海淀区2013-2014学年初三第一学期期中考试数学试卷
北京市海淀区2013届九年级上学期期末数学试题及答案 (2)
海淀区九年级第一学期上册期末考试试题数 学 试 卷（分数：120分 时间：120分钟） 2013.01班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1.x 的取值范围是 A ．12x ≠B ．x ≥12C ．x ≤12D ．x ≠-122.将抛物线2y x =平移得到抛物线25y x =+，下列叙述正确的是 A.向上平移5个单位 B.向下平移5个单位C.向左平移5个单位D.向右平移5个单位3.如图，AC 与BD 相交于点E ，AD ∥BC .若:1:2AE EC =，则:AED CEB S S ∆∆为A.2:1B. 1:2C.3:1D. 1:44.下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是 A ．2210x x -+=B ． 2240x x +-=C ．2250x x --=D ．2240x x ++=5.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A =40°，则∠OCB 等于 A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°6.如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为 A ．212y x =- B ．21(1)2y x =-+ C ．1)1(212---=x y D ． 21(1)12y x =-+-7．已知0a <2a 可化简为A. a -B. aC. 3a -D. 3a8. 如图，以(0,1)G 为圆心，半径为2的圆与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 、D 两点,点E 为⊙G 上一动点，CF AE⊥于F .当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为 A ．BCD二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9= ．10. 若二次函数223y x =-的图象上有两个点(3,)A m -、(2,)B n ，则m n （填“<”或“=”或“>”）.11.如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为 _________cm. 12.小聪用描点法画出了函数y =F ，如图所示.结合旋转的知识，他尝试着将图象F 绕原点逆时针旋转90︒得到图象1F ，再将图象1F 绕原点逆时针旋转90︒得到图象2F ，如此继续下去，得到图象n F .在尝试的过程中，他发现点P (4,2)--在图象 上（写出一个正确的即可）；若点P （a ，b ）在图象127F 上，则a = (用含b 的代数式表示) . 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.计算：2011()(3)3π--+--14. 解方程：2280x x +-= .(0,1)I15．已知3a b +=，求代数式22285a b a b -+++的值.16.如图，正方形网格中，△ABC 的顶点及点O 在格点上． (1)画出与△ABC 关于点O 对称的△111A B C ；(2)画出一个以点O 为位似中心的△222A B C ，使得△222A B C 与△111A B C 的相似比为2.17．如图，在△ABC 与△ADE 中，C E ∠=∠，12∠=∠,AC AD =2AB ==6,求AE 的长．18.如图,二次函数223y x x =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点 C ，顶点为D , 求△BCD 的面积.四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．已知关于x 的方程04332=++mx x 有两个不相等的实数根. （1）求m 的取值范围；（2）若m 为符合条件的最大整数，求此时方程的根.20. 已知：二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠中的x 和y 满足下表：(1) 可求得m 的值为 ； (2) 求出这个二次函数的解析式；(3) 当03x <<时，则y 的取值范围为 .21．图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？22.如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ，AC 交⊙O 于点D ，E 为BC 中点. 求证：（1）DE 为⊙O 的切线；（2）延长ED 交BA 的延长线于F ，若DF =4，AF =2，求BC 的长.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23. 小明利用等距平行线解决了二等分线段的问题.作法：（1）在e 上任取一点C ，以点C 为圆心，AB 长为半径画弧交c 于点D ，交d 于点E ； （2）以点A 为圆心，CE 长为半径画弧交AB 于点M ； ∴点M 为线段AB 的二等分点.图1解决下列问题：（尺规作图，保留作图痕迹）（1）仿照小明的作法，在图2中作出线段AB 的三等分点；图2（2）点P 是∠AOB 内部一点，过点P 作PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ，请找出一个满足下列条件的点P . （可以利用图1中的等距平行线）①在图3中作出点P ，使得PM PN =； ②在图4中作出点P ，使得2PM PN =.图3 图424．抛物线2(3)3(0)y mx m x m =+-->与x 轴交于A 、B 两点，且点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，OB=OC ． （1）求这条抛物线的解析式；（2）若点P 1(,)x b 与点Q 2(,)x b 在（1）中的抛物线上，且12x x <，PQ=n . ①求2124263x x n n -++的值；② 将抛物线在PQ 下方的部分沿PQ 翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个新图象.当这个新图象与x 轴恰好只有两个公共点时，b 的取值范围是 .25．如图1，两个等腰直角三角板ABC 和DEF 有一条边在同一条直线l 上，2DE =， 1AB =．将直线EB 绕点E 逆时针旋转45︒，交直线AD 于点M ．将图1中的三角板ABC 沿直线l 向右平移，设C 、E 两点间的距离为k ．图1 图2 图3解答问题：（1）①当点C 与点F 重合时，如图2所示，可得AMDM的值为 ； ②在平移过程中，AMDM的值为 （用含k 的代数式表示）； （2）将图2中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变.当点A 落在线段DF 上时，如图3所示，请补全图形，计算AMDM的值； （3）将图1中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转α度，0α<≤90，原题中的其他条件保持不变.计算AMDM的值（用含k 的代数式表示）．海淀区九年级第一学期期末练习数学试卷答案及评分参考二、填空题（本题共16分，每小题4分）13. 计算：2011()(3)3π--+--解：原式191+-- …………………………………………4分=7 …………………………………………5分 14. 解方程：2280x x +-= .解法一：(4)(2)0x x +-=. …………………………………………3分40x +=或20x -=.∴ 124,2x x =-=. …………………………………………5分解法二： 1,2,8a b c ===-, …………………………………1分2241(8)360∆=-⨯⨯-=>. ……………………………………2分∴ x =. …………………………………………3分∴ 124,2x x =-=. …………………………………………5分15．解法一：∵3a b +=，∴ 22285a b a b -+++=()()285a b a b a b +-+++ ………………………2分 =3()285a b a b -+++ ………………………3分 =5()5a b ++ ………………………4分 =535⨯+=20. ………………………5分解法二：∵3a b +=，∴3b a =-. .…………………………1分原式= 22(3)28(3)5a a a a --++-+.…………………………2分=22(96)22485a a a a a --+++-+ .…………………………3分 =582426922+-++-+-a a a a a .…………………………4分=20. ………………………5分16.例如：∴△111A B C 、△222A B C 为所求.(注：第（1）问2分；第（2）问3分，画出一个正确的即可.) 17. 解：∵12∠=∠，∴CAB EAD ∠=∠. ………………………1分 ∵C E ∠=∠，∴△CAB ∽△EAD . ………………………3分∴AB ACAD AE=. ………………………4分 ∵AC AD =2AB ==6， ∴=3AB . ∴36=6AE. ∴12AE =. ………………………5分18. 解法一：依题意，可得223y x x =-++=214x --+（）. ∴顶点(1,4)D . ……………1分 令0y =，可得3x =或1x =-.∴A (1,0)-、B (3,0). (2)分令0x =，可得3y =.∴(0,3)C . ……………3分∴直线CD 的解析式为3y x =+. 设直线CD 交x 轴于E . ∴(3,0)E -.∴6BE =. …….………….…………4分 ∴3BCD BED BCE S S S =-= .∴△BCD 的面积为3. …….………….…………5分解法二：同解法一，可得A (1,0)-、B (3,0)、(0,3)C 、(1,4)D . ……………3分∴直线BC 的解析式为3y x =-+. 过点D 作DE ∥BC 交x 轴于E ,连接CE . ∴设过D 、E 两点的直线的解析式为y x b =-+.∵(1,4)D ，∴直线DE 的解析式为5y x =-+. ∴(5,0)E .∴2BE =. ….…………4分 ∵DE ∥BC ， ∴132BCD BCE S S BE OC ==⨯⨯= . ∴△BCD 的面积为3. . .………….………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）∵关于x 的方程04332=++mx x 有两个不相等的实数根， ∴∆930m =->. …………………………1分 ∴3m <. .…………………………2分 （2）∵m 为符合条件的最大整数，∴2m =. .…………………………3分∴23302x x ++=. 2223333()()222x x ++=-+.233()24x +=.2331-=x ，2332--=x . ∴方程的根为2331-=x ，2332--=x . .…………………………5分 20．解：(1)m 的值为3； .…………………………1分(2) ∵二次函数的图象经过点（1，0），（3，0），∴设二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =--. .…………………………2分 ∵图象经过点(0,3)，∴1a =. .…………………………3分∴这个二次函数的解析式为243y x x =-+. .…………………………4分 (3) 当03x <<时，则y 的取值范围为 1-≤3<y . .…………………5分 21. 解：如图所示，建立平面直角坐标系.设二次函数的解析式为2y ax =(0)a ≠. .…………………1分 ∵图象经过点(2,2)-， .…………………2分∴24a -=，12a =-. ∴212y x =-. .…………………3分当3y =-时，x = .…………………4分答：当水面高度下降1米时，水面宽度为. .…………………5分 22．（1）如图，连接,OD BD . ………………1分∵在⊙O 中，OD OB =，∴∠1=∠2.∵AB 是⊙O 的直径， ∴90ADB CDB ∠=∠=︒. ∵E 为BC 中点， ∴12ED BC EB ==. ∴∠3=∠4.∵BC 切⊙O 于点B ， ∴90EBA ∠=︒.∴132490∠+∠=∠+∠=︒, 即90ODE ∠=︒.∴OD ⊥DE .∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线. ……………2分（2）∵OD ⊥DE ，∴90FDO ∠=︒.设OA OD r ==.∵222OF FD OD =+, DF =4，AF =2，∴222(2)4r r +=+.解得3r =. ……………………………………3分∴3,8OA OD FB ===.∵,90F F FDO FBE ∠=∠∠=∠=︒,∴△FDO ∽△FBE . ……………………………………4分 ∴FD OD FB BE=. ∴ 6.BE = ∵E 为BC 中点，∴212.BC BE ==……………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23. 解：（1）……………………2分（注：直接等分不给分，在等距平行线上有正确痕迹的给分,作出一个给1分.）(2)① ②……………………4分 ……………………7分24．解：（1）解法一：∵抛物线2(3)3(0)y mx m x m =+-->与y 轴交于点C ，∴(0,3)C -. ……………………1分∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，OB=OC ，∴B (3,0)或B (-3,0).∵点A 在点B 的左侧，0m >，∴抛物线经过点B (3,0). ……………………2分∴093(3)3m m =+--.∴1m =.∴抛物线的解析式为322--=x x y . ……………………3分 解法二：令0y =,∴2(3)3=0mx m x +--.∴(1)(3)0x mx +-=. ∴31,=x x m=-. 0m > ，点A 在点B 的左侧， ∴3(1,0),(,0)A B m-. ……………………1分 令0x =，可得3y =-.∴(0,3)C -.∴3OC =. ……………………2分OB OC = , ∴33m=. ∴1m =. ∴322--=x x y . ……………………3分（2）①由抛物线322--=x x y 可知对称轴为1x =. ……………4分 ∵点P 1(,)x b 与点Q 2(,)x b 在这条抛物线上，且12x x <，PQ n =， ∴121,122n n x x =-=+. ……………………5分 ∴1222,22x n x n =-=+.∴原式=736)2()2(2=+++--n n n n . ……………………6分 ②42b -<<-或0b =. ……………………8分（注：答对一部分给1分.）25．解：（1）①1；……………………1分②2k ；……………………2分 （2）解：连接AE .∵ABC DEF ∆∆，均为等腰直角三角形，2,1DE AB ==， ∴2,1,90,4545.EF BC DEF ==∠=︒∠=∠=︒∴90.DF AC EFB ==∠=︒∴2,DF AC AD ==∴点A 为CD 的中点. ……………………3分∴,.EA DF EA DEF ⊥∠平分∴90,45MAE AEF ∠=︒∠=︒,AE∵45,BEM ∠=︒∴1+2=3+2=45∠∠∠∠︒.∴1= 3.∠∠∴AEM ∆∽FEB ∆. ∴.AM AE BF EF= ……………………4分∴AM =∴22DM AD AM =-==∴1AM DM=. ……………………5分 （3） 过B 作BE 的垂线交直线EM 于点G ，连接AG 、BG . ∴90EBG ∠=︒.∵45BEM ∠=︒，∴45EGB BEM ∠=∠=︒.∴BE BG =.∵△ABC 为等腰直角三角形，∴90.BA BC ABC =∠=︒，∴12∠=∠.∴△ABG ≌△CBE . ……………………6分∴34AG EC k ==∠=∠，.∵3+65+4=45∠∠=∠∠︒，∴65∠=∠.∴AG ∥DE .∴△AGM ∽△DEM . ∴.2AM AG k DM DE == ……………………7分 (注：本卷中许多问题解法不唯一,请老师根据评分标准酌情给分.)。
北京市海淀区2013年中考一模数学试卷含答案
海淀区九年级第二学期期中练习含答案数 学2013.5 一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．2的相反数是（ ）A. 2B.2-C.21 D.21- 2．十八大开幕当天,网站关于此信息的总浏览量达5.5亿次.将5.5亿用科学记数法表示为A. 8105.5⨯B. 81055⨯C. 755010⨯ D. 10100.55⨯3．如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A. 圆柱B. 正方体C. 球D. 圆锥4．一个多边形的外角和是内角和的一半，则这个多边形的边数为（ ）A. 5B.6C. 7D. 85．小林在元宵节煮了20个元宵，其中10个黑芝麻馅，6个山楂馅，4个红豆馅（除馅料不同外，其它都相同）.煮好后小明随意吃一个，吃到红豆馅元宵的概率是（ ）A ．12 B ．13 C ． 15D ．25 6.一副三角板如图放置，若∠1＝90︒，则∠2的度数为（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°7.在篮球比赛中，某队员连续10场比赛中每场的得分情况如下表所示：则这10场比赛中他得分的中位数和众数分别是（ ）A.10, 4B.10，7C.7，13D. 13，48.如图，△ABC 是等边三角形，6AB =厘米，点P 从点B 出发,沿BC 以每秒1厘米的速度运动到点C 停止；同时点M 从点B 出发,沿折线BA -AC 以每秒3厘米的速度运动到点C 停止.如果其中一个点停止运动，则另一个点也停止运动.设点P 的运动时间为t 秒，P 、M 两点之间的距离为y 厘米，则表示y 与t 的函数关系的图象大致是（ ）A. B. C. D.二、填空题（本题共16分，每小题4分）9． 分解因式：22369a b ab b -+= ．10．若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有实数根，则m 的取值范围是．11．如图,将正方形纸片对折，折痕为EF .展开后继续折叠，使点A 落在EF 上，折痕为GB ，则ABG ∠的正切值是 .12. 如图1所示，圆上均匀分布着11个点12311,,,,A A A A .从A 1起每隔k 个点顺次连接，当再次与点A 1连接时，我们把所形成的图形称为“k +1阶正十一角星”，其中18k ≤≤（k 为正整数）.例如，图2是“2阶正十一角星”，那么1211A A A ∠+∠++∠= °；当1211A A A ∠+∠++∠= 900°时，k = .图1 图2三、解答题（本题共30分，每小题5分）130112cos301)()8-︒+- ．EDCBA14．解不等式组：20,11.2x x x +>⎧⎪⎨-+≥⎪⎩15．先化简，再求值：4212112--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x ，其中3=x ．16.已知：如图，点A ，D ，C 在同一直线上，AB ∥EC ，AC CE =，.B EDC ∠=∠求证：.BC DE =17. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数xy 2-=的图象与一次函数k kx y -=的图象的一个交点为(1,)A n -． （1）求这个一次函数的解析式；（2）若P 是x 轴上一点，且满足45APO ∠=︒，直接写出点P 的坐标．18. 列方程（组）解应用题：雅安地震灾情牵动全国人民的心．某厂计划加工1500顶帐篷支援灾区，加工了300顶帐篷后，由于救灾需要，将工作效率提高到原计划的2倍，结果提前4天完成了任务．求原计划每天加工多少顶帐篷.四、解答题（本题共20分，每小题5分）19.如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ,BD 相交于点E ,DAB ∠=CDB ∠=90︒,ABD ∠=45︒,∠DCA =30︒,AB =.求AE 的长和△ADE的面积．=．以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作20.已知：如图，在△ABC中，AB ACDE⊥AC于点E.(1)求证：DE与⊙O相切；AB=，(2)延长DE交BA的延长线于点F.若6sin B求线段AF的长.21. 下图为北京某天空气质量指数实时查询的一个结果.为了解今年北京市春节假期空气质量情况，小静查到下表所示的某天15个监测子站的空气质量指数；小博从环境监测网随机抽取了某天部分监测点的空气质量情况，并绘制了以下两个统计图.解答下列问题：（1）小静查到的统计表中重度污染出现的频率为；（2）计算小博抽取的监测点的个数，并补全条形统计图；（3）据统计数据显示，春节期间燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因. 市民在今年春节期间自觉减少了购买和燃放烟花爆竹的数量，全市销售烟花爆竹37万余箱，比去年减少35%.求今年比去年同期少销售多少万箱烟花爆竹.（结果保留整数）22.问题：如图1，a、b、c、d是同一平面内的一组等距平行线（相邻平行线间的距离为1）.画出一个正方形ABCD，使它的顶点A、B、C、D分别在直线a、b、d、c上，并计算它的边长.图1 图2小明的思考过程：的正方形网格，得到了辅助正方形EFGH，如他利用图1中的等距平行线构造了33图2所示, 再分别找到它的四条边的三等分点A 、B 、C 、D ，就可以画出一个满足题目要求的正方形.请回答：图2中正方形ABCD 的边长为 . 请参考小明的方法，解决下列问题：（1）请在图3的菱形网格（最小的菱形有一个内角为60︒，边长为1）中，画出一个等边△ABC ，使它的顶点A 、B 、C 落在格点上，且分别在直线a 、b 、c 上；（3）如图4，1l 、2l 、3l 是同一平面内的三条平行线，1l 、2l 之间的距离是215，2l 、3l 之间的距离是2110，等边△ABC 的三个顶点分别在1l 、2l 、3l 上，直接写出△ABC 的边长.图3 图4五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y mx mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(2,0)-． （1）求B 点坐标； （2）直线y =12x +4m +n 经过点B . ①求直线和抛物线的解析式；②点P 在抛物线上，过点P 作y 轴的垂线l ，垂足为(0,)D d ．将抛物线在直线l 上方的部分沿直线l 翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G ．请结合图象回答：当图象G 与直线y =12x +4m +n 只有两个公共点时，d 的取值范围是 ．24．在△ABC 中，∠ACB ＝90︒．经过点B 的直线l （l 不与直线AB 重合）与直线BC 的夹角等于ABC ∠，分别过点C 、点A 作直线l 的垂线，垂足分别为点D 、点E ．（1）若45ABC ∠=︒，CD =1（如图），则AE 的长为 ；（2）写出线段AE 、CD 之间的数量关系，并加以证明； （3）若直线CE 、AB 交于点F ， 56CF EF =，CD =4，求BD 的长．25. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线222y x mx m m =-++的顶点为C . (1) 求点C 的坐标（用含m 的代数式表示）；(2) 直线2y x =+与抛物线交于A 、B 两点，点A 在抛物线的对称轴左侧.② 若P 为直线OC 上一动点，求△APB 的面积；②抛物线的对称轴与直线AB 交于点M ，作点B 关于直线MC 的对称点'B . 以M 为圆心，MC 为半径的圆上存在一点Q ，使得'2QB +的值最小，则这个最小值为 .EDCBA2013海淀中考一模数学参考答案数学试卷答案及评分参考一、选择题（本题共32分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 130112cos301)()8-︒+- ．解：原式218=+- ………………………4分 7=．………………………5分解：由①得 2x >-．………………………2分 由②得 1x ≤．………………………4分则不等式组的解集为12≤<-x ．………………………5分 15．先化简，再求值：4212112--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x ，其中3=x ． 解：原式2212421x x x x -+-=⋅-- ………………………2分 )1)(1()2(221+--⋅--=x x x x x ………………………3分 12+=x . ………………………4分 当3=x 时，原式=2112=+x .………………………5分16.证明：AB ∥EC ，∴.A DCE ∠=∠ ………………………1分 在△ABC 和△CDE 中，,,,B EDC A DCE AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△CDE .………………………4分 ∴.BC DE = ………………………5分17.解：（1）∵ 点A (1,)n -在反比例函数xy 2-=的图象上， ∴ 2n =. ………………………1分 ∴ 点A 的坐标为12-（，）. ∵ 点A 在一次函数y kx k =-的图象上， ∴2k k =--.∴1-=k .………………………2分∴ 一次函数的解析式为1+-=x y ．………………………3分 （2）点P 的坐标为（-3,0）或（1,0）．………………………5分 （写对一个给1分）18.解：设原计划每天加工x 顶帐篷. ………………………1分1500300150030042x x---=.………………………3分 解得 150x =. ………………………4分 经检验，150x =是原方程的解，且符合题意. 答：原计划每天加工150顶帐篷. ………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. 解：过点A 作AF ⊥BD 于F . ∵∠CDB =90°,∠1=30°,∴∠2=∠3=60°. ………………………1分 在△AFB 中，∠AFB =90°.∵∠4=45°，AB =,∴AF =BF ………………………2分 在△AFE 中，∠AFE =90°.∴1,2EF AE ==.………………………3分 在△ABD 中，∠DAB =90°.∴DB =∴1DE DB BF EF =--=-.………………………4分∴111)22ADE S DE AF ∆=⋅==………………………5分 20.(1)证明：连接OD . ………………………1分∵AB =AC , ∴B C ∠=∠. 又∵OB OD =, ∴1B ∠=∠.∴1C ∠=∠.∴OD ∥AC .∵DE ⊥AC 于E ,∴DE ⊥OD .∵点D 在⊙O 上，∴DE 与⊙O 相切. ………………………2分(2)解：连接AD .∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°.∵AB =6，sin B =55， ∴sin AD AB B =⋅=556.………………3分 ∵123290∠+∠=∠+∠=︒，∴13∠=∠.∴ 3.B ∠=∠在△AED 中，∠AED =90°.∵sin 3AE AD ∠==，∴65AE AD ===. ………………………4分 又∵OD ∥AE ，∴△FAE ∽△FOD . ∴FA AE FO OD=. ∵6AB =,∴3OD AO ==. ∴235FA FA =+. ∴2AF =. ………………………5分21.（1）13.………………………1分 （2）∵(3318)80%30++÷=，∴被小博同学抽取的监测点个数为30个. ………………………2分………………………3分（3）设去年同期销售x 万箱烟花爆竹.(135%)37x -=. 解得125613x =.………………………4分 ∴1212563719201313-=≈. 答：今年比去年同期少销售约20万箱烟花爆竹. ……………………… 5分22.（1………………………2分（2）①如图：(答案不唯一) ………………………4分………………………5分 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．解：（1）依题意，可得抛物线的对称轴为212m x m-=-=.………………………1分 ∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(2,0)-，∴点B 的坐标为 (4,0)．………………………2分（2）∵点B 在直线 y =12x +4m +n 上， ∴024m n =++①.∵点A 在二次函数2-2y mx mx n =+的图象上，∴044m m n =++②. ………………………3分 由①、②可得12m =，4n =-. ………………………4分 ∴ 抛物线的解析式为y ＝2142x x --，直线的解析式为y ＝122x -． ……………5分 （3）-502d <<． ………………………7分 24．（1）2AE =.………………………1分（2）线段AE 、CD 之间的数量关系为2AE CD =.………………………2分 证明：如图1，延长AC 与直线l 交于点G ．依题意，可得∠1＝∠2．∵∠ACB ＝90︒，∴∠3=∠4.∴BA BG =.∴CA ＝CG ．………………………3分∵AE ⊥l ，CD ⊥l ，∴CD ∥AE ．∴△GCD ∽△GAE ．∴ 12CD GC AE GA =＝．∴2AE CD =．………………………4分（3）解：当点F 在线段AB 上时，如图2，过点C 作CG ∥l 交AB 于点H ，交AE 于点G ．∴∠2＝∠HCB ．∵∠1=∠2，∴∠1＝∠HCB ．∴CH BH =．∵∠ACB ＝90︒，∴∠3+∠1＝∠HCB +∠4 =90︒．∴∠3＝∠4．∴CH AH BH ==．∵CG ∥l ，∴△FCH ∽△FEB ．∴ 56CFCHEF EB =＝．设5,6CH x BE x ==，则10AB x =．∴在△AEB 中，∠AEB ＝90︒，8AE x =．由（2）得，2AE CD =．∵4CD =,∴8AE =.∴1x =.∴10,6,5AB BE CH ===．∵CG ∥l ，∴△AGH ∽△AEB ． ∴12HGAHBE AB ==．图3图2∴3HG =．………………………5分∴8CG CH HG =+=．∵CG ∥l ，CD ∥AE ,∴四边形CDEG 为平行四边形.∴8DE CG ==.∴2BD DE BE =-=．……………………6分当点F 在线段BA 的延长线上时，如图3，同理可得5CH =,3GH =,6BE =.∴DE =2CG CH HG =-=．∴ 8BD DE BE =+=．∴2BD =或8．……………………7分25.解：（1）()2222y x mx m m x m m =-++=-+ ，……………………1分 ∴顶点坐标为C m ,m ().……………………2分（2）①2y x =+ 与抛物线222y x mx m m =-++交于A 、B 两点， ∴2222x x mx m m +=-++.解方程，得121,2x m x m =-=+.……………………4分A 点在点B 的左侧，∴(1,1),(2,4).A m m B m m -+++∴AB =……………………5分直线OC 的解析式为y x =，直线AB 的解析式为2y x =+，∴AB ∥OC ，两直线AB 、OC 之间距离h =∴11322APB S AB h =⋅=⨯= .………………………6分……………………8分(注：本卷中许多问题解法不唯一,请老师根据评分标准酌情给分)。
(教委直发)WORD海淀区2013-2014初三第一学期期末练习含答案(终稿1.14)
海淀区九年级第一学期期末测评数 学 试 卷（分数：120分 时间：120分钟） 2014.1班级 姓名 学号 成绩 试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效. 一、选择题（本题共32分，每小题4分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．A ．3B ．－3C ．3±D ．62．如图，将一张矩形纸片沿对角线剪开得到两个直角三角形纸片，将这两个直角三角形纸片通过图形变换构成以下四个图形，这四个图形中是中心对称．．．．．图形的是ABC D3．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别为边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，若5AD =，10BD =，3AE =，则CE 的长为A ．3B ．6C ．9D ．124．二次函数22+1y x =-的图象如图所示，将其绕坐标原点O 旋转180 ，则旋转后的抛物线的解析式为A ．221y x =--B ．221y x =+C ．22y x =D ．221y x =-E DCBA矩形纸片22+1y x =-5．在平面直角坐标系xOy 中，以点(3,4)为圆心，4为半径的圆与y 轴所在直线的位置关系是A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定6．若关于x 的方程2(1)1x k +=-没有实数根，则k 的取值范围是A ．1k ≤B ． 1k <C ．1k ≥D ．1k > 7． 如图，AB 是⊙O 的切线， B 为切点，AO 的延长线交⊙O 于C 点，连接BC ，若30A ∠=，AB =AC 等于 A. 4 B.6C.D.8．如图，Rt △ABC 中，AC=BC =2，正方形CDEF 的顶点D 、F 分别在AC 、BC 边上， C 、D 两点不重合，设CD 的长度为x ，△ABC 与正方形CDE F 重叠部分的面积为y ，则下列图象中能表示y 与x 之间的函数关系的是A B C D二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．比较大小：（填 “>”、“=”或“<”）．10．如图，A B C 、、是⊙O 上的点，若100AOB ∠= ， 则ACB ∠=___________度．11．已知点P （-1，m ）在二次函数21y x =-的图象上，则m 的值为 ；平移此二次函数的图象，使点P 与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为 .12．在△ABC 中，E F 、分别是AC BC 、边上的点，1231n P P P P - 、、、、是AB 边的n 等分点，1CE AC n=，1CF BC n=.如图1，若40B ∠= ，AB BC =，则∠1EPF +∠2EP F +∠3EP F + +∠-1n EP F = 度；如图2，若A α∠=，B β∠=，则∠1EPF +∠2EP F +∠3EP F + +∠-1n EP F = （用含α，β的式子表示）.三、解答题（本题共30分，每小题5分） 130(2013)|+-+-．14．解方程：(3)2(3)x x x -=-．15．如图，在△ABC 和△CDE 中，90B D ∠=∠= ，C 为线段BD 上一点，且AC CE ⊥． 求证：AB BC CDDE=．16．已知抛物线2y x bx c =++经过（0，-1），（3，2）两点． 求它的解析式及顶点坐标．17．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC 且BD DC =，E 是BC 上一点，且CE DA =． 求证：AB ED =．EDCBAEDCBA图218．若关于x 的方程 22+10x x k +-=有实数根． （1）求k 的取值范围；（2）当k 取得最大整数值时，求此时方程的根.四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，用长为20米的篱笆恰好围成一个扇形花坛，且扇形花坛的圆心角小于180°，设扇形花坛的半径为r 米，面积为S 平方米．（注：π的近似值取3） （1）求出S 与r 的函数关系式，并写出自变量r 的取值范围；（2）当半径r 为何值时，扇形花坛的面积最大，并求面积的最大值．20．如图，AB 为 O 的直径，射线AP 交 O 于C 点，∠PCO 的平分线交 O 于D 点，过点D 作DE AP ⊥交AP 于E 点．（1）求证：DE 为 O 的切线；（2）若3DE =，8AC =，求直径AB 的长．21．已知二次函数22y x m =+．（1）若点1(2,)y -与2(3,)y 在此二次函数的图象上，则1y 2y （填 “>”、“=”或“<”）；（2）如图，此二次函数的图象经过点(04)-，，正方形ABCD 的顶点C 、D 在x 轴上， A 、B 恰好在二次函数的图象上，求图中阴影部分的面积之和．PABC DEO22．晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程(4)6x x +=．解：原方程可变形，得[(2)2][(2)2]6x x +-++=.22(2)26x +-=， 22(2)62x +=+， 2(2)10x +=.直接开平方并整理，得1222x x =-+=-．我们称晓东这种解法为“平均数法”.（1）下面是晓东用“平均数法”解方程(2)(6)5x x ++=时写的解题过程． 解：原方程可变形，得[() ][() ]5x x +-++= .22() 5x +-= ， 22()5x +=+ .直接开平方并整理，得 12,x x ==☆¤．上述过程中的“ ”，“ ” ，“☆”，“¤”表示的数分别为_____，_____，_____，_____． （2）请用“平均数法”解方程：(3)(1)5x x -+=．五、解答题（本题共22分，第23、24小题各7分，第25小题8分） 23．已知抛物线2(1)21y m x mx m =--++（1m >）． （1）求抛物线与x 轴的交点坐标；（2）若抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为2，求m 的值；（3）若一次函数y kx k =-的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式.24．已知四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形 ，且AB>CE ． （1）如图1，连接BG 、DE ．求证：BG =DE ；（2）如图2，如果正方形ABCDCEFG 绕着点C 旋转到某一位置时恰好使得CG //BD ，BG=BD . ①求BDE ∠的度数；②请直接写出正方形CEFG 的边长的值.25．如图1，已知二次函数232y x bx b =++的图象与x 轴交于A 、B 两点(B 在A 的左侧)，顶点为C ， 点D （1，m ）在此二次函数图象的对称轴上，过点D 作y 轴的垂线，交对称轴右侧的抛物线于E 点．（1）求此二次函数的解析式和点C 的坐标；（2）当点D 的坐标为（1，1）时，连接BD 、BE ．求证：BE 平分ABD ∠； （3）点G 在抛物线的对称轴上且位于第一象限，若以A 、C 、G 为顶点的三角形与以G 、D 、E 为顶点的三角形相似，求点E 的横坐标．GF EDCBA图2图1ABCDEFG图1备用图1 备用图2海淀区九年级第一学期期末练习2014.1数学试卷答案及评分参考阅卷须知:1. 为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细,阅卷时,只要考生将主要过程正确写出即可.2. 若考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分.3. 评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数. 一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．<； 10．130； 11．0, 22y x x=-(每空2分)； 12．70，180αβ-- (每空2分)． 三、解答题（本题共30分,每小题5分） 13．（本小题满分5分）0(2013)|-+- 1=+ ………………………………………………………………4分1=. …………………………………………………………………………5分14．（本小题满分5分）解：原方程可化为(3)2(3)0x x x -+-=. ……………………………………………1分(3)(2)0x x -+=，30x -=或20x +=， ……………………………………………………………4分 ∴123 2x ,x ==-．…………………………………………………………………5分15．（本小题满分5分）证明：∵90B ∠= ，∴90A ACB ∠+∠= ．∵C 为线段BD 上一点，且AC CE ⊥， ∴90ACB ECD ∠+∠=．∴A ECD ∠=∠ ． …………………………………………………………………2分 ∵B D ∠=∠=90 ， …………………………………………………………………3分 ∴△ABC ∽△CDE ．………………………………………………………………4分∴AB BC CDDE=．………………………………………………………………………5分ED CB A16．（本小题满分5分）解：∵抛物线2y x bx c =++过（0，-1），（3，2）两点，∴1,293c b c.-=⎧⎨=++⎩解得，12c ,b .=-⎧⎨=-⎩ ………………………………………………………………………2分∴抛物线的解析式为221y x x =--． ……………………………………………3分 ∵2221(1)2y x x x =--=--，……………………………………………………4分 ∴抛物线的顶点坐标为（1，-2）． ……………………………………………5分17．（本小题满分5分）证明：∵AD ∥BC ，∴ADB DBC ∠=∠． ………………………………………………………………1分 ∵BD CD =， ∴DBC C ∠=∠．……………………………………………………………………2分 ∴ADB C ∠=∠． …………………………………………………………………3分 在△ABD 与△EDC 中， ,,,AD EC ADB C BD DC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABD ≌△EDC .………………………………………………………………4分 ∴AB ED =． ……………………………………………………………………5分18．（本小题满分5分）解：（1）∵关于x 的方程 22+10x x k +-=有实数根，∴44(1)0k ∆=--≥. ………………………………………………………1分解不等式得， 2k ≤．………………………………………………………2分 （2）由（1）可知，2k ≤，∴k 的最大整数值为2.………………………………………………………3分 此时原方程为2210x x ++=． ………………………………………………4分 解得, 121x x ==-． …………………………………………………………5分E DCB A四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．（本小题满分5分）解：（1）设扇形的弧长为l 米.由题意可知，220l r +=. ∴202l r =-.∴21(202)+102S r r r r =-=-. …………………………………………………2分 其中410r <<.…………………………………………………………………3分 （2）∵22+10(5)25S r r r =-=--+.∴当5r =时，25S =最大值.……………………………………………………5分20．（本小题满分5分）解：（1）证明:连接OD .∵OC OD =, ∴13∠=∠.∵CD 平分∠PCO ， ∴1=2∠∠.∴2=3∠∠.……………………………1分 ∵DE AP ⊥，∴2=90EDC ∠+∠ . ∴3=90EDC ∠+∠ . 即=90ODE ∠ . ∴OD DE ⊥.∴DE 为 O 的切线. …………………………………………………………2分(2) 过点O 作OF AP ⊥于F .由垂径定理得，AF CF =. ∵8AC =,∴4AF =.………………………………………………………………………3分 ∵OD DE ⊥, DE AP ⊥， ∴四边形ODEF 为矩形. ∴OF DE =. ∵3DE =，∴3OF =.………………………………………………………………………4分在Rt △AOF 中，222224325OA OF AF =+=+=. ∴5OA =.∴210AB OA ==.………………………………………………………………5分21．（本小题满分5分）解：（1）1y < 2y .……………………………………………………………………2分 （2）∵二次函数22y x m =+的图象经过点（0，-4），∴m = -4． ……………………………………………………………………3分∵四边形ABCD 为正方形，又∵抛物线和正方形都是轴对称图形，且y 轴为它们的公共对称轴， ∴OD=OC ，=BCOE S S 阴影矩形. 设点B 的坐标为（n ，2n ）（n >0）， ∵点B 在二次函数224y x =-的图象上， ∴2224n n =-.解得，122,1n n ==-（舍负）. …………………………………………4分 ∴点B 的坐标为（2，4）.∴=BCOE S S 阴影矩形=2⨯4=8．…………………………………………………5分22. （本小题满分5分）(1) 4 ， 2 ， -1 ， -7 . （最后两空可交换顺序） ………2分 （2）(3)(1)5x x -+=.原方程可变形，得 [(1)2][(1)2]x x ---+=. ……………………………3分22(1)25x --=， 22(1)52x -=+，2(1)9x -=. ……………………………………………………………4分直接开平方并整理，得124, 2x x ==-．………………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23、24小题各7分，第25小题8分）23. （本小题满分7分）解：（1）令0y =，则2(1)210m x mx m --++=.∵2(2)4(1)(1)4m m m ∆=---+=， 解方程，得 222(1)m x m ±=-.∴11x =，211m x m +=-. ∴抛物线与x 轴的交点坐标为（1，0），（11m m +-，0）. …………………2分（2） ∵1m >， ∴111m m +>-. 由题意可知，1121m m +-=-. …………………………………………………3分解得，2m =.经检验2m =是方程的解且符合题意.∴2m =.………………………………………………………………………4分（3）∵一次函数y kx k =-的图象与抛物线始终只有一个公共点，∴方程2(1)21kx k m x mx m -=--++有两个相等的实数根. 整理该方程，得 2(1)(2)10m x m k x m k --++++=，∴222(2)4(1)(1)44(2)0m k m m k k k k ∆=+--++=++=+=， 解得 122k k ==-. …………………………………………………………6分 ∴一次函数的解析式为22y x =-+.………………………………………7分24. （本小题满分7分）解：（1）证明：∵四边形ABCD 和CEFG 为正方形，∴BC DC =，CG CE =，90BCD GCE ∠=∠=︒. ∴BCD DCG GCE DCG ∠+∠=∠+∠.BCG DCE ∠=∠即：. ……………………1分 ∴△BCG ≌△DCE .∴BG DE =.………………………………2分（2）①连接BE .由（1）可知：BG=DE . ∵//CG BD ，∴=45DCG BDC ∠∠=︒.∴9045135BCG BCD GCD ∠=∠+∠=︒+︒=︒. ∵90GCE ∠=︒,∴36036013590135BCE BCG GCE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒. ∴=BCG BCE ∠∠.…………………………3分 ∵BC BC CG CE ==，, ∴△BCG ≌△BCE .∴BG BE =.………………………………4分 ∵BG BD DE ==, ∴BD BE DE ==. ∴△BDE 为等边三角形.∴60.BDE ∠=︒ …………………………5分②正方形CEFG1. ……………………………………………7分ABCDEFGB25. （本小题满分8分）解：（1）∵点D （1，m ）在232y x bx b =++图象的对称轴上，∴112b -=． ∴2b =-．∴二次函数的解析式为223y x x =--．………………………………………1分 ∴C （1，-4）． …………………………………………………………………2分（2）∵D （1，1），且DE 垂直于y 轴， ∴点E 的纵坐标为1，DE 平行于x 轴． ∴DEB EBO ∠=∠．令1y =，则2231x x --=，解得121xx ==∵点E 位于对称轴右侧，∴E (1 1)+． ∴D E令0y =，则223=0x x --，求得点A 的坐标为（3,0），点B 的坐标为（-1,0）． ∴BD =．∴BD = D E ．……………………………………………………………………3分∴ DEB DBE ∠=∠． ∴ DBE EBO ∠=∠．∴BE 平分ABD ∠．……………………………………………………………4分 （3）∵以A 、C 、G 为顶点的三角形与以G 、D 、E 为顶点的三角形相似，且△GDE 为直角三角形， ∴△ACG 为直角三角形．∵G 在抛物线对称轴上且位于第一象限， ∴90CAG ∠= ．∵A （3,0）C （1，-4），A F C G⊥,图1∴求得G 点坐标为（1，1）． ∴AGAC= ∴AC =2 AG .∴GD =2 DE 或 DE =2 GD .设()2, 23E t t t --（t >1） ，1︒.当点D 在点G 的上方时，则DE=t -1，GD = (223t t --)1-=224t t --. i. 如图2，当 GD =2 DE 时， 则有， 224t t --= 2(t -1).解得，=2t 舍负)………………………5分 ii. 如图3，当DE =2GD 时， 则有，t -1=2(224t t --). 解得，127=1=2t t -，.(舍负)…………………6分 2︒. 当点D 在点G 的下方时，则DE=t -1，GD =1- (223t t --)= -2+2+4t t . i. 如图4，当 GD =2 DE 时， 则有， 2+2+4t t -=2（t -1）.解得，=t ±舍负) ………………………7分 ii. 如图5，当DE =2 GD 时， 则有，t -1=2（2+2+4t t -）. 解得，123=3=2t t -，.(舍负) …………………8分 综上，E点的横坐标为72或3.图3图4图5。
