单因素试验的方差分析
单因素试验的方差分析——概率论与数理统计(李长青版)
其次, 同一品种下数据表现出来的差异称为试验(随
机)误差, 这是由客观条件的偶然干扰造成, 与因素(品种) 无直接联系.
方差分析正是分析两类误差的有效工具.
本问题只考虑品种一种因素，故是单因素试验，即只有
一个因子，记为 A, 5个不同的品种就是该因子的5个不同 的水平，分别记为 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , 由于同一品种在不 同的田块上的亩产量不同，故可以认为一个品种的亩产 量 就是一个母体，在方差分析中，总是假定各母体相互独 立地服从同方差的正态分布，即第 j 个品种的亩产量是 一个随机变量，它服从正态分布:
nj
ns , 称为总平均,
它是从 s 个总体中抽得的样本的样本均值.
用样本值 xij 与总平均
x 之间的偏差平方和来反映
种子品种代 号 (水平)
重复试验序号及作物实测产量 1 128 125 148 2 126 137 132 3 139 125 139 4 130 117 125 5 142 106 151 133 122 139
A1 A2
A3
这里试验的指标是作物产量, 作物是因素, 三种种 子品种代表三个不同的水平. 首先,形成数据差异的直接原因是种子的不同品 种.因此, 每个品种下产量的均值差异检验是我们的主 要任务.这种由因素(种子品种)造成的差异称为条件(系 统)误差.
H 0 : 1 2 s 0, H1 : 1 , 2 , , s 不全为零.
(二) 离差平方和分解 引入记号
nj
1 xj nj
s
x
i 1
ij
( j 1, 2,
, s) 水平Aj下的样本均值,
称为组内平均(或列平均)
25.单因素试验的方差分析
数学模型
j 与 2 均未知.
14
需要解决的问题
1.检验假设
H0 : 12 s , H1 : 1, 2 , , s不全相等.
2.估计未知参数1, 2 , , s , 2.
15
数学模型的等价形式
s
记n nj ,
j 1
1 n
s j 1
njj.
总平均
水平Aj的效 应, 表示水平 Aj下的总体 平均值与总 平均的差异.
i 1 nj
( Xij X• j )2
i 1
2
～ 2(nj 1).
23
又由于各 Xij 独立, 所以由 2 分布的可加性知
S E
2
～ 2
s
(nj
j 1
1),
即
S
E2～
2
(n
s),
s
其中n nj .
j1
根据 2 分布的性质可以得到，
SE 的自由度为n s; E(SE ) (n s) 2.
铝合金板的厚度
机器Ⅱ 0.257 0.253
机器Ⅲ 0.258 0.264
0.255 0.254
0.259 0.267
0.261
0.262
4
试验指标: 薄板的厚度 因素: 机器
水平:不同的三台机器是因素的三个不同的水平. 假定除机器这一因素外, 其他条件相同,
属于单因素试验. 试验目的: 考察各台机器所生产的薄板的厚度有 无显著的差异. 即考察机器这一因素对厚度有无 显著的影响. 结论: 如果厚度有显著差异， 表明机器这一因素对厚度的影响是显著的.
H0 : 1 23 ,
H1 : 1, 2 , 3不全相等.
进一步假设各总体均为正态变量, 且各总体的
单因素试验方差分析(试验数据处理)
SST ( X ij X ) 2
j 1 i 1
r nj
r
nj
SSA ( X j X ) 2
j 1 i 1
n j ( X j X )2
j 1
s
SSA反映了在每个水平下的样本均值与样本总均 值的差异，它是由因子A 取不同水平引起的，所以， 称SA是因子A的效应（组间）平方和.
单因素试验——在一项试验中只有一个因素改变.
多因素试验——在一项试验中有多个因素在改变.
例1 下表列出了随机选取的、用于计算器的四种 类型的电路的响应时间（以毫秒计）. 表1 电路的响应时间 类型Ⅰ 类型Ⅱ 类型Ⅲ 类型Ⅳ 19 20 16 18 22 21 15 22 20 33 18 19 18 27 26 试验指标:电路的响应时间 因素:电路类型 水平: 四种电路类型为因素的四个不同的水平 单因素试验 试验目的:考察电路类型这一因素对响应时间有无 显著的影响.（从哪些值来看是否有影响呢？）
F值 31.10
显著性
934.73
2
6
467.36
**
组内 总和
90.17
1024.89
15.03
8
不同的饲料对猪的体重有非常显著的影响。
三、单因素试验方差分析的简化计算
由于方差分析的计算量比较大，所以引入一种离 差平方和的简单算法：
令
Ti —Ai 水平时,ni个试验值之和 Qi —Ai 水平时,ni个试验值的平方和 T—n个试验值之和 Q—n个试验值的平方和
r
列平均X i Ti ni
（组内平均值）
X1
X2
...
