线性规划考前复习2015下资料

合集下载

线性规划和对偶线性问题复习

x 1 a 1m1 x x2 a
2 m 1 m 1
a 1n x n b1
x m 1 a 2n x n b 2 x m 1 a mn x n b m

m m 1
xm a x 1, x 2 , , x n 0
一、线性规划和对偶线性问题重点复习
例题1— 生产计划问题某厂生产两种产品，需要三种资源，已知各产品的利润、各资源的限量和各产品的资源消耗系数如下表：
劳动力设备原材料
产品A 9 4 3 产品B 4 5 10 12 资源限量 360 200 300
利润元/kg 7
建模
问题：如何安排生产计划，使得获利最多？步骤： 1、确定决策变量：设生产A产品x1kg,B产品x2kg 2、确定目标函数：max Z=7X1+12X2 3、确定约束条件：人力约束 9X1+4X2≤360 设备约束 4X1+5X2 ≤200 原材料约束 3X1+10X2≤300 非负性约束 X1≥0，X2≥0
若用xij表示从Ai到Bj的运量，那么在产销平衡的条件下，要求得总运费最小的调运方案，数学模型为：
min z cij xij
i 1 j 1 m n
m xij b j j 1,2, , n i 1 n s.t. xij aij i 1,2, , m j 1 x 0 ij
A=
1 0 0
0 0 1 0 0 1
a1m 1 a 2 m 1 a mm 1
a1n a2n 该标准型称为规范式(以x1,…xm为基变量的规范式) a mn
单纯形初始表为:

线性规划基础

（2）、该生产方案下每种产品的机会费用。
（3）、以此表为基础，请求出最优生产方案。
4．根据单纯形表判断解的类型。
（1）
Cj
0
0
0
0
-1
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
x1
10
1
1
1
0
0
-1
x5
20
0
-1
-2
-1
1
Zj
0
1
2
1
-1
Cj-Zj
0
-1
-2
-1
0
其中x5为人工变量，目标为max Z。
（2）
Cj
三．简答题
1．针对不同形式的约束（≥，=，≤）简述初始基本可行解的选取方法。
2．简述如何在单纯型表上判别问题是否具有唯一解、无穷多解、无界解或无可行解。
3．简述若标准型变为求目标函数最小，则用单纯形法计算时，如何判别问题已取得最优解。
四、解答题
1．找出下列线性规划问题的一组可行解和基本可行解。
（1）max Z = 40x1+45x2+24x3（2）min Z =x1-2x2+x3-3x4
15
20
25/ 3
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
20
x2
20
0
1
-1/3
1
-2/3
15
x1
20
1
0
1
-1
1
Zj
15
20
25/3
5

2015年高考数学第一轮复习资料35(简单的线性规划问题)

学案35 简单的线性规划问题1．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)判断不等式Ax ＋By ＋C >0所表示的平面区域，可在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧的半平面内选取一个特殊点，如选原点或坐标轴上的点来验证Ax ＋By ＋C 的正负．当C ≠0时，常选用______________．对于任意的二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0(或<0)，无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数，当B >0时，①A x ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0______的区域； ②Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0______的区域．(2)画不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域时，其边界直线应为虚线；画不等式Ax ＋By ＋C ≥0表示的平面区域时，边界直线应为实线．画二元一次不等式表示的平面区域，常用的方法是：直线定“界”、原点定“域”．2．线性规划的有关概念(1)线性约束条件——由条件列出一次不等式(或方程)组． (2)线性目标函数——由条件列出一次函数表达式．(3)线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题． (4)可行解：满足________________的解(x ，y )． (5)可行域：所有________组成的集合．(6)最优解：使______________取得最大值或最小值的可行解． 3．利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域． (2)作出目标函数的等值线．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数等值线，从而确定__________．自我检测 1．(2011·北京东城1月检测)在平面直角坐标系中，若点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(0,1) 2．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是（）3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0，则z ＝3x －2y 的最大值为（）A ．0B ．2C ．4D ．64．(2010·浙江)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．25.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x －y ≤2，0≤y ≤3，则z ＝2x －y 的最大值为。

