《空间向量在立体几何中的应用》教学设计
人教版高中选修(B版)2-13.2空间向量在立体几何中的应用课程设计
人教版高中选修(B版)2-13.2空间向量在立体几何中的应用课程设计一、教学目标本节课的教学目标是：1.理解空间向量的概念和性质2.掌握空间向量的表示方法和运算法则3.学会将空间向量应用于解决立体几何问题4.培养学生的空间想象能力和解决问题的能力二、教学内容1.空间向量的概念和性质2.空间向量的表示方法和运算法则3.空间向量在立体几何中的应用三、教学重难点1.空间向量的运算法则和应用2.解决立体几何问题的思路和方法四、教学方法1.课堂讲授法：介绍空间向量的概念和性质，讲解空间向量的表示方法和运算法则。
2.探究性学习法：通过实际问题探究空间向量在立体几何中的应用。
3.组织学生自主学习：通过让学生自己思考和解决问题，培养学生的思维能力和解决问题的能力。
五、教学过程与方法第一步：引入活动1.引导学生回顾上节课的内容：介绍二维向量的概念和运算法则。
2.提出问题：在立体几何中，如何表示和运用三维向量？第二步：学习重难点1.空间向量的表示方法和运算法则：–三维坐标系和三维向量的表示方法；–空间向量的加、减、数乘、点乘、叉乘等运算。
2.空间向量在立体几何中的应用：–直线的垂直平分线和中垂线的向量表示法；–面的法向量的向量表示法；–平面的交角、距离和夹角的向量表示法。
第三步：实践探究1.小组合作：将任意平面和直线的向量表示法用到具体的几何问题中去解决。
2.课堂展示：每个小组展示自己的解决方案，其他小组互相评价并提出建议和改进意见。
第四步：总结检查1.总结空间向量的表示方法和运算法则；2.总结空间向量在立体几何中的应用；3.搜集相关知识点，进行小测验，检查学生是否掌握了本节课的内容。
六、板书设计空间向量的概念和性质空间向量的表示方法：- 三维坐标系表示法- 坐标差表示法空间向量的运算法则：- 加法- 减法- 数乘- 点乘- 叉乘空间向量在立体几何中的应用- 直线的垂直平分线和中垂线的向量表示法- 面的法向量的向量表示法- 平面的交角、距离和夹角的向量表示法七、教学资源1.教学课件；2.相关数学教材参考。
教学单元设计：空间向量与立体几何
教学单元设计：空间向量与立体几何1. 单元概述1.1 单元目标本单元旨在通过空间向量与立体几何的研究，使学生掌握空间向量的基本概念、运算规则及其在立体几何中的应用。
通过本单元的研究，学生应能熟练运用空间向量解决立体几何中的相关问题，提高空间想象能力和解决问题的能力。
1.2 单元内容本单元共包括以下几个主要内容：1. 空间向量的基本概念及表示方法2. 空间向量的线性运算3. 空间向量的数量积与夹角4. 空间向量的坐标运算5. 空间向量在立体几何中的应用2. 教学目标2.1 知识与技能1. 掌握空间向量的基本概念及其表示方法2. 掌握空间向量的线性运算规则3. 掌握空间向量的数量积与夹角计算4. 掌握空间向量的坐标运算方法5. 能够运用空间向量解决立体几何中的相关问题2.2 过程与方法1. 通过实例分析，培养学生的空间想象力2. 运用图形演示和数学证明，提高学生的问题解决能力3. 培养学生运用空间向量解决实际问题的能力2.3 情感态度与价值观1. 培养学生对数学学科的兴趣和热情2. 培养学生克服困难的意志和团队协作精神3. 引导学生认识数学在实际生活中的应用价值3. 教学重点与难点3.1 教学重点1. 空间向量的基本概念及其表示方法2. 空间向量的线性运算规则3. 空间向量的数量积与夹角计算4. 空间向量的坐标运算方法5. 空间向量在立体几何中的应用3.2 教学难点1. 空间向量的数量积与夹角计算2. 空间向量的坐标运算方法3. 空间向量在立体几何中的应用4. 教学策略与方法4.1 教学策略1. 采用问题驱动的教学模式，引导学生主动探究2. 利用图形演示和数学证明，帮助学生直观理解3. 提供丰富的练题，巩固所学知识4. 注重个体差异，因材施教4.2 教学方法1. 讲授法：讲解空间向量的基本概念、运算规则及应用2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用空间向量解决问题3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的团队协作能力4. 练法：提供课后练，巩固所学知识5. 教学评价5.1 评价目标1. 学生对空间向量基本概念的理解程度2. 学生掌握空间向量运算规则的程度3. 学生运用空间向量解决立体几何问题的能力5.2 评价方法1. 课堂问答：检查学生对空间向量基本概念的理解2. 课后作业：检验学生对空间向量运算规则的掌握3. 小组项目：评估学生运用空间向量解决立体几何问题的能力4. 期末考试：全面考核学生在本单元的研究成果6. 教学计划6.1 课时安排本单元共需安排12课时，具体分配如下：1. 空间向量的基本概念及表示方法（2课时）2. 空间向量的线性运算（3课时）3. 空间向量的数量积与夹角（2课时）4. 空间向量的坐标运算（3课时）5. 空间向量在立体几何中的应用（2课时）6.2 教学活动安排1. 第1-2课时：介绍空间向量的基本概念及表示方法2. 第3-5课时：讲解空间向量的线性运算规则3. 第6-7课时：讲解空间向量的数量积与夹角计算4. 第8-10课时：讲解空间向量的坐标运算方法5. 第11-12课时：应用空间向量解决立体几何中的相关问题7. 教学资源1. 教材：选用权威、系统的数学教材，如《高等数学》等2. 辅助教材：提供相关的辅导书、教辅材料，以丰富教学内容3. 网络资源：利用网络平台，提供相关教学视频、课件、题等资源4. 几何画板：利用几何画板软件，直观演示空间向量的运算和立体几何问题8. 教学反思在教学过程中，教师应不断反思教学方法、教学内容和学生研究情况，根据实际情况调整教学策略，以提高教学效果。
人教B版选修2《空间向量在立体几何中的应用》教案及教学反思
人教B版选修2《空间向量在立体几何中的应用》教案及教学反思1. 教学目的本节课是人教B版选修2课程的一部分，主要教授空间向量在立体几何中的应用。
本课程将帮助学生：•深入理解空间向量的概念及其运算法则•掌握将空间向量应用于立体几何中的方法和技巧•发展自己的独立思考能力和解决问题的能力2. 教学内容2.1 知识点本节课的重点知识点为：•空间向量的定义•空间向量的基本运算法则•点、线、面等几何图形在空间向量中的表示方法•空间向量在几何问题中的应用2.2 教学步骤本节课教学步骤如下：第一步：导入教师简单介绍空间向量及其基本运算法则，引发学生对此概念的兴趣。
第二步：概念讲解教师详细讲解空间向量的概念，以及点、线、面等几何图形在空间向量中的表示方法。
为了增强学生的理解，教师可以使用相关的图形和实例进行讲解。
第三步：举例说明教师通过几个实例，向学生展示如何使用空间向量解决立体几何问题。
