高一数学 三角函数化简和求值超难方法汇总
三角函数化简求值证明技巧(最新整理)

第三讲一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧1、网络2、三角函数变换的方法总结(1)变换函数名对于含同角的三角函数式,通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式,通过“切割化弦”,“切割互化”,“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类,这就是变换函数名法.它实质上是“归一”思想,通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。
【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0,求a、b的关系。
练习:已知sin(α+β)=,cos(α-β)=,求的值。
2)变换角的形式对于含不同角的三角函数式,通常利用各种角之间的数值关系,将它们互相表示,改变原角的形式,从而运用有关的公式进行变形,这种方法主要是角的拆变.它应用广泛,方式灵活,如α可变为(α+β)-β;2α可变为(α+β)+(α-β);2α-β可变为(α-β)+α;α/2可看作α/4的倍角;(45°+α)可看成(90°+2α)的半角等等。
【例2】求sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-cos(θ+15°)的值。
练习已知,求的值【例3】已知sinα=Asin(α+β)(其中cosβ≠A),试证明:tan(α+β)=提示:sin[(α+β)-β]=Asin (α+β)(3)以式代值利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式,将原式中的1或其他特殊值用式子代换,往往有助于问题得到简便地解决。
这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。
“1”可以看作是sin2x+cos2x, sec2x-tan2x, csc2x -cot2x,tanxcotx, secxcosx, tan45°等,根据解题的需要,适时地将“1”作某种变形,常能获得较理想的解题方法。
【例4】化简:(4)和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解决,升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。
这往往用到倍、半角公式。
三角函数求值与化简的三种常用方法

. .
化
成
鼻
參
# 參 麝 參
蘑
罄I 张
菌子 璇
_
3 ^ (
Q si
n
—
c o s ^
) 1 2' =
—
2 s i nQ
?
4 9
7
.
co
s
^
=
s
i
n
〇
—
co
s 夕
=
。
Z b b
评 析 由 + 求 出 :
si n 夕
co s 夕
^ n s i
?
co s 6 是 解 题 的 突 破 口 。
,
s i n夕 co s0
0
,
s i n夕
0
,
倒 化 简 + + 5
/
1
s in 2
/ n 2 I s —
i
0
解 易 知 > :
si n l
c o s 1 。
故 + + / l
s i n 2
/ I
—sΒιβλιοθήκη in 2 =
/ + + ( s i n1
c o s l
)
2
/(
o n c s i
种 常 用 方 法 是 : 弦 切 互 化 法 , 和 积 转
换法
和
巧用“
” 1
的
变
换法
。
下 面 举 例
分 析 , 供 大 家 学 习 与 参考 。 一 、 弦 切 互 化 法
例 已 知 + 1
t a n ( 2 0 1 9 兀
? 2
)=
,
(完整版)三角函数化简求值证明技巧

第三讲一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧1、网络2、三角函数变换的方法总结(1)变换函数名对于含同角的三角函数式,通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式,通过“切割化弦”,“切割互化”,“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类,这就是变换函数名法.它实质上是“归一”思想,通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。
【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0,求a、b的关系。
练习:已知sin(α+β)=,cos(α-β)=,求的值。
2)变换角的形式对于含不同角的三角函数式,通常利用各种角之间的数值关系,将它们互相表示,改变原角的形式,从而运用有关的公式进行变形,这种方法主要是角的拆变.它应用广泛,方式灵活,如α可变为(α+β)-β;2α可变为(α+β)+(α-β);2α-β可变为(α-β)+α;α/2可看作α/4的倍角;(45°+α)可看成(90°+2α)的半角等等。
【例2】求sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-cos(θ+15°)的值。
练习已知,求的值【例3】已知sinα=Asin(α+β)(其中cosβ≠A),试证明:tan(α+β)=提示:sin[(α+β)-β]=Asin (α+β)(3)以式代值利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式,将原式中的1或其他特殊值用式子代换,往往有助于问题得到简便地解决。
这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。
“1”可以看作是sin2x+cos2x, sec2x-tan2x, csc2x -cot2x,tanxcotx, secxcosx, tan45°等,根据解题的需要,适时地将“1”作某种变形,常能获得较理想的解题方法。
【例4】化简:(4)和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解决,升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。
这往往用到倍、半角公式。
高中数学三角函数解题技巧和公式大全

高中数学三角函数解题技巧和公式大全
大家好,我是洪老师,今天给大家推荐的是关于高中数学三角函数解题技巧和公式大全!
如下这些均是有word文档,可以下载下来进行打印的。
有需要的,可以发是送私信063给洪老师,又或者点洪老师头像以后,点洪粉必看的菜单按钮(菜单就在屏幕底下)
那么今天给大家上来的是关于三角函数的最值的求解的问题!
总共有三种方法!
求三角函数的最值常用方法有:配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。
在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题,其试题难度属中档题.
方法一配方法
方法二化一法
方法三直线斜率法。
三角函数的化简详解

三角函数的化简1、三角函数式的化简:(1)常用方法:①直接应用公式进行降次、消项;②切割化弦,异名化同名,异角化同角;③ 三角公式的逆用等。
(2)化简要求:①能求出值的应求出值;②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数2、三角函数的求值类型有三类:(1)给角求值:一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角的三角函数值问题;(2)给值求值:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变角”,如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时要注意角的范围的讨论;(3)给值求角:实质上转化为“给值求值”问题,由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
3、三角等式的证明:(1)三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右同一等方法,使等式两端的化“异”为“同”;(2)三角条件等式的证题思路是通过观察,发现已知条件和待证等式间的关系,采用代入法、消参法或分析法进行证明。
一、化简 【例1】求值:︒+︒︒⋅︒+︒+︒80cot 40csc 10sin 20tan 10cos 20sin 2.【变式】1、求值()︒+︒︒+︒+︒10cos 110tan 60tan 110cos 40cos 2【变式】2、求0020210sin 21)140cos 1140sin 3(⋅-。
【例2】(三兄弟)已知23523sin cos παπαα<<=-,且,求αααtan 1sin 22sin 2-+的值【变式】(05天津)已知727sin(),cos 241025παα-==,求sin α及tan()3πα+.【例3】(最值辅助角)已知函数f (x )=2a sin 2x -23a sin x cos x +a +b -1,(a 、b 为常数,a <0),它的定义域为[0,2π],值域为[-3,1],试求a 、b 的值。
高中数学三角函数知识点解题技巧总结

