第一节 二次型及其矩阵表示
二次型
§1 二次型及其矩阵表示◎ 本节重点：二次型的矩阵表示，合同关系；本节难点：合同关系.一、二次型的表示1.一般式：（略） 特点：n 个变量，每个单项式都是二次的.（系数2是为了讨论方便）2.矩阵式： 11,21),,,(⨯'==∑AX X x x a x x x f ji j i ij n （X 列向量；A 对称矩阵，一一对应关系）3.二次型矩阵的求法：设n n ij a A ⨯=)(，则ii a ＝2i x 的系数，而ji ij a a =＝j i x x 项的系数的一半．．. 二、线性替换（目的：化简二次型）1.表示： （注意：新变量组的个数与原变量组个数相等）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n nn n n y c y c y c x yc y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111⇔ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n n y y y c c c c c c c c c x x x 2121222211121121 记为CY X =2.非退化线性替换：CY X =，其中0≠ij c （即C 为可逆矩阵） （非退化的目的：保证可还原，保持变换前后的一些性质不变，比如秩）3.性质：线性替换把二次型变成二次型.（为什么？问题：AX X '何时表示二次型？） 【问题】如果二次型AX X '作线性替换CY X =，得到二次型BY Y '，那么B A ,的关系？AC C B '=三、矩阵的合同关系1.定义：（略）【合同关系与所考虑的数域有关. 合同必等秩（为什么？P180定理4）】2.性质：合同具有以下性质:1) 自反性2) 对称性3) 传递性 【等价关系.其他例子】3.命题：经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原来二次型的矩阵是合同.4.合同的证明方法：1）利用定义；2）利用以上命题.证明⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a c b a c b c b a ,,合同. 四、课后思考题◎ 二次型DZ Z BY Y AX X ZC Y Y C X '−−→−'−−→−'==21，问D A B A ,;,之间关系？ ――211222C AC C C BC CD ''='=§2 标准形本节主题：讨论标准形的化简方法,这是本章的重点之一. 一、标准形的定义定义：2222211nn x d x d x d +++ （只含有平方项，没有交叉项） 【问题】标准形的矩阵＝？ 二、标准形的存在性定理1：任意二次型都可以经过非化线性替换变成平方和形式（标准形）.证明：对变量个数作数学归纳法…配方法…注意体会怎么配方？有何规律？（P211）（P213）化标准形，并求相应的线性替换.【问题】n 元二次型的标准形的平方项个数？（n ≤）(不可能配方越配越多)用矩阵的语言，定理1可以叙述为：定理2：任一个对称矩阵都合同于某一个对角矩阵. （也可直接证明：作一系列合同变换） 【问题】已知对称矩阵A ，如何求一个可逆矩阵C ＝?,使AC C '成对角矩阵？(相当于化标准形――方法参见下面的矩阵法). 三、标准形的求法1.配方法：要点～消去交叉项！2.矩阵法：实际上是配方法过程的矩阵表示.注意教材中几种情况下1C 的取法.P218上例的另解，注意理解i C 是怎么选取的） 3.合同变换法（补充）[原理] 对称矩阵A ⇒可逆矩阵C ,使AC C 'D =（对角矩阵）而可逆矩阵可以分解成初等矩阵的乘积（P191），所以取r E E E C ...21=,代入考察两个式子：D E E AE E E E r r='''......2112, C E E E E r =⋅...21 说明：对A 作同型成对的初等变换（称为合同变换）时，相应的列变换把单位矩阵E 变成了C .[求法] ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−−−−−−−−−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C D E A E A 只作相应的列变换换；对作同型成对的行、列变对，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O d d D r (1).有如下结论：1） 确定了线性替换CY X =，使二次型2211r r y d y d AX X ++='2） 确定了可逆矩阵C ,使AC C '⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O d d r...13） D C ,不唯一确定，但一定满足AC C 'D =可见合同变换法同时解决了两个问题:确定了标准形以及相应的线性替换.【易错点】对A 必须作行、列同型成对．．．．．．．（才能保证合同性，所得结果才是标准形）的初等变换， 对E 只能作相应的列变换.注意对角元实际上只变一次！‘§3 唯一性◎ 本节重点：规范形的求法，惯性定理；本节难点：惯性定理的证明. 一、标准形是否唯一？【问题】二次型2211r r y d y d AX X ++==' ，问1) A 合同于（？） 2）?=r 3）i d 大小唯一？ 4）i d 符号唯一？ 5)平方项总数唯一？ ――合同的矩阵有相同的秩.==)(A r r 平方项的个数，唯一确定（也成为二次型的秩）在一般数域内，二次型的标准形不是唯一的，与所作的非退化线性替换有关. 二、复规范形复数域的重要特征是每个数都可以开平方，因此标准形可以化得很彻底.形如22221r z z z +++ （r 唯一确定）. 称为复二次型),,,(21n x x x f 的规范形.定理3：任意一个复系数的二次型经过适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的.从矩阵的角度看，定理3就是：任一复数的对称矩阵合同于的对角矩阵)0,,0,1,,1( diag . 从而有两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等. 