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一次函数之面积问题 (讲义及答案)
一次函数之面积问题（讲义）➢课前预习1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，2)，B(3，5)，C(6，3)，求△ABC的面积．2.如图，直线l1：y=-3x+3与x轴交于点A，直线l2：362y x=-与x轴交于点B，直线l1，l2相交于点C．在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ABP 与△ABC的面积相等，请求出点P的坐标．➢知识点睛1.坐标系中处理面积问题，要寻找并利用_____________的线，通常有以下三种思路：①__________________（规则图形）；②__________________（分割求和、补形作差）；③__________________（例：同底等高）．2.坐标系中面积问题的处理方法举例①割补求面积（铅垂法）：B1()2APB B AS PM x x=⋅⋅-△②转化求面积：l1l2如图，满足S△ABP=S△ABC的点P都在直线l1，l2上．➢精讲精练1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(-1，3)，B(3，-2)，则△AOB的面积为___________．2.如图，直线y=-x+4与x轴、y S△PAB=___________．第2题图第3题图3.如图，直线AB：y=x+1与x轴、y轴分别交于点A，B，直线CD：y=kx-2与x轴、y轴分别交于点C，D，直线AB与直线CD交于点P．若S△APD=4.5，则k的值为__________．4.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(2，4)，B(6，6)，C(8，2)，求四边形OABC的面积．5.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1，l2相交于点A(2，1)，点B(8，4)在l1上，l2的表达式为y=2x-3．C为l2上的一个动点，且在点A的右侧，若△ABC的面积为9，求点C的坐标．6.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x与直线l2：y=-2x+3相交于点A，点B在直线l1上，且横坐标为4．C为l2上的一个动点，且在点A的左侧，若△ABC的面积为9，则点C的坐标为_____________．7.如图，直线112y x=-+与x轴、y轴分别交于点A，B，点C的坐标为(1，2)，则坐标轴上是否存在点P，使S△ABP =S△ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8.已知直线112y x=-+与x轴、y轴分别交于点A，B，以A为直角顶点，线段AB为腰在第一象限内作等腰Rt△ABC，P为直线x=1上的动点，若△ABP 的面积与△ABC的面积相等，则点P的坐标为______________．【参考答案】➢ 课前预习1.1322. P (6，3) ➢ 知识点睛 1. 横平竖直①公式法；②割补法；③转化法 ➢ 精讲精练 1. 72 2. 8 3. 52 4. 245.C (4，5)6. (-1，5)7. 存在，点P 的坐标为51(0)(50)(0)(10)22--，，，，，或， 8. (13)(12)-，或，。
一次函数中的面积问题
一次函数中的面积问题(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--设L: y= kx11113232BOC AOB S OB C D S ∆∆=⋅⋅==所以1C D =1，C1(-1 , y ) ,代入y=x+3 ， y = 2所以C1(-1 , 2 ) 同理：C2(-2 , 1)3、如图,已知直线PA ：)0(>+=n n x y 与x 轴交于A,与y 轴交于Q,另一条直线x n m m x y 与)(2>+-=轴交于B,与直线PA 交于P 求: (1)A,B,Q,P 四点的坐标(用m 或n 表示)(2)若AB=2,且S 四边形PQOB=65,求两个函数的解析式.主要练习用字母表示其它的量，建立方程的思想。
两点间的距离公式： AB=A B x x -或 AB=A By y -AB=A Bx x -=()2mn --=2再根据四边形面积公式建立等式。
求解m ，n4、已知直线2+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 点和B 点，另一条直线 b kx y +=)0(≠k 经过点)0,1(C ，且把AOB ∆分成两部分 （1）若AOB ∆被分成的两部分面积相等，则k 和b 的值（2）若AOB ∆被分成的两部分面积比为1：5，则k 和b 的值答案：（1）2,2=-=b k （2）①32,32=-=b k ②2,2-==b k5、已知一次函数332y x =-+的图象与y 轴、x 轴分别交于点A 、B ，直线y kx b =+经过OA 上的三分之一点D ，且交x 轴的负半轴于点C ，如果AOB DOC S S ∆∆=，求直线y kx b =+的解析式．二、利用解析式求面积1、直线b kx y +=过点A （－1，5）和点)5,(-m B 且平行于直线x y -=，O 为坐标原点，求AOB ∆的面积.2、 如图，所示，一次函数b kx y +=的图像经过A ，B 两点，与x 轴交于C 求：（1）一次函数的解析式； （2）AOC ∆的面积3、已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1.(1)求两直线交点C 的坐标;(2)求△ABC 的面积.(3)在直线BC 上能否找到点P,使得S △APC =6， 若能，请求出点P 的坐标，若不能请说明理由。
一次函数面积问题专题(含答案解析)
一次函數面積問題1、如图，一次函数的图像与X轴交于点B (- 6 , 0),交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ ABC的面积为15，求直线OA的解析式。
2、直线y=x+3的图像与X轴、y轴分别交于A B两点，直线a经过原点与线段AB 交于。
，把厶ABO勺面积分为2：1的两部分，求直线a的函数解析式。
3、直线PA是一次函数y=x+n的图像，直线PB是一次函数y=-2x+m (m>n>0的图像，(1) 用m n表示A、B、P的坐标(2) 四边形PQoB勺面积是'，AB=2求点P的坐标4、A AOB的顶点0( 0, 0) A (2, 1)、B (10, 1),直线CDL X 轴且△ AOB面积二等分，若D (m, 0),求m的值5、点B在直线y=-x+1上，且点B在第四象限，点A(2, 0)、0(0, 0),A ABo 的面积为2,求点B的坐标。
6直线y=- x+1与X轴y轴分别交点A B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ ABC N BAC=90 ,点P( a,])在第二象限，△ ABP勺面积与△ ABC7、如图，已知两直线y=0.5x+2.5和y=-x+1分别与X轴交于A、B两点，这两直线的交点为P(1)求点P的坐标(2)求厶PAB的面积8、已知直线y=ax+b (b>0)与y轴交于点N,与X轴交于点A且与直线y=kx交于点M (2, 3)，如图它们与y轴围成的厶MoN勺面积为5,求(1)这两条直线的函数关系式(2)它们与X轴围成的三角形面积9、已知两条直线y=2x-3和y=5-x(1)求出它们的交点A的坐标(2)求出这两条直线与X轴围成的三角形的面积10、已知直线y=x+3的图像与X轴、y轴交于A B两点，直线I经过原点，与线段AB 交于点。
，把厶AoB的面积分为2：1的两部分，求直线I的解析式。
11、已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1与y轴分别交于点A B（1）求两直线交点C的坐标（2）求厶ABe的面积（3）在直线BC上能否找到点P,使得△ APC的面积為6,求出点P的坐标,12、已知直线y=-x+2与X轴、y轴分别交于点A和点B,另一直线y=kx+b（k≠ 0）经过点C（1，0）,且把△ AOB分为两部分，（1）若厶AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值（2）若厶AOB被分成的两部分面积为1：5,求k和b的值13、直线y=- x+3交X, y坐标轴分别为点A B,交直线y=2x-1于点P,直线-Iy=2x-1交X, y坐标轴分别为C。
一次函数面积问题
一次函数面积问题(共5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--一次函数面积问题知识点睛1. 坐标系中处理面积问题，要寻找并利用_____________的线，通常有以下三种思路： ①公式法；②割补法（分割求和、补形作差）； ③转化法（例：借助平行线转化）． 2. 坐标系中面积问题的处理方法举例（1）割补法——铅垂法求面积：x B -x Ax B -x ABMPPM B1()2APB B A S PM x x =⋅⋅-△ （2）转化法——借助平行线转化：hh l 1l 2ABC如图，满足S △ABP =S △ABC 的点P 都在直线l 1，l 2上．精讲精练1. 如图，在平面直角坐标系中，已知A (2，3)，B (4，2)，则△AOB 的面积为___________．xyOBACO ABxy第1题图 第2题图2. 如图，直线112y x =+经过点A (1，m )，B (4，n )，点C 的坐标为(2，5)，则△ABC 的面积为__________．3. 如图，直线y =-x +4与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点P 的坐标为(-2，2)，则S △PAB =___________．OBy APxPDOB yA Cx第3题图 第44. 如图，直线AB ：y =x +1与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，直线CD ：y =kx -2与x 轴、y 轴分别交于点C ，D ，直线AB 与直线CD 交于点P ．若S △APD =，则k 的值为__________．5. 如图，在平面直角坐标系中，已知A (2，4)，B (10，5)，C (8，2)，则四边形OABC 的面积为___________．