高中数学三角函数知识点解题技巧总结高中数学三角函数知识点总结高中数学三角函数知识点解题方法总结一、见“给角求值”问题,运用“新兴”诱导公式一步到位转换到区间(-90o,90o)的公式.1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z);2.cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z);3.tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z);4.cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).二、见“sinα±cosα”问题,运用三角“八卦图”1.sinα+cosα;0(或0(或|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;4.|sinα|“化弦为一”:已知tanα,求sinα与cosα的齐次式,有些整式情形还可以视其分母为1,转化为sin2α+cos2α.六、见“正弦值或角的平方差”形式,启用“平方差”公式:1.sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β;2.cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β.七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题,起用平方法则:(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α;2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α.八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题,启用变形公式:tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考:tanα-tanβ=???九、见三角函数“对称”问题,启用图象特征代数关系:(A≠0)1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象,关于过最值点且横向于y轴的直线分别成直线型;2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象,关于其中间零点分别成中心对称;3.同样,利用图象也可以得到向量y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。
三角函数化简求值的技巧

三角函数化简与求值常用技巧
三角函数在高考中通常以中低档题型出现,难度不大,但由 于三角公式的特殊性,解题中往往也涉及一些小的变换技 巧,如果处理得当,往往可以事半功倍,快速而准确地得到 正确结论.通常情况下,三角变换应从“角度、函数、常数、 次数、结构”等几方面着手解决.
一、三角变换,角为先锋 三角函数作为一种特殊函数,其“角”的特殊性不容忽视,因此我们在三角函数恒等变换 中,应该首先注意角的形式,从统一角的角度出发,往往能够达到事半功倍的效果.
【例 1】已 知α、 β为 锐角,cos α=
3 5
,tan (α−β)=−
1 3
,则
tan β=(
)
A、
1 3
B、 3
【变式演练】已知 sin
x-π
4
=3,则
sin
2x 的值为(
)
5
A.- 7 25
B. 7 25
C. 9 25
D.16 25
【解析】法一、sin 2x=cos(2x- π )=1-2sin2(x- π )=1-2×(3)2= 7 ,选 B.
2
4
5 25
法二、依题意得 2(sin x-cos x)=3,1(sin x-cos x)2= 9 ,1-sin 2x=18,sin 2x= 7 ,选
C、
9 13
D、
13 9
【例
1】已 知α、 β为 锐角,cos α=
3 5
,tan (α−β)=−
1 3
,则
tan β=(
)
A、
1 3
B、 3
C、
9 13
D、
13 9
【分析】依题意,可求得 tan α=
三角函数化简与求值,4种突破口,展现恒等变换常用技巧

三角函数化简与求值,4种突破口,展现恒等变换常用技巧
利用三角公式进行化简与求值时要注意三看:一看角,即看式子里面各角之间的联系。
二看函数名称,即看是同名还是异名,是"弦"还是"切"。
三看式子的结构特征,即看式子是积与商的形式还是和与差的形式等。
从角入手,化复角为单角
从形入手,利用配方法,先对二次项配方
从名入手,化异名为同名
从幂入手,利用降幂公式先降次
选择不同的突破口,就有不同的解法,正可谓是"条条大路通罗马"!本题展现了三角函数恒丰变换中的几种常用技巧,是一个典型的范例!
更多高考数学知识,敬请关注头条号,数学教育!。
学不会这些三角函数化简技巧,三角函数寸步难行

学不会这些三角函数化简技巧,三角函数寸步难行
三角函数两大主线分别是三角函数性质以及解斜三角形,但这两条主线都要以三角函数化简技巧为核心
所以要想学好此部分内容,需要彻底掌握三角函数化简的技巧,特别对于已知条件的敏感关键词一定要引起重视:
【三角函数化简绝招】
1、统一名:其中包含齐次化切,以及切化弦
2、统一角:单角转倍角,倍角转单角
3、降幂:但不能违背统一角的原则
4、遇到特殊角拆
5、边转角,角转变
6、归一原则
7、配角原则
今天重点分享切化弦以及边转角和角转变。
三角函数化简公式及方法

三角函数化简公式及方法三角函数化简就是对复杂的三角函数进行变形,从而变成简单的三角函数,接下来给大家分享三角函数化简常用的公式。
三角函数化简原则(1)看角的特点,充分利用角之间的关系,尽量向同角转化,利用已知角构建求特角;(2)看函数名的特点,向同名函数转化,弦切互相转化;(3)看式子的结构特点,从整体出发,正用、逆用、变形应用这些公式。
另外,根据式子的特点,还可以使用辅助角公式。
三角函数化简常用公式半角公式sin(A/2)=±√((1-cosA)/2)cos(A/2)=±√((1+cosA)/2)tan(A/2)=±√((1-cosA)/((1+cosA))三角函数和差化积公式sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]cosA-cosB=-2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)三角函数积化和差公式sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2cosAsinB=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2三角函数降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))三角函数辅助角公式asinα+bcosα=(√a^2+b^2)sin(α+β),tanβ=b/a 三角函数化简方法(1)切割化弦;(2)降幂公式;(3)用三角公式转化出特殊角;(4)异角化同角;(5)异名化同名;(6)高次转低次;(7)辅助角公式;(8)分解因式。
三角函数化简技巧

三角函数化简技巧将一个三角函数式化简,最终结果一般都是出现两种形式:1、一元一次(即类似B x A y ++=)sin(ϕω)的标准形式;2、一元二次(即类似y=A(cosx+B)2+C )的标准形式。
二、三角化简的通性通法:1、切割化弦;2、降幂公式;3、用三角公式转化出现特殊角;4、 异角化同角;5、异名化同名;6、高次化低次;7、辅助角公式;8、分解因式。
三、例题讲解: (例1)f(x)=2cosxsin(x+3π)-3sin 2x+sinxcosx 解:f (x )=2cos x sin(x +3π)-3sin 2x +sin x cos x −−−−−→用三角公式展开2cos x (sin x cos 3π+cos x sin 3π)-3sin 2x +sin x cos x −−−−→降幂公式sin2x +3cos2x −−−−→辅助角公式2sin(2x +3π).(例2)y =2cos 2x -2a cos x -(2a +1) 解:y =2cos 2x -2a cos x -(2a +1) −−−→配方2(cos x -2a )2-2242+-a a . (例3)若tan x =2,则xx x x cos sin 1sin 2cos 22+--=_______.(例4)sin 4α+cos 4α=_______.解:sin 4α+cos 4α−−→(sin 2α+cos 2α)2-2sin 2αcos 2α−−→1-21sin 22α−−→1-11-cos222α⋅ =13cos 244α+. (例5)函数y =5sin x +cos2x 的最大值是_______.(例6)函数y =sin (3π-2x )+sin2x 的最小正周期是(例7)f (x )=2cos 2x +3sin2x +a (a 为实常数)在区间[0,2π]上的最小值为-4,那么a 的值等于 A.4 B.-6 C.-4D.-3(例8)求函数f (x )=xx x x x 2sin 2cos sin cos sin 2244-++的最小正周期、最大值和最小值.(例9)f (x )=-sin 2x +sin x +a(例10)函数y =sin 4x +cos 2x 的最小正周期为( ) A.4π B.2π C.π D.2π y =sin 4x +cos 2x −−−−−−−−−−→异角化同角+高次化低次+异角化同角(22cos 1x -)2+22cos 1x +−−→432cos 2+x −−−−→高次化低次424cos 1x++43=81cos4x +87(例11)2、函数22y sin x x =-的最小正周期 ( ) A 、2π B 、π C 、3π D 、4π(例12)化简:42212cos 2cos 2.2tan()sin ()44x x x x ππ-+-+(例13)设3177cos(),45124x x πππ+=<<,求2sin 22sin 1tan x x x +-的值。
高考数学难点突破_难点16__三角函数式的化简与求值