2014海淀区初三(上)期中数 学
2014海淀区初三（上）期中数学一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（4分）如图图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）将抛物线y=x2向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（）A．y=x2+1 B．y=x2﹣1 C．y=（x+1）2+1 D．y=（x﹣1）2+13．（4分）袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的情况下，随机从袋子中摸出1个球．下面说法正确的是（）A．这个球一定是黑球B．这个球一定是白球C．“摸出黑球”的可能性大D．“摸出黑球”和“摸出白球”的可能性一样大4．（4分）用配方法解方程x2﹣2x﹣3=0时，配方后得到的方程为（）A．（x﹣1）2=4 B．（x﹣1）2=﹣4 C．（x+1）2=4 D．（x+1）2=﹣45．（4分）如图，⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径为2，则的长为（）A．B．C．D．6．（4分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=59°，则∠C等于（）A．29°B．31°C．59°D．62°7．（4分）已知二次函数y=x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的两个实数根是（）A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=﹣1，x2=2 C．x1=﹣1，x2=0 D．x1=1，x2=38．（4分）如图，C是半圆O的直径AB上的一个动点（不与A，B重合），过C作AB的垂线交半圆于点D，以点D，C，O为顶点作矩形DCOE．若AB=10，设AC=x，矩形DCOE的面积为y，则下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接AB．∠APB=60°，AB=5，则PA的长是．10．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为．11．（4分）在平面直角坐标系xOy中，函数y=x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，则y1 y2 ．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）12．（4分）如图，正方形ABCD中，点G为对角线AC上一点，AG=AB．∠CAE=15°且AE=AC，连接GE．将线段AE 绕点A逆时针旋转得到线段AF，使DF=GE，则∠CAF的度数为．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（5分）解方程：x2+3x﹣1=0．14．（5分）如图，∠DAB=∠EAC，AB=AD，AC=AE．求证：BC=DE．15．（5分）已知二次函数的图象经过点（0，1），且顶点坐标为（2，5），求此二次函数的解析式．16．（5分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=130°，求∠OAC的度数．17．（5分）若x=1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+2m2=0的根，求代数式2（m﹣1）2+3的值．18．（5分）某厂工业废气年排放量为450万立方米，为改善城市的大气环境质量，决定分二期投入治理，使废气的年排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同，求每期减少的百分率是多少？四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）如图是某市某月1日至15日的空气质量指数趋势图，空气质量指数不大于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．（1）由图可知，该月1日至15日中空气重度污染的有天；（2）小丁随机选择该月1日至15日中的某一天到达该市，求小丁到达该市当天空气质量优良的概率．20．（5分）已知关于x的方程ax2+（a﹣3）x﹣3=0（a≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有两个不相等的负整数根，求整数a的值．21．（5分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D=∠G=30°．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若CD=6，求GF的长．22．（5分）阅读下面材料：小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3．计算|x1|，，，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，﹣1，3，因为|2|=2，=，=，所以数列2，﹣1，3的价值为．小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值．如数列﹣1，2，3的价值为；数列3，﹣1，2的价值为1；…．经过研究，小丁发现，对于“2，﹣1，2”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为．根据以上材料，回答下列问题：（1）数列﹣4，﹣3，2的价值为；（2）将“﹣4，﹣3，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为，取得价值最小值的数列为（写出一个即可）；（3）将2，﹣9，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，则a的值为．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m﹣1）x﹣m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A的坐标；（2）当S△ABC=15时，求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，经过点C的直线l：y=kx+b（k＜0）与抛物线的另一个交点为D．该抛物线在直线l上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象．请结合图象回答：若新函数的最小值大于﹣8，求k的取值范围．24．（7分）将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段AD，连接CD．（1）连接BD，①如图1，若α=80°，则∠BDC的度数为；②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由．（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B=∠ACD，连接CE，DE．若∠CED=90°，求α的值．25．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在第一象限．以P为圆心的圆经过原点，与y轴的另一个交点为A．点Q是线段OA上的点（不与O，A重合），过点Q作PQ的垂线交⊙P于点B（m，n），其中m≥0．（1）若b=5，则点A坐标是；（2）在（1）的条件下，若OQ=8，求线段BQ的长；（3）若点P在函数y=x2（x＞0）的图象上，且△BQP是等腰三角形．①直接写出实数a的取值范围：；②在，，这三个数中，线段PQ的长度可以为，并求出此时点B的坐标．数学试题答案一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．【解答】A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选B．2．【解答】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）向上平移1个单位得到的点的坐标为（0，1），所以所得到的抛物线的解析式为y=x2+1．故选A．3．【解答】∵布袋中有除颜色外完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，∴从布袋中随机摸出一个球是黑球的概率为=，摸出一个球是白球的概率为=，∴摸出黑球”的可能性大；故选C．4．【解答】把方程x2﹣2x﹣3=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=3，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=4，配方得（x﹣1）2=4．故选：A．5．【解答】如图所示：∵⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径为2，∴∠AOB==72°，∴的长为：=π．故选：D．6．【解答】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=59°，∴∠A=90°﹣∠ABD=31°，∴∠C=∠A=31°．故选B．7．【解答】∵二次函数y=x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），∴关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的一个根是x=1．∴设关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的另一根是t．∴1+t=4，解得t=3．即方程的另一根为3．故选：D．8．【解答】根据题意结合图形，分情况讨论：如图，①当点C在半径OA上时，连接AD、BD；∵AB为半圆O的直径，∴∠ADB=90°，而DC⊥AB，∴DC2=AC•BC，而AC=x，BC=10﹣x，∴DC=，而OC=5﹣x，∴y=（5﹣x）；②当点C在半径OB上，即点C′的位置时，同理可求：y=（x﹣5），综上所述，y与x的函数关系式为：y=．所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示．故选：A．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．【解答】∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴PA=PB，∵∠APB=60°，∴△PAB是等边三角形，∴AB=PA=5，故答案为：5．10．【解答】根据题意得△=（﹣4）2﹣4k=0，解得k=4．故答案为4．11．【解答】由y=x2可知，∵a=1＞0，∴抛物线的开口向上，∵抛物线的对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而增大，∵﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，∴2＜﹣x1＜4，∴y1＞y2．12．【解答】∵线段AE绕点A逆时针旋转得到线段AF，∴AE=AF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵AG=AB，∴AD=AG，在△AGE和△ADF中，，∴△AGE≌△ADF（SSS），∴∠DAF=∠CAE=15°，∵AC为正方形ABCD的对角线，∴∠CAD=45°，点F在AD的下方时，∠CAF=∠CAD﹣∠DAF=45°﹣15°=30°，点F在AD的上方时，∠CAF=∠CAD+∠DAF=45°+15°=60°，综上所述，∠CAF的度数为30°或60°．故答案为：30°或60°．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．【解答】这里a=1，b=3，c=﹣1，∵△=9+4=13，∴x=，则x1=，x2=．14．【解答】证明：∵∠DAB=∠EAC，∴∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE，∴∠DAE=∠BAC，在△BAC和△DAE中，∴△BAC≌△DAE，∴BC=DE．15．【解答】设抛物线的解析式为：y=a（x﹣2）2+5，把（0，1）代入解析式得，1=a（0﹣2）2+5，解得a=﹣1，则抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x+1．16．【解答】∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠ABC=130°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=50°，∴∠AOC=2∠ADC=100°．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=（180°﹣∠AOC）=40°．17．【解答】依题意，得1﹣4m+2m2=0，∴2m2﹣4m=﹣1，∴2（m﹣1）2+3=2（m2﹣2m+1）+3=2m2﹣4m+5=﹣1+5=4．即2（m﹣1）2+3=4．18．【解答】设每期减少的百分率为x，根据题意得：450×（1﹣x）2=288，解得：x1=1.8（舍去），x2=0.2解得x=20%．答：每期减少的百分率是20%．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．【解答】（1）根据统计图可得：空气质量指数大于200的有5日、8日、15日，共3天；故答案为：3．（2）小丁随机选择该月1日至15日中的某一天到达该市，则到达该市的日期有15种不同的选择，在其中任意一天到达的可能性相等，由图可知，其中有9天空气质量优良，则P（到达当天空气质量优良）==．20．【解答】（1）∵a≠0，∴原方程为一元二次方程．∴△=（a﹣3）2﹣4×a×（﹣3）=（a+3）2．∵（a+3）2≥0．∴此方程总有两个实数根．（2）解原方程，得x1=﹣1，x2=．∵此方程有两个负整数根，且a为整数，∴a=﹣1或﹣3．∵x1=﹣1，x2=．∴a≠﹣3．∴a=﹣1．21．【解答】（1）证明：连接OC．∵OC=OD，∠D=30°，∴∠OCD=∠D=30°．∵∠G=30°，∴∠DCG=180°﹣∠D﹣∠G=120°．∴∠GCO=∠DCG﹣∠OCD=90°．∴OC⊥CG．又∵OC是⊙O的半径．∴CG是⊙O的切线．（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=CD=3．∵在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠OCE=30°，∴EO=CO，CO2=EO2+CE2．设EO=x，则CO=2x．∴（2x）2=x2+32．解得x=（舍负值）．∴CO=2．∴FO=2．在△OCG中，∵∠OCG=90°，∠G=30°，∴GO=2CO=4．∴GF=GO﹣FO=2．22．【解答】（1）因为|﹣4|=4，||=3.5，||=，所以数列﹣4，﹣3，2的价值为．（2）数列的价值的最小值为||=，数列可以为：﹣3，2，﹣4，；或2，﹣3，﹣4．（3）当||=1，则a=0，不合题意；当||=1，则a=11或7；当||=1，则a=4或10．故答案为：；，﹣3，2，﹣4，；或2，﹣3，﹣4；11或4或7或10．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．【解答】（1）∵抛物线y=x2﹣（m﹣1）x﹣m（m＞0）与x轴交于A、B两点，∴令y=0，即x2﹣（m﹣1）x﹣m=0，解得：x1=﹣1，x2=m，又∵点A在点B左侧，且m＞0，∴点A的坐标为（﹣1，0）；（2）由（1）可知点B的坐标为（m，0），∵抛物线与y轴交于点C，∴点C的坐标为（0，﹣m），∵m＞0，∴AB=m+1，OC=m，∵S△ABC=15，∴m（m+1）=15，即m2+m﹣30=0，解得：m=﹣6或m=5，∵m＞0，∴m=5；则抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5；（3）由（2）可知点C的坐标为（0，﹣5），∵直线l：y=kx+b（k＜0）经过点C，∴b=﹣5，∴直线l的解析式为y=kx﹣5（k＜0），∵y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，∴当点D在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值为﹣9，不符合题意；当点D在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于﹣8，令y=﹣8，即x2﹣4x﹣5=﹣8，解得：x1=1（不合题意，舍去），x2=3，∴抛物线经过点（3，﹣8），当直线y=kx﹣5（k＜0）经过点（3，﹣8）时，可求得k=﹣1，由图象可知，当﹣1＜k＜0时新函数的最小值大于﹣8．24．【解答】（1）①∵线段AC，AD由AB旋转而成，∴AB=AC=AD．∴点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上．∴∠BDC=∠BAC=30°．故答案为：30°．②不改变，∠BDC的度数为30°．方法一：由题意知，AB=AC=AD．∴点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上．∴∠BDC=∠BAC=30°．方法二：由题意知，AB=AC=AD．∵AC=AD，∠CAD=α，∴∠ADC=∠C==90°﹣α．∵AB=AD，∠BAD=60°+α，∴∠ADB=∠B===60°﹣α．∴∠BDC=∠ADC﹣∠ADB=（90°﹣α）﹣（60°﹣α）=30°．（2）过点AM⊥CD于点M，连接EM．∵∠AMD=90°，∴∠AMC=90°．在△AEB与△AMC中，，∴△AEB≌△AMC（AAS）．∴AE=AM，∠BAE=∠CAM．∴∠EAM=∠EAC+∠CAM=∠EAC+∠BAE=∠BAC=60°．∴△AEM是等边三角形．∴EM=AM=AE．∵AC=AD，AM⊥CD，∴CM=DM．又∵∠DEC=90°，∴EM=CM=DM．∴AM=CM=DM．∴点A、C、D在以M为圆心，MC为半径的圆上．∴α=∠CAD=90°．25．【解答】（1）过点P作PH⊥OA于点H，∴OA=2OH，∵b=5，∴OH=5，∴OA=10，∴点A坐标是（0，10）．故答案为：（0，10）．（2）连接BP、OP．∵b=5，PH⊥OA，∴OH=AH=5．∵OQ=8，∴QH=OQ﹣OH=3．在Rt△QHP中，PQ2=QH2+PH2=9+PH2，在RtPHO中，PO2=OH2+PH2=25+PH2=BP2，在RtBQP中，BQ2=BP2﹣PQ2=（25+PH2）﹣（9+PH2）=16．∴BQ=4．（3）①∵点P在函数y=x2（x＞0）的图象上，∴b=a2，∴a≥1，故答案为：a≥1；②在，，这三个数中，线段PQ的长度可以为，理由如下：∵△BQP是等腰直角三角形，PQ=，∴半径BP=2．又∵P（a，a2），∴OP2=a2+a4=（2）2．即a4+a2﹣20=0．解得a=±2．∵a＞0∴a=2．∴P（2，4）．如图，作BM⊥y轴于点M，则△QBM≌△PQH．∴MQ=PH=2，∴MB=QH==．∴B1（，6+）．若点Q在OH上，由对称性可得B2（，2﹣）综上，当PQ=时，B点坐标为（，6+）或（，2﹣）．。
2013年初三海淀一模数学试题及答案-推荐下载
一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．2 的相反数是
A. 2
B. 2
数学
2．十八大开幕当天,网站关于此信息的总浏览量达 5.5 亿次.将 5.5 亿用科学记数法表示为
A. 5.5 108
C. 550 107
不同外，其它都相同）.煮好后小明随意吃一个，吃到红豆馅元宵的概率是
A． 1 2
B． 1 3
6.一副三角板如图放置，若∠1＝ 90 ，则∠2 的度数为
A．45° B．60° C．75° D．90° 7.在篮球比赛中，某队员连续 10 场比赛中每场的得分情况如下表所示：
场次（场） 1
得分（分） 13
2
C.
．
.
.
D.