在示例中，教师应尽可能地让学生自己思考并尝试解决问题，同时指导学生正确的解决方法，让学生深入理解知识点。
第四步：练习安排学生进行一定数量和难度的练习，让学生掌握应用相关知识解决问题的方法和技巧。
第五步：讲解与总结最后，教师应总结本节课的主要内容，并对学生的问题进行讲解和解答。
3. 教学反思本节课的教学方法主要采用“以实例为主，以问题为导向”的方式，让学生能够在探究中理解和掌握知识点。
这种探究式学习的方法能够有效激发学生的主动学习意识和自主学习能力。
在实际教学中，教师应充分发挥学生的主观能动性，让他们能够独立思考和解决问题。
同时，教师还应充分利用技术手段，如音视频、实例演示等方式进行综合教学，探索出适合学生的多元化、个性化的教学方式。
在上述教学步骤中，教师尤其需要注意：•难度掌握：教师在设计实例和练习时，应根据学生的实际情况及能力水平，掌握好难度，以确保学生的接受能力和理解能力•差异处理：同学的学习能力和理解能力会存在差异，教师需要采用差异化教学方法，根据学生的特点进行教学•评估方法：教师应采用多种评估方法，对学生进行全面评价，如通过小组讨论、思维导图、课堂测验等方式，合理衡量学生的学习成果和进步情况总之，人教B版选修2《空间向量在立体几何中的应用》教学，应侧重于实践探究和知识应用，培养学生的独立思考和解决问题的能力，让学生能够掌握并应用相关知识，提高学生的立体几何解题能力，为日后的数学学习打下基础。
空间向量在立体几何中的应用教学设计
空间向量在立体几何中的应用教学设计一、教学目标1.知识目标：了解空间向量的概念和性质，掌握空间向量的基本运算法则。
2.能力目标：能够应用空间向量的知识解决立体几何中的问题，如线段长度、向量共线、线段垂直等。
3.情感目标：培养学生的观察力和分析问题的能力，增强解决问题的自信心。
二、教学重点与难点1.教学重点：空间向量的概念和运算法则。
2.教学难点：将空间向量的知识应用到立体几何问题中。
三、教学准备白板、黑板笔、投影仪、屏幕、计算器等。
四、教学过程Step 1 引入1.教师出示两个立方体模型并提问：你们能用线段表示两个立方体顶点之间的距离吗？2.引出空间向量的概念，并与平面向量进行比较，说明二者的区别。
Step 2 理论讲解1.教师通过投影仪将空间向量的定义、表示和性质呈现给学生，学生做好笔记。
2.教师讲解空间向量的基本运算法则，例如加法、数乘和点乘，并通过具体的例题演示计算过程。
Step 3 实例分析1. 教师出示一道题目：“已知直线l: $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$，过直线l上一点A(2,3,4)，作与直线垂直的平面，并找出平面与原点O(0,0,0)的距离。
”2.请学生先思考如何解决这个问题，然后汇报自己的解题思路。
3.教师引导学生运用空间向量的知识来解答问题，并逐步给予提示。
4.学生进行计算，分组讨论和交流思路。
Step 4 拓展应用1.教师设计一道拓展题：“已知线段AB与线段CD的中点E重合，向量BD的坐标为(1,2,3)，向量CE的坐标为(4,5,6)，求向量AD的坐标。
”2.学生尝试解答，提出自己的解题思路。
3.教师引导学生应用向量共线的性质来解答问题，并逐步给予提示。
4.学生进行计算，分组讨论和交流思路。
Step 5 总结与归纳1.教师引导学生回顾本节课的学习内容，总结空间向量的基本性质和运算法则。
2.学生通过小组合作的方式归纳学习过程中的思考和解题方法。
2021_2022高中数学第三章空间向量与立体几何2立体几何中的向量方法1教案新人教A版选修2_
立体几何中的向量方法【教学目标】1. 向量运算在几何证明与计算中的应用；2. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题。
【导入新课】 复习引入1. 用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本思考方法是：⑴如何把已知的几何条件（如线段、角度等）转化为向量表示； ⑵考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式； ⑶如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？2. 通法分析：利用两个向量的数量积的定义及其性质可以解决哪些问题呢？⑴利用定义a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞或cos ＜a ,b ＞＝a ba b⋅⋅，可求两个向量的数量积或夹角问题；⑵利用性质a ⊥b ⇔a ·b ＝０可以解决线段或直线的垂直问题； ⑶利用性质a ·a ＝｜a ｜2，可以解决线段的长或两点间的距离问题。
新授课阶段例1：已知空间四边形OABC 中，OA BC ⊥，OB AC ⊥．求证：OC AB ⊥。
证明：·OC AB ＝·()OC OB OA - ＝·OC OB －。
∵OA BC ⊥，OB AC ⊥， ∴·0OA BC =，·0OB AC =， ·()0OA OC OB -=，·()0OB OC OA -=． ∴··OA OC OA OB =，··OB OC OB OA =。
∴·OC OB ＝·OC OA ，·OC AB ＝0． ∴OC AB ⊥ 例2：如图，已知线段AB 在平面α内，线段AC α⊥，线段BD ⊥AB ，线段'DD α⊥，'30DBD ∠=，如果AB ＝a ，AC ＝BD ＝b ，求C 、D间的距离。
解：由AC α⊥，可知AC AB ⊥。
由'30DBD ∠=可知，＜,CA BD ＞＝120，∴2||CD ＝2()CA AB BD ++＝2||CA ＋2||AB ＋2||BD ＋2(·CA AB ＋·CA BD ＋·AB BD )＝22222cos120b a b b +++＝22a b +。
空间向量在立体几何中的应用教案(教师使用)
空间向量在立体几何中的应用（一）授课时间：2014年5月11日第7节课 授课班级：高二（9）班 授课教师：高志华教学目标 1、知识与技能(1) 进一步理解向量垂直的充要条件； (2)利用向量法证明线线、线面垂直；(3)利用向量解决立体几何问题,培养学生数形结合的思想方法； 2、过程与方法通过学生对空间几何图形的认识，建立恰当的空间直角坐标系，利用向量的坐标将几何问题代数化，提高学生应用知识的能力。
3、情感态度与价值观通过空间向量在立体几何中的应用，让学生感受数学、体会数学的美感， 从而激发学数学、用数学的热情。
教学重点建立恰当的空间直角坐标系,用向量法证明线线、线面垂直。
教学难点、关键建立恰当的空间直角坐标系,直线的方向向量; 正确写出空间向量的坐标。
