第七章系统函数

H(•) B(•) A(•)
对于连续系统
m
H (s)
B(s) A(s)
bmsm bm1sm1 ... b1s b0 sn an1sn1 ... a1s a0
bm (s j )
j 1
n
(s pi )
i 1
• 对于离散系统
m
H (z)
B(z) A(z)
bm zm bm1z m1 ... b1z b0 zn an1zn1 ... a1z a0
2
二、系统函数与时域响应
• 时域特性能反映响应变化的快慢、上升、下 降时间长短及衰减的程度等。
• 系统的自由响应（P42）的函数（或序列） 形式由A(·)的根确定，亦即由H(·)的极点确 定，而冲击响应或单位序列响应的函数形式 也由H(·)极点确定。
1、连续系统
f1(t) | k1 | et cos(t ) (t)
三、系统函数与频域响应
1、连续因果系统
要求系统函数的极点都在左半开平面
m
bm ( j j )
H ( j) H (s) |s j
j 1 n
( j pi )
i 1
在s平面上，任意复数（常数或变数）都可以用有向线 段表示
jω
Ai
jω
Bj
p×i
θi
o
φj
ζj
零、极点矢量图 σ
• 对于任意极点 pi和零点ζj 令
根据收敛域的定义，H(.)收敛域不能含H(.)的极点。
例3、某离散系统函数为
H(z) z z z 0.5 z 3
（1）若系统为因果系统，求单位序列响应h(k)； （2）若系统为反因果系统，求单位序列响应h(k) ； （3） 若系统为双边序列，求单位序列响应h(k) ；
解： （1）因为系统为因果系统，所以收敛域为|Z|>3;
j pi Aie ji
j
j
B je j j
m
bm ( j j )
H ( j)
j 1 n
( j pi )
i 1
式中Ai、Bj分别是差矢量（ jω-pi)和（ jω- ζj ） 的模， θi、 φj 是它们的辐角。于是，系统函数可以写为：
H ( j)
bm B1B2 Bme j(12 m ) A1 A2 Ane j(12 n )
>0
t ×
f (t) et (t)
×
jω
t
×
t s1,2 j
×
×
σ
t
×
t
m
H (s)
B(s) A(s)
bm (s j
j 1
n
(s pi )
)
i 1
× s1,2 j
×
H(s)的极点与所对应的响应函数
f (t) et (t)
t
2、离散系统
S域与Z域的关系
z esT , s 1 ln z T
T为取样周期
S表示为直角坐标形式 s j,
Z表示为坐极标形式 z e( j)T eT e jT e j
Z eT , T
可见，S平面的左半平面(<0)对应Z平面的圆内(|Z|=<1);在S平面 以虚轴为界，Z平面以|Z|=1的单位圆为界
3. 单位圆外极点 H(z)的极点分布与h(k)的关系
H (s) 2(s 2)
解：零点：＝－2； (s 1)2(s2 1)
极点：p1=p2=-1;p3=j;p4=-j
将零点、极点画在复平面上得到零、极点分布图
极点用“”表示； 零点用“o”表示。
j
（2）
j
-2 -1 本题：由H(s)得到零极点图
-j
• 例2、已知H(s)的零、极点分布图如下图 所示，并且h(0+)=2,求H(s)的表达式。
H ( j) e j()
式中幅频响应：
H ( j ) bm B1B2 Bm
A1 A2 An
相频响应：
( ) (1 2 m ) (1 2 n )
提示：把频率从0（或-）变化到+ ,根据各矢量模和幅角 的变化，就可大致画出幅频响应和相频响应曲线。
例1某线性系统的系统函数的零、极点如图所示, 已知H(0)=1。大致画出系统的幅频特性和相频 特性
所以
h(k) [( 1)k 3k ] (k)
2
H(z) z z z 0.5 z 3
（2）因为系统为反因果系统，所以收敛域为|Z|<1/2;
所以
h(k) [( 1)k 3k ] (k 1)
2
（3）因为系统为双边序列，所以收敛域为 1/2<|Z|<3;
所以
h(k) ( 1)k (k) 3k (k 1)
| H ( j) | 6
| A1A2 |
(1 2 )
j
A2 A1
θ2
θ1
-3 -2 -1 0
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
1 4
0.9
0.8
3
0.7
2
0.6 1
0.5 0
0.4
0.3
-1
0.2
-2
0.1 -3
0
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80 -4
解：极点p1＝-1＋j2;p2=-1-j2
零点＝0
所以
H (s)
(s 1
ks j 2)( s
1
j2)
s2
ks 2s 5
-1
j j2
-j2
根据初值定理，有
h(0 )
lim
s
sH
(s)
lim
s
s2
k Fra Baidu bibliotek2 2s
5
k
2
2s H (s) s2 2s 5 本题：由零极点图得到H(s)
系统函数的收敛域与其极点的关系：
解:(1) 根据零极点图，得
j
H (s)
k
(s 2)(s 3)
-3 -2
0
因为H(0)=1
K=6
H(s)
6
66
(s 2)(s 3) s 2 s 3
因为极点均在左半开平面，所以
H
(
j)
H
(s)
|s
j
(
j
6 2)(
j
3)
6 A1e j1 A2e j2
| H ( jw) | e j
根据上式可分别画出其幅频曲线和相频曲线
第七章 系统函数
本章主要内容：
7.1 系统函数与系统特性 7.2 系统的因果性和稳定性 7.3 信号流图 7 .4系统的结构
§7.1 系统函数与系统特性
主要内容：
一、系统的零点与极点
二、系统函数与时域响应
三、系统函数与频域响应
一、系统的零点与极点
LTI系统的系统函数是复变量s或z的有理分式,它 是s或z的有理多项式B(·) 与A (·) 之比。
bm (z j )
j 1
n
(z pi )
i 1
A(·)=0的根p1，p2，······，pn称为系统函数H(·)的极点； B(·)=0的根ζ 1，ζ 2，······，ζ m称为系统函数H（·）的零点
系统函数与零极点的关系
• 例1、已知系统函数如下所示，请求出系统的 零、极点，并画出其分布图