化简．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】 利用a ＝|a |计算计算： (1)22； (2)（－23）2； (3)－（－π）2.解析：利用a 2＝|a |进行计算． 解：(1)22＝2； (2)（－23）2＝|－23|＝23；(3)－（－π）2＝－|－π|＝－π.方法总结：a 2＝|a |的实质是求a 2的算术平方根，其结果一定是非负数． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题 【类型三】 利用二次根式的性质化简求值先化简，再求值：a ＋1＋2a ＋a 2，其中a ＝－2或3. 解析：先把二次根式化简，再代入求值，即可解答．解：a ＋1＋2a ＋a 2＝a ＋（a ＋1）2＝a ＋|a ＋1|，当a ＝－2时，原式＝－2＋|－2＋1|＝－2＋1＝－1；当a ＝3时，原式＝3＋|3＋1|＝3＋4＝7.方法总结：本题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是先化简，再求值． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题 探究点二：利用二次根式的性质进行化简 【类型一】 与数轴的综合如图所示为a ，b 在数轴上的位置，化简2a 2－（a －b ）2＋（a ＋b ）2.解析：由a ，b 在数轴上的位置确定a ＜0，a －b ＜0，a ＋b ＜0.再根据a 2＝|a |进行化简． 解：由数轴可知－2＜a ＜－1，0＜b ＜1，则a －b ＜0，a ＋b ＜0.原式＝2|a |－|a －b |＋|a＋b|＝－2a＋a－b－(a＋b)＝－2a－2b.方法总结：利用a2＝|a|化简时，先必须弄清楚被开方数的底数的正负性，计算时应包括两个步骤：①把被开方数的底数移到绝对值符号中；②根据绝对值内代数式的正负性去掉绝对值符号．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型二】与三角形三边关系的综合已知a、b、c是△ABC的三边长，化简（a＋b＋c）2－（b＋c－a）2＋（c－b－a）2.解析：根据三角形的三边关系得出b＋c＞a，b＋a＞c，根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号后合并即可．解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴b＋c＞a，b＋a＞c，∴原式＝|a＋b＋c|－|b＋c－a|＋|c－b－a|＝a＋b＋c－(b＋c－a)＋(b＋a－c)＝a＋b＋c－b－c＋a＋b＋a－c＝3a＋b－c.方法总结：解答本题的关键是根据三角形的三边关系(三角形中任意两边之和大于第三边)，得出不等关系，再结合二次根式的性质进行化简．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题三、板书设计二次根式的性质是建立在二次根式概念的基础上，同时又为学习二次根式的运算打下基础．本节教学始终以问题的形式展开，使学生在教师设问和自己释问的过程中萌生自主学习的动机和欲望，逐渐养成思考问题的习惯．性质1和性质2容易混淆，教师在教学中应注意引导学生辨析它们的区别，以便更好地灵活运用第1课时二次根式的乘法1．掌握二次根式的乘法运算法则；(重点)2．会进行二次根式的乘法运算．(重点、难点)一、情境导入小颖家有一块长方形菜地，长6m，宽3m，那么这个长方形菜地的面积是多少？二、合作探究探究点一：二次根式的乘法法则成立的条件式子x ＋1²2－x ＝（x ＋1）（2－x ）成立的条件是( ) A ．x ≤2 B ．x ≥－1C ．－1≤x ≤2D ．－1＜x ＜2解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x ≥0.解得－1≤x ≤2.故选C.方法总结：运用二次根式的乘法法则：a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数这一条件．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 探究点二：二次根式的乘法【类型一】 二次根式的乘法运算计算：(1)53³27125； (2)918³(－1654)；(3)135²23²(－3416)； (4)2a 8ab ²(－236a 2b )·3a (a ≥0，b ≥0)．解析：第(1)小题直接按二次根式的乘法法则进行计算，第(2)，(3)，(4)小题把二次根式前的系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．解：(1)原式＝53³27125＝35； (2)原式＝－(9³16)18³54＝－32182³3＝－273；(3)原式＝－(2³34)85³3³16＝－3245＝－355； (4)原式＝－2a ³238ab ²6a 2b ²3a ＝－16a 3b .方法总结：二次根式与二次根式相乘时，可类比单项式与单项式相乘，把系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．最后结果要化为最简二次根式，计算时要注意积的符号．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】 化简： (1)196³0.25； (2)（－19）³（－6481）；(3)225a 6b 2(a ≥0，b ≥0)．解析：利用积的算术平方根的性质，把它们化为几个二次根式的积，(2)小题中先确定符号．解：(1)196³0.25＝196³0.25＝14³0.5＝7； (2)（－19）³（－6481）＝19³6481＝19³6481＝13³89＝827； (3)225a 6b 2＝225²a 6²b 2＝15a 3b . 方法总结：利用积的算术平方根的性质进行计算或化简，其实质就是把被开方数中的完全平方数或偶次方进行开平方计算，要注意的是，如果被开方数是几个负数的积，先要把符号进行转化，如(2)小题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 【类型三】 二次根式的乘法的应用 小明的爸爸做了一个长为588πcm ，宽为48πcm 的矩形木板，还想做一个与它面积相等的圆形木板，请你帮他计算一下这个圆的半径(结果保留根号)．解析：根据“矩形的面积＝长³宽”“圆的面积＝π³半径的平方”进行计算． 解：设圆的半径为r cm.因为矩形木板的面积为588π³48π＝168π(cm)2， 所以πr 2＝168π，r ＝242(r ＝－242舍去)． 答：这个圆的半径为242cm.方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题 三、板书设计本节课学习了二次根式的乘法和积的算术平方根的性质，两者是可逆的，它们成立的条件都是被开方数为非负数．在教学中通过情境引入激发学生的学习兴趣，让学生自主探究二次根式的乘法法则，鼓励学生运用法则进行二次根式的乘法运算第2课时 二次根式的除法1．会利用商的算术平方根的性质化简二次根式；(重点，难点)2．掌握二次根式的除法法则，并会运用法则进行计算；(重点、难点)3．掌握最简二次根式的概念，并会熟练运用．(重点)一、情境导入计算下列各题，观察有什么规律？ (1)3649＝________；3649＝________． (2)916＝________；916＝________． 3649________3649；916________916. 二、合作探究探究点一：二次根式的除法计算： (1)4872； (2)612518； (3)27a 2b 312ab 2；(4)12a 3b 5÷(－23a 2b 6)(a ＞0，b >0)． 解析：(1)直接把被开方数相除；(2)把系数与系数相除，被开方数与被开方数相除；(3)被开方数相除时，注意约分；(4)系数相除时，把除法转化为乘法，被开方数相除时，写成商的算术平方根的形式，再化简．解：(1)4872＝4872＝23＝63； (2)612518＝651218＝6523＝256； (3)27a 2b 312ab 2＝27a 2b 312ab 2＝9ab 4＝32ab ； (4)12a 3b 5÷(－23a 2b 6) ＝12³(－32)a 3b 5a 2b 6＝－34a b ＝－34bab . 方法总结：①二次根式的除法运算，可以类比单项式的除法运算，当被除式或除式中有负号时，要先确定商的符号；②二次根式相除，根据除法法则，把被开方数与被开方数相除，转化为一个二次根式；③二次根式的除法运算还可以与商的算术平方根的性质结合起来，灵活选取合适的方法；④最后结果要化为最简二次根式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 探究点二：最简二次根式下列二次根式中，最简二次根式是( )A.8aB.3aC.a3D.a 2＋a 2b 解析：A 选项8a 中含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；B 选项是最简二次根式；C 选项a3中含有分母，不是最简二次根式；D 选项a 2＋a 2b 中被开方数用提公因式法因式分解后得a 2＋a 2b ＝a 2(1＋b )含能开得尽方的因数a 2，不是最简二次根式．故选B.方法总结：最简二次根式必须同时满足下列两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母．