2
三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分）
13．计算： 12 2 cos 30 ( 3 1)0 (1)1 ． 8
14．解不等式组：
x 2 0,
x
1 2
1
图1
15．先化简，再求值： 1 1 x 2 1 ，其中 x 3 ． x 2 2x 4
5
4
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
北京市海淀区2014届九年级上期末考试数学试题及答案
) A. 4
B.6 C. 4 3
B
A
D. 6 3
8．如图，Rt△ABC 中，AC=BC=2，正方形 CDEF 的顶点 D、F 分别在 AC、BC 边上，
C、D 两点不重合，设 CD 的长度为 x，△ABC 与正方形 CDEF 重叠部分的面积为 y，则下
列图象中能表示 y 与 x 之间的函数关系的是( )
y
y
y
y
2
2
2 4
1
1
O
1
2x
O
1
2x
1
O
12
1
x
O
1
2x
A
B
C
D
二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分）
9．比较大小： 2 2
3 （填 “>”、“=”或“<”）．
10．如图， A、B、 C 是⊙O 上的点，若 AOB 100o，则 ACB ___________度．
11．已知点 P（-1，m）在二次函数 y x2 1的图象上，则 m 的值为
C
4．二次函数 y 2x2
+1的图象如图所示，将其绕坐标原点 O 旋转180o
则旋转后的抛物线的解析式为( )
，
A． y 2x2 1
B． y 2x2 1
y 2x2 +1
C． y 2x2
D． y 2x2 1
5．在平面直角坐标系 xOy 中，以点 (3, 4) 为圆心，4 为半径的圆与 y 轴所
EP1F
+∠ EP F
2
+
∠ EP 3F + L +∠ EP F n-1
度；如图
2014年北京市海淀区初三一模数学试题及答案
2014年北京海淀中考一模数学试卷一、 选择题（本题共32分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．13-的绝对值是（ ）．A ．3-B ．3C ．13-D ．132．据教育部通报，2014年参加全国硕士研究生入学考试的人数约为1720000．数字1720000用科学记数法表示为（ ）．A ．517.210⨯B ．61.7210⨯C ．51.7210⨯D ．70.17210⨯ 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．4．一个不透明的盒子中放有4个白色乒乓球和2个黄色乒乓球，所有乒乓球除颜色外完全相同，从中随机摸出1个乒乓球，摸出黄色乒乓球的概率为（ ）． A ．23 B ．12 C ．13D ．165．如图，AB 为⊙O 的弦，OC AB ⊥于C ，8AB =，3OC =，则⊙O 的半径长为（ ）． A ．7 B ．3 C ．4 D ．56．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数x 与方差2s ：甲 乙 丙 丁 平均数x （cm ）561560561560方差2s （cm2）3．5 3．5 15．5 16．5 根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）． A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁ABCO7．如图，在平行四边形ABCD 中，ABC ∠的平分线交AD 于E ，150BED ∠=︒，则A ∠的大小为（ ）．A ．150︒B ．130︒C ．120︒D ．100︒8．如图，点P 是以O 为圆心，AB 为直径的半圆的中点，2AB =，等腰直角三角板45︒角的顶点与点P 重合，当此三角板绕点P 旋转时，它的斜边和直角边所在的直线与直径AB 分别相交于C 、D 两点．设线段AD 的长为x ，线段BC 的长为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）．A B C D二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．分解因式：24=xy x - ．10．已知关于x 的方程220x x a -+=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是_________．11．如图，矩形台球桌ABCD 的尺寸为2.7m 1.6m ⨯，位于AB 中点处的台球E 沿直线向BC 边上的点F 运动，经BC 边反弹后恰好落入点D 处的袋子中，则BF 的长度为 m ．12．在一次数学游戏中，老师在A 、B 、C 三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为0a ，0b ，0c ，记为0G =（0a ，0b ，0c ）．游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），记为一次操作．若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束．n 次操作后的糖果数记为n G =（n a ，n b ，n c ）．（1）若0G =（4，7，10），则第_______次操作后游戏结束；（2）小明发现：若0G =（4，8，18），则游戏永远无法结束，那么2014G =________．E DCBA O PA BC D 2121yx O 2121yx O 2121yxO 2121yx O F EDCB A 1.6m2.7m3 / 152014海淀一模三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：0(3π)-+2tan 60︒+11()273--．14．解不等式组：491322x x x x >-⎧⎪⎨+>⎪⎩．15．已知2340x x +-=，求代数式2(3)(3)(23)x x x +++-的值．16．如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，D 是AC 上的一点，且AD BC =，DE AC ⊥于D ，90EAB ∠=︒． 求证：AB AE =．EDCBA17．列方程（组）解应用题：某市计划建造80万套保障性住房，用于改善百姓的住房状况．开工后每年建造保障性住房的套数比原计划增加25%，结果提前两年保质保量地完成了任务．求原计划每年建造保障性住房多少万套？18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ax a =-（a 为常数）的图象与y 轴相交于点A ，与函数2(0)y x x=>的图象相交于点(,1)B m ．（1）求点B 的坐标及一次函数的解析式；（2）若点P 在y 轴上，且PAB △为直角三角形，请直接写出点P 的坐标．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，23BC =，以AC 为边在ABC △的外部作等边ACD △，连接BD ．（1）求四边形ABCD 的面积； （2）求BD 的长．A BCD5 / 152014海淀一模20． 社会消费品通常按类别分为：吃类商品、穿类商品、用类商品、烧类商品，其零售总额是反映居民生活水平的一项重要数据．为了了解北京市居民近几年的生活水平，小红参考北京统计信息网的相关数据绘制了统计图的一部分：（1）北京市2013年吃类商品的零售总额占社会消费品零售总额的百分比为 ； （2）北京市2013年吃类商品零售总额约为1673亿元，那么当年的社会消费品零售总额约为 亿元；请补全条形统计图，并标明相应的数据．．．．．．．； （3）小红根据条形统计图中的数据，绘制了北京市2010至2013年社会消费品零售总额年增长率统计表（如下表），其中2013年的年增长率为 （精确到1%）；请你估算，如果按照2013年的年增长率持续增长，当年社会消费品零售总额超过10000亿元时，最早要到 年（填写年份）．北京市2010至2013年社会消费品零售总额年增长率统计表2010年 2011年 2012年 2013年年增长率（精确到1%）17%11%12%21．如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC 、AC 分别交于D 、E 两点， DF ⊥AC 于F ． （1）求证：DF 为⊙O 的切线；（2）若3cos 5C =，CF =9，求AE 的长．OF EABC D5310 62296900 7703总额/亿元 年份 吃类商品 8.7%64.1% 7.2% 用类商品 穿类商品烧类商品 北京市2009至2013年社会消费品零售总额统计图 北京市2013年各类社会消费品 零售总额分布统计图22．阅读下面材料：在学习小组活动中，小明探究了下面问题：菱形纸片ABCD 的边长为2，折叠菱形纸片，将B 、D 两点重合在对角线BD 上的同一点处，折痕分别为EF 、GH ．当重合点在对角线BD 上移动时，六边形AEFCHG 的周长的变化情况是怎样的？ 小明发现：若∠ABC =60°，①如图1，当重合点在菱形的对称中心O 处时，六边形AEFCHG 的周长为_________；②如图2，当重合点在对角线BD 上移动时，六边形AEFCHG 的周长_________（填“改变”或“不变”）． 请帮助小明解决下面问题：如果菱形纸片ABCD 边长仍为2，改变∠ABC 的大小，折痕EF 的长为m ． （1）如图3，若∠ABC =120°，则六边形AEFCHG 的周长为_________；（2）如图4，若∠ABC 的大小为2α，则六边形AEFCHG 的周长可表示为________．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2()y mx m n x n =-++（0m <）的图象与y 轴正半轴交于A 点． （1）求证：该二次函数的图象与x 轴必有两个交点；（2）设该二次函数的图象与x 轴的两个交点中右侧的交点为点B ，若45ABO ∠=，将直线AB 向下平移2个单位得到直线l ，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，设M (,)p q 为二次函数图象上的一个动点，当30p -<<时，点M 关于x 轴的对称点都在直线l 的下方，求m 的取值范围．12345-1-2-3-4-5-5-4-3-2-154321yxO图1 H G F E O D C B A 图2 HG FED C B A图3 H GF E D CB AH G FE D CBA 图47 / 152014海淀一模24．在△ABC 中，AB=AC ，将线段AC 绕着点C 逆时针旋转得到线段CD ，旋转角为α，且0180α<<，连接AD 、BD ．（1）如图1，当∠BAC =100°，60α=时，∠CBD 的大小为_________； （2）如图2，当∠BAC =100°，20α=时，求∠CBD 的大小；（3）已知∠BAC 的大小为m （60120m <<），若∠CBD 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出α的大小．图2DCBA图1AB CD25．对于平面直角坐标系x Oy中的点P（a，b），若点P'的坐标为（bak+，ka b+）（其中k为常数，且k≠），则称点P'为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P'（1+42，214⨯+），即P'（3，6）．（1）①点P（-1，-2）的“2属派生点”P'的坐标为____________；②若点P的“k属派生点” P'的坐标为（3，3），请写出一个符合条件的点P的坐标____________；（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P'点，且△OPP'为等腰直角三角形，则k的值为____________；（3）如图, 点Q的坐标为（0，43），点A在函数43yx=-（0x<）的图象上，且点A是点B的“3-属派生点”，当线段B Q最短时，求B点坐标．9 / 152014海淀一模此为过程稿，请以纸质版为准！ 海淀区九年级第二学期期中测评数学试卷答案及评分参考2014．5一、选择题（本题共32分，每小题4分）1 2 34 5 6 7 8 DB ACD AC C二、填空题（本题共16分，每小题4分）9 10 11 12(2)(2)x y y +-1a <0．93； (11,9,10)三、解答题（本题共30分，每小题5分）13． 解：011(3π)2tan60()273--+︒+-=123333++- =43-．14． 解：49132 2x x x x >-⎧⎪⎨+>⎪⎩由49x x >-，得3x >-,由②，得1x <, ∴原不等式组的解集为31x -<<． 15． 解： 2(3)(3)(23)x x x +++- 22=69239x x x x ++++- 2=39.x x + 2340x x +-=， 234x x ∴+=．∴原式()233x x =+=34=12.⨯16． 证明：∵90EAB ∠=︒，∴90EAD CAB ∠+∠=︒． ∵90CAB ∠=︒，∴90B CAB ∠+∠=︒． ∴B EAD ∠=∠． ∵ED AC ⊥，∴90EDA ∠=︒．∴EDA ACB ∠=∠． 在ACB △和EDA △中， ,,,B EAD BC AD ACB EDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ACB EDA ≅△△． ∴AB AE =．17． 解：设原计划每年建造保障性住房x 万套．EDCBA根据题意可得:80802(125%)x x-=+ ． 解方程，得 8x =．经检验:8x =是原方程的解，且符合题意． 答：原计划每年建造保障性住房8万套．18．解：（1）∵B (,1)m 在2(0)y x x=>的图象上，∴2m =． ∴(2,1)B ．∵(2,1)B 在直线y ax a =-（a 为常数）上， ∴12,a a =- ∴ 1.a =∴一次函数的解析式为 1.y x =- （2）P 点的坐标为(0,1)或(0,3)．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19． 解：（1）∵在ABC △中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，23BD = ∴1cos ,2BC ABC AC AB AB ∠==，90903060BAC ABC ∠=-∠=-=． ∴234cos cos30BC AB ABC ===∠，1422AC =⨯=．∵ACD △为等边三角形，∴2AD CD AC ===,60DAC ∠=． 过点D 作DE AC ⊥于E ， 则 sin 2sin 603DE AD DAC =∠=⨯=．∴ABC ACD ABCD S S S =+△△四边形1122AC BC AC DE =⋅+⋅ 112232322=⨯⨯+⨯⨯33=． （2）过点D 作DF AB ⊥于F ． ∵180180606060DAF BAC DAC ∠=︒-∠-∠=︒--︒=︒,∴sin 2sin 603DF AD DAF =⋅∠=︒=． cos 2cos 601AF AD DAF =⋅∠=︒=． ∴415BF AB AF =+=+=． ∵DF AB ⊥，∴在Rt BDF △中，22222(3)528BD DF BF =+=+=． ∴27BD =． 20． 解：（1）20．0%；（2）8365;622969007703 总额/亿元 北京市2009至2013年社会消费品零售总额统计图 8365DCBAFE11 / 152014海淀一模（3）9%，2016．21． 解：（1）连接OD ，AD ． ∵AB 是O 的直径， ∴90ADB ∠=︒． 又∵AB AC =， ∴D 为BC 的中点． 又∵O 为AB 的中点， ∴OD //AC ． ∵DF ⊥AC ， ∴DF ⊥OD ．又∵OD 为⊙O 的半径， ∴DF 为⊙O 的切线． （2）∵DF ⊥AC ，9CF =,∴cos CFC CD =．∴3915cos 5CF CD C ==÷=． ∵90ADB ∠=， ∴90ADC ∠=．∴cos CDC AC =． ∴31525cos 5CD AC C ==÷=． ． 连接BE ． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴90AEB ∠=． 又∵DF ⊥AC ， ∴DF //BE ．∴1CF CDEF BD==． ∴9EF CF ==． ∴25997AE AC EF CF =--=--=． 22． 解：①6； ②不变． （1）4+23; （2）4+4sin α．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）5310 年份OFEABCDCBAFD23． 解：（1）令2()=0mx m n x n -++，则 22=()4=()m n mn m n ∆+--．∵二次函数图象与y 轴正半轴交于A 点， ∴(0,)A n ，且0n >．又0m <，∴0m n -<． ∴2=()0m n ∆->．∴该二次函数的图象与x 轴必有两个交点． （2）令2()=0mx m n x n -++，解得：121,n x x m==． 由（1）得0nm<，故B 的坐标为(1,0)． 又因为45ABO ∠=，所以(0,1)A ，即=1n ． 则可求得直线AB 的解析式为1y x =-+． 再向下平移2个单位可得到直线:1l y x =--．（3）由（2）得二次函数的解析式为2(1)1y mx m x =-++ ∵M (,)p q 为二次函数图象上的一个动点， ∴2(1)1q mp m p =-++．∴点M 关于x 轴的对称点M '的坐标为(,)p q -． ∴点M '在二次函数2(1)1y mx m x =-++-上．∵当30p -<<时，点M 关于x 轴的对称点都在直线l 的下方， 当0p =时，1q =；当3p =-时，124q m =+； 结合图象可知：(124)2m -+≤，解得：12m ≥-，∴m 的取值范围为102m -≤<．24．解：（1）30︒；（2）如图作等边AFC △，连结DF 、BF ． ∴AF FC AC ==，60FAC AFC ∠=∠=︒． ∵100BAC ∠=︒，AB AC =， ∴40ABC BCA ∠=∠=︒． ∵20ACD ∠=︒，∴20DCB ∠=︒．∴20DCB FCB ∠=∠=︒． ① ∵AC CD =，AC FC =， ∴DC FC =． ② ∵BC BC =，③∴由①②③，得 DCB FCB ≅△△， ∴DB BF =， DBC FBC ∠=∠． ∵100BAC ∠=︒， 60FAC ∠=︒， ∴40BAF ∠=︒．∵20ACD ∠=︒，AC CD =， ∴80CAD ∠=︒．213 / 152014海淀一模∴20DAF ∠=︒．∴20BAD FAD ∠=∠=︒． ④ ∵AB AC =， AC AF =， ∴AB AF =． ⑤ ∵AD AD =，⑥∴由④⑤⑥，得 D AB D AF ≅△△． ∴FD BD =． ∴FD BD FB ==． ∴60DBF ∠=︒．∴30CBD ∠=︒．（3）120m α=︒-, 60=︒α 或 240m α=︒- ． 25． 解：（1）①(2,4)--;②答案不唯一，只需横、纵坐标之和为3即可，如(1,2) ． （2）1±；（3）设(,)B a b ．∵B 的“-3属派生点”是A ， ∴A （3b a -，3a b -+）．∵点A 还在反比例函数43y x=-的图象上， ∴3=-33b a a b -+()(-)4．∴23=12b a (-)． ∵30b a >- ∴323b a =-． ∴323b a =+．∴B 在直线323y x =+上．过Q 作323y x =+的垂线Q 1B ，垂足为1B ， ∵()0,43Q ，且线段BQ 最短， ∴1B 即为所求的B 点，∴易求得37(,3)22B ． 注：其他解法请参照给分．2014年北京顺义中考一模数学试卷部分解析一、选择题1. 【答案】B【解析】3580000用科学记数法表示为63.5810⨯，故选B ．2. 【答案】C【解析】-2的倒数是12-，故选C ．3. 【答案】B【解析】一共6个球，其中黄色球4个，随机摸出一个球，摸到黄球的概率是42=63，故选B ．4. 【答案】C【解析】一个多边形的每一个外角都是40?，外角和为360︒，360940n ︒==︒，故选C ．5. 【答案】A【解析】9名学生参加竞赛，去前4名参加决赛，小英想知道自己能否参加决赛得看自己成绩是否高于中位数，故选A ．6. 【答案】C【解析】∵AB AC =，AD BC ∥，100?BAC ∠=，∴40B C CAD ∠=∠=∠=︒，故选C ．7. 【答案】D【解析】可以把学校、小明家、小丽家看作三个点，若这三个点不在同一直线上，即可围成三角形，三角形第三边介于两边之和和两边之差之间，当且仅当三点共线时取等号，5252x -+≤≤，故选D ．8. 【答案】A【解析】连接OD ，由垂径定理可知DC EC =，2AB =，AC x =，当C 点在AO 上时，1OC x =-，21(1)CD x =--．211(1)2ADE S DE AC x x =⋅=⋅--△；当C 点在OB 上时，1O Cx =-，21(1)CD x =--．211(1)2ADE S DE AC x x =⋅=⋅--△；当C 点与O 重合，1x =，1ADE S =△，故选C ．二、填空题 9. 【答案】3x =【解析】分式32x x -+的值为零，30x -=，3x =． 故答案为：3x =．10. 【答案】答案不唯一，1y x =-+【解析】一次函数y 的值随自变量x 的增大而减少，0k <，1b =即可．15 / 152014海淀一模故答案为：答案不唯一，1y x =-+．11. 【答案】15 【解析】由相似可得1.8=2.420h，解得15h =． 故答案为：15．12. 【答案】(0,13)-，(11,11)-，(,)n n -【解析】122A A =，等边三角形边长为2，高为3，3(1-3,0)A ． 1(1,1)A -，4(2,2)A -，7(3,3)A -32(,)n A n n --，它们在y x =-这条直线上，31(11,11)A -．故答案为：(0,13)-，(11,11)-，(,)n n -．。
海淀区2013-2014学年九年级第一学期期末数学试卷
C．相交
D．无法确定
C O
6．若关于 x 的方程 ( x 1) k 1 没有实数根，则 k 的取值范围是 A． k 1 B． k 1 C．k 1 D． k 1 7．如图， AB 是⊙ O 的切线， B 为切点， AO 的延长线交⊙ O 于 C 点，连接 BC ，
A 30 ， AB 2 3 ，则 AC 等于 ( 若
EP3 F + +∠ EPn -1 F EP2 F +∠ EP3 F + +∠ EPn -1 F
度；如图 2，若 A ， B ，则∠ EPF +∠ 1 （用含 ， 的式子表示）.