x CAyOB6. 如图，直线y =-x +3上两点A (4，m )，B (-1，n )，若点P 的坐标为(6，2)，则S△ABP=_____．第7题图7.如图，已知点A(2，1)，点B(8，4)，点C是直线AB上方任意一点，且△ABC的面积为36，若C点坐标为(m，2m-3)，则m=________．8.如图，直线l1：y=x与直线l2：y=-2x+3相交于点A，点B在直线l1上，且横坐标为4．C为l2上的一个动点，且在点A的左侧，若△ABC的面积为9，则点C的坐标为__________．9.如图，直线112y x=-+与x轴、y轴分别交于点A，B，点C的坐标为(1，2)，点P为坐标轴上一点，若S△ABP=S△ABC，则点P的坐标为_____________________．10.如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x+4的图象分别交x轴、y轴于A，B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且M为线段OB的中点．若点P是直线AM上一点，使得S△ABP=S△AOB，则点P的坐标为______________．11.已知直线332y x=-+与x轴、y轴分别交于点A，B，以A为直角顶点，线段AB为腰在第一象限内作等腰Rt△ABC，P为直线x=1上的动点，若S△ABP=S△ABC，则点P的坐标为___________________．【参考答案】知识点睛1.横平竖直精讲精练1.42.9 23.84.5.256.7.108.(-1，5)9.52⎛⎫⎪⎝⎭，，(5，0)，(-1，0)，12⎛⎫-⎪⎝⎭，10.(2，4)，(-6，-4)11.(1，8)，(1，-5)。
一次函数与面积问题
一次函数常与三角形或四边形的面积相结合进行考查，两种类型的题目比较常见：（1）由函数图像求面积；（2）由面积求点坐标。
遇到第一种类型题目时，找准三角形的底和高是解题的关键，特别是遇到钝角三角形。
如果无法直接求解，可以利用割补法、铅锤法等方法进行转化。
遇到第二种类型题目时，要特别注意，很容易出错，不要忘记使用绝对值。
01类型一：由函数图像求图形面积例题1：如图，直线l1：y=-3x+3与x轴交于点A，直线l2经过点B（4，0），C（3，-1.5），并与直线l2交于点D．（1）求直线l2的函数解析式；（2）求△ABD的面积.分析：求l2的函数解析式，利用待定系数法，已知点B（4，0）、点C （3，-1.5），代入解析式中求出K、b得值即可得到一次函数解析式。
求△ABD的面积，三角形有一边在x轴上，求三角形的面积可直接利用三角形的面积公式，选择x轴上的线段AB为底，那么点D纵坐标的绝对值即为三角形的高，因此需要求出点B坐标。
点B是两直线的交点，联立方程组即可求得点B坐标。
本题主要是有函数图像求得三角形的面积，属于基础题。
02类型二：由面积求点坐标例题2：如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AC与直线OA相交于点A（4，2）．（1）求直线AC的表达式；（2）求△OAC的面积；（3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC 的面积是△OAC的面积的14？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）由点C和点A的坐标，利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）求△AOC的面积，由题可知该三角形可选OC作为底，点A的横坐标的绝对值即为该三角形的高，点A与点C坐标已知，可通过三角形的面积公式直接求出。
（3）当△OMC的面积是△OAC的面积的1/4时，根据面积公式即可求得M的横坐标的绝对值，然后代入解析式即可求得M的坐标．由面积求点坐标时，一定要注意绝对值的使用，注意分情况进行讨论。
一次函数中的面积问题
一次函数中的面积问题（专题）例1：已知一次函数 ，求该函数图象与坐标轴围成的图形的面积.（针对性训练1）已知一次函数 ，求该函数图象与坐标轴围成的图形的面积.例2：若直线 与两坐标轴所围成的图形面积为4，求该直线的解析式.（针对性训练2）若直线 与两坐标轴所围成的图形面积为6，求该直线的解析式.例3：已知一次函数图像经过（0，2）且与两坐标轴围成的三角形面积为1，求一次函数的 解析式.（针对性训练3）已知一次函数图像经过（0，-2）且与两坐标轴围成的三角形面积为3， 求一次函数的解析式.4、如图所示一次函数 的图象经过A（2，4）和B （0，2）两点，且与x 轴相交于C 点，连接AO 。
（1）求此一次函数的解析式；（2）求AOC ∆的面积.b kx y +=121+-=x y b x y +=2231-=x y b x y --=321-5、已知直线 和直线 相交于点P ，且直线分别交x 轴、 轴于点A ，B ，直线 交 轴于点C ，如图所示（1）求点P 的坐标；（2）求PCA ∆的面积.6、如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图象 分别与x 轴、y 轴和直线4=x 交于点A ，B ，C ，直线4=x 与x 轴交于点D ，梯形OBCD （O 为坐标原点）的面积为10，若点A 的横坐标为 ，求这个一次函数的解析式.7、直线 过点A （0，2），B （2，0），直线 ： 过点C （1，0），且把分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，设此三角形的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式.643+-=x y 243-=x y 643+-=x y 243-=x y y y bkx y +=1l 2l bmx y +=AOB ∆。
一次函数中的面积问题(1)-基本面积求法
一次函数中的面积问题（1）
姓名：
例1：一次函数图像过A （-2，-1），B （1,3），交x 轴于点C ，交y 轴于点D ,求S ∆COD , S ∆COB , S ∆AOD , S ∆AOB
练习：
1、已知直线42+=x y 与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为B ，点(1,6)D 、)2,3(--E 在这条直线上，O 为坐标原点．（1）BOD S ∆= ，BOE S ∆= ， DOE S ∆= ；
（2）若点F 是直线AB 上一点，且2BOF S ∆=，求点F 的坐标．
变式1：一次函数b x y +=2图象与坐标轴围成的三角形面积为8，求直线解析式。
变式2：如图，已知直线1l 经过点)1,0()0,2(B A 与点，另一条直线2l 经过点B ，且与x 轴相交于点P(a,0)，若APB ∆的面积为3，求直线OP 的解析式。
备用图
变式3：已知一次函数的图像过点B （0，4）且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求此一次函数的解析式？
例2：已知一次函数22-=x y 、32
1+-=x y （1）求两函数图象与x 轴围成的三角形面积；（2）求两直线与y 轴围成的三角形面积
练习：
变式1：已知，直线y=2x+3与y轴交于点A，直线y= - 2x-1与x轴交于点B
（1）求两直线交点C的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）在y轴上存在一点P，使△ABP的面积是△ABC面积的2倍，求直线CP的解析式。
(完整word版)一次函数与面积专题
一次函数与面积专题一、知识点睛1.思考策略：数形结合和化不规则为规则图形；2.处理面积问题的几种思路：①割补法（分割求和、补形作差）；②等积转换（例：同底等高）；③面积比转化为线段比（等高不等底）二、精讲精练（1）割补法1.如图，直线53y kx=+经过点A（-2，m），B（1，3）．（1）求k，m的值；（2）求△AOB的面积．（有一边在坐标轴上的三角形）2、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(2，4)，B(6，6)，C(8，2)，求四边形OABC的面积．（四边形面积常转化为可求图形面积之和或差）巩固练习：3.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数y=x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y=﹣3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点．（1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数；（2）若四边形PQOB 的面积是，且CQ：AO=1：2，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；（3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，一次函数的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°．（1）求△ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（m ，），试用含m的代数式表示△APB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；CO ABxy6.如图，直线112y x=+经过点A(1，m)，B(4，n)，点C的坐标为(2，5)，求△ABC的面积．（转化为平行于坐标轴的三角形）（2）等积转换7.已知直线112y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，以A 为直角顶点，线段AB 为腰在第一象限内作等腰Rt △ABC ，P 为直线x=1上的动点，且△ABP 的面积与△ABC 的面积相等． （1）求△ABC 的面积； （2）求点P 的坐标．OAxCB y巩固练习：、8.直线31y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt ΔABC ，∠BAC=90° ，如果在第二象限内有一点P （a ，12），且ΔABP 的面积与ΔABC 的面积相等，求a 的值。
一次函数与面积问题
