高中数学人教版必修用二分法求方程的近似解教案(系列一)
4.5.2用二分法求方程的近似解 教案-高一上学期 人教A版(2019)数学必修第一册
《4.5.2用二分法求方程的近似解》教学设计教材内容：函数的零点与方程的解、零点的存在性定理、用二分法求方程的近似解是一个完整的利用函数方法研究和解决问题的过程。
通过本节课的学习不仅可以使学生掌握函数这一工具的具体用法，同时也揭示了解决问题的一般性过程。
这对于提高学生分析问题、解决问题的能力有着极为重要的作用。
教学目标：1.探索用二分法求方程近似解的思路.2.能借助计算工具用二分法求方程近似解.3.通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.4.通过本节内容的学习，使学生体会“逐步逼进”的方法，提升学生数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.教学重点与难点：1、教学重点：利用二分法求方程的近似解；2、教学难点：利用二分法求方程的近似解。
教学过程设计：1.二分法的形成1.1创设情境，引发思考【实际情境】在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的路线，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长的线路大约有200多根电线杆子.如图所示，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，若发现AC段正常，则可断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次若发现BD段正常，则故障在CD段，再到CD中点E来查.每查一次，可以把待查的线段缩减一半.问题1：上述情景中，工人师傅是通过什么方法缩小故障范围的？【预设的答案】取中间、减半等。
问题2：如果把故障可能发生的范围缩小在200 m左右，至多需要爬几次电线杆子？【预设的答案】 6【设计意图】通过实例让学生初步接触二分法，了解二分法的一般步骤，让学生感知“生活处处是数学”。
1.2探究典例，形成概念活动：能否求出方程ln x＋2x－6=0的近似解？【活动预设】让学生自由发言，教师不做判断。
引导学生进一步观察，研探。
【设计意图】为引入二分法及一般步骤做铺垫.一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。
高中数学3.1.2用二分法求方程近似解教学设计新人教A版必修1
《用二分法求方程的近似解》教学设计一．教学目标情感态度和价值观目标：培养探索问题的能力和合作交流的精神，体会数学在实际生活中的应用价值，感受精确与近似的相对统一。
知识与技能目标：能够借助计算器用二分法求方程的近似解，了解二分法是求方程近似解的常用方法，理解二分法的步骤和思想。
过程与方法目标：进一步体会方程和函数的转化思想，在应用二分法求解方程的近似解的过程中，体会算法的思想和“逐步逼近”的思想。
二．教学重点掌握用二分法求给定方程的近似解三．教学难点二分法的概念，精确度的概念，二分法实施步骤中的算法思想四．教学准备（前置作业）五．教学过程精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
高中数学必修1《用二分法求方程的近似解》教案
课题：用二分法求方程的近似解教材：人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书A》必修1一、教学目标：1、知识与技能目标：会用二分法求函数零点或方程根的近似解；知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的数学思想2、过程与方法目标：从猜眼镜价格的实例引入新课，激发学生的学习兴趣；通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索具体函数零点近似值的求法，体会二分法的具体过程和步骤。
3、情感、态度与价值观目标：通过本节课的学习，使学生经历逐渐逼近的思维过程，体验数学发现和创造的历程，体会数学知识与现实世界的联系，感受精确与相似的相对统一。
二、教学重点与难点1、重点：体会“二分法”的基本思想2、难点：对用二分法求函数零点近似解的一般步骤的概括和理解；对精确度要求的理解。
三、教学方法与手段本节课采用“问题教学”模式及“引导——探究”法，充分发挥多媒体的作用，通过创设问题情境，引导学生主动参与学习过程。
（1）、函数的零点：（2）、函数零点的求法：（3）、零点存在性定理：复习不仅是知识的回顾，更重要的是帮助学生构建清晰的知识脉络，以及为后面的学习作好铺垫。
由之前的例1，我们已经知道函数6x=xf在区间（2，3）内有零+x2(-ln)点。
如何找出这个零点？3、设置情境（请一位戴眼镜的同学上讲台，在一张纸上写出他的眼镜的价格，告知学生价格的范围，让学生猜价格。
）游戏：请你模仿李咏主持一下幸运52，请同学们猜一下下面这副眼镜的价格。
思考：如何做才能以最快的速度猜出它的价格？从实际生活提出问题体现数学源于生活，激发学生学习兴趣1、提问：利用我们猜价格的方法，你能否求解方程062ln =-+x x ？如果能求解的话，怎么去解？你能用函数的零点的性质吗？ 问题链的设置，可以更好地引导学生利用猜价格时一分为二的思想解决问题，培养学生勇于探索、合作交流的精神。
2、借助EXCEL ，计算函数62ln )(-+=x x x f 的函数值，引导学生填写事先设置好的表格。
人教版高中数学必修一教案：3.1.2 用二分法求方程的近似解
3.1.2 用二分法求方程的近似解教学设计一、分析教材与学情本节课是新课标教材中新增的内容，要求学生根据具体的函数及其图象，借助计算器用二分法求相应方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系。
它既是本册书中的重点内容之一，又是对函数知识的拓展，同时既体现了函数在解方程中的重要应用，又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想奠定了基础。
学生在学习本节内容的时候可能会对二分法的本质理解不够透彻，对精确度的理解会有困难；另外数值计算较为复杂，对获得给定精确度的近似解增加了难度。
在学习本节内容之前已经学习了“方程的根与函数的零点”，理解了函数图象与方程的根之间的关系，已经具有一定的数形结合思想，为理解函数零点附近的函数值符号提供了直观认识，在此基础上再介绍求函数零点近似值的二分法，并在总结用二分法求函数零点步骤中渗透算法思想，为学生继续学习算法内容埋下伏笔。
同时本节内容也能令学生形成正确的数学观，激发学生的学习兴趣，倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，培养学生自主学习的学习习惯。
二、教学设计思路用二分法求方程的近似解是函数零点性质的应用，它蕴含了数值逼近的思想、算法思想（必修3）以及数形结合思想。
随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用。
新教材有目的、有意识地将算法思想渗透在此，是为了让学生体会算法、逼近等思想方法在解决问题和培养理性思维中的意义和作用。
基于新课程的基本理念和课程目标，结合本节课的教学内容，整理出本节课的教学流程：1运用逼近思想逐步缩小区间，最后找出其近似解让学生体会求近似解的完整过程我认为这样的设计基本上把握了本节课的教学内容和结构体系，能够根据教学要求，从学生的实际出发，创设学生熟悉的教学情境；通过设计富有情趣的教学活动，如设计“八枚金币中仅有一枚较轻，给你一台天平，怎样找出那一枚较合理？为什么？”这样的贴近生活的问题，让每个学生动手、动口、动脑，积极参与数学的学习过程。
人教版数学高一-用二分法求方程的近似解 精品教学设计