r i 1
Xr
n n i 其中诸 ni 可以不一样，
单因素方差分析的计算步骤
单因素方差分析的计算步骤Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】一、 单因素方差分析的计算步骤假定实验或观察中只有一个因素（因子）A ,且A 有m 个水平，分别记为,,,21m A A A 在每一种水平下，做n 次实验，在每一次试验后可得一实验值，记做ij x 表示在第j 个水平下的第i 个试验值()m j n i ,2,1;,2,1==。
结果如下表：m A A A ,,21看成是m 个正态总体，而()m j n i x ij ,2,1;,2,1==看成是取自第j 总体的第i 个样品，因此，可设()m j n i a N x j ij ,2,1;,2,1,,~2==σ。
可以认为j j j a εεμ,+=是因素A 的第j 个水平j A 所引起的差异。
因此检验因素A 的各水平之间是否有显着的差异，就相当于检验：μ====m a a a H 210:或者 具体的分析检验步骤是：（一）计算水平均值令j x 表示第j 种水平的样本均值，式中，ij x 是第j 种水平下的第i 个观察值，j n 表示第j 种水平的观察值次数（二）计算离差平方和在单因素方差分析中，离差平方和有三个，它们分别是总离差平方和，组内离差平方和以及组间平方和。
首先，总离差平方和，用SST 代表，则，其中,n x x ij ∑∑=它反映了离差平方和的总体情况。
其次，组内离差平方和，用SSE 表示，其计算公式为：其中j x 反映的是水平内部或组内观察值的离散状况，即反映了随机因素带来的影响。
最后，组间平方和，用SSA 表示，SSA 的计算公式为：用各组均值减去总均值的离差的平方，乘以各组观察值个数，然后加总，即得到SSA 。
可以看出，它所表现的是组间差异。
其中既包括随机因素，也包括系统因素。
根据证明，SSA SSE SST ,,之间存在着一定的联系，这种联系表现在： 因为：在各组同为正态分布，等方差的条件下，等式右边最后一项为零，故有，即 SSA SSE SST +=（三）计算平均平方用离差平方和除以各自自由度即可得到平均平方。
数据处理单因素方差分析
数据处理单因素方差分析1. 引言数据处理是科学研究中非常重要的一环，能够有效地获得有关实验数据的信息和结论。
其中，单因素方差分析是一种常用的统计方法，用于比较不同水平的因素对实验结果的影响。
2. 概念单因素方差分析是一种统计方法，用于比较三个或三个以上水平的因素在不同条件下其均值是否有显著差异。
它是通过比较组间变异与组内变异的大小来推断因素对实验结果的影响程度。
3. 步骤3.1 建立假设在进行单因素方差分析之前，首先需要建立相关的假设。
通常情况下，我们会假设各组样本的均值相等。
3.2 收集数据接下来，我们需要收集实验数据。
通常情况下，我们会收集每个水平下的多个样本，并计算其均值。
3.3 计算变异在单因素方差分析中，我们需要计算组间变异和组内变异的大小。
组间变异反映了不同水平的因素对实验结果的影响，而组内变异则反映了样本内部的随机误差。
3.4 计算方差比通过计算组间变异与组内变异的比值，可以得到方差比。
方差比越大，说明组间变异对总变异的贡献越大，也就意味着水平因素对实验结果的影响越显著。
3.5 推断结论最后，我们可以使用统计方法来推断水平因素对实验结果的影响是否显著。
通常情况下，我们会使用F检验来判断方差比是否显著大于1，从而决定是否拒绝原假设。
4. 数据处理的意义数据处理在科学研究中具有重要的意义。
通过进行单因素方差分析，我们可以推断不同水平的因素对实验结果的影响程度，帮助科学家们更好地理解实验结果，并为实验结论的科学性提供支持。
5. 应用案例5.1 药物疗效比较假设我们想要比较两种药物在治疗某种疾病上的疗效。
我们可以将患者分为两组，一组接受药物A治疗，另一组接受药物B治疗，然后收集两组患者的实验数据。
通过进行单因素方差分析，我们可以比较两种药物的疗效是否有显著差异。
5.2 品牌认知度比较假设我们想要比较两个品牌在消费者中的认知度。
我们可以对一定数量的消费者进行调查，询问他们对两个品牌的认知程度。
单因素方差分析
2.0
0.7
1.5
0.9
0.9
0.8
1.1
-0.3
-0.2
0.7
1.3
1.4
概率论与数理统计
3
❖ 前言 方差分析的思想
➢ 我们可以计算出各组的均值与方差，但是如何通过这些数据 结果来判断呢？这就需要进行方差分析.