P1 P2 P3 Pn-1 E
图2
B
F C
A
三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．计算： 27
AD EC , ADB C , BD DC ,
B
E
C
∴△ ABD ≌△ EDC .………………………………………………………………4 分 ∴ AB ED ． ……………………………………………………………………5 分 18． （本小题满分 5 分） 解：（1）∵关于 x 的方程 x 2 2x +k 1 0 有实数根， ∴ 4 4(k 1) 0 . ………………………………………………………1 分
2
B
旋转后的抛物 线的解析式为( A． y 2 x 1
2
) B． y 2 x 1
2
y 2 x 2 +1
C． y 2 x
2
D． y 2 x 1
2
5．在平面直角坐标系 xOy 中，以点 (3, 4) 为圆心，4 为半径的圆与 y 轴所 在直线的位置关系是( ) A．相离 B．相切
北京市海淀区九年级上学期期中考试数学试题
海淀区九年级第一学期期中测评数学试卷（分数：120分时间：120分钟）2015.11学校姓名准考证号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置.1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是A．B．C．D．2．下列图形是中心对称图形的是A ．B．C．D．3．二次函数的最大值是A．B．C．1 D．24．已知⊙O的半径是4，OP的长为3，则点P与⊙O的位置关系是A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定5．将抛物线沿y轴向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为A．B．C．D．6．已知扇形的半径为，圆心角为，则这个扇形的面积为A．B．C．D．7．用配方法解方程，下列配方正确的是A．B．C．D．8．已知二次函数的图象如图所示，则下列选的是项中不正确．．．A．B．C．0 < D．9．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若，则等于A．B．C．D．10．小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y（米）与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画.经测试得出部分数据如下表：下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是A．7分B．6.5分C．6分D．5.5分二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．方程的解为_______________．12. 请写出一个开口向上且经过(0, 1)的抛物线的解析式_________．13．若二次函数的图象上有两个点、，则a____（填“<”或“=”或“>”）．14．如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC=______°．15．用一块直径为4米的圆桌布平铺在对角线长为4米的正方形桌面上（如示意图），若四周下垂的最大长度相等，则这个最大长度x为_______米（取1.4）．16．如图，O是边长为1的等边△ABC的中心，将AB、BC、CA分别绕点A、点B、点C顺时针旋转（），得到、、，连接、、、、．（1）_______〬；（2）当〬时，△的周长最大．三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解方程：．18．若抛物线与轴只有一个交点，求实数的值．k x k x y -++-=)3(32上，求此19．已知点(3, 0)在抛物线抛物线的对称轴．20．如图，AC 是⊙O 的直径，P A , PB 是⊙O 的切线，A , B 为切点，．求∠P 的度数．21．已知x =1是方程的一个根，求代数式的值．22．一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为1m ，水面宽AB 为1.6m ．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为1.2m ，求水面下降的高度．23．已知关于x 的方程)0(0)3(32>=---a a x a x . （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根大于2，求a 的取值范围．24．在设计人体雕像时，若使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度的比等于下部与全部（全身）的高度比，则可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m ，那么它的下部应设计为多高（取2.2 ）．25．已知AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是⊙O 的弦，AB =2，AC =，AD =1，求∠CAD 的度数．26．抛物线与直线相交于A、B两点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若，则的最小值为________.27.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于点D. P为AB延长线上一点，. （1）求证：CP为⊙O的切线；（2）BP=1，.①求⊙O的半径；②若M为AC上一动点，则OM+DM的最小值为.28.探究活动：利用函数的图象(如图1)和性质，探究函数的图象与性质.下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)函数的自变量x的取值范围是___________；(2)如图2，他列表描点画出了函数图象的一部分，请补全函数图象；图1 图2解决问题：14x b-=的两根为、，且，方程的两根为、，且.若，则、、、的大小关系为（用“<”连接）．29．在平面直角坐标系xOy中，半径为1的⊙O与x轴负半轴交于点A，点M在⊙O上，将点M绕点A顺时针旋转60︒得到点Q. 点N为x轴上一动点（N不与A重合），将点M绕点N顺时针旋转60︒得到点P. PQ与x轴所夹锐角为.（1）如图1，若点M的横坐标为，点N与点O重合，则=________︒；（2）若点M、点Q的位置如图2所示，请在x轴上任取一点N，画出直线PQ，并求的度数；（3）当直线PQ与⊙O相切时，点的坐标为_________.图1 图2 备用图海淀区九年级第一学期期中测评数学试卷参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．解： ……………………………………………1分． ……………………………………………3分 ∴或．∴. ………………………………………………………5分18．解：∵抛物线与轴只有一个交点，∴，………………………………………2分 即．……………………………………………4分 ∴．……………………………………………5分19．解：∵点(3, 0)在抛物线k x k x y -++-=)3(32上，∴k k -++⨯-=)3(33302．………………………………………2分 ∴．……………………………………………3分 ∴抛物线的解析式为．∴对称轴为．……………………………………………5分20．解：∵P A ,PB 是⊙O 的切线，∴P A =PB ．………………………………………1分 ∴．………………………………………2分 ∵AC 为⊙O 的直径， ∴CA ⊥P A ．∴º．………………………………………3分 ∵º，∴º．………………………………………4分∴502180=∠-=∠PAB Pº．………………………………………5分21．解：∵是方程的一个根，∴．………………………………………2分 ∴．…………………………………………3分∴原式………………………………………4分．………………………………………5分22．解：如图，下降后的水面宽CD 为1.2m ，连接OA , OC ，过点O 作ON ⊥CD 于N ，交AB 于M ．………………………… 1分∴º.∵AB ∥CD ，∴90OMA ONC ∠=∠=º． ∵，， ∴，． …………………………2分 在Rt △OAM 中， ∵，∴0.6OM =． ………………………………3分 同理可得．………………………………4分 ∴0.2.MN ON OM =-=答：水面下降了0.2米．…………………………5分23．（1）证明： 22)3()(34)3(+=-⨯⨯--=∆a a a ．……………………………1分∵，∴． 即．∴方程总有两个不相等的实数根．……………………………………………2分（2）解方程，得．……………………………………………4分 ∵方程有一个根大于2， ∴． ∴．……………………………………………5分24．解：如图，雕像上部高度AC 与下部高度BC 应有，即．设BC 为x m. …………………………………1分 依题意，得．.………………………………………3分解得（不符合题意，舍去）．……4分 ．答：雕像的下部应设计为1.2m ．…………………………5分25． 解：如图1，当点D 、C 在AB 的异侧时，连接OD 、BC . ………1分∵AB 是⊙O 的直径，∴º．在Rt △ACB 中， ∵，， ∴． ∴º．………………2分 ∵，∴º．………………3分 ∴105CAD BAD BAC ∠=∠+∠=º．………………4分当点D 、C 在AB 的同侧时，如图2，同理可得，． ∴15CAD BAD BAC ∠=∠-∠=º． ∴为15º或º． …………………5分26．解：（1）∵直线经过点B （2，-3），∴．∴．……………………………………………1分 ∵直线经过点A （-2，n ），∴．……………………………………………2分∵抛物线过点A 和点B ， ∴ ∴∴．……………………………………………4分 （2）. ……………………………………………5分27．（1）证明：连接OC . ……………………………1分∵∠PCD =2∠BAC ，∠POC =2∠BAC ， ∴∠POC =∠PCD ．……………………………2分∵CD ⊥AB 于点D ，∴∠ODC =90︒．∴∠POC+∠OCD =90º． ∴∠PCD+∠OCD =90º． ∴∠OCP =90º． ∴半径OC ⊥CP ．∴CP 为⊙O 的切线． ……………………………………………3分 （2）解：①设⊙O 的半径为r . 在Rt △OCP 中，． ∵∴． ………………………4分 解得．∴⊙O 的半径为2． ……………………………………………5分②． ……………………………………………7分或；……………………………………………2分28．解：（1）（2）如图所示：……………………………………5分. .……………………………………………7分29. 解：（1）. ……………………………………………2分（2）.……………………………………………3分连接.记分别交轴于.∵将点M 绕点A 顺时针旋转60︒得到点Q ，将点M 绕点N 顺时针旋转60︒得到点P ， ∴△和△均为等边三角形. ………………4分∴，，60AMQ NMP ∠=∠=︒.∴.∴△≌△. .………………………………5分∴.∵，∴60QFE AMQ ∠=∠=︒.∴. .…………………………………………….6分（3）（，）或（，）. ………………………8分。
2012-2013海淀区九年级第一学期期中数学答案
海淀区九年级第一学期期中练习数学试卷答案及评分参考一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解方程：234 6.x x x -=-解法一：2760x x -+=. …………………………………………1分(6)(1)0x x --=. …………………………………………3分60x -=或10x -=.∴ 126,1x x ==. …………………………………………5分解法二：2760x x -+=. ………………………………………1分1,7,6a b c ==-=,2(7)416250∆=--⨯⨯=>. ……………………………………2分∴ x =. …………………………………………3分∴ 126,1x x ==. …………………………………………5分14．计算：241221348+⨯-÷.解： 原式=4…………………………………………4分=4+ …………………………………………5分15．计算：(3-.解： 原式=(3+-…………………………………………1分=223-…………………………………………3分 =98-=1. …………………………………………5分16. 解：连接CO . .…………………………1分∵AB 为直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，∴90OEC ∠=︒,2CD CE =. ………2分 ∵5,2OA AE ==,∴3OE =,5OC =. ……………………3分 在Rt △OCE 中,4CE ==..………………4分∴8CD =.∴CD 的长为8. ………………………………5分17．解法一：∵1x =，∴1x +=.…………………………2分∴2(1)2x +=. ..…………………………3分 ∴221x x +=. . .…………………………4分 ∴原式=15-=4-. .…………………………5分解法二：原式=21)15+-） .…………………………1分=2125+-- .…………………………3分 =4-. .…………………………5分18．证明： 过点D 作DH ∥AE 交BC 于H . ………………………………………1分∴12,34∠=∠∠=∠.∵2B ∠=∠, ∴1B ∠=∠.∴BD HD =.………………………………2分 ∵BD CE =,∴HD CE =. .………………………3分 在△DHF 和△ECF 中,34,56,.DH EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DHF ≌△.ECF ()AAS .…………………………………………4分 ∴DF EF =. .…………………………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：设网购交易总额的年平均增长率是x. …………………………………1分依题意，得 25000(1)12800x +=. …………………………………………3分 解得120.6 2.6x x ==-，（不合题意,舍去）. ……………………………4分 答：网购交易总额的年平均增长率是60％. …………………………5分 20．解：（1）∴△''AB C 即为所求.(不写结论的不扣分) …………………………………2分 （2）点'B 的坐标为(0,1)； ……………………………………3分（3）90.180l π⨯==答：点C 旋转到C. ………………………………5分21. 解：（1）∵关于x 的一元二次方程022=--m x x 有实数根，∴440m ∆=+≥. .…………………………………………1分 ∴1m ≥-. …………………………………………2分 （2）∵a ,b 是此方程的两个根， ∴220a a m --=，220b b m --=. ∴2122ma a -=，2242b b m -=. .…………………………………………3分 ∵()2213124122a a b b ⎛⎫-+--=⎪⎝⎭，∴()312122m m ⎛⎫+-=⎪⎝⎭.∴235022m m +-=. ∴()5102m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. ∴152m =-,21m =. …………………………………………4分 ∵1m ≥-, ∴1m =.答：m 的值为1. …………………………………………5分 22．（1）连接OF . ………………1分∵∠2和∠C 是 DF所对的圆心角和圆周角, ∴∠2=2∠C .∵∠3=2∠C , ∴∠3=∠2. ∵∠ADC =90°， ∴∠3+∠B =90°. ∴∠2+∠B =90°. ∴90BFO ∠=︒. 即OF ⊥BF .∵OF 是⊙O 的半径，∴BF 是⊙O 的切线. …………………………………………2分 （2）∵BF =FC , ∴∠B =∠C .∵∠3=2∠C ， ∴32B ∠=∠.∵︒=∠+∠903B ， ∴3∠B =90°. ∴∠B =∠C=30°. ……………………………3分 ∴∠5=∠B +∠C =60°，∠4=∠3 =60°. ∴△AEF 是等边三角形.∵AE∴EF =AF =AE ∵90ADC ∠=︒,DC 是⊙O 的直径， ∴ED 是⊙O 的切线.∴ED EF = ……………………………4分∴AD AE DE =+= 在△ADC 中，∠ADC =90°，∵∠C =30°，AD =∴ 6.CD = ∴3OC =.∴⊙O 的半径为3. …………………………………………5分 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23. 解：（1）∴∠APB 为所求. ………………………………………2分∴∠APB 为所求. ………………………………………4分（2）∴1APB ∠（或2AP B ∠）为所求. ………………………………………7分 (注：作出一个即给满分，不同的方法酌情给分) 24．解：（1）②. ………………………………………2分（2）∵AD 是直径,∴90DBA ∠= .又∵∠DBC =30︒, ∴60CBA ∠= . 又∵BC ⊥AD , ∴ AB AC =.∴60CBA BCA ∠=∠= . ∴△ABC 为等边三角形.∴a b c ==. ………………………………………4分 ∴“△ABC 的☆方程”可化简为210x x +-=.∴12x x == ………………………………………5分 （3）∵14x c =是“△ABC 的☆方程”02=-+c bx ax 的一个根， ∴2110.164ac bc c +-=∵0c >，∴ 164ac b =-. ………………………………………6分 ∵ 40ac b -<， ∴ 16440b b --<.∴ 2b >. 又∵0ac >， ∴1640b ->.∴ 4.b <综上所述，2 4.b << ∵a 、b 、c 均为整数，且a 、b 、c 为△ABC 的三条边，∴3b =. ………………………………………7分 ∴1612 4.ac =-= ∴当1a =时，4c =； 当4a =时，1c =； 当2a =时，2c =.∵三角形两边之和大于第三边， ∴2a =，2c =.∴“△ABC 的☆方程”为22320x x +-=.∴121, 2.2x x ==- ∵14x c =，且2c =，∴另一个根为2x =-. ………………………………………8分25． 解：（1）(2,2)P ，PE = ………………………………2分 （2）当点P 在第一象限内时.如图，过点E 作QE PE ⊥交PN 的延长线于点Q ．…………………3分 ∵ △MNE 是以MN 为斜边的等腰直角三角形，∴ 90PEQ MEN ∠=∠=︒，ME NE =． ∴12∠=∠．∵90PMO MON PNO ∠=∠=∠=︒, ∴四边形PMON 为矩形． ∴90MPN ∠=︒．∵360PME MEN ENP NPM ∠+∠+∠+∠=︒， ∴180PME PNE ∠+∠=︒． ∵3180PNE ∠+∠=︒， ∴3PME ∠=∠． 在△QEN 和△PEM 中,∵12,,3,EN EM PME ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ △QEN ≌△PEM ． ∴QN PM =，QE PE =． ∴PQ QN PN PM PN =+=+． ∵矩形PMON 的周长为8，∴ 4PM PN +=．…………………4分即.4=PQ 在Rt △PEQ 中，∵,4,==PQ PE QE ∴.22=PE当点P 在第二、三、四象限内时，同理可得.22=PE .…………………5分（3）当点P 在第一、二、三、四象限时，PE、、. ………………………………7分(注：本卷中许多问题解法不唯一,请老师根据评分标准酌情给分)。
2013-2014学年北京市海淀区2014届九年级上学期期中考试数学试题(含答案)
海淀区九年级第一学期期中测评数学试卷（分数：120分时间：120分钟）2013.11班级姓名学号成绩 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上做答无效.一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个..是符合题意的.21•一元二次方程 x 2x 30的二次项系数、一次项系数、常数项分别是A. 1, 2, 3B. 1,-2,3C. 1,2,3D. 1,2, 32.在角、等边三角形、平行四边形、圆中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是 A •角B •等边三角形 C .平行四边形 D •圆 3•函数y :厂2中，自变量x 的取值范围是 A . x2B . x 2C . x 2 D . x 24•如图，点A 、B 、C 在O O 上，若 AOB 110：，则 ACB 的大小是A . 35B . 45/kC . 55；D . 110A ， -)C2X5.用配方法解方程x10x9 0,配方正确的是2A . (x 5)16B (x 5)2 342C . (x 5)16D(x 5)2 256•如图所示的图案绕旋转中心旋转一定角度后能够与自身重合，那么这个旋转角可能是A . 60B . 72C . 90'D .120；7.若|a 2 \ b 3 0，则a b 的值为A . - 1B . 1C . 5D . 6&如图，O O的半径为5,点P到圆心O的距离为10，如果过点P作弦,那么长度为整数值的弦的条数为A . 3B . 4C. 5 D . 6二、填空题（本题共16分，每小题4分）9 .如图，将A ABC绕点C顺时针旋转至△A'B'C的位置，若ACB 15】, B 120；；，贝U A'的大小为 _________ .10•已知一元二次方程有一个根是0,那么这个方程可以是（填上你认为正确的一个方程即可）.B 11.如图，AB是O O的直径，点C、D为O O上的两点，若ABD 40，贝U BCD的大小为.12•下面是一个按某种规律排列的数阵:1第1行近羽2第2行躬晶霁2近3第3行10 11 2.3 13 14 15 4第4行根据数阵排列的规律，则第5行从左向右数第5个数为，第n （n 3，且n是整数）行从左向右数第5个数是（用含n的代数式表示）.三、解答题（本题共30分，每小题5分）13 .计算：、24 . 3 6 3 .914.用公式法解一元二次方程：x 4x 1 .15 .如BE、CD .请在图中找出一条与CD长度相等的图，△ABC与16 .当x . 51时，求代数式x 2 2x 5的值.17. 如图，两个圆都以点 0为圆心，大圆的弦 AB 交小圆于C 、D 两点. 求证：AC = BD .证明:18. 列方程(组)解应用题:如图，有一块长20米，宽12米的矩形草坪，计划沿水平和竖直方向各修一条宽度相同的小 路，剩余的草坪面积是原来的3，求小路的宽度.4解:19. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 mx m 1(1) 求m 的值及另一根；(2) 若该方程的两个根分别是等腰三角形的两条边的长，求此等腰三角形的周长.20. 如图，DE 为半圆的直径，O 为圆心，DE=10,延长DE 到A ，使得EA=1，直线AC 与半圆交于B 、C 两点，且 DAC 30(1)求弦BC 的长；(2 )求△ AOC 的面积.四、解答题(每小题 5分，共20分)0的一个根为2.21.已知关于x的方程x22(k 1)x k20有两个不相等的实数根.(1) 求k的取值范围；(2)求证：x 1不可能是此方程的实数根.22 •阅读下面的材料：小明在研究中心对称问题时发现：如图1,当点A为旋转中心时，点P绕着点A1旋转180。
2013-2014第一学期北京四中初三年级数学期中考试试题及答案