2015届高考二轮数学文科金版学案专题复习课件4.2线性规划、基本不等式与不等式的证明

4 3 4b 3a 所以 a ＋ b ＝ (a ＋ b) a＋b ＝ 7 ＋ a ＋ b ≥ 7 ＋
栏目链接
2
4b 3a a · b ＝7＋4 3，
4b 3a 当且仅当 a ＝ b 时，等号成立．故选 D.
栏目链接
高考热点突破
突破点1
不等式正、误的辨别与大小比较问题
栏目链接
主干考点梳理
考点1
线性规划问题
1．设出变量 x，y，列出变量x ， y函数值为0的直线l.
栏目链接
3．利用直线l确定最优解对应的点，从而求
出最优解．
主干考点梳理
考点2
基本不等式的应用问题
ab.
a＋b 1．基本不等式： ≥ 2
B )
栏目链接
主干考点梳理
解析：画出不等式表示的平面区域，如图，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝
－x的图象，当它的平行线经过A(2，0)时，z 取得最小值，最小值为z＝2，无最大值．故选B.
栏目链接
主干考点梳理
2 2 2 ． 2．若 x＞0，则 x＋x的最小值为________
栏目链接
主干考点梳理
x＋2y≤8，解析：作出不等式组 0≤x≤4，所表示的可行域 0≤y≤3，如下图所示．
栏目链接
主干考点梳理
直线x＝4交直线x＋2y＝8于点A(4，2)，作
直线l：z＝2x＋y，则z为直线l在y轴上的截距，当直线经过可行域上的点A时，直线l 在y轴上的截距最大，此时z取最大值，即 zmax＝2×4＋2＝10.故选C.
解析：
栏目链接
2 2 ∵x＞0⇒x＋ ≥2 2，当且仅当 x＝ ⇒x＝ 2时取等号． x x

高中数学线性规划知识复习

高中必修5线性规划最快的方法简单的线性规划问题一、知识梳理1. 目标函数: Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函数，称为目标函数．2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务. 1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过原点，通常选择原点代入检验．3. 平移直线ｙ＝－k ｘ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.积储知识：一． 1.点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上，则点P 坐标适合方程，即Ax 0+By 0+C=02. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax 0+By 0+C>0;当B<0时，Ax 0+By 0+C<03. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax 0+By 0+C<0;当B<0时，Ax 0+By 0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)>02.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)<0二.二元一次不等式表示平面区域:①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．包括边界; ②二元一次不等式Ax+By+C ≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0,y 0),从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C ≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。

2015届高考二轮复习专题一第2讲不等式与线性规划

表
示的平面区域内存在点 P(x0，y0)，满足 x0－2y0＝2，求得 m 的取值范围是(
4 A.－∞， 3 2 C.－∞，－ 3
)
1 B.－∞， 3 5 D.－∞，－ 3
解析
当m≥0时，若平面区域存在，
要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆.则
租金最少为( )
思维启迪
A.31 200元
C.36 800元
B.36 000元
通过设变量将实际问
D.38 400元题转化为线性规划问题.
解析
设租A型车x辆，B型车y辆时租金为z元，
x＋y≤21 y－x≤7 则 z＝1 600x＋2 400y，x、y 满足 36x＋60y≥900， x，y≥0，x、y∈N
在利用基本不等式求最值时 ,要特别注意 “ 拆、
拼、凑 ” 等技巧，使其满足基本不等式中 “ 正
思 ”( 即条件要求中字母为正数 ) 、 “ 定 ”( 不等式维升的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件华
)的条件才能应用，否则会出现错误.
变式训练2
x y (1)若点A(m，n)在第一象限，且在直线＋＝1上， 3 4 则mn的最大值为________.
(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目
思标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标维函数的最优解. 升华 (3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域
和目标函数.
变式训练 3
x>0 (1)已知实数 x，y 满足约束条件4x＋3y≤4 y≥ 0
，则 w
y＋1 ＝的最小值是( x A.－2 B.2
76 000v ②当 l＝5 时，F＝ 2 ＝ v ＋18v＋100 ≤ 2 76 000 76 000 ＝＝2 000. 20＋18 100 v· ＋18 v