一次函数与面积问题一次函数与面积问题结合起来一起考查，是一类常考题型，它要求学生充分理解点的坐标的几何意义，能在坐标系中表示出线段的长度，会将面积问题转化为线段、坐标的关系问题，同时对于较复杂的问题能够依据题意画出图象，并借助图象进行分析与解答.一次函数与面积问题的相关类型如下.三角形的底在坐标轴上 三角形的底在坐标轴上时，利用点到坐标轴的距离求出高后直接求面积即可，注意点到坐标轴的距离要带绝对值． 如图①，S △OAC =21·OA ·CH=21·︱x A ︱·︱y C ︱； 如图②，S △OBC =21·OB ·CH=21·︱y B ︱·︱x A ︱三角形的底平行于坐标轴三角形的底平行于坐标轴时，利用平行于坐标轴的直线上的两点间距离求出底和高，最后用面积公式求出面积 如图①，S △ABC =21·AB ·CH=21·︱x B -x A ︱·︱y C -y H ︱；如图②，S △ABC =21·AB ·CH=21·︱y B -y A ︱·︱x C -x H ︱补形法或分割法如果三角形的边都不平行于坐标轴，可以采用补形法构造出有边平行于坐标轴的三角形或四边形后再求解． 如图①，S △ABC = S △OBC + S △OAC + S △AOB ； 如图②，S △ABC = S 梯形OACD + S △BCD + S △AOB ；如图③，S △ABC = S 梯形BOEC + S △ACE -S △AOB ； 如图④，S △ABC = S 矩形OAFD - S △BCD - S △ACF - S △AOB ；通过作平行于坐标轴的直线将三角形分成左右两个三角形或上下两个三角形来求解面积.作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法.如图①，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽a ”，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高h ”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =0.5ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.图①中，S △ABC =21·︱x A -x B ︱·︱y C -y M ︱，如图②，S △ABC = S △ACM + S △BCM ；如图③，S △ABC = S △ABN + S △BCN 平行线转移法通过作平行线，利用平行线间的距离处处相等和底高关系转移三角形面积．如图④，AB ∥CG ，S △ABC =S △ABG例题1：一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣1，2）和点B（0，4）．（1）求出这个一次函数的解析式；（2）画出一次函数图象；（3）求一次函数图象与x轴、y轴所围成的三角形的面积？分析：（1）将两点坐标代入函数表达式中，用待定系数法求解即可；（2）用两点法画函数的图象（确定两点，描点，连线）．（2）利用交点点坐标求出三角形面积可．解：（1）依题意得：，解得，所以该一次函数的解析式为y＝2x+4；（2）画出一次函数图象；（3）一次函数图象与x轴、y轴所围成的三角形的面积为：S＝×2×4＝4．例题2：已知直线y＝﹣3x+6与x轴交于A点，与y轴交于B点．（1）求A，B两点的坐标；（2）求直线y ＝﹣3x+6与坐标轴围成的三角形的面积．分析：（1）分别令x＝0、y＝0求解即可得到与坐标轴的交点；（2）根据三角形的面积公式列式计算即可得解：（1）当x＝0时，y＝﹣3x+6＝6，当y＝0时，0＝﹣3x+6，x＝2．所以A（2，0），B（0，6）；（2）直线与坐标轴围成的三角形的面积＝S△ABO＝×2×6＝6．例题3：求一次函数y＝x+、一次函数y＝﹣2x+6与x轴围成的三角形面积．分析：分别设一次函数y＝x+、一次函数y＝﹣2x+6与x轴的交点为A、B，两函数图象的交点为C，则可分别求得A、B、C的坐标，则可求得△ABC的面积．解：设一次函数y＝x+、一次函数y＝﹣2x+6与x轴的交点为A、B，两函数图象的交点为C，在y＝x+中，令y＝0可解得x＝﹣1，故A（﹣1，0），在y＝﹣2x+6中，令y＝0可解得x＝3，故B（3，0），∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，联立两函数解析式可得，解得，故C（2，2），∴在△ABC中，AB边上的高为2，∴S△ABC ＝×4×2＝4，即一次函数y＝x+、一次函数y＝﹣2x+6与x轴围成的三角形面积为4．例题4：已知一次函数的图象与x轴交于点A（6，0），又与正比例函数的图象交于点B，点B在第一象限，且横坐标为4，如果△AOB（O为坐标原点）的面积为15，求这个一次函数与正比例函数的函数关系式．分析:如图作BC⊥OA于C，先根据三角形面积公式求出BC＝5，则B点坐标为（4，5），然后利用待定系数法分别求正比例函数和一次函数解析式．解：如图，作BC⊥OA于C，∵S△OAB＝OA•BC，∴×6×BC＝15，∴BC＝5，∴B点坐标为（4，5），设正比的解析式为y＝kx+b，把A（6，0）、B（4，5）代入得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣x+15．例题5：如图，已知一次函数图象交正比例函数图象于第二象限的A点，交x轴于点B（﹣6，0），△AOB的面积为15，且AB＝AO，求正比例函数和一次函数的解析式分析：作AC⊥OB于C点，如图，根据等腰三角形的性质得BC＝OC＝BC＝3，则C（﹣3，0），再利用三角形面积公式得×6•AC＝15，解得AC＝5，所以A（﹣3，5），然后利用待定系数法分别求直线OA的解析式和直线AB的解析式即可．解：作AC⊥OB于C点，如图，∵AB＝AO，∴BC＝OC＝BC＝3，∴C（﹣3，0），∵△AOB的面积为15，∴OB •AC＝15，即×6×AC＝15，解得AC＝5，∴A（﹣3，5），设直线OA的解析式为y＝kx，把A（﹣3，5）代入得﹣3k＝5，解得k＝﹣，∴直线OA的解析式为y＝﹣x；设直线AB的解析式为y＝ax+b，把A（﹣3，5）、B （﹣6，0）分别代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝x+10，即正比例函数和一次函数的解析式分别为y＝﹣x，y＝x+10例题6：已知函数y＝（m+1）x+2m﹣6，（1）若函数图象过（﹣1，2），求此函数的解析式．（2）若函数图象与直线y＝2x+5平行，求其函数的解析式．（3）求满足（2）条件的直线与直线y＝﹣3x+1的交点，并求出这两条直线与y轴所围成三角形的面积．分析：（1）将点（﹣1，2）代入函数解析式求出m即可；（2）根据两直线平行即斜率相等，即可得关于m 的方程，解方程即可得；（3）联立方程组求得两直线交点坐标，再求出两直线与y轴的交点坐标，根据三角形面积公式列式计算即可．解：（1）∵函数y＝（m+1）x+2m﹣6的图象过（﹣1，2），∴2＝（m+1）×（﹣1）+2m﹣6，解得：m＝9，故此函数的解析式为：y＝10x+12；（2）由函数图象与直线y＝2x+5平行知二者斜率相等，即m+1＝2，解得：m＝1，故函数的解析式为：y＝2x﹣4；（3）如图，由题意，得：，解得：，∴两直线的交点A（1，﹣2），y＝2x﹣4与y轴交点B（0，﹣4），y＝﹣3x+1与y轴交点C（0，1）∴S△ABC＝×5×1＝．例题7：如图，直线y＝kx+6与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（﹣3，0），点A的坐标为（﹣2.5，0）．（1）求k的值；（2）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）探究：当点P运动到什么位置（求点P 的坐标）时，△OPA的面积为5，并说明理由．分析:（1）由直线与x 轴的交点的坐标，代入即可求出k 的值；（2）过点P 作x 轴的垂线段，能够发现P 点到x 轴的距离为P 点的纵坐标，代入直线方程用x 表示出来P 点的纵坐标，再套用三角形面积公式即可得出结论，再由点P 在第二象限，即可确定x 的取值范围；（3）分两种情况，一种P 点在x 轴上方，一种在x 轴下方，分类讨论即可得出结论．解：（1）∵点E （﹣3，0）在直线y ＝kx+6的图象上，∴有0=-3k+6，解得：k ＝2．故k 的值为2．（2）过点P 作PB ⊥x 轴，垂足为点B ，如图1．∵点P （x ，y ）是第二象限内的直线上的一个动点，∴P 点横坐标介于E 、F 的横坐标之间，∴﹣3＜x ＜0．∵点P 在直线y ＝2x+6上，∴y ＝2x+6．∵PB ⊥x 轴，且P 点在第二象限，且点A 的坐标为(-2.5,0)，∴PB ＝y ＝2x+6，OA ＝2.5．∴△OPA 的面积S ＝21·OA •PB ＝2.5x+7.5．故△OPA 的面积S 与x 的函数关系式为S ＝2.5x+7.5（-3＜x ＜0）．（3）∵令（2）中的关系式中x ＝0，解得S ＝7.5＞5，∴若点P 在x 轴上方时，必在第二象限，点P 在x 轴下方时，必在第三象限．①当点P 在x 轴上方时，有△OPA 的面积S ＝2.5x+7.5，令S ＝5，即2.5x+7.5，解得：x=-1．此时点P 的坐标为(-1,4)；②当点P 在x 轴下方时，如图2，此时PB=-y=-2x-6，△OPA 的面积S ＝21·OA •PB ＝0.5·×2.5×（﹣2x ﹣6）＝﹣2.5x ﹣7.5＝5，解得：x=-5．此时点P 的坐标为（-5，-4）．综上可知：点P 运动到(-1,4)或(-5,-4)时，△OPA 的面积为5．例题8：如图，已知l 1：y ＝2x+m 经过点（﹣3，﹣2），它与x 轴，y 轴分别交于点B 、A ，直线l 2：y ＝kx+b 经过点（2，﹣2）且与y 轴交于点C （0，﹣3），与x 轴交于点D ．（1）求直线l 1，l 2的解析式；（2）若直线l 1与l 2交于点P ，求S △ACP ：S △ACD 的值分析:（1）利用待定系数法求得两直线的解析式即可；（2）观察两个三角形，它们具有相同的底边，因此它们面积的比就是它们高的比，即点P 和点D 横坐标绝对值的比．解：（1）∵l 1：y ＝2x+m 经过点（﹣3，﹣2），∴﹣2＝2×（﹣3）+m ，解得：m ＝4，∴l 1：y ＝2x+4；∵l 2：y ＝kx+b 经过点（2，﹣2）且与y 轴交于点C （0，﹣3），∴，解得：k ＝，b ＝﹣3，∴l 2：y ＝x ﹣3；（2）令，解得：，∴点P （﹣，），∵△ACP 和△ABD 同底，∴面积的比等于高的比，∴S ：S ＝PM ：DO ＝：6＝7：9．