三、实规范形【本节重点】对实系数的二次型，可以经过非退化线性替换并适当排列文字的次序，使标准形的正负项分开：,22122221r p p z z z z z ---++++它就称为实二次型),,,(21n x x x f 的规范形.显然规范形完全被p r ,这两个数所决定.惯性定理：任一实系数二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的. 证明：唯一性的证明有技巧（P223）23322231212132158222),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=， 求f 的实规范形以及相应的线性替换；秩与符号差.―― ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321510053105211y y y x x x ，232221321),,(y y y x x x f -+=【问题】1）怎样求一个线性替换，使二次型变成规范形？ （合同变换法，只需继续化简对角形…） 2）规范形与标准形有何区别？四、数域R C ,上的合同类定理5（1）任一复对称矩阵A 都合同于对角矩阵：⎪⎪⎭⎫⎝⎛000r E ，其中对角线上1 的个数等于A 的秩. （2）任一实对称矩阵A 都合同对角矩阵：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0pr pE E 其中对角线上1的个数p 及-1的个数p r -（r 等于A 的秩）都是唯一确定的，分别称为A 的正、负惯性指数，它们的差r p -2称为A 的符号差.【问题】两个矩阵在实数域上合同的充要条件的什么？（等秩且等符号差或等惯性指数） n 元实对称矩阵共有多少个合同类？解 由以上结论，合同类个数取决于),(p r 有多少取法：),(),...,1,(),0,(,);1,1(),0,1(1);0,0(0n n n n n r r r --=--=--= ，共)1(21++++n 个.§4 正定二次型◎ 本节重点：正定二次型，正定矩阵；本节难点：正定矩阵的证明.主要讨论实数域（可以比较大小）上特殊而又重要的二次型：正定二次型；相应矩阵是正定矩阵. 一、正定二次型的判别1.定义 实二次型),,,(21n x x x f 称为正定的⇔对于任意一组不全为零．．．．的实数n c c c ,,,21 都有0),,,(21>n c c c f .（0≥半正定；0<负定；0≤半负定；00<>也不定）[矩阵形式] n 元实二次型AX X '正定0,0,>'≠∈∀⇔ααααA R n 都有. （用于证明） 2.标准形的正定性：222221121),,,(nn n x d x d x d x x x f +++= 是正定的⇔n i d i ,,2,1,0 =>. ――取)0,...,0,1,0,...,0(代入，即得n i d i ,,2,1,0 => ――用这个方法易证正定二次型的每个平方项系数全大于0. 【问题】二次型→标准形，正定性保持吗？ 3.命题：非退化线性替换保持正定性.根据以上两点，即得：4.定理6 n 元实二次型正定⇔正惯性指数为n ⇔实规范形为22221ny y y +++ ◎ 具体应用：要判定，先化简（标准形），再确定正惯性指数（方法1）. 二、正定矩阵的判别1.定义 A 是正定矩阵⇔A 实对称（前提条件！），且对应的二次型AX X '正定. 问：AX X '正定，它的规范形是什么？两者的矩阵什么关系？（合同） 即得： 2.命题 实对称矩阵是正定的⇔它与单位矩阵合同.（方法2.常用于证明）【充分性另证：0)()(0,0.,>'='∴≠≠∀≠'=CX CX AX X CX X C C C A 即正定】 3.推论 正定矩阵的行列式大于零（从而正定必可逆）. （证明……；反之不然！） 注意：正定矩阵⇒实对称、可逆.（必要条件））B A 与合同，A 正定B ⇒也正定. （先证对称，再利用命题）2）B A ,正定ABA ⇒正定. 证1：合同法.BA A ABA '=合同于B .证2：定义法.0)()(0,0>'−−→−∈≠−−→−∈≠∀AX B AX R AX R X X B n A n 正定可逆.3）A 正定32,A A ⇒也正定.（EA A A '=2或C C CE C A ''=2.23233EA A A =?不行…方幂无意义）【易错点】（作业）对称矩阵A ＝n n ij a ⨯)(（或二次型∑j i j iij x x a,）正定不能推出每个系数0>ij a ；每个0>ij a 也不能推出对称A ＝n n ij a ⨯)(（或∑ji j iij x x a,）正定. （反例P231）那么，正定和系数之间到底有什么联系呢？先介绍顺序主子式（个数n =）?=k P4.定理7： 实对称矩阵A 正定⇔实二次型AX X '正定⇔矩阵A 的顺序主子式全大于零. （法3）说明：本定理（特别是充分性）证明过程很经典，值得学习、掌握. 推广：主子式也成立（教材习题9）证明：必要性.注意顺序主子式对应的二次型相当于原来二次型后面几个变量取0，再利用推论.充分性.数学归纳法.考虑矩阵的分块运算，得到一个1-n 级的正定矩阵，再利用归纳假设.1=n ,命题成立.设1-n 时命题成立（什么意思？） 步骤1：构造符合归纳假设的1-n 矩阵.作分块⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=nn a A A αα1，1A 的顺序主子式全大于零1A −−−→−归纳假设正定 于是G E G A G n ,11-'＝是1-n 级可逆矩阵.步骤2：化A 为合同的对角矩阵（为什么要求合同？保持正定性）.取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001G C ,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''='-nn n nn a G G E a GG G A G AC C αααα1111（记为,B 不是对角形，再化） 取⎪⎪⎭⎫⎝⎛'-=-1012αG E C n （分析分块矩阵初等变换与初等矩阵的关系即得） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''-='--a E G G a E BC C n nn n 00001122αα,（记为D ）（分析：ααG G ''是数） 令21C C C =，得D AC C ='，两边取行列式，已知n 级顺序主子式0>A 0>→a 所以D 正定A D A −−−→−合同,正定. 