教学方法启发式教学、讲练结合 教学媒体ppt 课件学法指导交流指导，渗透指导. 课型 新授课教学过程一、知识的复习与引人 自主学习1.若OP =x i +y j +z k ，那么（x ，y ，z ）叫做向量OP 的坐标，也叫点P 的坐标.2. 如图，已知长方体D C B A ABCD ''''-的边长为AB=2,AD=2,1AA '=．以这个长方体的顶点A 为坐标原点，射线A A AD AB ',,分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，试求长方体各个顶点及A C '中点G 的坐标．3.设a =（x 1，y 1，z 1），b =（x 2，y 2，z 2），那么b a ±=（x 1±x 2，y 1±y 2， ）， a ⊥b ⇔ b a ∙=x 1x 2+y 1y 2+ =0.4.设M 1（x 1，y 1，z 1），M 2（x 2，y 2，z 2），则 12M M =（2121,x x y y --， ） [探究]1．直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有 个． 2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l 1的方向向量为1l ， 直线l 2的方向向量为2l ， 直线a 的方向向量为a ， 直线b 的方向向量为b .l 1⊥ l 21l ⊥2l ⇔l 1⊥αl 1⊥a ,l 1⊥b, ,a b αα⊂⊂，a ∩b=o ，[合作探究]二、新授课：利用空间向量证明线线垂直、线面垂直例1、如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为BC的中点，N为AB的中点，P为BB1的中点．(Ⅰ)求证：BD1⊥B1C；(Ⅱ)求证：BD1⊥平面MNP．设计意图：使学生明确空间向量在证明线线垂直、线面垂直中的作用。
空间向量在立体几何中的应用教案
空间向量在立体几何中的应用教案教案标题：空间向量在立体几何中的应用一、教学目标：1. 理解空间向量的概念和性质；2. 掌握空间向量的运算法则；3. 理解和掌握空间向量在立体几何中的应用。
二、教学内容：1. 空间向量的概念和性质；2. 空间向量的运算法则；3. 空间向量在立体几何中的应用。
三、教学过程：1. 知识导入通过复习二维向量的性质和运算法则，引入空间向量的概念。
2. 理论讲解讲解空间向量的概念、性质和运算法则，包括向量的加法、减法、数量积和向量积等。
3. 练习与讨论以几何问题为例，引导学生运用空间向量的知识解决相应的几何问题。
例如，通过向量积的应用求解三角形的面积、判断四边形是否是平行四边形等。
4. 实例分析选择一些典型的例题进行详细分析和讲解，帮助学生理解和巩固概念和运算法则。
例如，通过两条直线的法向量来判断直线的位置关系。
5. 拓展应用通过讨论一些拓展性和应用性的问题，帮助学生将空间向量的知识应用到更多的实际问题中。
例如，利用向量的数量积求解棱柱的体积，利用向量的向量积判断平面和直线的位置关系等。
6. 归纳总结对本节课所学内容进行总结和概括，帮助学生加深对空间向量的理解和掌握。
四、教学资源：1. 教科书和课外参考书；2. 相关的几何题目和练习题；3. 板书和投影仪等。
五、教学评价：1. 课堂讨论和提问，查看学生对空间向量的理解和应用能力；2. 批改学生的练习题和作业，评估学生的掌握程度；3. 考试或小测验，检验学生对空间向量知识的吸收和应用能力。
六、教学延伸：可以运用计算机软件或在线平台进行立体几何模拟和实践，帮助学生更加直观地理解和掌握空间向量的应用。
空间向量与立体几何：教学设计
空间向量与立体几何：教学设计1. 课程概述本课程旨在帮助学生深入理解空间向量与立体几何的基本概念，方法和技能。
通过本课程的学习，学生将能够熟练运用空间向量解决立体几何问题，提高空间想象能力和解题能力。
2. 教学目标2.1 知识与技能1. 掌握空间向量的基本概念，如向量的定义，模长，方向等。
2. 学会空间向量的线性运算，如加法，减法，数乘和标量积。
3. 熟悉空间向量在立体几何中的应用，如计算距离，角和体积等。
2.2 过程与方法1. 培养学生的空间想象力，能够将实际问题转化为向量问题。
2. 培养学生运用向量方法解决立体几何问题的能力。
3. 培养学生通过向量分析，发现和解决几何问题的思维习惯。
2.3 情感态度与价值观1. 培养学生对数学的兴趣和热情，感受数学的美。
2. 培养学生克服困难，解决问题的勇气和信心。
3. 教学内容3.1 空间向量基本概念1. 向量的定义2. 向量的模长3. 向量的方向3.2 空间向量的线性运算1. 向量加法2. 向量减法3. 数乘向量4. 标量积3.3 空间向量在立体几何中的应用1. 计算距离2. 计算角3. 计算体积4. 教学方法采用讲授，讨论，练习和实验等多种教学方法，以帮助学生更好地理解和掌握空间向量与立体几何的知识。
5. 教学评价通过课堂表现，作业，小测和期末考试等方式，评价学生在知识，技能和情感态度方面的进步。
6. 教学计划第一周：空间向量基本概念1. 向量的定义2. 向量的模长3. 向量的方向第二周：空间向量的线性运算1. 向量加法2. 向量减法3. 数乘向量4. 标量积第三周：空间向量在立体几何中的应用1. 计算距离2. 计算角3. 计算体积第四周：综合练习与复习1. 课堂练习2. 小组讨论3. 期末考试复习7. 教学资源1. 教材：空间向量与立体几何2. 课件：PowerPoint3. 练习题：纸质和在线4. 视频：教学视频和动画8. 教学建议1. 鼓励学生在课堂上积极提问，培养问题意识。
高中数学_3.2 空间向量在立体几何中的应用教学设计学情分析教材分析课后反思
专题七 立体几何第2课时 空间关系与空间角命题人: 审核人: 时间：教学班级行政班级 姓名 学号 面批时间课前自学案【考情分析】立体几何是高考的重点内容之一,从近几年高考试题来看,主要是考查线面位置关系的判断与证明;三是考查空间向量的应用,尤其空间向量法求空间角（特别是二面角）是考查的热点之一.主要问题类型：(1)空间线面关系的证明；(2)空间角的求法；(3)存在性问题的处理方法．求解时应注意的问题：(1)利用空间向量求异面直线所成的角时，应注意角的取值范围； (2)利用空间向量求二面角的平面角时，应注意观察二面角是钝角还是锐角． 【要点梳理】1．平行关系及垂直关系的转化2．空间角的求解(1)异面直线所成的角：若异面直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，它们所成的角为θ(0＜θ≤π2)，则cos θ＝|cos 〈v 1，v 2〉|.