2015届高考数学总复习简单的线性规划(公开课)

x
•由 x 4 y 3 0 。
x 1
求出B为（1，1)
zmin 2, zmax 29.
•若z=(x-3)2+(y-1)2,求z的最值.
x 4 y ≤ 3, 例1.已知x、y满足 3 x 5 y ≤ 25. x ≥ 1.
•解：画出可行域如图：
•(4)若 z
二元一次不等式(组)的解与简单的线性规划
2015•高考考纲要求
1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组． 2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． 3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
请注意！
从考纲和考题中看，该部分内容难度不大，重点考查目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题——线性规划问题，命题形式以选择、填空为主. 新课改后，线性规划理科每年必有 1 题，只有文科 2012 年未考及。但为了避免很多同学解出交点带入的情况，以后高考估计会加大“形’的考察力度,故在线性规划的学习中，要注意加强含参线性规划、非线性目标函数处理方法。
•(6)若目标函数z＝ax＋y取得最大值的最优解有无穷多个，求a的值
y
5
C
x-4y+3=0
A B
O
1 x=1 5
3x+5y-25=0
x
反思总结 1．利用平面区域求目标函数的最值步骤 (1)作出可行域； (2)找到目标函数对应的最优解对应点； (3)代入目标函数求最值． 2．常见的目标函数 (1)形如 z＝ax＋by 的截距型； y－a (2)形如 z＝的斜率型； x－b (3)形如 z＝(x－a)2＋(y－b)2 的距离型． 3．线性目标函数的最值点，一般在可行域的顶点或边界上取得．

2015高考总复习数学(文)课件：5.4 简单的线性规划

x≥2， x－2y＋4≥0， 2x－y－4≤0，若 z 的最大值为 12，则实数 k＝________.
解析：作出可行域，如图 D10 所示的阴影部分. 其中 A(2,0)，B(2,3)，C(4,4)，设 z＝F(x，y)＝kx＋y，将直线 l∶z＝kx
＋y 进行平移，可得
图 D10
x＝1，由 3x＋5y－25＝0， x＝1，由 x－4y＋3＝0，
作出
解得
22 A1， 5 .
图 5-4-3
解得
x－4y＋3＝0， C(1,1).由 3x＋5y－25＝0，
解得
B(5,2).
y y－0 (1)∵z＝x＝， x－0 ∴z 的值是可行域上的点与原点 O 连线的斜率. 2 观察图形可知，zmin＝kOB＝5. (2)∵z＝x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2， ∴z 的值是可行域上的点与原点 O 的距离的平方.结合图形可知，dmin＝|OC|＝ 2，dmax＝|OB|＝ 29. ∴2≤z≤29. (3)∵z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2， ∴z 的值是可行域上的点与点(－3,2)的距离的平方.则 dmin ＝1－(－3)＝4，dmax＝ (－3－5)2＋(2－2)2＝8.
x＋y＞1－x－y，故有x＋1－x－y＞y， y＋1－x－y＞x x＋y＞1， 2 1 ⇒y＜2， 1 x＜2，
1 1 1 再分别在同一坐标系中作直线 x＝2，y＝2，x＋y＝2，易知 A 正确.
答案：A
【方法与技巧】确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法：①直线定界：即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，则把直线画成实线.②特殊点定域：即在直线 Ax＋By＋C＝0 的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式的，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧.特别地，当 C≠0 时，常把原点作为测试点；当C

6-3第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划(2015年高考总复习)

第2页
返回导航
第六章
第三节
高考总复习模块新课标
新课标A版数学
高考这样考 1.考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值(或取值范围)． 2.考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围． 3.利用线性规划方法设计解决实际问题的最优方案.
考源教学资源网
第3页
新课标A版数学
x－y≥－1， 2．若实数x，y满足不等式组 x＋y≥1， 3x－y≤3，所围成的平面区域的面积是( A．3 C．2 5 B. 2 D．2 2 )
则该约束条件
考源教学资源网
第12页
返回导航
第六章
第三节
高考总复习模块新课标
新课标A版数学
考源教学资源网
第8页
返回导航
第六章
第三节
高考总复习模块新课标
新课标A版数学
疑点清源 1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化． 2．求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b>0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时， z值最小；当b<0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大．
返回导航
第六章
第三节
高考总复习模块新课标
新课标A版数学
4．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是 ________．
解析 (－2，t)在2x－3y＋6＝0上方，则2×(－2)－3t＋6<0， 2 ∴t>3.
2 答案 t> 3
考源教学资源网
第22页
返回导航
第六章
第三节
高考总复习模块新课标