例题9：如图，已知直线y＝x+4与x轴、y轴交于A，B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，并把△AOB的面积分为2：3两部分，求直线l的解析式．分析:根据直线y＝x+4的解析式可求出A、B两点的坐标，当直线l把△ABO的面积分为S△AOC：S△BOC＝2：3时，作CF⊥OA于F，CE⊥OB于E，可分别求出△AOB与△AOC的面积，再根据其面积公式可求出两直线交点的坐标，从而求出其解析式；当直线l把△ABO的面积分为S△AOC：S△BOC＝2：3时，同（1）．解：直线l的解析式为：y＝kx，对于直线y＝x+4的解析式，当x＝0时，y＝4，y＝0时，x＝﹣4，∴A（﹣4，0）、B（0，4），∴OA＝4，OB＝4，∴S△AOB＝×4×4＝8，当直线l把△AOB的面积分为S△AOC：S△BOC＝2：3时，S△AOC＝，作CF⊥OA于F，CE⊥OB于E，∴×AO•CF＝，即×4×CF＝，∴CF＝．当y＝时，x＝﹣，则＝﹣k，解得，k＝﹣，∴直线l的解析式为y＝﹣x；当直线l把△ABO的面积分为S△AOC：S △BOC＝3：2时，同理求得CF＝，解得直线l的解析式为y＝﹣x．故答案为y＝﹣x或y＝﹣x．例题10：如图，直线l1的解析表达式为：y＝﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析表达式；（3）求△ADC的面积；（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标分析:（1）已知l1的解析式，令y＝0求出x的值即可；（2）设l2的解析式为y＝kx+b，由图联立方程组求出k，b的值；（3）联立方程组，求出交点C的坐标，继而可求出S△ADC；（4）△ADP与△ADC底边都是AD，面积相等所以高相等，△ADC高就是点C到AD的距离．解：（1）由y＝﹣3x+3，令y＝0，得﹣3x+3＝0，∴x＝1，∴D（1，0）；（2）设直线l2的解析表达式为y＝kx+b，由图象知：x＝4，y＝0；x＝3，，代入表达式y＝kx+b，∴，∴，∴直线l2的解析表达式为；（3）由，解得，∴C（2，﹣3），∵AD＝3，∴S△ADC＝×3×|﹣3|＝；（4）△ADP与△ADC底边都是AD，面积相等所以高相等，△ADC高就是点C到直线AD的距离，即C纵坐标的绝对值＝|﹣3|＝3，则P到AD距离＝3，∴P纵坐标的绝对值＝3，点P不是点C，∴点P纵坐标是3，∵y＝1.5x ﹣6，y＝3，∴1.5x﹣6＝3x＝6，所以P（6，3）．跟踪练习1.如图，一次函数的图像与x轴交于点B（-6,0），交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ABO的面积为15，求直线OA的解析式2.点B在直线y=-x+1上，且点B在第四象限，点A（2，0）、O（0，0），△ABO的面积为2，求点B的坐标3.如图，已知两直线y=0.5x+2.5和y=-x+1分别与x轴交于A、B两点，这两直线的交点为P.(1)求点P的坐标；(2)求△PAB的面积4.已知直线y=ax+b（b>0）与y轴交于点N，与x轴交于点A且与直线y=kx交于点M（2，3），如图它们与y轴围成的△MON的面积为5．（1）求这两条直线的函数关系式（2）求它们与x轴围成的三角形面积5.已知两条直线y=2x-3和y=6-x.(1)求出它们的交点A的坐标；(2)求出这两条直线与x轴围成的三角形的面积6.已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1与y轴分别交于点A、B．（1）求两直线交点C的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）在直线BC上能否找到点P，使得△APC的面积为6，求出点P的坐标，若不能请说明理由.7.如图，已知直线y＝x+6的图象与x轴、y轴交于A、B两点．（1）求点A、点B的坐标和△AOB的面积．（2）求线段AB的长．（3）若直线l经过原点，与线段AB交于点P（P为一动点），把△AOB的面积分成2：1两部分，求直线L的解析式．8.已知如图，直线l1：y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，另一直线l2：y＝kx+b（k≠0）经过点C（4，0），且把△AOB分成两部分．（1）若l1∥l2，求过点C的直线的解析式．（2）若△AOB被直线l2分成的两部分面积相等，求过点C的直线的解析式．9.已知：如图，直线y＝kx+6与x轴y轴分别交于点E，F．点E的坐标为（8，0），点A的坐标为（6，0）．（1）求k的值；（2）若点P（x，y）是第一象限内的直线y＝kx+6上的一个动点，当点P运动过程中，试写出△OPA 的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）探究：当P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由10.如图，直线y＝kx+12与x轴y轴分别相交于点E，F．点E的坐标（16，0），点A的坐标为（12，0）．点P （x，y）是第一象限内的直线上的一个动点（点P不与点E，F重合）．（1）求k的值；（2）在点P运动的过程中，求出△OPA的面积S与x的函数关系式．（3）是否存在点P（x，y），使△OPA的面积为△OEF的面积的？若存在，求此时点P的坐标；若不存在请说明理由．11.已知正比例函数y＝k1x和一次函数y＝k2x+br的图象如图所示，它们的交点A（﹣3，4），且OB＝OA．（1）求正比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积和周长．12.直线PA 是一次函数y=x+n 的图像，直线PB 是一次函数y=-2x+m （m ＞n ＞0）的图像，（1）用m 、n 表示A 、B 、P 的坐标（2）直线PB 交y 轴于点Q ，四边形PQOB 的面积是65，AB=2，求直线PA 、直线PB 的解析式13.△AOB 的顶点O （0，0）、A （2，1）、B （10，1），直线CD⊥x 轴且△AOB 面积二等分，若D （x ，0），求x 的值14.如图，已知由x 轴、一次函数y ＝kx+4（k ＜0）的图象及分别过点C （1，0）、D （4，0）两点作平行于y 轴的两条直线所围成的图形ABDC 的面积为7，试求这个一次函数的解析式．15.已知长方形ABCD 的边长AB ＝9，AD ＝3，现将此长方形置于平面直角坐标系中，使AB 在x 轴的正半轴上，经过点C 的直线y ＝x ﹣2与x 轴交于点E ，与y 轴交于点F ．（1）求点E 、B 的坐标；（2）求四边形AECD 的面积；（3）在y 轴上是否存在一点P ，使△PEF 为等腰三角形？若存在，则求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．16.正方形ABCD 的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB 边落在X 轴的正半轴上，且A 点的坐标是（1，0）．（1）直线y ＝x经过点C ，且与x 轴交与点E ，求四边形AECD 的面积；（2）若直线l 经过点E ，且将正方形ABCD 分成面积相等的两部分，求直线l 的解析式；（3）若直线l 1经过点F （﹣，0），且与直线y ＝3x 平行，将（2）中直线l 沿着y 轴向上平移个单位交轴x 于点M ，交直线l 1于点N ，求△NMF 的面积．17.直线L 1：y=kx+b 过点B （-1,0）与y 轴交于点C,直线L 2：y=mx+n 与L1交于点P （2,5）,且过点A （6,0）,过点C 与L 2平行的直线交x 轴与点D ．（1）求直线CD 的函数解析式（2）求四边形APCD 的面积．18.直线y=-33x+1与x 轴y 轴分别交点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC， BAC=900，点P （a ，1／2）在第二象限，△ABP 的面积与△ABC 面积相等，求a 的值.19.已知直线y=-x+2与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，另一直线y=kx+b （k ≠0）经过点C （1，0），且把△AOB 分为两部分，（1）若△AOB 被分成的两部分面积相等，求k 和b 的值；（2）若△AOB 被分成的两部分面积为1：5，求k 和b 的值20.直线y=-32x+3交x 、y 两坐标轴分别于点A 、B ，交直线y=2x-1于点P ，直线y=2x-1交x ，y 坐标轴分别为C 、D ，求△PAC 和△PBC 的面积各是多少？21.如图，直线l 1的解析式为y ＝3x ﹣3，且l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过点A 、B ，直线l 1，l 2相交于点C ．（1）求点D 的坐标；（2）求△ADC 的面积．22.已知直线l 1：y ＝k 1x+b 1经过点（-1,6）和（1，2），它和x 轴、y 轴分别交于B 和A ；直线l 2：y ＝-0.5x-3，它和x 轴、y 轴的交点分别是D 和C ．（1）求直线l 1的解析式；（2）求四边形ABCD 的面积；（3）设直线l 1与l 2交于点P ，求△PBC 的面积23.如图，直角坐标系xoy 中，一次函数y=-0.5x+5的图像l 1分别与x ，y 轴交于A 、B 两点，正比例函数的图像l 2与l 1交于点C （m ，4）.（1）求m 的值及l 2的解析式；（2）求S △AOC -S △BOC 的值；（3）一次函数y=kx+1的图像为l 3，且l 1，l 2，l 3不能围成三角形，直接写出k 的值一次函数与面积问题答案1.解：过点A 作AC ⊥OB 于点C ，设AC ＝m （m ＞0）由△AOB 的面积为15，OB ＝6得21OB ×m ＝15，即21×6×m ＝15，∴m ＝5，得A （－4，5）．设正比例函数解析式y ＝k 1x （k 1≠0）把x ＝－4，y ＝5代入得k 1＝−45，∴y ＝−45x ．设一次函数解析式y ＝k 2x ＋b （k 2≠0），把x ＝－4，y ＝5和x ＝－6，y ＝0代入得：⎩⎨⎧+-=+-=b k b k 226045，解得k 2=25,b=15．∴y ＝25x+15． 2.