判定一个二次根式是不是最简二次根式，就是看是否同时满足最简二次根式的两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 探究点三：商的算术平方根的性质【类型一】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值若a 2－a ＝a2－a，则a 的取值范围是( )A ．a ＜2B ．a ≤2C ．0≤a ＜2D ．a ≥0解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，2－a ＞0，解得0≤a ＜2.故选C.方法总结：运用商的算术平方根的性质：b a ＝ba(a ＞0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．【类型二】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式化简：(1)179； (2)3c 34a 4b 2(a ＞0，b ＞0，c ＞0)． 解析：按商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根． 解：(1)179＝169＝169＝43； (2)3c 34a 4b 2＝3c 34a 4b 2＝c2a 2b3c . 方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题 探究点四：二次根式除法的应用 已知某长方体的体积为3010cm 3，长为20cm ，宽为15cm ，求长方体的高． 解析：因为“长方体的体积＝长³宽³高”，所以“高＝长方体的体积÷(长³宽)”，代入计算即可．解：长方体的高为3010÷(20³15)＝301020³15＝30130＝30(cm)． 方法总结：本题也可以设高为x ，根据长方体体积公式建立方程求解． 三、板书设计二次根式的除法是建立在二次根式乘法的基础上，所以在学习中应侧重于引导学生利用与学习二次根式乘法相类似的方法学习，从而进一步降低学习难度，提高学习效率第1课时 二次根式的加减1．经历探索二次根式的加减运算法则的过程，让学生理解二次根式的加减法则；2．掌握二次根式的加减运算．(重点、难点)一、情境导入 计算：(1)2x －5x ； (2)3a 2－a 2＋2a 2.上述运算实际上就是合并同类项，如果把题中的x 换成3，a 2换成5，这时上述两小题就成为如下题目：计算：(1)23－53； (2)35－5＋2 5. 这时怎样计算呢？ 二、合作探究探究点一：同类二次根式下列二次根式中与2是同类二次根式的是( ) A.12 B.32C.23D.18 解析：选项A 中，12＝23与2被开方数不同，故与2不是同类二次根式；选项B 中，32＝62与2被开方数不同，故与2不是同类二次根式；选项C 中，23＝63与2被开方数不同，故与2不是同类二次根式；选项D 中，18＝32与2被开方数相同，故与2是同类二次根式．故选D.方法总结：要判断两个二次根式是否是同类二次根式，根据二次根式的性质，把每个二次根式化为最简二次根式，如果被开方数相同，这样的二次根式就是同类二次根式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题 探究点二：二次根式的加减【类型一】 二次根式的加法或减法(1)8＋32； (2)1223＋1332； (3)448－375； (4)1816－3296. 解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并．解：(1)原式＝22＋42＝(2＋4)2＝62； (2)原式＝166＋166＝(16＋16)6＝63；(3)原式＝163－153＝(16－15)3＝3；(4)原式＝36－66＝(3－6)6＝－3 6. 方法总结：二次根式加减的实质就是合并同类二次根式，合并同类二次根式可以类比合并同类项进行，不是同类二次根式的不能合并．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 【类型二】 二次根式的加减混合运算计算：(1)12－33－273；(2)324x －3x 9＋3x 1x； (3)3123－45＋220－1260； (4)0.5－213－(18－75)． 解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并． 解：(1)原式＝23－3－3＝0； (2)原式＝3x －x ＋3x ＝5x ；(3)原式＝15－35＋45－15＝5； (4)原式＝22－233－24＋53＝24＋1333. 方法总结：二次根式的加减混合运算步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②运用加法交换律和结合律把同类二次根式移到一起；③把同类二次根式的系数相加减，被开方数不变．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 【类型三】 二次根式加减法的应用 一个三角形的周长是(23＋32)cm ，其中两边长分别是(3＋2)cm ，(33－22)cm ，求第三边长．解析：第三边长等于(23＋32)－(3＋2)－(33－22)，再去括号，合并同类二次根式．解：第三边长是(23＋32)－(3＋2)－(33－22)＝23＋32－3－2－33＋22＝42－23(cm)．方法总结：由三角形周长的意义可知，三角形的周长减去已知两边的长，可得第三边的长．解决问题的关键在于把实际问题转化为二次根式的加减混合运算．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题 三、板书设计通过合并同类项引入二次根式的加减法，让学生类比学习．引导学生归纳总结出二次根式加减运算的两个关键步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②合并同类二次根式．并让学生按步骤解题，养成规范解题的良好习惯．教学过程中，注重数学思想方法的渗透(类比)，培养学生良好的思维品质第2课时 二次根式的混合运算1．了解二次根式的混合运算顺序；2．会进行二次根式的混合运算．(重点、难点)一、情境导入如果梯形的上、下底边长分别为22cm ，43cm ，高为6cm ，那么它的面积是多少？毛毛是这样算的：梯形的面积：12(22＋43)³6＝(2＋23)³6＝2³6＋23³6＝2³6＋218＝23＋62(cm 2)．他的做法正确的吗？二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算【类型一】 二次根式的混合运算计算： (1)48÷3－12³12＋24； (2)12÷43³23－50. 解析：(1)先算乘除，再算加减；(2)先计算第一部分，把除法转化为乘法，再化简．解：(1)原式＝16－6＋24＝4－6＋26＝4＋6；(2)原式＝12³34³233－52＝38³233－52＝64³233－52＝22－52＝－922. 方法总结：二次根式的混合运算与实数的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题【类型二】 运用乘法公式进行二次根式的混合运算计算： (1)(5＋3)(5－3)； (2)(32－23)2－(32＋23)2.解析：(1)用平方差公式计算；(2)逆用平方差公式计算．解：(1)(5＋3)(5－3)＝(5)2－(3)2＝5－3＝2； (2)(32－23)2－(32＋23)2＝(32－23＋32＋23)(32－23－32－23)＝－24 6.方法总结：多项式的乘法公式在二次根式的混合运算中仍然适用，计算时应先观察式子的特点，能用乘法公式的用乘法公式计算．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型三】 二次根式的化简求值 先化简，再求值：x ＋xy xy ＋y ＋xy －y x －xy(x >0，y >0)，其中x ＝3＋1，y ＝3－1. 解析：首先根据约分的方法和二次根式的性质进行化简，然后再代值计算．解：原式＝x （x ＋y ）y （x ＋y ）＋y （x －y ）x （x －y ）＝x y ＋y x ＝x ＋y xy. ∵x ＝3＋1，y ＝3－1，∴x ＋y ＝23，xy ＝3－1＝2，∴原式＝232＝ 6. 方法总结：在解答此类代值计算题时，通常要先化简再代值，如果不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致烦琐的运算．化简求值时注意整体思想的运用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型四】 二次根式混合运算的应用一个三角形的底为63＋22，这条边上的高为33－2，求这个三角形的面积．解析：根据三角形的面积公式进行计算．解：这个三角形的面积为12(63＋22)(33－2)＝12³2³(33＋2)(33－2)＝(33)2－(2)2＝27－2＝25.方法总结：根据题意列出关系式，计算时注意观察式子的特点，选取合适的方法求解，能应用公式的尽量用公式计算．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题探究点二：二次根式的分母有理化【类型一】 分母有理化计算：(1)215＋122； (2)3－23＋2＋3＋23－2. 解析：(1)把分子、分母同乘以2，再约分计算；(2)把3－23＋2的分子、分母同乘以3－2，把3＋23－2的分子、分母同乘以3＋2，再运用公式计算．解：(1)215＋122＝（215＋12）³22³2＝230＋262＝30＋6； (2)3－23＋2＋3＋23－2＝（3－2）2（3＋2）（3－2）＋（3＋2）2（3－2）（3＋2）＝5－263－2＋5＋263－2＝5－26＋5＋26＝10. 方法总结：把分母中的根号化去就是分母有理化，分母有理化时，分子、分母应同乘以一个适当的式子，如果分母只有一个二次根式，则乘以这个二次根式，使得分母能写成a ·a的形式；如果分母有两项，分子、分母乘以一个二项式，使得能运用平方差公式计算．如分母是a ＋b ，则分子、分母同乘以a －b .【类型二】 分母有理化的逆用比较15－14与14－13的大小解析：把15－14的分母看作“1”，分子、分母同乘以15＋14；把14－13的分母看作“1”，分子、分母同乘以14＋13，再根据“分子相同的两个正分数比较大小，分母大的反而小”，得到它们的大小关系．解：15－14＝（15－14）（15＋14）15＋14＝115＋14，14－13＝（14－13）（14＋13）14＋13＝114＋13.∵15＋14＞14＋13＞0， ∴115＋14＜114＋13即15－14＜14－13. 方法总结：把分母为“1”的式子化为分子为“1”的式子，根据分母大的反而小可以比较两个数的大小．三、板书设计二次根式的混合运算可类比整式的运算进行，注意运算顺序，最后的结果应化简．引导学生勇于尝试，加强训练，从解题过程中发现问题，解决问题．本节课的易错点是运算错误，要求学生认真细心，养成良好的习惯。