(2)线面角：设直线l 与平面α所成的角为θ(0≤θ≤π2)，直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为μ，则sin θ＝|cos 〈a ，μ〉|＝|a ·μ||a ||μ|. (3)二面角：设二面角大小为θ(0≤θ≤π)，两个面的法向量分别为μ和v ，则|cos θ|＝|cos 〈μ，v 〉|＝|μ·v ||μ||v |.易错警示：①求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，是线面角的正弦，容易误以为是线面角的余弦．②求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析．编号012【课前自测】1.(2013年高考卷理 4）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直,体积为94,底面积是边长为 3的正三角形，若P 为底面111A B C 的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为 ( )（A ） 512π （B ）3π （C ） 4π （D ） 6π2.(2009年高考卷理5)已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件课内探究案【考点突破】考点一：空间位置关系的判定例1.（1）(2013年高考广东卷理科6)设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥(2)平面α∥平面β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α变式训练：(1) (2014年高考广东卷理 7）若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是( )A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定(2)设m 、n 是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题：①若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β ②若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ③若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α ④若n ⊥α，n ⊥β，则β∥α 其中真命题的序号为( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④ 考点二：空间位置关系的证明例2.（2013广东卷文）如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图5所示的三图 4GEF ABCD图 5DGBFCAE棱锥A BCF -,其中22BC =.(1) 证明:DE //平面BCF ;(2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3) 当23AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.考点三：空间角的求解例3.(12理18）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB=60°，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB=CD=CF. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面AED ；（Ⅱ）求二面角F -BD -C 的余弦值.【当堂检测】1. 【2014全国2高考理第11题】直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ） A. 110 B. 25C.3010D.22 2． 已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为_____________.3. 【2014高考全国1第19题】如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B AB 1⊥.（Ⅰ）证明：1AB AC =;（Ⅱ）若1AC AB ⊥，︒=∠601CBB ,BC AB =,求二面角111C B A A --的余弦值.专题七 立体几何编号第2课时 空间关系与空间角命题人: 审核人: 时间：教学班级 行政班级 姓名 学号 面批时间课后拓展案A 组1. 【2014高考卷第17题】如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，60DAB ∠=，22AB CD ==，M 是线段AB 的中点. （Ⅰ）求证：111//C M A ADD ；（Ⅱ）若1CD 垂直于平面ABCD 且13CD =，求平面11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值.2．【2014高考天津第17题】如图，在四棱锥PABCD 中，PA 底面ABCD ，AD AB ，//AB DC ，2AD DC AP ，1AB ，点E 为棱PC 的中点．（Ⅰ）证明：BE DC；（Ⅰ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅰ）若F为棱PC上一点，满足BF AC，求二面角F AB P的余弦值．B组3.（2013年高考北京卷理科17）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面AB C⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求1BDBC的值.4.【2014高考全国2第18题】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，3求三棱锥E-ACD的体积.反思：这节课不满意的几点：(1) 题量的安排。
空间向量与立体几何(角度问题)教学设计
空间向量与立体几何(角度问题)教学设计空间向量与立体几何（角度问题）教学设计一、学习目标：1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角；2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
3、探究题型，掌握解法。
二、重难点：向量法在立体几何中求空间的夹角应用。
探究题型，掌握解法。
三、学情分析：本节内容是高考热点问题，需要学生做到非常熟练。