证毕. ◎ 至此，关于正定的判定有哪些方法？（小结） 三、负定的判别1.定义：对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有0),,,(21<n c c c f （负定）2.判别：),,,(21n x x x f 负定⇔),,,(21n x x x f -正定 【问题】负定矩阵的顺序主子式有何特点？――奇数阶的全小于0、偶数阶的大于0 （理由：考虑f -正定的顺序主子式） 四、半正定的判别（参见定理8） 1.区别：半正定、正定的判别条件. 2.应用：《数学分析》二元函数的极值问题. 五、课后思考题◎正定矩阵的前提条件是实对称？两个正定矩阵的乘积还是正定的？ 【本节重点】正定二次型、正定矩阵的判别与证明.厦门大学2004考研题：写出实对称矩阵A 是正定矩阵的5个充要条件.（20分）《二次型》复习一、二次型的表示 1.一般形式：∑ji j iij x x a,2.矩阵形式：AX X '（要求A 对称、X 是列向量） 1)A 的求法:ii a ＝2i x 的系数，而ji ija a =＝j i x x 项的系数的一半2) 二次型与对称矩阵之间具有一一对应关系，并且两者的问题可互相转化.（怎么转化？） 3.标准形：（不含交叉项，只含平方项，总项数＝对应矩阵的秩） 4.规范形：系数为1或－1的标准形 二、合同关系1.A 与B 合同⇔AC C B '=，C 可逆. （合同与数域有关）2.如果二次型AX X '作线性替换CY X =，得到二次型BY Y '，那么AC C B '=（合同） 3.合同关系保持秩不变，也保持对称性、正定性不变.4.任一对称矩阵都合同于某一个对角矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛O d d r...1,其中A r =的秩 任一复对称矩阵A 都合同于对角矩阵：⎪⎪⎭⎫⎝⎛000rE ,其中A r =的秩 任一实对称矩阵A 都合同对角矩阵：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0pr pE E ，其中A r =的秩 三、标准形（规范形）的求法【本章重点】 1.配方法2.合同变换法 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−−−−−−−−−−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C D E A E A 只作相应的列变换换；对作同型成对的行、列变对，对应的线性替换为CY X =【易错点】对A 必须作行、列同型成对．．．．．．．的初等变换，对E 只能作相应的列变换. 四、正定的判别与证明【本章重点】1.实对称矩阵A 正定⇔二次型AX X '正定0,0,>'≠∈∀⇔ααααA R n都有. 2.必要条件：正定矩阵⇒实对称、可逆3.判别方法：1）定义法；2）化为标准形，正惯性指数n =；3）与单位矩阵合同；4）顺序主子式全部大于0（包括0>A ）.4.注意事项：正定矩阵的前提条件是实对称；两个（对称）正定矩阵的乘积不一定也（对称）正定.。
线性代数：第五章二次型
线性代数：第五章⼆次型第五章⼆次型§1 ⼆次型及其矩阵表⽰⼀、⼆次型及其矩阵表⽰设是⼀个数域,⼀个系数在数域中的的⼆次齐次多项式称为数域上的⼀个元⼆次型，简称⼆次型.定义1 设是两组⽂字，系数在数域P中的⼀组关系式(2)称为由到的⼀个线性替换，或简称线性替换.如果系数⾏列式,那么线性替换(2)就称为⾮退化的.线性替换把⼆次型变成⼆次型.令由于所以⼆次型(1)可写成把(3)的系数排成⼀个矩阵(4)它称为⼆次型(3)的矩阵.因为所以把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，⼆次型的矩阵都是对称的.令或应该看到⼆次型(1)的矩阵A的元素,当时正是它的项的系数的⼀半,⽽是项的系数，因此⼆次型和它的矩阵是相互唯⼀决定的.由此可得,若⼆次型且,则.令,于是线性替换（4）可以写成或者经过⼀个⾮退化的线性替换，⼆次型还是变成⼆次型，替换后的⼆次型与原来的⼆次型之间有什么关系，即找出替换后的⼆次型的矩阵与原⼆次型的矩阵之间的关系.设(7)是⼀个⼆次型，作⾮退化线性替换(8)得到⼀个的⼆次型，⼆、矩阵的合同关系现在来看矩阵与的关系.把（8）代⼊（7），有易看出，矩阵也是对称的，由此即得.这是前后两个⼆次型的矩阵的关系。
定义2 数域P上两个阶矩阵，称为合同的，如果有数域P上可逆的矩阵,使得.合同是矩阵之间的⼀个关系，具有以下性质:1) ⾃反性:任意矩阵都与⾃⾝合同.2) 对称性:如果与合同,那么与合同.3) 传递性:如果与合同,与合同,那么与合同.因此，经过⾮退化的线性替换，新⼆次型的矩阵与原来⼆次型的矩阵是合同的。
这样把⼆次型的变换通过矩阵表⽰出来，为以下的讨论提供了有⼒的⼯具。
最后指出，在变换⼆次型时，总是要求所作的线性替换是⾮退化的。
从⼏何上看，这⼀点是⾃然的因为坐标变换⼀定是⾮退化的。
⼀般地，当线性替换是⾮退化时，由上⾯的关系即得.这也是⼀个线性替换，它把所得的⼆次型还原.这样就使我们从所得⼆次型的性质可以推知原来⼆次型的⼀些性质.§2 标准形⼀、⼆次型的标准型⼆次型中最简单的⼀种是只包含平⽅项的⼆次型. （1）定理1 数域上任意⼀个⼆次型都可以经过⾮化线性替换变成平⽅和（1）的形式.易知，⼆次型（1）的矩阵是对⾓矩阵，反过来，矩阵为对⾓形的⼆次型就只包含平⽅项.按上⼀节的讨论，经过⾮退化的线性替换，⼆次型的矩阵变到⼀个合同的矩阵，因此⽤矩阵的语⾔，定理1可以叙述为：定理2 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.定理2也就是说，对于任意⼀个对称矩阵都可以找到⼀个可逆矩阵使成对⾓矩阵.⼆次型经过⾮退化线性替换所变成的平⽅和称为的标准形.例化⼆次型为标准形.⼆、配⽅法1.这时的变量替换为令,则上述变量替换相应于合同变换为计算，可令.于是和可写成分块矩阵,这⾥为的转置，为级单位矩阵.这样矩阵是⼀个对称矩阵，由归纳法假定，有可逆矩阵使为对⾓形，令,于是,这是⼀个对⾓矩阵，我们所要的可逆矩阵就是.2. 但只有⼀个.