椭圆基础训练题(含答案提示)
(完整版)椭圆基础练习题
(完整版)椭圆基础练习题1. 问题描述请解决以下椭圆基础练题：1. 椭圆的标准方程是什么？请给出椭圆标准方程的一般形式和参数的含义。
2. 如何确定椭圆的焦点和直径？请解释每个参数的意义。
3. 已知椭圆的半长轴和半短轴的长度分别为a和b，求椭圆的离心率。
4. 已知一椭圆的焦点F1位于原点，离心率为e，焦点F2位于(0, c)，求椭圆的标准方程。
5. 若一椭圆的长轴与x轴夹角为θ，离心率为e，求椭圆的标准方程。
2. 解答1. 椭圆的标准方程是$x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$，其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴的长度。
2. 椭圆的焦点和直径可以通过半长轴和半短轴的长度来确定。
焦点F1和F2位于椭圆的长轴上，与长轴的中点O等距离。
焦点和直径的参数含义如下：- 焦点F1和F2：焦点是椭圆的两个特殊点，其与椭圆上的每个点到焦点的距离之和等于2a，即2倍的半长轴的长度。
- 直径：椭圆的直径是通过椭圆的中心点O，并且两端点与椭圆上的点相切。
直径的长度等于2倍的短轴的长度。
3. 椭圆的离心率e可以通过半长轴和半短轴的长度计算。
离心率的计算公式为e = √(a^2 - b^2) / a。
4. 已知椭圆的焦点F1位于原点，离心率为e，焦点F2位于(0,c)。
根据定义，焦距为c = ae。
代入焦点和离心率的信息，可以得到椭圆的标准方程为$x^2/a^2 + y^2/(a^2(1-e^2)) = 1$。
5. 若一椭圆的长轴与x轴夹角为θ，离心率为e。
由于椭圆是一个轴对称图形，所以可以将长轴对齐于x轴。
根据该信息，可以得到椭圆的标准方程为$[(x*cosθ + y*sinθ)^2 / a^2] + [(x*sinθ -y*cosθ)^2 / b^2] = 1$。
以上是关于椭圆的基础练习题的解答。
希望可以帮助到您！。
椭圆基础训练题(含答案提示)
椭圆基础训练题1．已知椭圆长半轴与短半轴之比是5：3，焦距是8，焦点在x 轴上，则此椭圆的标准方程是（ ）（A ）5x 2＋3y 2＝1（B ）25x 2＋9y 2＝1（C ）3x 2＋5y 2＝1 （D ）9x 2＋25y 2＝12．椭圆5x 2＋4y 2＝1的两条准线间的距离是（ ）（A ）52 （B ）10 （C ）15（D ）3503．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ）（A ）21（B ）22（C ）23（D ）334．椭圆25x 2＋9y 2＝1上有一点P ，它到右准线的距离是49，那么P 点到左准线的距离是（ ）。
（A ）59（B ）516（C ）441（D ）5415．已知椭圆x 2＋2y 2＝m ，则下列与m 无关的是（ ） （A ）焦点坐标（B ）准线方程（C ）焦距 （D ）离心率6．椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率是23，则它的长半轴的长是（ ）（A ）1 （B ）1或2 （C ）2 （D ）21或17．椭圆的中心为O ，左焦点为F 1，P 是椭圆上一点，已知△PF 1O 为正三角形，则P 点到右准线的距离与长半轴的长之比是（ ） （A ）3－1（B ）3－3 （C ）3 （D ）18．若椭圆my 12m 3x 22-+=1的准线平行于y 轴，则m 的取值X 围是。
9．椭圆的长半轴是短半轴的3倍，过左焦点倾斜角为30°的弦长为2则此椭圆的标准方程是。
10. 椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，又已知直线2x －y －4=0被此椭圆所截得的弦长为354，求此椭圆的方程。
11．证明：椭圆上任意一点到中心的距离的平方与到两焦点距离的乘积之和为一定值。
12. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e =32，长轴长为6，那么椭圆的方程是（）。
（A ）36x 2+20y 2=1 （B ）36x 2+20y 2=1或20x 2+36y 2=1（C ）9x 2+5y 2=1 （D ）9x 2+5y 2=1或5x 2+9y 2=113. 椭圆25x 2＋16y 2=1的焦点坐标是（）。
高中数学-椭圆的标准方程练习
高中数学-椭圆的标准方程练习学习目标：1.了解椭圆标准方程的推导过程．(难点) 2.掌握椭圆的标准方程，能根据已知条件求椭圆的标准方程．(重点) 3.能用标准方程判定曲线是否是椭圆．[自 主 预 习·探 新 知]椭圆的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0) 图形焦点坐标(－c,0)，(c,0)(0，－c )，(0，c )a ，b ，c 的关系 b 2＝a 2－c 21．判断正误：(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a 2＝b 2＋c 2.( ) (2)方程2x 2＋y 2＝4表示的曲线不是椭圆．( ) (3)圆是椭圆的特殊形式．( )(4)方程x 2a 2＋y 22a＝1(a >0)，表示焦点在x 轴上的椭圆．( )【解析】 (1)√.由椭圆方程的推导过程可知a 2＝b 2＋c 2.(2)×.把方程2x 2＋y 2＝4化为标准形式为x 22＋y 24＝1，易知其表示的曲线是椭圆．(3)×.由圆和椭圆的定义可知其错误．(4)×.当a 2＞2a ，即a ＞2时，方程x 2a 2＋y 22a＝1(a ＞0)才表示焦点在x 轴上的椭圆，否则不是．【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×2．a ＝5，c ＝3，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为______.【导学号：95902077】【解析】 ∵a ＝5，c ＝3，∴b 2＝25－9＝16， 又∵焦点在y 轴上， ∴椭圆的方程为y 225＋x 216＝1.【答案】y 225＋x 216＝1 [合 作 探 究·攻 重 难]求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)．[思路探究] (1)利用椭圆的定义或待定系数法求解；(2)利用待定系数法求解．【自主解答】 (1)方法一：由于椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧52a 2＋02b2＝1，a 2＝b 2＋42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝25，b 2＝9，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.方法二：由于椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵2a ＝5＋42＋5－42＝10，∴a ＝5.又c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.方法三：由于椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．因为椭圆经过点(5,0)，所以a ＝5，又因为椭圆的焦点为(－4,0)和(4,0)，所以c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝9，故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)方法一：①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧32a 2＋－22b 2＝1－232a2＋1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧－22a2＋32b 2＝11a 2＋－232b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5b 2＝15，因为a ＞b ＞0，所以无解．所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.方法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝112m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝115n ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1. [规律方法]1．确定椭圆方程的“定位”与“定量”2．巧设椭圆方程(1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．(2)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1有相同焦点的椭圆方程可设为x 2a 2＋λ＋y 2b 2＋λ＝1.[跟踪训练]1．求焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)的椭圆的标准方程．【解】 由于椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝10a 2＋1b 2＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1.故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.与椭圆有关的轨迹问题如图221P 作x 轴的垂线段PP ′，P ′为垂足．M 为直线PP ′上一点，且P ′M ＝λPP ′(λ为大于零的常数)．当点P 在圆上运动时，点M 的轨迹是什么？为什么？图221[思路探究] 设出点M 和点P 的坐标，根据P ′M ＝λPP ′找到二者的联系，用点M 的坐标表示点P 的坐标，利用点P 在圆上代入可得点M 的轨迹方程，讨论λ可得点M 的轨迹．【自主解答】 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，∵PP ′⊥x 轴，且P ′M ＝λPP ′，∴x ＝x 0，y ＝λy 0，即x 0＝x ，y 0＝1λy .∵点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 20＋y 20＝1.把x 0＝x ，y 0＝1λy 代入上式得x 2＋y 2λ2＝1.当0＜λ＜1时，点M 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆； 当λ＝1时，点M 的轨迹是圆；当λ＞1时，点M 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆.[规律方法] 求解与椭圆有关的轨迹问题，一般利用相关点法(代入法)，可先设动点的坐标为(x ，y )，然后通过题设条件给出的等量关系列出等式，再化简等式得到对应的轨迹方程.[跟踪训练]2．已知点P (x 0，y 0)是椭圆x 28＋y 24＝1上一点，A 点的坐标为(6,0)，求线段PA 中点M 的轨迹方程．【解】 设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋62＝x ，y 0＋02＝y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －6，y 0＝2y .∵点P 在椭圆x 28＋y 24＝1上，∴x 208＋y 204＝1.把⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －6，y 0＝2y 代入x 208＋y 204＝1，得2x －628＋2y24＝1，即x －322＋y 2＝1为所求．椭圆的定义及标准方程的应用[探究问题]1．椭圆的定义是什么？能否用一个数学式来表示椭圆的定义？【提示】 平面内与两个定点F 1，F 2距离的和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆．即PF 1＋PF 2＝2a (2a ＞F 1F 2)．2．若点P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的点，则PF 1＋PF 2的值为多少？【提示】 PF 1＋PF 2＝2a .3．在三角形PF 1F 2中，F 1F 2的长是多少？设∠F 1PF 2＝θ，结合余弦定理，PF 1·PF 2能否用椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中的参数来表示？【提示】 F 1F 2＝2c .在三角形PF 1F 2中，由余弦定理可得F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos θ＝(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2(1＋cos θ)，即4c 2＝4a 2－2PF 1·PF 2(1＋cos θ)，所以PF 1·PF 2＝2b 21＋cos θ.4．根据探究3的讨论，能把三角形PF 1F 2的面积表示出来吗？根据基本不等式，PF 1·PF 2和PF 1＋PF 2存在不等关系吗？【提示】 S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2sin θ＝b 2sin θ1＋cos θ，根据基本不等式PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝a 2.5．设点F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，则三角形PF 1F 2叫做该椭圆的焦点三角形，通过以上探究，我们解决焦点三角形问题时需要注意哪些知识？【提示】 要注意充分利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理(勾股定理)和三角形的面积公式，若涉及范围问题，往往要利用基本不等式解决．已知F 1，F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上任意一点．(1)若∠F 1PF 2＝π3，求△PF 1F 2的面积；(2)求PF 1·PF 2的最大值．[思路探究] (1)在焦点三角形PF 1F 2中，应用椭圆的定义、余弦定理和三角形的面积公式可求解；(2)利用椭圆的定义和基本不等式可求PF 1·PF 2.【自主解答】 (1)由椭圆的定义可知，PF 1＋PF 2＝20， ① 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2·cos∠F 1PF 2， 即122＝PF 21＋PF 22－PF 1·PF 2. ② ①2＋②，并整理，得PF 1·PF 2＝2563.∴S △PF 1F 2＝12 PF 1·PF 2·sin π3＝643 3.(2)由x 2100＋y 264＝1可知，a ＝10，c ＝6. ∴PF 1＋PF 2＝20， ∴PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝100.当且仅当PF 1＝PF 2＝10时，等号成立．∴PF 1·PF 2的最大值是100. [规律方法]1．椭圆的定义给出了一个结论：椭圆上的点P 到两焦点F 1，F 2的距离的和为常数2a ，则已知点P 到一个焦点的距离就可以利用PF 1＋PF 2＝2a 求出该点到另一个焦点的距离．2．椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．3．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12ab sin C 把PF 1·PF 2看成一个整体，运用公式PF 21＋PF 22＝(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2及余弦定理求出PF 1·PF 2，而无需单独求出，这样可以减少运算量．[跟踪训练]3．已知椭圆x 24＋y 22＝1的左、右两个焦点分别是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是__________.【导学号：95902078】【解析】 因为x 24＋y 22＝1，焦点在x 轴上，则a ＝2，由椭圆定义：|PF 1|＋|PF 2|＝4，|F 1F 2|＝22，又|PF 1|－|PF 2|＝2，可得|PF 1|＝3，|PF 2|＝1，由12＋(22)2＝9，所以△PF 1F 2是直角三角形，S △PF 1F 2＝12|PF 2|·|F 1F 2|＝ 2.【答案】 2[构建·体系][当 堂 达 标·固 双 基]1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则PF 1＋PF 2＝________.【导学号：95902079】【解析】 由标准方程得a 2＝25，∴2a ＝10，由椭圆定义知PF 1＋PF 2＝2a ＝10. 【答案】 102．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为 ________.【解析】 c ＝1，a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.【答案】x 24＋y 23＝1 3．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________.【导学号：95902080】【解析】 由于椭圆焦点在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2>a ＋6，a ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2a －3>0，a >－6.⇔a >3或－6<a <－2.【答案】 a >3或－6<a <－24．已知点P 为椭圆x 249＋y 224＝1上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，若∠F 1PF 2为直角，则PF 1·PF 2＝__________.【解析】 由∠F 1PF 2为直角得PF 21＋PF 22＝F 1F 22，(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2＝F 1F 22. 又a 2＝49，b 2＝24得c 2＝25，所以142－2PF 1·PF 2＝102得PF 1·PF 2＝48. 【答案】 485．已知椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，3，求此椭圆的标准方程. 【导学号：95902081】【解】 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧925m ＋16n ＝1，1625m ＋9n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝125.∴椭圆方程为x 2＋y 225＝1.。
高考数学一轮复习考点题型课下层级训练46椭圆——椭圆的概念及其性质(含解析)
课下层级训练(四十六) 椭圆的概念及其性质[A 级 基础强化训练]1．(2019·山东滨州模拟)若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )A ．12 B ．33 C ．22D ．24【答案】C [依题意可知，c ＝b ，又a ＝b 2＋c 2＝2c ， ∴椭圆的离心率e ＝c a ＝22.] 2．(2018·广东惠州调研)“m ＞n ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C [把椭圆方程化成x 21m＋y 21n＝1.若m ＞n ＞0，则1n ＞1m＞0.所以椭圆的焦点在y 轴上．反之，若椭圆的焦点在y 轴上，则1n ＞1m＞0即有m ＞n ＞0.故为充要条件．]3．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．5【答案】A [由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.]4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A ．x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C ．x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝1 【答案】A [由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a＝c3＝33，∴c ＝1，∴b 2＝2，∴C 的方程为x 23＋y 22＝1.] 5．(2019·山东烟台模拟)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，若P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．8【答案】C [由题意知，O (0,0)，F (－1,0)，设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋y 2＋x .又∵x 24＋y 23＝1，∴y 2＝3－34x 2，∴OP →·FP →＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2.∵－2≤x ≤2，∴当x ＝2时，OP →·FP →有最大值6.]6．焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为____________________．【答案】x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝8，c a＝0.8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，c ＝4，又b 2＝a 2－c 2，∴b 2＝9，当焦点在x 轴上时，椭圆方程为x 225＋y 29＝1，当焦点在y 轴上时，椭圆方程为y 225＋x 29＝1.]7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________________．【答案】(－5,0) [∵圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1，∴圆心坐标为(3,0)，∴c ＝3.又b ＝4，∴a ＝b 2＋c 2＝5.∵椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．]8．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为____________．【答案】7 [由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.]9．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)． (1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积．【答案】解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝10，c ＝3，因此a ＝5，b ＝4，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1．(2)易知|y P |＝4，又c ＝3，所以S △F 1PF 2＝12|y P |×2c ＝12×4×6＝12．10．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．【答案】解 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，m >0．∵m －mm ＋3＝m m ＋m ＋3>0，∴m >mm ＋3，∴a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ＝a 2－b 2＝ m m ＋m ＋3．由e ＝32，得 m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1． ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1，∴a ＝1，b ＝12，c ＝32．∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a ＝2和2b ＝1，焦点坐标为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，四个顶点的坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12． [B 级 能力提升训练]11．(2019·山东德州模拟)已知两定点A (0，－2)，B (0,2)，点P 在椭圆x 212＋y 216＝1上，且满足|AP →|－|BP →|＝2，则AP →·BP →的值等于( ) A ．－12 B ．12 C ．－9D ．9【答案】D [由题意易知A (0，－2)，B (0,2)为椭圆x 212＋y 216＝1的两焦点，∴|AP →|＋|BP →|＝2×4＝8．又|A P →|－|BP →|＝2，∴|A P →|＝5，|B P →|＝3． ∵|A B →|＝4∴△ABP 为直角三角形，∴A P →·B P →＝(AB →＋BP →)·BP →＝|BP →|2＝9.]12．(2019·山东临沂月考)过椭圆x 225＋y 216＝1的中心任意作一条直线交椭圆于P ，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则△PQF 周长的最小值是( ) A ．14 B ．16 C ．18D ．20【答案】C [如图，设F 1为椭圆的左焦点，右焦点为F 2，根据椭圆的对称性可知|F 1Q |＝|PF 2|，|OP |＝|OQ |，所以△PQF 1的周长为|PF 1|＋|F 1Q |＋|PQ |＝|PF 1|＋|PF 2|＋2|PO |＝2a ＋2|PO |＝10＋2|PO |，易知2|OP |的最小值为椭圆的短轴长，即点P ，Q 为椭圆的上下顶点时，△PQF 1即△PQF 的周长取得最小值为10＋2×4＝18.]13．(2019·山东东营检测)已知△ABC 的顶点A (－3,0)和顶点B (3,0)，顶点C 在椭圆x 225＋y 216＝1上，则5sin Csin A ＋sin B＝____________．【答案】3 [由椭圆方程x 225＋y 216＝1，得长轴长2a ＝10，短轴长2b ＝8，焦距2c ＝6，则顶点A ，B 为椭圆的两个焦点．在△ABC 中，|AB |＝6，|BC |＋|AC |＝10，由正弦正理可得，5sin C sin A ＋sin B ＝5|AB ||BC |＋|AC |＝5×610＝3.]14．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F 2，若13<k <12，则椭圆的离心率的取值范围是______________.【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 [如图所示，|AF 2|＝a ＋c ，|BF 2|＝a 2－c 2a ，∴k ＝tan ∠BAF 2＝|BF 2||AF 2|＝a 2－c 2a a ＋c ＝a －ca＝1－e ．又∵13<k <12，∴13<1－e <12，解得12<e <23.]15．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，M 为椭圆上任意一点．过F ，B ，A 三点的圆的圆心坐标为(p ，q )． (1)当p ＋q ≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；(2)若点D (b ＋1,0)，在(1)的条件下，当椭圆的离心率最小时，(MF →＋OD →)·MO →的最小值为72，求椭圆的方程．【答案】解 (1)设椭圆半焦距为C ．由题意AF ，AB 的中垂线方程分别为x ＝a －c2，y －b 2＝a b (x －a2)， 于是圆心坐标为(a －c 2，b 2－ac2b )．所以p ＋q ＝a －c 2＋b 2－ac2b≤0，整理得ab －bc ＋b 2－ac ≤0，即(a ＋b )(b －c )≤0， 所以b ≤c ，于是b 2≤c 2，即a 2＝b 2＋c 2≤2c 2．所以e 2＝c 2a 2≥12，即22≤e <1．(2)当e ＝22时，a ＝2b ＝2c ， 此时椭圆的方程为x 22c 2＋y 2c2＝1，设M (x ，y )，则－2c ≤x ≤2c ，所以(MF →＋OD →)·MO →＝12x 2－x ＋c 2＝12(x －1)2＋c 2－12．当c ≥22时，上式的最小值为c 2－12，即c 2－12＝72，得c ＝2；当0<c <22时，上式的最小值为12(2c )2－2c ＋c 2， 即12(2c )2－2c ＋c 2＝72，解得c ＝2＋304，不合题意，舍去． 综上所述，椭圆的方程为x 28＋y 24＝1.．。