3.1.3 用二分法求方程的近似解（一）教学目标1．知识与技能掌握应用二分法求方程近似解的原理与步骤，会用二分法求方程的近似解.2．过程与方法体会通过取区间中点，应用零点存在性定理，逐步缩小零点所属区间的范围，而获得零点的近似值即方程的近似解的过程中理解二分法的基本思想，渗透算法思想.3．情感、态度及价值观在灵活调整算法，在由特殊到一般的认识过程中，养成良好的学习品质和思维品质，享受数学的无穷魅力.（二）教学重点与难点重点：用二分法求方程的近似解；难点：二分法原理的理解（三）教学方法讲授法与合作交流相结合，通过老师恰当合理的讲授，师生之间默切的合作交流，认识二分法、理解二分法的实质，从而能应用二分法研究问题，达到知能有机结合的最优结果.教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题引入课题1问题：一元二次方程可用判别式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根.但对于一般的方程，虽然可用零点存在性定理判定根的存在性，而没有公式. 求根：如何求得方程的根呢？①函数f (x) = ln x + 2x–6在区间(2，3)内有零点.②如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.③通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.④取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈–0.084.因为f(2.5)·f (3)＜0，所以零点在区间(2.5，3)内.师：怎样求方程ln x + 2x– 6 = 0的根.引导：观察图形生：方程的根在(2，3)区间内师：能否用缩小区间的方法逼近方程的根生：应该可用师：我们现用一种常见的数学方法—二分法，共同探究已知方程的根.师生合作，借助计算机探求方程根的近似值.区间中点的值中点函数近似值(2,3) 2.5 –0.084(2.5,3) 2.75 0.512(2.5,2.75) 2.625 0.215(2.5,2.625) 2.5625 0.066由旧到新设疑、析疑导入课题，实例分析了解二分法、进一步师生合作尝试二分法.∈(a，c))；③若f (c)·f (b)＜0，则令a = c(此时零点x0∈(c，b)).（4）判断是否达到精确度ε：即若|a–b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复2~4.应用举例例 1 借助计算器或计算机用二分法求方程2x +3x = 7的近似解(精确度0.1).师生合作应用二分法，遵循二分法的步骤求解，并借助函数图象检验.例1 解：原方程即2x + 3x–7 = 0，令f(x) = 2x + 3x–7，用计算器或计算机作出函数f (x) = 2x + 3x–7的对应值表与图象x0 1 2 3 4f(x)=2x+3x–7 –6 –2 3 10 21x 5 6 7 8f(x)=2x+3x–7 40 75 142 273观察图或表可知f(1)·f(2)＜0，说明这个函数在区间(1，2)内有零点x0.取区间(1，2)的中点x1=1.5，用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)＜0,所以x0∈(1，1.5).再取(1，1.5)的中点x2=1.25，用计算器算得f(1.25)≈–0.87.因为f(1.25)·f(1.5)＜0,所以x0∈(1.25，1.5).同理可得x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375，1.4375)由于|1.375–1.4375| = 0.0625＜0.1，所以，原方程的近似解可取为1.4375.尝试体验二分法，培养应用二分法从而固化基本理论技能巩固练习1．借助计算器或计算机，用二分法求函数f(x) =x3 + 1.1x2 + 0.9x– 1.4在区间(0，1)内的零点学生动手尝试练习，师生借助计算机合作完成求解.1．解：由题设可知f(0)= –1.4＜0，f(1)=1.6＞0，于是f(0)·f(1)＜0，所以，函数f(x)在区间(0，1)内有一个零进一步体验二分法，巩固应用二分法的方法与技巧及注意备选例题例1 用二分法求函数f (x) = x3– 3的一个正实数零点(精确到0.1).【解析】由于f (1) = –2＜0，f (2) = 5＞0，因此可以确定区间[1，2]作为计算的由上表的计算可知区间[1.4375，1.4453125]的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是1.4，所以1.4可作为所求函数的一个正实数零点的近似值.。
高中数学新人教版A版精品教案《用二分法求方程的近似解》1
用二分法求方程的近似解一、教学内容分析本节选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修一》人教A版第三单元第一节第二课，主要是分析函数与方程的关系。
教材分三步来进行：第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应函数的零点的联系。
然后推广为一般方程与相应函数的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图像和性质来研究方程的解，体现方程和函数的关系；第三步，在函数模型的应用过程中，通过函数模型以及模型的求解，更全面的体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系。
本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解。
它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间为依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念。
求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思想，并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法，其关键是逼近的依据。
二、学生学习情况分析同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法。
其中运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”。
三、设计理念本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际——理论——实际应用的过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导——学生探索相结合的教学方法，注重提高学生数学的提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程。
人教版数学高中必修一《用二分法求方程的近似解》教案
1.注重引导学生对问题作出合理、高效的自主探究、合作探究.
2.应该大胆放手让学生去感受每一个知识点的形成过程.
合作探究教学模式
天平称、激光笔、三角板
教学过程
教师活动及主要语言
学生活动
设计意图
情景问题：某个雷电交加的夜晚，医院的医
生正在抢救一个危重病人，忽然电停了.据了解原 因是供电站到医院的某处线路出现了故障.这是一 条 10km 长的线路，每 50 米一根电线杆,假设你是 线路维修工人，如何迅速查出故障所在？
零点的大概范围，得到结果（注意：结果的得到
始终要关注零点的存在性定理）：
函数 有且只有一个零点x0 , x0 (2, 3)
问题 3：你有进一步缩小函数零点的范围的方 认真思考问题 3，
法吗？
通过小组讨论，初
引导学生用处理线路的方法来缩小零点的范围， 要用好课件的动画效果，充分展现把函数零点所 在区间一分为二，使区间的两个端点不断逼近零 点的这一过程，并合理引导学生根据课件的动画 过程自己把二分法的定义归纳出来.
CD 段. 5.再到 CD 中点 E 来看. 6.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩
减一半,算一算，要把故障可能发生的范围缩小到
学生对情景问题 分组讨论，发表个 人意见，形成小组 方案，小组代表发 言，最终形成解决 实际问题的班级 方案. 认真听取老师的 对方案的总结，和 老师一起感受“对 半分”的思想.
呢？
问题 1 的设计遵循 了从易到难的规 律，符合学生的学 习认知规律，学生 很轻松的解决第 一个方程，而通过 第二个方程引起 学生的认知冲突， 激起学生进一步 探究的欲望.
