第一节 二次型及其矩阵表示

f (x1, x2 , x3 , x4 ) x12 2x22 3x42
解:
1
A
0
20
0 3
矩阵是对角形矩阵
令 X (x1, x2, x3, x4 )T , 则f (x1, x2, x3, x4 ) X TA X
x
o
u
含有n个变量x1, x2, …, xn的实系数二次齐次多项式 f(x1, x2, …, xn) = a11x12+a22x22+…+annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an-1,nxn-1xn
n
取aij = aji, 则 f ( x1, x2 , xn ) aij xi x j i , j1
1 问题的引出 2 二次型的定义 3 二次型的矩阵表示
一般形
标准形
二次曲线ax2+bxy+cy2 =1
m(x')2+n(y')2=1
x y
cos sin
sin cos
x y
x y
x x
cos sin
y sin y cos
QTQ=E
y
代数:正交变换y’ y
wenku.baidu.com
x’
O
O
x几何:直角
则：f (x1, x2, …, xn) = x1(a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn + x2 (a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn) + …… + xn (an1 x1 + an2 x2 + … + ann xn)
= (x1, x2, …, xn) a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn
第六章 二次型
二次型就是二次齐次多项式.本章通过矩阵乘法将二次 型与对称矩阵联系起来，从而一方面使得二次型的问题可 以用矩阵的理论和方法来研究，另一方面也可以将对称矩 阵的问题转化为用二次型来解决 。
第六章 二次型
1 二次型及其矩阵表示 2 化二次型为标准形 3 正定二次型
第一节 二次型及其矩阵表示
a21 an1
x1 x1
+ +
a22 an2
x2 + … ……
x2 + …
+ +
a2n ann
xn xn
a11 a12 a1n x1 a21 a22 a2n x2
=
(x1,
x2,
…,
xn)
an1
an2
ann
xn
简记为 f = X T AX
a11
a21
其中：A
取aij = aji, 则 f ( x1, x2 , xn ) aij xi x j xT Ax i , j1
注：实二次型f = xTAx与实对称矩阵A一一对应.
实二次型的平方项系数 A的主对角线元素
实二次型的交叉项 xixj 的系数 的一半
A的元素 aij (ij)
例1 写出二次型的矩阵及其矩阵表示式：
f (x1, x2, x3, x4 ) x12 2x22 3x42 2x1x2 6x2 x3 4x3x4
解:
1 1 0 0
A
1
2
3 0,
0 0
3 0
0 2
32
x1
令
X
x2 x3 x4
,
则 f (x1, x2, x3, x4 ) X TA X
例2 写出二次型的矩阵和矩阵表示式：
a31
a12 a22 a32
a13 a1n a23 a2n a33 a3n ,
x1
X
=
x2
xn
an1
an2
an3
ann
显然
(1) A是对称矩阵
(2) f (x1, x2, …, xn)
A
称矩阵 A 为二次型 f 的矩阵，
方阵 A 的秩 为 二次型的秩。
f(x1, x2, …, xn) = a11x12+a22x22+…+annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3n+…+2an-1,nxn-1xn
x
系旋转
考虑方程
13 x2 10 xy 13 y 2 1
(1)
72 72 72
在平面上代表什么曲线？
将坐标系（O, x, y) 顺时针旋转45°,即令
2
2
x 2 u 2 v
(2)
y 2u 2v
22
则得曲线在坐标系(O, u, v)中的方
程： u 2 v2
1
(3)
94
从而曲线为一椭圆。
y
v