2024年沪科版八年级下册的数学教学计划（五篇）
沪科版八年级下册的数学教学计划一、指导思想通过数学课的教学，使学生学习现代科技所必需的数学基本知识和基本技能;努力培养学生的运算能力、逻辑思维能力，合作探究能力，以及分析问题和解决问题的能力。
二、教材分析本学期的教学内容共计五章：按教学进度表执行。
三、教学目标落实通过三维目标（知识与技能目标、过程与方法（数学思考与解决问题）目标、情感与态度目标）的落实最终实现能力的培养。
钻研教材，突破重点、难点，抓住关键，深入了解学生，激发学生积极性，因人而宜，制定课堂上有效的辅导、教学方案，使课堂教学更生动有趣，使学生参与到数学活动中来。
四、教学常规落实五、深入业务学习六、将“多媒体”渗透于教学充分利用课件，提高课堂效率，突破教学难点。
使教学清晰化，准确化，条理化，情感化，生动化，做到线索清楚，层次分明，言简意赅，深入浅出。
特别注意调动学生的积极性，加强师生交流，充分体现学生的主观能动作用，使学生积极参与，给学生提供展示自我的平台，使不同层次学生都得到提高。
七、提高学科教育质量的主要措施：1、认真学习教育教学理论，结合落实课标理念。
将“合作分组教学”的课堂教学模式渗透于教学。
让学生通过观察、思考、探究、讨论、归纳，主动地进行学习。
改进教学方法，充分利用多媒体，挂图，实物等创设情景进行教学，力求课堂教学的多样化、生活化和开放化，师生互动、生生互动，构建高效课堂。
运用新课程标准的理念指导教学，积极更新教育理念，关心爱护学生，公平对待学生。
2、培养学生兴趣和良好习惯。
兴趣是的'老师，激发学生的兴趣，给学生适时介绍数学家，数学史，数学趣题，补充数学相应课外思考题，扩充资源，通过各种途径培养学生的兴趣。
教育关键就是培养习惯，良好的学习习惯有助于学生稳步提高学习成绩，发展学生的非智力因素，促进学习兴趣与良好习惯培养。
沪科版八年级下册的数学教学计划（二）一、指导思想二、学情分析从学生的成绩来看，比较理想。
两个班的优生只有二十个，仅占百分之十，而学困生接近百分之四十。
2021 2021新沪科版八年级数学下册教学设计教案含教学反思
2021 2021新沪科版八年级数学下册教学设计教案含教学反思 2021-2021新沪科版八年级数学下册教学设计教案含教学反思第1课二次根式的概念1．了解二次根式的概念；(重点)2.了解二次根式的有意义条件；（要点）3．理解a(a≥0)是一个非负数，并会应用a(a≥0)的非负性解决实际问题．(难点)一、情景介绍1．小明准备了一张正方形的纸剪窗花，他算了一下，这张纸的面积是8平方厘米，那么它的边长是多少？2.假设圆的面积是6π，你能求出圆的半径吗？大家在七年级已经学习过数的开方，现在让我们一起来解决这些问题吧！二、合作探究询问点1：二次根式的概念[类型1]二次根式的识别(2021安顺期末)下列各式：①二次根的数目是（）a．1个b．2个c．3个d．4个分析：根据二次根式的概念，我们可以直接判断① ③ 符合问题的意思方法总结：判断一个式子是否为二次根式，要看式子是否同时具备两个特征：①含有二次根号“”；② 要提取的平方数是非负的。
两者缺一不可132＋y2；④－5；⑤；②2x；③x5，2变体培训：参见本课程“学习与实践卓越”中“课堂标准培训”的第二个问题【类型二】二次根式有意义的条件代数公式x＋1有意义，那么X的值范围是（）X-1a．x≥－1且x≠1b．x≠1c．x≥1且x≠－1d．x≥－1分析：根据问题的含义，x+1≥ 0和X-1≠ 0，解为x≥ - 1和X≠ 1所以选择一个方法总结：(1)要使二次根式有意义，必须使被开方数为非负数，而不是所含字母为非1/100负数；(2)若式子中含有多个二次根式，则字母的取值必须使各个被开方数同时为非负数；(3)若式子中含有分母，则字母的取值必须使分母不为零．变体培训：参见本课程“学习与实践卓越”中“课堂标准培训”的问题4探究点二：利用二次根式的非负性求值[type 1]使用平方数的非负性求出字母的值（1）知道a和B满足2A+8+| B-1 |=0，并求出2A-B的值；（2）众所周知，实数a和B满足a=B-2+2-B+3，因此可以得到a和B 的值。
沪科版数学八年级下册16.1二次根式教学设计
（二）教学设想
1.创设情境，激发兴趣：通过生活中的实例，如勾股定理的应用、面积计算等，引入二次根式的概念，使学生感受到数学的实用性和趣味性。
2.分层次教学，因材施教：针对学生的个体差异，设计不同难度的教学活动，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
此外，学生在解决实际问题时，可能会对二次根式的应用感到陌生，难以将理论知识与实际问题相结合。因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，充分调动学生的学习积极性，通过生动的实例和丰富的教学活动，帮助学生克服恐惧心理，提高解决问题的能力。
同时，八年级学生的思维逐渐由具体形象思维向抽象逻辑思维转变，教师应抓住这一特点，引导学生运用二次根式解决实际问题，培养学生的抽象思维能力和创新意识。在这个过程中，教师要关注学生的情感态度，鼓励学生积极参与，使他们在探索中获得成就感，从而提高学习兴趣和自信心。
4.利用数形结合的方法，帮助学生理解二次根式的性质和运算法则，培养学生的直观想象能力。
5.引导学生运用二次根式解决实际问题，培养学生的应用意识和实践能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣，激发学生的学习热情，使学生在二次根式的学习中感受到数学的魅力。
2.培养学生勇于探索、善于思考的精神，鼓励学生在面对困难时保持积极的态度，增强克服困难的信心。
2.应用题：结合实际情境，设计一些需要运用二次根式解决问题的题目。这些题目旨在培养学生将数学知识应用于解决实际问题的能力，增强学生对数学实用性的认识。
例题：小华家的花园是一个矩形，长比宽多2米，如果花园的面积为48平方米，求花园的长和宽。
3.提高题：设置一些具有一定难度的题目，要求学生运用所学的二次根式性质和运算法则，进行混合运算。这类题目能够锻炼学生的逻辑思维能力和解题技巧。
沪科版八年级下册数学全教案
沪科版八年级下册数学全教案沪科版八年级下册数学全教案作为一名无私奉献的老师，很有必要精心设计一份教案，教案有利于教学水平的提高，有助于教研活动的开展。
教案应该怎么写呢？以下是小编整理的沪科版八年级下册数学全教案，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
沪科版八年级下册数学全教案1第一章勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;即。
2.勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明(两种方法)。
3.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形。
满足的三个正整数称为勾股数。
第二章实数1.平方根和算术平方根的概念及其性质：(1)概念：如果，那么是的平方根，记作： ;其中叫做的算术平方根。
(2)性质：①当≥0时，≥0;当<0时，无意义;② = ;③ 。
2.立方根的概念及其性质：(1)概念：若，那么是的立方根，记作： ;(2)性质：① ;② ;③ =3.实数的概念及其分类：(1)概念：实数是有理数和无理数的统称;(2)分类：按定义分为有理数可分为整数的分数;按性质分为正数、负数和零。
无理数就是无限不循环小数;小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数;其中有限小数和无限循环小数称为分数。
4.与实数有关的概念：在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致;在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。
每一个实数都可以用数轴上的`一个点来表示;反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。
因此，数轴正好可以被实数填满。
5.算术平方根的运算律：( ≥0，≥0); ( ≥0， >0)。
第三章图形的平移与旋转1.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
平移不改变图形大小和形状，改变了图形的位置;经过平移，对应点所连的线段平行且相等;对应线段平行且相等，对应角相等。
沪科版八年级数学下册教案课程