这时，只要把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换，就归结成上⾯的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取⾏显然.矩阵就是把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换.因此，左上⾓第⼀个元素就是，这样就归结到第⼀种情形.3. 但有⼀与上⼀情形类似，作合同变换可以把搬到第⼀⾏第⼆列的位置，这样就变成了配⽅法中的第⼆种情形.与那⾥的变量替换相对应，取,于是的左上⾓就是,也就归结到第⼀种情形.4.由对称性，也全为零.于是,是级对称矩阵.由归纳法假定，有可逆矩阵使成对⾓形.取，就成对⾓形.例化⼆次型成标准形.§3 唯⼀性经过⾮退化线性替换，⼆次型的矩阵变成⼀个与之合同的矩阵.由第四章§4定理4，合同的矩阵有相同的秩，这就是说，经过⾮退化线性替换后，⼆次型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对⾓矩阵，⽽对⾓矩阵的秩就等于它对⾓线上不为零的平⽅项的个数.因之，在⼀个⼆次型的标准形中，系数不为零的平⽅项的个数是唯⼀确定的，与所作的⾮退化线性替换⽆关，⼆次型矩阵的秩有时就称为⼆次型的秩.⾄于标准形中的系数，就不是唯⼀确定的.在⼀般数域内，⼆次型的标准形不是唯⼀的，⽽与所作的⾮退化线性替换有关.下⾯只就复数域与实数域的情形来进⼀步讨论唯⼀性的问题.设是⼀个复系数的⼆次型，由本章定理1，经过⼀适当的⾮退化线性替换后，变成标准形，不妨假定化的标准形是. (1)易知就是的矩阵的秩.因为复数总可以开平⽅，再作⼀⾮退化线性替换(2)(1)就变成(3)(3)就称为复⼆次型的规范形.显然，规范形完全被原⼆次型矩阵的秩所决定，因此有定理3 任意⼀个复系数的⼆次型经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.定理3 换个说法就是，任⼀复数的对称矩阵合同于⼀个形式为的对⾓矩阵.从⽽有两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等.设是⼀实系数的⼆次型.由本章定理1，经过某⼀个⾮退化线性替换，再适当排列⽂字的次序，可使变成标准形(4)其中是的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平⽅，所以再作⼀⾮退化线性替换(5)(4) 就变成(6)(6)就称为实⼆次型的规范形.显然规范形完全被这两个数所决定.定理4 任意⼀个实数域上的⼆次型，经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.这个定理通常称为惯性定理.定义3 在实⼆次型的规范形中，正平⽅项的个数称为的正惯性指数；负平⽅项的个数称为的负惯性指数；它们的差称为的符号差.应该指出，虽然实⼆次型的标准形不是唯⼀的，但是由上⾯化成规范形的过程可以看出，标准形中系数为正的平⽅项的个数与规范形中正平⽅项的个数是⼀致的，因此，惯性定理也可以叙述为：实⼆次型的标准形中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀的，它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.定理5 （1）任⼀复对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：.其中对⾓线上1 的个数等于的秩.（2）任⼀实对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：,其中对⾓线上1的个数及-1的个数（等于的秩）都是唯⼀确定的，分别称为的正、负惯性指数，它们的差称为的符号差..§4 正定⼆次型⼀、正定⼆次型定义4 实⼆次型称为正定的，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有.实⼆次型是正定的当且仅当.设实⼆次型(1)是正定的，经过⾮退化实线性替换(2)变成⼆次型(3)则的⼆次型也是正定的，或者说，对于任意⼀组不全为零的实数都有.因为⼆次型（3）也可以经⾮退化实线性替换变到⼆次型（1），所以按同样理由，当（3）正定时（1）也正定.这就是说，⾮退化实线性替换保持正定性不变.⼆、正定⼆次型的判别定理6 实数域上⼆次型是正定的它的正惯性指数等于.定理6说明，正定⼆次型的规范形为(5)定义5 实对称矩阵A称为正定的，如果⼆次型正定.因为⼆次型（5）的矩阵是单位矩阵E，所以⼀个实对称矩阵是正定的它与单位矩阵合同.推论正定矩阵的⾏列式⼤于零.定义6 ⼦式称为矩阵的顺序主⼦式.定理7 实⼆次型是正定的矩阵的顺序主⼦式全⼤于零.例判定⼆次型是否正定.定义7 设是⼀实⼆次型，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有,那么称为负定的；如果都有，那么称为半正定的；如果都有，那么称为半负定的；如果它既不是半正定⼜不是半负定，那么就称为不定的.由定理7不难看出负定⼆次型的判别条件.这是因为当是负定时，就是正定的.定理8 对于实⼆次型，其中是实对称的，下列条件等价：（1）是半正定的；（2）它的正惯性指数与秩相等；（3）有可逆实矩阵，使其中；（4）有实矩阵使.（5）的所有主⼦式皆⼤于或等于零；注意，在（5）中，仅有顺序主⼦式⼤于或等于零是不能保证半正定性的.⽐如就是⼀个反例.证明 Th8,设的主⼦式全⼤于或等于零，是的级顺序主⼦式，是对应的矩阵其中是中⼀切级主⼦式之和，由题设，故当时，，是正定矩阵.若不是半正定矩阵，则存在⼀个⾮零向量，使令与时是正定矩阵⽭盾，故是半正定矩阵.Th8记的⾏指标和列指标为的级主⼦式为，对应矩阵是，对任意，有,其中⼜是半正定矩阵,从⽽.若，则P234,12T，存在使与⽭盾，所以.◇设为级实矩阵，且，则都是正定矩阵.◇设为实矩阵，则都是半正定矩阵.证明是实对称矩阵，令，则是维实向量是半正定矩阵，同理可证是半正定矩阵.◇设是级正定矩阵，则时，都是正定矩阵.证明由于正定，存在可逆矩阵，使,,从⽽为正定矩阵.正定⼜正定， ,正定,正定.对称当时，,从⽽正定.当时,所以与合同，因⽽正定.第五章⼆次型(⼩结)⼀、⼆次型与矩阵1. 基本概念⼆次型;⼆次型的矩阵和秩;⾮退化线性替换;矩阵的合同.