在平时的学习中，学生已经对该几类问题有所认识，本堂课重点在于让学生体会空间角度与向量角度之间的差异，培养学生养成良好的答题习惯。
四、教学过程本节课为高三复习课，所以从开始直奔主题，从回顾旧知开始直接进入例题讲解、课堂练习、方法提炼、课堂小结，重点在于提炼解决类型题的方法并配合相应例题进行巩固，提高课堂效率。
设计意图我们都已经学过空间向量，在空间中如何将点线面的位置量化？回顾旧知，让学生理解空间坐标系的作用在于量化点线面位置①点→空间直角坐标系下点的坐标②线→直线的方向向量③面→平面上一的一点、平面的法向量直线的方向向量→直线上任意两点坐标之差平面的法向量→①设；②找；③列；④求。
所谓平面的法向量，就是指所在的直线与的向量，显然一个平面的法向量有多个，它们是向量．明确点、线、面如何用空间直角坐标系里的坐标进行标示明确方向向量与平面法向量的求法，回顾旧知识。
因为在后续问题中，求已知平面的法向量会多次出现，在此再次回顾法向量为何能确定一个平面，让学生加深对平面法向量的认识。
在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是．二：几个空间角的范围(1)异面直线所成的角θ：0<θ≤π2；(2)直线与平面所成的角θ：0≤θ≤π2；(3)二面角θ：0≤θ≤π.回顾空间角的范围，先从范围的角度与向量与向量的夹角范围进行比较，强调两者的不同三、利用向量求空间角1．两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝(其中φ为异面直线a，b所成的角)．2．直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝ .3．求二面角的大小(1)如图①，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝．结合图像，让学生更直观地了解到线面所成的角与直线方向向量同平面法向量之间所成的角存在的区别与联系，从而找到适当的方法进行调整结合图像，让学生更直观地了解到二面角与直线方向向量同平面法向量之(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的小大θ＝．求空间角：设直线l1，l2的方向向量分别为a，b，平面α、β的法向量分别为n，m.①异面直线l1与l2所成的角为θ，则cosθ＝|a·b||a||b|.②直线l1与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|a·n||a||n|.③平面α与平面β所成的二面角为θ，则|cosθ|＝|n·m||n||m|.、间所成的角存在的区别与联系，从而找到适当的方法进行调整通过之前的对比，分析清楚空间角与向量角之间存在的差异后，找寻适当的方法去解决差异，从而统一解题方法。
课题空间向量坐标法在立体几何解题中的应用一
利用空间向量坐标法解决立体几何问题，必须先建立空间直角坐标系，然后把向量通过坐标形式表示出来，而其他的则完全可以通过运用向量的有关知识使问题得到解决。因此，这种方法的关键在于能够选取适当的直线建立空间直角坐标系。能用这种方法解题的立体几何模型一般是具有较多垂直关系的正方体、长方体、直（正）棱柱、正棱锥或有一条侧棱垂直于底面的棱锥等。
例3．（专题复习（三）.例5）
如图所示，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，
点P、Q分别是ED和AC的中点，求：
（2）P点到平面EFB的距离；
（3）异面直线角坐标系D—x y z，则
D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），
如图，建立空间直角坐标系G—x y z，则
G（0 , 0 ,0）,D（0, , 0）,B（ ,0, 0）,A（0,－ , 0），P（0，0, ）,
∴ =（ ,0, 0）， =（0, , ）， =（0,a,0），
∴ · =0， · =0，
∴ ⊥ ， ⊥ ，即BG⊥AP，BG⊥AD，
∴BG⊥面PAD.
方法二：∵侧面PAD是正三角形，G是AD的中点，
因此，求两条异面直线a和b的距离，可不必通过先找出这两条异面直线的公垂线段，再求其公垂线段的长度求得。求两条异面直线a和b的距离，还有如下两种常见的思路：
思路一：求这两条异面直线中的一条直线(如a)上的某一点到过另一条直线(如b)且与这条直线(如a)平行的平面的距离；
思路二：先求直线a、b上方向向量 、 的法向量 和向量 (点A，B分别在异面直线a，b上)，再求向量 、 的单位法向量 ，最后代入式子| · |。
∴ · =0，即 ⊥ ，
∴BG⊥面PAD.
84空间向量在立体几何中应用
(2)点M,N分别在线段FD,BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A′重合，求线段FM的长.
巩固练习：教师用书【267】即时巩固：4，5
课后作业：对应课后提升：填空题
教
后
反
思
备课组长签字：年月日
例题分析：
例1：如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=2。
（1）求点A到平面MBC的距离；
（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值.
例2：如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在线段AB,AD上，AE=EB=AF=
FD=4.沿直线EF，将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF.
中心发言人
难点
利用空间向量方法求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角.
教法
讨论与讲授法相结合
学法
课前预习、课堂合作探究
个人主页
教具
教材、练习册
课型
常规课
课时安排
1课时
教
学
过
程
主要知识：
1.垂线定理及逆定理：设l是平面α的一条斜线，l在α内的射影为b,c是α内的一条直线，则l⊥c，b⊥c.
2.空间角公式(1)异面直线成角公式:设a,b分别为异面直线l1,l2的方向向量,θ为异面直线所成的角,则cosθ=|cos<a,b>|=
富县高级中学集体备课教案
年级：高三科目：数学授课人：
课题
空间向量在立体Biblioteka 何中应用第84课时教学
目标
1.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理.
2.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.