点B 在直线y=-x+1上，且点B 在第四象限，点A （2，0）、O （0，0），△ABO 的面积为2，求点B 的坐标解：过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，∵△ABO 的面积为2，∴21OA ×BC=2，OA ×BC=4,∵OA=2,∴BC=2,∵B 点在第四象限，∴B 点的纵坐标是-2，∵B 点在y=-x+1上，∴当y=-2时，-x+1=-2，x=3，∴B 的坐标是（3，-2）3.分析:（1）联立两个解析式，组成方程组，再解方程即可得到P 点坐标；（2）分别利用函数解析式计算出A 、B 两点的坐标，在求△APB 的面积即可．解：（1），解得，故P （﹣1，2）；（2）∵函数y ＝（）x+2.5中，当y ＝0时，x ＝﹣5，∴A （﹣5，0），∵函数y ＝﹣x+1中，当y ＝0时，x ＝1，∴B （1，0），∴S △APB ＝×6×2＝6．4.(1)y=kx 过M(2,3),∴3=2k,k=32,∴y=32x.∵y=ax+b 过M(2,3),则2a+b=3,b=3-2a,∴y=ax+(3-2a),∵S ΔOMN =21×|3-2a|×2=|3-2a|=5,∴2a-3=±5,a=4或a=-1,∴直线y=ax+b 的解析式为y=4x+5或y=-x-5；(2)①当y=4x+5时,令y=0得x=-5/4,∴y=4x+5与x 轴交于A(-5/4,0),S ΔOAM =21×45×3=15/8；②当y=-x-5时,令y=0得x=-5,∴y=-x-5与x 轴交于B(-5,0),S ΔOBM =21×5×3=15/2 5.分析:（1）根据两直线相交的问题，通过解方程组即可得到两直线的交点坐标；（2）先根据x 轴上点的坐标特征求出两直线与x 轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解．解：（1）解方程组得，所以两直线的交点坐标为（3，3）；（2）当y ＝0时，2x ﹣3＝0，解得x ＝，则直线y 1＝2x ﹣3与x 轴的交点坐标为（，0）；当y ＝0时，6﹣x ＝0，解得x ＝6，则直线y 2＝6﹣x 与x 轴的交点坐标为（0，6）；所以这两条直线与x 轴所围成的三角形面积＝×（6﹣）×3＝． 6.分析:（1）解方程组即可得出交点坐标；（2）分别求出A ，B 的坐标即可求出三角形的面积；（3）假设在直线y ＝﹣2x ﹣1上存在点P 使得S △APC ＝6，设点P （x ，y ），分类讨论x 的取值后即可得出答案；解：（1）解方程组解得：x ＝﹣1，y ＝1，所以点C 的坐标为（﹣1，1）；（2）直线y ＝2x+3与y 轴的交点A 的坐标为（0，3），直线y ＝﹣2x ﹣1与y 轴的交点B 的坐标为（0，﹣1），所以AB ＝4，S △ABC ＝×4×|﹣1|＝2；（3）假设在直线y＝﹣2x﹣1上存在点P使得S△APC＝6，设点P（x，y），则①当x＜﹣1时，有S△APB﹣S △ABC＝6，即×4×|x|﹣2＝6,解得x＝4（舍去）或x＝﹣4，把x＝﹣4代入y＝﹣2x﹣1，得y＝7,②当x＞0时，有S△APB+S△ABC＝6，即×4×x+2＝6,解得x＝2，把x＝2代入y＝﹣2x﹣1得y＝﹣5,所以在直线y＝﹣2x﹣1上存在点P（﹣4，7）和P（2，﹣5），使得S△APC＝6．7.分析:（1）把x＝0，和y＝0代入解析式y＝x+6解答即可，再利用三角形的面积公式计算即可；（2）利用两点间的距离公式计算即可；（3）设P点的坐标为（m，m+6），然后分两种情况求得P的坐标，进而利用待定系数法即可求得直线L的解析式．解：（1）∵直线y＝x+6的图象与x轴、y轴交于A、B两点，∴A（0，6）B（﹣6，0），∴OA＝6，OB＝6，∴S△AOB ＝OA•OB＝×6×6＝18；（2）∵A（0，6）B（﹣6，0），∴AB＝＝6；（3）设P点的坐标为（m，m+6），∴S△POB＝OB•（m+6）＝3（m+6），∵把△AOB的面积分成2：1两部分，∴S△POB：S△AOB＝2：3或1：3，∴＝或，解得m＝﹣2或﹣4，∴P（﹣2，4）或（﹣4，2），设直线L的解析式为y＝kx，∴4＝﹣2k或2＝﹣4k，解得k＝﹣2或k＝﹣，∴直线L的解析式为或y＝﹣2x．8.分析:（1）当l1∥l2时，k＝﹣，然后将C（4，0）代入l2的解析式中即可求出b的值．（2）容易求得C（4，0），且C是OA的中点，所以直线l2是△AOB的中线，从而求出C的直线解析式．解：（1）由题意可知：k＝﹣,∴直线的解析式为：y＝﹣x+b,把（4，0）代入上式，∴b＝2,∴直线的解析式为：y＝﹣x+2;（2）令y＝0代入y＝﹣x+4，∴x＝8，∴点A（8，0）,令x＝0代入y＝﹣x+4，y＝4，∴B （0，4）,∴C是OA的中点,若△AOB被直线l2分成的两部分面积相等，则直线l2与△AOB的中线重合，即直线l2过点B把（0，4）和（4，0）代入y＝kx+b，∴,解得：,∴直线l2的解析式为：y＝﹣x+4 9.分析:（1）直接把E的坐标为（8，0）代入y＝kx+6就可以求出k的值；（2）根据三角形的面积公式S△OPA＝，然后把y转换成x，△OPA的面积S与x的函数关系式就可以求出了；（3）直接把S＝9代入（2）中的解析式里．就可以求出x，然后确定P的坐标．解：（1）把点E（8，0）代入y＝kx+6，得8k+6＝0，解得，k＝；（2）∵点P（x，y）在第一象限内的直线y＝x+6上,∴点P的坐标为（x，x+6）且x＞0，x+6＞0,过点P作PD⊥x轴于点D，则△OPA的面积＝OA×PD,即.∴（0＜x＜8）；（3）由S＝9得，，解得x＝4，把x＝4代入y＝x+6，得y＝×4+6＝3,这时，P有坐标为（4，3）；即当P运动到点（4，3）这个位置时，△OPA的面积为9．10.分析:（1）直接把点E的坐标代入直线y＝kx+12求出k的值即可；（2）过点P作PD⊥OA于点D，用x表示出PD的长，根据三角形的面积公式即可得出结论；（3）把△OPA的面积为△OEF的面积的，得出△OPA的面积代入（2）中关系式，求出x的值，把x的值代入直线y＝﹣x+12即可得出结论．解：（1）∵直线y＝kx+12与x轴交于点E，且点E的坐标（16，0）,∴16k+12＝0，解得k＝﹣，∴y＝﹣x+12；（2）过点P作PD⊥OA于点D，∵点P（x，y）是第一象限内的直线上的一个动点,∴PD＝﹣x+12．∵点A的坐标为（12，0）,∴S＝×12×（﹣x+12）＝﹣x+72；（3）∵y＝﹣x+12，∴当y＝0时，x＝16，∴OF＝16，OE＝16，∵△OPA的面积为△OEF的面积的，∴△OPA的面积＝，∴﹣x+72＝36，解得x＝8，将x＝8代入y＝﹣x+12得y＝6，∴P（8，6）．11.分析：（1）先利用两点间的距离公式计算出OA＝5，易得OB＝3，则B（3，0），然后利用待定系数分别求正比例函数和一次函数的解析式；（2）先利用两点间的距离公式计算出AB，然后根据三角形面积公式和周长的定义求解．解：（1）∵点A（﹣3，4），∴OA＝＝5，而OB＝OA，∴OB＝3，∴B（3，0），把A（﹣3，4）代入y＝k1x得﹣3k1＝4，解得k1＝﹣，∴自变量函数解析式为y＝﹣x；把A（﹣3，4）、B（3，0）分别代入y＝k2x+b得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣x+2；（2）AB＝＝2，△AOB的面积＝×3×4＝6，△AOB的周长＝3+5+2＝8+2．12.分析:二元一次方程组与一次函数的综合运用，再加上四边形的面积．首先根据一次函数求出点的坐标，求第（2）问时，设PB与y轴交于一点M，四边形面积等于三角形MOB的面积﹣三角形MQP的面积，从而得出结果．解：（1）设A（a，0），B（b，0），P（x，y）．由题意得：a+n＝0①，﹣2b+m＝0②，由①②得a＝﹣n，b＝．解方程组，得．故A（﹣n，0），B（，0），P（，）；（2）设PB与y轴交于一点M，则M（0，m），Q（0，n）．则S MOB＝m＝，S MQP＝＝．所以＝③，又＝2④,由③④联立，解得．∴点P的坐标为（，），直线PA的解析式为y＝x+1，直线PB的解析式为y＝﹣2x+2．13.分析：先用待定系数法求出直线OB的解析式，再设CD交AB于点E，交OB于点F，故可得出F点的坐标及EF、EB、AB的长，再根据S△BEF＝S△AOB即可得出x的值，进而得出结论．解：设直线OB的解析式为y＝kx（k≠0），∵B（10，1），∴1＝10k，解得k＝，∴直线OB的解析式为y＝x，∵D（x，0），∴F（x，），∴EF＝1﹣，EB＝10﹣x，AB＝10﹣2＝8，∴S△BEF＝××（10﹣x）＝，∴S△AOB＝×8×1＝2×，解得x＝10﹣2．14.分析：根据点A、B在一次函数y＝kx+4的图象上得出A（1，k+4），B（4，4k+4）且k+4＞0，4k+4＞O，根据四边形ABDC的面积为7代入即可求出k的值．解：∵点A、B在一次函数y＝kx+4的图象上，∴A（1，k+4），B（4，4k+4）且k+4＞0，4k+4＞O，∵四边形ABDC 的面积为7，∴[（k+4）+（4k+4）]•3＝7，∴k＝﹣，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+4．15.分析：（1）对于直线y＝x﹣2，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出E与F坐标，根据四边形ABCD为矩形，得到对边相等，求出BC的长，即为C纵坐标，代入直线解析式求出C横坐标，即可确定出B坐标；（2）由B与E的横坐标之差求出EB的长，四边形AECD面积＝矩形ABCD面积﹣三角形ECB面积，求出即可；（3）在y轴上存在一点P，使△PEF为等腰三角形，如图所示，分三种情况考虑：若P1F＝EF；若EF＝P2F；若P3F＝P3E；分别求出P的坐标即可．解：（1）对于直线y＝x﹣2，令x＝0，得到y＝﹣2；令y＝0，得到x＝4，∴E（4，0），F（0，﹣2），∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ＝AD ＝3，DC ＝AB ＝9，把y ＝3代入直线y ＝x ﹣2，得：x ＝10，即B （10，0）；（2）∵E （4，0），B （10，0），∴EB ＝10﹣4＝6，∴S 四边形AECD ＝S 矩形ABCD ﹣S △ECB ＝9×3﹣×6×3＝27﹣9＝18；（3）存在，如图所示，分三种情况考虑：若P 1F ＝EF ＝＝2，∴OP 1＝OF+P 1F ＝2+2，此时P 1（0，﹣2﹣2）；若EF ＝P 2F ＝2，∴OP 2＝P 2F ﹣OF ＝2﹣2，此时P 2（0，2﹣2）；若P 3F ＝P 3E ，此时P 3在线段EF 垂直平分线上，线段EF 垂直平分线为y+1＝﹣2（x ﹣2），即y ＝﹣2x+3，令x ＝0，得到y ＝3，此时P 3（0，3），综上，在y 轴上存在一点P ，使△PEF 为等腰三角形，此时P 的坐标为（0，﹣2﹣2）或（0，2﹣2）或（0，3）．