椭圆的定义、标准方程及几何性质(分层练习)
椭圆的定义、标准方程及几何性质（分层练习）[基础训练]1．[2020天津河北区模拟]已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，且短轴长为2，离心率为255，则该椭圆的标准方程为( )A.x 25＋y 2＝1 B ．x 23＋y 2＝1 C.x 24＋y 2＝1D ．y 24＋x 2＝1答案：A 解析：由题意设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则2b ＝2，故b ＝1.又c a ＝255，a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝5.∴椭圆C 的标准方程为x 25＋y 2＝1.故选A.2．[2020河北邯郸一模]椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 2的中点在y 轴上，那么|PF 2|是|PF 1|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍答案：A 解析：设线段PF 2的中点为D ，则|OD |＝12|PF 1|，且OD ∥PF 1， ∵OD ⊥x 轴，∴PF 1⊥x 轴． ∴|PF 1|＝b 2a ＝323＝32.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝43， ∴|PF 2|＝43－32＝732＝7|PF 1|. ∴|PF 2|是|PF 1|的7倍．3．[2020黑龙江哈尔滨六中模拟]设椭圆C ：x 24＋y 2＝1的左焦点为F ，直线l ：y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于A ，B 两点，则|AF |＋|BF |的值是( )A ．2B ．23C ．4D ．43答案：C 解析：设椭圆的右焦点为F 2，连接AF 2，BF 2.因为|OA |＝|OB |，|OF |＝|OF 2|，所以四边形AFBF 2是平行四边形，所以|BF |＝|AF 2|，所以|AF |＋|BF |＝|AF |＋|AF 2|＝2a ＝4.故选C.4．[2020河南洛阳一模]已知椭圆x 211－m ＋y 2m －3＝1的焦点在y 轴上，且焦距为4，则m 等于( )A ．5B ．6C ．9D ．10答案：C 解析：由椭圆x 211－m ＋y 2m －3＝1的长轴在y 轴上，焦距为4，可得m －3－11＋m ＝2，解得m ＝9.故选C.5．[2020安徽宣城一模]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若NM→·NF →＝0，则椭圆的离心率为( ) A.32 B ．2－12 C.3－12D ．5－12答案：D 解析：由题意知，M (－a,0)，N (0，b )，F (c,0)， ∴NM→＝(－a ，－b )，NF →＝(c ，－b )． ∵NM→·NF →＝0， ∴－ac ＋b 2＝0，即b 2＝ac . 又知b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2＝ac . ∴e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或e ＝－5－12(舍去)． ∴椭圆的离心率为5－12， 故选D.6．[2020安徽六安一中模拟]点P 在椭圆C 1：x 24＋y 23＝1上，C 1的右焦点为F ，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋6x －8y ＋21＝0上，则|PQ |－|PF |的最小值为( )A ．42－4B ．4－42C ．6－25D ．25－6答案：D 解析：设椭圆的左焦点为F 1， 则|PQ |－|PF |＝|PQ |－(2a －|PF 1|)＝|PQ |＋|PF 1|－4， 故要求|PQ |－|PF |的最小值， 即求|PQ |＋|PF 1|的最小值， 圆C 2的半径为2，所以|PQ |＋|PF 1|的最小值等于|C 2F 1|－2＝[－1－(－3)]2＋(0－4)2－2＝25－2，则|PQ |－|PF |的最小值为25－6，故选D.7．[2020山东临沂一模]已知点P 为椭圆x 2＋2y 2＝98上的一个动点，点A 的坐标为(0,5)，则|P A |的最大值和最小值分别是________．答案：237和2 解析：设P (x 0，y 0)，则|P A |＝x 20＋(y 0－5)2＝x 20＋y 20－10y 0＋25.∵点P 为椭圆x 2＋2y 2＝98上的一个动点，∴x 20＋2y 20＝98，∴x 20＝98－2y 20， ∴|P A |＝98－2y 20＋y 20－10y 0＋25＝－(y 0＋5)2＋148. ∵－7≤y 0≤7，∴当y 0＝－5时，|P A |max ＝237； 当y 0＝7时，|P A |min ＝2.8．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B .已知|AB |＝32|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过点F 2的直线l 与该圆相切于点M ，|MF 2|＝22，求椭圆的方程．解：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0)． 由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2. 又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12.所以椭圆的离心率e ＝22. (2)由(1)知，a 2＝2c 2，b 2＝c 2， 故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c 2＝1.设P (x 0，y 0)，因为F 1(－c,0)，B (0，c )， 所以F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )． 由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0. 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.① 因为点P 在椭圆上，故x 202c 2＋y 20c 2＝1.② 由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c ， 代入①，得y 0＝c3，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43c ，c 3.设圆的圆心为T (x 1，y 1)．则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c3＋c 2＝23c ， 进而圆的半径r ＝(x 1－0)2＋(y 1－c )2＝53c . 由已知，有|TF 2|2＝|MF 2|2＋r 2， 又|MF 2|＝22，故有⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋23c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－23c 2＝8＋59c 2， 解得c 2＝3.所以所求椭圆的方程为x 26＋y 23＝1.[强化训练]1．[2020湖北1月联考]已知椭圆C ：y 2a 2＋x 216＝1(a >4)的离心率是33，则椭圆C 的焦距是( )A ．22B ．26C ．42D ．46答案：C 解析：由e ＝c a ＝33，得a ＝3c ，所以c 2＝a 2－b 2＝3c 2－16，所以c 2＝8，因此焦距为2c ＝4 2.2．[2020浙江温州1月模拟]如图，设P 为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的动点，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，则直线IF 1和直线IF 2的斜率之积( )A ．是定值B ．非定值，但存在最大值C ．非定值，但存在最小值D ．非定值，且不存在最值答案：A 解析：如图，连接PI 并延长交x 轴于点G ，由内角平分线定理，可得GI IP ＝F 1G PF 1，GI IP ＝F 2GPF 2，所以GI IP ＝F 1G ＋F 2G PF 1＋PF 2＝2c 2a ＝ca＝e .设P (x 0，y 0)，I (x I ，y I )，G (x G,0)，则x 20a 2＋y 20b 2＝1， 所以a 2y 20a 2－x 20＝b 2.由GI IP ＝c a ，得GI GP ＝GI GI ＋IP ＝y I y 0＝c a ＋c ，故y I ＝cy 0a ＋c，由F 2G F 1G ＝PF 2PF 1，即c －x G x G ＋c ＝a －ex 0a ＋ex 0，得x G ＝e 2x 0.由GI IP ＝c a ，得GI GP ＝x I －x G x 0－x G ＝ca ＋c ，所以x I ＝ex 0.又kIF 1＝y I x I ＋c ，kIF 2＝y Ix I －c ，所以kIF 1·kIF 2＝y 2Ix 2I －c 2＝c 2y 20(a ＋c )2c 2a2x 20－c 2＝1(a ＋c )2·a 2y 20x 20－a 2＝－b 2(a ＋c )2. 所以直线IF 1和直线IF 2的斜率之积是定值．故选A.3．[2020福建福州一模]已知F 1，F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，P 是椭圆上异于顶点的任意一点，K 点是△F 1PF 2内切圆的圆心，过F 1作F 1M ⊥PK 于M ，O 是坐标原点，则|OM |的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(0，2)C ．(0，3)D ．(0,23)答案：C 解析：如图，延长PF 2，F 1M 相交于N 点，∵K 点是△F 1PF 2内切圆的圆心， ∴PK 平分∠F 1PF 2，∵F 1M ⊥PK ，∴|PN |＝|PF 1|，M 为F 1的N 中点， ∵O 为F 1F 2中点，M 为F 1N 的中点，∴|OM |＝12|F 2N |＝12||PN |－|PF 2|| ＝12||PF 1|－|PF 2||＜12|F 1F 2|＝c ＝3， ∴|OM |的取值范围为(0，3)． 故选C.4．[2020安徽蚌埠一模]已知F 1，F 2是椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，则∠F 1AF 2的平分线所在直线的斜率为( ) A ．－2 B ．－1 C ．－3D ．－2答案：A 解析：解法一：∵F 1，F 2是椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点，∴F 1(－1,0)，F 2(1,0)，又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，∴AF 1⊥x 轴， ∵|AF 1|＝32，则|AF 2|＝52，∴点F 2(1,0)关于l (∠F 1AF 2的平分线所在直线)对称的点F ′2在线段AF 1的延长线上，又|AF ′2|＝|AF 2|＝52，∴|F ′2F 1|＝1，∴F ′2(－1，－1)，线段F ′2F 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12， ∴所求直线的斜率为32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1－0＝－2.故选A.解法二：如图．设∠F 1AF 2的平分线交x 轴于点N ， ∠F 1AN ＝β，∠ANF 2＝α.∵tan 2β＝|F 1F 2||AF 1|，∴232＝43＝2tan β1－tan 2β，∴tan β＝12或－2(舍)．在Rt △AF 1N 中，tan β＝|F 1N ||AF 1|，即|F 1N |32＝12，∴|F 1N |＝34，∴k l ＝tan α＝tan(π－∠ANF 1)＝－tan ∠ANF 1 ＝－|AF 1||F 1N |＝－3234＝－2.故选A.5．[2020江西赣州模拟]已知A ，B 是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的两点，且A ，B 关于坐标原点对称，F 是椭圆的一个焦点，若△ABF 面积的最大值恰为2，则椭圆E 的长轴长的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D 解析：如图所示，设AB 的方程为ty ＝x ，F (c,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧ty ＝x ，x 2a 2＋y 2b 2＝1可得y 2＝a 2b 2b 2t 2＋a2＝－y 1y 2，∴△ABF 的面积S ＝12c |y 1－y 2| ＝12c (y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝c a 2b 2b 2t 2＋a 2≤cb ，当t ＝0时等号成立．∴bc ＝2.∴a 2＝b 2＋c 2≥2bc ＝4，a ≥2.∴椭圆E 的长轴长的最小值为4.故选D.6．已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B＝________. 答案：54 解析：由题意知，A ，C 为椭圆的两个焦点， 由正弦定理，得sin A ＋sin C sin B＝|BC |＋|AB ||AC |＝2a 2c ＝a c ＝54. 7．[2020山东烟台一模]已知F (2,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，过F 且垂直于x 轴的弦长为6，若A (－2，2)，点M 为椭圆上任一点，则|MF |＋|MA |的最大值为________．答案：8＋2 解析：设椭圆的左焦点为F ′， 由椭圆的右焦点为F (2,0)，得c ＝2， 又过F 且垂直于x 轴的弦长为6，即2b 2a ＝6， 则a 2－c 2a ＝a 2－4a ＝3，解得a ＝4，所以|MF |＋|MA |＝8－|MF ′|＋|MA |＝8＋|MA |－|MF ′|， 当M ，A ，F ′三点共线时，|MA |－|MF ′|取得最大值， (|MA |－|MF ′|)max ＝|AF ′|＝2， 所以|MF |＋|MA |的最大值为8＋ 2.8．[2020河北保定一模]与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________．答案：x 225＋y 216＝1 解析：设动圆的半径为r ，圆心为P (x ，y )， 则有|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝9－r . 所以|PC 1|＋|PC 2|＝10＞|C 1C 2|，即P 在以C 1(－3,0)，C 2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.9．已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E ，求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.(1)解：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由题意，得⎩⎨⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x24＋y 2＝1.(2)证明：设M (m ，n )，则D (m,0)，N (m ，－n )． 由题设知，m ≠±2，且n ≠0. 直线AM 的斜率k AM ＝nm ＋2，故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n .所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n (x －m )， 直线BN 的方程为y ＝n2－m(x －2)．联立⎩⎨⎧y ＝－m ＋2n (x －m )，y ＝n 2－m (x －2)，得点E 的纵坐标y E ＝－n (4－m 2)4－m 2＋n 2. 由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2，所以y E ＝－45n .又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |，S △BDN ＝12|BD |·|n |，所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.10．[2020云南曲靖模拟]已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且椭圆C 过点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若与直线OP (O 为坐标原点)平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，当OA ⊥OB 时，求△AOB 的面积．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意，得⎩⎨⎧ a 2－b 2＝3，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)直线OP 的方程为y ＝32x ，设直线AB 的方程为y ＝32x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程并整理，得x 2＋3mx ＋m 2－1＝0，由Δ＝3m 2－4(m 2－1)>0，得m 2<4，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－3m ，x 1x 2＝m 2－1. 由OA ⊥OB ，得OA→·OB →＝0， OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 1＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋m ＝74x 1x 2＋32m (x 1＋x 2)＋m 2＝74(m 2－1)＋32m ·(－3m )＋m 2 ＝54m 2－74＝0，解得m 2＝75.又|AB |＝1＋34(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝72·4－m 2，O 到直线AB 的距离d ＝|m |1＋34＝|m |72. 所以S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×72×4－m 2×|m |72＝9110.。
(完整版)椭圆基础训练题及答案
椭圆基础训练题姓名____________分数______________一、选择题1 ．方程my x ++16m -2522=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 （ ）A ．—16〈m 〈25B ．—16〈m 〈29 C ．29〈m<25 D ．m>292 ．已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 （ ） A ．2B ．3C ．5D ．73 ．椭圆2241x y +=的焦距是（ ）A B ．1C D ．24 ．对于椭圆22525922=+y x ，下列说法正确的是（ ）A ．焦点坐标是()40±，B ．长轴长是5C ．准线方程是425±=yD ．离心率是54 5 ．椭圆2212x y +=的焦距是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．46 ．如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．),0(+∞B ．)2,0(C ．),1(+∞D ．)1,0(7 ．若椭圆221169x y +=上一点P 到它的右焦点是3，那么点P 到左焦点的距离是 （ ）A ．5B ．1C ．15D ．88 ．设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于 （ ) A ．4B ．5C ．8D ．109 ．已知F 1、F 2是椭圆192522=+y x 的两个焦点，AB 是过F 2的弦，则△ABF 1 的周长等于 ( ） A ．100 B ．50C ．20D ．1010．椭圆4x 2+2y 2=1的准线方程是( ）A ．x=±1B ．x=±21 C ．y=±1 D ．y=±21 11．已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆一个点的距离为3，则P 点到另一个焦点距离为 （ ） A ．2B ．3C ．5D ．712．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于学科网( ）A ．12B ．22C ．2D ．32学科网 13．椭圆2216x y m +=的焦距为2，则m 的取值是 ( )A ．7B ．5C ．5或7D ．1014．椭圆161522=+y x 的两条准线方程是 （ )A ．2175-=y ,2175=y B ．2175-=x ，2175=x C ．y=－5,y=5 D ．x=－5,x=5 15．椭圆2214x y +=的长轴长为 （ )A ．16B ．2C ．8D ．416．若椭圆x a 22＋y b22=1的两焦点F 1、F 2三等分它两准线间的距离，则此椭圆的离心率为 ( ）A ．3B ．33C ．63D ．以上均不对17．若椭圆x y b222161+=过点()-23，，则其焦距为 （ ）A ．23B ．25C ．43D ．4518．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为,21它的长轴等于圆0152:22=--+x y x C 的半径,则椭圆的标准方程为 （ ）A ．13422=+y xB ．1121622=+y xC ．1422=+y x D ．141622=+y x 19．若椭圆两准线间的距离是焦距的4倍，则该椭圆的离心率为（ ）A ．21。
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提示：4c=d1＋d2=2a,