第1课时二次根式的概念1．了解二次根式的概念；(重点)2．理解二次根式有意义的条件；(重点)3．理解a(a≥0)是一个非负数，并会应用a(a≥0)的非负性解决实际问题．(难点)一、情境导入1．小明准备了一张正方形的纸剪窗花，他算了一下，这张纸的面积是8平方厘米，那么它的边长是多少？2．已知圆的面积是6π，你能求出该圆的半径吗？大家在七年级已经学习过数的开方，现在让我们一起来解决这些问题吧！二、合作探究探究点一：二次根式的概念【类型一】二次根式的识别(2015·安顺期末)下列各式：①12；②2x；③x2＋y2；④－5；⑤35，其中二次根式的个数有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：根据二次根式的概念可直接判断，只有①③满足题意．故选B.方法总结：判断一个式子是否为二次根式，要看式子是否同时具备两个特征：①含有二次根号“”；②被开方数为非负数．两者缺一不可．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】二次根式有意义的条件代数式x＋1x－1有意义，则x的取值范围是( )A．x≥－1且x≠1 B．x≠1C．x≥1且x≠－1 D．x≥－1解析：根据题意可知x＋1≥0且x－1≠0，解得x≥－1且x≠1.故选A.方法总结：(1)要使二次根式有意义，必须使被开方数为非负数，而不是所含字母为非负数；(2)若式子中含有多个二次根式，则字母的取值必须使各个被开方数同时为非负数；(3)若式子中含有分母，则字母的取值必须使分母不为零．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题探究点二：利用二次根式的非负性求值【类型一】利用被开方数的非负性求字母的值(1)已知a，b满足2a＋8＋|b－1|＝0，求2a－b的值；(2)已知实数a，b满足a＝b－2＋2－b＋3，求a，b的值．解析：根据二次根式的被开方数是非负数及绝对值的意义求值即可．解：(1)由题意知⎩⎨⎧2a ＋8＝0，b －1＝0，得2a ＝－8，b ＝1，则2a －b ＝－9； (2)由题意知⎩⎨⎧b －2≥0，2－b ≥0，解得b ＝2.所以a ＝0＋0＋3＝3. 方法总结：①当几个非负数的和为0时，这几个非负数均为0；②当题目中，同时出现a 和－a 时(即二次根式下的被开方数互为相反数)，则可得a ＝0.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型二】 与二次根式有关的最值问题当x ＝________时，3x ＋2＋3的值最小，最小值为________．解析：由二次根式的非负性知3x ＋2≥0，∴当3x ＋2＝0即x ＝－23时，3x ＋2＋3的值最小，此时最小值为3.故答案为－23，3. 方法总结：对于二次根式a ≥0(a ≥0)，可知其有最小值0.变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计本节课的内容是在我们已学过的平方根、算术平方根知识的基础上，进一步引入二次根式的概念．教学过程中，应鼓励学生积极参与，并让学生探究和总结二次根式在实数范围内有意义的条件第2课时 二次根式的性质1．理解和掌握(a)2＝a(a≥0)和a2＝|a|；(重点)2．能正确运用二次根式的性质1和性质2进行化简和计算．(难点)一、情境导入如果正方形的面积是3，那么它的边长是多少？若边长是3，则面积是多少？如果正方形的面积是a，那么它的边长是多少？若边长是a，则面积是多少？你会计算吗？二、合作探究探究点一：利用二次根式的性质进行计算【类型一】计算：(1)(0.3)2; (2)(－13)2；(3)(23)2; (4)(2x－y)2.解析：(1)可直接运用(a)2＝a(a≥0)计算，(2)(3)(4)在二次根号前有一个因数，先利用(ab)2＝a2b2，再利用(a)2＝a(a≥0)进行计算．解：(1)(0.3)2＝0.3；(2)(－13)2＝(－1)2×(13)2＝13；(3)(23)2＝22×(3)2＝12；(4)(2x－y)2＝22×(x－y)2＝4(x－y)＝4x－4y.方法总结：形如(n m)2(m≥0)的二次根式的化简，可先利用(ab)2＝a2b2，化为n2·(m)2(m≥0)后再化简．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】计算：(1)22；(2)（－23）2；(3)－（－π）2.解析：利用a2＝|a|进行计算．解：(1)22＝2；(2)（－23）2＝|－23|＝23；(3)－（－π）2＝－|－π|＝－π.方法总结：a2＝|a|的实质是求a2的算术平方根，其结果一定是非负数．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题【类型三】利用二次根式的性质化简求值先化简，再求值：a＋1＋2a＋a2，其中a＝－2或3.解析：先把二次根式化简，再代入求值，即可解答．解：a＋1＋2a＋a2＝a＋（a＋1）2＝a＋|a＋1|，当a＝－2时，原式＝－2＋|－2＋1|＝－2＋1＝－1；当a＝3时，原式＝3＋|3＋1|＝3＋4＝7.方法总结：本题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是先化简，再求值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题探究点二：利用二次根式的性质进行化简【类型一】与数轴的综合如图所示为a，b在数轴上的位置，化简2a2－（a－b）2＋（a＋b）2.解析：由a，b在数轴上的位置确定a＜0，a－b＜0，a＋b＜0.再根据a2＝|a|进行化简．解：由数轴可知－2＜a＜－1，0＜b＜1，则a－b＜0，a＋b＜0.原式＝2|a|－|a－b|＋|a＋b|＝－2a＋a－b－(a＋b)＝－2a－2b.方法总结：利用a2＝|a|化简时，先必须弄清楚被开方数的底数的正负性，计算时应包括两个步骤：①把被开方数的底数移到绝对值符号中；②根据绝对值内代数式的正负性去掉绝对值符号．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型二】与三角形三边关系的综合已知a、b、c是△ABC的三边长，化简（a＋b＋c）2－（b＋c－a）2＋（c－b－a）2.解析：根据三角形的三边关系得出b＋c＞a，b＋a＞c，根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号后合并即可．解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴b＋c＞a，b＋a＞c，∴原式＝|a＋b＋c|－|b＋c －a|＋|c－b－a|＝a＋b＋c－(b＋c－a)＋(b＋a－c)＝a＋b＋c－b－c＋a＋b＋a－c＝3a ＋b－c.方法总结：解答本题的关键是根据三角形的三边关系(三角形中任意两边之和大于第三边)，得出不等关系，再结合二次根式的性质进行化简．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题三、板书设计二次根式的性质是建立在二次根式概念的基础上，同时又为学习二次根式的运算打下基础．本节教学始终以问题的形式展开，使学生在教师设问和自己释问的过程中萌生自主学习的动机和欲望，逐渐养成思考问题的习惯．性质1和性质2容易混淆，教师在教学中应注意引导学生辨析它们的区别，以便更好地灵活运用第1课时二次根式的乘法1．掌握二次根式的乘法运算法则；(重点)2．会进行二次根式的乘法运算．(重点、难点)一、情境导入小颖家有一块长方形菜地，长6m ，宽3m ，那么这个长方形菜地的面积是多少？二、合作探究探究点一：二次根式的乘法法则成立的条件式子x ＋1·2－x ＝（x ＋1）（2－x ）成立的条件是( )A ．x ≤2B ．x ≥－1C ．－1≤x ≤2D ．－1＜x ＜2解析：根据题意得⎩⎨⎧x ＋1≥0，2－x ≥0.解得－1≤x ≤2.故选C. 方法总结：运用二次根式的乘法法则：a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数这一条件．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题探究点二：二次根式的乘法【类型一】 二次根式的乘法运算计算：(1)53×27125； (2)918×(－1654)；(3)135·23·(－3416)；(4)2a8ab·(－236a2b)·3a(a≥0，b≥0)．解析：第(1)小题直接按二次根式的乘法法则进行计算，第(2)，(3)，(4)小题把二次根式前的系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．解：(1)原式＝53×27125＝35；(2)原式＝－(9×16)18×54＝－32182×3＝－273；(3)原式＝－(2×34)85×3×16＝－3245＝－355；(4)原式＝－2a×238ab·6a2b·3a＝－16a3b.方法总结：二次根式与二次根式相乘时，可类比单项式与单项式相乘，把系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．最后结果要化为最简二次根式，计算时要注意积的符号．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】化简：(1)196×0.25；(2)（－19）×（－6481）；(3)225a6b2(a≥0，b≥0)．解析：利用积的算术平方根的性质，把它们化为几个二次根式的积，(2)小题中先确定符号．解：(1)196×0.25＝196×0.25＝14×0.5＝7；(2)（－19）×（－6481）＝19×6481＝19×6481＝13×89＝827；(3)225a6b2＝225·a6·b2＝15a3b.