新
引导学生复习旧知识：
观察课件，伴随老
1、函数的零点与相应方程的根的关系？
【教案】用二分法求方程的近似解+教学设计高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
《用二分法求方程的近似解》教学设计教学目标(1)通过对二分法原理的学习和探究，帮助学生形成用函数的观点处理方程问题的意识； (2)通过对二分法基本原理的介绍，探索用二分法求近似解的思路和步骤，体会从特殊到一般的数学思维过程，感悟数学的极限思想.教学重点与难点(1)教学重点：理解二分法的基本原理，用二分法求方程近似解的思路与步骤； (2)教学难点：用二分法求方程近似解的算法，以及对精确度的理解.教学过程环节 教 师 教 学 与 学 生 活 动 设 计 意 图创 设 情 境 渗 透 数 学 思 想游戏环节：猜猜华为音响的价格（学生活动）游戏反思环节（师生活动）问题1：商品价格“600-800”提示有什么作用？问题2：“多了”“少了”的提示在竞猜过程中起了什么作用？问题3：条件“误差不超过10元”,如何理解？ 问题4：怎样快速猜出商品价格？结合现实生活中实例创设情境，以能激发学生兴趣的华为音箱价格竞猜入手导入，激发了学生学习的兴趣，轻松的引入本节课的学习，在热烈的气氛中，让学生不知不觉地进入数学教学的情境中.在游戏反思环节，通过问题串引导学生用二分法的思想将商品价格的范围不断缩小，从而猜测出华为音箱的价格，有效地渗透了数学逼近思想.探究新 知 从实际问题转 入 数 学问题探究新知1（老师活动）生活中有大量近似值的存在，比如食品外包装的净重量；电影《攀登者》中海拔与大气压之间的关系等等，所以我们有必要研究方程的近似解.不管是在现实生活中，还是在科学决策中，都存在着大量取近似值的问题，所以我们有必要研究方程的近似解.同时也使学生感受到数学就在身边，体会到数学的价值，激发他们学习数学的积极性，增强数学情感.探究新知2（师生活动）：问题引导，类比猜商品价格的方式求方程的近似解引入问题：对比两个方程的求解追问1：估算方程lnx +2x −6=0的解的大致范围？追问2：能不能缩小函数f (x )=lnx +2x −6零点的范围学生活动：借助计算器求方程的近似解 （画表格进行计算） 次数 2a b+()2a bf +取a 取b |a -b | 1 2.5 -0.084 2.5 3 0.5 2 2.75 0.512 2.5 2.75 0.25 3 2.625 0.215 2.5 2.625 0.125 42.56250.0662.52.5625 0.063得出：当|a -b |<0.1时，终止计算.从特殊方程出发，对比两个方程，一个方程可以快速求出解, 而另一个方程无法求出准确值，所以我们有必要研究第二个方程的近似解.类比游戏环节，要求方程的近似解，先求方程解的范围，借助函数零点与方程的解的关系，将方程的解转化为函数的零点，再利用零点存在定理，估算函数零点的初始范围.再次类比游戏环节，借助数形结合和逼近的思想，利用二分法不断地去缩小零点的范围.此时主要是学生的活动，借助手中的计算器，利用零点存在定理和二分法原理缩小零点范围.再次类比游戏环节，引入了本节课的难点精确度的概追问3：怎么结束运算？念,为了很好的理解这个概念，借助数轴让学生感受准确值与近似值差的绝对值小于零点所在范围很难实现，进而转化为准确值所在区间的长度小于精确度，从而结束运算.认识新知归纳步骤老师活动：给出二分法的定义二分法：对于在区间[a,b]上连续不断，且满足f(a)∙f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．学生活动：分析定义中的关键词并归纳二分法的步骤二分法及步骤：给定精度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：1．确定零点所在区间[a,b]，验证f(a)∙f(b)<0，给定精度ε；2．求区间(a,b)的中点x1；3．计算f(x1)：若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；若f(a)∙f(x1)<0，则令b=x1（此时零点x0∈(a,x1)）；若f(b)∙f(x1)<0，则令a=x1（此时零点x0∈(x1,b)）；4．判断是否达到精度ε；即若|a−b|<ε，则得到零点零点值a（或b）；否则重复上述步骤.1.通过游戏和求特殊方程近似解的探究，由老师讲解介绍二分法，学生归纳二分法解决问题的一般步骤,让学生从特殊到一般得出求函数零点近似解的的常用方法.2.培养学生提炼方法，归纳概括的能力，并会学以至用，渗透从特殊到一般的数学思想.合作共赢学生活动：合作共赢，巩固新知1.设计求近似解的合作共赢环节，再次强调使用二分法的程序性，体现了从一般到特殊的演绎推理的过程.2.通过学生的讲解，老师了解学生掌握的情况，用学生的思维给学生讲解更通俗易懂，同时也激发了学生学习的兴趣，调动了学生学习的积极性和主动性.应用新知学生活动：应用新知1.利用课堂练习巩固所学的知识内容、数学思想、数学方法以求达到教学目标；2.本环节老师提问，让学生起来回答问题，多给学生自主活动的空间.思想方法总结1.化归与转化的思想；2.函数与方程的思想；3.数形结合的思想：从数到形：方程的解，函数的零点，函数图象与x轴的交点；从形到数：交点的坐标，数轴上的区间，表格数据，二分法的形成;4.逼近的思想；通过问题的呈现式，引导学生归纳总结这堂课所学内容.。
【参考教案2】《用二分法求方程的近似解》(数学人教必修一)
《用二分法求方程的近似解》教材分析本节是人教A版《普通高中标准试验教科书·数学1（必修）》第三章“函数的应用”中第一节“函数与方程”的第二节课内容，是在学习了集合与函数概念、基本初等函数后，研究函数与方程关系的内容。
本节课的教学内容是：结合函数大致图象，能够借助计算器用二分法求出相应方程的近似解，理解二分法的思想及了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
本节内容是新教材中新增的内容。
在初中，学生学习了简单的一元一次方程和一元二次方程等简单方程的求根问题，但是实际问题中，有具体求根公式的方程是很少的。
对于这类方程，我们只能根据根的存在性定理判断根的存在，在利用二分法可以求出方程给定精确度的近似解。
经过本节内容的学习，将使学生更加深入理解函数与方程的数学思想。
教学目标【知识与能力目标】通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，会用二分法求解具体方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用，体会程序化解决问题的思想．【过程与方法】借助计算器求二分法求方程的近似解，让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用，并为下一步学习算法做准备．【情感、态度与价值观】通过探究体验、展示、交流养成良好的学习品质，增强合作意识。
通过体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．教学重难点【教学重点】过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．【教学难点】恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．课前准备多媒体课件、教具等．教学过程一、问题引入实际问题：某个雷电交加的夜晚，医院的医生正在抢救一个危重病人，忽然电停了。
据了解原因是供电站到医院的某处线路出现了故障，维修工，如何迅速查出故障所在? (线路长10km ，每50m 一棵电线杆）如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多。
高中数学 3_1_2 用二分法求方程的近似解教案 新人教版必修1
例 2 借助计算器或计算机用二分法求方程 2x 2x 7 的近似解（精确度为 0.1）
可编辑
精品教案
x
0 12345678
f (x) 2x 2x 7 6
-2 3 10 21 40 75 142 273
引导
因为 f(1)·f(2)<0 所以 f(x)= 2x+3x-7 在
学生
（1，2）内有零点 x0,取（1，2）的中点 x1=1.5， f(1.5)= 0.33，
精品教案
【教学过程】：
设计
一、复习：
意图
1、函数零点：使 f(x)=0 的实数根 x 叫做函数 y=f(x)的零点。
方程 f(x)=0 有实根
函数 y=f(x)的图像与 x 轴有交点
为正、
函数 y=f(x)有零点
余弦
2、零点存在的判定
函数
如果函数 y f (x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
的取 值都 包含 在内
当|a—b|<ε时，区间[a，b]内的任意一个值都是函数零点的近似值.