2015届高三数学第一轮复习课件：6.3线性规划

某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品，由乙车间加工出 B 产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时，可加工出 7 千克 A 产品，每千克 A 产品获利 40 元，乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时，可加工出 4 千克 B 产品，每千克 B 产品获利 50 元．甲、乙两车间每天共能完成
B (1)求解线性规划的实际应用问题，关键是正确理解题意，将题目中的已知条件用表格形式呈现，来明确变量间的关系，写出约束条件和目标函数．(2)解线性规划
第二十二页，编辑于星期五：八点五十一分。
应用问题的一般步骤是：①分析题意，设出未知量；② 列出线性约束条件和目标函数；③作出可行域并利用数形结合求解；④作答．
至多 70 箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )．
A．甲车间加工原料 10 箱，乙车间加工原料 60 箱
第二十三页，编辑于星期五：八点五十一分。
B．甲车间加工原料 15 箱，乙车间加工原料 55 箱 C．甲车间加工原料 18 箱，乙车间加工原料 50 箱 D．甲车间加工原料 40 箱，乙车间加工原料 30 箱
y≤x＋7，
y≤x＋7，
x3＋6xy＋≤6201y，≥900，即3xx＋＋y5≤y≥ 217，5，则租金为 z＝1600x＋
x∈N，y∈N，
x∈N，y∈N，
y≤x＋7， 2400y.作出不等式组3xx＋＋y5≤y≥ 217，5，表示的可行域，如下图
x∈N，y∈N
阴影部分中的整点(即横坐标、纵坐标分别为整数的点)所示，
合叫作__可行域__．在可行域内存在使得线性目标函数取最大值或最小值的可行解叫作这个问题的__最优解__．

2015届高三数学一轮总复习课件：7.3简单的线性规划问题

考点基础
自我检测
1
2
3
4
5
+ ≤ 2,
3.若变量 x,y 满足约束条件 ≥ 1, 则 z=2x+y 的最大值和最小值分别为
≥ 0,
(
)
A.4 和 3
B.4 和 2
C.3 和 2
答案:B
D.2 和 0
解析:画出可行域如下图阴影部分所示.
画出直线 2x+y=0,并向可行域方向移动,
当直线经过点(1,0)时,z 取最小值.
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
基础梳理
自我检测
第五页，编辑于星期五：八点三十四分。
考点基础
基础梳理
1
2
3
3.利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是:
(1)在平面直角坐标系内作出可行域.
(2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形.
y=2x+z,z 表示直线在 y 轴上的截距,截距越大
z 越大,作直线 l0:y=2x,平移 l0,当 l0 过点 A(5,3)
时,z 取最小值,且为-7,选 A.
题型一
题型二
题型三
题型四
第十七页，编辑于星期五：八点三十四分。
重点难点
题型二简单的线性规划
例2
规律总结
迁移训练2
(1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得,也可能在边界
3.会从实际情境中抽象出一些简单的二
2.题型多为选择、填空题,着重考
查平面区域的画法及目标函数最