难点16 三角函数式的化简与求值[例1]不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值.命题意图:本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法,对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.知识依托:熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析:公式不熟,计算易出错.技巧与方法:解法一利用三角公式进行等价变形;解法二转化为函数问题,使解法更简单更精妙,需认真体会.解法一:sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80°=21 (1-cos40°)+21(1+cos160°)+ 3sin20°cos80° =1-21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°)=1-21cos40°+21(cos120°cos40°-sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°-sin60°sin20°)=1-21cos40°-41cos40°-43sin40°+43sin40°-23sin 220°=1-43cos40°-43(1-cos40°)= 41解法二:设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80° y =cos 220°+sin 280°-3cos20°sin80°,则 x +y =1+1-3sin60°=21,x -y =-cos40°+cos160°+3sin100° =-2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y =41,即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=41. [例2]设关于x 的函数y =2cos 2x -2a cos x -(2a +1)的最小值为f (a ),试确定满足f (a )=21的a 值,并对此时的a 值求y 的最大值.命题意图:本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目知识依托:二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析:考生不易考查三角函数的有界性,对区间的分类易出错.技巧与方法:利用等价转化把问题化归为二次函数问题,还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.解:由y =2(cos x -2a )2-2242+-a a 及cos x ∈[-1,1]得:f (a )⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)2( 12a a a a a a∵f (a )=21,∴1-4a =21⇒a =81∉[2,+∞) 故-22a -2a -1=21,解得:a =-1,此时,y =2(cos x +21)2+21,当cos x =1时,即x =2k π,k ∈Z ,y max =5.[例3]已知函数f (x )=2cos x sin(x +3π)-3sin 2x +sin x cos x (1)求函数f (x )的最小正周期;(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值; (3)若当x ∈[12π,127π]时,f (x )的反函数为f -1(x ),求f --1(1)的值. 命题意图:本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识,还考查计算变形能力,综合运用知识的能力,属★★★★★级题目.知识依托:熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识.错解分析:在求f --1(1)的值时易走弯路. 技巧与方法:等价转化,逆向思维.解:(1)f (x )=2cos x sin(x +3π)-3sin 2x +sin x cos x =2cos x (sin x cos 3π+cos x sin 3π)-3sin 2x +sin x cos x=2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3π)∴f (x )的最小正周期T =π(2)当2x +3π=2k π-2π,即x =k π-125π(k ∈Z )时,f (x )取得最小值-2.(3)令2sin(2x +3π)=1,又x ∈[27,2ππ],∴2x +3π∈[3π,23π],∴2x +3π=65π,则x =4π,故f --1(1)= 4π. ●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有:1.求值问题的基本类型:1°给角求值,2°给值求值,3°给式求值,4°求函数式的最值或值域,5°化简求值.2.技巧与方法:1°要寻求角与角关系的特殊性,化非特角为特殊角,熟练准确地应用公式. 2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.3°对于条件求值问题,要认真寻找条件和结论的关系,寻找解题的突破口,很难入手的问题,可利用分析法.4°求最值问题,常用配方法、换元法来解决. ●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★★)已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a >1)的两根均tan α、tan β,且α,β∈ (-2,2ππ),则tan2βα+的值是( ) A.21 B.-2C.34 D.21或-2 二、填空题2.(★★★★)已知sin α=53,α∈(2π,π),tan(π-β)= 21,则tan(α-2β)=_________.3.(★★★★★)设α∈(43,4ππ),β∈(0,4π),cos(α-4π)=53,sin(43π+β)=135,则sin(α+β)=_________.三、解答题4.不查表求值:.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒5.已知cos(4π+x )=53,(1217π<x <47π),求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值.6.(★★★★★)已知α-β=38π,且α≠k π(k ∈Z ).求)44(sin 42sin2csc )cos(12βπαααπ-----的最大值及最大值时的条件.7.(★★★★★)如右图,扇形OAB 的半径为1,中心角60°,四边形PQRS 是扇形的内接矩形,当其面积最大时,求点P 的位置,并求此最大面积.8.(★★★★★)已知cos α+sin β=3,sin α+cos β的取值范围是D ,x ∈D ,求函数y =10432log 21++x x 的最小值,并求取得最小值时x的值.参考答案难点磁场解法一:∵2π<β<α<43π,∴0<α-β<4π.π<α+β<43π, ∴sin(α-β)=.54)(sin 1)cos(,135)(cos 122-=+--=+=--βαβαβα∴sin2α=sin [(α-β)+(α+β)]=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β).6556)53(1312)54(135-=-⨯+-⨯=解法二:∵sin(α-β)=135,cos(α+β)=-54,∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α-β)=-6572sin2α-sin2β=2cos(α+β)sin(α-β)=-6540∴sin2α=6556)65406572(21-=--歼灭难点训练一、1.解析:∵a >1,tan α+tan β=-4a <0.tan α+tan β=3a +1>0,又α、β∈(-2π,2π)∴α、β∈(-2π,θ),则2βα+∈(-2π,0),又tan(α+β)=342tan 12tan2)tan(,34)13(14tan tan 1tan tan 2=β+α-β+α=β+α=+--=βα-β+α又a a , 整理得2tan 222tan 32-β+α+β+α=0.解得tan 2β+α=-2. 答案:B2.解析:∵sin α=53,α∈(2π,π),∴cos α=-54则tan α=-43,又tan(π-β)=21可得tan β=-21,247)34()43(1)34(432tan tan 1tan tan )2tan(.34)21(1)21(2tan 1tan 22tan 222=-⨯-+---=β⋅α+β-α=β-α-=---⨯=β-β=β答案:2473.解析:α∈(43,4ππ),α-4π∈(0, 2π),又cos(α-4π)=53.6556)sin(.655613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]43()4cos[(]2)43()4sin[()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(=β+α=⨯+-⨯-=β+π⋅π-α+β+π⋅π-α-=β+π+π-α-=π-β+π+π-α=β+α∴-=β+π∴=β+πππ∈β+π∴π∈β=π-α∴即 答案:6556 三、4.答案:2752853)54(257)4cos()4sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 54)4sin(,2435,471217.257)4(2cos 2sin ,53)4cos(:.522=-⨯=++=-+=-+=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x xx xx x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππ又解 2)322sin(22)21()322sin(4.32243824,3822cos 2sin 42)2sin 2(sin 2)2sin 2121(42cos 2cos 22sin 2)22cos(142sin 1)cos 1(2sin )44(sin 42sin 2csc )cos(1:.62222-π-α-=--⨯π-α=∴π-α=π-α=β-α∴π=β-α-β-αβ+α=-β+α=β--αα⋅α=β-π--α-α+α=β-π-α-αα-π-=t t 令解 π≠αk (k ∈Z ),322322π-π≠π-α∴k (k ∈Z ) ∴当,22322π-π=π-αk 即34π+π=αk (k ∈Z )时,)322sin(π-α的最小值为-1.7.解:以OA 为x 轴.O 为原点,建立平面直角坐标系,并设P 的坐标为(cos θ,sin θ),则|PS |=sin θ.直线OB 的方程为y =3x ,直线PQ 的方程为y =sin θ.联立解之得Q (33sin θ;sin θ),所以|PQ |=cos θ-33sin θ. 于是S PQRS =sin θ(cos θ-33sin θ)=33(3sin θcos θ-sin 2θ)=33(23sin2θ-22cos 1θ-)=33(23sin2θ+21cos2θ-21)= 33sin(2θ+6π)-63.∵0<θ<3π,∴6π<2θ+6π<65π.∴21<sin(2θ+6π)≤1.∴sin(2θ+6π)=1时,PQRS 面积最大,且最大面积是63,此时,θ=6π,点P 为的中点,P (21,23). 8.解:设u =sin α+cos β.则u 2+(3)2=(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u 2≤1,-1≤u ≤1.即D =[-1,1],设t =32+x ,∵-1≤x ≤1,∴1≤t ≤5.x =232-t ..21,232,2,258log 2log 82log ,0log .82,2,42.8224142142104325.05.05.0min 5.0max 2-==+==-==∴>=====≤+=+=++=∴x x t y M M y M t t t tt t t x x M 此时时时是减函数在时即当且仅当。
考点12三角化简和求值方法总结

