线性规划考前复习2015下资料
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a21x1+a22x2+….+a2nxn (=, )b2 …………………. am1x1+am2x2+….+amnxn (=, )bm x1x2….xk 0
线性规划问题的标准形式
MIN S=c1x1+c2x2+…..+cnxn s.t. a11x1+a12x2+….+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+….+a2nxn=b2 …………………. am1x1+am2x2+….+amnxn=bm x1,x2….xn 0 其中：bi 0(i=1,2,….m)
线性规划数学模型的三要素：
决策变量、约束条件、目标函数
• 二、将一般形式化为标准形式
• 标准形：1. 约束条件是等式；2等式右边的 常数非负；3所有变量都有非负约束
线性规划问题的一般形式： Min(Max)S=c1x1+c2x2+…..+cnxn s.t. a11x1+a12x2+….+a1nxn (=, )b1
MAX S=c1x1+c2x2+…..+cnxn s.t. a11x1+a12x2+….+a1nxn≤（=）b1
a21x1+a22x2+….+a2nxn ≤（=） b2 …………………. am1x1+am2x2+….+amnxn ≤（=） bm x1,x2….xk 0
如何将一般问题化为标准形：
如何将一般问题化为标准形：
x2
50
由 4x1+3x2 120
x1 0 x2 0
40
围成的区域
30
20
10 4x1+3x2 = 120
10 20
30 40
x1
x2 50
40 2x1+x2 =50
30
由 2x1+x2 50
x1 0 x2 0
20
围成的区域
10
10
25
40
x1
x2
50
同时满足：
2x1+x2 50
Q2（15，20） 凸多边形
20
可行域
10
Q1（25，0）
O（0，0） 10
20
30 40
x1
x2 50
40 30
50/3 10
可行域
一组等值线,它们平行 50x1+30x2 = s=1000
10 20
30 40
x1
x2
当S值不断增加时，该直线
50
50x1 +30x2 = S
40
沿着其法线方向向右上方移动。
40wk.baidu.com
2x1+x2 =50
4x1+3x2 120
30
x1 0 x2 0
的区域——可行域
20 可行域
10
4x1+3x2 =120
10 20
30 40
x1
x2
Q3（0，40）
40
可行域是由约束条件围成 的区域，该区域内的每一 点都是可行解，它的全体 组成问题的解集合。
30
该问题的可行域是由O，
Q1，Q2，Q3作为顶点的
三、（二维）线性规划问题图解法：
1. 满足约束条件的变量的值，称为可行解。 2.使目标函数取得最优值的可行解，称为 最优解。
例3
max S=50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2 120
2x1+x2 50 x1,x2 0
4x1+3x2 = 120, 法线方向:(4,3) 2x1+x2 = 50 , 法线方向:(2,1) (等值线) 50x1+30x2=s,法线方向:(5,3)
解：将一个实际问题转化为线性规划模型有以下
几个步骤： 1．确定决策变量：x1=生产桌子的数量
x2=生产椅子的数量 2．确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大
max z=50x1+30x2 3．确定约束条件：
4x1+3x2120（木工工时限制） 2x1+x2 50 （油漆工工时限制整数） 4．变量取值限制： x1 0, x2 0 （整数）
例2 将下列问题化成标准形:
Min S = -x1+2x2-3x3 s.t. x1+x2+x3 7
x1-x2-x3 -2 -3x1+x2+2x3 = 5 x1,x2 0 x3 无非负限制
Min S = - x1+2x2 - 3x4 + 3x5 s.t. x1+x2+x4-x5+x6 =7
-x1+x2+ x4-x5+x7=2 -3x1+x2+2x4-2x5 =5 x1, x2,x4,x5, x6,x7 0
•若约束条件是不等式
如何将一般问题化为标准形：
•若约束条件是不等式： aijxj bi 则它等价于
{ai1 x1
.... yi
a xin n 0
yi
bi
称yi 是松驰变量
如何将一般问题化为标准形：
▪ 若约束条件不等式： aijxj bi
则它等价于
{ai1 x1
.... ain yi 0
线性规划问题的对称形式
MIN S=c1x1+c2x2+…..+cnxn s.t. a11x1+a12x2+….+a1nxn≥（=）b1
a21x1+a22x2+….+a2nxn≥（=）b2 …………………. am1x1+am2x2+….+amnxn≥（=）bm x1,x2….xk 0
线性规划问题的对称形式
yi
bi
称 yi 是剩余变量
如何将一般问题化为标准形：
•若约束条件右面的某一常数项 bi<0 这时只要在bi相对应的约束方程两边乘 上-1。
如何将一般问题化为标准形：
•若约束条件右面的某一常数项 bi<0 这时只要在bi相对应的约束方程两边乘 上-1。 •若变量 xj无非负限制 引进两个非负变量xj’ xj’’ 0 令xj= xj’- xj’’
30
20 可行域
10
10 20
30 40
x1
x2
50
当该直线移到Q2点时，S（目标函
数）值达到最大：
40
Max S=50*15+30*20=1350
30
此时最优解=（15，20）
20
Q2（15，20）
可行域
10
10 20
线性规划
复习
考试题型
1. 单项选择题； 2. 填空题； 3.简答题：包括证明题、画图题（图解法）、建 模题等； 4. 计算题：单纯形法，运输问题的表上作业法。
一、建数学模型
第一步：确定决策变量； 第二步：确定目标函数； 第三步：确定约束条件；
例1 生产计划问题（资源利用问题）
胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。桌子 销售单价50元/张，椅子销售单价30元/把，生 产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工 种。生产一张桌子需要木工4小时，油漆工2 小时。生产一把椅子需要木工3小时，油漆工 1小时。该厂每个月可用木工工时为120小时， 油漆工工时为50小时。问该厂如何组织生产 才能使每月的销售收入最大？