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换把⼆次型变为⼆次型.(2) ⼆次型可经⾮退化的线性替换化为⼆次型.(3) 矩阵的合同关系满⾜反⾝性、对称性和传递性.⼆、标准形1. 基本概念⼆次型的标准形;配⽅法.2. 基本定理(1) 数域上任意⼀个⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为标准形式.(2) 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.三、唯⼀性1. 基本概念复⼆次型的规范形;实⼆次型的规范形,正惯性指数、负惯性指数、符号差.2. 基本定理(1) 任⼀复⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为唯⼀的规范形式的秩.因⽽有:两个复对称矩阵合同它们的秩相等.(2) 惯性定律:任⼀实⼆次型都可经过⾮退化线性替换化为唯⼀的规范形式的秩,为的惯性指数.因⽽两个元实⼆次型可经过⾮退化线性替换互化它们分别有相同的秩和惯性指数.(4) 实⼆次型的标准形式中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀确定的,它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.四、正定⼆次型1. 基本概念正定⼆次型，正定矩阵;顺序主⼦式，负定⼆次型，半正定⼆次型，半负定⼆次型，不定⼆次型.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换保持实⼆次型的正定性不变.(2) 实⼆次型正定①与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵,使得;②的顺序主⼦式都⼤于零.③的正惯性指数等于.。
6-1 二次型及其矩阵表示
将其代入
f x T Ax , 有
f x Ax
T
Cy
T A Cy y T C T AC y .
合同矩阵
定义 使得 C AC B ,
T
设 A 和 B 是 n 阶矩阵，若存在
n 阶可逆矩阵
C，
则称 A 合同于 B ，记作 A ~ B .
2
x 1 ( a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n ) x 2 ( a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n ) x n ( a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n ) a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n ( x 1 , x 2 , , x n ) a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n
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合同关系是一种等价关系： (i) 反身性：
A
~
A
(ii) 对称性：若 A ~ B ，则 B ~ A (iii) 传递性：若 A ~ B，B ~ C 则 A ~ C .
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作业
2．用矩阵表示
f a 11 x 1 a 12 x 1 x 2 a 1 n x 1 x n
2
a 21 x 2 x 1 a 22 x 2 a 2 n x 2 x n
2
a n 1 x n x 1 a n 2 x n x 2 a nn x n
第六章 二次型
定义2：设A,B为n阶方阵，若存在可逆方阵C，使得
CTAC=B 则称方阵A与方阵B合同，记做A∽B
合同矩阵必相似，但相似不一定合同。
性质： （1）反身性：A∽A
（Hale Waihona Puke ）对称性：若A∽B,则B∽A（3）传递性：若A∽B，B∽C,则若A∽C
8
定理1： 若A与B合同且A为对称矩阵，则B也是对称矩阵，且R(A)=R(B).
2 2 2 那么上式就变为f d 1 y1 d 2 y2 ... d n yn
上面的问题就转化为：
求一个正交矩阵 , 使得Q T AQ ,即 Q 将f ( x ) X T AX标准化 求正交矩阵Q将实对称矩阵 对角化 A
7
由前章的内容知，任意实对称矩阵A,一定存在正交矩阵Q，使 QTAQ=，因而实二次型f (x)=XTAX一定可以化为标准型。
例1：将二次型写成矩阵形式
2 2 2 f ( x) 2 x1 3 x2 x3 4 x1 x2 10x2 x3
通常，称二次型
2 2 2 f x1 , x 2 ,... x n d 1 x1 d 2 x 2 ... d n x n
d1 X T X (
4
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n ( x1 , x 2 ,..., x n ) .......... .......... .......... .. a x a x ... a x n2 2 nn n n1 1 a11 a12 ... a1n x1 a 21 a 22 ... a 2 n x 2 x1 , x 2 ,..., x n ... ... ... ... ... a n1 a n 2 ... a nn x n 令 a11 a 21 A ... a n1 则 a12 a 22 ... an2 ... a1n x1 ... a 2 n x2 , x ... ... ... x ... a nn n
1--二次型及其矩阵
例2.设二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 的秩为2。
1.求参数c; 2.写出二次型的矩阵。
1 0 2 A 0 1 2, 2 2 c
2 x1
x2 cx3 4 x1 x3 4 x2 x3
2
2
由f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x2 2 cx32 4 x1 x3 4 x2 x3的秩为2
B C AC B B,Y BY为二次型且A与B合同,
T
作可逆变 换X CY T
T
r( A) r( B).