二、给定精确度 ，用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下：
1、确定区间[a，b]，验证 f(a) f(b)<0，给定精确度ε； 2、求区间（a，b）的中点 c[c= a b ]；
2 3、计算 f(c)；
了! 观众乙:1000! 李咏:低了! 观众丙:1500! 李咏:还是低了!······
利用
问题１:你知道这件商品的价格在什么范围内吗? 答案:1500 至 2000 之间
简谐
问题２:若接下来让你猜的话,你会猜多少价格比较合理呢?
振动 图象
引例 2
引进
高中数学 《用二分法求方程的近似解》教案 新人教A版必修1
《用二分法求方程的近似解》一课的教学设计厦门松柏中学林国伙（一）三维目标一、知识与技能：理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法。
二、过程与方法：让学生能够初步了解逼近思想，极限思想，培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力。
探究与活动，适当借助现代化的计算工具解决问题。
三、情感态度与价值观通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程。
（二）教学重点能够借用计算器，用二分法求相应方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根之间的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识。
（三）教学难点方程近似解所在初始区间的确定在利用二分法求方程的近似解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难。
（四）教学方法游戏导入→推出课题→实践探究→总结提炼→学生感悟（五）教具准备多媒体课件、信息技术工具计算器、电脑Excel和《几何画板》软件等。
（六）教学过程…………………………………………………………………………………………………………一、创设情景，引入新课师：大家看过李咏主持的《幸运52》节目吗？先来看一段录像。
师：同学们，这里是林老师主持的《幸运52》节目现场，下面进行商品价格竞猜。
（师手拿一款手机）生1：（猜师手中一款手机的价格）。
师：你猜这件商品的价格，是如何想？生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔十元降低报价。
生2：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；……师：是按照生1那样每隔10米，还是按照生3那样来检测呢？生：（齐答）按照生3那样来检测。
师：生2的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下（展示多媒体课件，区间逼近法）。
上述动态过程，每次都将所给区间一分为二，进行比较后得到新的区间，再一分为二，如此下去，逐步逼近商品的价格。
这种思想就是二分法。
人教版数学高中必修一《用二分法求方程的近似解》教案
3.1.2用二分法求方程的近似解[学习目标] 1.能用二分法求出方程的近似解.2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想.知识点一二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.思考所有的函数都可以用二分法求零点吗？答用二分法求出的零点一般是零点的近似值，但并不是所有函数都可以用二分法求零点，必须是满足在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数f(x)才能用二分法求零点的近似值. 知识点二用二分法求方程近似解的步骤给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)；①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c)).③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b)).(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4).题型一二分法概念的理解例1下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()答案 A解析按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点.故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解.故选A.反思与感悟判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合.跟踪训练1下列函数中，能用二分法求零点的为()答案 B解析函数图象连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图象，只有B选项符合.题型二用二分法求方程的近似解例2(1)根据下表，用二分法求函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1,2)上的零点的近似值(精确度0.1)是________.解析由表中数据知f(1.5)·f(2)<0，f(1.5)·f(1.562 5)<0，所以函数零点在区间(1.5,1.562 5)上，又因为|1.562 5－1.5|＝0.062 5<0.1，所以函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1,2)上的零点的近似值可以取1.5.故填1.5.(2)用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1).解令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解.取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解.如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.反思与感悟利用二分法求方程近似解的步骤：(1)构造函数，利用图象确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z；(2)利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间M；(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点.跟踪训练2用二分法求2x＋x＝4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2).参考数据：解令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4＜0，f(2)＝22＋2－4＞0.∵|1.375－1.5|＝0.125＜0.2，∴2x＋x＝4在[1,2]内的近似解可取为1.375.忽视给定区间造成失误例3函数f(x)＝2x2＋4x－6在区间[－1,2]上零点的个数是()A.0B.1C.2D.3错解由f(x)＝2x2＋4x－6＝0，得2(x＋3)(x－1)＝0，解得x1＝－3，x2＝1.故f(x)有两个零点，所以答案为C.正解前同错解得x1＝－3，x2＝1.因为－3∉[－1,2]，1∈[－1,2]，所以f(x)在[－1,2]上只有一个零点，故选B.纠错心得 求方程的解要注意给定区间，在解题时审题要细，看清条件很关键.忽视二次项系数为零致误例4 已知函数f (x )＝2(m －1)x 2－4mx ＋2m －1，若f (x )的图象与x 轴只有一个交点，求m 值. 错解 ∵f (x )的图象与x 轴只有一个交点，∴Δ＝0，即16m 2－8(m －1)(2m －1)＝0，解得m ＝13.∴当m ＝13时，f (x )的图象与x 轴只有一个交点.正解 当m －1＝0，即m ＝1时，f (x )＝－4x ＋1， 满足函数图象与x 轴只有一个交点.当m －1≠0，即m ≠1时，函数图象与x 轴只有一个交点等价于方程2(m －1)x 2－4mx ＋2m －1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝16m 2－8(m －1)(2m －1)＝0，解得m ＝13.所以当m ＝1或m ＝13时，f (x )的图象与x 轴只有一个交点.纠错心得 当二次项系数含有字母参数时，不可忽视二次项系数为零的情形.跟踪训练3 已知方程mx 2－x －1＝0在区间(0,1)内恰有一解，则实数m 的取值范围是________. 答案 (2，＋∞)解析 设f (x )＝mx 2－x －1，因为方程mx 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一解， 所以当m ＝0时，方程－x －1＝0在(0,1)内无解， 当m ≠0时，由f (0)f (1)<0，即－(m －1－1)<0，解得m >2.1.下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的近似值的是( )答案 B2.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数f(x)一定存在零点的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3，＋∞)答案 B3.