线性规划-复习

AB C D E
甲
1
原料
乙
1
丙
1
每万件产品利润（万元） 8
2101 0132 2222 20 10 20 21
现在原料数
（kg） 10 24 21
(1) 求最优生产计划.
(2) 对目标函数系数 c1、c4 分别作灵敏度分析.
(3) 对约束条件的常数项 b1、b2 分别作灵敏度分析. (4) 如果引进新产品 F，已知生产 F 1 万件要用原材料甲、乙、丙分别为 1、2、1 公斤，问 F 的
第三章运输问题
运输问题的求解
平衡运输问题不平衡运输问题
指派(分配)问题的求解
第四章整数规划
整数规划
分支定界法割平面法
0-1规划的隐枚举法
练习题
1、已知线性规划问题的初始单纯形表（如表1所示）和用单纯形法迭代后得到的表（如表2所示）如下，试求括弧中未知数a～l的值。
利润多少时才有利于投产？如果每万件 F 可得到利润 12 万元，问 F 是否有利于投产？
(5) 如果新增加煤耗不允许超过 10 吨的限制，而生产每万件 A、B、C、D、E 产品分别需要煤
3、2、1、2、1 吨，问原最优方案是否需要改变？如果改变，应如何改变？
练习题
在下面的不平衡运输问题中，如果产地 i 有一个单位未运出，就要发生单位存储成本。假定在产地 A1，A2，A3 的单位存储成本是 5、4 和 3。求最优解(方框中的数字是单位运费)。
考试复习与习题
注：阅卷中注重过程的推导与方法，计算准确性次之。
第一章线性规划
线性规划建模单纯形法
会用单纯形法求解线性规划问题会用两阶段法求解线性规划问题

2015届高考数学总复习第六章第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时精练试题文(含解析)

第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．在平面直角坐标系中，若点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(0,1)解析：将x ＝－2代入直线x －2y ＋4＝0中，得y ＝1.因为点(－2，t )在直线上方，∴t >1. 答案：B2．设实数x 和y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，x －y ≤2，x ≥4，则z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．26B ．24C ．16D ．14答案：D3．在坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥2|x |－1，y ≤x ＋1所表示的平面区域的面积为( )A ．2 2 B.83 C.223D ．2解析：作出不等式组所表示的可行域(如图)通过解方程可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13，B (2,3)，C (0，－1)，E (0,1)，如图可知，S △ABC ＝S △ACE ＋S △BCE ＝12×|CE |×(x B －x A )＝83.答案：B4．(2013·四川卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．16解析：画出可行域如图阴影部分(包括边界)易解得A (4,4)，B (8,0)，C (0,2)．对目标函数令z ＝0作出直线l 0，上下平移易知过点A (4,4)，z 最大＝16，过点B (8,0)，z 最小＝－8，即a ＝16，b ＝－8，∴a －b ＝24.选C. 答案：C5．(2013·汕头二模)给出平面区域G ，如图所示，其中A (5,3)，B (2,1)，C (1,5)．若使目标函数P ＝ax ＋y (a ＞0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为()A ．4B ．2 C.12 D.23解析：∵目标函数P ＝ax ＋y ，∴y ＝－ax ＋P .故目标函数值P 是直线y ＝－ax ＋P 的截距，当直线y ＝－ax ＋P 的斜率与边界AC 的斜率相等时，目标函数P ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无数多个，此时，－a ＝5－31－5＝－12，即a ＝12，故选C.答案：C6．(2013·韶关二模)4件A 商品与5件B 商品的价格之和不小于20元，而6件A 商品与3件B 商品的价格之和不大于24元，则买3件A 商品与9件B 商品至少需要( )A ．15元B ．22元C ．36元D ．72元解析：设一件A 商品的价格为x 元，一件B 商品的价格为y 元，买3件A 商品与9件B商品需要z 元，则z ＝3x ＋9y ，其中x 、y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥20，6x ＋3y ≤24，作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A (0,4)，B (0, 8)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫103，43.设z ＝F (x ，y )＝3x ＋9y ，将直线l ：z ＝3x ＋9y 进行平移，当l 经过点C 时，目标函数z 达到最小值，∴z 最小值＝F (103，43)＝3×103＋9×43＝22.因此，当一件A 商品的价格为103元，一件B 商品的价格为43元时，可使得买3件A 商品与9件B 商品费用最小，最小费用为22元．故选B.答案：B7．(2013·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．解析：由题意知原点O 到直线x ＋y －2＝0的距离为|OM |的最小值．所以|OM |的最小值为：22＝ 2.答案： 28．(2013·大纲全国卷)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D .若直线y＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________．解析：已知不等式组表示的平面区域如图中的三角形ABC 及其内部，直线y ＝a (x ＋1)是过定点(－1,0)斜率为a 的直线，该直线与区域D 有公共点时，a 的最小值为MA 的斜率，最大值为MB 的斜率，其中点A (1,1)，B (0,4)，故MA 的斜率等于1－01－－＝12，MB 的斜率等于4－00－－＝4，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，49．(2012·厦门模拟)某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元．解析：设甲种设备需要生产x 天，乙种设备需要生产y 天，该公司所需租赁费为z 元，x ，y 满足的关系式为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋65y ≥10，x ＋2y ≥14，x ≥0，y ≥0.作出不等式表示的平面区域，当对应的直线过两直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＋65y ＝10，x ＋2y ＝14的交点(4,5)时，目标函数z ＝200x ＋300y 取得最小值为2 300元．答案：2 30010．(2012·中山四校联考)某工厂有A ，B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1 h ，每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2 h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8 h 计算，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，问：如何安排生产才能使利润最大？解析：设甲、乙两种产品分别生产x 件、y 件，工厂获得的利润为z ，由已知条件可得二元一次不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，4x ≤16，4y ≤12，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝2x ＋3y .把z ＝2x ＋3y 变形为y ＝－23x ＋z 3，这是斜率为－23，在y 轴上的截距为z3的直线．当z变化时，可以得到一组互相平行的直线，当截距z3最大时，z 取得最大值．由上图可以看出，当直线y ＝－23x ＋z 3过直线x ＝4与直线x ＋2y －8＝0的交点M (4,2)时，截距z3的值最大，最大值为143，这时2x ＋3y ＝14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元．11．设函数f (θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.(1)若点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，求f (θ)的值；(2)若点P (x ，y )为平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ≤1，y ≤1上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f (θ)的最小值和最大值．解析： (1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12.于是f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝3×32＋12＝2. (2)作出平面区域Ω(即三角形区域ABC )如图所示，其中A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)．于是0≤θ≤π2.又f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6，且π6≤θ＋π6≤2π3，故当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，f (θ)取得最大值，且最大值等于2；当θ＋π6＝π6，即θ＝0时，f (θ)取得最小值，且最小值等于1.。

