异面直线及其夹角

特点）
a
b
b
b
a
a
这三种表示方法有一个共同的特点，就是用平面来衬托，离开平面的衬托，不同在任 何一个平面的特征难以体现。（今后我们也可以不用平面来衬托） 同学们想一想如果这样表示两条异面直线行吗？为什么？
_b
_a
4．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直 线是异面直线。（这一过程主要老师进行分析，让学生完成证明过程，并及时进行改 正，完善证明过程） 证明 ：（反证法）假设 直线 AB 与 l 共面，
板书设计
§9.2.2 异面直线及其夹角
异面直线的定义及画法： 例 1：……
例 2……
①②
③
①
①
异面直线所成的角的定义:
②
②
求异面直线夹角的一般步骤: ③
①②
③
课堂练习 1 2 3 4
课后反思：
全国第四届高中青年数学教师优秀课评比材料
异面直线及其夹角教案
（人教版高中二年级下册必修）
青海省门源县第一中学 马吉平
教学重点、难点: 重点：异面直线所成角的概念, 能求出一些较简单的异面直线所成的角。 难点：异面直线所成角的定义, 如何作出异面直线所成的角。
教学准备：多媒体课件 教学课时：二课时 教学过程：
第一课时 一、导入新课
1．引导学生观察立交桥上的车辆为什么能畅通无阻？
两条道路所在的直线不在同一平面内。它们既不平行也不相交，这样的两条直线
交）。我们给它一个新的名称“异面直线”。
1
新疆 王新敞
奎屯
异面直线的定义：不同在任．何．一个平面内的两条直线叫异面直线。
2．两条异面直线的性质：既不平行，也不相交。（如前面我们所说的两个例子，同学
们还能找出具有这种性质的两条直线吗？）找两位学生说说他们所找的情况。
3.空间两条异面直线的画法。
如何用图形来表示两条异面直线，通常怎么样画？（老师板演，同时让学生总结其
解：（1）取 BD 中点 M，连结 MC，ME，则 ME//AB， CEM 等于异面直线 AB 和 CE 的夹 角，取 ME 中点 O，连结 CO，CM=CE，OC ME
设 AB=2，CM=CE= 3 ，OE= 1 ME= 1 AB= 1 ， 242
cos CEM= OE = 3 CE 6
直线 AB 和 CE 所成的角=arccos 3 6
有什么特点呢？
2．请学生做一个小实验，拿两支笔在空间中你能摆出几种位置关系？
有 3 种：平行、相交、不平行也不相交的两条直线（对于这样的两条直线以前我
们没有学习过，那么它们之间有什么特点和关系呢？）。（板书课题）
二、新课讲解
前面我们学习过平行线，相交线，它们是同一平面内两条直线的位置关系，通过
前面的实验和动画的观察，在空间还存在另一种两条直线的位置关系（不平行也不相
BA与 CC 的夹角，所以异面直线 BA与 CC 的夹角为 45
（2）连结 CD/，B/D/，则 BA // CD/， B/CD/等于异面直线 BA 与 CB/的夹角，由 CB/D/ 为等边三角形， B/CD/=60O
BA 与 CB/的夹角为 60O （3）连结 A/D，DE，则 A/D// CB/， DA/E 等于异面直线 A/E 与 CB/的夹角。
异面直线及其夹角
教学目标：： 知识目标：1、掌握异面直线的概念，会画空间两条异面直线的图形， 会判断两直线是否为异面直线。
2、掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能 求出一些较简单的异面直线所成的角
新疆 王新敞
奎屯
能力目标：在问题解决过程中，培养学生的实验观察能力、空间想能 力象、逻辑思维能力、分析问题、解决问题的能力。
a
b
Ob′
6．同学们想一想两条直线在什么条件下是垂直，进一步提出问题，两条异面直线能 不能垂直呢？如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面
直线 a, b 垂直，记作 a b ．
7．异面直线所成的角的范围：
(0,
]
新疆 王新敞
奎屯
2
由动画演示得出异面直线所成的角的范围：(0, ] ，及异面直线垂直的概念。（这一环 2
(3)向量法：用向量的夹角公式求解。（这一部分主要通过前面我们所学的向量知识 求解，教师分析出用向量求角的过程）。
(4)求异面直线的夹角的一般步骤是：“作—证—算—答” 新疆 王新敞 奎屯
注：无论用哪种方法都应注意到异面直线所成角的范围。以及利用三角形中位线平 移法、三角形相似、构造平行四边形等知识进行直线的平移。 例 2、如图空间四边形 ABCD 中，四条棱 AB，BC，CD，DA 及对角线 AC，BD 均相等，E 为 AD 的中点，F 为 BC 中， （1） 求直线 AB 和 CE 所成的角。（初步应用） （2） 求直线 AF 和 CE 所成的角。（深化提高）