16.分析：（1）求得C 的坐标，以及E 的坐标，则求得AE 的长，根据直角梯形的面积公式即可求得四边形的面积；（2）经过点E 且将正方形ABCD 分成面积相等的两部分的直线与CD 的交点F 到C 的距离一定等于AE ，则F 的坐标可以求得，利用待定系数法即可求得直线EF 的解析式；（3）根据直线l 1经过点F （﹣，0）且与直线y ＝3x 平行，知k ＝3，把F 的坐标代入即可求出b 的值即可得出直线11，同理求出解析式y ＝2x ﹣3，进一步求出M 、N 的坐标，利用三角形的面积公式即可求出△MNF 的面积．．解：（1）在y ＝x 中，令y ＝4，即x ＝4，解得：x ＝5，则B 的坐标是（5，0）；令y ＝0，即x ＝0，解得：x ＝2，则E 的坐标是（2，0）．则OB ＝5，OE ＝2，BE ＝OB ﹣OA ＝5﹣2＝3，∴AE ＝AB ﹣BE ＝4﹣3＝1，边形AECD ＝（AE+CD ）•AD ＝（4+1）×4＝10；（2）经过点E 且将正方形ABCD 分成面积相等的两部分，则直线与CD 的交点F ，必有CF ＝AE ＝1，则F 的坐标是（4，4）．设直线的解析式是y ＝kx+b ，则，解得．则直线l 的解析式是：y ＝2x ﹣4；（3）∵直线l 1经过点F （﹣，0）且与直线y ＝3x 平行，设直线11的解析式是y 1＝kx+b ，则k ＝3，代入得：0＝3×（﹣）+b ，解得b ＝，∴y 1＝3x+，已知将（2）中直线l 沿着y 轴向上平移个单位，则所得的直线的解析式是y ＝2x ﹣4+，即：y ＝2x ﹣3，当y ＝0时，x ＝，∴M （，0），解方程组得：，即：N （﹣7，﹣19），S △NMF ＝×[﹣（﹣）]×|﹣19|＝．答：△NMF 的面积是．17.将B 和P 点带入y=kx+b 中,得：0=-k+b,5=2k+b 即：k=b=35，所以L1为：y=35 x+35，C 的坐标：(0,5/3) 将P 和A 带入y=mx+n 中，得5=2m+n ，0=6m+n ，解得：m=-5/4,n=15/2，即L 2的方程为：y=-45x+215，∵CD ∥AP ， ∴CD 直线的解析式可以设为：y=-45x+b ′，∵x=0时，y=35×0+35=35，∴C 的坐标是（0，35），把C 的坐标带入CD 的解析式中，得b ′=35，∴CD 的直线解析式为y=-45x+35，由y=-45x+35与x 轴交于点D ，得D 坐标为：(4/3,0)，由P 做PM ⊥x 轴于M ，则PM=5，∵A 的坐标是（6,0），B 的坐标是（-1,0），D 的坐标是(4/3,0)，C 的坐标是（0，35），∴AB=7，BD=37，OC=35，∴四边形APCD 的面积=三角形BAP 面积-三角形BDC 面积=21×7×5-21×37×35=9140 18.分析：由已知求出A 、B 的坐标，求出三角形ABC 的面积，再利用S △ABP ＝S △ABC 建立含a 的方程，把S △ABP 表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差，通过解方程求得答案．解：连接OP ，∵直线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，∴A （，0），B （0，1），AB ＝＝2，∴S △ABP ＝S △ABC ＝2，又S △ABP ＝S △OPB +S △OAB ﹣S △AOP ，∴﹣a ×1+×1﹣＝4，解得a ＝．答：a 的值为a ＝．19.分析：（1）△AOB 被分成的两部分面积相等，那么被分成的两部分都应该是三角形AOB 的面积的一半，那么直线y ＝kx+b （k ≠0）必过B 点，因此根据B ，C 两点的函数关系式可得出，直线的函数式．（2）若△AOB 被分成的两部分面积比为1：5，那么被分成的两部分中小三角形的面积就应该是大三角形面积的，已知了直线过C 点，则小三角形的底边是大三角形的OA 边的一半，故小三角形的高应该是OB 的，即直线经过的这点的纵坐标应该是．那么这点应该在y 轴和AB 上，可分这两种情况进行计算，运用待定系数法求函数的解析式．解：（1）由题意知：直线y ＝kx+b （k ≠0）必过C 点，∵C 是OA 的中点，∴直线y ＝kx+b 一定经过点B ，C ，如图（1）所示，把B ，C 的坐标代入可得：，解得k ＝﹣2，b ＝2；（2）∵S △AOB ＝×2×2＝2，∵△AOB 被分成的两部分面积比为1：5，那么直线y ＝kx+b （k ≠0）与y 轴或AB 交点的纵坐标就应该是：2×2×＝，①当y ＝kx+b （k ≠0）与直线y ＝﹣x+2相交时，交点为D ，如图（2）所示，当y ＝时，直线y ＝﹣x+2与y ＝kx+b （k ≠0）的交点D 的横坐标就应该是﹣x+2＝，∴x ＝，即交点D 的坐标为（，），又根据C 点的坐标为（1，0），可得：，∴，②当y ＝kx+b （k ≠0）与y 轴相交时，交点为E ，如图（3）所示，∴交点E 的坐标就应该是（0，），又有C 点的坐标（1，0），可得：，∴，因此：k ＝2，b ＝﹣2或k ＝﹣，b ＝．20.解：过P 分别向x 轴、y 轴分别做PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ，由y=-32x+3和y=2x-1联立可得x=23，y=2，∴p 的坐标是（23，2），∴PM=23，PN=2，易求得A 、B 、C 、D 的坐标分别为（29，0），（0,3），（21，0），（0，-1），∴AC=4，BD=4，OC=21，∴S △PAC =21AC ·PM=3，S △PBC =S △PBD -S △BCD =21BD ·PN-21BD ·OC=4-1=3. 21.分析：（1）利用直线l 1的解析式令y ＝0，求出x 的值即可得到点D 的坐标；（2）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法求出直线l 2的解析式，得到点A 的坐标，再联立直线l 1，l 2的解析式，求出点C 的坐标，然后利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解．解：（1）∵直线l 1的解析式为y ＝3x ﹣3，且l 1与x 轴交于点D ，∴令y ＝0，得x ＝1，∴D （1，0）；（2）设直线l 2的解析式为y ＝kx+b （k ≠0），∵A （4，0），B （3，），∴，解得，∴直线l 2的解析式为y ＝﹣x+6．由，解得，∴C （2，3）．∵AD ＝4﹣1＝3，∴S △ADC ＝×3×3＝．22.分析:（1）因为点（﹣1，6）和（1，2）在直线l 1：y ＝k 1x+b 1，所以把这两点的坐标代入解析式求出k 1、b 1的值就可以了．（2）知道直线l 2的解析式就可以求出C 、D 的坐标，根据l 1的解析式就可以求出A 、B 的坐标就可以求出BD 、OA 、OC 的长利用三角形的面积公式求出四边形ABCD 的面积．（3）利用l 1、l 2的解析式求出交点坐标P ，就可以求出△PDB 的面积，然后求出三角形DCB 的面积，这两个三角形的面积之差就是△PBC 的面积． 解：（1）∵直线l 1：y ＝k 1x+b 1经过点（﹣1，6）和（1，2）,∴，解得，∴直线l 1的解析式为：y ＝﹣2x+4；（2）∵直线l 1的解析式为：y ＝﹣2x+4,当x ＝0时，y ＝4，∴A （0，4）,∴OA ＝4,当y ＝0时，x ＝2，∴B （2，0）,∴OB ＝2,∵直线l 2：y ＝﹣x ﹣3,当x ＝0时，y ＝﹣3，即C （0，﹣3）.∴OC ＝3,当y ＝0时，x ＝﹣6，即D （﹣6，0）,∴OD ＝6,∴BD ＝8,∴S 四边形ABCD ＝+＝12+16＝28；（3）过点P 作PE ⊥BD 于E ，由l 1、l 2的解析式得：解得：，∴P （，﹣）,∴OE ＝，PE ＝,∴S △PBC ＝﹣＝﹣12＝．23.分析：（1）先求得点C 的坐标，再运用待定系数法即可得到l 2的解析式；（2）过C 作CD ⊥AO 于D ，CE ⊥BO 于E ，则CD ＝4，CE ＝2，再根据A （10，0），B （0，5），可得AO ＝10，BO ＝5，进而得出S △AOC ﹣S △BOC 的值；（3）分三种情况：当l 3经过点C （2，4）时，k ＝1.5；当l 2，l 3平行时，k ＝2；当11，l 3平行时，k ＝﹣0.5；故k 的值为1.5或2或﹣0.5．解：（1）把C （m ，4）代入一次函数y ＝﹣0.5x+5，可得4＝﹣0.5m+5，解得m ＝2，∴C （2，4），设l 2的解析式为y ＝ax ，则4＝2a ，解得a ＝2，∴l 2的解析式为y ＝2x ；（2）如图，过C 作CD ⊥AO 于D ，CE ⊥BO 于E ，则CD ＝4，CE ＝2，y ＝﹣0.5x+5，令x ＝0，则y ＝5；令y ＝0，则x ＝10，∴A （10，0），B （0，5），∴AO ＝10，BO ＝5，∴S △AOC ﹣S △BOC ＝0.5×10×4﹣0.5×5×2＝20﹣5＝15；（3）一次函数y ＝kx+1的图象为l 3，且11，l 2，l 3不能围成三角形，∴当l 3经过点C （2，4）时，k ＝1.5；当l 2，l 3平行时，k ＝2；当11，l 3平行时，k ＝﹣0.5；故k 的值为1.5或2或﹣0.5．。
数学人教版八年级下册专题复习：一次函数与面积问题(学生用)
专题复习：一次函数与面积问题一、忆1.直线y=2x+1与y=2x-3的位置关系是： .2.直线y=2x+5与y=0.5x+5的交点坐标是： .3.直线直线y=x-1与直线y= -0.5 x+2交点坐标是： .4.直线y=x-1与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为，此直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 .5.一次函数图象经过点（0，2）和（4，0），这个一次函数的解析式为： .二、思例1(根据一次函数求面积)：直线y=x-1交x轴、y轴于点A、B，直线y=-0.5x+2交x轴、y轴于点C、点D，两直线交于点P.(1)你能求出哪些点的坐标?哪些线段的长?哪些图形的面积?(2) 求点O到直线AB的距离OM的长吗？(提示:点的横,纵坐标对求图形面积时用到的底边,高的作用. )例2(根据面积求一次函数表达式)：一次函数y=kx+b 交y=2x 于点A(1,m),交x 轴于点B ，且S △AOB =4.(1)求一次函数y=kx+b 的解析式.(2) 你能求过点(－4，0)且平行于0A 的直线解析式吗？(提示:面积中出现的底,高对点的横,纵坐标的确定作用,分类讨论,数形结合)三、练1.点P 是一次函数y=-2x+8的图象上一点，如果图象与x 轴交于Q 点，且△OPQ 的面积等于6，则P 点的坐标为 . y=-2x+82.如图：正方形ABCD 边长为4，将此正方形置于坐标系中点A 的坐标为（1，0).(1)过点C 的直线 3834-=x y 与x 轴交与E, 求S 四边形AECD ； (2)直线l 经过点E 且将正方形ABCD 分成面积相等的两部分，求直线l 的解析式.四、获---说说自己的收获五、延---复习题单针对训练。