➢ 在实际问题中, 影响一个数值型随机变量的因素一般会有很多, 例如影响农作物产量的因素就有种子品种，肥料、雨水等; 影 响化工产品的产出率的因素可能有原料成分、剂量、催化剂 、反应温度、机器设备和操作水平等；影响儿童识记效果的 因素有教学材料、教学方法等. 为了找出影响结果(效果)最显 著的因素, 并指出它们在什么状态下对结果最有利, 就要先做 试验, 方差分析就是对试验数据进行统计分析, 鉴别各个因素 对对我们要考察的指标（试验指标）影响程度的方法．
概率论与数理统计
7
❖ 1.单因素试验的方差 概念
➢ 推断三种治疗方案是否存在差异的问题，就是要辨别治 疗方案的差异主要是由随机误差造成的，还是由不同方 案造成的，这一问题可归结为三个总体是否有相同分布 的讨论．根据实际问题的情况，可认为血红蛋白的增加 值服从正态分布，且在安排试验时，除所关心的因素（ 这里指的是这里方案）外，其它试验条件总是尽可能做 到一致，这就使我们可以近似的认为每个总体的方差相 同，即xi～N(μi，σ2) i = 1，2，3．
概率论与数理统计
❖2. 单因素方差分析的数学模型
➢ 单因素方差分析问题的一般提法为： ➢ 因素A有m个水平A1, A2, …, Am, 在Ai水平下, 总体Xi～N(μi,
σ2), i = 1, 2, …, m．其中μi和σ2均未知, 但方差相等, 希望 对不同水平下总体的均值进行比较． 设xij表示第i个总体的第j个观测值(j = 1, 2, …, ni, i = 1, 2, …, m), 由于Xij～N(μi, σ2), i = 1, 2, …, m．单因素方差分 析模型常可表示为：
单因素试验的方差分析
其中
r n i
2r
2
S S A X iX n i ii
i 1j 1
i 1
组间平方和（系
如果H0 成立，则SSA 较小。 统离差平方和）
反映的是各水平平均值偏离总平均值的偏离程度。
其中
1 r ni
ni1 j1
ij,
ni
i ij
j1
r ni
2 r ni
2
由P106定理5.1可推得：
S S 2 T~2 n 1 ,S S 2 A ~2 r 1 ,S S 2 E ~2 n r
将 分别SS记2T 作, SS2A
,
SSE
2
的自d由fT度,dfA,dfE
则 FSSA dfA~Fr1,nr
SSE dfE
（，称记作均S S 方A 和d f）A M S A ,S S Ed fE M S E
j1
i1
同一水平 下观测值 之和
所以观测 值之和
例2 P195 2 以 A、B、C 三种饲料喂猪，得一个月后每猪 所增体重（单位：500g）于下表，试作方差分析。
饲料
增重
A
51
40
43
48
B
23
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ25
26
C
23
28
解：T1 51404348182, T2 232526 74, T3 232851
F0.012,610.92
1 5 .0 3
总和 1024.89 8
不同的饲料对猪的体重的影响极有统计意义。
例2的上机实现步骤
输入原始数 据列，并存 到A，B，C 列；
各水平数据放同一列
各水平数据 放在不同列
单因素试验的方差分析
实验二 单因素试验的方差分析
实验目的：1．掌握单因素实验方差分析的方法与步骤；
2．正确分析输出结果中的各参数，并得出正确结论。
实验内容：
采用四种不同产地的原料萘，按同样的工艺条件合成β—萘酚，测定所得产品的
熔点如表1所示，问原料萘的产地是否显著影响产品的熔点？
表2.1 不同产地原料萘合成β—萘酚的熔点℃
操作步骤：
1.excel 的工作表中输入如表1.1所示的的样本数据， 2．点击“工具—数据分析—方差分析：单因素方差分析”，在弹出对话框的输入区域，拖动鼠标选择样本值A2:D5；分组方式，选择列；显著性水平α设置为0.1，如图
2.1所示。
图2.1 应用excel “数据分析”功能求单因素方差分析的有关参数
3．点击确定，输出参数的窗口如图2.2所示。
图2.2 应用excel“数据分析”功能求单因素方差分析的有关参数
结果分析：
（1）SUMMARY给出的是该因子各水平的扼要分析结果，包括各样本的容量、数据、样本均值和样本方差。
（2）在输出的方差分析表中，组间即“产地因子”；组内即指“误差”；SS 为平方和；df 是自由度；P-value 为P 值，即所达到的临界显著水平；F crit 是Fα（t-1，N-t）的值。
由于P
值为0.231767>0.1，所以萘的产地对萘酚熔点无显著影响。
单因素方差分析
其中交叉项
ni s ⎤ ⎡ 2∑∑ (xij − xi )( xi − x ) = 2∑ ⎢( xi − x )∑ (xij − xi )⎥ = 2∑ ( xi − x )(ni xi − ni xi ) = 0 i =1 j =1 i =1 ⎣ j =1 i =1 ⎦ s ni s
记 S E = ∑∑ (xij − xi )
素水平的差异对结果影响的大小 响越显著 比值越大 这种影
2
接下去就是如何确定一个合理的界限值
2
以便当
SA 大于这个界限值时就认为该因素对结果的影响显 2 SE
著 从而拒绝 H 0 故
2
⎧SA ⎫ 取 H 0 的拒绝域为W = ⎨ 2 > c ⎬ ⎩SE ⎭ ⎧ S A2 s −1 ⎫ > k⎬ W =⎨ 2 ⎩SE n − s ⎭
i =1 j =1
6.4 在由 ST2 刻
ST2 的大小刻划了全部试验结果的离散程度
划的离散性中 来
既有随机因素所引起的
也可能有因素 A
水平的差异所引起的 如果能设法将这两者合理地区分开 问题就容易解决了
1 定义 xi = ni
∑ xij (i = 1,2,L, s )
i =1
ni
6.5
称为水平 Ai 时的样本平均值 考虑 ST2 的如下分解
H 0 : u1 = u 2 = L = u s
是否成立 正态总体 N (u1 , σ 2 )的样本 结为随机波动 若 H 0 成立
6.2
则各水平下的样本可以看成来自同一 而试验结果的差异只能归 若 H 0 不成立 则表明因素 A 不同水平 亦即因素 A 对结果是
下的随机变量总体间存在差异 有影响的
S = ∑∑ (xij − x ) = ∑∑ (xij − xi + xi − x )
单因素试验的方差分析
=
2 2
=
2 s
2
;
(3)从每个总体中抽取的样本相互独立.