一、利用诱导公式化简求值时的原则:1.“负化正”,2.“大化小”, 3.“小化锐”,4.“锐求值”,二、利用倍角公式化简求值:二倍角公式实际就是由两角和公式中令_______所得.特别地,对于余弦:cos 2α=cos 2α-sin 2α= 2cos 2α-1=1-2sin 2α,这三个公式各有用处,同等重要,特别是逆用即为“降幂公式”三、基础梳理1.同角三角函数的基本关系:(1)平方关系:____________________ (2)商数关系:__________________2.诱导公式公式一:公式二:公式三:公式四:公式五:公式六:3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α-β): (2)C (α+β):(3)S (α+β): (4)S (α-β):(5)T (α+β): (6)T (α-β):4.二倍角的正弦、余弦、正切公式:(1)S 2α:(2)C 2α: (3)T 2α:5.有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β=______________(2)cos 2α=______________,sin 2α=_______________;(3)1+sin 2α=_________________,1-sin 2α=________________,sin α±cos α=________.6.函数f(α)=acos α+bsin α(a ,b 为常数),可以化为f(α)=___________或f(α)=_______________,其中φ可由a ,b 的值唯一确定.一个口诀:诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限.三种方法:在求值与化简时,常用方法有:(1)弦切互化法:主要利用公式______________化成正、余弦.(2)和积转换法:利用_______________的关系进行变形、转化.(3)巧用“1”的变换:_________________________三个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时,其步骤:去负-脱周-化锐.特别注意函数名称和符号的确定.(2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.两个技巧:(1)拆角、拼角技巧:2α=__________;α=_______;β=__________;α-β2=_________.(2)化简技巧:切化弦、“1”的代换等.三个变化:(1)变角: (2)变名: (3)变式:【方法总结】一、利用诱导公式化简求值时的原则1.“负化正”,运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数.2.“大化小”,利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数,利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数.3.“小化锐”,利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数.4.“锐求值”,得到0°到90°的三角函数后,若是特殊角直接求得,若是非特殊角可由计算器求得.二、利用倍角公式化简求值二倍角公式实际就是由两角和公式中令β=α所得.特别地,对于余弦:cos 2α=cos 2α-sin 2α= 2cos 2α-1=1-2sin 2α,这三个公式各有用处,同等重要,特别是逆用即为“降幂公式”,在考题中常有体现.【考点剖析】一.明确要求1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简、求值是高考常考的点.2.考查同角三角函数的基本关系式、考查诱导公式在三角函数化简求值中的运用.3.考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题.二.命题方向1.考查利用三角函数的公式对三角函数式进行化简求值.2.公式逆用、变形应用是高考热点.3.题型以选择题、解答题为主.三.规律总结基础梳理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:sin 2α+cos 2α=1;(2)商数关系:sin αcos α=tan α.2.诱导公式公式一:sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cosα,其中k ∈Z.公式二:sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tan α.公式三:sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα.公式四:sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα.公式五:sin ⎝⎛⎭⎫π2-α=cosα,cos ⎝⎛⎭⎫π2-α=sinα. 公式六:sin ⎝⎛⎭⎫π2+α=cosα,cos ⎝⎛⎭⎫π2+α=-sinα 3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α-β):cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;(2)C (α+β):cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;(3)S (α+β):sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ; (4)S (α-β):sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ;(5)T (α+β):tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β; (6)T (α-β):tan(α-β)=tan α-tan β1+tan αtan β.4.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S 2α:sin 2α=2sinαcosα;(2)C 2α:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;(3)T 2α:tan 2α=2tan α1-tan2α. 5.有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tanαtanβ);(2)cos2α=1+cos 2α2,sin2α=1-cos 2α2; (3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2,sin α±cos α=2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 6.函数f(α)=acos α+bsin α(a ,b 为常数),可以化为f(α)=a2+b2sin(α+φ)或f(α)=a2+b2cos(α-φ),其中φ可由a ,b 的值唯一确定.一个口诀诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限.三种方法在求值与化简时,常用方法有:(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=sin αcos α化成正、余弦.(2)和积转换法:利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化.(3)巧用“1”的变换:1=sin 2θ+cos 2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan π4=….三个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负-脱周-化锐.特别注意函数名称和符号的确定.(2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.两个技巧(1)拆角、拼角技巧:2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β;β=α+β2-α-β2;α-β2=⎝⎛⎭⎫α+β2-⎝⎛⎭⎫α2+β. (2)化简技巧:切化弦、“1”的代换等.三个变化(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”.(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.。
高考数学难点突破_难点16__三角函数式的化简与求值

