《空间向量在立体几何中的应用》教学设计

《空间向量在立体几何中的应用》教学设计 一. 教学目标

（一） 知识与技能

1. 理解并会用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值；

2. 理解并会用空间向量解决平行与垂直问题.

（二） 过程与方法

1. 体验用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值的过程；

2. 体验用空间向量解决平行与垂直问题的过程. （三） 情感态度与价值观

1. 通过理解并用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值，用空间向量 解决平行与垂直问题的过程，让学生体会几何问题代数化，领悟解析几何的思想；

2. 培养学生向量的代数运算推理能力；

3. 培养学生理解、运用知识的能力.

二. 教学重、难点

重点：用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值及解决平行与垂直问 题.

难点：用空间向量求二面角的余弦值.

三. 教学方法：情景教学法、启发式教学法、练习法和讲授法. 四. 教学用具：电脑、投影仪. 五. 教学设计

（一） 新课导入

1. 提问学生： （1） 怎样找空间中线线角、线面角和二面角的平面角？ （2） 能否用代数运算来解决平行与垂直问题？ （二） 新课学习

1. 用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值 .

（1）设l 1 ,l 2是两条异面直线，A, B 是11 上的任意两点，C,D 是直线12上的任意

AB ・CD

两点，则11,12所成的角的余弦值为 一: --- :

AB *CD

（2）设AB 是平面〉的斜线，且B : ,BC 是斜线AB 在平面〉内的射影，则

AB *BC

AB ・n

是平面a 的一条斜线，则AB 与平面a 所成的角的余弦值为 —一:

斜线AB 与平面〉所成的角的余弦值为

I 一Tj —i 一7T .设n 是平面 a 的法向量，

AB

AB BC

AB・r

I

I

平面角或补角的余弦值.

例1:在棱长为a 的正方体ABCD —A'B 'C 'D '中，EF 分别是BC,A 'D '的中点,

分析：启发学生找出三条两两垂直的直线 AB,AD,AA ，建立空间直角坐标系

A-xyz ，根据已知找出相关点的坐标，然后写出相关向量的坐标，并进行运算就 可以得到所求的结果.

解：(1)如图建立坐标系，贝U A '(0,0, a),C(a,a,0), D(0, a,0), E(a,a ,0).

2

a .AC = (a, a, -a), DE = (a,

,0).

」 2

15

故AC 与DE 所成的角的余弦值为 一5.

15

(2) T • ADE - ADF ,所以AD 在平面BEDF 内的射影在.EDF 的平分线

上，又B 'EDF 为菱形，.DB '为EDF 的平分线，故直线AD 与平面B 'EDF 所成 的角为• ADB ，建立如图所示坐标系，则A(0,0,0), B '(a,O,a),D(O,a,O)， • DAga,0),D^(ara)，cos 仏京=

故AD 与平面BEDF 所成角的余弦值为〒

(3)设n 1, n 2是二面角:■的面:的法向量，则

—*

—*■

n 1 ■ n 2

就是二面角的

(1) 求直线AC 与DE 所成角的余弦值.

(2) (3)

求直线AD 与平面B 'EDF 所成的角的余弦值.

B

求平面B 'EDF 与平面ABCD 所成的角的余弦值.

AC *DE

15

A 'C DE

D ^*DB- A /3 D A|

n j «n 2

八

z

I

A G

A

E

D

D

C

3 2，

，EA *DC 工一 1

2

,EA

』 a

(3) 由 A(0,0,0), A (0,0, a), B (a,0, a), D(0, a,0), E(a, ,0),所以平面 ABCD 的

2

所以，平面BEDF 与平面ABCD 所成的角的余弦值为 课堂练习:

1. 如图，PA_ 平面 ABC , AC _ BC,PA 二 AC =1,BC 「、,2，求二面角

参考答案:

解：建立如图所示空间直角坐标系 C-xyz ，取PB 的中点D ，连DC,可证

T T

DC — PB ，作AE -PB 于E ，则向量DC 与EA 的夹角的大小为二面角 A - PB - C

的大小。；A(10,0), B(0,、、2,0), C(0,0,0), P(1,0,1)，D 为 PB 的中点,

E

分

PB

的比为1，町:自乩y 送

*

4m •

n

.cos ::: n, m =

_ 6

法向量为m = AA =(0,0,a),下面求平面 B 'EDF

的法向量，设 n = (1,y,z)，由

ED ^-a,|,0)1EB^ (0r | a,；二=°

n * EB = 0

y

花(1,2,1). z= 1

A-PB -C 的余弦值.

Efg)，在 RtPAB 中, PE A P2 1

EB AB 2

3