由上讨论可得：
定理1 二次型f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX 经可逆线性变换
X CY 变成新变元的二次型 f Y BY , 它的矩 阵B C AC且r ( A) r ( B ).
的矩阵
Cn n
c11 c12 c21 c22 c n1 cn 2
c1n c2 n cnn
可逆，则称线性变换为可逆 线性变换； 正交，则称线性变换为正交 变换。
定义5：设A，B为两个n阶矩阵，若有n阶可逆阵P， 使得PT AP B，则称矩阵A与B合同，记为 A ~ B.
X AX
a11 a12 a21 a22 A a n1 an 2
x1 x2 X x n
a1n a2n ann
二次型的矩阵 （显然这是实 对称阵）
T X AX , 则称对称矩阵 A 定义3：设二次型 f ( x1 , x2 , , xn )
的秩为二次型 f 的秩。
三、二次型经可逆变换后的矩阵：
6.1二次型及其矩阵表示、合同矩阵(全)
第六章二次型§1 二次型及其矩阵表示、合同矩阵§2 化二次型为标准形§3 二次型与对称矩阵的正定性§1 二次型及其矩阵表示、合同矩阵定义6.1.1：含有n 个变量x 1, x 2, … , x n 的二次齐次多项式()n x x x f ,,,21 nn x x a x x a x x a x x a x a 1141143113211221112222+++++= nn x x a x x a x x a x a 22422432232222222+++++ 2nnn xa +当系数属于数域F 时，称为数域F 上的一个n 元二次型。
本章讨论实数域上的n 元二次型，简称二次型。
nn x x a x x a x a 334334233322++++22212111222121213131,12111121211221212222221122,1222(,,,)n nn nn n n nn n n nn n n n nn nniji ji j f x x x a x a x a xa x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a xax x --==+++++++=++++++++++++=∑i j j i ij i j i j i j j i i j22212111222121213131,12111121211221212222221122,1222(,,,)n nn nn n n nn n n nn n n n nn nniji ji j f x x x a x a x a xa x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a xax x --==+++++++=++++++++++++=∑i j j i ij i j i j i j j i i j212111121211221212222221122(,,,)n n n n n n n n n nn nf x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x =+++++++++++11111221()n n x a x a x a x+++22112222()n nx a x a x a x ++++1122()n n n nn n x a x a xa x +++11112212112222121122(,,,)n n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x x x x a x a x a x +++⎛⎫⎪+++⎪= ⎪⎪+++⎝⎭1112112122221212(,,,)n n n n n nn n a a a x a a a x x x x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Tx Ax=其中A = (a ij )n ×n , x = (x 1, x 2, ···, x n )TA 为对称矩阵，称A 为二次型对应的矩阵，A 的秩为二次型的秩。
6_1二次型及其矩阵表示+矩阵合同
xn)
a21
x1
a22
x2
a2n
xn
a x a x a x
a11 a12
x1
,
x2
,,
xn
a21
a22
an1 an2
a11 a12 a1n
记
A
a21
a22
a2n
2 y12 y22 4 y32
设二次型f 2x12 x22 4x1 x2 4x2 x3
2 2 0
方法二
二次型的矩阵
A
2 0
1 2
2 0
则f xT Ax （Cy）T A（Cy） yT CT AC y
1
y1，y2，y3
x1(a11 x1 a12 x2 a1n xn )
x2 (a21 x1 a22 x2 a2n xn )
xn (an1 x1 an2 x x2 ann xn )
a11 x1 a12 x2 a1n xn
(
x1 ,
x2 ,,
1 2 0 A 2 2 3.
0 3 3
1 3 5
例2 写出二次型f
x1 , x2 , x3 xT
1 3 5
2 7
4 8
6 5
x的矩阵。
解:
f
x1 , x2 , x3 xT
2 7
4 8
6 5
线性代数教学课件第六章二次型第一节二次型及其矩阵
a1n
a2n
,
ann
x1
x
x2
,
xn
则上述二次型可以用矩阵形式表示为
f ( x1 , x2 ,, xn ) xT Ax ,
A称为二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) 的矩阵.
8
f ( x1 , x2 ,, xn ) xT Ax ,
A称为二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) 的矩阵.
x2
,(Cy,)xT nA)(
xT Ax
Cy ) yT
，得 ( C T AC
)y
yT By
,
其中 B C T AC . 由于 A 是实对称阵，则 B CT AC 也是实对称阵，
于是 yT By 是一个以 y1 , y2 ,, yn 为变量的实二次型.
由于C是可逆矩阵，所以A和B秩相等,从而两个
(1)求二次型的矩阵A以及A秩;
(2)设二次型 g( x1, x2 ) f ( x1, x2 ,0,0), 求二次型 g的矩阵B.