2013-2014第一学期四中初三年级数学期中考试试题及答案（时间：120分钟 满分：120分） ： 班级： 成绩: ____________一．选择题（每题4分，共32分）1.抛物线2(1)4y x =+-的顶点坐标是（ ） A ．（1,4）B.(-1,4) C.(1,-4) D.(-1,-4) 2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，4sinA 5=，则cosB 的值等于（ ） A ．53 B. 54 C. 43D. 553.如图，在ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ， 且AE 、BD 交于点F ，DE ：EC=2:3，则S △DEF :S △ABF =（ ） A. 2：3B.4：9 C.2：5 D.4：254.在平面直角坐标系中，已知点E （﹣4，2），F （﹣2，﹣2），以原点O 为位似 中心，相似比为2，把△EFO 放大，则点E 的对应点E′的坐标是（ ） A.(-2,1) B.(-8,4) C.(-8,4)或(8,-4)D.(-2,1)或(2,-1)5.二次函数2y ax bx c =++（a≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表： x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 y125﹣3﹣4﹣3512给出了结论：（1）二次函数2y ax bx c =++有最小值，最小值为﹣3； （2）当122x -<<时，y ＜0； （3）二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧． 则其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ． 3个D ．0个 6.如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，已知AB=4，AD=2． ∠DAC=∠B，若△ABD 的面积为a ，则△ACD 的面积为（ ）A ．aB ．12a C ．13a D ．23a 7.若定义变换：(,)(,)f ab a b =-，(,)(,)g m n m n =-，如：(1,2)(1,2)f =-，(4,5)(4,5)g --=-，则((2,3))g f -=（ ）A ．(2,3)-B ．(2,3)-C ．(2,3)D ．(2,3)--8.小明从如图所示的二次函数2y ax bx c =++（a≠0）的图象中， 观察得出了下面五条信息：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c ＞0；⑤32a b = 你认为其中正确信息的个数有（ ） A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个二．填空题（每题4分共16分） 9.在△ABC 中，∠C =90°，3cos 3B a == ，则b=_________． 10.已知(-3，m ）、(1，m)是抛物线223y x bx =++的两点，则b=____.11.如图，是二次函数21y ax bx c =++和一次函数2y mx n =+的图象，观察图象写出21y y >时，x 的取值围__________．12. 已知二次函数2y ax bx c =++图象的一部分如图，则a 的取值围是______． 三．解答题（本题共30分）13.计算：. 101()8|122sin 60tan 602-︒-︒14.如图，正△ABC 中，∠ADE=60°， (1)求证：△ABD ∽△DCExyO（2）若BD=2，CD=4，求AE 的长．15.如图，为了测量某建筑物AB 的高度，在平地上C 处测得建筑物顶端A 的仰角为30°，沿CB 方向前进39)m -到达D 处，在D 处测得建筑物顶端A 的仰角为45°，求该建筑物AB 的高度.16. 已知抛物线2234y x kx k =-++．(1)顶点在y 轴上时，k 的值为_________. (2)顶点在x 轴上时，k 的值为_________. (3)抛物线经过原点时，k 的值为_______. 17.已知二次函数21322y x x =--+. （1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）根据图象，写出当y ＜ 0时，x 的取值围；（3）若将此图象沿x 轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．18.已知：如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的高， E 为边AC 的中点，BC ＝14，AD ＝12，⋅=54sin B 求：(1)线段DC 的长；(2)tan ∠EDC 的值．四、解答题（本题共20分，19、20每小题5分21题6分22题4分）19.如图，直角△ABC中，90C∠=︒，5AB=5sin B=，点P为边BC上一动点，PD∥AB，PD交AC于点D，连结AP．（1）求AC、BC的长；（2）设PC的长为x，ADP∆的面积为y．当x为何值时,y最大并求出最大值．20.如图，直线3y x=和2y x=分别与直线2x=相交于点A、B，将抛物线2y x=沿线段OB移动，使其顶点始终在线段OB上，抛物线与直线x＝2相交于点C，设△AOC的面积为S，求S的取值围．21.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元．（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么围时，每个月的利润不低于2200元？22、当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化. 例如：x x yy x x由抛物线22221y x mx m m =-++-①有2()21y x m m =-+-② ， 所以抛物线顶点坐标为（m ，2m －1），即x = m ③, y = 2m －1④.当m 的值变化时，x ，y 的值也随之变化，因而y 的值也随x 值的变化而变化.将③代入④，得y=2x －1⑤. 可见，不论m 取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y 和横坐标x 都满足关系式：y=2x －1；(1) 根据上述阅读材料提供的方法，确定点（－2m, m －1）满足的函数关系式为_______. (2)根据阅读材料提供的方法，确定抛物线22211y x x m m m=-+++顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式.五、解答题（本题共22分，第23题6分，第24题7分，第25题9分） 23. 已知二次函数22-++=a ax x y（1）求证：不论a 为何实数，此函数图象与x 轴总有两个交点．（2）设a<0，当此函数图象与x 轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式． （3）在（2）的条件下，若此二次函数图象与x 轴交于A 、B 两点，在函数图象上是否存在点P ，使得△PAB 的面积为2，若存在求出P 点坐标，若不存在请说明理由。
2013-2014学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试卷
2013-2014 学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共32 分，每小题4 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（4 分）的值是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．62．（4 分）如图，将一张矩形纸片沿对角线剪开得到两个直角三角形纸片，将这两个直角三角形纸片通过图形变换构成以下四个图形，这四个图形中是中心对称图形的是（）A． B．C． D．3．（4 分）如图，在△ABC 中，点D、E 分别为边AB、AC 上的点，且DE∥BC，若AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE 的长为（）A．3 B．6 C．9 D．124．（4分）二次函数y＝﹣2x2+1 的图象如图所示，将其绕坐标原点O 旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（）A．y＝﹣2x2﹣1 B．y＝2x2+1 C．y＝2x2 D．y＝2x2﹣15．（4 分）在平面直角坐标系xOy 中，以点（3，4）为圆心，4 为半径的圆与y 轴所在直线的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法确定6．（4 分）若关于x 的方程（x+1）2＝k﹣1 没有实数根，则k 的取值范围是（）A．k≤1 B．k＜1 C．k≥1 D．k＞17．（4 分）如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AO 的延长线交⊙O 于C 点，连接BC，若∠A＝30°，AB＝2 ，则AC 等于（）A．4 B．6 C． D．8．（4分）如图，Rt△ABC 中，AC＝BC＝2，正方形CDEF 的顶点D、F 分别在AC、BC 边上，设CD 的长度为x，△ABC 与正方形CDEF 重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y 与x 之间的函数关系的是（）A． B．C． D．二、填空题（本题共16 分，每小题4 分）9．（4 分）比较大小：3（填“＞”、“＝”或“＜”）．10．（4 分）如图，A、B、C 在⊙O 上，若∠AOB＝100°，则∠ACB＝°．11．（4 分）已知点P（﹣1，m）在二次函数y＝x2﹣1 的图象上，则m 的值为；平移此二次函数的图象，使点P 与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为．12．（4 分）在△ABC 中，E、F 分别是AC、BC 边上的点，P1、P2、P3、…、P n﹣1 是AB 边的n 等分点，CE＝AC，CF＝BC．如图1，若∠B＝40°，AB＝BC，则∠EP1F+ ∠EP2F+∠EP3F+…+∠EP n﹣1F＝度；如图2，若∠A＝α，∠B＝β，则∠EP1F+ ∠EP2F+∠EP3F+…+∠EP n﹣1F＝（用含α，β的式子表示）．三、解答题（本题共30 分，每小题5 分）13．（5 分）计算：．14．（5 分）解方程：x（x﹣3）＝2（3﹣x）．15．（5 分）如图，在△ABC 和△CDE 中，∠B＝∠D＝90°，C 为线段BD 上一点，且AC ⊥CE．求证：．16．（5 分）已知抛物线y＝x2+bx+c 经过（0，﹣1），（3，2）两点．求它的解析式及顶点坐标．17．（5 分）如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC 且BD＝DC，E 是BC 上一点，且CE＝DA．求证：AB＝ED．18．（5 分）若关于x 的方程x2+2x+k﹣1＝0 有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）当k 取得最大整数值时，求此时方程的根．四、解答题（本题共20 分，每小题5 分）19．（5 分）如图，用长为20 米的篱笆恰好围成一个扇形花坛，且扇形花坛的圆心角小于180°，设扇形花坛的半径为r 米，面积为S 平方米．（注：π的近似值取3）（1）求出S 与r 的函数关系式，并写出自变量r 的取值范围；（2）当半径r 为何值时，扇形花坛的面积最大，并求面积的最大值．20．（5 分）如图，AB 为⊙O 的直径，射线AP 交⊙O 于C 点，∠PCO 的平分线交⊙O 于D 点，过点D 作DE⊥AP 交AP 于E 点．（1）求证：DE 为⊙O 的切线；（2）若DE＝3，AC＝8，求直径AB 的长．21．（5 分）已知二次函数y＝2x2+m．（1）若点（﹣2，y1）与（3，y2）在此二次函数的图象上，则y1y2（填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）如图，此二次函数的图象经过点（0，﹣4），正方形ABCD 的顶点C、D 在x 轴上，A、B 恰好在二次函数的图象上，求图中阴影部分的面积之和．22．（5 分）晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x（x+4）＝6．解：原方程可变形，得[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6．（x+2）2﹣22＝6，（x+2）2＝6+22，（x+2）2＝10．直接开平方并整理，得．我们称晓东这种解法为“平均数法”．（1）下面是晓东用“平均数法”解方程（x+2）（x+6）＝5 时写的解题过程．解：原方程可变形，得[（x+□）﹣〇][（x+□）+〇]＝5．（x+□）2﹣〇2＝5，（x+□）2＝5+〇2．直接开平方并整理，得x1＝☆，x2＝¤．上述过程中的“ □ ”，“ 〇”，“ ☆ ”，“ ¤ ” 表示的数分别为，，，．（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣3）（x+1）＝5．五、解答题（本题共22 分，第23、24 小题各7 分，第25 小题8 分）23．（7 分）已知抛物线y＝（m﹣1）x2﹣2mx+m+1（m＞1）．（1）求抛物线与x 轴的交点坐标；（2）若抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为2，求m 的值；（3）若一次函数y＝kx﹣k 的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式．24．（7 分）已知四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，且AB＞CE．（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG＝DE；（2）如图2，如果正方形ABCD 的边长为，将正方形CEFG 绕着点C 旋转到某一位置时恰好使得CG∥BD，BG＝BD．①求∠BDE 的度数；②请直接写出正方形CEFG 的边长的值．25．（8 分）如图1，已知二次函数的图象与x 轴交于A、B 两点（B 在A 的左侧），顶点为C，点D（1，m）在此二次函数图象的对称轴上，过点D 作y 轴的垂线，交对称轴右侧的抛物线于E 点．（1）求此二次函数的解析式和点C 的坐标；（2）当点D 的坐标为（1，1）时，连接BD、BE．求证：BE 平分∠ABD；（3）点G 在抛物线的对称轴上且位于第一象限，若以A、C、G 为顶点的三角形与以G、D、E 为顶点的三角形相似，求点E 的横坐标．2013-2014 学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共32 分，每小题4 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（4 分）的值是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．6【分析】原式利用平方根的定义计算即可得到结果．【解答】解：＝3．故选：A．【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（4 分）如图，将一张矩形纸片沿对角线剪开得到两个直角三角形纸片，将这两个直角三角形纸片通过图形变换构成以下四个图形，这四个图形中是中心对称图形的是（）A． B．C． D．【分析】利用中心对称图形的性质直接判断得出．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形的性质，正确根据图形判断得出是解题关键．3．（4 分）如图，在△ABC 中，点D、E 分别为边AB、AC 上的点，且DE∥BC，若AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE 的长为（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】根据平行线分线段成比例定理即可直接求解．【解答】解：∵DE∥BC，∴即解得：EC＝6．故选：B．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，理解定理内容是关键．4．（4分）二次函数y＝﹣2x2+1 的图象如图所示，将其绕坐标原点O 旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（）A．y＝﹣2x2﹣1 B．y＝2x2+1 C．y＝2x2 D．y＝2x2﹣1【分析】根据原抛物线的顶点坐标求出旋转后的抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式解析式形式写出即可．【解答】解：∵二次函数y＝﹣2x2+1 的顶点坐标为（0，1），∴绕坐标原点O 旋转180°后的抛物线的顶点坐标为（0，﹣1），又∵旋转后抛物线的开口方向上，∴旋转后的抛物线的解析式为y＝2x2﹣1．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便．5．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，以点（3，4）为圆心，4 为半径的圆与y 轴所在直线的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法确定【分析】可先求出圆心到y 轴的距离，再根据半径比较，若圆心到y 轴的距离大于圆心距，y 轴与圆相离；小于圆心距，y 轴与圆相交；等于圆心距，y 轴与圆相切．【解答】解：依题意得：圆心到y 轴的距离为：3＜半径4，所以圆与y 轴相交，故选：C．【点评】此题考查的是圆与直线的关系，即圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，则直线与圆相切．6．（4 分）若关于x 的方程（x+1）2＝k﹣1 没有实数根，则k 的取值范围是（）A．k≤1 B．k＜1 C．k≥1 D．k＞1【分析】通过直接开平方法解得x+1＝±，则根据二次根式有意义的条件得到不等式k﹣1＜0，由此求得k 的取值范围．【解答】解：解方程（x+1）2＝k﹣1 得到：x+1＝±，∵关于x 的方程（x+1）2＝k﹣1 没有实数根，∴k﹣1＜0，解得，k＜1．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法．解题时，利用了二次根式的被开方数是非负数求得k 的取值范围．7．（4 分）如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AO 的延长线交⊙O 于C 点，连接BC，若∠A＝30°，AB＝2 ，则AC 等于（）A．4 B．6 C． D．【分析】连接OB，则△AOB 是直角三角形，利用三角函数即可求得OA 的长，则AC 即可求解．【解答】解：连接OB．∵AB 是⊙O 的切线，B 为切点，∴OB⊥AB，在直角△OAB 中，OB＝AB•tan A＝2 ×＝2，则OA＝2OB＝4，∴AC＝4+2＝6．故选：B．【点评】本题考查了三角函数以及切线的性质，正确判断△OAB 是直角三角形是关键．8．（4 分）如图，Rt△ABC 中，AC＝BC＝2，正方形CDEF 的顶点D、F 分别在AC、BC 边上，设CD 的长度为x，△ABC 与正方形CDEF 重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y 与x 之间的函数关系的是（）A． B．C． D．【分析】分类讨论：当0＜x≤1 时，根据正方形的面积公式得到y＝x2；当1＜x≤2 时，ED 交AB 于M，EF 交AB 于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE 的面积得到y＝x2﹣2（x﹣1）2，配方得到y＝﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．【解答】解：当 0＜x ≤1 时，y ＝x 2，当 1＜x ≤2 时，ED 交 AB 于 M ，EF 交 AB 于 N ，如图，CD ＝x ，则 AD ＝2﹣x ，∵Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝2，∴△ADM 为等腰直角三角形，∴DM ＝2﹣x ，∴EM ＝x ﹣（2﹣x ）＝2x ﹣2，∴S △ENM ＝ （2x ﹣2）2＝2（x ﹣1）2，∴y ＝x 2﹣2（x ﹣1）2＝﹣x 2+4x ﹣2＝﹣（x ﹣2）2+2，∴y ＝ ，故选：A ．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的 实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的 含义即会识图．也考查了等腰直角三角形的性质．二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分）9．（4 分）比较大小：＜ 3（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【分析】求出 2＝，3＝，再比较即可． 【解答】解：∵2＝，3＝，∴2＜3， 故答案为：＜．【点评】本题考查了二次根式的性质，实数的大小比较的应用，主要考查学生的比较能 力．10．（4 分）如图，A、B、C 在⊙O 上，若∠AOB＝100°，则∠ACB＝ 130 °．【分析】首先在优弧AB 上取点D，连接AD，BD，由圆周角定理可求得∠D 的度数，然后由圆的内接四边新的性质，求得∠ACB 的度数．【解答】解：在优弧AB 上取点D，连接AD，BD，∵∠AOB＝100°，∴∠D＝∠AOB＝50°，∴∠ACB＝180°﹣∠D＝130°．故答案为：130．【点评】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．11．（4 分）已知点P（﹣1，m）在二次函数y＝x2﹣1 的图象上，则m 的值为 0 ；平移此二次函数的图象，使点P 与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为y＝x2﹣2x ．【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把点P 的坐标代入二次函数解析式计算即可得解；根据点P 确定出平移方法，再求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式解析式形式写出即可．【解答】解：∵点P（﹣1，m）在二次函数y＝x2﹣1 的图象上，∴（﹣1）2﹣1＝m，解得m＝0，平移方法为向右平移1 个单位，平移后的抛物线的二次函数的顶点坐标为（1，﹣1），平移后的函数图象所对应的解析式为y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x，即y＝x2﹣2x．故答案为：0，y＝x2﹣2x．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便．12．（4 分）在△ABC 中，E、F 分别是AC、BC 边上的点，P1、P2、P3、…、P n﹣1 是AB 边的n 等分点，CE＝AC，CF＝BC．如图1，若∠B＝40°，AB＝BC，则∠EP1F+ ∠EP2F+∠EP3F+…+∠EP n﹣1F＝70 度；如图2，若∠A＝α，∠B＝β，则∠EP1F+ ∠EP2F+∠EP3F+…+∠EP n﹣1F＝ 180°﹣α﹣β（用含α，β的式子表示）．【分析】根据已知条件得出EP1∥FB，EP2∥FP1，EP3∥FP2，…EP n﹣1∥FP n﹣2，根据两直线平行内错角相等得出∠EP1F＝∠BFP1，∠EP2F＝∠P1FP2，∠EP3F＝∠ P2FP3，…∠EP n﹣1F＝∠P n﹣2FP n﹣1，因为∠EP1F+∠EP2F+∠EP3F+…+∠EP n﹣1F＝∠BFP n﹣1，∠BFP n﹣1，＝∠C＝70°，即可求得，同理可求得∠EP1F+∠EP2F+∠EP3F+…+∠EP n﹣1F＝180°﹣α﹣β．【解答】解：∵P1、P2、P3、…、P n﹣1 是AB 边的n 等分点，CE＝AC，CF＝BC．∴EP1∥FB，EP2∥FP1，EP3∥FP2，…EP n﹣1∥FP n﹣2，∴∠EP1F＝∠BFP1，∠EP2F＝∠P1FP2，∠EP3F＝∠P2FP3，…∠EP n﹣1F＝∠P n﹣2FP n，﹣1∴∠EP1F+∠EP2F+∠EP3F+…+∠EP n﹣1F＝∠BFP n﹣1，∵∠B＝40°，AB＝BC，FP n﹣1∥AC，∴∠BFP n﹣1，＝∠C＝70°，同理可证：∠EP1F+∠EP2F+∠EP3F+…+∠EP n﹣1F＝BFP n﹣1＝∠C＝180°﹣α﹣β．【点评】本题考查了平行线分相等成比例定理和平行线的性质，两直线平行内错角相等是本题的关键．三、解答题（本题共30 分，每小题5 分）13．（5 分）计算：．【分析】原式第一项化为最简二次根式，第二项分母有理化，第三项了零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式＝3﹣+1+2＝4+1．【点评】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（5 分）解方程：x（x﹣3）＝2（3﹣x）．【分析】先移项，然后提取公因式（x﹣3）对等式的左边进行因式分解，利用因式分解法解方程．【解答】解：原方程可化为x（x﹣3）+2（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（x+2）＝0，∴x﹣3＝0 或x+2＝0，解得x1＝3，x2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．15．（5 分）如图，在△ABC 和△CDE 中，∠B＝∠D＝90°，C 为线段BD 上一点，且AC ⊥CE．求证：．【分析】求出∠B ＝∠D ，∠A ＝∠ECD ，证△ABC ∽△CDE ，根据相似三角形的性质得 ∴解得，出即可．【解答】证明：∵∠B ＝90°，∴∠A +∠ACB ＝90°，∵C 为线段 BD 上一点，且 AC ⊥CE ，∴∠ACB +∠ECD ＝90°，∴∠A ＝∠ECD ，∵∠B ＝∠D ＝90°，∴△ABC ∽△CDE ，∴．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的对应边的比 相等．16．（5 分）已知抛物线 y ＝x 2+bx +c 经过（0，﹣1），（3，2）两点．求它的解析式及顶点坐 标．【分析】直接把（0，﹣1），（3，2）代入解析式得到关于 b 、c 的方程组，再解方程组 求出 b 和 c 即可得到抛物线的解析式，然后配方确定顶点坐标．【解答】解：∵抛物线 y ＝x 2+bx +c 过（0，﹣1），（3，2）两点，，∴抛物线的解析式为 y ＝x 2﹣2x ﹣1，∵y ＝x 2﹣2x ﹣1＝（x ﹣1）2﹣2，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数关系式：要根据题目给定的条件，选择恰当 的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般 式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其 解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点 式来求解．17．（5 分）如图，在四边形 ABCD 中，AD ∥BC 且 BD ＝DC ，E 是 BC 上一点，且 CE ＝ DA ．求证：AB ＝ED ．【分析】若要证明AE＝ED，则可通过证明△ABD≌△EDC 即可．【解答】证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC．∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠C．∴∠ADB＝∠C．在△ABD 与△EDC 中，∴△ABD≌△EDC（SAS）．∴AB＝ED．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，是中考常见题型．18．（5 分）若关于x 的方程x2+2x+k﹣1＝0 有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）当k 取得最大整数值时，求此时方程的根．【分析】（1）根据根的判别式△≥0，列出不等式4﹣4（k﹣1）≥0，通过解该不等式可以求得k 的取值范围；（2）由（1）中的k 的取值范围得到k＝2，则代入方程求值即可．【解答】解：（1）∵关于x 的方程x2+2x+k﹣1＝0 有实数根，∴△＝4﹣4（k﹣1）≥0．解不等式得，k≤2；（2）由（1）可知，k≤2，∴k 的最大整数值为2．此时原方程为x2+2x+1＝0，即（x+1）2＝0，解得，x1＝x2＝﹣1．【点评】本题考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．四、解答题（本题共20 分，每小题5 分）19．（5 分）如图，用长为20 米的篱笆恰好围成一个扇形花坛，且扇形花坛的圆心角小于180°，设扇形花坛的半径为r 米，面积为S 平方米．（注：π的近似值取3）（1）求出S 与r 的函数关系式，并写出自变量r 的取值范围；（2）当半径r 为何值时，扇形花坛的面积最大，并求面积的最大值．【分析】（1）设扇形的弧长为l 米．利用已知条件可求出l 和r 的关系，再根据扇形的面积公式计算即可得到S 与r 的函数关系式；（2）由（1）可知s 和r 为二次函数关系式，利用二次函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）设扇形的弧长为l米．由题意可知，l+2r＝20．∴l＝20﹣2r．∴．其中4＜r＜10．（2）∵S＝﹣r2+10r＝﹣（r﹣5）2+25．∴当r＝5 时，S 最大值＝25．【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用．