那么,要从已知数据中推断 s 个总体是否具有显著 的差异,就要比较各个总体的均值是否相等.设第 j 个总
体的均值为 j ,则要检验的假设为
H0 : 1 2 s , H1 : 1, 2 , , s不全相等.
（8-1）
单 因 素 A 具 有 s 个 水 平 A1, A2 , , As , 在 每 个 水 平
推进器 B
A1
B1
58.2 52.6
B2
56.2 41.2
B3
65.3 60.8
燃料 A
49.1 54.1 51.6 A2 42.8 50.5 48.4
60.1 70.9 39.2 A3 58.3 73.2 40.7
75.8 58.2 48.7 A4 71.5 51.0 41.4
这里的试验指标是射程,推进器和燃料是因素, 它们分别有 3 个、 4 个水平.这是一个双因素试验.试 验的目的在于考察在各种因素的各个水平下射程有 无显著的差异,即考察推进器和燃料这两个因素对射 程是否有显著的影响.
H1 : 1,2 ,
,
不全为0.
s
1.3 偏差平方和及其分解
定义 8.2 方和,其中
s nj
称 ST (Xij X )2 为样本的总偏差平 j 1 i1
称为样本的总均值.
1 s nj
X n j1 i1 X ij
s nj
定义 8.3 称 SE =
( Xij X .j )2 为样本的误差平方
差. SA 体现了各水平 Aj 的样本均值 X j 与总均值 X 之间
的差异,反映了样本之间的不同,它是由因素 A 的不同水 平效应的差异以及随机误差引起的.
单因素试验的方差分析
单因素试验的方差分析
在方差分析中,我们将要考察的指标称为试验指标，影响 试验指标的条件称为因素(或因子),常用A、B、C, …来表示. 因 素可分为两类，一类是人们可以控制的；一类是人们不能控 制的。 例如，原料成分、反应温度、溶液浓度等是可以控制 的，而测量误差、气象条件等一般难以控制。 以下我们所说 的因素都是可控因素，因素所处的状态称为该因素的水平。 如果在一项试验中只有一个因素在改变，这样的试验称为单 因素试验，如果多于一个因素在改变，就称为多因素试验.
一、单因素试验方差分析的统计模型
例9.1 为求适应某地区的高产水稻的品种( 因素或因子) , 现选了 五个不同品种( 水平)的种子进行试验, 每一品种在四块试验田上进 行试种。假设这 20块土地的面积与其他条件基本相同, 观测到各块 土地上的产量( 单位: 千克) 见表9–1。
在这个问题目中, 要考察的指标是水稻的产量, 影响产量的因
分析的统计模型 .
方差分析的任务是对于模型(9. 1 ) , 检验 s 个总体 N ( 1 , 2) , …, N
( s , 2)的均值是否相等, 即检验假设
H0 : 1 2 s H1 : 1 , 2 , s , 不全相等。
（9.2）
为将问题( 9. 2 ) 写成便于讨论的形式, 采用记号
s nj
ST
(xij x)2
j1 i1
(9.3)
这里
x
1 n
s j 1
nj i1
xij ，
ST能反应全部试验数据之间的差异，又称
为总变差 Aj下的样本均值
x
j
1 n
nj i1
xij
(9.4)
注意到
(xij x )2 (xij x j x j x )2 =(xij x j )2 (x j x )2 2(xij x j )(x j x )
第二节 单因素试验资料的方差分析
第二节单因素试验资料的方差分析在方差分析中，根据所研究试验因素的多少，可分为单因素、两因素和多因素试验资料的方差分析。
单因素试验资料的方差分析是其中最简单的一种，目的在于正确判断该试验因素各水平的优劣。
根据各处理内重复数是否相等，单因素方差分析又分为重复数相等和重复数不等两种情况。
上节讨论的是重复数相等的情况。
当重复数不等时，各项平方和与自由度的计算，多重比较中标准误的计算略有不同。
本节各举一例予以说明。
一、各处理重复数相等的方差分析【例6.3】抽测5个不同品种的若干头母猪的窝产仔数，结果见表6-12，试检验不同品种母猪平均窝产仔数的差异是否显著。
表6-12五个不同品种母猪的窝产仔数这是一个单因素试验，k=5,n=5。
现对此试验结果进行方差分析如下：1、计算各项平方和与自由度2、列出方差分析表，进行F检验表6-13不同品种母猪的窝产仔数的方差分析表根据df1=df t=4,df2=df e=20查临界F值得：F0.05(4,20)=2.87,F0.05(4,20)=4.43，因为F＞F0.01(4,20)，即P＜0.01，表明品种间产仔数的差异达到1%显著水平。
3、多重比较采用新复极差法，各处理平均数多重比较表见表6-14。