解 (1)
1 2 1 0
2
A
2 1
2 0
0 0 3
0 3 .
2
0
0 0
10
1 2 1 0 1 2 1 0
2
2
A
2 1
2 0
0 0 3
0 2 0
B
1 2
2 0
.
问：矩阵B 与矩阵A 有什么关系？
12
二、 关系式
（线性替
换）定 义
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x2c21y1 c22 y2 c2n yn
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn xn
几何与代数-二次型
1 = [1, 1, 0]T, 为了求对应于 = 4 的另外一个与 1 正交
的特征向量, 再解方程组
1 1
1 1
2 0
x=
得2 = [1, 1, 1]T . (此处求法比较特别)
此外A的对应于特征值 = –2的一个特征
向量为3 = [1, 1, –2]T,
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
1 4E–A = 1
2
1 1 2
2 2 4
初等 行变换
1 1 2 00 0 00 0
由此可得A的对应于特征值 = 4的一个特
征向量: 1 = [1, 1, 0]T,
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
1 1 2 初等 1 1 2
4E–A = 1 1 2 行变换 0 0 0
2 2 4
00 0
由此可得A的对应于特征值 = 4的一个特征向量:
aij = aji
n
aijxixj
i, j =1
第六章 二次型与二次曲面
A的二次型
§6.1 二次型
f 的秩: r(Af))
n
f(x1, x2, …, xn) = aijxixj
i, j =1
a11 a12 … a1n
A=
a21 a22 … a2n …………
an1 an2 … ann
x1
x=
x2 …
§6.1 二次型
定义: 对于方阵A, B(未必是实对称), 若存在可
逆矩阵P, 使得PTAP = B, 则称A与B合同，
记为A ~B.
易见, 矩阵间的合同关系满足
(1) 反身性: A ~A; (2) 对称性: A ~B B ~A; (3) 传递性: A ~B, B ~C A ~C. 矩阵间的合同关系也是一种等价关系.
§1 二次型及其矩阵表示、化二次型为标准形
§1 二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形
3、二次型经过可逆线性变换仍为二次型
事实上，
f ( x1, x2,..., xn ) xT Ax
x Cy
— —— —— —— —
| C | 0
(Cy)T A(Cy)
yT (CT AC ) y yT By g( y1, y2,..., yn )
①
L L L L
ann xn2
称为n元二次型(或简称二次型)．
§1 二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形
注意
1) 为了计算和讨论的方便,式①中 xij (i j) 的系数
写成 2aij .
2) 式① 也可写成
n
f ( x1, x2 ,L , xn ) aii xi2 2
aij xi x j
an1
a22 M an2
... ...
a2n x2
M ann
xMn
n
a1 j x j
( x1,
x2 ,...,
xn )
j1 n
a2 j x j
j1
M
n
anj x j
j1
§1 二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形
原二次型矩阵是合同的.
进而，有: 若AT A, BT B,
二次型 xT Ax 可经可逆的线性变换化为二次型 yT By
A与B合同.
§1 二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形
四、 化二次型为标准形
二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型
大学数学高数微积分二次型课堂讲义
解 设 f = XTAX , 则
A
1 2
12
,
X
x y
.
例 2 已知二次型
f (x1,x2,x3,x4 ) x12 3x22 x32 4x42
2x1x2 4x1x3 6x1x4
写出二次型的矩阵 A.
8x2 x3 4x2 x4,
解 设 f = XTAX , 则
a11x1 a12 x2 a1n xn
(x1, x2 ,
, xn ) a21x1 an1x1
a22 x2
an2 x2
a2n xn
ann xn
nn
aij xi x j .
i1 j 1
所以二次型可表示成
f (x1 , x2 , … , xn ) = XTAX .
这即为二次型的矩阵表示形式. 应该看到，二次型的矩阵 A 的元素，当 i j
的矩阵都是对称矩阵.
令
x1
X
x2 xn
,
因为
a11 a12
X
T AX
( x1 ,
x2 ,
,
xn
)
a21 an1
a22 an2
a1n x1 a2n x2 ann xn
a11 a12
X
T
AX
( x1 ,
x2 ,
,
xn
)
a21 an1
a22 an2
a1n x1 a2n x2 ann xn
c2n yn
,
(4)
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
称为由 x1 , x2 , … , xn 到 y1 , y2 , … , yn 的一个线性
6_1二次型及其矩阵表示 矩阵合同1
A
a21 an1
a22 an2
显然由矩阵A可确定一个二次型：
f xT Ax
a1n a2n ann
其中aii 为二次型中xi 2的系数，
aij aji i j 为二次型中xi xj系数的一半。
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；
反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定 一个二次型。
解之得c＝3
三、线性变换
实二次型的基本问题是研究如何把一个复杂的
二次型通过适当的线性变换化为比较简单的标准形 ,使问题得到简化。
1. 线性变换的定义
设x1 , x2 , xn ; y1 , y2 , yn是两组变量，
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn
x2
c21
y1
c22
y2
第一节 二次型 矩阵合同
一、二次型及其标准形定义
定义1
含有n个变量
x1
,
x2
,,
x
的二次齐次函数
n
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
称为二次型.
当aij是复数时, f称为复二次型 ;
当aij是实数时, f称为 实二次型 .