高中高三数学《空间向量及其应用》教案、教学设计
1.教学活动设计：将学生分成若干小组，针对空间向量相关知识，设计具有挑战性的问题，让学生进行小组讨论。
2.教学内容：
-设计问题：如空间向量的线性组合、线性相关性的判断等；
-小组讨论：学生在小组内部分享观点，共同探讨解决问题的方法。
3.教师引导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，关注学生的讨论进展，适时给予提示和建议。
-学生自主总结：让学生用自己的语言描述空间向量的概念、坐标表示、线性运算等。
3.教师引导：引导学生从知识、方法和情感等方面进行总结，提升学生的综合素质。
4.学生参与：学生积极参与总结过程，分享自己的学习心得和感悟，为下一节课的学习做好准备。
五、作业布置
为了巩固学生对空间向量的理解，提升学生的解题能力，特布置以下作业：
作业要求：
1.学生需认真对待每一次作业，确保作业质量；
2.提交作业前，相互检查，确保答案正确，书写规范；
3.教师将对作业进行认真批改，并及时给予反馈，学生应认真对待教师的评价和建议；
4.鼓励学生在完成作业的过程中，积极思考、探索，形成自己的解题思路和方法。
2.增强学生解决问题的信心，让学生在面对复杂问题时，能够运用所学知识进行分析、求解；
3.培养学生良好的学习习惯，如预习、复习、总结等，提高学习效率；
4.培养学生的团队合作精神，使学生认识到团队合作的重要性，学会与他人共同解决问题。
二、学情分析
本章节面向的是高中三年级学生，他们在前两年的数学学习中，已经掌握了平面向量的基本概念与运算，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力。在此基础上，学生对空间向量的学习具备以下特点：
4.学生参与：让学生观察三维坐标系，尝试用自己的语言描述空间向量的特点。在此基础上，引导学生讨论空间向量在现实生活中的应用。
空间向量在立体几何中的应用教案
空间向量在立体几何中的应用（教案）（平行、垂直问题的研究）一、教学目标：知识技能目标：1、进一步理解空间向量在立体几何中的运用。
解决平行和垂直两个问题。
2、利用向量解决立体几何问题培养学生数形结合的思想方法；方法过程：通过学生对空间几何图形的认识，建立恰当的空间直角坐标系，利用向量的坐标运算将几何问题代数化，提高学生应用知识的能力。
情感价值目标：通过空间向量在立体几何中的的运用，让学生感受空间向量作为工具解决几何问题的乐趣和意义，从而激发学数学、用数学的热情。
二、教学重点、难点、关键：重点：用空间向量解决平行和垂直问题的向量表现形式。
难点：向量运算的结果与几何问题的转化。
关键：正确建立空间直角坐标系，写出空间向量的坐标，以及平面法向量的求解。
三、教具准备：实物投影设备、多媒体设备、三角板。
四、教材分析：本节课的内容是安排在选修2-1第3章的知识基本结束之后的一节课，本节课的核心内容就是利用空间向量来解决立体几何中平行和垂直两个问题。
其一般方法是：先建立立体图形与空间向量的联系;进行空间向量运算;由向量运算的代数结果解释几何结论。
也就是整个教学过程中所涉及到的“三步曲”。
（1）、建立立体图形与空间向量的联系。
（2）、进行向量的运算，从而研究平行或者垂直的问题。
（3）、根据运算的结果来解释几何结论。
五、学情分析：高二、3班是一个理科普通班，很多学生立体几何的学习存在较大的困难，通过这节课的学习，要想提高学生的学习能力，增强学生对本章节学习的信心，从而对数学的学习也有一定的促进作用，要在学生的动手方面下功夫，同时在程序化完成这类题目方面进行强调，当然对于向量的运算与立体几何的结论的翻译也要反复巩固。
让学生体会数形结合的数学思想和运用向量运算的结果来解释几何问题的一些基本思路。
六、教学过程：（一）、课前练习：1、与向量=()2,3-1平行的一个向量是 （ ）A. 11,13⎛⎫ ⎪⎝⎭， B.()-1-3,2，C. 13--122⎛⎫ ⎪⎝⎭，， D .2、已知A ()1,1,1、B ()2,2,2、C ()32,4，，求平面ABC 的一个法向量___________。
立体几何中的向量方法的教学设计（五篇）
立体几何中的向量方法的教学设计（五篇）第一篇：立体几何中的向量方法的教学设计《立体几何中的向量方法》的教学设计一、教材分析本节课是坐标法与向量有效结合的典型范例，有利于培养学生利用向量解决立体几何问题的能力。
二、教学目标通过类比平面内的点、线的位置可以由向量来确定，引导学生理解空间内的点、线、面的位置也可以由向量来表示，并进一步探究用空间向量的运算来表示空间线、面的位置关系。
从应用其证明空间线面的平行与垂直问题中体会直线的方向向量与平面的法向量在解决立体几何中线面平行与垂直问题时的作用。
从而树立学好用好向量法解决立体几何问题的兴趣和信心。
三、教学重点、难点由于建系求点坐标是向量方法中最大的障碍，所以把坐标法与向量法结合作为重点，而适当地建立空间直角坐标系及添加辅助线作为难点。
四、教学手段用几何画板直观展示图形给学生立体感，通过问题链让学生有效地进行数学思维。
五、教学流程1、新课导入：同学们，在前面的学习中，我们已经接触过一些用空间向量的运算方法，所以这节课我们将使用一些用空间向量知识证明点、线、面的位置关系。
为了运用向量来解决立体几何问题，首先要明确空间的点、线、面的位置是否可以用向量来确定？想一想平面内点、线的位置可以由向量来唯一确定吗？你能利用类比的方法，相应地得出空间点、线、面的位置也可以由向量来唯一确定的结论吗？2、经典例题讲解：<例一> 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求证：CC1⊥BD.分析：题目是让我们求证CC1⊥BD，我们可以利用向量垂直的方法来试着证明CC1.BD =0 <例二> 棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分别是AC,CC1的中点，求证：A1E⊥平面DBC1。
分析：该题主要是考察学生是否可以根据已知题目给出的信息将建立空间直角坐标系，本题以D为坐标原点，DC所在的直线为x轴，连接BD以BD为y轴，Z轴则平行与CC1建立了D-XYZ的空间直角坐标系。
空间向量在立体几何中的应用教案.docx
空间向量在立体几何中的应用（二）一、教学日标：1.用向量法解决立体儿何中常见的问题（如长度、距离问题）;2.熟练掌握向量的加法、减法法则；3.熟练掌握向量的数量积运算。
二、教学重点与难点：重点：求长度、距离尤其点到面的距离；难点：点到血的距离，向量的加法、减法法则以及数量积运算。