表6-14不同品种母猪的平均窝产仔数多重比较表(SSR法)-8.2 -9.6因为MS e=3.14,n=5，所以为：根据df e=20，秩次距k=2,3,4，5由附表6查出α=0.05和α=0.01的各临界SSR 值，乘以=0.7925，即得各最小显著极差，所得结果列于表6-15。
表6-15SSR值及LSR值将表6-14中的差数与表6-15中相应的最小显著极差比较并标记检验结果。
检验结果表明：5号品种母猪的平均窝产仔数极显著高于2号品种母猪，显著高于4号和1号品种，但与3号品种差异不显著；3号品种母猪的平均窝产仔数极显著高于2号品种，与1号和4号品种差异不显著；1号、4号、2号品种母猪的平均窝产仔数间差异均不显著。
单因素方差分析
单因素方差分析定义：单因素方差分析测试某一个控制变量的不同水平是否给观察变量造成了显著差异和变动。
例如，培训是否给学生成绩造成了显著影响；不同地区的考生成绩是否有显著的差异等。
前提：1总体正态分布。
当有证据表明总体分布不是正态分布时，可以将数据做正态转化。
2变异的相互独立性。
3各实验处理内的方差要一致。
进行方差分析时，各实验组内部的方差批次无显著差异，这是最重要的一个假定，为满足这个假定，在做方差分析前要对各组内方差作齐性检验。
一、单因素方差分析1选择分析方法本题要判断控制变量“组别”是否对观察变量“成绩”有显著性影响，而控制变量只有一个，即“组别”，所以本题采用单因素分析法，但需要进行正态检验和方差齐性检验。
2在控制变量为“组别”，3正态检验（P>0.05，服从正态分布）正态检验操作过程:“分析”→“描述统计”→“探索”，出现“探索”窗口，将因变量“成绩”放入“因变量列表”，将自变量“组别”放入“因子列表”，将“人名”放入“标注个案”；点击“绘制”，出现“探索：图”窗口，选中“直方图”和“带检验的正态图”，点击“继续”；点击“探索”窗口的“确定”，输出结果。
因变量是用户所研究的目标变量。
因子变量是影响因变量的因素，例如分组变量。
标注个案是区分每个观测量的变量。
带检验的正态图（Normality plots with test，复选框）：选择此项，将进行正态性检验，并生成正态Q-Q概率图和无趋势正态Q-Q概率图。
正态检验结果分析:p值都大于0.05，因而我们不能拒绝零假设，也就是说没有证据表明各组的数据不服从正态分布（检验中的零假设是数据服从正态分布）。
即p值≥0.05，数据服从正态分布。
4单因素方差分析操作过程“分析”→“比较均值”→“单因素ANOVA”，出现“单因素方差分析”窗口，将因变量“成绩”放入“因变量列表”，将自变量“组别”放入“因子”列表；点击“选项”选择“方差同质性检验”和“描述性”，点击“继续”，回到主对话框；点击“两两比较”选择“LSD”和“S-N-K”、“Dunnett’s C”，点击“继续”，回到主对话框；点击“对比”，选择“多项式”，点击“继续”，回到主对话框；点击“单因素方差分析”窗口的“确定”，输出结果。
单因素方差分析
1.2 单因素方差分析
1.2.2 单因素方差分析的前提条件
➢ 方差的齐同性是进行方差分析的前提。
➢ 从不同总体中抽出的各组样本间毫无关系，即设k个总体
相互独立。
1.2.3 单因素方差分析的检验步骤 1.提出假设
2）实验条件
称为组间差异（Between Groups），即不同的处理造成的差异。 用各组平均值与总平均值离差的平方和表示，记作 。SR
(2) 方差分析的检验统计量
2. 方差分析的分类
单因素方差分析 多因素方差分析 有交互作用的多因素方差分析
1.2 单因素方差分析
1.2.1 基本概念
因素：可控制的试验条件。 水平：因素变化的各个等级。 单因素试验:试验中只有一个因素在变化，其他可控制的条件 不变。 双因素试验：试验中变化的因素有两个。 多因素试验：实验中变化的因素多于两个。
常使用LSD（Least-Significant difference）法，即最小 显著差数法。
统计量:
临界值：
T
xi x j
n n MS
E
1
1
i
j
LSD
t 2 n k
MS
E
1 ni
1 nj
例[9-2]
对例[9-1]中各水平间差异显著性检验。
MS E
1 ni
1 nj
SE nk
1 ni
体育统计
体育统计
1.1 方差分析概述
方差分析是通过分析样本数据各项差异的来源以检验两 个以上总体平均数是否有显著性差异的方法。
早在上个世纪20年代英国统计学费歇（R.A.Fisher, 1890～1962）首先将该方法用到农业试验中，经过近百 年的发展，其内容已十分丰富。
单因素方差分析解释
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所谓单因素方差分析就是在某因素作用下，以该因素为区分依据分别得到几组数据，并从几组数据方差的差异来推断该因素的影响是否存在或显著。