方法总结：利用积的算术平方根的性质进行计算或化简，其实质就是把被开方数中的完全平方数或偶次方进行开平方计算，要注意的是，如果被开方数是几个负数的积，先要把符号进行转化，如(2)小题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】二次根式的乘法的应用小明的爸爸做了一个长为588πcm，宽为48πcm的矩形木板，还想做一个与它面积相等的圆形木板，请你帮他计算一下这个圆的半径(结果保留根号)．解析：根据“矩形的面积＝长×宽”“圆的面积＝π×半径的平方”进行计算．解：设圆的半径为r cm.因为矩形木板的面积为588π×48π＝168π(cm)2，所以πr2＝168π，r＝242(r＝－242舍去)．答：这个圆的半径为242cm.方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题三、板书设计本节课学习了二次根式的乘法和积的算术平方根的性质，两者是可逆的，它们成立的条件都是被开方数为非负数．在教学中通过情境引入激发学生的学习兴趣，让学生自主探究二次根式的乘法法则，鼓励学生运用法则进行二次根式的乘法运算第2课时 二次根式的除法1．会利用商的算术平方根的性质化简二次根式；(重点，难点)2．掌握二次根式的除法法则，并会运用法则进行计算；(重点、难点)3．掌握最简二次根式的概念，并会熟练运用．(重点)一、情境导入计算下列各题，观察有什么规律？(1)3649＝________；3649＝________． (2)916＝________；916＝________． 3649________3649；916________916.二、合作探究探究点一：二次根式的除法计算：(1)4872； (2)612518； (3)27a 2b 312ab 2；(4)12a 3b 5÷(－23a 2b 6)(a ＞0，b >0)．解析：(1)直接把被开方数相除；(2)把系数与系数相除，被开方数与被开方数相除；(3)被开方数相除时，注意约分；(4)系数相除时，把除法转化为乘法，被开方数相除时，写成商的算术平方根的形式，再化简．解：(1)4872＝4872＝23＝63； (2)612518＝651218＝6523＝256； (3)27a 2b 312ab 2＝27a 2b 312ab 2＝9ab 4＝32ab ； (4)12a 3b 5÷(－23a 2b 6)＝12×(－32)a 3b 5a 2b 6＝－34a b ＝－34bab . 方法总结：①二次根式的除法运算，可以类比单项式的除法运算，当被除式或除式中有负号时，要先确定商的符号；②二次根式相除，根据除法法则，把被开方数与被开方数相除，转化为一个二次根式；③二次根式的除法运算还可以与商的算术平方根的性质结合起来，灵活选取合适的方法；④最后结果要化为最简二次根式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题探究点二：最简二次根式下列二次根式中，最简二次根式是( )A.8aB.3aC.a3D.a2＋a2b解析：A选项8a中含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；B选项是最简二次根式；C选项a3中含有分母，不是最简二次根式；D选项a2＋a2b中被开方数用提公因式法因式分解后得a2＋a2b＝a2(1＋b)含能开得尽方的因数a2，不是最简二次根式．故选B.方法总结：最简二次根式必须同时满足下列两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母．判定一个二次根式是不是最简二次根式，就是看是否同时满足最简二次根式的两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题探究点三：商的算术平方根的性质【类型一】利用商的算术平方根的性质确定字母的取值若a 2－a＝a 2－a，则a 的取值范围是( )A ．a ＜2B ．a ≤2C ．0≤a ＜2D ．a ≥0解析：根据题意得⎩⎨⎧a ≥0，2－a ＞0，解得0≤a ＜2.故选C.方法总结：运用商的算术平方根的性质：b a ＝ba(a ＞0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．【类型二】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式化简：(1)179； (2)3c 34a 4b 2(a ＞0，b ＞0，c ＞0)． 解析：按商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根．解：(1)179＝169＝169＝43； (2)3c 34a 4b 2＝3c 34a 4b 2＝c 2a 2b3c . 方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题探究点四：二次根式除法的应用已知某长方体的体积为3010cm3，长为20cm，宽为15cm，求长方体的高．解析：因为“长方体的体积＝长×宽×高”，所以“高＝长方体的体积÷(长×宽)”，代入计算即可．解：长方体的高为3010÷(20×15)＝301020×15＝30130＝30(cm)．方法总结：本题也可以设高为x，根据长方体体积公式建立方程求解．三、板书设计二次根式的除法是建立在二次根式乘法的基础上，所以在学习中应侧重于引导学生利用与学习二次根式乘法相类似的方法学习，从而进一步降低学习难度，提高学习效率第1课时二次根式的加减1．经历探索二次根式的加减运算法则的过程，让学生理解二次根式的加减法则；2．掌握二次根式的加减运算．(重点、难点)一、情境导入计算：(1)2x－5x；(2)3a2－a2＋2a2.上述运算实际上就是合并同类项，如果把题中的x换成3，a2换成5，这时上述两小题就成为如下题目：计算：(1)23－53；(2)35－5＋2 5.这时怎样计算呢？二、合作探究探究点一：同类二次根式下列二次根式中与2是同类二次根式的是( )A.12B.3 2C.23D.18解析：选项A中，12＝23与2被开方数不同，故与2不是同类二次根式；选项B中，32＝62与2被开方数不同，故与2不是同类二次根式；选项C中，23＝63与2被开方数不同，故与2不是同类二次根式；选项D中，18＝32与2被开方数相同，故与2是同类二次根式．故选D.方法总结：要判断两个二次根式是否是同类二次根式，根据二次根式的性质，把每个二次根式化为最简二次根式，如果被开方数相同，这样的二次根式就是同类二次根式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题探究点二：二次根式的加减【类型一】二次根式的加法或减法(1)8＋32；(2)1223＋1332；(3)448－375；(4)1816－3296.解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并．解：(1)原式＝22＋42＝(2＋4)2＝62；(2)原式＝166＋166＝(16＋16)6＝63；(3)原式＝163－153＝(16－15)3＝3；(4)原式＝36－66＝(3－6)6＝－3 6.方法总结：二次根式加减的实质就是合并同类二次根式，合并同类二次根式可以类比合并同类项进行，不是同类二次根式的不能合并．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】二次根式的加减混合运算计算：(1)12－33－273；(2)324x －3x 9＋3x1x；(3)3123－45＋220－1260； (4)0.5－213－(18－75)． 解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并．解：(1)原式＝23－3－3＝0；(2)原式＝3x －x ＋3x ＝5x ；(3)原式＝15－35＋45－15＝5；(4)原式＝22－233－24＋53＝24＋1333. 方法总结：二次根式的加减混合运算步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②运用加法交换律和结合律把同类二次根式移到一起；③把同类二次根式的系数相加减，被开方数不变．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】 二次根式加减法的应用一个三角形的周长是(23＋32)cm，其中两边长分别是(3＋2)cm，(33－22)cm，求第三边长．解析：第三边长等于(23＋32)－(3＋2)－(33－22)，再去括号，合并同类二次根式．解：第三边长是(23＋32)－(3＋2)－(33－22)＝23＋32－3－2－33＋22＝42－23(cm)．方法总结：由三角形周长的意义可知，三角形的周长减去已知两边的长，可得第三边的长．解决问题的关键在于把实际问题转化为二次根式的加减混合运算．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题三、板书设计通过合并同类项引入二次根式的加减法，让学生类比学习．引导学生归纳总结出二次根式加减运算的两个关键步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②合并同类二次根式．并让学生按步骤解题，养成规范解题的良好习惯．教学过程中，注重数学思想方法的渗透(类比)，培养学生良好的思维品质第2课时二次根式的混合运算1．了解二次根式的混合运算顺序；2．会进行二次根式的混合运算．(重点、难点)一、情境导入如果梯形的上、下底边长分别为22cm ，43cm ，高为6cm ，那么它的面积是多少？毛毛是这样算的：梯形的面积：12(22＋43)×6＝(2＋23)×6＝2×6＋23×6＝2×6＋218＝23＋62(cm 2)．