三、教学过程:1.类似用平而向量解决平而几何问题，我们也可以得岀用空间向量解决空间几何问题（比如：点、直线与平面Z间的位置关系，夹角以及距离问题），步骤如下:（1）建立立体图形为空间向量的联系，用空间向量表示问题小涉及的点、直线、平面, 把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系，以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的儿何意义。
（回到图形）2、例题讲解例1：如图1, 一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？解:如图1,不妨设曲二*二"二1，ZDABSM = ZDAA X = 60°卿冋堇旳加迭迭则，化为向量问题疋=五+乔+囲AC；二（而+而+石;丫进行向量运算■ 2 ・• 2 ■ 2 ，■ ，■ ■ ，■ ■ ，•=AB +AD +A4, ^1{AB AD^AB A\^AD AA^= 1 + 1 + 1 + 2（cos 60° + cos 60° + cos 60°）所以Hl二衙回到图形问题这个晶体的对角线的长是棱长的衙倍。
练习1:（教材P107）.如图，60°的二面角的棱上冇A, B两点，直线AC, BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=4, AC=6, BD=8,求CD的长.思考2：在例1中，如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的备棱间的夹角都等于a，那么山这个平行六血体的对•角线的长可以确定棱长吗？妇G 二Q ,二.4D 二轴二.v, /BAD - 0灿=2/）.1^ 二 a 由黑二丽+丽：疋二示+孰才+疝・丽+丽可+五可）即『二3『+2（3『co§a）.・.x= i a¥3+6co§a:.这个贱軸酬釧长可酬趙长.练习2：（教材P111）.如图，两条异面直线a, b所成的角为0 ,在直线a, b上分别取点AJ, E和点A, F,使AA'丄a,且AA」b（AA*称为异面直线a, b的公垂线）.己知AE=m,AF=n, EF=1,求公垂线AA，的长.思考3：例1中的晶体中相对的两个平而Z间的距离是多少？（提示：求两个平行平而的距离，通常归结为求点到平而的距离或两点间的距离）分析:面面更离转化为点毓离来求解：过低作丄平耐C于点乩酗H为麻相对两个竝间的距离.由ZA V AB二出皿二/BAD R朋二妙二關:.H在血.疋1（丑+胚$ 二l+l+2cos60。
空间向量与立体几何教案
空间向量与立体几何教案教案：空间向量与立体几何一、教学目标：1.知识与能力目标：掌握空间向量的基本概念和运算法则，并能够运用空间向量解决立体几何问题。
2.过程与方法目标：培养学生的观察能力和逻辑思维能力，通过实例分析和综合运用，激发学生对数学的兴趣和学习积极性。
3.情感态度目标：培养学生的合作学习精神，增强学生对数学的自信心和探究精神。
二、教学重点难点：1.教学重点：空间向量的概念、性质及运算法则。
2.教学难点：如何灵活应用空间向量解决立体几何问题。
三、教学方法：1.教师讲授与学生合作探究相结合的方法。
2.案例分析和综合运用的方法。
四、教学过程：第一节空间向量的概念和性质（40分钟）1.通过引入空间向量的概念，让学生了解空间向量的定义，并掌握向量的表示方法。
2.解释向量的性质，如向量的加法、数乘、共线和共面性质。
3.设计一些简单的例题进行讲解，引导学生掌握和理解空间向量的性质。
第二节空间向量的运算法则（40分钟）1.通过实例引导，让学生掌握向量的加法、减法、数量积和向量积的运算法则。
2.类比二维向量，在立体几何实例中引入空间向量运算，帮助学生理解和应用空间向量运算。
第三节空间向量在立体几何中的应用（40分钟）1.通过立体几何实例，引导学生运用空间向量解决立体几何问题。
2.给学生创设情境，让学生在小组合作的形式下，互相讨论和解决立体几何问题。
3.设计不同难度的立体几何问题，让学生进行综合运用，提高解决问题的能力。
第四节拓展课程与归纳总结（40分钟）1.设计拓展课程，引导学生发现和探究空间向量在其他学科中的应用，如物理、工程等领域。
2.巩固和总结空间向量的知识点，通过小测验和思维导图等方式，让学生检验和反思自己的学习效果。
五、教学资源准备：1.多媒体教学设备和教学课件。
2.各类立体几何教具和实物模型。
3.教科书及参考资料。
六、教学评价与反思：1.课堂提问与讨论，根据学生的回答和互动评价学生的理解和能力。
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《空间向量在立体几何中的应用》教学设计 一. 教学目标（一） 知识与技能1. 理解并会用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值；2. 理解并会用空间向量解决平行与垂直问题.（二） 过程与方法1. 体验用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值的过程；2. 体验用空间向量解决平行与垂直问题的过程. （三） 情感态度与价值观1. 通过理解并用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值，用空间向量 解决平行与垂直问题的过程，让学生体会几何问题代数化，领悟解析几何的思想；2. 培养学生向量的代数运算推理能力；3. 培养学生理解、运用知识的能力.二. 教学重、难点重点：用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值及解决平行与垂直问 题.难点：用空间向量求二面角的余弦值.三. 教学方法：情景教学法、启发式教学法、练习法和讲授法. 四. 教学用具：电脑、投影仪. 五. 教学设计（一） 新课导入1. 提问学生： （1） 怎样找空间中线线角、线面角和二面角的平面角？ （2） 能否用代数运算来解决平行与垂直问题？ （二） 新课学习1. 用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值 .（1）设l 1 ,l 2是两条异面直线，A, B 是11 上的任意两点，C,D 是直线12上的任意AB ・CD两点，则11,12所成的角的余弦值为 一: --- :AB *CD（2）设AB 是平面〉的斜线，且B : ,BC 是斜线AB 在平面〉内的射影，则AB *BCAB ・n是平面a 的一条斜线，则AB 与平面a 所成的角的余弦值为 —一:斜线AB 与平面〉所成的角的余弦值为I 一Tj —i 一7T .设n 是平面 a 的法向量，ABAB BCAB・rII平面角或补角的余弦值.例1:在棱长为a 的正方体ABCD —A'B 'C 'D '中，EF 分别是BC,A 'D '的中点,分析：启发学生找出三条两两垂直的直线 AB,AD,AA ，建立空间直角坐标系A-xyz ，根据已知找出相关点的坐标，然后写出相关向量的坐标，并进行运算就 可以得到所求的结果.