∴e=
1 2
试卷
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题目：16. 曲线 x 2 ＋ y2 =1 与曲线 x 2 ＋ y2 =1 (k<9)，具有的等量关系是（ ）。
25 9
25－ k 9 k
（A）有相等的长、短轴
a2
题目：12. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率 e= 2 ，长轴长为 6，那么椭圆的方程是（ ）。
3
（A） x 2 + y2 =1
36 20
（C） x 2 + y2 =1
95
（B） x 2 + y2 =1 或 x 2 + y2 =1
36 20
20 36
（D） x 2 + y2 =1 或 x 2 + y2 =1
95
59
答案：D
题目：13. 椭圆 25x2＋16y2=1 的焦点坐标是（ ）。
（A）(±3, 0) （B）(± 1 , 0) （C）(± 3 , 0) （D）(0, ± 3 )
3
20
20
答案：D
题目：14. 椭圆 4x2＋y2=4 的准线方程是（ ）。
（A）y= 4 3 x （B）x= 4 3 y （C）y= 4 3
16 9
16 9
题目：19. 已知椭圆的准线为 x=4，对应的焦点坐标为(2, 0)，离心率为 1 , 那么这个椭圆的方
2
程为（ ）。
（A） x 2 ＋ y2 =1
84
（B）3x2＋4y2－8x=0
（C）3x2－y2－28x＋60=0
（D）2x2＋2y2－7x＋4=0
(完整word版)椭圆基础训练题(含答案提示)(2),推荐文档
椭圆基础训练题1．已知椭圆长半轴与短半轴之比是5：3，焦距是8，焦点在x 轴上，则此椭圆的标准方程是（ ）（A ）5x 2＋3y 2＝1（B ）25x 2＋9y 2＝1 （C ）3x 2＋5y 2＝1 （D ）9x 2＋25y 2＝12．椭圆5x 2＋4y 2＝1的两条准线间的距离是（ ）（A ）52 （B ）10 （C ）15 （D ）3503．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ）（A ）21（B ）22（C ）23（D ）334．椭圆25x 2＋9y 2＝1上有一点P ，它到右准线的距离是49，那么P 点到左准线的距离是（ ）。
（A ）59（B ）516 （C ）441 （D ）5415．已知椭圆x 2＋2y 2＝m ，则下列与m 无关的是（ ）（A ）焦点坐标 （B ）准线方程 （C ）焦距 （D ）离心率6．椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率是23，则它的长半轴的长是（ ）（A ）1 （B ）1或2 （C ）2 （D ）21或17．椭圆的中心为O ，左焦点为F 1，P 是椭圆上一点，已知△PF 1O 为正三角形，则P 点到右准线的距离与长半轴的长之比是（ ）（A ）3－1 （B ）3－3 （C ）3 （D ）18．若椭圆my 12m 3x 22-+=1的准线平行于y 轴，则m 的取值范围是 。
9．椭圆的长半轴是短半轴的3倍，过左焦点倾斜角为30°的弦长为2则此椭圆的标准方程是 。
10. 椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，又已知直线2x －y －4=0被此椭圆所截得的弦长为354，求此椭圆的方程。
11．证明：椭圆上任意一点到中心的距离的平方与到两焦点距离的乘积之和为一定值。
12. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e =32，长轴长为6，那么椭圆的方程是（ ）。
（A ） 36x 2+20y 2=1 （B ）36x 2+20y 2=1或20x 2+36y 2=1（C ） 9x 2+5y 2=1 （D ）9x 2+5y 2=1或5x 2+9y 2=113. 椭圆25x 2＋16y 2=1的焦点坐标是（ ）。
高考数学(理)复习训练：《椭圆》(北师大版)
【A 级】 基础训练1．(2013·高考全国大纲卷)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B ．x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D ．x 25＋y 24＝1解析：设出椭圆的方程，依据题目条件用待定系数法求参数．由题意知椭圆焦点在x 轴上，且c ＝1，可设C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a ＞1)，由过F 2且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长|AB |＝3，知点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32必在椭圆上，代入椭圆方程化简得4a 4－17a 2＋4＝0，所以a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. 答案：C2．(2013·高考全国大纲卷)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在椭圆C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1解析：利用直线P A 2斜率的取值范围确定点P 变化范围的边界点，再利用斜率公式计算直线P A 1斜率的边界值．由题意可得A 1(－2,0)，A 2(2,0)，当P A 2的斜率为－2时，直线P A 2的方程为y ＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0，解得x ＝2或x ＝2619.由点P 在椭圆上得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2619，2419，此时直线P A 1的斜率k ＝38.同理，当直线P A 2的斜率为－1时，直线P A 2方程为y ＝－(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得7x 2－16x ＋4＝0，解得x ＝2或x ＝27.由点P 在椭圆上得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫27，127，此时直线P A 1的斜率k＝34.数形结合可知，直线P A 1斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.答案：B3．(2013·高考全国新课标卷)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36 B ．13 C.12D ．33解析：根据椭圆的定义以及三角知识求解．如图，由题意知sin 30°＝|PF 2||PF 1|＝12，∴|PF 1|＝2|PF 2|.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 2|＝2a 3.∴tan 30°＝|PF 2||F 1F 2|＝2a32c ＝33.∴c a ＝33.故选D. 答案：D4．方程x 2k －3＋y 2k ＋3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．解析：方程x 2k －3＋y 2k ＋3＝1表示椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧k －3＞0，k ＋3＞0，k －3≠k ＋3，解得k ＞3.答案：k ＞35．(2014·佛山模拟)在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＝11，a 2＋a 3＋a 4＝21，则椭圆C ：x 2a6＋y 2a 5＝1的离心率为________． 解析：由题意得a 4＝10，设公差为d ，则a 3＋a 2＝(10－d )＋(10－2d )＝20－3d ＝11，∴d ＝3，∴a 5＝a 4＋d ＝13，a 6＝a 4＋2d ＝16＞a 5，∴e ＝16－134＝34. 答案：346．(2014·北京顺义二模)在△ABC 中，AB ＝BC ，cos B ＝－718，若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝________. 解析：如图所示，设AB ＝BC ＝x ，由cos B ＝－718及余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝x 2＋x 2＋2x 2×718，∴AC 2＝259x 2， ∴AC ＝53x .∵椭圆以A 、B 为焦点， ∴焦距为2c ＝AB ＝x . 又椭圆经过点C ， ∴AC ＋BC ＝53x ＋x ＝2a ， ∴2a ＝83x ，∴e ＝c a ＝38. 答案：387．(2014·武汉模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点M (4,1)，直线l ：y ＝x ＋m 交椭圆于不同的两点A ，B . (1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围．解：(1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，因为e ＝32，所以a 2＝4b 2 ，又因为椭圆过点M (4,1)，所以16a 2＋1b 2＝1，解得b 2＝5，a 2＝20，故椭圆方程为x 220＋y 25＝1. (2)将y ＝x ＋m 代入x 220＋y 25＝1并整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0，Δ＝(8m )2－20(4m 2－20)＞0，解得－5＜m ＜5.8．(2011·高考辽宁卷)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都是e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D . (1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．解：(1)因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2a 2＝1(a ＞b ＞0)．设直线l ：x ＝t (|t |＜a )，分别与C 1，C 2的方程联立，求得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，aba 2－t 2，B ⎝⎛⎭⎪⎫t ，b a a 2－t 2.当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A ，y B 表示A ，B 的纵坐标，可知|BC |∶|AD |＝2|y B |2|y A |＝b 2a 2＝34.(2)t ＝0时， l 不符合题意．t ≠0时，BO ∥AN ，当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即b aa 2－t 2t＝a ba 2－t 2t －a，解得t ＝－ab 2a 2－b2＝－1－e 2e 2·a . 因为|t |＜a ，又0＜e ＜1，所以1－e 2e 2＜1，解得22＜e ＜1，所以当0＜e ≤22时，不存在直线l ，使得BO ∥AN ；当22＜e ＜1时，存在直线l ，使得BO ∥AN .【B 级】 能力提升1．已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为( )A ．4B ．8C ．12D ．16解析：直线y ＝k (x ＋3)过定点N (－3，0)，而M 、N 恰为椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM 的周长为4a ＝4×2＝8. 答案：B2．如果椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上存在一点P ，使得点P 到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为( ) A ．(0，2，－1] B ．[2－1,1] C ．(0，3－1]D ．[3－1,1)解析：设椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点P 作左准线的垂线，垂足为M ，则|PF 1||PM |＝e ，故|PF 1|＝|PM |e .又|PF 1|＝2a －|PF 2|，|PM |＝|PF 2|，所以有(1＋e )|PF 2|＝2a ，则|PF 2|＝2a1＋e ∈[a －c ，a ＋c ]，即a －c ≤2a1＋e ≤a ＋c ，解得：e ∈[2－1,1)． 答案：B3．(2014·武汉模拟)若点F 1，F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的焦点，P 为椭圆上的点，当△F 1PF 2的面积为1时，PF 1→·PF 2→的值是( ) A ．0 B ．1 C ．3D ．6解析：△F 1PF 2的面积为1，设P (x 1，y 1)， 则有12·|2c |·|y 1|＝1，即3|y 1|＝1，∴y 1＝±33，代入椭圆方程得：x 1＝±263，∴不妨令点P 为⎝ ⎛⎭⎪⎫263，33，又∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)， ∴PF 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－263，－33，PF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－263，－33 ∴PF 1→·PF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2632－()32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332 ＝83－3＋13＝0. 答案：A4．(2014·徐州模拟)已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. 解析：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，∴2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，∴S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，∴b ＝3. 答案：35．(2013·高考辽宁卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝________.解析：设椭圆的右焦点为F 1，因为直线过原点，所以|AF |＝|BF 1|＝6，|BO |＝|AO |.在△ABF 中，设|BF |＝x ，由余弦定理得36＝100＋x 2－2×10x ×45，解得x ＝8，即|BF |＝8，所以∠BF A ＝90°，所以△ABF 是直角三角形，所以2a ＝6＋8＝14，即a ＝7.又因为在Rt △ABF 中，|BO |＝|AO |，所以|OF |＝12|AB |＝5，即c ＝5.所以e ＝57. 答案：576．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22，过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________．解析：由△ABF 2的周长等于4a ＝16，得a ＝4，又知离心率为22，即c a ＝22，进而c ＝22，所以a 2＝16，b 2＝a 2－c 2＝16－8＝8，∴C 的方程为x 216＋y 28＝1.答案：x 216＋y 28＝17．(创新题)已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足P A →·PB →＝PM→2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得，(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0.因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)＞0，所以k 1＞－12.又x 1＋x 2＝8k 1(2k 1－1)3＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21， 因为P A →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)·(x 2－2)(1＋k 21)＝|PM |2＝54.即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54. 所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤16k 21＋16k 1－83＋4k 21－2·8k 1(2k 1－1)3＋4k 21＋4(1＋k 21)＝4＋4k 213＋4k 21＝54，解得k 1＝±12. 因为k 1＞－12，所以k 1＝12.于是存在直线l1满足条件，其方程为y＝12x.。
椭圆基础练习题及其完整答案
解析几何——椭圆精炼专题一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的．） 1．椭圆63222=+y x 的焦距是（ ）A ．2B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+2．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆 3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ）A ．14822=+x y B ．161022=+x y C ．18422=+x y D ．161022=+y x4．方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ）A ．),0(+∞B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）5． 过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（ ） A ． 22 B ． 2 C ． 2 D ． 16．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为31，长轴长为12，则椭圆方程为（ ） A ．112814422=+y x 或114412822=+y x B ． 14622=+y x C ．1323622=+y x 或1363222=+y x D ． 16422=+y x 或14622=+y x 7． 已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-ky k x 有（ ） A ． 相同的短轴 B ． 相同的焦点 C ． 相同的离心率 D ． 相同的长轴8．椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ）A ．9B ．12C ．10D ．89．椭圆131222=+y x 的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（ ）A ．4倍B ．5倍C ．7倍D ．3倍 10．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ）A ．01223=-+y xB ．01232=-+y xC ．014494=-+y xD ． 014449=-+y x11．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．1012．过点M （－2，0）的直线M 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线M 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（ ）A ．2B ．－2C ．21 D ．－21二、 填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．）13．椭圆2214x y m +=的离心率为12，则m = ． 14．设P 是椭圆2214x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF 的最大值为 ；最小值为．15．直线y =x －21被椭圆x 2+4y 2=4截得的弦长为．16．已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:22及点=++为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则点M 的轨迹方程为． 三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．） 17．已知三角形ABC 的两顶点为(2,0),(2,0)B C -，它的周长为10,求顶点A 轨迹方程． 18．椭圆的一个顶点为A （2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 19．点P 到定点F （2，0）的距离和它到定直线x =8的距离的比为1：2，求点P 的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形． 20．中心在原点，一焦点为F 1（0，52）的椭圆被直线y =3x －2截得的弦的中点横坐标是21，求此椭圆的方程．21.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程 22．椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O为坐标原点． （1）求2211ba +的值； （2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围．椭圆练习题参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A CDDABD13、3或316 14、 4 ， 1 15、5382 16、121425422=+yx 17、3)(x 15922±≠=+y x 18、解：（1）当A (2,0)为长轴端点时，a =2 , b =1，椭圆的标准方程为：；（2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；19．解：设P （x ，y ），根据题意，|PF|=(x-2)2-y 2,d=|x-8|,因为|PF|d =12 ,所以 (x-2)2-y 2 |x-8| = 12.化简，得3x 2+4y 2=48,整理，得x 216 +y 212=1,所以，点P 的轨迹是椭圆。
高二数学椭圆专项训练_基础(含解析)
若以 A, P, M 为顶点的三角形是直角三角形，则 M 的横坐标可以是
。
精益求精，不断超越，成就学生，成就梦想
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积极拼搏锐意进取，全心全意以学生学习为中心
选择菁英高中，成就名校梦想
8、已知椭圆 x2 y2 1 ，直线 l : 4x 5 y 40 0 ，椭圆上是否存在一点，使得它到直线 l 的 25 9
距离最小？最小距离是多少？
9、已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0 ，
P
为椭圆上任一点， F1PF2
,求
F1PF 的面积．
10、已知椭圆 C : x2 y2 1 ，上顶点为 A ，右顶点为 B ，直线 y kx k 0 与 AB 相交于点
4
D ，与椭圆相交于 E、F 两点。若 ED 6DF ，则 k 的值为
PF1 PF2 2 2 PF1 PF2 2 PF1 PF2 cos 4c2
即 4 a2 c2 2 PF1 PF2 1 cos
所以 S F1PF
1 2
PF1
PF2
sin
b2
sin 1 cos
b2 tan 2
10、[解析]直线 AB, EF 的方程分别为 x 2 y 2, y kx(k 0) 。
。
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答案与解析
选择菁英高中，成就名校梦想
1、[解析]
5
（建议使用参数方程
x y
2 cos 3 sin
解答）
2、[解析]答案：D。假设
A、B
为椭圆的长轴和短轴的顶点，则
专项训练：椭圆的定义及简单的几何性质(一)