他的做法正确的吗？二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算【类型一】 二次根式的混合运算计算：(1)48÷3－12×12＋24； (2)12÷43×23－50. 解析：(1)先算乘除，再算加减；(2)先计算第一部分，把除法转化为乘法，再化简．解：(1)原式＝16－6＋24＝4－6＋26＝4＋6；(2)原式＝12×34×233－52＝38×233－52＝64×233－52＝22－52＝－922.方法总结：二次根式的混合运算与实数的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题【类型二】运用乘法公式进行二次根式的混合运算计算：(1)(5＋3)(5－3)；(2)(32－23)2－(32＋23)2.解析：(1)用平方差公式计算；(2)逆用平方差公式计算．解：(1)(5＋3)(5－3)＝(5)2－(3)2＝5－3＝2；(2)(32－23)2－(32＋23)2＝(32－23＋32＋23)(32－23－32－23)＝－24 6.方法总结：多项式的乘法公式在二次根式的混合运算中仍然适用，计算时应先观察式子的特点，能用乘法公式的用乘法公式计算．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型三】二次根式的化简求值先化简，再求值：x＋xyxy＋y＋xy－yx－xy(x>0，y>0)，其中x＝3＋1，y＝3－1.解析：首先根据约分的方法和二次根式的性质进行化简，然后再代值计算．解：原式＝x（x＋y）y（x＋y）＋y（x－y）x（x－y）＝xy＋yx＝x＋yxy.∵x＝3＋1，y＝3－1，∴x＋y＝23，xy＝3－1＝2，∴原式＝232＝ 6.方法总结：在解答此类代值计算题时，通常要先化简再代值，如果不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致烦琐的运算．化简求值时注意整体思想的运用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型四】二次根式混合运算的应用一个三角形的底为63＋22，这条边上的高为33－2，求这个三角形的面积．解析：根据三角形的面积公式进行计算．解：这个三角形的面积为12(63＋22)(33－2)＝12×2×(33＋2)(33－2)＝(33)2－(2)2＝27－2＝25.方法总结：根据题意列出关系式，计算时注意观察式子的特点，选取合适的方法求解，能应用公式的尽量用公式计算．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题探究点二：二次根式的分母有理化【类型一】分母有理化计算：(1)215＋122； (2)3－23＋2＋3＋23－2. 解析：(1)把分子、分母同乘以2，再约分计算；(2)把3－23＋2的分子、分母同乘以3－2，把3＋23－2的分子、分母同乘以3＋2，再运用公式计算． 解：(1)215＋122＝（215＋12）×22×2＝230＋262＝30＋6； (2)3－23＋2＋3＋23－2＝（3－2）2（3＋2）（3－2）＋（3＋2）2（3－2）（3＋2）＝5－263－2＋5＋263－2＝5－26＋5＋26＝10. 方法总结：把分母中的根号化去就是分母有理化，分母有理化时，分子、分母应同乘以一个适当的式子，如果分母只有一个二次根式，则乘以这个二次根式，使得分母能写成a ·a 的形式；如果分母有两项，分子、分母乘以一个二项式，使得能运用平方差公式计算．如分母是a ＋b ，则分子、分母同乘以a －b .【类型二】 分母有理化的逆用 比较15－14与14－13的大小解析：把15－14的分母看作“1”，分子、分母同乘以15＋14；把14－13的分母看作“1”，分子、分母同乘以14＋13，再根据“分子相同的两个正分数比较大小，分母大的反而小”，得到它们的大小关系．解：15－14＝（15－14）（15＋14）15＋14＝115＋14，14－13＝（14－13）（14＋13）14＋13＝114＋13.∵15＋14＞14＋13＞0，∴115＋14＜114＋13即15－14＜14－13.方法总结：把分母为“1”的式子化为分子为“1”的式子，根据分母大的反而小可以比较两个数的大小．三、板书设计二次根式的混合运算可类比整式的运算进行，注意运算顺序，最后的结果应化简．引导学生勇于尝试，加强训练，从解题过程中发现问题，解决问题．本节课的易错点是运算错误，要求学生认真细心，养成良好的习惯。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第1课时二次根式的概念1.了解二次根式的概念;(重点)2.理解二次根式有意义的条件;(重点)3.理解a(a≥0)就是一个非负数,并会应用a(a≥0)的非负性解决实际问题.(难点)一、情境导入1.小明准备了一张正方形的纸剪窗花,她算了一下,这张纸的面积就是8平方厘米,那么它的边长就是多少？2.已知圆的面积就是6π,您能求出该圆的半径不？大家在七年级已经学习过数的开方,现在让我们一起来解决这些问题吧！二、合作探究探究点一:二次根式的概念【类型一】二次根式的识别(2015·安顺期末)下列各式:①12;②2x;③x2＋y2;④－5;⑤35,其中二次根式的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:根据二次根式的概念可直接判断,只有①③满足题意.故选B、方法总结:判断一个式子就是否为二次根式,要瞧式子就是否同时具备两个特征:①含有二次根号“”;②被开方数为非负数.两者缺一不可.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】二次根式有意义的条件代数式x＋1x－1有意义,则x的取值范围就是()A.x≥－1且x≠1B.x≠1C.x≥1且x≠－1D.x≥－1解析:根据题意可知x＋1≥0且x－1≠0,解得x≥－1且x≠1、故选A、方法总结:(1)要使二次根式有意义,必须使被开方数为非负数,而不就是所含字母为非负数;(2)若式子中含有多个二次根式,则字母的取值必须使各个被开方数同时为非负数;(3)若式子中含有分母,则字母的取值必须使分母不为零.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题探究点二:利用二次根式的非负性求值 【类型一】 利用被开方数的非负性求字母的值 (1)已知a ,b 满足2a ＋8＋|b －1|＝0,求2a －b 的值;(2)已知实数a ,b 满足a ＝b －2＋2－b ＋3,求a ,b 的值.解析:根据二次根式的被开方数就是非负数及绝对值的意义求值即可.解:(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋8＝0b －1＝0得2a ＝－8,b ＝1,则2a －b ＝－9; (2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧b －2≥02－b ≥0解得b ＝2、所以a ＝0＋0＋3＝3、 方法总结:①当几个非负数的与为0时,这几个非负数均为0;②当题目中,同时出现a 与－a 时(即二次根式下的被开方数互为相反数),则可得a ＝0、变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型二】 与二次根式有关的最值问题当x ＝________时,3x ＋2＋3的值最小,最小值为________.解析:由二次根式的非负性知3x ＋2≥0,∴当3x ＋2＝0即x ＝－23时,3x ＋2＋3的值最小,此时最小值为3、故答案为－23,3、 方法总结:对于二次根式a ≥0(a ≥0),可知其有最小值0、变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计本节课的内容就是在我们已学过的平方根、算术平方根知识的基础上,进一步引入二次根式的概念.教学过程中,应鼓励学生积极参与,并让学生探究与总结二次根式在实数范围内有意义的条件第2课时二次根式的性质1.理解与掌握(a)2＝a(a≥0)与a2＝|a|;(重点)2.能正确运用二次根式的性质1与性质2进行化简与计算.(难点)一、情境导入如果正方形的面积就是3,那么它的边长就是多少？若边长就是3,则面积就是多少？如果正方形的面积就是a,那么它的边长就是多少？若边长就是a,则面积就是多少？您会计算不？二、合作探究探究点一:利用二次根式的性质进行计算【类型一】利用(a)2＝a(a≥0)计算计算:(1)(0、3)2; (2)(－13)2;(3)(23)2; (4)(2x－y)2、解析:(1)可直接运用(a)2＝a(a≥0)计算,(2)(3)(4)在二次根号前有一个因数,先利用(ab)2＝a2b2,再利用(a)2＝a(a≥0)进行计算.解:(1)(0、3)2＝0、3;(2)(－13)2＝(－1)2×(13)2＝13;(3)(23)2＝22×(3)2＝12;(4)(2x－y)2＝22×(x－y)2＝4(x－y)＝4x－4y、方法总结:形如(n m)2(m≥0)的二次根式的化简,可先利用(ab)2＝a2b2,化为n2·(m)2(m≥0)后再化简.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】利用a2＝|a|计算计算:(1)22;(2)(－23)2;(3)－(－π)2、解析:利用a2＝|a|进行计算.解:(1)22＝2;(2)(－23)2＝|－23|＝23;(3)－(－π)2＝－|－π|＝－π、方法总结:a2＝|a|的实质就是求a2的算术平方根,其结果一定就是非负数.