不难看出，方差的差异来源于两方面：一是由某因素引起的组间偏差，二是由实验误差引起的组内偏差。
这张表第一列就给出了方差类别，
第二列给出了组间平方和、组内平方和、总和（就是前两者相加）的具体数值，
第三列表示自由度，可以理解为由平方和计算方差时除的那个值（联想方差计算公式），反映了相互独立的样本数，组间自由度为 2 = r - 1 说明共有 r = 3 组实验数据，组内自由度为 12 = n - r 说明实验总样本数为 n = 15，
第四列为均方值，即方差值，是由该行平方和除自由度得到的，
第五列F 值是由组间方差除组内方差得到的，反映了组间方差与组内方差的相对大小，若该值很小，说明总方差基本是由误差引起的，也就是说之前提到的那个因素对实验结果没什么影响，若该值较大，则说明有影响。
至于到底多“大”算大这个标准是由显著性水平衡量的，
第六列显著性由显著性水平及自由度决定，一般显著性水平取0.05，所谓显著性是指零假设为真的情况下拒绝零假设所要承担的风险水平。
而零假设就是假设因素对实验结果没有影响。
这里显著性为0.855说明有85.5%的概率该因素对实验结果无影响，故零假设成立。
方差分析单因素方差分析3篇
方差分析单因素方差分析第一篇：方差分析基础知识什么是方差分析？方差分析（ANOVA）是一种常用的数据分析方法，用于确定多个组或处理之间差异的检验方法。
方差分析的目的是比较各组之间的均值是否有显著差异，从而确定某种变量是否能够对观测结果产生统计显著影响。
方差分析的原理方差分析的基本原理是将总差异拆分为各个来源的差异，比较相对大小，进而确定各组均值之间是否存在显著差异。
方差分析原理中的总差异由于组内差异和组间差异组成，在计算统计检验时，需要根据样本数据计算出相应的方差分量。
方差分析的应用范围方差分析适用于多组数据的比较分析，通常用于以下场景：1. 不同处理方式对结果的影响是否显著；2. 产品的性能比较；3. 不同采样机构采样结果的差异性比较；4. 不同肥料对植物生长的影响比较等。
在研究中，方差分析也被广泛应用于实验设计和因子分析中，通过分析方差来确定影响观察结果的因素，以减少实验的时间和成本。
第二篇：单因素方差分析的步骤单因素方差分析是指数据来自同一总体下的不同组或处理之间的差异，其中只有一个因素起到决定性作用的方差分析。
对于一般的数据处理，单因素方差分析一般包括以下步骤。
1. 设定假设并确定显著性水平假设总体均值相等，等价于各组均值相等。
如果拒绝了该假设，则表明不同组之间均值存在显著差异。
同时，还需要确定显著性水平，通常为α=0.05或α=0.01。
2. 构建方差分析表构建方差分析表，并计算相关的方差分量，包括组内偏差平方和、组间偏差平方和、总偏差平方和和平均平方值。
3. 计算F值通过总偏差平方和、组内偏差平方和，以及各组样本容量计算F值。
4. 进行假设检验通过比较计算出的F值与参考F分布表中的临界值，以判断不同组之间差异是否显著。
5. 发现组之间差异的原因如果不同组之间均值存在显著差异，则需要通过多重比较或方差分析的分解来确定差异来源，以便进一步研究各组之间差异的原因。
第三篇：常用的单因素方差分析方法1. 单因素方差分析（One-way ANOVA）单因素方差分析是一种常见的数据分析方法，通常用于比较三个或三个以上组之间的差异。
单因素方差分析方法
单因素方差分析方法首先在单因素试验结果的基础上，求出总方差V 、组内方差vw、组间方差vB。
总方差 v=()2ijx x -∑组内方差 v w =()2ij x x i-∑ 组间方差 v B=b ()2ix x -∑从公式可以看出，总方差衡量的是所有观测值xij对总均值x 的偏离程度，反映了抽样随机误差的大小，组内方差衡量的是所有观测值xij对组均值x 的偏离程度，而组间方差则衡量的是组均值x i对总均值x 的偏离程度，反映系统的误差。
在此基础上，还可以得到组间均方差和组内均方差: 组间均方差2Bs∧=1B-a v组内均方差2ws∧=aab vw-在方差相等的假定下,要检验n 个总体的均值是否相等，须首先给定原假设和备择假设。
原假设 H：均值相等即μ1=μ2=…=μn备择假设H 1：均值不完全不相等则可以应用F 统计量进行方差检验：F=)()(b ab a vv w--1B =22∧∧ss WB该统计量服从分子自由度a —1，分母自由度为ab-a 的F 分布。
给定显著性水平a ，如果根据样本计算出的F 统计量的值小于等于临界值)(a ab 1a F --，α，则说明原假设H不成立，总体均值不完全相等，差异并非仅由随机因素引起。
下面通过举例说明如何在Excel 中实现单因素方差分析。