专项训练：椭圆的定义及简单的几何性质（一）一、单选题1．设P是椭圆x25+y23=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．22B．23C．25D．422．已知椭圆x225+y2m=1（m>0）的左焦点为F1(−4,0)，则m=A．9B．4C．3D．23．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )A．B．C．D．4．椭圆＋＝1的离心率是( )A．B．C．D．5．已知椭圆过点P35,−4和点Q −45,−3,则此椭圆的方程是( )A．y225+x2=1B．x225+y2=1或x2+y225=1C．x225+y2=1D．以上均不正确6．如果方程x24−m +y2m−3=1表示椭圆,则m的取值范围是( )A．(3,4)且m≠72B．(-∞,3)∪(4,+∞) C．(4,+∞)D．(-∞,3)7．已知椭圆C：x2a +y24=1的一个焦点为(2 ， 0)，则C的离心率为A．13B．12C．22D．2238．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为A．1−32B．2−3C．3−12D．3−19．已知F1，F2是椭圆C： x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为A．23B．12C．13D．1410．设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2,点E0,t0<t<b.已知动点P在椭圆上,且点P,E,F2不共线,若ΔPEF2的周长的最小值为4b,则椭圆C的离心率为（）A．32B．22C．12D．3311．设椭圆C:x24+y2=1的左焦点为F，直线l:y=kx k≠0与椭圆C交于A,B两点，则AF+BF的值是（）A．2B．23C．4D．4312．（2018届安徽省合肥市三模）已知椭圆E:x2a +y2b=1a>b>0经过点A5，0，B0，3，则椭圆E的离心率为（）A．23B．53C．49D．5913．椭圆的离心率为22，F为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点与F关于直线y=x+4对称，则椭圆的方程为A．x218+y29=1B．x29+y218=1C．x218+y29=1或x29+y218=1D．x28+y24=1或x24+y28=114．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点为F1，F2，左、右顶点为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M、N)，△AF1B的周长为43，且直线AM与AN的斜率之积为−23，则C的方程为（）A．x212+y28=1 B．x212+y24=1 C．x23+y22=1 D．x23+y2=115．已知F1−1,0，F21,0是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与C交于A，B且AB=3，则C的方程为（）A．x22+y2=1B．x23+y22=1C．x24+y23=1D．x25+y24=116．已知F是椭圆C：x29+y25=1的左焦点，P为C上一点，A(−1,2)，则|PA|+|PF|的最大值为（）A．6+13B．9C．5+25D．1017．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e为( )A．12B．13C．14D．2218．若椭圆x24+y2m=1上一点到两焦点的距离之和为m−3，则此椭圆的离心率为（）A．53B．53或217C．217D．37或5919．在区间0,1上随机取一个数k，则方程x23−4k +y22k−1=1表示焦点在y轴上的椭圆的概率为（）A．124B．112C．16D．1420．若椭圆x24+y2b=10<b<2与直线x−2y+4=0有公共点，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．0,12B．0,12C．12,1D．12,121．（2018届四川省雅安市三诊）若双曲线x23−y2=1与椭圆x28+y2p=1有公共焦点，则p的值为（）A．2B．3C．4D．4222．（新疆乌鲁木齐市2018届高三第三次诊断性测验）椭圆的离心率为22，F为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点与F关于直线y=x+4对称，则椭圆的方程为A．x218+y29=1B．x29+y218=1C．x218+y29=1或x29+y218=1D．x28+y24=1或x24+y28=123．（河南省豫南九校2017-2018学年下学期联考）若椭圆x24+y2b=10<b<2与直线x−2y+4=0有公共点，则该椭圆离心率的取值范围是A．0,12B．0,12C．12,1D．12,124．（2017-2018学年福建省厦门外国语学校高三下学期第一次开学考试）设椭圆x2 m2+y2n2=1，双曲线x2m2−y2n2=1(其中m>n>0)的离心率分别为e1,e2,则A．e1⋅e2>1B．e1⋅e2<1C．e1⋅e2=1D．e1,e2与1大小不确定25．设F1、F2是椭圆x24+y2b2=1(0<b<2)的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为5，则椭圆的离心率为A．12B．22C．5−12D．3226．（2015新课标全国I文科）已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为12,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=A．3B．6C．9D．1227F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则∠F1PF2的余弦值为A B C D28．已知椭圆和双曲线有共同焦点F1,F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2，则1e1e2的最大值是（）A．233B．433C．2D．329．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作长轴的垂线与椭圆C的一个交点为P，若tan∠PF2F1=34，则椭圆C的离心率为A．12B．13C．14D．15二、填空题30．经过点N(1,2)，且与椭圆x212+y26=1有相同的离心率的椭圆的标准方程为______________．31．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________．32．椭圆Г：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Г的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．33．如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且|OF|＝，若MF⊥OA，则椭圆的方程为________________．34．如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y ＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．35．设椭圆x2a +y2b=1(a>b>0)的右焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，离心率为63，则此椭圆的方程为__________．三、解答题36．已知椭圆C：x2a +y2b=1(a>b>0)过点P(1,32)，离心率为12.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同两点M，N，记△F1MN的内切圆的面积为S，求当S取最大值时直线l的方程，并求出最大值．37．设椭圆E的方程为＋＝1(a＞b＞0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．38．在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，，．过点M作MM1⊥轴于M1，过N作NN1⊥轴于点N1，．记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）证明不存在直线，使得；（Ⅲ）过点P作轴的平行线与曲线C的另一交点为S，若，证明．)，焦点F1(−3,0),F2(3,0)，39．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点(12圆O的直径为F1F2．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；，求直线l的方程．②直线l与椭圆C交于A,B两点．若△OAB的面积为267参考答案1．C【解析】【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【详解】椭圆x 25+y23=1的焦点坐标在x轴，a=P是椭圆x 25+y23=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=25．故选：C．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，属于基础题．2．C【解析】【分析】直接利用椭圆的简单性质，转化求解即可．【详解】焦点在x轴上的椭圆x 225+y2m2=1（m＞0）的左焦点为F（﹣4，0），可得0＜m＜5，25﹣m2=16，解得m=3．故选：C．【点睛】本题考查椭圆的标准方程与简单几何性质的应用，属于基础题．3．A【解析】【分析】先得到以线段A1A2为直径的圆的方程，然后根据圆心到直线的距离等于半径可得a2=3b2，化简可得c 2a2=23，于是可得离心率．【详解】以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，因为该圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，∴22=a，整理得2b=2+b2∴a2=3b2，∵a2＝b2＋c2，∴c 2a2=23，∴e=ca =63.故选A.【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，解题时根据直线和圆的位置关系得到a,b的数量关系是解题的关键，属于基础题．4．B【解析】【分析】由椭圆的方程得到a=3,c=5，根据离心率的定义可得所求．【详解】由题意得，a=3,c=，所以椭圆的离心率e=ca =53.故选B.【点睛】本题考查椭圆离心率定义的应用和对椭圆方程中各系数意义的理解，解题的关键是根据椭圆的方程得到相关的参数，然后根据离心率的定义求解．5．A【解析】【分析】设经过两点P35,−4和点Q −45,−3的椭圆标准方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），利用待定系数法能求出椭圆方程．【详解】设经过两点P35,−4和点Q −45,−3的椭圆标准方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），代入A、B得，925m+16n＝11625m+9n＝1，解得m=1，n=125，∴所求椭圆方程为y 225+x2=1．故选A．【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆简单性质的合理运用．6．A【解析】【分析】根据题意，由椭圆标准方程的形式可得4−m＞0m−3＞04−m≠m−3，解可得m的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，如果方程x 24−m +y2m−3=1表示椭圆，则有4−m＞0m−3＞04−m≠m−3，解可得3＜m＜4且m≠72，则m的取值范围是（3，4）且m≠72，故选：A．【点睛】本题考查椭圆的标准方程，关键是掌握椭圆标准方程的形式．7．C【解析】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为(2 ， 0)，从而求得c=2，再根据题中所给的方程中系数，可以得到b2=4，利用椭圆中对应a,b,c的关系，求得a=22，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知c=2，因为b2=4，所以a2=b2+c2=8，即a=22，所以椭圆C的离心率为e=22=22，故选C.点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中a,b,c的关系求得结果.8．D【解析】分析：设|PF2|=m，则根据平面几何知识可求|F1F2|,|PF1|，再结合椭圆定义可求离心率.详解：在ΔF1PF2中，∠F1PF2=90∘,∠PF2F1=60°设|PF2|=m，则2c=|F1F2|=2m,|PF1|=3m，又由椭圆定义可知2a=|PF1|+|PF2|=(3+1)m则离心率e=ca =2c2a=(3+1)m=3−1，故选D.点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.9．D【解析】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.详解：因为△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，所以PF2=F1F2=2c,由AP斜率为36得，tan∠PAF2=36,∴sin∠PAF2=13cos∠PAF2=1213，由正弦定理得PF2AF2=sin∠PAF2sin∠APF2,所以2ca+c =113sin(π−∠PAF2)11332⋅1213−12⋅11325∴a=4c,e=14，选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等式，再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式，而建立关于a,b,c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10．A【解析】分析：利用椭圆定义ΔPEF2的周长为PE+2a−PF1+EF2，结合三点共线时，PE−PF1的最小值为−EF1，再利用对称性，可得椭圆的离心率.详解：ΔPEF2的周长为PE+PF2+EF2=PE+2a−PF1+EF2 =2a+EF2+PE−PF1≥2a+EF2−EF1=2a=4b，∴e=ca =1−ba2=1−14=32故选：A点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式e=ca；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．11．C【解析】分析：设椭圆的右焦点为F2,连接AF2,BF2,则四边形AFBF2是平行四边形，根据椭圆的定义得到AF+BF=2a得解.详解：设椭圆的右焦点为F2,连接AF2,BF2,因为OA=OB,OF=O F2,所以四边形AFBF2是平行四边形.所以|BF|=|AF2|,所以AF+BF=|AF|+|AF2|=2a=4,故答案为:C点睛：（1）本题主要考查椭圆的几何性质，意在考查学生对椭圆基础知识的掌握能力. (2)解答本题的关键是能观察到对称性，得到四边形AFBF2是平行四边形，这一点观察到了，后面就迎刃而解了. 12．A【解析】【分析】椭圆E:y 2a2+x2b2=1(a>b>0)经过点A 5，0，B 0，3，可得a,b的值，计算可得c的值，由椭圆的离心率公式即可得结果.【详解】由椭圆E:y 2a2+x2b2=1a>b>0，经过点A 5,0,B0,3，可得a=3,b=5，所以c=9−5=2，其离心率e=23，故选A.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式e=ca；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．13．C【解析】由题意知ca =22，得a2=2b2=2c2，不妨设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，椭圆上任取点P x0,y0，取焦点F−c,0，则PF中点M x0−c2,y02，根据条件可得y02=x0−c2+4，k PF=y0x0+c=−1，联立两式解得x0=−4,y0=4−c，代入椭圆方程解得a=32，b=3，由此可得椭圆的方程为x 218+y29=1或y218+x29=1.故选C．14．C【解析】分析：由椭圆定义可知，可知△AF1B的周长为4a，从而得a，再设点A(x0,y0)，可得x+3x−3=−23，从而可得b2，进而得解.详解：由△AF1B的周长为43，可知A F1+AF2+BF1+BF2=4a=43.解得：a=则M −0,N(0).设点A(x0,y0)，由直线AM与AN的斜率之积为－23，可得0x+3x−3=−23.即y02=−23(x02−3).①又x023+y02b=1，所以y02=b2(1−x023)，②由①②解得：b2=2.所以C的方程为x 23+y22=1.故选C.点睛：此题主要考查椭圆方程，由椭圆定义而得出焦半径的性质，由椭圆上的点和顶点连线的斜率乘积，考查了斜率的坐标表示，及点在椭圆上方程的灵活应用，属于中档题型，也是常考考点.数形结合法是数学解题中常用的思想方法之一，通过“以形助数，以数解形”，根据数列与形之间的对应关系，相互转化来解决问题.15．C【解析】由题意，将A c,y1代入椭圆方程得：c2a2+y12b2=1，由此求得y12=b4a2，所以AB=3=2b2a ,因为c=1，根据a2−b2=c2可得a2−32a−1=0，解得a=2，所以b2=3,所以椭圆C的方程为：x 24+y23=1．16．A【解析】连接P点和另一个焦点即为E，|PA|+|PF|=PA+2a−|PE|=PA−|PE|+ 2a≤|AE|+2a= 6+13．故答案为：A．点睛：这个题目考查了椭圆的几何意义和椭圆定义的应用；椭圆上的点到两焦点的距离之和是定值，一般题目中出现点到其中一个焦点的距离，都会将点和另一个焦点连接起来，利用定义将两者转化．17．A【解析】由题意，a=2c，所以离心率e=ca =12．故选A．18．A【解析】由题意得，2a=m−3>0，即m>3，若a2=4，即a=2，则m−3=4，m=7>4，不合题意，因此a2=m，即a=m，则2m=m−3，解得m=9，即a=3，c=m−4=5，所以椭圆离心率为e=53.故正确答案为A.点睛：此题主要考查椭圆的定义、方程、离心率等有关方面的知识与运算技能，属于中低档题型，也是常考题.在解决此类问题中，要充分利用椭圆定义应用，即椭圆上的点到两个定点（即两个焦点）的距离之和为定长（即长轴长2a），在焦点位置不确定的情况，有必要分两种情况（其焦点在x轴或是y轴）进行讨论，从而解决问题.19．B【解析】若方程x 23−4k +y22k−1=1表示焦点在y轴上的椭圆则2k−1>3−4k>0，解得23<k<34故方程x 23−4k +y22k−1=1表示焦点在y轴上的椭圆的概率为P=34−231−0=112故选B 20．B【解析】联立方程得b2x2+4y2=4b2x−2y+4=0消去y化简得(b2+1)x2+8x+16−4b2=0，由题得Δ=64−4×(b2+1)(16−4b2)≥0,∴b2≥3,∴4−c2≥3,∴c2≤1,∴c≤1,∴ca≤12.故该椭圆离心率的取值范围是0,12，故选B.21．C【解析】由题得双曲线的焦点为（2,0）和（-2,0），椭圆的焦点为(8-p,0)和（-8-p,0)，由于双曲线和椭圆的焦点相同，所以8-p=2，∴p=4.故选C.22．C【解析】由题意知ca =22，得a2=2b2=2c2，不妨设椭圆的方程为x2a+y2b=1(a>b>0)，椭圆上任取点P x0,y0，取焦点F−c,0，则PF中点M x0−c2,y02，根据条件可得y02=x0−c2+4，k PF=y0x0+c=−1，联立两式解得x0=−4,y0=4−c，代入椭圆方程解得a=32，b=3，由此可得椭圆的方程为x 218+y29=1或y218+x29=1.故选C．23．B【解析】将椭圆方程与直线方程联立，得b2x2+4y2=4b2x−2y+4=0，消去y化简得(b2+1)x2+8x+16−4b2=0，由题得Δ=64−4×(b2+1)(16−4b2)≥0,∴b2≥3,∴4−c2≥3,∴c2≤1,∴c≤1,∴ca ≤12.故该椭圆离心率的取值范围是0,12，故选B．24．B【解析】由题意得e1= m2−n2m ,e2= m2+n2m，所以e1e2=m4−n4m=1−n4m,因为m>n>0,所以0<n 4m <1,0<1−n4m<1,所以0<1−n4m<1,即0<e1e2<1.选B．25．A【解析】因为AF1+AF2=4，BF1+BF2=4，所以△ABF2的周长为AF2+BF2+AB=8，显然，当AB最小时，AF2+BF2有最大值，而AB min=2b2a=b2，所以8−b2=5，解得b2=3，c2=1，从而e=12.故选A.26．B【解析】因为抛物线C:y2=8x的焦点坐标为(2,0)，准线l的方程为x=-2 ①，设椭圆E的方程为x 2a +y2b=1(a>b>0),所以椭圆E的半焦距c=2,又椭圆E的离心率为12,所以a=4,b=23,椭圆E的方程为x 216+y212=1②,联立①②,解得A(-2,3),B(-2,-3),或A(-2,-3),B(-2,3),所以|AB|=6,选B.优解：因为抛物线C:y2=8x的焦点坐标为(2,0)，准线l的方程为x=-2 ①，设椭圆E的方程为x 2a2+y2b2=1(a>b>0),所以椭圆E的半焦距c=2,又椭圆E的离心率为12,所以a=4,b=2由于准线x=-2过椭圆E的左焦点,所以AB为椭圆E的通径,所以|AB|=2b 2a=6,选B.【名师点睛】本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程、抛物线与椭圆的简单几何性质及基本量的运算等基础知识,考查考生综合运用知识分析、解决问题的能力与运算求解能力.求解时,首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程,再利用抛物线与椭圆的联系求出椭圆中的基本量a,b,c与椭圆方程,进而求得|AB|.27．B【解析】根据题意，椭圆的标准方程其则有|F1F2a=3，则|PF1|+|PF2|=2a=6，又由|PF1|=4，则|PF2|=6-|PF1|=2，则cos∠F1PF2故选：B．28．A【解析】如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：PF1+PF2=2a1,PF1−PF2=2a2∴PF1=a1+a2，PF2=a1−a2设F1F2=2c,∠F1PF2=π3,则，在△F1PF2中根据余弦定理可得到4c2=a1+a22+a1−a22−2a1+a2a1−a2cosπ∴化简得：a12+3a22=4c2该式可变成：1e12+3e22=4∴1e12+3e22=4≥23e1e2,∴1e1e2≤233故选A点睛：本题综合性较强，难度较大，运用基本知识点结合本题椭圆和双曲线的定义给出a 1、a 2与PF 1、PF 2的数量关系，然后再利用余弦定理求出与c 的数量关系，最后利用基本不等式求得范围。
椭圆 知识点+例题 分类全面