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题【类型三】利用二次根式的性质化简求值先化简,再求值:a＋1＋2a＋a2,其中a＝－2或3、解析:先把二次根式化简,再代入求值,即可解答.解:a＋1＋2a＋a2＝a＋(a＋1)2＝a＋|a＋1|,当a＝－2时,原式＝－2＋|－2＋1|＝－2＋1＝－1;当a＝3时,原式＝3＋|3＋1|＝3＋4＝7、方法总结:本题考查了二次根式的性质,解决本题的关键就是先化简,再求值.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题探究点二:利用二次根式的性质进行化简【类型一】与数轴的综合如图所示为a,b在数轴上的位置,化简2a2－(a－b)2＋(a＋b)2、解析:由a,b在数轴上的位置确定a＜0,a－b＜0,a＋b＜0、再根据a2＝|a|进行化简.解:由数轴可知－2＜a＜－1,0＜b＜1,则a－b＜0,a＋b＜0、原式＝2|a|－|a－b|＋|a＋b|＝－2a＋a－b－(a＋b)＝－2a－2b、方法总结:利用a2＝|a|化简时,先必须弄清楚被开方数的底数的正负性,计算时应包括两个步骤:①把被开方数的底数移到绝对值符号中;②根据绝对值内代数式的正负性去掉绝对值符号.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型二】与三角形三边关系的综合已知a、b、c就是△ABC的三边长,化简(a＋b＋c)2－(b＋c－a)2＋(c－b－a)2、解析:根据三角形的三边关系得出b＋c＞a,b＋a＞c,根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子,最后去绝对值符号后合并即可.解:∵a、b、c就是△ABC的三边长,∴b＋c＞a,b＋a＞c,∴原式＝|a＋b＋c|－|b＋c－a|＋|c－b－a|＝a＋b＋c－(b＋c－a)＋(b＋a－c)＝a＋b＋c－b－c＋a＋b＋a－c＝3a＋b－c、方法总结:解答本题的关键就是根据三角形的三边关系(三角形中任意两边之与大于第三边),得出不等关系,再结合二次根式的性质进行化简.变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题三、板书设计二次根式的性质就是建立在二次根式概念的基础上,同时又为学习二次根式的运算打下基础.本节教学始终以问题的形式展开,使学生在教师设问与自己释问的过程中萌生自主学习的动机与欲望,逐渐养成思考问题的习惯.性质1与性质2容易混淆,教师在教学中应注意引导学生辨析它们的区别,以便更好地灵活运用第1课时 二次根式的乘法1.掌握二次根式的乘法运算法则;(重点)2.会进行二次根式的乘法运算.(重点、难点)一、情境导入小颖家有一块长方形菜地,长6m,宽3m,那么这个长方形菜地的面积就是多少？二、合作探究 探究点一:二次根式的乘法法则成立的条件式子x ＋1·2－x ＝(x ＋1)(2－x )成立的条件就是( )A.x ≤2B.x ≥－1C.－1≤x ≤2D.－1＜x ＜2解析:根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥02－x ≥0、解得－1≤x ≤2、故选C 、 方法总结:运用二次根式的乘法法则:a ·b ＝ab (a ≥0,b ≥0),必须注意被开方数就是非负数这一条件.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题探究点二:二次根式的乘法【类型一】 二次根式的乘法运算计算: (1)53×27125; (2)918×(－1654); (3)135·23·(－3416); (4)2a 8ab ·(－236a 2b )·3a (a ≥0,b ≥0). 解析:第(1)小题直接按二次根式的乘法法则进行计算,第(2),(3),(4)小题把二次根式前的系数与系数相乘,被开方数与被开方数相乘.解:(1)原式＝53×27125＝35; (2)原式＝－(9×16)18×54＝－32182×3＝－273; (3)原式＝－(2×34)85×3×16＝－3245＝－355; (4)原式＝－2a ×238ab ·6a 2b ·3a ＝－16a 3b 、 方法总结:二次根式与二次根式相乘时,可类比单项式与单项式相乘,把系数与系数相乘,被开方数与被开方数相乘.最后结果要化为最简二次根式,计算时要注意积的符号.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】 逆用性质3(即ab ＝a ·b ,a ≥0,b ≥0)进行化简化简:(1)196×0、25; (2)(－19)×(－6481); (3)225a 6b 2(a ≥0,b ≥0).解析:利用积的算术平方根的性质,把它们化为几个二次根式的积,(2)小题中先确定符号. 解:(1)196×0、25＝196×0、25＝14×0、5＝7;(2)(－19)×(－6481)＝19×6481＝19×6481＝13×89＝827; (3)225a 6b 2＝225·a 6·b 2＝15a 3b 、方法总结:利用积的算术平方根的性质进行计算或化简,其实质就就是把被开方数中的完全平方数或偶次方进行开平方计算,要注意的就是,如果被开方数就是几个负数的积,先要把符号进行转化,如(2)小题.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】二次根式的乘法的应用小明的爸爸做了一个长为588πcm,宽为48πcm的矩形木板,还想做一个与它面积相等的圆形木板,请您帮她计算一下这个圆的半径(结果保留根号).解析:根据“矩形的面积＝长×宽”“圆的面积＝π×半径的平方”进行计算.解:设圆的半径为r cm、因为矩形木板的面积为588π×48π＝168π(cm)2,所以πr2＝168π,r＝242(r＝－242舍去).答:这个圆的半径为242cm、方法总结:把实际问题转化为数学问题,列出相应的式子进行计算,体现了转化思想.变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题三、板书设计本节课学习了二次根式的乘法与积的算术平方根的性质,两者就是可逆的,它们成立的条件都就是被开方数为非负数.在教学中通过情境引入激发学生的学习兴趣,让学生自主探究二次根式的乘法法则,鼓励学生运用法则进行二次根式的乘法运算第2课时二次根式的除法1.会利用商的算术平方根的性质化简二次根式;(重点,难点)2.掌握二次根式的除法法则,并会运用法则进行计算;(重点、难点)3.掌握最简二次根式的概念,并会熟练运用.(重点)一、情境导入计算下列各题,观察有什么规律？(1)3649＝________;3649＝________.(2)916＝________;916＝________.36 49________3649;916________916、二、合作探究探究点一:二次根式的除法 计算: (1)4872; (2)612518; (3)27a 2b 312ab 2; (4)12a 3b 5÷(－23a 2b 6)(a ＞0,b >0). 解析:(1)直接把被开方数相除;(2)把系数与系数相除,被开方数与被开方数相除;(3)被开方数相除时,注意约分;(4)系数相除时,把除法转化为乘法,被开方数相除时,写成商的算术平方根的形式,再化简.解:(1)4872＝4872＝23＝63; (2)612518＝651218＝6523＝256; (3)27a 2b 312ab 2＝27a 2b 312ab 2＝9ab 4＝32ab ; (4)12a 3b 5÷(－23a 2b 6) ＝12×(－32)a 3b 5a 2b 6＝－34a b ＝－34bab 、 方法总结:①二次根式的除法运算,可以类比单项式的除法运算,当被除式或除式中有负号时,要先确定商的符号;②二次根式相除,根据除法法则,把被开方数与被开方数相除,转化为一个二次根式;③二次根式的除法运算还可以与商的算术平方根的性质结合起来,灵活选取合适的方法;④最后结果要化为最简二次根式.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题探究点二:最简二次根式下列二次根式中,最简二次根式就是( )A 、8aB 、3aC 、a 3D 、a 2＋a 2b 解析:A 选项8a 中含能开得尽方的因数4,不就是最简二次根式;B 选项就是最简二次根式;C 选项a 3中含有分母,不就是最简二次根式;D 选项a 2＋a 2b 中被开方数用提公因式法因式分解后得a 2＋a 2b ＝a 2(1＋b )含能开得尽方的因数a 2,不就是最简二次根式.故选B 、方法总结:最简二次根式必须同时满足下列两个条件:①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;②被开方数不含分母.判定一个二次根式就是不就是最简二次根式,就就是瞧就是否同时满足最简二次根式的两个条件,同时满足的就就是最简二次根式,否则就不就是.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题探究点三:商的算术平方根的性质 【类型一】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值 若a 2－a ＝a 2－a,则a 的取值范围就是( ) A.a ＜2 B.a ≤2C.0≤a ＜2D.a ≥0 解析:根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥02－a ＞0解得0≤a ＜2、故选C 、 方法总结:运用商的算术平方根的性质:b a ＝b a(a ＞0,b ≥0),必须注意被开方数就是非负数且分母不等于零这一条件.【类型二】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式化简:(1)179; (2)3c 34a 4b 2(a ＞0,b ＞0,c ＞0). 