高考数学难点突破_难点16__三角函数式的化简与求值在高考数学中,三角函数式的化简与求值是一个很常见的难点。
在解决这一难点时,我们需要掌握一些基本的化简公式和常用的解题技巧。
首先,我们来回顾一下一些常见的三角函数化简公式:1.两角之和的三角函数公式:sin(A+B) = sinA·cosB + cosA·sinBcos(A+B) = cosA·cosB - sinA·sinBtan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA·tanB)2.两角之差的三角函数公式:sin(A-B) = sinA·cosB - cosA·sinBcos(A-B) = cosA·cosB + sinA·sinBtan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA·tanB)3.倍角的三角函数公式:sin2A = 2sinA·cosAcos2A = cos^2A - sin^2A = 2cos^2A - 1 = 1 - 2sin^2Atan2A = (2tanA) / (1 - tan^2A)4.半角的三角函数公式:sin(A/2) = ±√[(1 - cosA) / 2]cos(A/2) = ±√[(1 + cosA) / 2]tan(A/2) = ±√[(1 - cosA) / (1 + cosA)](在这里需要根据A的范围来确定取正还是取负)掌握了这些基本的化简公式后,我们可以运用它们来解决一些常见的难点问题。
1.求三角函数值:高考中经常会出现需要求一些特定角度的三角函数值的问题。
我们可以通过套用基本的化简公式,将所给的角度化简到我们熟悉的角度(如30°,45°,60°等),然后代入公式求值即可。
例如,要求sin75° 的值,我们可以化简为sin(45°+30°),然后套用两角之和的公式,得到sin45°·cos30° + cos45°·sin30°。
高中解决复杂的三角函数问题

高中解决复杂的三角函数问题在高中数学中,三角函数是一个重要的知识点。
它不仅在几何中有广泛的应用,还在物理、工程等领域中扮演着重要的角色。
但是,有时候我们会遇到一些复杂的三角函数问题,需要运用一些特殊的技巧来解决。
本文将介绍一些解决这些复杂问题的方法,希望对高中生们有所帮助。
一、复杂角度的化简在解决复杂的三角函数问题时,我们常常需要将复杂的角度化简为简单的角度。
这样可以让计算更加方便快捷。
以下是一些常用的角度化简方法:1. 和差角公式:对于任意两个角a和b,和差角公式可以将三角函数的和差表达式转化为乘积的形式。
例如,sin(a+b)可以用sin(a)和cos(b)的乘积表示,cos(a-b)可以用cos(a)和sin(b)的乘积表示。
运用和差角公式,我们可以将复杂的三角函数问题转化为简单的乘积问题,从而更好地解决。
2. 倍角公式:倍角公式可以将一个角的三角函数表达式转化为另一个角的三角函数表达式。
例如,sin(2a)可以用2sin(a)cos(a)表示,cos(2a)可以用cos^2(a)-sin^2(a)表示。
运用倍角公式,我们可以通过将复杂的三角函数问题转化为简单的二次方程问题来解决。
3. 半角公式:半角公式可以将一个角的三角函数表达式转化为另一个角的三角函数表达式。
例如,sin(a/2)可以用±√((1-cos(a))/2)表示,cos(a/2)可以用±√((1+cos(a))/2)表示。
运用半角公式,我们可以将复杂的三角函数问题转化为简单的二次方程问题,进而求解。
二、应用特殊角的数值有时候,我们遇到三角函数问题时,无法直接求得角度的数值,这时候可以考虑使用特殊角的数值来进行计算。
以下是一些常用的特殊角及其数值:1. 0度、30度、45度、60度、90度:这是最常用的特殊角度,对应的sin、cos、tan等三角函数值在表中有明确的数值。
对于一些特殊的三角函数问题,我们可以将角度近似为这些特殊角,从而得到更为简便的计算结果。
三角函数化简求值常用技巧

三角函数化简求值常用技巧三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一。
掌握化简和求值问题的解题规律和一些常用技巧,以优化我们的解题效果,做到事半功倍。
这也是解决三解函数问题的前提和出发点。
一、切割化弦例1、已知 )2(cot tan22≥=+m m x x ,求xx 4cos 14cos 3-+的值。
解: 24cos 14cos 34cos 1)4cos 3(24cos 12cos 444cos 1)2cos 1(484cos 12sin 48)4cos 1(812sin 2112sin 412sin 2112sin 41cos sin 2)cos (sin cos sin cos sin sin cos cos sin 2cot tan 2222222222222244222222m x x m x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-+∴=-+=-+=---=--=--=-=-+=+=+∴=+Θ 点评:由已知式与待求式的差异知,若选择“从已知到未知”,必定要“切切割化弦”;利用降幂公式实现已知与未知的统一。
二、统一配凑例2、已知2π<β<α<43π,cos(α-β)=1312,sin(α+β)=-53,求sin2α的值. 解:注意到2α= (α-β)+(α+β),于是可用配凑法求解。
∵2π<β<α<43π,∴0<α-β<4π.π<α+β<43π, ∴sin(α-β)=.54)(sin 1)cos(,135)(cos 122-=+--=+=--βαβαβα ∴sin2α=sin [(α-β)+(α+β)]=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β).6556)53(1312)54(135-=-⨯+-⨯=点评:本题以凑角的形式来实现未知与已知的统一,这是三角函数化简求值的常用技巧之一。
三、异角化同例3、已知cos(4π+x )=53,(1217π<x <47π),求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值. 752853)54(257)4cos()4sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 54)4sin(,2435,471217.257)4(2cos 2sin ,53)4cos(:22=-⨯=++=-+=-+=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππ又解Θ 点评:本题求解关键是将如何将已知条件中的角与目标关系式中的角统一起来。
高一数学 三角函数化简和求值超难方法汇总