(2) 连结 FD, 取 FD 中 N, 连结 EN,CN.则 NE//AF， CEN 等于异面直线 AF 和 CE 的夹 角。
设 AB=2，在 Rt NFC 中，CN= 12 ( 3 )2 = 7
2
2
NE= 1 AF= 3 ，CE= 3 ，在 NFC 中， 22
cos CEN= CE 2 EN 2 CN 2 = 2 ,
线的位置关系有三种，“平行、相交、异面”。认真分析研究了异面直线夹角的概念， 夹角的范围， 扩充空间两条直线垂直的定义。能用平移的方法求异面直线的夹角和 用向量法求夹角的主要过程和它们各自所具有的特点和要求，求异面直线的夹角的一 般步骤是：“作—证—算—答”
新疆 王新敞
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六、课后作业：
课后作业：
必做题：P 课本 15：3，4，5，7 选做题：如图，A1B1C1-ABC 是直三棱柱， D1，F1 分别是 A1B1， A1C1 的中点，若 AB=BC=CA=2，CC1=1，求 BD1 与 AF1 所成的角的余弦 值。
2．如图，正方体 ABCD ABCD 中．E 为 AB 的中点，F 为 BC 的中点，O 为正方形 A/B/C/D/的中心。
必做题：（1）求直线 A/E 与 B/F 夹角的度数．
答案（arccos 4 ） 5
选做题: （2）求直线 A/E 与 DO 夹角的度数．
答案（arccos 30 ） 10
五、小结 这节课我们主要学习了两条异面直线的概念及它的判断方法，明确了空间两条直
∵ B ,l , B l ，∴点 B 和 l 确定的平面为 ，
∴直线 AB 与 l 共面于 ，∴ A ，与 A 矛盾， 所以， AB 与 l 是异面直线．
归纳异面直线的三种判定方法： 定义、 定理、 性质：(既不平行，也不相交)。 5．异面直线所成的角： 由动画引导启发学生如何寻找异面直线所成的角的大小，同学们都知道两条相交直 线所成的角大小可以度量，那么两条异面直线的夹角我们如何求呢？（演示动画并让 同学们思考）用化归的思想，将两条异面直线平移成相交，找到所成的角（所成的角 共有 4 个，两对对顶角，这时根据平面内的两条直线所成角的范围让学生自己猜想应 该是那一个角）。
设 AA/=2，AE=1，A/E=DE= 5 ，A/D=2 2 ，在三角形 DA/E 中，
DA/E= A/ D 2 A/ E 2 DE 2 = 10 ， DA/E=arccos 10
2 A/ D.A/ E
5
5
A/E 与 CB/的夹角为 arccos 10 5
总结出求异面直线所成的角的方法：（板书） （1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线，这两条相交直 线所成的锐角（或直角）即为所求的角。 (2)同时作两条异面直线的平行线，并使它们相交所成的锐角（或直角）即为所求 的角。
Βιβλιοθήκη Baidu
2CE.EN
3
CEN= arccos 2 3
AF 和 CE 的夹角为 arccos 2 3
请同学们思考：如果上式中我们求出的 cos CEN= - 2 时，我们所求的夹角应该 3
等于多少呢？主要根据是什么？ 四、课堂练习： 正方体 ABCD ABCD 中． （1）正方体棱所在的直线中与直线 BA是异面直 线有几条？ 答案 6 条 （2） 方体棱所在的直线中与直线 CC/垂直的直线有 几条？ 答案 8 条
节主要是先让学生观察动画，然后让他们讨论异面直线所成角的范围）
三、例题讲解
例 1 在正方体 ABCD ABCD 中，E 是 AB 的中点，
（1）求 BA/与 CC/夹角的度数. （2）求 BA/与 CB/夹角的度数． (3)求 A/E 与 CB/夹角的度数． 解：（1）由 BB // CC，可知 BBA 等于异面直线
a
a
b
b Ob′
已知两条异面直线 a, b ，经过空间任一点 O 作直线 a // a,b // b ， a,b 所成的角的
大小与点 O 的选择无关，把 a,b 所成的锐角（或直角）叫异面直线 a, b 所成的角（或
夹角）．为了简便，点 O 通常取在异面直线的一条线上。（强调：这不是唯一的方法） (这是根据平行线的性质定理；如果一个角的两条边和另一个角的两条边分别平行并 且方向相同，那么这两个角相等。)