此题涉及中间量转换问题，不过根据公式进行转换难度不是很大．20．（5 分）如图，AB 为⊙O 的直径，射线AP 交⊙O 于C 点，∠PCO 的平分线交⊙O 于D 点，过点D 作DE⊥AP 交AP 于E 点．（1）求证：DE 为⊙O 的切线；（2）若DE＝3，AC＝8，求直径AB 的长．【分析】（1）连接OD，若要证明DE 为⊙O 的切线，只要证明∠ODE＝90°即可；（2）过点O 作OF⊥AP 于F，利用垂径定理以及勾股定理计算即可．【解答】（1）证明：连接OD．∵OC＝OD，∴∠1＝∠3．∵CD 平分∠PCO，∴∠1＝∠2．∴∠2＝∠3．∵DE⊥AP，∴∠2+∠EDC＝90°．∴∠3+∠EDC＝90°．即∠ODE＝90°．∴OD⊥DE．∴DE 为⊙O 的切线．（2）过点O 作OF⊥AP 于F．由垂径定理得，AF＝CF．∵AC＝8，∴AF＝4．∵OD⊥DE，DE⊥AP，∴四边形ODEF 为矩形．∴OF＝DE．∵DE＝3，∴OF＝3．在Rt△AOF 中，OA2＝OF2+AF2＝42+32＝25．∴OA＝5．∴AB＝2OA＝10．【点评】本题考查了圆的切线的判定和性质、垂径定理的运用、矩形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性很强，难度中等，是一道不错的中考题．21．（5 分）已知二次函数y＝2x2+m．（1）若点（﹣2，y1）与（3，y2）在此二次函数的图象上，则y1＜y2（填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）如图，此二次函数的图象经过点（0，﹣4），正方形ABCD 的顶点C、D 在x 轴上，A、B 恰好在二次函数的图象上，求图中阴影部分的面积之和．【分析】（1）把两点的横坐标代入二次函数解析式求出纵坐标，再相减计算即可得解；（2）先把函数图象经过的点（0，﹣4）代入解析式求出m 的值，再根据抛物线和正方形的对称性求出OD＝OC，并判断出S 阴影＝S 矩形BCOE，设点B 的坐标为（n，2n）（n ＞0），把点B 的坐标代入抛物线解析式求出n 的值得到点B 的坐标，然后求解即可．【解答】解：（1）x＝﹣2 时，y1＝2×（﹣2）2+m＝4+m，x＝3 时，y＝2×32+m＝18+m，∵18+m﹣（4+m）＝14＞0，∴y1＜y2；故答案为：＜；（2）∵二次函数y＝2x2+m 的图象经过点（0，﹣4），∴m＝﹣4，∵四边形ABCD 为正方形，又∵抛物线和正方形都是轴对称图形，且y 轴为它们的公共对称轴，∴OD＝OC，S 阴影＝S 矩形BCOE，设点B 的坐标为（n，2n）（n＞0），∵点B 在二次函数y＝2x2﹣4 的图象上，∴2n＝2n2﹣4，解得，n1＝2，n2＝﹣1（舍负），∴点B 的坐标为（2，4），∴S 阴影＝S 矩形BCOE＝2×4＝8．【点评】本题考查了二次函数的性质，正方形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，（2）根据对称性设出点B 的坐标并判断出阴影部分的面积的和等于矩形BCOE 的面积是解题的关键．22．（5 分）晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x（x+4）＝6．解：原方程可变形，得[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6．（x+2）2﹣22＝6，（x+2）2＝6+22，（x+2）2＝10．直接开平方并整理，得．我们称晓东这种解法为“平均数法”．（1）下面是晓东用“平均数法”解方程（x+2）（x+6）＝5 时写的解题过程．解：原方程可变形，得[（x+□）﹣〇][（x+□）+〇]＝5．（x+□）2﹣〇2＝5，（x+□）2＝5+〇2．直接开平方并整理，得x1＝☆，x2＝¤．上述过程中的“□”，“〇”，“☆”，“¤”表示的数分别为 4 ， 2 ，﹣1 ，﹣7 ．（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣3）（x+1）＝5．【分析】（1）根据阅读材料中的信息确定出上述过程中的“□”，“〇”，“☆”，“¤”表示的数即可；（2）利用“平均数法”解方程即可．【解答】解：（1）4，2，﹣1，﹣7（最后两空可交换顺序）；故答案为：4，2，﹣1，﹣7；（2）（x﹣3）（x+1）＝5；原方程可变形，得[（x﹣1）﹣2][（x﹣1）+2]＝5，整理得：（x﹣1）2﹣22＝5，（x﹣1）2＝5+22，即（x﹣1）2＝9，直接开平方并整理，得x1＝4，x2＝﹣2．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键．五、解答题（本题共22 分，第23、24 小题各7 分，第25 小题8 分）23．（7 分）已知抛物线y＝（m﹣1）x2﹣2mx+m+1（m＞1）．（1）求抛物线与x 轴的交点坐标；（2）若抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为2，求m 的值；（3）若一次函数y＝kx﹣k 的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式．【分析】（1）令y＝0，则（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0，利用求根公式可以求得方程的解，即该抛物线与x 轴交点横坐标；（2）利用两点间距离公式列出关于m 的方程，通过解方程来求m 的值；（3）依题意得到：方程kx﹣k＝（m﹣1）x2﹣2mx+m+1 有两个相等的实数根．根据根的判别式的符号求解．【解答】解：（1）令y＝0，则（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0．∵△＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）＝4，解方程，得．∴x1＝1，．∴抛物线与x 轴的交点坐标为（1，0），（，0）；（2）∵m＞1，∴．由题意可知，．解得，m＝2．经检验m＝2 是方程的解且符合题意．∴m＝2；（3）∵一次函数y＝kx﹣k 的图象与抛物线始终只有一个公共点，∴方程kx﹣k＝（m﹣1）x2﹣2mx+m+1 有两个相等的实数根．整理该方程，得（m﹣1）x2﹣（2m+k）x+m+1+k＝0，∴△＝（2m+k）2﹣4（m﹣1）（m+1+k）＝k2+4k+4＝（k+2）2＝0，解得k1＝k2＝﹣2．∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+2．【点评】本题考查了抛物线与x 轴交点、根的判别式等知识点．一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0 时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0 时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0 时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．24．（7 分）已知四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，且AB＞CE．（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG＝DE；（2）如图2，如果正方形ABCD 的边长为，将正方形CEFG 绕着点C 旋转到某一位置时恰好使得CG∥BD，BG＝BD．①求∠BDE 的度数；②请直接写出正方形CEFG 的边长的值．【分析】（1）根据正方形的性质可以得出BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90 °，再证明△BCG≌△DCE 就可以得出结论；（2）①根据平行线的性质可以得出∠D CG＝∠B DC＝45°，可以得出∠B CG＝∠BCE，可以得出△BCG≌△BCE，得出BG＝BE 得出△BDE 为正三角形就可以得出结论；②延长EC 交BD 于点H，通过证明△BCE≌△BCG 就可以得出∠BEC＝∠DEC，就可以得出EH⊥BD，BH＝，由勾股定理就可以求出EH 的值，从而求出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 和CEFG 为正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°．∴∠BCD+∠DCG＝∠GCE+∠DCG，∴∠BCG＝∠DCE．在△BCG 和△DCE 中，，∴△BCG≌△DCE（SAS）．∴BG＝DE；（2）解：①连接BE．由（1）可知：BG＝DE．∵CG∥BD，∴∠DCG＝∠BDC＝45°．∴∠BCG＝∠BCD+∠GCD＝90°+45°＝135°．∵∠GCE＝90°，∴∠BCE＝360°﹣∠BCG﹣∠GCE＝360°﹣135°﹣90°＝135°．∴∠BCG＝∠BCE．∵BC＝BC，CG＝CE，在△BCG 和△BCE 中，，∴△BCG≌△BCE（SAS）．∴BG＝BE．∵BG＝BD＝DE，∴BD＝BE＝DE．∴△BDE 为等边三角形．∴∠BDE＝60°．②延长EC 交BD 于点H，在△BCE 和△DCE 中，，∴△BCE≌△BCG（SSS），∴∠BEC＝∠DEC，∴EH⊥BD，BH＝．∵BC＝CD＝，在Rt△BCD 中由勾股定理，得∴BD＝＝＝2．∴BH＝1．∴CH＝1．在Rt△BHE 中，由勾股定理，得EH＝，∴CE＝﹣1．∴正方形CEFG 的边长为．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．25．（8 分）如图1，已知二次函数的图象与x 轴交于A、B 两点（B 在A 的左侧），顶点为C，点D（1，m）在此二次函数图象的对称轴上，过点D 作y 轴的垂线，交对称轴右侧的抛物线于E 点．（1）求此二次函数的解析式和点C 的坐标；（2）当点D 的坐标为（1，1）时，连接BD、BE．求证：BE 平分∠ABD；（3）点G 在抛物线的对称轴上且位于第一象限，若以A、C、G 为顶点的三角形与以G、D、E 为顶点的三角形相似，求点E 的横坐标．【分析】（1）利用点D（1，m）在此二次函数图象的对称轴上得出b 的值，再利用配方法求出顶点坐标即可；（2）首先得出E 点坐标，进而得出BD＝DE，即可得出BE 平分∠ABD；（3）利用①当点D 在点G 的上方时，②当点D 在点G 的下方时分别分类讨论得出即可．【解答】（1）解：∵点D（1，m）在图象的对称轴上，∴．∴b＝﹣2．∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴C（1，﹣4）；（2）证明：∵D（1，1），且DE 垂直于y 轴，∴点E 的纵坐标为1，DE 平行于x 轴．∴∠DEB＝∠EBO．令y＝1，则x2﹣2x﹣3＝1，解得：．∵点E 位于对称轴右侧，∴E．∴DE＝．令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，求得点A 的坐标为（3，0），点B 的坐标为（﹣1，0）．∴BD＝．∴BD＝DE．∴∠DEB＝∠DBE．∴∠DBE＝∠EBO．∴BE 平分∠ABD．（3）解：∵以A、C、G 为顶点的三角形与以G、D、E 为顶点的三角形相似，且△GDE 为直角三角形，∴△ACG 为直角三角形．∵G 在抛物线对称轴上且位于第一象限，∴∠CAG＝90°．∵A（3，0）C（1，﹣4），AF⊥CG，∴求得G 点坐标为（1，1）．∴AG＝，AC＝．∴AC＝2AG．∴GD＝2DE 或DE＝2GD．设E（t，t2﹣2t﹣3）（t＞1），①当点D 在点G 的上方时，则DE＝t﹣1，GD＝（t2﹣2t﹣3）﹣1＝t2﹣2t﹣4．i．如图2，当GD＝2DE 时，则有，t2﹣2t﹣4＝2（t﹣1）．解得，．（舍负）ii．如图3，当DE＝2GD 时，则有，t﹣1＝2（t2﹣2t﹣4）．解得，．（舍负）②当点D 在点G 的下方时，则DE＝t﹣1，GD＝1﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+2t+4．i．如图4，当GD＝2DE 时，则有，﹣t2+2t+4＝2（t﹣1）．解得，．（舍负）ii．如图5，当DE＝2GD 时，则有，t﹣1＝2（﹣t2+2t+4）．解得，．（舍负）综上，E 点的横坐标为或或或3．【点评】此题主要考查了二次函数综合以及相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出E 点坐标是解题关键．。
北京市海淀区九年级上学期期中考试数学试题(扫描版)
海淀区九年级第一学期期中练习2014.11数学试卷答案及评分参考阅卷须知:1. 为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细,阅卷时,只要考生将主要过程正确写出即可.2. 若考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分.3. 评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数.二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．5 ； 10． 4 ；11． > ； 12． 30°或60°．（注：每个答案2分）三、解答题（本题共30分,每小题5分）13.（本小题满分5分）解：∵， …………………………………………………………………1分∴2341(1)=13>0∆=-⨯⨯-． … ……………………………………………………2分∴x == ∴12x ==． ……………………………………………………5分 14．（本小题满分5分）证明：∵∠DAB =∠EAC ，∴∠DAB +∠BAE =∠EAC+∠BAE ．∴∠DAE =∠BAC ． ………………………………………………………………1分在△BAC 和△DAE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△BAC ≌△DAE ． ………………………………………………………………4分∴BC =DE ． ………………………………………………………………………5分15.（本小题满分5分）解：设二次函数的解析式为．……………………………1分∵二次函数的图象经过点．∴．………………………………………………………………2分∴． …………………………………………………………………………4分∴二次函数的解析式为．………………………………………5分16. （本小题满分5分）解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠ADC +∠ABC =180°． …………………………………………………………1分∵∠ABC =130°，∴∠ADC =180°∠ABC =50°． …………………………………………………2分 ∴∠AOC =2∠ADC =100°． ………………………………………………………3分 ∵OA=OC ，∴∠OAC =∠OCA ． ……………………………………………………………4分∴∠OAC =1(180)402AOC -∠=． ……………………………………………… 5分 17. （本小题满分5分）解：依题意,得. ……………………………………………………2分∴． ………………………………………………………………3分∴()()2222132213245154+=m m m m m --++=-+=-+=． …………5分18. （本小题满分5分）解：设每期减少的百分率为x ．…………………………………………………… ……1分 由题意，得． ……………………………………………… ………2分解方程得 ，． ………………………………………………… ……3分经检验，不合题意，舍去； 符合题意． ……………… …………4分答：每期减少的百分率为20%． ……………………………………………… ………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. （本小题满分5分）解：（1）3． …………………………………………………………………………… 2分（2）小丁随机选择该月1日至15日中的某一天到达该市，则到达该市的日期有15种不同的选择，在其中任意一天到达的可能性相等． ……………3分 由图可知，其中有9天空气质量优良． ………………………………… ……4分 所以，P （到达当天空气质量优良）． …………………… ………5分20. （本小题满分5分）解：（1）∵，∴原方程为一元二次方程．∴()234(3)a a ∆=--⨯⨯- ………………………………………………1分．∵．∴此方程总有两个实数根． …………………………………………………2分（2）解原方程，得，. ……………………………………………3分∵此方程有两个负整数根，且为整数，∴或． …………………………………………………………………4分∵，∴．∴． ………………………………………………………………………5分21. （本小题满分5分）（1）证明:连接OC ．∵OC=OD ，∠D =30°，∴∠OCD =∠D =30°．…………………………………1分∵∠G =30°，∴∠DCG =180°∠D ∠G =120°．∴∠GCO =∠DCG -∠OCD =90°．∴OC ⊥CG ．又∵OC 是⊙O 的半径．∴CG 是⊙O 的切线．……………………………………2分（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴. ………………………………………………………3分∵在Rt △OCE 中，∠CEO =90°，∠OC E =30°，∴，．设，则.∴.解得（舍负值）．∴． ………………………………………………………………4分∴．在△OCG 中，∵∠OCG =90°，∠G =30°，∴．∴． ……………………………………………………5分22. （本小题满分5分）答：（1）． …………………………………………………………………………………1分（2）， ………………………………………………………………………………2分或．（写出一个即可）…………………………………………3分（3）或．（每个答案各1分） ……………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23. （本小题满分7分）解：（1）∵ 抛物线与x 轴交于A 、B 两点，∴ 令，即．解得，． …………………………………………………1分 又∵ 点A 在点B 左侧，且，∴ 点A 的坐标为． …………………………………………………2分 （2）由（1）可知点B 的坐标为．∵抛物线与y 轴交于点C ， ∴点C 的坐标为． ……………………………………………………3分 ∵， ∴，． ∵， ∴．∴或． ∵， ∴． ∴抛物线的表达式为． ………………………4分（3）由（2）可知点C 的坐标为．∵直线l ：经过点C ，∴. ………………………………………5分∴直线l 的解析式为．∵2245(2)9y x x x =--=--， ∴当点D 在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值为，不符合题意． 当点D 在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于．令，即．解得（不合题意，舍去），．∴抛物线经过点．当直线经过点时，可求得．…………………6分由图象可知，当时新函数的最小值大于． ………………………7分24．（本小题满分7分）解：（1）①30°． …………………………………………………………………………1分②不改变，∠BDC 的度数为．方法一：由题意知，AB=AC=AD ．∴点B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上．…………………………2分 ∴∠BDC=∠BAC =．……………………………………………………3分方法二：由题意知，AB=AC=AD ．∵AC =AD ，∠CAD =， ∴1801=9022ADC C αα-==-∠∠．…………………………………2分 ∵AB=AD ，∠BAD =，∴()18060120160222ADB B ααα-+-====-∠∠． ∴11(90)(60)3022BDC ADC ADB αα=-=---=∠∠∠．…………3分 （2）过点A 作AMCD 于点M ，连接EM ．∴．在△AEB 与△AMC 中，BAMCACDAC=∠∠，，，∴△≌△．∴，．∴60EAM EAC CAM EAC BAE BAC∠=∠+∠=∠+∠=∠=．∴△是等边三角形．∴．…………………………………………………………5分∵，，∴．又，∴．∴．…………………………………………………………6分∴点A、C、D在以M为圆心，MC为半径的圆上．∴．…………………………………………………………7分25. （本小题满分8分）解：（1）（0，10）．…………………………………………………………………1分（2）连接BP、OP，作PH⊥OA于点H．∵PH⊥OA，∴152OH AH OA===．∵OQ=8，∴．在Rt中，22229PQ QH PH PH=+=+．在Rt中，2222225PO OH PH PH BP=+=+=．在Rt中，22222(25)(9)16BQ BP PQ PH PH=-=+-+=．∴．……………………………………………………………………3分（3）①．……………………………………………………………………………4分②．……………………………………………………………………………5分解：∵是等腰直角三角形，，∴半径．又∵，∴2242OP a a=+=．即．解得．∵∴．……………………………………………………………………………6分∴．如图，作轴于点，则≌．∴，===MB QH∴．…………………………………7分若点在上，由对称性可得．……………………………8分综上，当时，点坐标为或．。
2013-2014学年北京214中九年级(上)期中数学试卷
2013-2014学年北京214中九年级（上）期中数学试卷一．选择题：（每题3分，共30分）1．（3分）（2006•海南）三角形在正方形网格纸中的位置如图所示．则sinα的值是（）A．B．C．D．2．（3分）（2008•湘潭）如图，已知D、E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE=1：8，那么AE：AC等于（）A．1：9B．1：3C．1：8D．1：23．（3分）（2008•江西）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（）A．B．S△AFD=2S△EFBC．四边形AECD是等腰梯形D．∠AEB=∠ADC4．（3分）下列各图中，为中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．6．（3分）△ABC中，BC=54cm，CA=45cm，AB=63cm；另一个和它相似的三角形最短边长为15cm，则最长边一定是（）A．18cm B．21cm C．24cm D．19.5cm7．（3分）（2007•济宁）如图，是一个装饰物品连续旋转所成的三个图形，照此规律旋转，下一个呈现出来的图形是（）A．B．C．D．8．（3分）在△ABC中，∠C=90°，，那么cosB的值等于（）A．B．C．D．9．（3分）（2012•青羊区一模）抛物线y=x2+x+p（p≠0）与x轴相交，其中一个交点的横坐标是p．那么该抛物线的顶点的坐标是（）A．（0，﹣2）B．C．D．）10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以P（4，6）为位似中心，把△ABC缩小得到△DEF，若变换后，点A、B的对应点分别为点D、E，则点C的对应点F的坐标应为（）A．（4，2）B．（4，4）C．（4，5）D．（5，4）二．填空题：（每空3分，共39分）11．（3分）在△ABC中，∠C=90°，BC=2，，则AB=_________．12．（3分）（2012•庆阳）如图∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：_________，使△ABC∽△ADE．13．（3分）（2008•上海）如图，在平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，那么=_________．14．（3分）（2008•乌鲁木齐）我们知道利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体的高度，阳阳的身高是1.6m，他在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得某棵树的影长为3.6m，则这棵树的高度约为_________m．15．（6分）如图△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于D，BC=3，AB=5，DB=_________，CD=_________．16．（3分）（2008•衢州）如图，点D、E分别在△ABC的边上AB、AC上，且∠AED=∠ABC，若DE=3，BC=6，AB=8，则AE的长为_________．17．（3分）如图，在△ABC中，M、N是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，那么△MON与△AOC面积的比是_________．18．（6分）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由“明文密文”，接收方由“密文明文”．已知加密规则为：当明文a≥1时，a对应的密文为a2﹣2a+1；当明文a＜1时，a对应的密文为﹣a2+2a﹣1．例如：明文2对应的密文是22﹣2×2+1=1；明文﹣1对应的密文是﹣（﹣1）2+2×（﹣1）﹣1=﹣4．如果接收方收到的密文为4和﹣16，则对应的明文分别是_________和_________．19．（6分）如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为_________或_________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似（至少找出两个满足条件的点的坐标）．20．（3分）如图，在直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣6与x轴交与A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交与C点，如果点M在y轴右侧抛物线上，且，那么点M的坐标是_________．三．解答题：21．（8分）计算：（1）2sin30°+cos60°﹣tan60°•tan30°+cos245°（2）．22．（3分）以直线x=1为对称轴的抛物线过点（3，0），（0，3），求此抛物线的解析式．23．（6分）（1）在图1方格纸中，画出将三角形绕原点O逆时针旋转90°后得到的图形；（2）在图2方格纸中，将原三角形以点O为位似中心放大，使它们的位似比为1：2，画出放大后三角形．24．（3分）已知：如图，△ABC中，DE∥BC，AD+EC=9，DB=4，AE=5，求AD的长．25．（4分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，且，连接DE．