第九讲 三角函数式的恒等变形1基本知识与基本方法 1.1基本知识介绍①两角和与差的基本关系式βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±;βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±;.tan tan 1tan tan )tan(βαβαβα ±=±②和差化积与积化和差公式2cos()2sin(2sin sin βαβαβα-+=+,2sin()2cos(2sin sin βαβαβα-+=-)2cos()2cos(2cos cos βαβαβα-+=+)2sin()2sin(2cos cos βαβαβα-+-=-[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++=[])cos()cos(21sin sin βαβαβα--+-=③倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=.tan 1tan 22tan 2ααα-=④半角公式⎪⎭⎫⎝⎛2sin α2)cos 1(α-±=, ⎪⎭⎫⎝⎛2cos α2)cos 1(α+±=,=⎪⎭⎫⎝⎛2tan α)cos 1()cos 1(αα+-±=.sin )cos 1()cos 1(sin αααα-=+⑤辅助角公式如果b a ,是实数且022≠+b a ,则)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a ,其中ϕ满足22sin ba b +=ϕ22cos ba a +=ϕ.1.2基本方法介绍①变角思想在三角化简、求值中,往往出现较多相异的角,可根据角与角之间的关系,通过配凑,整体把握公式,消去差异,达到统一角的目的,使问题求解.如已知βα、均为锐角,并且,31)tan(,54cos -=-=βαα求βcos 的值.观察到目标角与已知角不同,应寻找它们的关系,将目标角转化为已知角,即)(βααβ--=,所以求出10103)cos(,53sin =-=βαα1010)sin(-=-βα,则[])sin(sin )cos(cos )(cos cos βααβααβααβ-+-=--= 50109= .②变名思想当条件与所求的三角函数名不一样时,可以利用三角函数关系实现弦切、弦割互化,还可通过诱导公式实现正、余函数名的互化,使问题得到解决.如)10tan 31(50sin 00+的值,可先将正切化成弦,即=+=+)10cos 10sin 31(50sin )10tan 31(50sin 0180sin 100sin 10cos 50cos 250sin 10cos 10sin 310cos 50sin 000000000===+=. ③配对偶式法对偶式是指与原数学式子结构对称,或结构相似的数学式.根据原数学式子结构,构造一个对偶式,共同参与运算或变换,使问题得以巧妙的解决,这种解题方法叫做对偶式法.在化简求值或证明一些三角问题时,如果能灵活的运用对偶的数学思想,合理的构造出对偶式,并对原式和对偶式进行和、差或积的计算,则可以使问题得到巧妙的解决. 比如说计算0072cos 36cos 的值,可以设000072sin 36sin ,72cos 36cos ==y x ,则将它们两边相乘,y xy 4136sin 72sin 41144sin 72sin 410000===, 4172cos 36cos 00==x . ④消元思想对于三角变换的多元问题,需要根据题意尽量将多元向单元(或二元)转化,防止多元变量对我们解题的干扰.如锐角γβα,,满足βγαβγαcos cos cos ,sin sin sin =-=+,求βα-的值.考虑将γ角消去,由条件,γβαγαβcos cos cos ,sin sin sin =-=-, 再将两式两边平方再相加,得1)cos(22=--βα,21)cos(=-βα.由条件)0,2(πβα-∈-,得3πβα-=-.⑤1的代换三角函数中常遇到1的变形,主要有1cot tan ,1sec cos csc sin =⋅=⋅=⋅αααααααααααα22222200cot csc tan sec cos sin 1,45tan 90sin 1-=-=+===.如已知,31tan -=α求ααcos sin 11-的值,不需求ααcos ,sin ,可以将1看作αα22cos sin +,即原式=13109139101tan tan 1tan cos sin cos sin cos sin 222222==+-+=-++ααααααααα. 2基本知识应用 2.1基本三角公式的应用基本三角公式向我们揭示了同角或异角的三角函数之间的关系,利用它们可以在已知与未知之间进行转化,帮助我们进行化简、求值、求角.【例1】已知41)2sin(,312cos(=--=-βαβα,且,2,223πβππαπ<<<<求 2cos βα+的值.解: 由条件可观察得到 2)2()2(βαβαβα+=---由πβππαπ<<<<2,223, 所以 224,472πβαππβαπ<-<-<-< 又41)2sin(,312cos(=--=-βαβα 所以415)2cos(,322)2sin(=--=-βαβα所以121522)2(2(cos 2cos+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=+βαβαβα .【例2】已知,αβ为锐角,且3cos cos cos()2αβαβ+-+=求,αβ的值.解: 由题意,得012cos 2cos 42cos 42=+-+-+βαβαβα配成完全平方式可得 02sin )2cos 2cos 2(22=-+--+βαβαβα所以02cos 2cos 2=--+βαβα 且 02sin =-βα.因为,αβ为锐角,所以22πβαπ<-<- . 由02sin =-βα, 得βα=.将βα=代入02cos 2cos 2=--+βαβα,得212cos=+βα. 所以32πβα=+. 又βα=, 得3πβα==.在利用三角公式化简、求值时应找出已知条件与欲求的值之间的差异,主要是角及函数名称的差异,然后对已知式与欲求式施以适当的变形,消除它们的差异,以达到解决问题的目的。
高一数学。三角函数化简和求值超难方法汇总

高一数学。
三角函数化简和求值超难方法汇总第九讲三角函数式的恒等变形1.基本知识与基本方法1.1 基本知识介绍①两角和与差的基本关系式:cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta $$sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta $$tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\a lpha\tan\beta}$$②和差化积与积化和差公式:sin\alpha+\sin\beta=2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\co s\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$$cos\alpha+\cos\beta=2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\c os\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$$cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$$sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\al pha-\beta)\right)$$cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\left(\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\right)$$cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\ alpha-\beta)\right)$$sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}\left(\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\right)$$③倍角公式:sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$$tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$$④半角公式:sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$$cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$$tan\frac{\alpha}{2}=\pm\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\fra c{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$$⑤辅助角公式:如果$a,b$是实数且$a^2+b^2\neq0$,则:a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+\phi)$$其中$\phi$满足:sin\phi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$$cos\phi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$1.2 基本方法介绍①变角思想:在三角化简、求值中,往往出现较多相异的角,可根据角与角之间的关系,通过配凑,整体把握公式,消去差异,达到统一角的目的,使问题求解。
高考数学难点突破难点16三角函数式的化简与求值