解：(1)如图建立坐标系，贝U A '(0,0, a),C(a,a,0), D(0, a,0), E(a,a ,0).2a .AC = (a, a, -a), DE = (a,,0).」 215故AC 与DE 所成的角的余弦值为 一5.15(2) T • ADE - ADF ,所以AD 在平面BEDF 内的射影在.EDF 的平分线上，又B 'EDF 为菱形，.DB '为EDF 的平分线，故直线AD 与平面B 'EDF 所成 的角为• ADB ，建立如图所示坐标系，则A(0,0,0), B '(a,O,a),D(O,a,O)， • DAga,0),D^(ara)，cos 仏京=故AD 与平面BEDF 所成角的余弦值为〒(3)设n 1, n 2是二面角:■的面:的法向量，则—*—*■n 1 ■ n 2就是二面角的(1) 求直线AC 与DE 所成角的余弦值.(2) (3)求直线AD 与平面B 'EDF 所成的角的余弦值.B求平面B 'EDF 与平面ABCD 所成的角的余弦值.AC *DE15A 'C DED ^*DB- A /3 D A|n j «n 2八zIA GAEDDC3 2，，EA *DC 工一 12,EA』 a(3) 由 A(0,0,0), A (0,0, a), B (a,0, a), D(0, a,0), E(a, ,0),所以平面 ABCD 的2所以，平面BEDF 与平面ABCD 所成的角的余弦值为 课堂练习:1. 如图，PA_ 平面 ABC , AC _ BC,PA 二 AC =1,BC 「、,2，求二面角参考答案:解：建立如图所示空间直角坐标系 C-xyz ，取PB 的中点D ，连DC,可证T TDC — PB ，作AE -PB 于E ，则向量DC 与EA 的夹角的大小为二面角 A - PB - C的大小。
；A(10,0), B(0,、、2,0), C(0,0,0), P(1,0,1)，D 为 PB 的中点,E分PB的比为1，町:自乩y 送*4m •n.cos ::: n, m =_ 6法向量为m = AA =(0,0,a),下面求平面 B 'EDF的法向量，设 n = (1,y,z)，由ED ^-a,|,0)1EB^ (0r | a,；二=°n * EB = 0y花(1,2,1). z= 1A-PB -C 的余弦值.Efg)，在 RtPAB 中, PE A P2 1EB AB 23.二面角A _PC_C 的余弦值为弓. 引导学生归纳：用空间向量求二面角的余弦值时，是将求二面角的余弦值问题转化为求两平 面的法向量的夹角的余弦值问题，这里要明确：（1） 当法向量山与压的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等 于法向量n 与的夹角的大小；（2） 当法向量.山与门2的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小 等于法向量与n 2的夹角的补角 …n i ,n 2 -.2. 利用向量向量解决平行与垂直问题例 2:如图，在直三棱柱 ABC- AB i C 中，AO3，BO4，AA = 4，AB =5,点 D 是AB 的中点， （I ）求证：AC 丄BG ; （II ）求证：A i C 〃平面CDB分析：启发学生找出三条两两垂直的直线 CA,CB,CC,建立空间直角坐标系 C-xyz ，根据已知找出相关点的坐标，然后写出相关向量的坐标，并进行运算就 可以得到两条直线垂直或平行.解：•••直三棱柱 ABC-A i B i C 底面三边长 AO3，BO4, A 吐5,二AC BC GC 两两垂直，如图，以C 为坐标原点，直线CA CB C i C 分别为x 轴、y 轴、z 轴， 建立空间直角坐标系，则 C （0,0，0），A （ 3,0，0），G （0,0，4），B （0,4，0），3B 1 （0,4，4），D （ -，2,0 ）2(1)v AC =( — 3,0，0)，BC 1 =( 0，- 4,0 )，A AC ? BC 1 = 0,二 ACL BG. (2)设 CB 与 CB 的交战为 E ,则 E (0,2 , 2) . v DE =(—, 0,2 ), AG =2(—3,0 , 4),二 D^ = 1A C 1，二 DE// AC. v DE u 平面 CDB, AC 広平面CDB= 1,cos ：： EA,1 22332••• AC i// 平面CDB引导学生归纳：(1)垂直问题转化为：判定空间向量的数量积是否为零；(2)平行问题转化为：面面平行=线面平行=线线平行.课堂练习：2. 在直三棱柱ABC—AB1C1中，AC=3,BC = 4,AB=5,AA =4,参考答案：解：直三棱柱ABC-AEG，AC =3,BC =4, AB = 5,AC,BC,CG 两两垂直，以 C为坐标原点，直线CA,CB,CC i分别为x轴y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C(0,0,4), A(3,0,0), C i(0,0,4)，B(0,4,0), B i(0,4,4).(1) ：AC*3,0,0),龙诃-4,4)，AC.B CI P AC®I I(2)假设在AB上存在点D，使得AG _CD，则"AD = •"AB = (-3・,4 ,0)其中0「乞1，则D(3-3",0)，于是CD =(3-3, ,4 ■ ,0)由于AG = (-3,0,4)，且AG _ CD .所以-9 9=0得，=1，所以在AB上存在点D使得AG _ CD，且这时点D与点B重合.T T(3)假设在AB上存在点D使得AG〃平面CDB1，则D〜(340'B!^=(3-3 ,4 -4,-4)又左= (0,-4,-4).由于AG =(- 3 , 0 m, n,使AC： = mBQ nBC成立,1所以匸，所以在AB上存在点D使得AG 〃平面CM，且D使AB的中点.引导学生感悟：空间向量有一套良好的运算性质，它可以把几何图形的性质转化为向量运算，实现了数与形的结合，在解决立体几何的夹角、平行与垂直等问题中体现出巨大的优越性.(二)课外作业1.如图，在直三棱柱ABC-A1B1G 中，/ ACB=90，CB=1,CA=3, AA1二后,M 为侧棱CC上一点，AM _ BA1.(1) 求证：AM _平面A1BC ;(2) 求二面角B- AM- C的大小;2. 如图，直三棱柱ABC- A1B1G中C吐/AB.2(1) 证明：BG//平面ACD(2) 求二面角D- AC—E的正弦值.D, E分别是AB, BB的中点，AA = AC=,AQ"平面CDQ , 所以存在实数.m(3 -3 ■ ) - -3, m(4 ■ - 4) - 4n = 0, -4m - 4n = 4, 其中0 一_1 则D(3—3・,4 ■ ,0),。