点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为______________________．答案 (1)y 220＋x 24＝1 (2)x 2＋32y 2＝1解析 (1)方法一 椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝3－02＋－5＋42＋3－02＋－5－42，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4.∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.(2)设点B 的坐标为(x 0，y 0)． ∵x 2＋y 2b 2＝1， ∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)． ∵AF 2⊥x 轴，∴A (1－b 2，b 2)． ∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →，∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)． ∴x 0＝－531－b 2，y 0＝－b 23.∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b23. 将B ⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b 23代入x 2＋y2b2＝1， 得b 2＝23.∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.题型二：椭圆的几何性质[例] (2014·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .（1）若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； （2）若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值． 解 设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)． (1)因为B (0，b )，所以BF 2＝b 2＋c 2＝a . 又BF 2＝2，故a ＝ 2. 因为点C ⎝⎛⎭⎫43，13在椭圆上， 所以169a 2＋19b2＝1，解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为B (0，b )，F 2(c,0)在直线AB 上， 所以直线AB 的方程为x c ＋yb＝1.解方程组⎩⎨⎧x c ＋yb＝1，x 2a 2＋y2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c2，y 1＝bc 2－a 2a 2＋c 2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b . 所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b c 2－a 2a 2＋c 2.又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性， 可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b a 2－c 2a 2＋c 2. 因为直线F 1C 的斜率为ba 2－c 2a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－－c ＝b a 2－c 23a 2c ＋c 3，直线AB 的斜率为－bc ，且F 1C ⊥AB ，所以b a 2－c 23a 2c ＋c 3·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1.又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2. 故e 2＝15，因此e ＝55.[巩固]（1）已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是_______.（2）(2013·辽宁)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.答案 (1)2 (2)57解析 (1)设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)， PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.故选C.(2)如图，在△ABF 中，|AB |＝10，|AF |＝6，且cos ∠ABF ＝45，设|BF |＝m ， 由余弦定理，得 62＝102＋m 2－20m ·45，∴m 2－16m ＋64＝0，∴m ＝8.因此|BF |＝8，AF ⊥BF ，c ＝|OF |＝12|AB |＝5.设椭圆右焦点为F ′，连接BF ′，AF ′， 由对称性，得|BF ′|＝|AF |＝6， ∴2a ＝|BF |＋|BF ′|＝14. ∴a ＝7，因此离心率e ＝c a ＝57.题型三：直线与椭圆位置关系的相关问题[例]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为B (0,4)，离心率e ＝55，直线l 交椭圆于M ，N 两点．(1)若直线l 的方程为y ＝x －4，求弦MN 的长．(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式． 解 (1)由已知得b ＝4，且c a ＝55，即c 2a 2＝15，∴a 2－b 2a 2＝15，解得a 2＝20，∴椭圆方程为x 220＋y 216＝1.则4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立， 消去y 得9x 2－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409，∴所求弦长|MN |＝1＋12|x 2－x 1|＝4029. (2)椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)，设线段MN 的中点为Q (x 0，y 0)， 由三角形重心的性质知 BF →＝2FQ →，又B (0,4)，∴(2，－4)＝2(x 0－2，y 0)，故得x 0＝3，y 0＝－2， 即得Q 的坐标为(3，－2)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 2120＋y 2116＝1，x 2220＋y 2216＝1， 以上两式相减得x 1＋x 2x 1－x 220＋y 1＋y 2y 1－y 216＝0，∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－45·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－45×6－4＝65，故直线MN 的方程为y ＋2＝65(x －3)，即6x －5y －28＝0.[巩固](2014·课标全国Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .（1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . 解 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M (c ，b 2a)，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac . 将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ， 解得c a ＝12，ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，得原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴， 所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点， 故b 2a ＝4，即b 2＝4a .① 由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2－c －x 1＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9a 2－4a 4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.1．“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 若x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆．夯实基础训练则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，6－m >0，m －2≠6－m ，∴2<m <6且m ≠4.故“2<m <6”是“x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆”的必要不充分条件．2．若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍．则m 的值为__________.解析 将原方程变形为x 2＋y 21m＝1. 由题意知a 2＝1m ，b 2＝1，∴a ＝1m，b ＝1. ∴1m ＝2，∴m ＝14. 3．(2014·福建)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是_______.解析 如图所示，设以(0,6)为圆心，以r 为半径的圆的方程为x 2＋(y －6)2＝r 2(r >0)，与椭圆方程x 210＋y 2＝1联立得方程组，消掉x 2得9y 2＋12y ＋r 2－46＝0.令Δ＝122－4×9(r 2－46)＝0， 解得r 2＝50，即r ＝5 2.由题意易知P ，Q 两点间的最大距离为r ＋2＝62，故选D.4．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为_______.解析 由题意知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，且三者成等比数列，则|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |， 即4c 2＝a 2－c 2，a 2＝5c 2， 所以e 2＝15，所以e ＝55.5．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m <0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1的左焦点为F (－c,0)，若垂直于x 轴且经过F点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为__________.解析 圆M 的方程可化为(x ＋m )2＋y 2＝3＋m 2， 则由题意得m 2＋3＝4，即m 2＝1(m <0)， ∴m ＝－1，则圆心M 的坐标为(1,0)． 由题意知直线l 的方程为x ＝－c ，又∵直线l 与圆M 相切，∴c ＝1，∴a 2－3＝1，∴a ＝2.6．(2013·福建)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆C 的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．答案3－1解析 由直线方程为y ＝3(x ＋c )，知∠MF 1F 2＝60°，又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，所以∠MF 2F 1＝30°，MF 1⊥MF 2，所以|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a .即e ＝c a＝3－1. 7．(2014·辽宁)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.答案 12解析 椭圆x 29＋y 24＝1中，a ＝3. 如图，设MN 的中点为D ，则|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6.∵D ，F 1，F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点，∴|BN |＝2|DF 2|，|AN |＝2|DF 1|，∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)＝12.8．椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________．答案 (－263，263) 解析 设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )，则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y )．∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0，即x 2－3＋y 2<0，①∵y 2＝1－x 24，代入①得x 2－3＋1－x 24<0， 34x 2<2，∴x 2<83. 解得－263<x <263，∴x ∈(－263，263)． 9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点为F (－2,0)． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m .消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0， Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <23，∵x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，∴y 0＝x 0＋m ＝m 3， ∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴(－2m 3)2＋(m 3)2＝1，∴m ＝±355. 10．(2014·大纲全国)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为_______________.解析 ∵△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43，∴a ＝3，∵离心率为33，∴c ＝1， ∴b ＝a 2－c 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1. 11．(2013·四川)从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是___________.解析 由题意可设P (－c ，y 0)(c 为半焦距)，k OP ＝－y 0c ，k AB ＝－b a，由于OP ∥AB ， ∴－y 0c ＝－b a ，y 0＝bc a， 把P ⎝⎛⎭⎫－c ，bc a 代入椭圆方程得－c 2a 2＋⎝⎛⎭⎫bc a 2b 2＝1，而⎝⎛⎭⎫c a 2＝12，∴e ＝c a ＝22. 12．已知F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为________．答案 33 解析 在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得sin ∠PF 2F 1＝1，即∠PF 2F 1＝π2. 设|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2，|F 2F 1|＝ 3.∴离心率e ＝2c 2a ＝33. 能力提升训练13．点P 是椭圆x 225＋y 216＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且△PF 1F 2的内切圆半径为1，当P 在第一象限时，P 点的纵坐标为________．答案 83解析 |PF 1|＋|PF 2|＝10，|F 1F 2|＝6，S △PF 1F 2＝12(|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|)·1＝8 ＝12|F 1F 2|·y P ＝3y P .所以y P ＝83. 14．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．答案 15解析 |PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝10－|PF 2|，|PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－|PF 2|，易知M 点在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于P 点，此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|，故|PM |＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝10＋6－32＋42＝15.15．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M (1，32)． （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足P A →·PB →＝PM →2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＋94b 2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得，(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0.因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)·(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)>0，所以k 1>－12.又x 1＋x 2＝8k 12k 1－13＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21， 因为P A →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54， 所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 21)＝PM →2＝54. 即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54. 所以[16k 21－16k 1－83＋4k 21－2·8k 12k 1－13＋4k 21＋4]·(1＋k 21) ＝4＋4k 213＋4k 21＝54，解得k 1＝±12. 因为k 1>－12，所以k 1＝12. 于是存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x .。
高三数学专题训练- 椭圆的定义、标准方程及性质
高三数学专题练习30 椭圆的定义、标准方程及性质小题基础练○30一、选择题1．椭圆x 24＋y 2＝1的离心率为( ) A.12 B.32C.52 D ．2 答案：B解析：由题意得a ＝2，b ＝1，则c ＝3，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32，故选B.2．[2019·佛山模拟]若椭圆mx 2＋ny 2＝1的离心率为12，则m n ＝( )A.34B.43C.32或233D.34或43 答案：D解析：若焦点在x 轴上，则方程化为x 21m ＋y 21n ＝1，依题意得1m －1n 1m＝14，所以m n ＝34；若焦点在y 轴上，则方程化为y 21n ＋x 21m＝1，同理可得m n ＝43.所以所求值为34或43.故选D.3．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( )A ．2B ．4C ．8D ．2 2答案：B解析：因为椭圆方程为4x 2＋y 2＝1，所以a ＝1.根据椭圆的定义，知△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝4.故选B.4．[2018·全国卷Ⅱ]已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32 B ．2－ 3C.3－12 D.3－1 答案：D解析：在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°，不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2，则|PF 2|＝1，|PF 1|＝3，由椭圆的定义可知，方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，2a ＝1＋3，2c ＝2，得a ＝1＋32，c ＝1，所以离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.故选D.5．[2019·河南豫北重点中学联考]已知点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，22是椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >1)上的点，A ，B 是椭圆的左、右顶点，则△P AB 的面积为( )A ．2 B.24 C.12 D ．1 答案：D解析：由题可得1a 2＋12＝1，∴a 2＝2，解得a ＝2(负值舍去)，则S △P AB ＝12×2a ×22＝1，故选D.6．[2019·河南安阳模拟]已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·(OF1→＋OP →)＝0(O为坐标原点)．若|PF1→|＝2|PF 2→|，则椭圆的离心率为( ) A.6－ 3 B.6－32C.6－ 5D.6－52 答案：A解析：以OF 1，OP 为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，由PF 1→·(OF 1→＋OP →)＝0知此平行四边形的对角线互相垂直，则此平行四边形为菱形，∴|OP |＝|OF 1|，∴△F 1PF 2是直角三角形，即PF 1⊥PF 2.设|PF 2|＝x ，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋x ＝2a ，(2x )2＋x 2＝(2c )2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2＋12x ，c ＝32x ，∴e ＝c a ＝32＋1＝6－3，故选A.7．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( ) A ．2 B ．3C ．6D ．8 答案：C解析：由椭圆x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，y )(－2≤x ≤2)，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x＋3＝14(x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.故选C.8．[2019·黑龙江大庆模拟]已知直线l ：y ＝kx 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于A ，B 两点，其中右焦点F 的坐标为(c,0)，且AF 与BF 垂直，则椭圆C 的离心率的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1B.⎝⎛⎦⎥⎤0，22C.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，22 答案：C解析：由AF 与BF 垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得|OA |＝|OF |＝c ，由|OA |>b ，即c >b ，可得c 2>b 2＝a 2－c 2，即c 2>12a 2，可得22<e <1.故选C.二、非选择题9．[2019·河南开封模拟]如图，已知圆E ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点F (3，0)，P 是圆E 上任意一点．线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q .则动点Q 的轨迹Γ的方程为________．答案：x 24＋y 2＝1解析：连接QF ，因为Q 在线段PF 的垂直平分线上，所以|QP |＝|QF |，得|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝|PE |＝4.又|EF |＝23<4，得Q 的轨迹是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆即x 24＋y 2＝1.10．[2019·金华模拟]如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上，且焦距为3的椭圆，则椭圆的短轴长为________．答案： 5解析：方程x 2＋ky 2＝2可化为x 22＋y 22k＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋2k ＝2⇒2k ＝54，∴短轴长为2×52＝ 5.11．[2019·陕西检测]已知P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是其左、右焦点，∠F 1PF 2取最大值时cos ∠F 1PF 2＝13，则椭圆的离心率为________．答案：33解析：易知∠F 1PF 2取最大值时，点P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与y轴的交点，由余弦定理及椭圆的定义得2a 2－2a23＝4c 2，即a ＝3c ，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝33.12．[2019·“超级全能生”联考]已知椭圆C ：x 28＋y 22＝1与圆M ：x 2＋y 2＋22x ＋2－r 2＝0(0<r <2)，过椭圆C 的上顶点P 作圆M 的两条切线分别与椭圆C 相交于A ，B 两点(不同于P 点)，则直线P A 与直线PB 的斜率之积等于________．答案：1解析：由题可得，圆心为M (－2，0)，P (0，2)．设切线方程为y ＝kx ＋ 2.由点到直线的距离公式得，d ＝|－2k ＋2|1＋k2＝r ，化简得(2－r 2)k 2－4k ＋(2－r 2)＝0，则k 1k 2＝1.课时增分练○30一、选择题 1．[2019·河北省五校联考]以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2 答案：D解析：设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，12×2cb ＝1⇒bc ＝1,2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22，当且仅当b ＝c ＝1时，等号成立．故选D.2．[2019·深圳模拟]过点(3,2)且与椭圆3x 2＋8y 2＝24有相同焦点的椭圆方程为( )A.x 25＋y 210＝1B.x 210＋y 215＝1 C.x 215＋y 210＝1 D.x 210＋y 25＝1答案：C解析：椭圆3x 2＋8y 2＝24的焦点为(±5，0)，可得c ＝5，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得9a 2＋4b 2＝1，又a 2－b 2＝5，得b 2＝10，a 2＝15，所以所求的椭圆方程为x 215＋y210＝1.故选C.3．一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( )A.x 28＋y 26＝1B.x 216＋y 26＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 28＋y 24＝1 答案：A解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，c a ＝12， 又c 2＝a 2－b 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，c a ＝12得a 2＝8，b 2＝6，故椭圆方程为x 28＋y26＝1.故选A.4．