（我们仅讨论实二次型）。
只含有平方项的二次型
f d1 y12 d2 y22 dn yn2
称为二次型的标准形（或法式）． 例如
f x1, x2 , x3 2 x12 4 x22 5 x32 4 x1 x3 f x1, x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
c22 cn2
二次型
第六章 二 次 型I 重要知识点一、二次型及其矩阵表示1、二次型的定义：以数域P 中的数为系数，关于x 1，x 2，…，x n 的二次齐次多项式f (x 1，x 2，…，x n )=a 11x 12+2a 12x 1x 2+ … +2a 1n x 1x n+a 22x 22+ … +a 2n x 2x n + … (3) +a nn x n 2称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型。
2、二次型的矩阵表示 设n 阶对称矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn nnn n a a a a a a a a a 212221211211 则n 元二次型可表示为下列矩阵形式：f (x 1，x 2，…，x n )=( x 1，x 2，…，x n ) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn nnn n a a a a a a a a a212221211211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n x x x 21=X TAX其中 X =( x 1，x 2，…，x n )T 。
对称矩阵A 称为二次型的系数矩阵，简称为二次型的矩阵。
矩阵A 的秩称为二次型f (x 1，x 2，…，x n )的秩。
二次型与非零对称矩阵一一对应。
即，给定一个二次型，则确定了一个非零的对称矩阵作为其系数矩阵；反之，给定一个非零的对称矩阵，则确定了一个二次型以给定的对称矩阵为其系数矩阵。
3、线性变换设x 1，x 2，…，x n 和y 1，y 2，…，y n 为两组变量，关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn nn y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 其中c ij (i ，j =1，2，…，n )为实数域R (或复数域C )中的数，称为由x 1，x 2，…，x n 到y 1，y 2，…，y n 线性变换，简称线性变换。
线性变换的矩阵表示，设n 阶矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n c c c c c c c c c212222111211则从x 1，x 2，…，x n 到y 1，y 2，…，y n 线性变换可表示为下列矩阵形式：X =CY其中X =( x 1，x 2，…，x n )T 和Y =( y 1，y 2，…，y n )T ，C 称为线性变换的系数矩阵。
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a31
a12 a22 a32
a13 a1n a23 a2n a33 a3n ,
x1
X
=
x2
xn
an1
an2
an3
ann
显然
(1) A是对称矩阵
(2) f (x1, x2, …, xn)
A
称矩阵 A 为二次型 f 的矩阵，
方阵 A 的秩 为 二次型的秩。
f(x1, x2, …, xn) = a11x12+a22x22+…+annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3n+…+2an-1,nxn-1xn
第六章 二次型
二次型就是二次齐次多项式.本章通过矩阵乘法将二次 型与对称矩阵联系起来，从而一方面使得二次型的问题可 以用矩阵的理论和方法来研究，另一方面也可以将对称矩 阵的问题转化为用二次型来解决 。
第六章 二次型
1 二次型及其矩阵表示 2 化二次型为标准形 3 正定二次型
第一节 二次型及其矩阵表示
f (x1, x2 , x3 , x4 ) x12 2x22 3x42
解:
1
A
0
20
0 3
矩阵是对角形矩阵
令 X (x1, x2, x3, x4 )T , 则f (x1, x2, x3, x4 ) X TA X
a21 an1
x1 x1
+ +
a22 an2
x2 + … ……
x2 + …
+ +
a2n ann
xn xn
a11 a12 a1n x1 a21 a22 a2n x2
=
(x1,
x2,
…,
xn)
an1
an2
ann
xn
简记为 f = X T AX
a11
a21
其中：A
则：f (x1, x2, …, xn) = x1(a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn + x2 (a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn) + …… + xn (an1 x1 + an2 x2 + … + ann xn)
= (x1, x2, …, xn) a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn
x
系旋转
考虑方程
13 x2 10 xy 13 y 2 1
(1)
72 72 72
在平面上代表什么曲线？
将坐标系（O, x, y) 顺时针旋转45°,即令
2
2
x 2 u 2 v
(2)
y 2u 2v
22
则得曲线在坐标系(O, u, v)中的方
程： u 2 v2
1
(3)
94
从而曲线为一椭圆。
y
v
x
o
u
含有n个变量x1, x2, …, xn的实系数二次齐次多项式 f(x1, x2, …, xn) = a11x12+a22x22+…+annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an-1,nxn-1xn
n
取aij = aji, 则 f ( x1, x2 , xn ) aij xi x j i , j1
1 问题的引出 2 二次型的定义 3 二次型的矩阵表示
一般形
标准形
二次曲线ax2+bxy+cy2 =1
m(x')2+n(y')2=1
x y
cos sin
sin cos
x y
x y
TQ=E
y
代数:正交变换y’ y
x’
O
O
x几何:直角
取aij = aji, 则 f ( x1, x2 , xn ) aij xi x j xT Ax i , j1
注：实二次型f = xTAx与实对称矩阵A一一对应.
实二次型的平方项系数 A的主对角线元素
实二次型的交叉项 xixj 的系数 的一半
A的元素 aij (ij)
例1 写出二次型的矩阵及其矩阵表示式：
f (x1, x2, x3, x4 ) x12 2x22 3x42 2x1x2 6x2 x3 4x3x4
解:
1 1 0 0
A
1
2
3 0,
0 0
3 0
0 2
32
x1
令
X
x2 x3 x4
,
则 f (x1, x2, x3, x4 ) X TA X
例2 写出二次型的矩阵和矩阵表示式：