难点16 三角函数式的化简与求值三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径,特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧,以优化我们的解题效果,做到事半功倍. ●难点磁场●难点磁场(★★★★★)已知2p <β<α<43p,cos(α-β)=1312,sin(α+β)=-53,求sin2α的值_________. ●案例探究●案例探究[例1]不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值. 命题意图:本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法,二倍角公式及降幂求值的方法,对计算能力的要求较对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目. 知识依托:熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析:公式不熟,计算易出错. 技巧与方法:解法一利用三角公式进行等价变形;解法一利用三角公式进行等价变形;解法二转化为函数问题,解法二转化为函数问题,使解法更简单更精妙,需认真体会. 解法一:sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80°=21 (1-cos40°)+21(1+cos160°)+ 3sin20°cos80° =1-21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°) =1-21cos40°+21(cos120°cos40°-sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°-sin60°sin20°) =1-21cos40°-41cos40°-43sin40°+43sin40°-23sin 220°=1-43cos40°-43(1-cos40°)= 41解法二:设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°y =cos 220°+sin 280°-3cos20°sin80°,则°,则 x +y =1+1-3sin60°=21,x -y =-cos40°+cos160°+3sin100° =-2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y =41,即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=41. [例2]设关于x 的函数y =2cos 2x -2a cos x -(2a +1)的最小值为f (a ),试确定满足f (a )=21的a 值,并对此时的a 值求y 的最大值. p3 p7pp3p p3p3p ppp pp p p pp ppp ba +p p p p p p 10cos 13°+p )a a a p 332+x参考答案参考答案难点磁场难点磁场解法一:∵2p <β<α<43p ,∴0<α-β<4p.π<α+β<43p , ∴sin(α-β)=.54)(sin 1)cos(,135)(cos 122-=+--=+=--b a b a b a∴sin2α=sin [(α-β)+(α+β)]=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β) .6556)53(1312)54(135-=-´+-´= 解法二:∵sin(α-β)=135,cos(α+β)=-54, ∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α-β)=-6572sin2α-sin2β=2cos(α+β)sin(α-β)=-6540∴sin2α=6556)65406572(21-=--歼灭难点训练歼灭难点训练一、1.解析:∵a >1,tan α+tan β=-4a <0. tan α+tan β=3a +1>0,又α、β∈(-2p ,2p )∴α、β∈(-2p,θ),则2b a +∈(-2p ,0),又tan(α+β)=342tan 12tan 2)tan(,34)13(14tan tan 1tan tan 2=b +a -b +a =b +a =+--=b a -b +a 又a a , 整理得2tan 222tan 32-b +a +b +a =0.解得tan 2b +a =-2. 答案:B 2.解析:∵sin α=53,α∈(2p ,π),∴cos α=-54 则tan α=-43,又tan(π-β)=21可得tan β=-21, 247)34()43(1)34(432tan tan 1tan tan )2tan(.34)21(1)21(2tan 1tan 22tan 222=-´-+---=b ×a +b -a =b -a -=---´=b -b =b 答案:2473.解析:α∈(43,4p p ),α-4p ∈(0, 2p ),又cos(α-4p )=53. 6556)sin(.655613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]43()4cos[(]2)43()4sin[()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(=b +a =´+-´-=b +p ×p-a +b +p ×p -a -=b +p +p-a -=p-b +p +p -a =b +a \-=b +p \=b +p p p Îb +p \p Îb =p -a \即 答案:6556 三、4.答案:2 752853)54(257)4cos()4sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 54)4sin(,2435,471217.257)4(2cos 2sin ,53)4cos(:.522=-´=++=-+=-+=-+-=+\<+<\<<=+-=\=+x x x xx xx x x x x x x x x x x x x x x x x p pp p p p p p pp又解 2)322sin(22)21()322sin(4.32243824,3822cos 2sin 42)2sin 2(sin 2)2sin 2121(42cos 2cos 22sin 2)22cos(142sin 1)cos 1(2sin )44(sin 42sin2csc )cos(1:.62222-p-a -=--´p -a =\p -a =p-a =b -a \p =b -a -b-a b +a =-b +a =b --aa ×a =b -p --a -a +a =b -p-a -a a -p -=t t 令解 p ¹a k (k ∈Z ),322322p-p ¹p -a \k (k ∈Z ) ∴当,22322p -p =p -a k 即34p+p =a k (k ∈Z )时)时,,)322sin(p -a 的最小值为-1. 7.解:以OA 为x 轴.O 为原点,建立平面直角坐标系,并设P 的坐标为(cos θ,sin θ),则|PS |=sin θ.直线OB 的方程为y =3x ,直线PQ 的方程为y =sin θ.联立解之得Q (33sinθ;sin θ),所以|PQ |=cos θ-33sin θ. 于是S PQRS =sin θ(cos θ-33sin θ)=33(3sin θcos θ-sin 2θ)=33(23sin2θ-22cos 1q -)=33(23sin2θ+21cos2θ-21)= 33sin(2θ+6p )-63. ∵0<θ<3p ,∴6p <2θ+6p <65π.∴21<sin(2θ+6p )≤1. ∴sin(2θ+6p )=1时,PQRS 面积最大,且最大面积是63,此时,θ=6p,点P 为的中点,P (21,23). 8.解:设u =sin α+cos β.则u 2+(3)2=(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u 2≤1,-1≤u ≤1.即D =[-1,1],设t =32+x ,∵-1≤x ≤1,∴1≤t ≤5.x =232-t . .21,232,2,258log 2log 82log ,0log .82,2,42.8224142142104325.05.05.0min 5.0max 2-==+==-==\>=====£+=+=++=\x x t y M M y M t tt tt t t x x M 此时时时是减函数在时即当且仅当。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