一次函数的面积问题
y
A B
oD
C
x
成两部分。
y
(1)求△ABO的面积。 y1 B P
(2)若△ABO被直线CP分成
A
的两部分面积相等，求点
C
x
P的坐标及直线CP的函数表达式。
y6 与x轴所围成的图
形的面积。 2
2、如图，由x轴，直线y=kx+4及分别过（1，0）,（3， 0)且平行于y轴的两条直线所围成的梯形ABCD的面积 为 1 6 ，求y=kx+4的解析式。
复习回顾
求直线 y 1 x 4 与坐标轴所围成的图形的面积. 2
例1
例：求直线 y 1 x 4 和y 2x 2 与y轴所
2
围成的图形的面积
2、如图所示：直线y=kx+b经过点B（0，23 ）与点C(-1,3)且 与x轴交与点A,经过点E(-2,0)的直线DE与OC平行，并且
此过长点方C的形直置线于坐y 标1系x中 ，2 使与AxB轴在交x与轴点的E正，半与轴Y上轴，交经与
点F。
2
（1）求点E,B,D,A的坐标；（2）求四边形AECD
的面积。 y
D
C
o
A
E
B
x
F
5.如图,在平面直角坐标系中,已知直线
y1
2 3
x
2
与x轴、y轴分别交于点A和点B,直线y2=kx+b(k≠0) 经过点C(1,0)且与线段AB交于点P，并把△ABO分
与直线y=kx+b交与点D,
(1)求BC所在直线的函数解析式；（2）求点D的坐标；
（3）求四边形CDEO的面积。
y
D
C B
一次函数与面积问题
小专题(十二) 一次函数与面积问题 类型1 由一次函数的图象求图形的面积 【例1】 如图，直线l 1的解析式为y ＝x ＋2，直线l 1和直线l 2相交于点A ，直线l 1与x 轴相交于点B，与y 轴相交于点D.直线l 2与x 轴相交于点C(4，0)，与y 轴相交于点E(0，4)．(1)求直线l 2的解析式． (2)求△ABC 的面积．【例2】 已知直线l 1：y 1＝x ＋2与直线l 2：y 2＝kx －1交于A 点，A 点纵坐标为1，且直线l 1与x 轴交于B 点，与y 轴交于D 点，直线l 2与y 轴交于C 点．(1)求直线l 2的解析式． (2)连接BC ，求S △ABC .1．如图，直线y ＝kx ＋b 交x 轴于点A(5，0)，交y 轴于点B ，直线y ＝2x －4交x 轴于点D ，与直线AB 相交于点C(3，2)．(1)点D 的坐标为 ． (2)求直线AB 的解析式． (3)四边形BODC 的面积为 ．当所求三角形的一边在坐标轴上时，直接利用三角形的面积公式计算三角形的面积．如图1，S △ABC ＝12|x C －x B |·|y A |.图1 图2 如图2，S △ABC ＝12|y C －y B |·|x A |.类型2由图形的面积为定值求点的坐标【例3】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝2x＋m与y＝－12x＋n的图象都经过点A(－2，0)，且分别与y轴交于点B和点C.(1)点B的坐标为，点C的坐标为．(2)设点D在直线y＝－12x＋n上，且在y轴右侧，当△ABD的面积为15时，求点D的坐标．【补充设问】在(2)的条件下，将“点D在y轴右侧”这个条件去掉，则点D的坐标为．2．如图，已知直线PA：y＝x＋1交y轴于点Q，直线PB：y＝－2x＋m.若四边形PQOB的面积为56，则m的值为．类型3 由图形间面积的数量关系求点的坐标【例4】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l的解析式为y＝2x－6，点A，B的坐标分别为(1，0)，(0，2)，直线AB与直线l相交于点P.(1)求直线AB的解析式．(2)求点P的坐标．(3)若直线l上存在一点C，使得△APC的面积是△APO的面积的2倍，求出点C的坐标．、【例5】如图，A(－2，0)，B(0，4)，C(5，3)，在y轴负半轴上是否存在点P，使S△PAB＝S△ABC？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．由图形的面积为定值求点的坐标的一般解题步骤是：(1)设出要求的点的坐标，一般用一个未知数表示；(2)用含有未知数的式子表示出已知图形的面积；(3)由已知图形的面积为定值列出关于未知数的方程；(4)解方程求出未知数的值，即可得到点的坐标．温馨提示：在解决一次函数与面积问题时，注意分类讨论思想的运用．3．如图，直线y＝－2x－4与坐标轴交于A，B两点，点P为直线y＝2x上一点，PA交y轴于点M，且S△ABM＝2S△BPM，则点P的坐标为．【例1】解：(1)设直线l2的解析式为y＝kx＋b(k≠0)．把点C(4，0)，点E(0，4)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4k＋b＝0，b＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k＝－1，b＝4.∴直线l2的解析式为y＝－x＋4.(2)对于y＝x＋2，令y＝0，则x＝－2，∴B(－2，0)．∵C(4，0)，∴BC＝6.联立⎩⎪⎨⎪⎧y＝－x＋4，y＝x＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝1，y＝3.∴A(1，3)．∴S△ABC＝12×3×6＝9.【例2】解：(1)点A在y1＝x＋2上，A点纵坐标为1，∴x＋2＝1，解得x＝－1.∴点A的坐标为(－1，1)．∵点A在y2＝kx－1上，∴－k－1＝1，解得k＝－2.∴直线l2的解析式为y2＝－2x－1.(2)∵直线l1与x轴交于点B，∴x＋2＝0，解得x＝－2，即OB＝2.∵直线l2与y轴交于点C，∴点C的坐标为(0，－1)，即OC＝1.∵直线l1与y轴交于点D，∴点D的坐标为(0，2)，即OD＝2.∴DC＝2＋1＝3.∴S△ABC＝S△BCD－S△ACD＝12×3×2－12×3×1＝32.1．(1)点D的坐标为(2，0)．(2)把点A(5，0)，C(3，2)代入y＝kx＋b中，得⎩⎪⎨⎪⎧5k＋b＝0，3k＋b＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k＝－1，b＝5.∴直线AB的解析式为y＝－x＋5.(3)9.5．【例3】(1)点B的坐标为(0，4)，点C的坐标为(0，－1)．(2)解：过点D作DE⊥BC于点E.易得直线AC的解析式为y＝－12x－1.∵点D在直线y＝－12x－1上，∴设点D的坐标为(a，－12a－1)．当△ABD的面积为15时，即S△ABC＋S△BCD＝15，∴12AO·BC＋12DE·BC＝15.∴12×2×5＋12|x D|×5＝15.∴|x D|＝4.∴a＝4.∴－12a－1＝－3.∴D(4，－3)．【补充设问】(－8，3)或(4，－3)．2．2．【例4】解：(1)设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b. 由点A ，B 的坐标分别为(1，0)，(0，2)，可知⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝2. ∴直线AB 的解析式为y ＝－2x ＋2.(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2，y ＝2x －6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.∴点P 的坐标为(2，－2)．(3)直线l 的解析式为y ＝2x －6，令y ＝0，则x ＝3， ∴直线l 与x 轴交于点(3，0)． 设点C 的坐标为(x ，2x －6)，∵△APC 的面积是△APO 的面积的2倍， ∴12×(3－1)×|2x －6－(－2)|＝2×12×1×2， 解得x ＝1或3. ∴C(3，0)或(1，－4)． 【例5】解：在y 轴负半轴上存在点P ，使S △PAB ＝S △ABC .理由： 过点C 作CD ∥AB ，CD 与y 轴的负半轴交于点P ，则△PAB 与△ABC 同底等高，∴S △PAB ＝S △ABC .设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝0，b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝4. ∴直线AB 的解析式为y ＝2x ＋4.∵CD ∥AB ，∴设直线CD 的解析式为y ＝2x ＋m. 又∵C(5，3)，∴3＝2×5＋m.∴m ＝－7. ∴直线CD 的解析式为y ＝2x －7. 当x ＝0时，y ＝－7. ∴P(0，－7)．3．(1，2)．。
专题一次函数及面积问题配
；专题：一次函数的图像图形面积问题授课目的：1、复习函数与点的坐标、线段、面积之间的联系。
1、使学生能利用所学知识解决一次函数与面积的有关种类题。
授课重点：利用所学知识解决复杂的函数与面积问题授课难点：利用所学知识解决复杂的函数与面积问题一、一条直线与坐标轴所围成的面积：1：已知直线y=2x-4 的图像与x 轴、 y 轴交于 A、 B 两点，求△ A0B 的面积 ?2 已知一次函数的图像与 Y 轴交于 B（ 0， 4），与 X 轴正半轴交于 A 点，且与两坐标轴围成的△AOB 的面积为 4，求此一次函数的剖析式？二、变式练习1：3、已知直线y=2x+m 过点 D（ 1， -2），图像与 x 轴、 y 轴交于 A、 B 两点，求△ A0B 的面积 ?4、已知直线 y=kx+b 过点 D（1，-2）、E（ 3，2），图像与 x 轴、 y 轴交于 A、B 两点，求△ A0B 的面积 ?5、已知直线 y=2x-4 的图像与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，求△ A0B 的面积 ? 直线 L 经过原点，与线段 AB 交于点 C，把△ AOB 的面积分成 1： 1 两部分，求直线 L 的剖析式；三、两条直线与坐标轴围成的面积：6、已知直线 y=2x-4 的图像与 x 轴、 y 轴交于 A、 B 两点 y=-X+2 与 X 轴 Y 轴交于 C、 B 两点，①求△ ABC的面积 ? ②求 AC边上的高 .四、变式练习27、已知如图直线y=2x-4 的图像与 x 轴、 y 轴交于 A、B 两点， y= -1X+2 与 X轴 Y轴交于 C、2D 两点，且两条直线交于p 点，①求△ PBC的面积 ?②求四边形 PCOA的面积？③求△ PBD 的面积？’.1 / 2；四、拓展延伸8、已知直线L1 : Y 3X 3与直线L2:Y 4 X16交于 X 轴上的同一个点A,直线L1与433Y 轴交于点 B，直线L2与 Y 轴交于点 C，若点 P 是线段 AB 上的点且△ APC的面积为 15，求点 P 的坐标五、附加题9、已知：如图，直线 PA 是一次函数 y＝ x＋ n(n＞ 0)的图象，直线 PB 是一次函数 y＝－ 2x＋m(m＞ 0)的图象。