解析:按商的算术平方根的性质,用分子的算术平方根除以分母的算术平方根.解:(1)179＝169＝169＝43; (2)3c 34a 4b 2＝3c 34a 4b 2＝c 2a 2b3c 、 方法总结:被开方数中的带分数要化为假分数,被开方数中的分母要化去,即被开方数不含分母,从而化为最简二次根式.变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题探究点四:二次根式除法的应用已知某长方体的体积为3010cm 3,长为20cm,宽为15cm,求长方体的高.解析:因为“长方体的体积＝长×宽×高”,所以“高＝长方体的体积÷(长×宽)”,代入计算即可.解:长方体的高为3010÷(20×15)＝301020×15＝30130＝30(cm).方法总结:本题也可以设高为x ,根据长方体体积公式建立方程求解.三、板书设计二次根式的除法就是建立在二次根式乘法的基础上,所以在学习中应侧重于引导学生利用与学习二次根式乘法相类似的方法学习,从而进一步降低学习难度,提高学习效率第1课时 二次根式的加减1.经历探索二次根式的加减运算法则的过程,让学生理解二次根式的加减法则;2.掌握二次根式的加减运算.(重点、难点)一、情境导入计算:(1)2x －5x ; (2)3a 2－a 2＋2a 2、上述运算实际上就就是合并同类项,如果把题中的x 换成3,a 2换成5,这时上述两小题就成为如下题目: 计算:(1)23－53; (2)35－5＋25、 这时怎样计算呢？二、合作探究探究点一:同类二次根式下列二次根式中与2就是同类二次根式的就是( )A 、12B 、32 C 、23D 、18 解析:选项A 中,12＝23与2被开方数不同,故与2不就是同类二次根式;选项B 中,32＝62与2被开方数不同,故与2不就是同类二次根式;选项C 中,23＝63与2被开方数不同,故与2不就是同类二次根式;选项D 中,18＝32与2被开方数相同,故与2就是同类二次根式.故选D 、 方法总结:要判断两个二次根式就是否就是同类二次根式,根据二次根式的性质,把每个二次根式化为最简二次根式,如果被开方数相同,这样的二次根式就就是同类二次根式. 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题 探究点二:二次根式的加减【类型一】 二次根式的加法或减法(1)8＋32; (2)1223＋1332; (3)448－375; (4)1816－3296、 解析:先把每个二次根式化为最简二次根式,再把同类二次根式合并.解:(1)原式＝22＋42＝(2＋4)2＝62; (2)原式＝166＋166＝(16＋16)6＝63; (3)原式＝163－153＝(16－15)3＝3;(4)原式＝36－66＝(3－6)6＝－36、方法总结:二次根式加减的实质就就是合并同类二次根式,合并同类二次根式可以类比合并同类项进行,不就是同类二次根式的不能合并.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】 二次根式的加减混合运算计算:(1)12－33－273; (2)324x －3x 9＋3x 1x ; (3)3123－45＋220－1260; (4)0、5－213－(18－75). 解析:先把每个二次根式化为最简二次根式,再把同类二次根式合并.解:(1)原式＝23－3－3＝0;(2)原式＝3x －x ＋3x ＝5x ;(3)原式＝15－35＋45－15＝5;(4)原式＝22－233－24＋53＝24＋1333、方法总结:二次根式的加减混合运算步骤:①把每个二次根式化为最简二次根式;②运用加法交换律与结合律把同类二次根式移到一起;③把同类二次根式的系数相加减,被开方数不变.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】二次根式加减法的应用一个三角形的周长就是(23＋32)cm,其中两边长分别就是(3＋2)cm,(33－22)cm,求第三边长.解析:第三边长等于(23＋32)－(3＋2)－(33－22),再去括号,合并同类二次根式.解:第三边长就是(23＋32)－(3＋2)－(33－22)＝23＋32－3－2－33＋22＝42－23(cm).方法总结:由三角形周长的意义可知,三角形的周长减去已知两边的长,可得第三边的长.解决问题的关键在于把实际问题转化为二次根式的加减混合运算.变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题三、板书设计通过合并同类项引入二次根式的加减法,让学生类比学习.引导学生归纳总结出二次根式加减运算的两个关键步骤:①把每个二次根式化为最简二次根式;②合并同类二次根式.并让学生按步骤解题,养成规范解题的良好习惯.教学过程中,注重数学思想方法的渗透(类比),培养学生良好的思维品质第2课时二次根式的混合运算1.了解二次根式的混合运算顺序;2.会进行二次根式的混合运算.(重点、难点)一、情境导入如果梯形的上、下底边长分别为22cm,43cm,高为6cm,那么它的面积就是多少？毛毛就是这样算的: 梯形的面积:12(22＋43)×6＝(2＋23)×6＝2×6＋23×6＝2×6＋218＝23＋62(cm 2). 她的做法正确的不？二、合作探究探究点一:二次根式的混合运算【类型一】 二次根式的混合运算计算:(1)48÷3－12×12＋24; (2)12÷43×23－50、 解析:(1)先算乘除,再算加减;(2)先计算第一部分,把除法转化为乘法,再化简.解:(1)原式＝16－6＋24＝4－6＋26＝4＋6;(2)原式＝12×34×233－52＝38×233－52＝64×233－52＝22－52＝－922、方法总结:二次根式的混合运算与实数的混合运算一样,先算乘方,再算乘除,最后算加减,如果有括号就先算括号里面的.变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题【类型二】 运用乘法公式进行二次根式的混合运算计算:(1)(5＋3)(5－3);(2)(32－23)2－(32＋23)2、解析:(1)用平方差公式计算;(2)逆用平方差公式计算.解:(1)(5＋3)(5－3)＝(5)2－(3)2＝5－3＝2;(2)(32－23)2－(32＋23)2＝(32－23＋32＋23)(32－23－32－23)＝－246、方法总结:多项式的乘法公式在二次根式的混合运算中仍然适用,计算时应先观察式子的特点,能用乘法公式的用乘法公式计算.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型三】 二次根式的化简求值先化简,再求值:x ＋xy xy ＋y ＋xy －y x －xy(x >0,y >0),其中x ＝3＋1,y ＝3－1、 解析:首先根据约分的方法与二次根式的性质进行化简,然后再代值计算.解:原式＝x (x ＋y )y (x ＋y )＋y (x －y )x (x －y )＝x y ＋y x ＝x ＋y xy、 ∵x ＝3＋1,y ＝3－1,∴x ＋y ＝23,xy ＝3－1＝2,∴原式＝232＝6、 方法总结:在解答此类代值计算题时,通常要先化简再代值,如果不化简,直接代入,虽然能求出结果,但往往导致烦琐的运算.化简求值时注意整体思想的运用.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型四】 二次根式混合运算的应用一个三角形的底为63＋22,这条边上的高为33－2,求这个三角形的面积.解析:根据三角形的面积公式进行计算.解:这个三角形的面积为12(63＋22)(33－2)＝12×2×(33＋2)(33－2)＝(33)2－(2)2＝27－2＝25、方法总结:根据题意列出关系式,计算时注意观察式子的特点,选取合适的方法求解,能应用公式的尽量用公式计算.变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题探究点二:二次根式的分母有理化【类型一】 分母有理化计算:(1)215＋122; (2)3－23＋2＋3＋23－2、 解析:(1)把分子、分母同乘以2,再约分计算;(2)把3－23＋2的分子、分母同乘以3－2,把3＋23－2的分子、分母同乘以3＋2,再运用公式计算. 解:(1)215＋122＝(215＋12)×22×2＝230＋262＝30＋6; (2)3－23＋2＋3＋23－2＝(3－2)2(3＋2)(3－2)＋(3＋2)2(3－2)(3＋2)＝5－263－2＋5＋263－2＝5－26＋5＋26＝10、方法总结:把分母中的根号化去就就是分母有理化,分母有理化时,分子、分母应同乘以一个适当的式子,如果分母只有一个二次根式,则乘以这个二次根式,使得分母能写成a ·a 的形式;如果分母有两项,分子、分母乘以一个二项式,使得能运用平方差公式计算.如分母就是a＋b,则分子、分母同乘以a－b、【类型二】分母有理化的逆用比较15－14与14－13的大小解析:把15－14的分母瞧作“1”,分子、分母同乘以15＋14;把14－13的分母瞧作“1”,分子、分母同乘以14＋13,再根据“分子相同的两个正分数比较大小,分母大的反而小”,得到它们的大小关系.解:15－14＝(15－14)(15＋14)15＋14＝115＋14,14－13＝(14－13)(14＋13)14＋13＝114＋13、∵15＋14＞14＋13＞0,∴115＋14＜114＋13即15－14＜14－13、方法总结:把分母为“1”的式子化为分子为“1”的式子,根据分母大的反而小可以比较两个数的大小.三、板书设计二次根式的混合运算可类比整式的运算进行,注意运算顺序,最后的结果应化简.引导学生勇于尝试,加强训练,从解题过程中发现问题,解决问题.本节课的易错点就是运算错误,要求学生认真细心,养成良好的习惯。