例1：单因素方差分析某化肥生产商需要检验三种新产品的效果，在同一地区选取3块同样大小的农田进行试验，甲农田中使用甲化肥，在乙农田使用乙化肥，在丙地使用丙化肥,得到6次试验的结果如表2所示，试在0.05的显著性水平下分析甲乙丙化肥的肥效是否存在差异。
表2 三块农田的产量甲 50 46 49 52 48 48 乙 49 50 47 47 46 49 丙515049465050要检验三种化肥的肥效是否存在显著差异，等同于检验三者产量的均值是否相等：给定原假设H：三者产量均值相等；备择假设H 1：三者的产量均不相等,对于影响产量的因素仅化肥种类一项,因此可以采用单因素方差分析进行多总体样本均值检验. ⑴新建工作表“例1”,分别单击B3：D8单元格,输入表2的产量数值。
单因素方差分析
单因素方差分析单因素方差分析，也称单因子方差分析或单变量方差分析，是一种统计方法，用于比较两个或多个组间的均值是否存在显著差异。
在此文章中，我们将介绍单因素方差分析的基本概念、假设检验以及分析步骤等内容。
一、基本概念单因素方差分析是通过比较不同组的均值差异来进行统计推断的方法。
在该分析中，有一个自变量（也称为因素）和一个因变量。
自变量是分类变量，将数据分为不同的组别；因变量是连续变量，表示我们希望比较的具体测量结果。
二、假设检验在进行单因素方差分析时，我们需要先建立假设，并进行假设检验。
常用的假设为：- 零假设（H0）：不同组间的均值没有显著差异；- 备择假设（H1）：不同组间的均值存在显著差异。
三、分析步骤进行单因素方差分析的一般步骤如下：1. 收集数据：收集各组的观测值数据。
2. 计算总体均值：计算每组数据的均值，并计算总体均值。
3. 计算组内平方和（SSw）：计算每组数据与其组内均值之差的平方和。
4. 计算组间平方和（SSb）：计算每组均值与总体均值之差的平方和。
5. 计算均方：分别计算组内均方（MSw）和组间均方（MSb），即将组内平方和与组内自由度相除，将组间平方和与组间自由度相除。
6. 计算F值：计算F值，即组间均方除以组内均方。
7. 假设检验：根据给定的显著性水平，查找F分布表以比较计算得到的F值与临界值的大小关系。
8. 结果解释：根据假设检验的结果，判断不同组间的均值是否存在显著差异。
四、例子和应用单因素方差分析可以用于各种研究领域，如教育、医学、社会科学等。
以教育领域为例，我们可以通过单因素方差分析来比较不同教学方法对学生成绩的影响。
在进行该分析时，我们可以将学生分为两组，一组采用传统教学方法，另一组采用现代教学方法。
然后，我们收集每组学生的考试成绩，并对数据进行单因素方差分析。
通过比较组间的均值差异，我们可以判断不同教学方法对学生成绩是否存在显著影响。
五、总结单因素方差分析是比较不同组间均值差异的常用统计方法。
单因素试验的方差分析
j
μ 各个随机误差 ε ij 相互独立， 1 , μ 2 , , μ s 和 σ
未知.
单因素试验表 部分总体 样 本 A1 A2 … As
X11
X21
· · ·
X12 …
X22 … Xn22 … T.2 …
X 2
· · ·
X1s
X2s
· · ·
…
Xn11 样本和T.j 样本均值 X j T.1
是 σ 的无偏估计
.
结合定理(1)(2)(3)，有
F S A /( s 1 ) S E /( n s ) ~ F ( s 1, n s )
ST ，SA ，SE 的计算方法
n
j
记 T j 化简得
i1
X
ij
， T
j1 i1
s
2
s
n
j
X
ij
T
j1
s
j
j1 i1
s
n
j
(X
ij
X
j )
2
说明：
SE 表示在每个水平下的样本值与该水平下的样本 均值的差异，它是由随机误差引起的，所以，称SE是 误差（组内）平方和.
平方和分解公式：
ST S A S E
证明：S
i1
s
n
j
(X
ij
X)
2
( X
j1 i1
2
都是未知参数。
在水平Aj下进行nj次独立试验，得样本
X 1 j， X
2 j
， ，X
nj j
，
则
记
X
ij
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.
单因素试验的方差分析
设 A 表示欲考察的因素，它的 r 个不同水平，对
应的指标视作 r 个总体 X1, X2,...Xr. 每个水平下,我
们作若干次重复试验：n1, n2,...nr.（可等重复也可不
等重复），同一水平的 n
个结果，就是这个总体
试验指标——试验结果。
可控因素——在影响试验结果的众多因素中，可人为 控制的因素。
水平——可控因素所处的各种各种不同的状态。每个 水平又称为试验的一个处理。
单因素试验——如果在一项试验中只有一个因素改变， 其它的可控因素不变，则该类试验称为 单因素试验。
.