用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()A.[－2,1]B.[－1,0]C.[0,1]D.[1,2]答案 A解析∵f(－2)＝－3＜0，f(1)＝6＞0，f(－2)·f(1)＜0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算.4.函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的解所在区间为()A.(1.25,1.5)B.(1,1.25)C.(1.5,2)D.不能确定答案 A解析由于f(1.25)·f(1.5)＜0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5).5.用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________.答案(2,2.5)解析f(2)＝23－2×2－5＝－1＜0，f(2.5)＝2.53－2×2.5－5＝5.625＞0，∴下一个有根的区间是(2,2.5).1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.2.并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：(1)在区间[a，b]上连续不断；(2)f(a)·f(b)＜0.上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值.一、选择题1.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()A.x1B.x2C.x3D.x4答案 C解析能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0.而x3两边的函数值都小于零，不符合二分法求零点的条件，故选C.2.用二分法求函数零点的近似值适合于()A.变号零点B.不变号零点C.都适合D.都不适合答案 A3.下列关于二分法的叙述，正确的是()A.用二分法可求所有函数零点的近似值B.用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C.二分法无规律可循，无法在计算机上完成D.只有求函数零点时才用二分法答案 B解析只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错.二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错.求方程的近似解也可以用二分法，故D错.4.为了求函数f(x)＝2x－x2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x和函数值f(x)的部分对应值(f(x)的值精确到0.01)如下表如示：A.(0.6,1.0)B.(1.4,1.8)C.(1.8,2.2)D.(2.6,3.0)答案 C解析 ∵f (1.8)·f (2.2)＝0.24×(－0.25)＜0， ∴零点在区间(1.8,2.2)上.故选C.5.设方程2x ＋2x ＝10的根为β，则β属于( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案 C解析 设f (x )＝2x ＋2x －10，则f (x )在R 上为单调增函数，故只有一个零点.f (0)＝－9，f (1)＝－6，f (2)＝－2，f (3)＝4，∴f (2)·f (3)＜0. ∴β∈(2,3).6.函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x 3＋x 2－A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5 答案 C解析 ∵f (1.437 5)＝0.162，f (1.406 25)＝－0.054， ∴f (1.437 5)·f (1.406 25)＜0，即方程有一个近似解在(1.406 25,1.437 5)内. 又∵方程的解精确到0.1， ∴可取方程近似解为1.4. 二、填空题7.在用二分法求方程f (x )＝0在区间[0,1]上的近似解时，经计算，f (0.625)<0，f (0.75)>0，f (0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1). 答案 0.75解析 0.75－0.687 5＝0.062 5<0.1，又精确度为0.1，故可取近似解为0.75.8.用二分法求方程ln x －2＋x ＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c ＝32，则下一个含根的区间是__________. 答案 ⎝⎛⎭⎫32，2解析 令f (x )＝ln x －2＋x ， ∵f (1)＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0，f ⎝⎛⎭⎫32＝ln 32－12<0， ∴下一个含根的区间是⎝⎛⎭⎫32，2.9.用二分法求方程x 3－8＝0在区间(2,3)内的近似解经过________次“二分”后精确度能达到0.01. 答案 7解析 设n 次“二分”后精确度达到0.01， ∵区间(2,3)的长度为1， ∴12n <0.01，即2n >100. 注意到26＝64<100,27＝128>100. 故要经过7次二分后精确度能达到0.01.10.用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)＜0，f (0.5)＞0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________. 答案 (0,0.5)，f (0.25)解析 二分法要不断地取区间的中点值进行计算. 由f (0)＜0，f (0.5)＞0，知x 0∈(0,0.5).再计算0与0.5的中点0.25的函数值，以判断x 0更准确的位置. 三、解答题11.用二分法求函数f (x )＝x 3－x －1在区间(1,1.5)内的一个零点(精确度为0.1). 解 f (1)＝－1<0，f (1.5)＝278－32－1＝78>0，f (1.25)＝12564－54－1<2－54－1＝－14<0，故零点在(1.25,1.5)内，此时0.25>0.1； f (1.375)>0，所以零点在区间(1.25,1.375)内， 此时0.125>0.1；又f (1.312 5)<0，所以零点在区间(1.312 5,1.375)内，此时0.062 5<0.1， 故f (x )＝x 3－x －1在区间(1,1.5)内的一个零点是x ＝1.312 5. 12.求方程ln x ＋x －3＝0在(2,3)内的近似解(精确度为0.1). 解 令f (x )＝ln x ＋x －3，求函数f (x )＝0在(2,3)内的零点.∵f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3＞0，取(2,3)作为初始区间，用二分法列表如下：∵2.25－2.187 5∴在区间(2.187 5,2.25)内任意实数都是函数的零点的近似值，即方程的近似解可取为2.25.13.求函数y＝2x＋3x－7的近似零点(精确度为0.1).解设f(x)＝2x＋3x－7，根据二分法逐步缩小方程的解所在的区间.经计算，f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，所以函数f(x)＝2x＋3x－7在[1,2]内存在零点，即方程2x＋3x－7＝0在[1,2]内有解.取[1,2]的中点1.5，经计算，f(1.5)≈0.33>0，又f(1)＝－2<0，所以方程2x＋3x－7＝0在[1,1.5]内有解.如此下去，得到方程2x＋3x－7＝0实数解所在的区间，如下表：由表可以看出，区间 1.4，所以1.4是函数y＝2x＋3x－7的近似零点.。
人教A版高中数学必修1《用二分法求方程的近似解》教学设计
人教A版高中数学必修1《用二分法求方程的近似解》教学设计一教材背景本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修1第三章《函数的应用》3.1《函数与方程》中第3.1.2节《用二分法求方程的近似解》，属于本小节的第三课时。
第一课时我们学习了“方程的根与函数零点的关系”，第二课时学习了“函数零点的存在性”，学生通过前面两节的学习，对方程的根的存在性以及函数零点和方程的根的关系有了一定的认识。
掌握了基本初等函数的图象和性质并具有了一定的数形结合的思想，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了直观认识，在此基础上介绍用二分法求函数零点近似值，也就水到渠成。
二分法是求方程近似解的常用方法，在寻求方程近似解的过程中首先将方程解的问题转化为函数的零点问题处理，体现了函数的思想以及函数与方程的联系。
然后借助函数的图象先初步确定函数零点所在的区间，再通过不断地把零点所在区间一分为二逐步缩小区间的范围，使区间的两端点逐步逼近函数的零点，进而得到零点的近似值。
这一过程为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，为数学必修3中算法内容的学习做了铺垫。
二分法体现了数学的逼近思想，对学生以后学习圆周的计算，球的面积体积公式的由来、等微积分的知识起了奠基的作用。