2015届高考数学一轮总复习 7-3简单的线性规划问题

则目标函数 z＝4x＋y 的最大值为________．
如图，满足条件的可行域为三角形区域(图中阴影部分)，故 z＝4x＋y 在 P(2,3)处取得最大值，最大值为 11. 三、解答题 10．(文)某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资每份由金融投资 20 万元，房地产投资 30 万元组成；进取型组合投资每份由金融投资 40 万元，房地产投资 30 万元组成．已知每份稳健型组合投资每年可获利 10 万元，每份进取型组合投资每年可获利 15 万元．若可作投资用的资金中，金融投资不超过 160 万元，房地产投资不超过 180 万元，那么这两种组合投资各应注入多少份，才能使一年获利总额最多？ [解析] 设稳健型投资 x 份，进取型投资 y 份，利润总额为 z(单位：10 万元，则目标函数为 z 20x＋40y≤160，＝x＋1.5y(单位：10 万元)，线性约束条件为：30x＋30y≤180， x≥0，y≥0x∈N，y∈N，
2 2
→ → 则OM· ON的最大值为(
)
B．2 2
C. 3
D．2 3
[答案] B [解析]
→ → → 如图，点 N 在图中阴影部分区域内，当 O， M， N 共线，且|ON|＝2 时， OM· ON最大，此时 N( 2， → → 2)，OM· ON＝(1,1)· ( 2， 2)＝2 2，故选 B. x＋y－3≤0， 12．(文)(2012· 福建文，10)若直线 y＝2x 上存在点(x，y)满足约束条件x－2y－3≤0， x≥m，
x＋y＝3000，由得 x＝2000，y＝1000，即点 B 的坐标为(2000,1000)，故当甲项目投资 0.24x＋0.36y＝840，
2000 万元，乙项目投资 1000 万元时，GDP 增长得最多. 能力拓展提升一、选择题 11．(2013· 东北师大附中二模)O 为坐标原点，点 M 的坐标为(1,1)，若点 N(x，y)的坐标满足 x ＋y ≤4， 2x－y>0， y>0， A. 2