第九讲 三角函数式的恒等变形1基本知识与基本方法 1.1基本知识介绍①两角和与差的基本关系式βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±;βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±;.tan tan 1tan tan )tan(βαβαβα ±=±②和差化积与积化和差公式2cos()2sin(2sin sin βαβαβα-+=+,2sin()2cos(2sin sin βαβαβα-+=-)2cos()2cos(2cos cos βαβαβα-+=+)2sin()2sin(2cos cos βαβαβα-+-=-[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++=[])cos()cos(21sin sin βαβαβα--+-=③倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=.tan 1tan 22tan 2ααα-=④半角公式⎪⎭⎫⎝⎛2sin α2)cos 1(α-±=, ⎪⎭⎫⎝⎛2cos α2)cos 1(α+±=,=⎪⎭⎫⎝⎛2tan α)cos 1()cos 1(αα+-±=.sin )cos 1()cos 1(sin αααα-=+⑤辅助角公式如果b a ,是实数且022≠+b a ,则)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a ,其中ϕ满足22sin ba b +=ϕ22cos ba a +=ϕ.1.2基本方法介绍①变角思想在三角化简、求值中,往往出现较多相异的角,可根据角与角之间的关系,通过配凑,整体把握公式,消去差异,达到统一角的目的,使问题求解.如已知βα、均为锐角,并且,31)tan(,54cos -=-=βαα求βcos 的值.观察到目标角与已知角不同,应寻找它们的关系,将目标角转化为已知角,即)(βααβ--=,所以求出10103)cos(,53sin =-=βαα1010)sin(-=-βα,则[])sin(sin )cos(cos )(cos cos βααβααβααβ-+-=--= 50109= .②变名思想当条件与所求的三角函数名不一样时,可以利用三角函数关系实现弦切、弦割互化,还可通过诱导公式实现正、余函数名的互化,使问题得到解决.如)10tan 31(50sin 00+的值,可先将正切化成弦,即=+=+)10cos 10sin 31(50sin )10tan 31(50sin 0180sin 100sin 10cos 50cos 250sin 10cos 10sin 310cos 50sin 000000000===+=. ③配对偶式法对偶式是指与原数学式子结构对称,或结构相似的数学式.根据原数学式子结构,构造一个对偶式,共同参与运算或变换,使问题得以巧妙的解决,这种解题方法叫做对偶式法.在化简求值或证明一些三角问题时,如果能灵活的运用对偶的数学思想,合理的构造出对偶式,并对原式和对偶式进行和、差或积的计算,则可以使问题得到巧妙的解决. 比如说计算0072cos 36cos 的值,可以设000072sin 36sin ,72cos 36cos ==y x ,则将它们两边相乘,y xy 4136sin 72sin 41144sin 72sin 410000===, 4172cos 36cos 00==x . ④消元思想对于三角变换的多元问题,需要根据题意尽量将多元向单元(或二元)转化,防止多元变量对我们解题的干扰.如锐角γβα,,满足βγαβγαcos cos cos ,sin sin sin =-=+,求βα-的值.考虑将γ角消去,由条件,γβαγαβcos cos cos ,sin sin sin =-=-, 再将两式两边平方再相加,得1)cos(22=--βα,21)cos(=-βα.由条件)0,2(πβα-∈-,得3πβα-=-.⑤1的代换三角函数中常遇到1的变形,主要有1cot tan ,1sec cos csc sin =⋅=⋅=⋅αααααααααααα22222200cot csc tan sec cos sin 1,45tan 90sin 1-=-=+===.如已知,31tan -=α求ααcos sin 11-的值,不需求ααcos ,sin ,可以将1看作αα22cos sin +,即原式=13109139101tan tan 1tan cos sin cos sin cos sin 222222==+-+=-++ααααααααα. 2基本知识应用 2.1基本三角公式的应用基本三角公式向我们揭示了同角或异角的三角函数之间的关系,利用它们可以在已知与未知之间进行转化,帮助我们进行化简、求值、求角.【例1】已知41)2sin(,312cos(=--=-βαβα,且,2,223πβππαπ<<<<求 2cos βα+的值.解: 由条件可观察得到 2)2()2(βαβαβα+=---由πβππαπ<<<<2,223, 所以 224,472πβαππβαπ<-<-<-< 又41)2sin(,312cos(=--=-βαβα 所以415)2cos(,322)2sin(=--=-βαβα所以121522)2(2(cos 2cos+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=+βαβαβα .【例2】已知,αβ为锐角,且3cos cos cos()2αβαβ+-+=求,αβ的值.解: 由题意,得012cos 2cos 42cos 42=+-+-+βαβαβα配成完全平方式可得 02sin )2cos 2cos 2(22=-+--+βαβαβα所以02cos 2cos 2=--+βαβα 且 02sin =-βα.因为,αβ为锐角,所以22πβαπ<-<- . 由02sin =-βα, 得βα=.将βα=代入02cos 2cos 2=--+βαβα,得212cos=+βα. 所以32πβα=+. 又βα=, 得3πβα==.在利用三角公式化简、求值时应找出已知条件与欲求的值之间的差异,主要是角及函数名称的差异,然后对已知式与欲求式施以适当的变形,消除它们的差异,以达到解决问题的目的。
求值时要注意角的范围限制对结果的影响. 2.2辅助角公式的应用在三角化简中经常会出现ααcos sin b a +的结构,我们可以把它化成一个角的三角函数,简化三角式的结构,这就需要引入辅助角ϕ,)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a ,其中ϕ满足22sin ba b +=ϕ22cos ba a +=ϕ.【例3】求])10tan 31(10sin 40cos 220cos 1000+++o 的值.解: 原式=10cos 10sin 310cos 10sin 40cos 2(10cos 2000++ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=)10sin 2310cos 21(10sin 40cos 10cos 2200000630cos 22)40sin 10sin 40cos 10(cos 2200000==+=.将ααcos sin b a +的结构化成一个角的三角函数,其方式并不唯一,注意公式的正负号,另外也要熟悉公式的反用与变用.3基本方法应用 3.1配对偶式法三角函数中,正弦函数和与余弦函数,正切函数与余切函数,正割函数与余割函数称为互余函数,利用互余函数来构造对偶式,通过运算使问题获得解决.【例4】求值:︒︒-︒+︒80sin 40sin 50cos 10cos 22︒︒-︒+︒=80sin 40sin 50cos 10cos 22x 令︒︒-︒+︒=80cos 40cos 50sin 10sin 22y0000040cos 2)80sin 40sin 80cos 40(cos 2-=+-=+y x 则 00000080sin 40sin 80cos 40cos )80cos 20(cos -+-=-y x 又2140cos 2150sin 120cos )30sin(50sin 200000-=-=+--= 两式相加得232122=-=x ,所以43=x .某些结构特殊的三角函数问题,如果加以观察、利用,构造出与之匹配的对偶结构式整体求解,常常可以达到意想不到的效果.3.2消元思想在三角函数的问题中,往往会出现多个角,多个函数名,在变角或变名过程中,可先设法减少角(或名)的个数(种类),这种思想称为消元思想.【例5】已知0cos cos cos sin sin sin =++=++z y x z y x , 求z y x z y x S tan tan tan )tan(+++=的值.解: 由已知得z y x z y x cos cos cos ,sin sin sin -=+-=+平方相加,得1sin sin 2cos cos 22=++y x y x ,即21)cos(-=-y x同理21)cos(-=-z y ,21)cos(-=-x z .不妨设)(,23211Z k k y x ∈++=ππ)(,23222Z k k z y ∈++=ππ),(,)(2342121Z k k k k z x ∈+++=ππ所以π)12(2321+++=++k k z z y x .z z z z z y x z y x S tan )32tan()34tan(3tan tan tan tan )tan(ππ+++=+++= 0tan 3tan(3tan(3tan =-++=z z z z ππ.【例6】设12π≥≥≥z y x ,且2π=++z y x ,求乘积z y x cos sin cos 的最大值和最小值.解:由已知条件,0)sin(,0)sin(,31222)(2≥-≥-=⨯-≤+-=z y y x z y x ππππ于是,[])sin(cos 21)sin()sin(cos 21cos sin cos z y x z y z y x z y x +≥-++=813cos 21cos 2122=≥=πx (当且仅当12,3ππ===z y x 时取等号). 又[])sin(cos 21)sin()sin(cos 21cos sin cos y x z y x y x z z y x +≤--+=83212cos 21cos 2122+=≤=πz (当且仅当12,245ππ===z y x 时取等号).消元法可以减少三角问题中的变元,使问题的条件变得简洁,能够让我们容易观察条件之间的联系,从而准确地寻找突破口,运用相关知识进行解决. 3.3 1的代换在三角函数中的应用三角函数中1有着特殊的地位,在求值、化简中为了进一步变形的需要,往往将1作灵活的代换,主要方式有αααα222200tan sec cos sin 1,45tan 90sin 1-=+===等等.【例7】设b a ,是非零实数,R x ∈,若,2224241cos sin ba b xa x +=+求2006200820062008cos sin bxa x +的值.(表示用b a ,)解: 已知,2224241cos sin ba b x a x +=+ ………………①将①改写成x ba x ab x x 42242244cos sin cos sin 1+++=.而 x x x x x x 2244222cos sin 2cos sin )cos (sin 1++=+=, 所以有0cos cos sin 2sin 42222422=+-x ba x x x ab . 即0cos sin 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x b a x a b , 也即4444cos sin b xa x = 将该值记为C. 则由(1)知,22221b a C b C a +=+。