因此决定了它的重要地位。
二内容分析二分法的理论依据是“函数零点的存在性（定理）”，本节课是上节学习内容《方程的根与函数零点》的自然延伸，二分法虽然是刻板的、机械的，有时还需要进行大量的重复计算，但是它包含了深刻的思想方法，对学生今后的数学学习还是非常有用的，在教学中要让学生感受到整体到局部，从特殊到一般，定性到定量，精确到近似，计算到技术，技法到算法这些数学思想的发展过程。
在二分法的教学中，方法的建构，技术的运用、算法的渗透，以及它们的同步发展过程，是这节课的隐形教学目标。
在教学中它体现出一种螺旋式的上升：第一个阶段是从数到形，是为了更好的说明二分法的理论依据（根的存在性）；第二个是从形再到数，其中的形是包括从图像到数轴，再从数轴到表格，在这样的过程中，形的特征不断被深化，最后抽象成了以数为主体的一个算法流程，因此，整个二分法的教学流程要体现在这样一个框架中，它是一个代数的问题，第一次转化是从代数到几何直观，第二次转化就是从整体到局部，去研究函数零点区间。
数学：3.1.2《用二分法求方程的近似解》教案(新人教版必修1)
公开课教案课题：§3.1.2 用二分法求方程的近似解【教学目标】1. 根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相对应方程的近似解；2. 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识. 【教学重难点】教学重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．教学难点：精确度概念的理解，求方程近似解一般步骤的概括和理解 【教学过程】 (一)问题提出如何求所给方程的实数根？ （2）237xx +=（函数有零点、方程有实数根、图像有交点三者的联系）（二）问题探究 1、猜价格游戏 思考：（1）如何才能以最快速度猜出它的价格？（2）利用猜价格的方法，你能否找出237xx +=的实数根？（持续的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点）2、新知借助计算器或计算机，利用二分法求方程237x x +=的近似解.（精确度0.1） 解析：如何进一步有效的缩小根所在的区间。
解：原方程即为0732=-+x x，令732)(-+=x x f x，用计算器或计算机作出对应的表格与图象（见课本90页）则0)1()2(<f f ，说明在区间)2,1(内有零点0x ，取区间)2,1(的中点5.1，用计数器计算得33.0)5.1(≈f ，因为0)5.1()1(<f f ，所以)5.1,1(0∈x .再取区间)5.1,1(的中点25.1，用计数器计算得87.0)25.1(-≈f ，因为0)5.1()1(<f f ，所以)5.1,25.1(0∈x .同理可得)5.1,375.1(0∈x )4375.1,375.1(0∈x 因为1.00625.04375.1375.1<=-，所以方程的近似解可取为.4375.1点评：利用同样的方法能够求方程的近似解。
（三）形成方法对于在区间[,]a b 上图像连续持续且()()f a f b <0的函数()y f x =，通过持续的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).反思：给定精度ε，用二分法求函数()f x 的零点近似值的步骤如何呢？2(1)260x x --=①确定区间[,]a b ，验证()()0f a f b <，给定精度ε； ②求区间(,)a b 的中点1x ；③计算1()f x ： 若1()0f x =，则1x 就是函数的零点； 若1()()0f a f x <，则令1b x =（此时零点01(,)x a x ∈）； 若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）；④判断是否达到精度ε；即若||a b ε-<，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤②~④．注意：研究二分法求方程的近似解问题，首先是通过估算，数形结合借助计算器、计算机等手段来确定一个零点所在的大致区间，区间长度应尽量小，否则会增加运算次数和运算量。
《用二分法求方程的近似解》示范课教案【高中数学】
《用二分法求方程的近似解》教学设计1．探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，渗透极限思想．2．能借助计算工具用二分法求方程近似解．3．通过提炼二分法的一般步骤，使学生经历由特殊到一般的归纳过程，了解二分法求方程近似解具有一般性，让学生感受算法的思想，并提升数学抽象核心素养． 教学重点：用二分法求方程近似解的思路与步骤．教学难点：用二分法求方程近似解的算法．PPT 课件，计算器．（一）整体感知，明确任务引导语：因为大多数方程都没有求根公式，所以这些方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解．而在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解．通过前一节课的学习，我们已经知道，求方程()0f x =的实数解，就是确定函数()y f x =的零点．根据函数零点存在定理并结合函数的单调性等性质，可以确定在某一区间内方程实数解的个数．进一步的问题是，如何求出这些实数解？本节课我们将研究这个问题．设计意图：确定了方程有实数解和解的个数后，自然会思考怎么求出这些实数解．引起学生思考，明确本节课要研究的内容．（二）新知探究1．探索方法，解决问题问题1：我们已经知道，函数()ln 26f x x x =+-在区间(2，3)内存在一个零点，其准确值无法求出，那么如何求出这个零点的近似值呢？师生活动：学生讨论交流，教师引导学生：将零点所在的范围尽量缩小．图1设计意图：学生通过重复相同的步骤，初步体会二分法的具体过程，为提炼二分法的一般步骤作铺垫．另外，通过具体的计算，列表展示函数值的变化趋势，结合图象的变化趋势，数形结合地使学生感受逼近和算法的思想．追问4：根据填好的表格，请你给出函数()ln26f x x x=+-在精确度为0.01的零点的近似值．师生活动：学生回答，教师予以补充完善．预设的答案：因为2.539 062 5 2.531 25.007 812 50.01=-，所以区间(2.531 25，2.5390<062 5)内任意一点都可以作为零点的近似值．为了方便，我们可以把区间的一个端点作为零点的近似值，所以可以将x=2.531 25作为函数()ln26=+-零点的近似值，也即方程f x x x+-=的近似值．x xln260设计意图：通过求具体函数()ln26f x x x=+-的零点在精确度0.01下的近似值，再次明确精确度的含义．在精确度ε限制下的近似值为所在满足精确度要求的区间中的任意值，即近似值有无数个，所以可以任取一个作为近似值．2．提炼方法，规范步骤问题2：像上面这种求函数()ln26f x x x=+-的零点近似值的方法，它的总体思路是什么？这种方法适用于那些函数？师生活动：学生交流后回答，教师予以补充完善．这里要注意的是，虽然我们是通过+-=这个不能用公式求解的方程，探索出了二分法，但并不意味着二分法只适用x xln260于不能用公式求零点的函数．学生可能会在这里产生惯性思维，教师要注意引导．预设的答案：根据精确度的定义，精确度是指近似值x *与其准确值x 的接近程度．近似值x *的误差不超过某个数ε，即*x x ε-<，就说它的精确度是ε．所以当a b ε-<时，零点x 0所在的区间[a ，b ]中任意一个值与x 0的误差都不超过a b -，当然也就不超过ε．所以区间[a ，b ]中任意一个值都是零点x 0满足精确度ε的近似值．设计意图：使学生进一步理解精确度的含义．3．初步应用，深化理解例2 借助信息技术，用二分法求方程237x x +=的近似解（精确度为0.1）．师生活动：先由学生说出解决问题的思路，然后师生共同利用信息技术解答．预设的答案：解：原方程即2370x x +-=，令()237x f x x =+-，用信息技术画出函数()y f x =的图象（图2），并列出它的对应值表（表3）．表3x0 1 2 3 4 5 6 7 8 y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273观察图2或表3，可知()()120f f <，说明该函数在区间(1，2)内存在零点x 0．取区间(1，2)的中点1 1.5x =，用信息技术算得()1.50.33f ≈．因为()()1 1.50f f <，所以x 0∈(1，1.5)． 再取区间(1，1.5)的中点2 1.25x =，用信息技术算得()1.250.87f ≈-．因为()()1.25 1.50f f <，所以x 0∈(1.25，1.5)．同理可得，x 0∈(1.375，1.5)，x 0∈(1.375，1.437 5)．由于11.437 51.02.3 750.650-=<，所以，原方程的近似解可取为1.375．设计意图：通过例题实践利用二分法求函数零点近似值的步骤，学会用二分法求方程的近似解．（三）归纳小结，布置作业图2问题4：回顾本节课中用二分法求函数零点的近似值的一般步骤，你能体会到怎样的数学思想和方法？师生活动：学生讨论交流后回答，教师予以补充．预设的答案：二分法通过不断缩小函数零点所在区间求函数零点的近似值，体现了逐渐逼近的极限思想．在逐渐逼近的过程中，重复相同的步骤，这些相同的步骤可以抽象出来，体现了算法思想．设计意图：回顾本节课所学二分法的一般步骤，让学生体会其中蕴含的数学思想．问题5：通过本节课的学习我们可以看到，用二分法求方程的近似解，计算量较大，而且是重复相同的步骤．因此，可以通过设计一定的计算程序，借助信息技术完成计算．图3就是表示二分法求方程近似解过程的程序框图．有兴趣的同学，可以在此基础上用有关算法语言编写程序，利用信息技术求方程的近似解．图3师生活动：学生课后自行完成．设计意图：拓展学生思路，鼓励学生利用算法语言编程解决求方程近似解的问题．问题6：阅读教科书“阅读与思考—中外历史上的方程求解”，了解方程求解的发展过程是怎样的？二分法对于方程求解的重要性是什么？师生活动：学生课后自行完成．设计意图：让学生进一步了解二分法对于方程求解的重要意义，激发学生学习兴趣，提升学生数学人文素养．作业布置：教科书习题．（四）目标检测设计1．借助信息技术，用二分法求函数()32=++-在区间(0，1)内零点的1.10.9 1.4f x x x x近似值（精确度为0.1）．设计意图：考查用二分法求函数零近似值的能力．2．借助信息技术，用二分法求方程3lg=-在区间(2，3)内的近似解（精确度为0.1）．x x设计意图：考查用用二分法求方程解的近似值的能力．参考答案：1．0.625．2．2.625．。