2015届高三数学(文)第一轮总复习课件第41讲简单的线性规划问题

17
学海导航
文数
x－y＋5≥0 所以，不等式组x＋y≥0 x≤3
表示的平面区域如图
所示． 5 结合图中可行域得 x∈[－，3]，y∈[－3,8]． 2
18
学海导航
文数
－x≤y≤x＋5 ②由图形及不等式组知 . －2≤x≤3，且x∈Z
当 x＝3 时，－3≤y≤8，有 12 个整点；当 x＝2 时，－2≤y≤7，有 10 个整点；当 x＝1 时，－1≤y≤6，有 8 个整点；当 x＝0 时，0≤y≤5，有 6 个整点；当 x＝－1 时，1≤y≤4，有 4 个整点；当 x＝－2 时，2≤y≤3，有 2 个整点．所以平面区域内的整点共有 2＋4＋6＋8＋10＋12＝ 42(个)． 5 ③由(1)知，x∈[－，3]，y∈[－3,8]， 2 1 5 121 所以 S＝ (3＋ )(3＋8)＝ . 2 2 4
4
学海导航
文数
解析：由已知两点在直线的两侧，则(2＋3＋m)(－8－2＋m)<0，即(m＋5)(m－10)<0，所以－5<m<10，选 C.
5
学海导航
x≥1 3．已知实数x、y满足 y≤2 x－y≤0
文数
，则此不等式组表示的平
面区域的面积是( A ) 1 A.2 C．1 1 B.4 1 D.8
21
学海导航
文数
(2)画出满足约束条件的平面区域，由图可知平面区域图形为边长为 2的正方形，故其周长为 4 2.
22
学海导航
文数
二
线性规划下的最值
x－y＋2≥0 【例2】已知x＋y－4≥0 2x－y－5≤0
，求：
(1)z＝x＋2y－4的最大值； (2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值．

线性规划综合复习

一、二元一次不等式组与简单线性规划【知识梳理】1．2．二元一次不等式表示哪个平面区域的确定（1）二元一次不等式表示的平面区域由于对在直线同一侧的所有点，把它的坐标代入，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点，从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当时，常把原点作为此特殊点）以上判定方法简称为“直线定界、特殊点定域”法.（2）不等式组所表示的平面区域由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.（3）判断二元一次不等式（或< 0）表示直线的哪一侧的方法：因为对在直线同一侧的所有点,数的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点（若原点不在直线上，则取原点（0,0）最简便），它的坐标代入，由其值的符号即可判断二元一次不等式（或< 0）表示直线的哪一侧.（4）画二元一次不等式或表示的平面区域的基本步骤：①画出直线（有等号画实线，无等号画虚线）；②当时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当时，另取一特殊点判断；③确定要画不等式所表示的平面区域.要点诠释：“直线定界，特殊点定域”二元一次不等式（组）表示平面区域的重要方法.3．线性规划的有关概念：（1）线性约束条件：如果两个变量、满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量、的约束条件，这组约束条件都是关于、的一次不等式，故又称线性约束条件．（2）线性目标函数：关于、的一次式是欲达到最大值或最小值所涉及的变量、的解析式，叫线性目标函数．（3）线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．（4）可行解、可行域和最优解：在线性规划问题中，①满足线性约束条件的解叫可行解；②由所有可行解组成的集合叫做可行域；③使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.要点诠释：线性规划问题，就是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题.4．线性规划的应用（1）线性规划也是求值的一种,是求在某种限制范围之下的最大值或最小值的问题,其关键是列出所有的限制条件,不能有遗漏的部分,如有时变量要求为正实数或自然数,其次是准确找到目标函数,如果数量关系多而杂,可以用列表等方法把关系理清.（2）线性规划的理论和方法经常被用于两类问题中:一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用其完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能用最少的人力、物力、资金等资源来完成这项任务.要点诠释：在生产和生活中，常用于下料问题；优化安排活动问题；优化运营问题等.5．确定线性规划中的最优解对于只有两个变量的线性规划(即简单的线性规划)问题，可以用图解法求解．其基本的解决步骤是：①设变量，建立线性约束条件及线性目标函数；②画出可行域；③求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解)；④作答．要点诠释：确定最优解的思维过程：线性目标函数（A,B不全为0）中，当时，，这样线性目标函数可看成斜率为，且随变化的一组平行线，则把求的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点，直线在轴上的截距的最大值最小值的问题.因此只需先作出直线，再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解.特别注意，当B > 0时，的值随着直线在轴上的截距的增大而增大；当B < 0时，的值随着直线在轴上的截距的增大而减小.通常情况可以利用可行域边界直线的斜率来判断.对于求整点最优解，如果作图非常准确可用平移求解法，也可以取出目标函数可能取得最值的可行域内的所有整点，依次代入目标函数验证，从而选出最优解，最优解一般在可行域的定点处取得，若要求最优整解，则必须满足，均为整数，一般在不是整解的最优解的附近找出所有可能取得最值的整点，然后将整点分别代入目标函数验证选出最优整解.上述求整点最优解的方法可归纳为三步：找整点---验证--- 选最优解6．方法总结（1）二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．（2）线性规划问题的解题步骤：①作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；②平移——将直线平行移动，以确定最优解的对应点的位置；③求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．（3）解线性规划应用问题的一般步骤：①分析题意，设出未知量；②列出线性约束条件和目标函数；③作出可行域并利用数形结合求解；④作答．（4）常见代数式的几何意义有①表示点与原点的距离；②表示点与点之间的距离；③表示点与原点连线的斜率；④表示点与点连线的斜率．能获得最大收益？【变式练习】现有大珍珠1200只，小珍珠540只。