一次函数面积问题专题(含答案)
一次函數面積問題1、如图，一次函数的图像与x轴交于点B（-6，0），交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ABC的面积为15，求直线OA的解析式。
2、直线y=x+3的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线a经过原点与线段AB交于C，把△ABO的面积分为2：1的两部分，求直线a的函数解析式。
3、直线PA是一次函数y=x+n的图像，直线PB是一次函数y=-2x+m（m>n>0）的图像，（1）用m、n表示A、B、P的坐标（2）四边形PQOB的面积是，AB=2，求点P的坐标4、△AOB的顶点O（0，0）、A（2，1）、B（10，1），直线CD⊥x轴且△AOB面积二等分，若D（m，0），求m的值5、点B在直线y=-x+1上，且点B在第四象限，点A（2，0）、O（0，0），△ABO 的面积为2，求点B的坐标。
6、直线y=-x+1与x轴y轴分别交点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC， BAC=90°，点P（a，）在第二象限，△ABP的面积与△A BC 面积相等，求a的值.7、如图，已知两直线y=0.5x+2.5和y=-x+1分别与x轴交于A、B两点，这两直线的交点为P（1）求点P的坐标（2）求△PAB的面积8、已知直线y=ax+b（b>0）与y轴交于点N，与x轴交于点A且与直线y=kx交于点M（2，3），如图它们与y轴围成的△MON的面积为5，求（1）这两条直线的函数关系式（2）它们与x轴围成的三角形面积9、已知两条直线y=2x-3和y=5-x（1）求出它们的交点A的坐标（2）求出这两条直线与x轴围成的三角形的面积10、已知直线y=x+3的图像与x轴、y轴交于A、B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部分，求直线l的解析式。
11、已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1与y轴分别交于点A、B（1）求两直线交点C的坐标（2）求△ABC的面积（3）在直线BC上能否找到点P，使得△APC的面积為6，求出点P的坐标，若不能请说明理由。
专题：一次函数与三角形的面积
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专题：一次函数与三角形的面积（一）一、 两条边在坐标轴上1、已知直线y=2x-6与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，求△AOB 的面积.二、一条边做坐标轴上2、求直线y=2x —6和直线y =-2x +2与x 轴围成的三角形的面积.变式1：求直线y=2x —6和直线y =—2x +2与y 轴围成的三角形的面积.三、没有边坐标轴上3、如图,直线经过点A （-2，m ），B (1，3)．（1)求k ，m 的值:（2)求△AOB 的面积．4、如图，直线经过点A （1，m ）,B （4,n ），点C（2，5）,求△ABC 的面积．53y kx =+112y x =+四、求多边形的面积5、如图,直线y =kx —2与x 轴交于点B ，直线y =x +1与y 轴交于点C ，这两条直线交于点A （2，a ）,求四边形ABOC 的面积．综合运用1、若y=（m —2）+m —1是一次函数.求（1)m 的值(2)函数解析式（3）直线与两坐标围成的三角形面积2．如图，直线l 1：y =—2x +4与x 轴、y 轴分别交于A ，B两点，直线l 2:与x 轴、y 轴分别交于C ，D 两点．（1)求四边形ABCD 的面积；（2）设直线l 1，l 2交于点P ，求△PAD 的面积．专题：一次函数与三角形的面积(二）一、求解析式1、一次函数y =k x +b 的图象过点A （3,0)且与两坐标轴围成的三角形的面积是9,求该一次函数的解析式.变式1：一次函数y =k x +b 的图象过点A （0，3)且与两坐标轴围成的三角形的面积是9，求该一次函数的解析式。
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专题：一次函数的图像与坐标轴围成的图形面积问题
课前准备：
1 、填空：一次函数
y=0.5x+2 的图像与 x
轴的交点
；与 y
轴的交
点 ；一次函数 y=-x-1 的图像与 x 轴的交点为 ；与 y 轴的交
点
；
2、直线 y=0.5x+2 与直线 y=-x-1 的交点 ；
3、过点（ 2，0）（ 0， 4）的直线解析式
；
． 、一次函数 y
=-2 x
+4 与 x
轴的交点坐标为 ，与 y 轴交点坐标是
4
5、若一次函数 y 2x 3b 的图像与 y 轴交点的纵坐标是 -6 ，则 b=。
6、已知一次函数 y
x 8 ，则它的图像与 y 轴交点的坐标为。
一次
函数 y x 2 ，则它的图像与 y 轴交点的坐标为
7、若直线 y=3x+6 与坐标轴围成的三角形的面积为 S ，则 S 等于（ ）．
A ．6
B ．12
C ． 3
D ．24
8、若一次函数 y=2x+b 的图像与坐标轴围成的三角形的面积是 9，则 b=_______．
学习目标一：根据解析式求直线与坐标轴围成的三角形面积 例 1：已知直线 y=3x-6，
1） 画出函数图像，并求出一次函数图像与两坐标轴围成的三角形面积 2） 求直线 y=-x-1 与 y 轴围成的三角形面积； 3） 求直线 y=-x-1 与 x 轴围成的三角形面积；
巩固练习
2、作业：直线 y=4x － 2 与直线 y=－ x+13 及 x 轴所围成的三角形的面积？
3、作业：求直线 y=2x － 7，直线 y
1 x 1 与 y 轴所围成三角形的面积．
2 2
学习目标二：根据图像与坐标轴围成的三角形面积求函数的解析式
例 2 已知一次函数的图像过点 B（ 0， 4）且与两坐标轴围成的三角形面积为 4，求此一次函数的解析式？
变形 1 ：已知直线y=kx-4 与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，求直线解析式；
变形 2 ：已知一次函数的图像经过点A（ 2， 0），且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求此一次函数的解析式？
例 3：一次函数图像交于 x 轴于点 A（6，0），与正比例函数图像交于点 B，且点 B 在第一象限，其横坐标是 4，若△ ABO 的面积等于 15，求这个正比例函数和一次函数的解析式？
巩固练习：已知已知直线 L1经过点 A（-1，0）与点 B（ 2，3），另一条直线 L2 经过点 B，且与 x 轴相交于点 p（ m，0）若△ APB的面积等于 3，求 m 值和 L1、 L2 的解析式？
Y
B
拓展延伸
直线 y=x+3 的图像与 x 轴、 y 轴交于 A、 B 两点，直线 L 经过原点，与线段 AB 交于点 C，把
△AOB 的面积分成 1： 1 两部分，求直线 L 的解析式；
Y
C
X
变形：
直线 y=x+3 的图像与 x 轴、 y 轴交于 A、 B 两点，直线 L 经过原点，与线段 AB 交于点 C，把
△AOB 的面积分成 2： 1 两部分，求直线 L 的解析式；
C
X
20、已知直线 m与直线 y=2x+1 的交点的横坐标为2，与直线 y=-x+2? 的交点的纵
坐标为 1，求直线 m的函数关系式．
21、已知一次函数的图象经过点A（-3 ， 2）、B（1，6）．
①求此函数的解析式，并画出图象．
②求函数图象与坐标轴所围成的三角形面积．
提高
已知一次函数y=kx+b 的图像经过M （-1， 1）和 B（ 0， 2）设该图像与x 轴交于点A，问在x 轴上是否存在点P，使△ ABP 为等腰三角形，若存在，求出符合条件得点P,若不存在说明理由。
1、在平面直角坐标系中，有A（0，5），B（ 5，0），C（0，3），D（ 3，0）且 AD 与 BC相交于点 E
求△ ABE的面积
3
x 1与x轴、y轴分别交于A、B，以线段AB为直角边在第一象2、直线y
3
限内作等腰 Rt ABC，∠ BAC=90°，如果在第二象限内有一点P（a，1
），且
ABP的面积与ABC的面积相等，求a的值。
2
1
3、如图，直线 L： y x 2 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，在 y 轴上有一
2
点C（0，4） , 动点 M从 A 点以每秒 1 个单位的速度
沿 x 轴向左移动。
（ 1）求 A、B 两点的坐标；
（ 2）求△ COM的面积 S 与 M的移动时间 t 之间的函数
关系式；
（ 3）当 t 何值时△ COM≌△ AOB，并求此时 M点的坐
标。
（ 4）当 t 何值时 CM将△ AOB面积平分。
4、如图，已知直线y x 3 的图象与x轴和y轴交于A、B y
y x 3
两点。
直线 l 经过原点，与线段AB 交于点 C，把△ AOB的 B
面积分为 2：1 的两部分。
求直线l的解析式。
A O x
5、若直角坐标系内矩形 OABC位于第一象限， A（ 6，0），C（0，4），直线 l 过点D（0，6）
（1）若直线 l 将矩形 OABC面积平分，求 l 解析式。
（2）若直线 l 将矩形 OABC 面积分成 2：1 的两部分，求 l 解析式。
6、已知：如图，直线 PA 是一次函数 y＝ x＋ n(n＞ 0)的图象，
直线 PB 是一次函数 y＝－ 2x＋m(m＞ 0)的图象。
(1)用 m、 n 表示出 A 、B、P 点坐标
(2)若点 Q 是 PA 与 y 轴交点，且四边形 PQOB 的面积是5
， 6
AB ＝2，试求 P 点的坐标，并写出直线PA 与 PB 的解析式。