人教课标版高中数学必修一《用二分法求方程近似解》教案(1)-新版
3.1.2 用二分法求方程的近似解一、教学目标 （一）核心素养本节内容是在学习了集合与函数概念、基本初等函数以及方程的根与函数零点的关系之后，研究函数与方程关系的内容，是高中新增加的内容.二分法是求方程近似解的一种方法，意在培养学生的数学抽象、数学运算、数据处理素养. （二） 学习目标1.从具体方程出发，经历用二分法求方程近似解的过程，初步体会、理解“一分为二”、“逐步逼近”的思想.2.能从具体事例中归纳概括用二分法求方程近似解的步骤，认识算法化的形式表达，初步体会其中蕴含的算法思想.3.能用二分法求解一些方程的近似解，感受方程与函数之间的联系，初步形成用函数观点处理问题.（三）学习重点1. 用二分法求方程近似解，体会逐步逼近和无限的思想;2. 用二分法求方程近似解的操作步骤. （四） 学习难点1. 用二分法求方程近似解的理解，对函数与方程之间的关系的体会；2. 求解过程中较复杂的计算量. （一）课前设计 1． 预习任务（1）读一读：阅读教材第89页探究至91页.（2）想一想：一元二次方程的根如何求解？ 不是一元二次的方程还能用这种方法吗？ （3）试一试：试探索如何求方程x 3-3x +5=0的解. 2．预习自测（1）求方程x 2-2x -4=0的解. 【知识点】函数与方程【解题过程】由一元二次方程求根公式可得：1211x x ==+ 【思路点拨】一元二次方程求根公式.【答案】1211x x ==+.（2）函数y =x 2-5x -6在（0,2）上零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．0D ．不确定 【知识点】零点定理 【数学思想】【解题过程】y =x 2-5x -6=0得错误！未找到引用源。
,故在（0,2）无零点. 【思路点拨】函数零点转化为对应方程的根. 【答案】C（3）函数y =-x 3-3x +5的零点所在区间为（ ）A ．（0,1）B ．（-1,0）C ．（1,2）D ．（2,3） 【知识点】零点定理 【数学思想】【解题过程】令y =-x 3-3x +5=0即x 3=-3x +5，由图像可得其交点在（1,2）之间.xyO【思路点拨】分解为y =x 3与y=-3x +5图像的交点所在区间. 【答案】C 二、教学设计 (二)课堂设计 1． 知识回顾（1）一元二次方程求根方法：△>0时有两个实根，1,2x ==0时有一个实根，2bx a=-；△<0时方程无实根.（2）零点定理：一般地，若函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f (a )f (b )<0,那么函数y =f (x )在区间（a , b ）内有零点，即存在c ∈（a , b ）,使得f (c )=0，这个c 也就是方程f (x )=0的根. 2.问题探究探究一 从具体函数出发，体会二分法求近似解★▲ ●活动① 回顾求一元二次方程根的求法.求下列方程的解:（1）2210x x --=；（2）2440x x -+=.【设计意图】求一元二次方程根的解，回顾求方程的根的方法，为后面做铺垫. ●活动② 发现问题，产生认知冲突. 探究：（1）方程ln 260x x +-=有几个解？（2）你能找出方程ln 260x x +-=的根所在区间吗？ （3）该区间内的任意一个值都可以看作方程的解吗？【设计意图】通过这个非一元二次型方程根的个数起到承前启后的作用.用零点定理可以判断方程根的个数和所在区间，但这个根到底是多少？如何求解？这些问题要解决就要进一步学习、探究.●活动③ 近似程度与精确度，（1）求其精确到0.1的近似值； （2）若要求近似程度即精确度为0.1，它的近似值有哪些？ （3）对于数值x 和精确度ξ，满足条件的x 的近似值有哪些？【设计意图】由具体实数的近似值来理解精确度，同时区别精确度为0.1与精确到0.1. 归纳出对于实数x 和精确度ξ，若a b ξ-<则区间[],a b 内的任意一个实数都可以作为实数x 的近似值.●活动④ 探索用二分法求方程的近似解.小组讨论：已知函数()ln 26f x x x =+-的零点在区间(2,3)上. （1）能将根所在范围缩小吗？缩小在哪个范围？（2）能再缩小吗？在哪个范围内？此方法能不断缩小根所在范围吗？ （3）若要求精确度为0.01,函数零点的近似值在哪个范围？对于在区间[a ,b ]上连续不断且()()0f a f b <的函数()y f x =，通过不断地把函数f (x )的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 【设计意图】让学生探寻不断将零点所在区间缩小最优方法即二分法，将区间一分为二再缩小，不断逼近零点.初步体会二分法的优势，体会不断逼近的思想，初步意识到此问题的步骤是重复操作到满足条件为止即算法思想.探究二 二分法求方程近似解步骤的归纳. ★▲ ●活动① 初步应用二分法求方程近似解.用二分法求方程2370x x ++=的近似解（精确度为0.1）.【设计意图】初步体会、应用二分法求方程近似解，为归纳二分法求近似解的步骤做铺垫. ●活动② 归纳二分法求方程近似解的步骤.由以上两个例子，试用自然语言描述用二分法求方程近似解的步骤. 第一步：求给定区间的中点； 第二步：计算中点的函数值； 第三步：确定零点所在的新区间；第四步：判断是否达到精确度，如果达到，完成；如果没有达到，又回到第二步重复. 【设计意图】通过学生小组探究，先用学生熟悉的自然语言归纳二分法求近似解的步骤，同时建立数学规范，即第一步干什么，第二步干什么等等，初次认识算法书写形式特点. ●活动③ 完善二分法求方程近似解的步骤.给定精确度ξ，用二分法求函数()y f x =零点的近似值. (1)求区间(,)a b 的中点c ； (2)计算f (c )；(3)若()()0f a f c <，则令b c =（此时零点0(,)x a c ∈）； (4)若()()0f b f c <，则令a c =（此时零点0(,)x c b ∈）；(5)判断是否达到精确度ξ：即若a b ξ-<，得到零点近似值a （或b ）,否则回到（1）. 【设计意图】引导学生获得用符号描述的二分法求函数零点近似值的一般步骤. 探究三 初步应用，理解巩固所学. ●活动① 巩固基础，检查反馈.例1．下列图像所表示的函数中，能用二分法求零点的是（ ）A．B．C．D．【知识点】二分法定义．【数学思想】数形结合思想.【解题过程】由二分法定义即可判断．【思路点拨】二分法的定义要求零点左右侧函数值有正负之分.【答案】B．【设计意图】辨析二分法求近似解.）A．B．C．D．【知识点】二分法定义.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】由二分法定义即可.【思路点拨】二分法的定义要求零点左右侧函数值有正负之分.【答案】C．【设计意图】二分法求近似解定义的理解.例2 用二分法求函数()34xf x x=--的一个零点，其参考数据如下：据此数据，可得()34xf x x=--的一个零点的近似值（精确度为0.01）为________。
高中数学用二分法求方程的近似解教案新人教必修1
课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解
教学目标：
知识与技能通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．
过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．
情感、态度、价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．
教学重点：
重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
教学程序与环节设计：
由二分查找及高次多项式方程的求问题引入．
初步应用二分法解
．二分法为什么可以逼近零点的再分析；
．追寻阿贝尔和伽罗瓦．
教学过程与操作设计：。
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3.1.2用二分法求方程的近似解
班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________
课前预习·预习案
温馨寄语
朝霞般美好的理想，在向你们召唤。
你们是一滴一滴的水，全将活跃在祖国的大海里
学习目标
1．根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解.