2015届高考数学考点冲刺 23 线性规划

考点23 线性规划【】 1.若变量满足约束条件， A． B． C． D． 2.已知a＞0，x，y满足约束条件,若z=2x+y的最小值为1，则a=( ) (B) (C)1 (D)2 3.设变量满足约束条件，则目标函数z=3x-y的取值范围是（）（A）（B）（C）[-1,6] （D） 4.设，其中实数满足，若的最大值为12，则实数________. 5.若点, y)位于曲线与y2所围成的封闭区域 6.若满足约束条件，则的最小值为 . 7.已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC 内部，则z=－x+y的取值范围是( ) （A）(1－，2) （B）(0，2) （C）(－1，2) （D）(0，1+) 【方法总结】 1．最优解问题如果可行域是一个多边形，那么目标函数一般在某顶点处取得最大值或最小值，最优解就是该点的坐标，到底哪个顶点为最优解，只要将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是．特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时(k＝k1)，其最优解可能有无数个． 2．整数解问题若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解)，这时应作适当的调整，其方法是在线性目标函数的直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，也可以在用图解法所得到的近似解附近寻找．热点二与其它知识交汇 8.在平面直角坐标系中，为不等式组，所表示的区域上一动点，则直线斜率的最小值为（） A. B. C. D. 9.设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)x0－2y0 A. B. C. D. [答案]C [解析]要使线性约束条件表示的平面区域内存在点P(x0，y0)x0－2y0有交10.抛物线在处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为（包含三角形内部和边界）.若点是区域内任意一点，则的取值范围是 . 11.给定区域:,令点集是在上取得最大值或最小值的点, 则中的点共确定______条不同的直线. 12.(2012年高考福建卷理科9)若直线上存在点满足约束条件，则实数的最大值为（） A． B．1 C． D．2 【答案】B 13.记不等式组，所表示的平面区域为D.若直线与D有公共点，则a的取值范围是 . 14.设为不等式组表示的平面区域，区域上的点与点之间的距离的最小值为__. 15.满足约束条件的目标函数的最小值是 . 【方法总结】常见的目标函数有 (1)截距型：形如z＝ax＋by. 求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式： y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值． (2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2. (3)斜率型：形如z＝. 注意转化的等价性及几何意义. 16.某、两种型安排900名客人旅行，、两种车的载客量分别为36人和60人分别为元和元，不超过21，型车不多于型车7辆．（）在y轴上的截距最小，最小值元. 17.某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜 4吨 1.2万元0.55万元韭菜 6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为 A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50 ，可知当直线经过点,即时,z取得最大值,且（万元）.故选B. 18.某公司生产甲、乙两种桶装产品。