[2018·全国卷Ⅱ]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.14 答案：D解析：如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1， 由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3，|BF 2|＝1， 故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan ∠P AB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14. 故选D. 5．[2019·广西桂林柳州联考]已知点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点．若PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 2F 1＝2，则椭圆的离心率e 为( )A.53B.13C.23D.12 答案：A解析：∵点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 2F 1＝2，∴|PF 1||PF 2|＝2.设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，由椭圆定义知x ＋2x ＝2a ，∴x ＝2a 3，∴|PF 2|＝2a3，则|PF 1|＝4a 3.由勾股定理知|PF 2|2＋|PF 1|2＝|F 1F 2|2，解得c ＝53a ，∴e ＝c a ＝53.故选A.6．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为 ( )A ．6B ．5C ．4D ．3 答案：A解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.故选A.7．[2019·贵州遵义联考]已知m 是两个数2,8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y2m ＝1的离心率为( )A.32或52B.32或 5C.32 D. 5 答案：B解析：由题意得m 2＝16，解得m ＝4或m ＝－4.当m ＝4时，曲线方程为x 2＋y 24＝1，故其离心率e 1＝c a ＝ 1－b 2a 2＝ 1－14＝32；当m ＝－4时，曲线方程为x 2－y 24＝1，故其离心率e 2＝c a ＝ 1＋b 2a 2＝ 1＋4＝ 5.所以曲线的离心率为32或 5.故选B.8．若椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)和圆x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2有四个交点，其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫55，35B.⎝⎛⎭⎪⎫0，25C.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，35D.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，55答案：A解析：由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则⎩⎨⎧a >b2＋c ，b <b2＋c ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧(a －c )2>14(a 2－c 2)，a 2－c 2<2c ，解得55<e <35.故选A.二、非选择题9．[2019·铜川模拟]已知椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆交于点A 、B ，当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________．答案：3 解析：如图，设椭圆的右焦点为E ，连接AE 、BE .由椭圆的定义得，△F AB 的周长为|AB |＋|AF |＋|BF |＝|AB |＋(2a －|AE |)＋(2a －|BE |)＝4a ＋|AB |－|AE |－|BE |.∵|AE |＋|BE |≥|AB |，∴|AB |－|AE |－|BE |≤0，∴|AB |＋|AF |＋|BF |＝4a ＋|AB |－|AE |－|BE |≤4a .当直线AB 过点E 时取等号，此时直线x ＝m ＝c ＝1，把x ＝1代入椭圆x 24＋y 23＝1得y ＝±32，∴|AB |＝3.∴当△F AB 的周长最大时，△F AB的面积是12×3×|EF |＝12×3×2＝3.10．[2019·辽宁沈阳东北育才学校月考]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 是C 的长轴的两个端点，点M 是C 上的一点，满足∠MAB ＝30°，∠MBA ＝45°.设椭圆C 的离心率为e ，则e 2＝________.答案：1－33 解析：由椭圆的对称性，设M (x 0，y 0)，y 0>0，A (－a,0)，B (a,0)．因为∠MAB ＝30°，∠MBA ＝45°，所以k BM ＝y 0x 0－a ＝－1，k AM ＝y 0x 0＋a＝33.又因为x 20a 2＋y 20b 2＝1，三等式联立消去x 0，y 0可得b 2a 2＝33＝1－e 2，所以e 2＝1－33.11．[2019·云南昆明一中月考]已知中心在原点O ，焦点在x轴上的椭圆E 过点C (0,1)，离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 过椭圆E 的左焦点F ，且与椭圆E 交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为23，求直线l 的方程．解析：(1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由已知，直线l 过左焦点F (－1,0)．当直线l 与x 轴垂直时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22，B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，22，此时|AB |＝2，则S △OAB ＝12×2×1＝22，不满足条件． 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 2)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.因为S △OAB ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12|y 1－y 2|，由已知S △OAB ＝23得|y 1－y 2|＝43.11因为y 1＋y 2＝k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)＝k (x 1＋x 2)＋2k ＝k ·－4k 21＋2k 2＋2k ＝2k 1＋2k 2， y 1y 2＝k (x 1＋1)·k (x 2＋1)＝k 2(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＝－k 21＋2k 2， 所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝4k 2(1＋2k 2)2＋4k 21＋2k 2＝43，所以k 4＋k 2－2＝0，解得k ＝±1，所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.。
椭圆练习及参考答案
椭圆练习及参考答案一、单选题(共 50 分)1.椭圆x 29+y28=1的左右焦点为F1，F2，P为椭圆上第一象限内任意一点，F1关于P的对称点为M，关于F2的对称点为N，则ΔMF1N的周长为（）A.8B.10C.16D.22【详解】因为F1关于P的对称点为M，关于F2的对称点为N,所以PF2为△F1MN的中位线,所以MF1+MN=2PF1+2PF2=2(PF1+PF2)=2×2a=12,F1N=2F1F2=4c=4√9−8=4,所以ΔMF1N的周长为12+4=16.【点睛】本题考查了点与点的对称性,椭圆的定义,属于基础题.2.已知定圆C1:(x+5)2+y2=1，C2:(x−5)2+y2=225，动圆C满足与C1外切且与C2内切，则动圆圆心C的轨迹方程为（）A.x 264+y239=1 B.x239+y264=1 C.x2256+y2241=1 D.x2241+y2256=1【详解】解：设动圆圆心C的坐标为(x,y)，半径为r，则|CC1|=r+1,|CC2|=15−r，∴|CC1|+|CC2|=r+1+15−r=16>|C1C2|=10，由椭圆的定义知，点C的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆，则2a=16,a=8,c=5，b2=82−52=39，椭圆的方程为：x264+y239=1【点睛】考查圆与圆的位置关系，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，中档题．3.设F1、F2是椭圆E：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x=3a2上一点，ΔF2PF1是底角为30∘的等腰三角形，则E的离心率为（）A.12B.23C.34D.45试题分析：如下图所示，ΔF2PF1是底角为30∘的等腰三角形，则有|F1F2|=|PF2|,∠PF1F2=∠F2PF1=30∘所以∠PF2A=60∘,∠F2PA=30∘，所以|PF2|=2|AF2|=2(32a−c)=3a−2c又因为|F1F2|=2c，所以，2c=3a−2c，所以e=ca =34所以答案选C.考点：椭圆的简单几何性质.4.椭圆x 29+y26=1的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则ΔPF1F2的面积为（）A.2√3B.3√2C.√32D.√23【详解】解：∵椭圆x29+y26=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，|PF1|＝4，∴F1（−√3，0），F2（√3，0），|PF2|＝6﹣4＝2，|F1F2|＝2√3，则△PF1F2是直角三角形，∴△PF1F2的面积为S=12×2×2√3=2√3．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，三角形的面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．5.已知椭圆x 24+y2=1的焦点分别是F1，F2，点M在该椭圆上，如果F1M⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅F2M⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，那么点M到y轴的距离是()A.√2B.2√63C.3√22D.1【详解】设M（x，y），则椭圆x24+y2=1…①，∵椭圆x24+y2=1的焦点分别是F1，F2，∴F1（−√3，0），F2（√3，0）∵F 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(x −√3，y)，F 2M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(x +√3，y)， F 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅F 2M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，∴x 2+y 2=3…②由①②得x 2=83，x =±2√63， ∴点M 到y 轴的距离为2√63，故选B ．【点睛】本题考查了椭圆的方程及向量运算，属于中档题． 7.已知直线l 与椭圆x 216+y 22=1交于A,B 两点，AB 中点是M (−2,1)，则直线l 的斜率为（ ）A.-4B.-14C.14D.4【详解】设交点坐标A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则{x 1216+y 122=1x 2216+y 222=1，两式相减得，(x 1+x 2)(x 1−x 2)16+(y 1+y 2)(y 1−y 2)2=0 ，故y 1−y2x 1−x 2=−2(x 1+x 2)16(y 1+y 2)=−2×(−2×2)16×(1×2)=14 ，故选C【点睛】本题考查了直线与椭圆的相交弦问题，一般涉及弦的中点和直线斜率问题时，可采用“点差法”，建立中点坐标与斜率的关系求解.8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点，直线y =b2与椭圆交于B,C 两点，且∠BFC =90°，则该椭圆的离心率为( )A.√63B.2√33C.12D.√22【详解】将y =b2代入椭圆方程得：B (−√32a,b2)，C (√32a,b2)又椭圆焦点F (c,0) ∴BF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(c +√32a,−b 2)，CF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(c −√32a,−b 2) ∵∠BFC =90∘∴BF ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CF⃑⃑⃑⃑⃑ =c 2−34a 2+b 24=c 2−34a 2+a 2−c 24=34c 2−12a 2=0∴e 2=c 2a 2=23 ∴e =√63，故选A 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是能够利用垂直关系构造出关于a,c 的齐次方程，从而根据e =ca 求得离心率.9.设F 1，F 2分别是椭圆x 225+y 216=1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |+|PF 1|的最大值为（） A.13B.15C.16D.25【详解】如图所示，由椭圆x 225+y 216=1，可得a =5,b =4,c =√a 2−b 2=3，所以F 1(−3,0),F 2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=2a =10，所以|PM |+|PF 1|=|PM |+2a −|PF 2|=10+(|PM |−|PF 2|)≤10+|MF 2|=10+√32+42=15,则|PM |+|PF 1|的最大值15．故选B ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及标准方程的应用，以及三角形三边大小关系的应用，其中解答中熟练应用椭圆的定义转化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10.椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P 为椭圆C 上的任意一点，且P 在第一象限，O 为坐标原点，F （3，0）为椭圆C 的右焦点，则OP ⃑⃑⃑⃑⃑ •PF ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围为（ ） A.(−16,−10)B.(−10,−394)C.(−16,−394]D.(−∞,−394]【详解】因为椭圆C 的长轴长、短轴长和焦距成等差数列 所以2a +2c =4b ，即a +c =2b F(3,0)为椭圆C 的右焦点，所以c=3 在椭圆中，a 2=c 2+b 2所以{a 2=c 2+b 2a +c =2bc =3 ，解方程组得{a =5b =4c =3所以椭圆方程为x 225+y 216=1设P(m,n) (0<m <5)则m 225+n 216=1，则n 2=16−1625m 2 OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(m,n )(3−m,−n ) =3m −m 2−n 2=3m −m 2−(16−1625m 2) =−925m 2+3m −16=−925(m −256)2−394因为0<m <5，所以当m =256时，OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF⃑⃑⃑⃑⃑ 取得最大值为−394当m 趋近于0时，OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF ⃑⃑⃑⃑⃑ 的值趋近于-16 ，所以OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围为(-16,-394] 【点睛】本题考查了椭圆性质的综合应用，向量在解析几何中的用法，属于中档题． 二、填空题(共 25 分) 11.已知椭圆x 24+y 23=1的左、右焦点为F 1，F 2，则椭圆的离心率为_____，过F 2且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A ，则|F 1A |＝_____． 【详解】椭圆x 24+y 23=1，可得a ＝2，b =√3，则c ＝1，所以椭圆的离心率为：e =c a =12．过F 2且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A ，所以|AF 2|=b 2a=32，由椭圆的定义可知：|F 1A |＝2a ﹣|AF 2|＝4−32=52．故答案为12；52．【点睛】本题考查椭圆的离心率和椭圆的定义，解题时由椭圆标准方程确定出a,b 再计算出c ，可求离心率，而求椭圆上的点到焦点的距离时，可以与椭圆定义联系起来．12.如果椭圆x 2144+y 236=1上一点P 到焦点F 1的距离等于10，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是______． 【详解】由椭圆x 2144+y 236=1，可得a =12，由椭圆的定义可知：|PF 1|+|PF 2|=2a =24，因为椭圆x 2144+y 236=1上一点P 到焦点F 1的距离等于10，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是：24-10=14．故答案为14．【点睛】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用，考查计算能力．属于基础题. 13.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(−2√3,0)，且长轴长是短轴长的2倍.则该椭圆的长轴长为______；其标准方程是________． 【详解】解：已知{a =2b,c =2√3a 2−b 2=c 2∴{b 2=4a 2=162a =8则该椭圆的长轴长为8；其标准方程是x 216+y 24=1．故答案为椭圆的长轴长为8；其标准方程是x 216+y 24=1．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程．属基础题．14.已知P 是椭圆x 210+y 2=1上的一点，F 1,F 2是椭圆的两个焦点，当∠F 1PF 2=2π3时，则ΔPF 1F 2的面积为_____．【详解】设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，则m +n =2a =2√10在ΔPF 1F 2中，由余弦定理得：F 1F 22=m 2+n 2−2mncos∠F 1PF 2即：36=(m +n )2−2mn −2mncos2π3=40−mn ，解得：mn =4∴S ΔPF 1F 2=12mnsin 2π3=√3 【点睛】本题考查焦点三角形面积的求解，关键是能够利用余弦定理构造出关于焦半径之积的方程，属于常考题型.15.已知P 是椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上异于点A(−a,0)，B(a,0)的一点，E 的离心率为√32，则直线AP 与BP 的斜率之积为__________．【解析】设P (x 0,y 0)，有x 02a 2+y 02b 2=1，且c a =√32，得b a =12，k AP k BP =y 0x+a ⋅y 0x−a=y 02x 02−a 2=y 02(1−y 02b 2)a 2−a 2=−14．点睛：本题考查椭圆的几何性质．由离心率，得到a,b,c 的比例关系．本题中由题意可知，题目由点P 的位置决定，所以设P (x 0,y 0)，得到斜率关系k AP k BP =y 0x 0+a ⋅y 0x0−a=y 02x02−a 2=y 02(1−y 02b 2)a 2−a 2=−14，为定值．三、解答题(共 34 分)16.已知点A(0,−2)，椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为2，O为坐标原点．（1）求E的方程；（2）设过点P(0，√3)且斜率为k的直线l与椭圆E交于不同的两M、N，且|MN|=8√27，求k的值.【详解】解：（1）由离心率e=ca =√22，则a=√2c，直线AF的斜率k=0−(−2)c−0=2，则c＝1，a=√2，b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆E的方程为x 22+y2=1；（2）设直线l：y＝kx﹣√3，设M（x1，y1），N（x2，y2），则{y=kx−√3x22+y2=1，整理得：（1+2k2）x2﹣4√3kx+4＝0，△＝（﹣4√3k）2﹣4×4×（1+2k2）＞0，即k2＞1，∴x1+x2=4√3k1+2k2，x1x2=41+2k2，∴|MN|=√1+k2|x1−x2|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2=4√(1+k2)(k2−1)1+2k2=8√27，即17k4−32k2−57=0,解得：k2=3或−1917（舍去）∴k＝±√3，【点睛】考查直线与椭圆的位置关系，椭圆的求法，弦长的计算，考查转化思想以及计算能力．17.设O为坐标原点，动点M在椭圆E:x 24+y22=1上，过点M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =√2NM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ .(1)求点P的轨迹方程；(2)设A(1,0)，在x轴上是否存在一定点B，使|BP|=2|AP|总成立？若存在，求出B点坐标；若不存在，说明理由.【详解】（1）设P(x,y)，M(x1,y1)，则N(x1,0)∵M 在椭圆E 上 ∴x 124+y 122=1…①由NP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =√2NM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 知：{x =x 1y =√2y 1 ，即：{x 1=x y 1=√22y ，代入①得：x 2+y 2=4即点P 的轨迹方程为：x 2+y 2=4…② （2）假设存在点B (m,0)满足条件，设P (x,y )由|BP |=2|AP |得：√(x −m )2+y 2=2√(x −1)2+y 2 即：3x 2+3y 2+(2m −8)x =m 2−4此方程与(1)中②表示同一方程，故：{2m −8=0m 2−4=12，解得：m =4∴存在点B (4,0)满足条件【点睛】本题考查椭圆的综合应用问题，涉及到动点轨迹的求解、定点问题的求解等知识；求解定点问题的关键是能够通过假设存在的方式，利用已知中的等量关系建立起关于变量的方程，通过求解方程确定变量的取值，从而得到定点是否存在.18.已知点M (2√33,√33)在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，且点M 到C 的左、右焦点的距离之和为2√2.（1）求C 的方程；（2）设O 为坐标原点，若C 的弦AB 的中点在线段OM （不含端点O ，M ）上，求OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围.【详解】（1）由条件知43a 2+13b 2=1，2a =2√2，所以a =√2，b =1， ∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.（2）设点A 、B 的坐标为A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则AB 中点(x 1+x 22,y 1+y 22)在线段OM 上，且k OM =12，∴x 1+x 2=2(y 1+y 2)，又x 122+y 12=1，x 222+y 22=1，两式相减得(x 1−x 2)(x 1+x 2)2+(y 1−y 2)(y 1+y 2)=0，易知x 1−x 2≠0，y 1+y 2≠0，所以y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x22(y 1+y 2)=−1，即k AB =−1. 设AB 方程为y =−x +m ，代入x 22+y 2=1并整理得3x 2−4mx +2m 2−2=0.由Δ=8(3−m 2)>0解得m 2<3，又由x 1+x 22=2m 3∈√3)，∴0<m <√3.由韦达定理得x 1+x 2=4m 3，x 1x 2=2(m 2−1)3，故OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(−x 1+m )(−x 2+m ) =2x 1x 2−m (x 1+x 2)+m 2=4(m 2−1)3−4m 23+m 2 =m 2−43.而0<m <√3，所以OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围是(−43,53). 