引例
例1 （灯丝的配料方案优选）某灯泡厂用四种配料方案制成的灯 丝生产了四批灯泡，在每批灯泡中作随机抽样，测量其使用寿 命（单位：小时），数据如下：
2r
2
XiX ni ii
i 1j 1
i 1
组间平方和（系
如果H0 成立，则SSA 较小。 统离差平方和）
反映的是各水平平均值偏离总平均值的偏离程度。
其中
1 r ni
ni1 j1
ij,
ni
i ij . j1
r ni
2 r ni
2
SSE
X ijXi
iji
i 1j 1
i 1j 1
组内平方和
反映的是重复试验种随机误差的大小。误差平方和
这里
1 r ni
ni1 j1
ij,
ni
i ij
j1
i 表示水平Ai的随机误差； 表示整个试验的随机误差
.
若假设 H 0:a 1a 2...a r0成立，则
Xij ~N,2 （各子样同分布）
由P106定理5.1可推得：
S S 2 T~2 n 1 ,S S 2 A ~2 r 1 ,S S 2 E ~2 n r
4 0 3 5 3 6 3 8 3 3 xij 1536.4 i1 j1
纵向个体间的差异称为随机误差（组内差异），由试验造
成；横向个体间的差异称为系统误差（组间差异），由因素的
不同水平造成。
.
单因素试验的方差分析的数学模型
首先，我们作如下假设：
1 .X i~ Ni, 2,i 1 ,2 ,...r具有方差齐性。
...
... ... ... ...
ni
ni
列和Ti Xij j 1
X1n1 X2n2 ... T 1 T 2 ...
列平均Xi Ti ni X 1 X2 ...
（水平组内平均值）
Xrnr
r
T r 总 和 T i i1
Xr
X
1 n
r i1
ni X i
（总平均值）
r
n 其中诸 i 可以不. 一样，n n i i1
灯泡
寿命
1 2 3 4 5 678
灯丝
甲 1600 1610 1650 1680 1700 1720 1800
乙 1580 1640 1640 1700 1750
丙 1460 1550 1600 1620 1640 1740 1660 1820
丁 1510 1520 1530 . 1570 1680 1600
2. X1,X2,...Xr 相互独立，从而各子样也相互独立。
由于同一水平下重复试验的个体差异是随机误差， 所以设：
X iji ij,j 1 ,2 ,...n i,i 1 ,2 ,...r线性统计模型
其中 i j 为试验误差，相互独立且服从正态分布
即
ij ~N0,2 .
整个试验的均值
令
引例
灯泡的使用寿命——试验指标
灯丝的配料方案——试验因素（唯一的一个）
四种配料方案（甲乙丙丁）——四个水平
因此，本例是一个四水平的单因素试验。
用X1，X2，X3，X4分别表示四种灯泡的使用寿命，即为 四个总体。假设X1，X2，X3，X4相互独立，且服从方差 相同的正态分布，即Xi~N（i，2）（i=1，2，3，4）
将
SST
2
,
SSA
2
,
SSE
2
的自由度分别记作 dfT,dfA,dfE
则 FSSA dfA~Fr1,nr
SSE dfE
（记 S S Ad fA M S A ,S S Ed fE M S E ，称作均方和）
.
则 FSSA dfA~Fr1,nr M S A
SSE dfE
M SE
（记 S S Ad fA M S A ,S S Ed fE M S E ，称作均方和）
对给定的检验水平 ，由 P F F r 1 ,n r
得H0 的拒绝域为：FFr1,nr F 单侧检验
思考：为什么此处只做单侧检验？
.
引言
在工农业生产和科研活动中，我们经常遇到这样 的问题：影响产品产量、质量的因素很多，例如影 响农作物的单位面积产量有品种、施肥种类、施肥 量等许多因素。我们要了解这些因素中哪些因素对 产量有显著影响，就要先做试验，然后对测试结果 进行分析，作出判断。方差分析就是分析测试结果 的一种方法。
.
基本概念
等价于检验假设： H 0: 12 ...r0 .
若H0成立，则 X ij ij,j 1 ,2 ,...n i,i 1 ,2 ,...r
r
考察统计量 SST
ni
2
Xij X
总离差平方和
i1 j1
经恒等变形，可分解为： SSTSSASSE 见书P168
其中
r ni
S S A
i
X
i
的一个样本：Xi1, Xi2,...Xini .
因此， Xi1,Xi2,...Xini 相互独立，且与 X i 同分布。
我们的目的是通过试验数据来判断因素 A 的不 同水平对试验指标是否有影响。
.
单因素试验资料表
水平
重复 试验结果 A 1 A 2 ... A r
1
X11 X21 ... Xr1
例：五个水稻品种单位产量的观测值——P165
品种 重复
A 1 A j1
xi
41 33 38 37 31
39 37 35 39 34
40 35 35 38 34
53
1 2 01 0 51 0 81 1 49 9 xij 546 i 1 j 1
53
1 ni r1nii ,（其中
r
n ni ）称为一般平均值。
i1
i i , 称为因素A的第 i个水平 Ai的效应。
r
r
r
显然有： nii nii niin0
i 1
i 1
i 1
则线性统计模型变成
X i j i i j,j 1 ,2 ,...n i,i 1 ,2 ,...r
于是检验假设： H 0:12...r