2．让学生初步了解逼近思想，体会数学逼近过程，感受精度与近似的相对统一.
3．掌握用二分法求函数零点近似值的步骤.
学习重点
通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识
学习难点
恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解
自主学习
1．二分法的定义
(1)满足条件：
①在区间上的图象.
②在区间端点的函数值.
(2)操作过程：
把波函数的零点所在的区间不断地，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点的近似值.
2．二分法的步骤
(1)验证：确定区间，验证，给定精确度.
(2)求中点：求区间的中点.
(3)计算：①若，则就是函数的零点；
②若，则令(此时零点)；
③若，则令(此时零点).
(4)判断：若，则得到零点近似值(或)；否则重复(2)～(4).
预习评价
1．用二分法求如图所示函数的零点时，不可能求出的零点是
A. B. C. D.
2．已知，用二分法求方程的近似解时，在下列哪一个区间内至少有一个解
A.(3，2)
B.(0，1)
C.(2，3)
D.(1，0)
3．用二分法求方程在区间[0，1]上的近似解时，经计算，，，，即得到方程的一个近似解为(精确度为0.1).
知识拓展·探究案
合作探究
1．二分法的定义图中函数在区间上的零点是否可以用二分法求解？
2．二分法的定义用二分法求函数的近似零点，采用什么方法能进一步缩小零点所在的区间？
3．二分法的定义用二分法求函数的零点时，决定二分法步骤结束的条件是什么？
4．用二分法求方程的近似解
如图为函数，的图象，根据图象回答下列问题：
(1)方程的解与函数与的交点坐标有何关系？
(2)用二分法求方程在区间上的近似解的步骤是什么？
教师点拨
1．对二分法定义的两点说明
(1)二分法就是通过不断地将零点所在区间一分为二，逐步逼近零点的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示函数的零点.
(2)二分法是求函数零点的一种常用方法，是“逐步逼近”的数学思想的应用.
2．精确度与计算次数即等分区间次数的关系
精确度是方程近似解的一个重要指标，它由计算次数决定，若初始区间是，那么经
过次取中点后，区间的长度是，只要这个区间的长度小于精确度，那么这个区间内的任意一个值都可以作为方程的近似解，因此计算次数和精确度满足关系，即
，其中只取正整数.
3．用二分法求方程近似解的四个关注点
(1)解的近似性：所得的解一般是近似解.
(2)局限性：只能解决一部分函数的零点问题.
(3)精确度问题：精确度决定二分法的步骤次数.
(4)解的不唯一性：在最终的满足精确度的区间内的任意一个值都是满足要求的近似解，一般取左右端点值.
交流展示
1．下列函数图象与轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是
A.
B.
C.
D.
2．已知的图象是一条连续不断的曲线，且在区间内有唯一零点，用二分法求得一系列含零点的区间，这些区间满足：，若，则的符号为
A.正
B.负
C.非负
D.正、负、零均有可能
3．在用二分法求方程的近似解时，若初始区间是(1，5)，精确度是0.1，则对区间(1，5)至多二等分的次数是 .
4．利用计算器或计算机用二分法求方程的一个正值近似解(精确度0.1).
学习小结
1．二分法的局限性
(1)二分法一次只能求一个零点.
(2)在内有零点时，未必成立，而这样的零点不能用二分法求解.
(3)二分法计算量较大，常要借助计算器完成.
2．利用二分法求函数零点必须满足的两个条件
(1)图象：函数图象在零点附近是连续不断的.
(2)函数值：函数在该点两侧的函数值符号相反.
3．二分法求方程近似解的三个关注点
(1)有根区间的判断原则：每一次取中点后，若中点函数值为零，则这个中点就是方程的解；若中点函数值不等于零，则下一个有根区间是区间端点函数值异号的区间.
(2)知二求一：精确度与计算次数、区间长度之间存在紧密的联系，可以根据其中两个量求得另一个.
(3)列表法：二分法求解过程中，每次取中点求值可以采用列表的方式，使计算步数明确，当区间长度小于精确度时，即为计算的最后一步.
当堂检测
用二分法求方程在(1，2)内近似解的过程中得，，，则方程的根所在的区间为
A.(1.25，1.5)
B.(1，1.25)
C.(1.5，2)
D.不能确定
答案
课前预习·预习案
自主学习
1．(1)①连续不断②f(a)·f(b)＜0
(2)－分为二零点
2．(1)f(a)·f(b)＜0(3)①c②(a，c) ③(c，b) (4)|a－b|＜ε
预习评价
1．C
2．D
3．0.532(答案不唯一)
知识拓展·探究案
合作探究
1．可以.因为该函数y＝f(x)满足二分法求函数零点的两个条件：①f(x)在[a，b]上连续不断；
②f(a)·f(b)＜0.
2．可采用把区间一分为二即取中点的方法逐步缩小零点所在的区间.
3．根据二分法的步骤和题目精确度的要求，若出现f(c)＝0，则步骤结束，否则需要零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度ε时，二分法的步骤结束.
4．(1)方程f(x)＝g(x)的解就是函数y＝f(x)与y＝g(x)图象交点的横坐标.
(2)①构造：令F(x)＝f(x)－g(x)；
②定区间：确定区间[a，b]，使F(a)·F(b)＜0；
③求解：用二分法求F(x)在区间[a，b]上的零点近似值.
交流展示
1．B
2．A
3．6
4．近似解可取为2.437 5.过程略
当堂检测A。