【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查点差法，考查向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题.19.已知Q 为圆x 2+y 2=1上一动点，Q 在x 轴，y 轴上的射影分别为点A ，B ，动点P 满足BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，记动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过点(0,−35)的直线与曲线C 交于M ，N 两点，判断以MN 为直径的圆是否过定点？求出定点的坐标；若不是，请说明理由.【详解】（1）设Q(x 0,y 0)，P (x,y)，则x 02+y 02=1，由BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，可得{x 0=x2y 0=−y，代入x 02+y 02=1，得x 24+y 2=1，故曲线C 的方程为x 24+y 2=1； （2）假设存在满足条件的定点，由对称性可知该定点必在y 轴上，设定点为H(0,m)， 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx −35，联立{y =kx −35x 24+y 2=1得(1+4k 2)x 2−245kx −6425=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=24k5(1+4k 2)，x 1x 2=−6425(1+4k 2)，所以y 1+y 2=k(x 1+x 2)−65=−65(1+4k 2)，y 1y 2=(kx 1−35)(kx 2−35)=k 2x 1x 2−35k(x 1+x 2)+925=9−100k 225(1+4k 2)， 因为HM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 1,y 1−m)，HN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 2,y 2−m)，所以HM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅HN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =x 1x 2+y 1y 2−m(y 1+y 2)+m 2=100(m 2−1)k 2+25m 2+30m−5525(1+4k 2)=0，对任意的k 恒成立，所以{100(m 2−1)=025m 2+30m −55=0 ，解得m =1，即定点为H(0,1)， 当直线l 的斜率不存在时，以MN 为直径的圆也过点(0,1)， 故以MN 为直径的圆过定点(0,1).【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．20.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，直线bx −y +√2a =0经过椭圆C 的左焦点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线bx −y +4=0与y 轴交于点P ，A 、B 是椭圆C 上的两个动点，且它们在y 轴的两侧，∠APB的平分线在y 轴上，|PA |≠|PB ||，则直线AB 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【详解】（1）在直线方程bx −y +√2a =0中令y =0，则x =−√2ab ，故c =√2ab ，又c a=√22，故b =2，所以a =4，所以椭圆标准方程为：x 28+y 24=1.（2）因为A 、B 在在y 轴的两侧，故AB 的斜率必存在， 设AB 的方程为y =kx +b ，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 因为P 在y 轴上且P 在直线2x −y +4=0，故P (0,4). 因为∠APB 的平分线在y 轴上，所以y 1−4x 1+y 2−4x 2=0，而y 1=kx 1+b,y 2=kx 2+b ，代入整理得到：2kx 1x 2+(b −4)(x 1+x 2)=0. 由{y =kx +b x 2+2y 2=8可得(1+2k 2)x 2+4kbx +2b 2−8=0，所以x1+x2=−4kb1+2k2,x1x2=2b2−81+2k2，所以2k×2b 2−81+2k2+(b−4)(−4kb1+2k2)=0，化简得到k(b−1)=0，所以对任意的k，总有b=1，故直线AB过定点(0,1).【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x或y的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有x1x2,x1+x2或y1y2,y1+y2，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.21.已知椭圆的离心率为√32，椭圆C的长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由试题解析：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得{a=2ca=√32，解得{a=2c=√3，………2分所以b2=a2−c2=4−3=1，故所求椭圆C的方程为．…………..4分（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．理由如下：设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，将直线l的方程代入，并整理，得．（*）………………………………….6分则，．………………………………………8分因为以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，所以OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，即．又,于是，…………….10分解得k =±√112，………………………………..11分经检验知：此时（*）式的Δ＞0，符合题意．所以当k =±√112时，以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ．………………12分考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程22.设曲线E 是焦点在x 轴上的椭圆，两个焦点分别是是F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，M 是曲线上的任意一点，且点M 到两个焦点距离之和为4.（1）求E 的标准方程；（2）设E 的左顶点为D ，若直线l ：y =kx +m 与曲线E 交于两点A ，B （A ，B 不是左右顶点），且满足|DA ⃑⃑⃑⃑⃑ +DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|DA ⃑⃑⃑⃑⃑ −DB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标. 【详解】（1）设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， 由题意{2a =42c =2 ，即{a =2c =1，∴b =√a 2−c 2=√3， ∴椭圆E 的方程是x 24+y 23=1.（2）由（1）可知D (−2,0)，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，联立{y =kx +m x 24+y 23=1 ，得(3+4k 2)x 2+8mkx +4(m 2−3)=0，Δ=(8mk)2−4(3+4k 2)(4m 2−12)=16(12k 2−3m 2+9)>0，即3+4k 2−m 2>0，∴x 1+x 2=−8mk 3+4k 2，x 1x 2=4(m 2−3)3+4k 2，又y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=k 2x 1x 2+mk (x 1+x 2)+m 2 =3m 2−12k 23+4k 2，∵|DA ⃑⃑⃑⃑⃑ +DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|DA ⃑⃑⃑⃑⃑ −DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |，∴DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，即DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅DB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0， 即(x 1+2,y 1)⋅(x 2+2,y 2)=x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+y 1y 2=0， ∴4m 2−123+4k 2+2×−8mk 3+4k 2+4+3m 2−12k 23+4k 2=0，∴7m 2−16mk +4k 2=0， 解得m 1=2k ，m 2=27k ，且均满足即3+4k 2−m 2>0，当m 1=2k 时，l 的方程为y =kx +2k =k (x +2)，直线恒过(−2,0)，与已知矛盾；当m 2=27k ，l 的方程为y =kx +27k =k (x +27)，直线恒过(−27,0).【点睛】考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆相交问题、椭圆中直线过定点问题．对直线与椭圆相交问题，一般设交点为A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由直线方程与椭圆方程联立消元用韦达定理得x 1+x 2,x 1x 2，再把这个结论代入题中另一条件可得参数k,m 的关系，求得定点．23.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,M 为椭圆上一动点，当ΔMF 1F 2的面积最大时，其内切圆半径为b 3，设过点F 2的直线l 被椭圆C 截得线段RS ,当l ⊥x 轴时，|RS |=3.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 为椭圆C 的左顶点，P,Q 是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线AP,AQ 的斜率分别为k 1,k 2，若k 1k 2=−14，试问直线PQ 是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【详解】解：（1）由题意及三角形内切圆的性质可得12⋅2c ⋅b =12(2a +2c)⋅b 3，得c a =12① 将x =c 代入x 2a 2+y 2b 2=1，结合a 2=b 2+c 2②，得y =±b 2a ，所以2b 2a =3③，由①②③得a =2,b =√3故椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1（2）设点P,Q 的坐标分别为（x 1,y 1），（x 2,y 2）.①当直线PQ 的斜率不存在时，由题意得P （1，32），Q （1，−32）或P （1，−32），Q （1，32）， 直线PQ 的方程为x =1②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx+m，联立得{x24+y23=1y=kx+m，消去y得（4k2+3）x2+8kmx+4m2−12=0，由Δ=64k2m2−4(4k2+3)(4m2−12)=48(4k2−m2+3)>0，得4k2+3>m2x1+x2=−8km4k2+3,x1x2=4m2−124k2+3.(1)）由k1k2=y1y2(x1+2)(x2+2)=−14,可得4y1y2+(x1+2)(x2+2)=0，得4(kx1+m)(kx2+m)+(x1+2)(x2+2)=0，整理得(4k2+1)x1x2+(4km+2)(x1+x2)+4m2+4=0,(2)由（1）和（2）得m2−km−2k2=0，解得m=2k或m=−k当m=2k时，直线PQ的方程为y=kx+2k，过定点(−2,0)，不合题意；当m=−k时，直线PQ的方程为y=kx−k，过定点(1,0)，综上直线PQ过定点，定点坐标为(1,0).【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合问题以及直线过定点问题，属于综合题．。
椭圆基础练习题及其完整答案
解析几何——椭圆精炼专题一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的．） 1．椭圆63222=+y x 的焦距是（ ）A ．2B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+2．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆 3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ）A ．14822=+x y B ．161022=+x y C ．18422=+x y D ．161022=+y x4．方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ）A ．),0(+∞B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）5． 过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（ ） A ． 22 B ． 2 C ． 2 D ． 16．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为31，长轴长为12，则椭圆方程为（ ） A ．112814422=+y x 或114412822=+y x B ． 14622=+y x C ．1323622=+y x 或1363222=+y x D ． 16422=+y x 或14622=+y x 7． 已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-k y k x 有（ ） A ． 相同的短轴 B ． 相同的焦点 C ． 相同的离心率 D ． 相同的长轴8．椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ）A ．9B ．12C ．10D ．89．椭圆131222=+y x 的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（ ）A ．4倍B ．5倍C ．7倍D ．3倍 10．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ）A ．01223=-+y xB ．01232=-+y xC ．014494=-+y xD ． 014449=-+y x11．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．1012．过点M （－2，0）的直线M 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线M 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（ ）A ．2B ．－2C ．21 D ．－21二、 填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．）13．椭圆2214x y m +=的离心率为12，则m = ． 14．设P 是椭圆2214x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF 的最大值为 ；最小值为 ．15．直线y =x －21被椭圆x 2+4y 2=4截得的弦长为 ．16．已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:22及点=++为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则点M 的轨迹方程为 ． 三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．） 17．已知三角形ABC 的两顶点为(2,0),(2,0)B C -，它的周长为10,求顶点A 轨迹方程． 18．椭圆的一个顶点为A （2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 19．点P 到定点F （2，0）的距离和它到定直线x =8的距离的比为1：2，求点P 的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形． 20．中心在原点，一焦点为F 1（0，52）的椭圆被直线y =3x －2截得的弦的中点横坐标是21，求此椭圆的方程．21.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程 22．椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点． （1）求2211ba +的值； （2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围．椭圆练习题参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A CDDABD13、3或316 14、 4 ， 1 15、5382 16、121425422=+y x 17、3)(x 15922±≠=+y x 18、解：（1）当A (2,0)为长轴端点时，a =2 , b =1，椭圆的标准方程为： ；（2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为： ；19．解：设P （x ，y ），根据题意，|PF|=(x-2)2-y 2,d=|x-8|,因为|PF|d =12 ,所以 (x-2)2-y 2 |x-8| = 12.化简，得3x 2+4y 2=48,整理，得x 216 +y 212=1,所以，点P 的轨迹是椭圆。
(完整word版)椭圆基础训练题及答案
椭圆基础训练题姓名____________分数______________一、选择题1 ．方程my x ++16m -2522=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 （ ）A ．-16<m<25B ．-16<m<29 C ．29<m<25 D ．m>29 2 ．已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 （ ） A ．2B ．3C ．5D ．73 ．椭圆2241x y +=的焦距是（ ）AB ．1C D ．24 ．对于椭圆22525922=+y x ，下列说法正确的是（ ）A ．焦点坐标是()40±，B ．长轴长是5C ．准线方程是425±=y D ．离心率是545 ．椭圆2212x y +=的焦距是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．46 ．如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．),0(+∞B ．)2,0(C ．),1(+∞D ．)1,0(7 ．若椭圆221169x y +=上一点P 到它的右焦点是3，那么点P 到左焦点的距离是 （ ）A ．5B ．1C ．15D ．88 ．设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于 （ ） A ．4B ．5C ．8D ．109 ．已知F 1、F 2是椭圆192522=+y x 的两个焦点，AB 是过F 2的弦，则△ABF 1 的周长等于 （ ） A ．100B ．50C ．20D ．1010．椭圆4x 2+2y 2=1的准线方程是（ ）A ．x=±1B ．x=±21 C ．y=±1D ．y=±21 11．已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆一个点的距离为3，则P 点到另一个焦点距离为 （ ） A ．2B ．3C ．5D ．712．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于学科网（ ）A ．12B ．22C ．2D ．32学科网 13．椭圆2216x y m +=的焦距为2，则m 的取值是 （ ）A ．7B ．5C ．5或7D ．1014．椭圆161522=+y x 的两条准线方程是 （ ）A ．2175-=y ,2175=y B ．2175-=x ,2175=x C ．y=－5,y=5 D ．x=－5,x=515．椭圆2214x y +=的长轴长为 （ ）A ．16B ．2C ．8D ．416．若椭圆x a 22＋y b22=1的两焦点F 1、F 2三等分它两准线间的距离，则此椭圆的离心率为 （ ）A ．3B ．33C ．63D ．以上均不对17．若椭圆x y b 222161+=过点()-23，，则其焦距为 （ ）A ．23B ．25C ．43D ．4518．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为,21它的长轴等于圆0152:22=--+x y x C 的半径，则椭圆的标准方程为 （ ）A ．13422=+y xB ．1121622=+y xC ．1422=+y x D ．141622=+y x 19．若椭圆两准线间的距离是焦距的4倍，则该椭圆的离心率为（ ）A ．21. B ．31.C ．33. D ．41. 20．若椭圆116222=+b y x 过点(-2,3),则其焦距为 （ ）A ．25B ．23C ．45D ．4321．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+my x 的离心率为21，则m= （ ）A ．3B ．23C ．38D ．32 22．椭圆(1－m )x 2－my 2=1的长轴长是（ ）A ．mm--112B ．mm--2 C ．mm2 D ．mm--1123．椭圆的两个焦点和中心将两准线间的距离四等分，则一焦点与短轴两端点连线的夹角等于（ ）A ．4πB ．3π C ．2π D ．π3224．若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m+=的离心率为12, 则m 等于 （ ）A B ．32 C ．83D ．2325．椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的 （ ）A ．3倍B ．2倍C ．2倍D ．32倍26．离心率35=e ，一条准线为x=3的椭圆的标准方程是 （ ）A ．2291520x y += B ．1520922=+y x C ．14522=+y x D ．15422=+y x 27．椭圆191622=+y x 的焦点坐标为 （ ）A ．（0，5）和（0，—5）B ．（5，0）和（—5，0）C ．（0，7）和（0，—7）D ．（7，0）和（—7，0）28．从椭圆短轴的一个端点看两焦点的视角是1200,则这个椭圆的离心率e=（ ）A ．23B ．21 C ．33 D ．3129．椭圆16y 9x 22+=1上的一点M 到一条准线的距离与M 到相应焦点的距离之比为 （ ） A ．74)D (47)C (45)B (54 30．如果椭圆221169x y +=上一点P 到它的右焦点是3，那么点P 到左焦点的距离为 （ ） A ．5 B ．1 C ．15 D ．8二、填空题31．中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的3倍，且过点)0,3(P 的椭圆方程为_____．32．椭圆1162522=+y x 上一点P 到左焦点F 的距离为6，则P 点到左准线的距离为 33．设椭圆14522=+y x 的两个焦点分别为F 1和F 2，短轴的一个端点为B ，则△BF 1F 2的周长是____。
(完整版)椭圆基础练习题