线性规划问题的标准形式
MIN S=c1x1+c2x2+…..+cnxn s.t. a11x1+a12x2+….+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+….+a2nxn=b2 …………………. am1x1+am2x2+….+amnxn=bm x1,x2….xn 0 其中：bi 0(i=1,2,….m)
线性规划数学模型的三要素：
决策变量、约束条件、目标函数
• 二、将一般形式化为标准形式
• 标准形：1. 约束条件是等式；2等式右边的 常数非负；3所有变量都有非负约束
线性规划问题的一般形式： Min(Max)S=c1x1+c2x2+…..+cnxn s.t. a11x1+a12x2+….+a1nxn (=, )b1
MAX S=c1x1+c2x2+…..+cnxn s.t. a11x1+a12x2+….+a1nxn≤（=）b1
a21x1+a22x2+….+a2nxn ≤（=） b2 …………………. am1x1+am2x2+….+amnxn ≤（=） bm x1,x2….xk 0
如何将一般问题化为标准形：
如何将一般问题化为标准形：
x2
50
由 4x1+3x2 120
x1 0 x2 0
40
围成的区域
30
20
10 4x1+3x2 = 120
10 20
30 40
x1
x2 50
40 2x1+x2 =50
30
由 2x1+x2 50
x1 0 x2 0
20
围成的区域
10
10
25
40
x1
x2
50
同时满足：
2x1+x2 50
Q2（15，20） 凸多边形
20
可行域
10
Q1（25，0）
O（0，0） 10
20
30 40
x1
x2 50
40 30
50/3 10
可行域
一组等值线,它们平行 50x1+30x2 = s=1000
10 20
30 40
x1
x2
当S值不断增加时，该直线
50
50x1 +30x2 = S
40
沿着其法线方向向右上方移动。
40wk.baidu.com
2x1+x2 =50
4x1+3x2 120
30
x1 0 x2 0
的区域——可行域
20 可行域
10
4x1+3x2 =120
10 20
30 40
x1
x2
Q3（0，40）
40
可行域是由约束条件围成 的区域，该区域内的每一 点都是可行解，它的全体 组成问题的解集合。
30
该问题的可行域是由O，
Q1，Q2，Q3作为顶点的
三、（二维）线性规划问题图解法：
1. 满足约束条件的变量的值，称为可行解。 2.使目标函数取得最优值的可行解，称为 最优解。
例3
max S=50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2 120
2x1+x2 50 x1,x2 0
4x1+3x2 = 120, 法线方向:(4,3) 2x1+x2 = 50 , 法线方向:(2,1) (等值线) 50x1+30x2=s,法线方向:(5,3)
解：将一个实际问题转化为线性规划模型有以下
几个步骤： 1．确定决策变量：x1=生产桌子的数量
x2=生产椅子的数量 2．确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大
max z=50x1+30x2 3．确定约束条件：
4x1+3x2120（木工工时限制） 2x1+x2 50 （油漆工工时限制整数） 4．变量取值限制： x1 0, x2 0 （整数）
例2 将下列问题化成标准形:
Min S = -x1+2x2-3x3 s.t. x1+x2+x3 7
x1-x2-x3 -2 -3x1+x2+2x3 = 5 x1,x2 0 x3 无非负限制
Min S = - x1+2x2 - 3x4 + 3x5 s.t. x1+x2+x4-x5+x6 =7
-x1+x2+ x4-x5+x7=2 -3x1+x2+2x4-2x5 =5 x1, x2,x4,x5, x6,x7 0
•若约束条件是不等式
如何将一般问题化为标准形：
•若约束条件是不等式： aijxj bi 则它等价于
{ai1 x1
.... yi
a xin n 0
yi
bi
称yi 是松驰变量
如何将一般问题化为标准形：
▪ 若约束条件不等式： aijxj bi
则它等价于
{ai1 x1
.... ain yi 0
线性规划问题的对称形式
MIN S=c1x1+c2x2+…..+cnxn s.t. a11x1+a12x2+….+a1nxn≥（=）b1
a21x1+a22x2+….+a2nxn≥（=）b2 …………………. am1x1+am2x2+….+amnxn≥（=）bm x1,x2….xk 0
线性规划问题的对称形式
yi
bi
称 yi 是剩余变量
如何将一般问题化为标准形：
•若约束条件右面的某一常数项 bi<0 这时只要在bi相对应的约束方程两边乘 上-1。
如何将一般问题化为标准形：
•若约束条件右面的某一常数项 bi<0 这时只要在bi相对应的约束方程两边乘 上-1。 •若变量 xj无非负限制 引进两个非负变量xj’ xj’’ 0 令xj= xj’- xj’’
30
20 可行域
10
10 20
30 40
x1
x2
50
当该直线移到Q2点时，S（目标函
数）值达到最大：
40
Max S=50*15+30*20=1350
30
此时最优解=（15，20）
20
Q2（15，20）
可行域
10
10 20
线性规划
复习
考试题型
1. 单项选择题； 2. 填空题； 3.简答题：包括证明题、画图题（图解法）、建 模题等； 4. 计算题：单纯形法，运输问题的表上作业法。
一、建数学模型
第一步：确定决策变量； 第二步：确定目标函数； 第三步：确定约束条件；
例1 生产计划问题（资源利用问题）
胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。桌子 销售单价50元/张，椅子销售单价30元/把，生 产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工 种。生产一张桌子需要木工4小时，油漆工2 小时。生产一把椅子需要木工3小时，油漆工 1小时。该厂每个月可用木工工时为120小时， 油漆工工时为50小时。问该厂如何组织生产 才能使每月的销售收入最大？