椭圆的定义与标准方程一．选择题（共19小题）1．若F1（3，0），F2（﹣3，0），点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是（）A．B．C．D．或2．一动圆与圆x2+y2+6x+5=0及圆x2+y2﹣6x﹣91=0都内切，则动圆圆心的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆3．椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（）A．4B．5C．6D．104．已知坐标平面上的两点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P到A、B两点距离之和为常数2，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．线段5．椭圆上一动点P到两焦点距离之和为（）A．10 B．8C．6D．不确定6．已知两点F1（﹣1，0）、F2（1，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是（）A．B．C．D．7．已知F1、F2是椭圆=1的两焦点，经点F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（）A．16 B．11 C．8D．38．设集合A={1，2，3，4，5}，a，b∈A，则方程表示焦点位于y轴上的椭圆（）A．5个B．10个C．20个D．25个9．方程=10，化简的结果是（）A．B．C．D．10．平面内有一长度为2的线段AB和一动点P，若满足|PA|+|PB|=8，则|PA|的取值范围是（）A．[1，4]B．[2，6]C．[3，5]D．[3，6]11．设定点F1（0，﹣3），F2（0，3），满足条件|PF1|+|PF2|=6，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．椭圆或线段或不存在D．不存在12．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A．（x≠0）B．（x≠0）C．（x≠0）D．（x≠0）13．已知P是椭圆上的一点，则P到一条准线的距离与P到相应焦点的距离之比为（）A．B．C．D．14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆”，那么（）A．甲是乙成立的充分不必要条件B．甲是乙成立的必要不充分条件C．甲是乙成立的充要条件D．甲是乙成立的非充分非必要条件15．如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4 B．C．D．16．“mn＞0”是“mx2+ny2=mn为椭圆”的（）条件．A．必要不充分B．充分不必要C．充要D．既不充分又不必要17．已知动点P（x、y）满足10=|3x+4y+2|，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．无法确定18．已知A（﹣1，0），B（1，0），若点C（x，y）满足=（）A．6B．4C．2D．与x，y取值有关19．在椭圆中，F1，F2分别是其左右焦点，若|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）20．方程+=1表示椭圆，则k的取值范围是_________．21．已知A（﹣1，0），B（1，0），点C（x，y）满足：，则|AC|+|BC|=_________．22．设P是椭圆上的点．若F1、F2是椭圆的两个焦点，则PF1+PF2=_________．23．若k∈Z，则椭圆的离心率是_________．24．P为椭圆=1上一点，M、N分别是圆（x+3）2+y2=4和（x﹣3）2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的取值范围是_________．25．在椭圆+=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标是_________．26．已知⊙Q：（x﹣1）2+y2=16，动⊙M过定点P（﹣1，0）且与⊙Q相切，则M点的轨迹方程是：_________．参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．若F1（3，0），F2（﹣3，0），点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是（）A．B．C．D．或解答：解：设点P的坐标为（x，y），∵|PF1|+|PF2|=10＞|F1F2|=6，∴点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，其中，故点M的轨迹方程为，故选A．2．一动圆与圆x2+y2+6x+5=0及圆x2+y2﹣6x﹣91=0都内切，则动圆圆心的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆解答：解：x2+y2+6x+5=0配方得：（x+3）2+y2=4；x2+y2﹣6x﹣91=0配方得：（x﹣3）2+y2=100；设动圆的半径为r，动圆圆心为P（x，y），因为动圆与圆A：x2+y2+6x+5=0及圆B：x2+y2﹣6x﹣91=0都内切，则PA=r﹣2，PB=10﹣r．∴PA+PB=8＞AB=6因此点的轨迹是焦点为A、B，中心在（0，0）的椭圆．故选A．3．椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（）A．4B．5C．6D．10解答：解：∵，∴a=5，由于点P到一个焦点的距离为5，由椭圆的定义知，P到另一个焦点的距离为2a﹣5=5．故选B．4．已知坐标平面上的两点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P到A、B两点距离之和为常数2，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．线段解答：解：由题意可得：A（﹣1，0）、B（1，0）两点之间的距离为2，又因为动点P到A、B两点距离之和为常数2，所以|AB|=|AP|+|AP|，即动点P在线段AB上运动，所以动点P的轨迹是线段．故选D．5．椭圆上一动点P到两焦点距离之和为（）A．10 B．8C．6D．不确定解答：解：根据椭圆的定义，可知动点P到两焦点距离之和为2a=8，故选B．6．已知两点F1（﹣1，0）、F2（1，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是（）A．B．C．D．解解：∵F1（﹣1，0）、F2（1，0），∴|F1F2|=2，∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|=4，∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，∵2a=4，a=2c=1∴b2=3，∴椭圆的方程是故选C．7．已知F1、F2是椭圆=1的两焦点，经点F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（）A．16 B．11 C．8D．3解答：解：∵直线交椭圆于点A、B，∴由椭圆的定义可知：|AF1|+|BF1|+|AB|=4a，∴|AF1|+|BF1|=16﹣5=11，故选B8．设集合A={1，2，3，4，5}，a，b∈A，则方程表示焦点位于y轴上的椭圆（）A．5个B．10个C．20个D．25个解答：解：焦点位于y轴上的椭圆则，a＜b，当b=2时，a=1；当b=3时，a=1，2；当b=4时，a=1，2，3；当b=5时，a=1，2，3，4；共10个故选B．9．方程=10，化简的结果是（）A．B．C．D．解答：解：根据两点间的距离公式可得：表示点P（x，y）与点F1（2，0）的距离，表示点P（x，y）与点F2（﹣2，0）的距离，所以原等式化简为|PF1|+|PF2|=10，因为|F1F2|=2＜10，所以由椭圆的定义可得：点P的轨迹是椭圆，并且a=5，c=2，所以b2=21．所以椭圆的方程为：．故选D．10．平面内有一长度为2的线段AB和一动点P，若满足|PA|+|PB|=8，则|PA|的取值范围是（）A．[1，4]B．[2，6]C．[3，5]D．[3，6]解答：解：动点P的轨迹是以A，B为左，右焦点，定长2a=8的椭圆∵2c=2，∴c=1，∴2a=8，∴a=4∵P为椭圆长轴端点时，|PA|分别取最大，最小值∴|PA|≥a﹣c=4﹣1=3，|PA|≤a+c=4+1=5∴|PA|的取值范围是：3≤|PA|≤5故选C．11．设定点F1（0，﹣3），F2（0，3），满足条件|PF1|+|PF2|=6，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．椭圆或线段或不存在D．不存在解答：解：由题意可得：动点P满足条件|PF1|+|PF2|=6，又因为|F1F2|=6，所以点P的轨迹是线段F1F2．故选B．12．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A．（x≠0）B．（x≠0）C．（x≠0）D．（x≠0）解答：解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12，∵12＞8∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a=6，c=4∴b2=20，∴椭圆的方程是故选B．13．已知P是椭圆上的一点，则P到一条准线的距离与P到相应焦点的距离之比为（）A．B．C．D．解答：解：根据椭圆方程可知a=4，b=3，c==∴e==由椭圆的定义可知P到焦点的距离与P到一条准线的距离之比为离心率故P到一条准线的距离与P到相应焦点的距离之比为=故选D．14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆”，那么（）A．甲是乙成立的充分不必要条件B．甲是乙成立的必要不充分条件C．甲是乙成立的充要条件D．甲是乙成立的非充分非必要条件解答：解：命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆∵当一个动点到两个顶点距离之和等于定值时，再加上这个和大于两个定点之间的距离，可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出，而点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆，一定能够推出|PA|+|PB|是定值，∴甲是乙成立的必要不充分条件故选B．15．如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4 B．C．D．解答：解：由题意可得：方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以4﹣m＞0，m﹣3＞0并且m﹣3＞4﹣m，解得：．故选D．16．“mn＞0”是“mx2+ny2=mn为椭圆”的（）条件．A．必要不充分B．充分不必要C．充要D．既不充分又不必要解答：解：当mn＞0时．方程mx2+ny2=mn可化为=1，当n＜0，m＜0时方程不是椭圆的方程，故“mn＞0”是“mx2+ny2=mn为椭圆”的不充分条件；当mx2+ny2=mn为椭圆时，方程可化为=1，则m＞0，n＞0，故mn＞0成立，综合可知“mn＞0”是“mx2+ny2=mn为椭圆”的必要不充分条件．故选A17．已知动点P（x、y）满足10=|3x+4y+2|，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．无法确定解答：解：∵10=|3x+4y+2|，，即，其几何意义为点M（x，y）到定点（1，2）的距离等于到定直线3x+4y+2=0的距离的，由椭圆的定义，点M的轨迹为以（1，2）为焦点，以直线3x+4y+2=0为准线的椭圆，故选A．18．已知A（﹣1，0），B（1，0），若点C（x，y）满足=（）A．6B．4C．2D．与x，y取值有关解答：解：∵点C（x，y）满足，∴两边平方，得4（x﹣1）2+4y2=（x﹣4）2，整理得：3x2+4y2=12．∴点C（x，y）满足的方程可化为：．所以点C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，满足a2=4，b2=3，得c=．因此该椭圆的焦点坐标为A（﹣1，0），B（1，0），根据椭圆的定义，得|AC|+|BC|=2a=4．故选B19．在椭圆中，F1，F2分别是其左右焦点，若|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a，将设|PF1|=2|PF2|代入得，根据椭圆的几何性质，|PF2|≥a﹣c，故，即a≤3c，故，即，又e＜1，故该椭圆离心率的取值范围是．故选B．二．填空题（共7小题）20．方程+=1表示椭圆，则k的取值范围是k＞3．解答：解：方程+=1表示椭圆，则，解可得k＞3，故答案]为k＞3．21．已知A（﹣1，0），B（1，0），点C（x，y）满足：，则|AC|+|BC|=4．解答：解：由条件，可得，即点C（x，y）到点B（1，0）的距离比上到x=4的距离，等于常数，按照椭圆的第二定义，点C（x，y）在以点B为焦点，以直线x=4为准线的椭圆上，故c=1，=，∴a=2，|AC|+|BC|=2a=4，故答案为：4．22．设P是椭圆上的点．若F1、F2是椭圆的两个焦点，则PF1+PF2=10．解答：解：椭圆中a2=25，a=5，2a=10∵P是椭圆上的点，F1、F2是椭圆的两个焦点，∴根据椭圆的定义，PF1+PF2=2a=10故答案为：1023．若k∈Z，则椭圆的离心率是．解答：解：依题意可知解得﹣1＜k＜且k≠1∵k∈Z，∴k=0∴a=，c==，e==故答案为24．P为椭圆=1上一点，M、N分别是圆（x+3）2+y2=4和（x﹣3）2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的取值范围是[7，13]．解答：解：依题意，椭圆的焦点分别是两圆（x+3）2+y2=4和（x﹣3）2+y2=1的圆心，所以（|PM|+|PN|）max=2×5+3=13，（|PM|+|PN|）min=2×5﹣3=7，则|PM|+|PN|的取值范围是[7，13]故答案为：[7，13]．25．在椭圆+=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标是．解：解：由椭圆+=1易得椭圆的左准线方程为：x=，右准线方程为：x=∵P点到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则P点到左准线的距离是它到右准线距离的二倍，即x+=2（﹣x）解得：x=故答案为：26．已知⊙Q：（x﹣1）2+y2=16，动⊙M过定点P（﹣1，0）且与⊙Q相切，则M点的轨迹方程是：=1．解答：解：P（﹣1，0）在⊙Q内，故⊙M与⊙Q内切，记：M（x，y），⊙M的半径是为r，则：|MQ|=4﹣r，又⊙M过点P，∴|MP|=r，∴|MQ|=4﹣|MP|，即|MQ|+|MP|=4，可见M点的轨迹是以P、Q为焦点（c=1）的椭圆，a=2．∴b==∴椭圆方程为：=1故答案为：=1。
(完整版)高二数学椭圆基础训练题
2.2椭圆基础训练题一、选择题（每题5分）1．已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．8 2．已知△ABC 的周长为20，且定点B （0，－4），C （0，4），则顶点A 的轨迹方程是（ ）A ．1203622=+y x （x ≠0）B ．1362022=+y x （x ≠0）C ．120622=+y x （x ≠0）D ．162022=+y x （x ≠0）3．椭圆1162522=+y x 的离心率为（ ）A ．35 B ． 34 C ．45 D ．9254．已知两点)0,1(1-F 、)0,1(F ，且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是（ ）。
A ．191622=+y xB ．1121622=+y xC ．13422=+y xD ．14322=+y x 5．曲线221259x y +=与曲线221(9)259x y k k k+=<--的（ ）（A ）长轴长相等 （B ）短轴长相等 （C ）焦距相等 （D ）离心率相等6．椭圆1162522=+y x 的焦距是（ ） A ．3 B ．6 C ．8 D ．107．若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅u u u r u u u r的最小值为A ．2．12C ．2．1 8．已知椭圆的方程为22194x y +=，则该椭圆的长半轴长为（ ）A ．3B ．2C ．6D ．49．椭圆13422=+y x 的焦点坐标为（ ） A ．)0,1(± B ．)0,2(± C ．)0,2(± D ．)1,0(±10．已知F 1(-1,0),F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点,过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A 、B 两点,且AB 错误!未找到引用源。
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椭圆基础训练题1．已知椭圆长半轴与短半轴之比是5：3，焦距是8，焦点在x 轴上，则此椭圆的标准方程是（ ）（A ）5x 2＋3y 2＝1（B ）25x 2＋9y 2＝1 （C ）3x 2＋5y 2＝1 （D ）9x 2＋25y 2＝12．椭圆5x 2＋4y 2＝1的两条准线间的距离是（ ）（A ）52 （B ）10 （C ）15 （D ）3503．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ）（A ）21（B ）22（C ）23（D ）334．椭圆25x 2＋9y 2＝1上有一点P ，它到右准线的距离是49，那么P 点到左准线的距离是（ ）。
（A ）59（B ）516 （C ）441 （D ）5415．已知椭圆x 2＋2y 2＝m ，则下列与m 无关的是（ ）（A ）焦点坐标 （B ）准线方程 （C ）焦距 （D ）离心率6．椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率是23，则它的长半轴的长是（ ）（A ）1 （B ）1或2 （C ）2 （D ）21或17．椭圆的中心为O ，左焦点为F 1，P 是椭圆上一点，已知△PF 1O 为正三角形，则P 点到右准线的距离与长半轴的长之比是（ ）（A ）3－1 （B ）3－3 （C ）3 （D ）18．若椭圆my 12m 3x 22-+=1的准线平行于y 轴，则m 的取值范围是 。
9．椭圆的长半轴是短半轴的3倍，过左焦点倾斜角为30°的弦长为2则此椭圆的标准方程是 。
10. 椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，又已知直线2x －y －4=0被此椭圆所截得的弦长为354，求此椭圆的方程。
11．证明：椭圆上任意一点到中心的距离的平方与到两焦点距离的乘积之和为一定值。
12. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e =32，长轴长为6，那么椭圆的方程是（ ）。
（A ） 36x 2+20y 2=1 （B ）36x 2+20y 2=1或20x 2+36y 2=1（C ） 9x 2+5y 2=1 （D ）9x 2+5y 2=1或5x 2+9y 2=113. 椭圆25x 2＋16y 2=1的焦点坐标是（ ）。
（A ）(±3, 0) （B ）(±31, 0) （C ）(±203, 0) （D ）(0, ±203)14. 椭圆4x 2＋y 2=4的准线方程是（ ）。
（A ）y =334±x （B ）x =334±y （C ）y =334± （D ）x =334±15. 椭圆22ax ＋22b y =1 (a >b >0)上任意一点到两个焦点的距离分别为d 1,d 2,焦距为2c ，若d 1, 2c , d 2,成等差数列则椭圆的离心率为（ ）。
（A ）12 （B ）22 （C ）32（D ）3416. 曲线25x 2＋9y 2=1与曲线k 25x 2－＋k 9y 2-=1 (k <9)，具有的等量关系是（ ）。
（A ）有相等的长、短轴 （B ）有相等的焦距（C ）有相等的离心率 （D ）一相同的准线17. 椭圆22ax ＋22b y =1的两个焦点F 1, F 2三等分它的两条准线间的距离，那么它的离心率是（ ）。
（A ）32（B ）33（C ）63（D ）6618. P (x , y )是椭圆16x 2＋9y 2=1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线PD ，D 是垂足，M 是PD的中点，则M 的轨迹方程是（ ）。
（A ）4x 2＋9y 2=1 （B ）64x 2＋9y 2=1 （C ）16x 2＋9y 42=1 （D ）16x 2＋36y 2=119. 已知椭圆的准线为x =4，对应的焦点坐标为(2, 0)，离心率为21, 那么这个椭圆的方程为（ ）。
（A ）8x 2＋4y 2=1 （B ）3x 2＋4y 2－8x =0（C ）3x 2－y 2－28x ＋60=0 （D ）2x 2＋2y 2－7x ＋4=020. 椭圆100x 2＋36y 2=1上的一点P 到它的右准线的距离是10，那么P 点到它的左焦点的距离是（ ）。
（A ）14 （B ） 12 （C ）10 （D ）821. 椭圆4x 2＋9y 2=144内有一点P (3, 2)，过P 点的弦恰好以P 为中点，那么这条弦所在的直线方程是（ ）。
（A ）3x －2y －12=0 （B ）2x ＋3y －12=0 （C ）4x ＋9y －144=0 （D ）4x －9y －144=022. 椭圆4x 2＋16y 2=1的长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，焦点坐标是 ，准线方程是 。
23. 已知两点A (－3, 0)与B (3, 0)，若|PA |＋|PB |=10,那么P 点的轨迹方程是 。
24. 椭圆3x 2＋y 2=1上一点P 到两准线的距离之比为2 : 1,那么P 点坐标为 。
25. 已知椭圆2x 2＋y 2=1的两焦点为F 1, F 2,上顶点为B ，那么△F 1BF 2的外接圆方程为 。
26. 椭圆的长、短轴都在坐标轴上，两准线间的距离为5185，焦距为25，则椭圆的方程为 。
27. 椭圆的长、短轴都在坐标轴上，和椭圆14y 9x 22=+共焦点，并经过点P (3, －2)，则椭圆的方程为 。
28. 椭圆的长、短轴都在坐标轴上，经过A (0, 2)与B (21, 3)则椭圆的方程为 。
29. 椭圆的长、短轴都在坐标轴上，焦点间的距离等于长轴和短轴两端点间的距离，且经过点P (23,23), 则椭圆的方程为 。
30. 在椭圆40x 2＋10y 2=1内有一点M (4, －1),使过点M 的弦AB 的中点正好为点M ，求弦AB 所在的直线的方程。
31. 在椭圆25x 2＋16y 2=1上求一点P ，使它到两焦点的距离之积等于短半轴的平方数。
32. 椭圆32x 2+16y 2=1的焦距等于（ ）。
（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）12333. F 是椭圆的一个焦点，BB ′是椭圆的短轴，若△BFB ′是等边三角形，则椭圆的离心率e 等于（ ）。
（A ）41 （B ）21 （C ）22 （D ）2334. 椭圆20x 2＋4y 2=1的两条准线间的距离是（ ）。
（A ）10 （B ）5 （C ）5 （D ）2535. 椭圆22mx ＋22)1m (y =1的焦点在y 轴上，则m 的取值范围是（ ）。
（A ）全体实数 （B ）m <－21且m ≠－1 （C ）m >－21且m ≠0 （D ）m >036. 与椭圆2x 2＋5y 2=1共焦点，且经过点P （23, 1）的椭圆方程是（ ）。
（A ）x 2＋4y 2=1 （B ）2x 2＋8y 52=1 （C ）4x 2＋y 2=1 （D ）4x 2＋7y 2=137. 到定点(7, 0)和定直线x =7716的距离之比为47的动点轨迹方程是（ ）。
（A ）9x 2＋16y 2=1 （B ）16x 2＋9y 2=1 （C ）8x 2＋y 2=1 （D ）x 2＋8y 2=138. 直线y =kx ＋2和椭圆4x 2＋y 2=1有且仅有一个公共点，则k 等于（ ）。
（A ）32（B ）±32（C ）34 （D ）±3439. 过椭圆x 29＋y 2=1的一个焦点且倾角为6π的直线交椭圆于M 、N 两点，则｜MN ｜等于（ ）。
（A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）140. 如果椭圆25x 2＋9y 2=1上有一点P ，它到左准线的距离为2.5，那么P 点到右焦点的距离与到左焦点的距离之比是（ ）。
（A ）3 : 1 （B ）4 : 1 （C ）15 : 2 （D ）5 : 141. 如果椭圆的两个焦点将长轴三等分，那么这个椭圆的两条准线的距离与焦距的比是（ ）。
（A ）4 : 1 （B ）9 : 1 （C ）12 : 1 （D ）18 : 142. 已知椭圆的两个焦点是F 1(－2, 0)和F 2(2, 0)，两条准线间的距离等于13，则此椭圆的方程是 。
43. 方程4x 2＋my 2=1表示焦点在y 轴上的椭圆，且离心率e =23, 则m = 。
44. 椭圆6x 2＋2y 2=1上一点P 到左准线的距离等于2，则P 点到右焦点的距离是 。
45. 已知直线y =x ＋m 与椭圆16x 2＋9y 2=1有两个不同的交点，则m 的取值范围是 。
46. 椭圆22mx ＋22)1m (y －=1的准线平行于x 轴，则m 的取值范围是 。
47. 椭圆8k x 2+＋9y 2=1的离心率e =21, 则k 的值是 。
48. 如果椭圆25x 2＋9y 2=1上一点A 到左焦点的距离是4，那么A 到椭圆两条准线的距离分别是 。
49. 如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x轴上，且a －c =3, 那么椭圆的方程是 。
50. 已知过定点A (4, 0)且平行于y 轴的直线l , 定点F (1, 0), 设动点P (x , y )到定点F 的距离与它到定直线l 的距离之比为1:2，则P 点的轨迹方程是 。
51. 在椭圆20x 2＋56y 2=1上求一点P ，使P 点和两个焦点的连线互相垂直。
52. 直线l 过点M (1, 1), 与椭圆16x 2＋4y 2=1交于P ,Q 两点，已知线段PQ 的中点横坐标为21, 求直线l 的方程。
53. 直线x =3和椭圆x 2+9y 2=45交于M ,N 两点，求过M ,N 两点且与直线x －2y +11=0相切的圆的方程。
54. 短轴长为5，离心率为32的椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为（ ）。
（A ）24 （B ）12 （C ）6 （D ）355. 设A (－2,3)，椭圆3x 2＋4y 2=48的右焦点是F ，点P 在椭圆上移动，当|AP |＋2|PF |取最小值时P 点的坐标是（ ）。
（A ）(0, 23) （B ）(0, －23) （C ）(23, 3) （D ）(－23, 3)。