若AC=3，AB=5，猜想DE与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论．26．（6分）已知：抛物线y=x2+（a﹣2）x﹣2a（a为常数，且a＞0）．（1）求证：抛物线与x轴有两个交点；（2）设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B左侧），与y轴的交点为C．当时，求抛物线的解析式．27．（9分）已知：如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴，y轴分别相交于点A（﹣1，0），B（0，3）两点，其顶点为D．（1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为E．求四边形ABDE的面积；（3）△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由．28．（5分）（2008•大兴安岭）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．29．（7分）（2011•武汉）（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：=；（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；②如图3，求证：MN2=DM•EN．2013-2014学年北京214中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：（每题3分，共30分）1．（3分）（2006•海南）三角形在正方形网格纸中的位置如图所示．则sinα的值是（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．菁优网版权所有专题：网格型．分析：本题在网格中考查锐角的正弦的意义，首先要用勾股定理计算直角三角形斜边的长．一般情况下，为了减小计算量，把小正方形的边长设为1．解答：解：由图可知，∠α的对边为3，邻边为4，斜边为=5，则sinα=．故选C．点评：本题考查锐角三角函数的定义即：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．2．（3分）（2008•湘潭）如图，已知D、E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE=1：8，那么AE：AC等于（）A．1：9B．1：3C．1：8D．1：2考点：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有分析：由题可知：△ADE∽△ABC，相似比为AE：AC，由S△ADE：S四边形DBCE=1：8，得S△ADE：S△ABC=1：9，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方．解答：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC=AE2：AC2，∵S△ADE：S四边形DBCE=1：8，∴S△ADE：S△ABC=1：9，∴AE：AC=1：3．故选B．点评：此题的关键是理解相似三角形面积的比等于相似比的平方．3．（3分）（2008•江西）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（）A．B．S△AFD=2S△EFBC．四边形AECDD．∠AEB=∠ADC是等腰梯形考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；等腰梯形的判定．菁优网版权所有分析：根据已知条件即可推出△BEF∽△DAF，推出A项为正确，已知条件可以推出四边形AECD为等腰梯形，推出C项正确，结合平行四边形的性质，可以推出D项正确，所以B项是错误的．解答：解：∵平行四边形ABCD中，∴△BEF∽△DAF，∵E是BC的中点，∴BF：FD=BE：AD，∴BF=DF，故A项正确；∵∠AEC=∠DCE，∴四边形AECD为等腰梯形，故C项正确；∴∠AEB=∠ADC．∵△BEF∽△DAF，BF=DF，∴S△AFD=4S△EFB，故B项不正确；∵∠AEB+∠AEC=180∠ADC+∠C=180而四边形AECD为等腰梯形∴∠AEC=∠C∴∠AEB=∠ADC因此D项正确．故选B．点评：本题主要考查相似三角形的判定及性质、等腰梯形的判定、平行四边形的性质，解题的关键在于找到相似三角形．4．（3分）下列各图中，为中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形．菁优网版权所有专题：常规题型．分析：根据中心对称与轴对称的概念和各图形的特点即可求解．解答：解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A、C、D都不符合；是中心对称图形的只有B．故选B．点评：本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．5．（3分）二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；正比例函数的图象．菁优网版权所有分析：根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．解答：解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，排除B、C；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除D；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，A正确；故选A．点评：考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y 轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．6．（3分）△ABC中，BC=54cm，CA=45cm，AB=63cm；另一个和它相似的三角形最短边长为15cm，则最长边一定是（）A．18cm B．21cm C．24cm D．19.5cm考点：相似三角形的性质．菁优网版权所有分析：首先设另一个和它相似的三角形的最长边为xcm，由相似三角形的对应边成比例，可得，解此方程即可求得答案．解答：解：设另一个和它相似的三角形的最长边为xcm，根据题意得：，解得：x=21．∴最长边一定是21cm．故选B．点评：此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意相似三角形的对应边成比例定理的应用，注意对应关系．7．（3分）（2007•济宁）如图，是一个装饰物品连续旋转所成的三个图形，照此规律旋转，下一个呈现出来的图形是（）A．B．C．D．考点：规律型：图形的变化类．菁优网版权所有专题：规律型．分析：通过观察所给三个图案可找出规律，即后一个图形是前一个图形旋转得出的，所以下一个呈现出来的图形是B．解答：解：再次旋转得图形B，故选B．点评：此类规律题涉及到图形的旋转变换，注意通过特殊例子发现规律，再选择即可．8．（3分）在△ABC中，∠C=90°，，那么cosB的值等于（）A．B．C．D．考点：互余两角三角函数的关系．菁优网版权所有专题：计算题．分析：根据∠A+∠B=90°得出cosB=sinA，代入求出即可．解答：解：∵∠C=90°，sinA=，又∵∠A+∠B=90°，∴cosB=sinA=．故选A．点评：本题考查了对互余两角三角函数的关系的应用，注意：已知∠A+∠B=90°，能推出sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB．9．（3分）（2012•青羊区一模）抛物线y=x2+x+p（p≠0）与x轴相交，其中一个交点的横坐标是p．那么该抛物线的顶点的坐标是（）A．（0，﹣2）B．C．D．）考点：抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有分析：由于抛物线y=x2+x+p（p≠0）与x轴相交，其中一个交点的横坐标是p，所以把（p，0）代入解析式即可求出p，然后利用抛物线的顶点公式即可求出顶点坐标．解答：解：∵抛物线y=x2+x+p（p≠0）与x轴相交，其中一个交点的横坐标是p，∴把（p，0）代入解析式得0=p2+p+p，∴p=﹣2或p=0，而已知p≠0，∴p=﹣2，∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2∴x=﹣=﹣，y==﹣，∴该抛物线的顶点的坐标是（﹣，﹣）．故选D．点评：此题主要考查了利用与坐标轴交点确定抛物线的解析式和求抛物线顶点坐标，计算时要主要符号．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以P（4，6）为位似中心，把△ABC缩小得到△DEF，若变换后，点A、B的对应点分别为点D、E，则点C的对应点F的坐标应为（）A．（4，2）B．（4，4）C．（4，5）D．（5，4）考点：位似变换．菁优网版权所有专题：数形结合．分析：根据两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点，即可得出F点的坐标．解答：解：∵△DEF∽△ABC，且F点在CP的连线上，∴可得F点位置如图所示：故P点坐标为（4，4）．故选B．点评：本题考查位似的定义，难度不大，注意掌握两位似图形的对应点的连线都经过同一点，这一点即是位似中心．二．填空题：（每空3分，共39分）11．（3分）在△ABC中，∠C=90°，BC=2，，则AB=6．考点：锐角三角函数的定义．菁优网版权所有分析：运用三角函数定义求解即可．解答：解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，sinA==，BC=2，∴AB=6，故答案为：6．点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．12．（3分）（2012•庆阳）如图∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC 或AD•AC=AB•AE，使△ABC∽△ADE．考点：相似三角形的判定．菁优网版权所有专题：开放型．分析：根据相似三角形的判定方法，已知一组角相等则再添加一组相等的角可该角的两个边对应成比例即可推出两三角形相似．解答：解：∵∠DAB=∠CAE∴∠DAE=∠BAC∴当∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD•AC=AB•AE时两三角形相似．点评：此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．13．（3分）（2008•上海）如图，在平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，那么=．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：由平行四边形的性质可证△BEF∽△DAF，再根据相似三角形的性质得BE：DA=BF：DF即可解．解答：解：ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，BC=AD∴△BEF∽△DAF∴BE：DA=BF：DF∵BC=AD∴BF：DF=BE：BC=2：3．点评：本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理和性质．14．（3分）（2008•乌鲁木齐）我们知道利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体的高度，阳阳的身高是1.6m，他在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得某棵树的影长为3.6m，则这棵树的高度约为 4.8m．考点：相似三角形的应用．菁优网版权所有专题：转化思想．分析：在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．解答：解：因为，所以：树的高度=×树的影长=×3.6=4.8（m）．点评：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．15．（6分）如图△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于D，BC=3，AB=5，DB=，CD=．考点：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有分析：由△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB，根据等角的余角相等，即可求得∠BCD=∠A，又由BC=3，AB=5，利用勾股定理即可求得AC的长，然后在Rt△BCD中，利用三角函数的知识即可求得答案．解答：解：∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∵△ABC中，∠C为直角，∴∠A+∠B=90°，∴∠A=∠BCD，∵BC=3，AB=5，∴AC==4，在Rt△BCD中，DB=BC•sin∠BCD=BC•sin∠A=3×=；CD=BC•cos∠BCD=BC•cos∠A=3×=．故答案为：，．点评：此题考查了直角三角形的性质与三角函数的知识．此题难度不大，注意转化思想与数形结合思想的应用．16．（3分）（2008•衢州）如图，点D、E分别在△ABC的边上AB、AC上，且∠AED=∠ABC，若DE=3，BC=6，AB=8，则AE的长为4．考点：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有分析：根据已知条件可知△ADE∽△ACB，再通过两三角形的相似比可求出AE的长．解答：解：∵∠AED=∠ABC，∠BAC=∠EAD∴△AED∽△ABC∴又∵DE=3，BC=6，AB=8∴AE=4．点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质．17．（3分）如图，在△ABC中，M、N是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，那么△MON与△AOC面积的比是1：4．考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．菁优网版权所有分析：由于M、N是AB、BC的中点，那么MN是△ABC的中位线，由中位线所得MN、AC的位置关系，可判定△MNO∽△CAO，根据中位线得到的数量关系，可得到两个相似三角形的相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比即可得解．解答：解：∵M、N是AB、BC的中点，∴MN∥AC，且MN=AC；∴△MON∽△COA，∴S△MON：S△COA=MN2：AC2=1：4．点评：此题主要考查的是相似三角形的判定和性质以及三角形中位线定理的综合应用．18．（6分）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由“明文密文”，接收方由“密文明文”．已知加密规则为：当明文a≥1时，a对应的密文为a2﹣2a+1；当明文a＜1时，a对应的密文为﹣a2+2a﹣1．例如：明文2对应的密文是22﹣2×2+1=1；明文﹣1对应的密文是﹣（﹣1）2+2×（﹣1）﹣1=﹣4．如果接收方收到的密文为4和﹣16，则对应的明文分别是3和﹣3．考点：一元二次方程的应用．菁优网版权所有分析：根据题意列出方程a2﹣2a+1=4和﹣a2+2a﹣1=﹣16后求得x的值即可；解答：解：∵当明文a≥1时，a对应的密文为a2﹣2a+1；当明文a＜1时，a对应的密文为﹣a2+2a﹣1．∴当收到密文是4时，a2﹣2a+1=4解得：a=3或﹣1（舍去）当收到密文是﹣16时，﹣a2+2a﹣1=﹣16解得：a=﹣3或5（舍去）∴对应的明文是3和﹣3；故答案为3、﹣3．点评：本题考查了一元二次方程的应用，此题将一元二次方程与实际生活相结合，体现了数学来源于生活，应用于生活理念．19．（6分）如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为（﹣1，0）或（1，0）时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似（至少找出两个满足条件的点的坐标）．考点：相似三角形的判定；坐标与图形性质．菁优网版权所有分析：分类讨论：①当△AOB∽△COB时，求点C的坐标；②当△AOB∽△BOC时，求点C的坐标．解答：解：∵点C在x轴上，∴点C的纵坐标是0，且当∠BOC=90°时，由点B、O、C组成的三角形与△AOB 相似，即∠BOC应该与∠BOA=90°对应，①当△AOB∽△COB，即OC与OA相对应时，则OC=OA=4，C（﹣4，0）；②当△AOB∽△BOC，即OC与OB对应，则OC=1，C（﹣1，0）或者（1，0）．故答案可以是：（﹣1，0）；（1，0）．点评：本题考查了相似三角形的判定、坐标与图形性质．解答此类题目时，首先判断由B、O、C三点组成的三角形形状，再利用两个三角形直角边与直角边对应关系的两种可能，分别求解．20．（3分）如图，在直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣6与x轴交与A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交与C点，如果点M在y轴右侧抛物线上，且，那么点M的坐标是（1，﹣6）或（4，6）．考点：二次函数综合题．菁优网版权所有分析：令y=0，解方程求出A，B两点，再令x=0，求出C点坐标，设出M点坐标，根据它在抛物线上和S△ABO= S△COB，这两个条件求出M点坐标．解答：解：∵y=x2﹣x﹣6∵抛物线y=x2﹣x﹣6与x轴交于A，令y=0，设方程x2﹣x﹣6=0的两根为x1，x2，∴x1=﹣2，x2=3，∴A（﹣2，0），B（3，0），设M点坐标为（a，a2﹣a﹣6），（a＞0）∵S△AMO=S△COB，∴×AO×yM=××OC×xB∴×2×|a2﹣a﹣6|=××6×3，解得，a1=0，a2=1，a3=﹣3，a4=4，∵点M在y轴右侧的抛物线上，∴a＞0，∴a=1或a=4，a2﹣a﹣6=12﹣1﹣6=﹣6，或a2﹣a﹣6=42﹣4﹣6=6∴M点坐标为（1，﹣6）或（4，6）．故答案为：（1，﹣6）或（4，6）．点评：此题主要考查了一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，若方程无根说明函数与x轴无交点，其图象在x轴上方或下方，两者互相转化，要充分运用这一点来解题，另外此题把三角形的面积关系式与函数的图象联系起来，计算量比较大，关键是利用三角形的几何关系来解题．三．解答题：21．（8分）计算：（1）2sin30°+cos60°﹣tan60°•tan30°+cos245°（2）．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有专题：计算题．分析：（1）将涉及特殊角的三角函数值，代入运算，然后合并即可得出答案．（2）分别运算负整数指数幂、零指数幂及二次根式的化简，然后合并运算即可．解答：解：（1）原式=2×+﹣×+=1+﹣1+=1；（2）原式=﹣3﹣2×+2+1=﹣2．点评：此题考查了实数的运算，解答本题的关键是熟练零指数幂及负整数指数幂的运算，二次根式的化简，熟练记忆一些特殊角的三角函数值．22．（3分）以直线x=1为对称轴的抛物线过点（3，0），（0，3），求此抛物线的解析式．考点：待定系数法求二次函数解析式．菁优网版权所有分析：由于直线x=1为对称轴的抛物线过点（3，0），（0，3），利用顶点公式用待定系数法得到二次函数的解析式．解答：解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+b，（1分）∵抛物线过点（3，0），（0，3）．∴解得．（4分）∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（5分）点评：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．23．（6分）（1）在图1方格纸中，画出将三角形绕原点O逆时针旋转90°后得到的图形；（2）在图2方格纸中，将原三角形以点O为位似中心放大，使它们的位似比为1：2，画出放大后三角形．考点：作图-位似变换；作图-旋转变换．菁优网版权所有分析：（1）把A、B逆时针旋转90°，即可求得A，B的对应点，则对应的三角形即可求得；（2）在OA的延长线上截取OA2=2OA，则A2就是所求的A的对应点，同理可以得到B的对应点，从而得到对应的三角形．解答：解：（1）△OA1B1是所求的三角形．（2）△OA2B2就是所求的三角形．点评：本题考查了旋转以及位似的作图，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点．24．（3分）已知：如图，△ABC中，DE∥BC，AD+EC=9，DB=4，AE=5，求AD的长．考点：平行线分线段成比例．菁优网版权所有专题：计算题．分析：根据平行线分线段成比例定理得出=，代入得出=，求出AD即可．解答：解：∵DE∥BC，∴=，∵AD+EC=9，DB=4，AE=5，∴EC=9﹣AD，∴=，解得：AD=4或5，答：AD的值是4或5．点评：本题考查了平行线分线段定理的应用，关键是得出比例式=，注意：根据平行线得出的比例是对应成比例，题目比较好，难度不大．25．（4分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，且，连接DE．若AC=3，AB=5，猜想DE与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论．考点：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有专题：证明题．分析：根据△ADE与△ACB两边对应成比例及一夹角相等，证明两三角形相似，然后利用相似三角形的性质即可得到∠ADE=∠C=90°，从而得到DE与AB的位置关系是互相垂直．解答：猜想：DE与AB的位置关系是互相垂直．证明：∵AC=3，AB=5，，∴．∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB．∵∠C=90°，∴∠ADE=∠C=90°．∴DE⊥AB．点评：此题考查了垂直定义及相似三角形的性质，根据图形的特点找到公共角，并根据各边的比得到相似比是解题的关键．26．（6分）已知：抛物线y=x2+（a﹣2）x﹣2a（a为常数，且a＞0）．（1）求证：抛物线与x轴有两个交点；（2）设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B左侧），与y轴的交点为C．当时，求抛物线的解析式．考点：抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有分析：（1）令抛物线的y=x2+（a﹣2）x﹣2a的y值等于0，证所得方程x2+（a﹣2）x﹣2a=0的△＞0即可；（2）令抛物线的解析式中y=0，通过解方程即可求出A、B的坐标，进而可得到OA的长；易知C（0，﹣2a），由此可得到OC的长，在Rt△OAC中，根据勾股定理即可得到关于a的方程，可据此求出a的值，即可确定抛物线的解析式．解答：解：（1）证明：令y=0，则x2+（a﹣2）x﹣2a=0△=（a﹣2）2+8a=（a+2）2；∵a＞0，∴a+2＞0∴△＞0∴方程x2+（a﹣2）x﹣2a=0有两个不相等的实数根；∴抛物线与x轴有两个交点；（2）令y=0，则x2+（a﹣2）x﹣2a=0，解方程，得x1=2，x2=﹣a∵A在B左侧，且a＞0，∴抛物线与x轴的两个交点为A（﹣a，0），B（2，0）．∵抛物线与y轴的交点为C，∴C（0，﹣2a）（3分）∴AO=a，CO=2a；在Rt△AOC中，AO2+CO2=（2）2，即a2+（2a）2=20，可得a=±2；∵a＞0，∴a=2∴抛物线的解析式为y=x2﹣4．点评：本题考查了抛物线与x轴交点．解题时，利用了根的判别式、勾股定理、二次函数解析式的求法等知识点．27．（9分）已知：如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴，y轴分别相交于点A（﹣1，0），B（0，3）两点，其顶点为D．（1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为E．求四边形ABDE的面积；（3）△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由．考点：二次函数综合题．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：（1）利用待定系数法将A（﹣1，0），B（0，3）两点代入解析式求出即可；（2）根据二次函数的对称性即可得出E点坐标，利用四边形ABDE的面积=S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE，求出即可；（3）利用勾股定理求出BD，BE，DE，得出△BDE是直角三角形，再利用，得出答案即可．解答：解：（1）由已知得：，解得：c=3，b=2，∴抛物线的线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为x=1，A，E关于x=1对称，所以E（3，0），设对称轴与x轴的交点为F，所以四边形ABDE的面积=S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE，===9；（3）相似．如图，作BG⊥DF，BD=，BE=，DE=，所以BD2+BE2=20，DE2=20，即：BD2+BE2=DE2，所以△BDE是直角三角形，所以∠AOB=∠DBE=90°，且，所以△AOB∽△DBE．点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及四边形面积求法和勾股定理、相似三角形的判定等知识，根据已知结合坐标系得出BD，BE，DE的长，利用数形结合得出是解决问题的关键．28．（5分）（2008•大兴安岭）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：（1）BM+DN=MN成立，证得B、E、M三点共线即可得到△AEM≌△ANM，从而证得ME=MN．（2）DN﹣BM=MN．证明方法与（1）类似．解答：解：（1）BM+DN=MN成立．证明：如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线（图形画正确）．∴∠EAM=90°﹣∠NAM=90°﹣45°=45°，又∵∠NAM=45°，∴在△AEM与△ANM中，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME=MN，∵ME=BE+BM=DN+BM，∴DN+BM=MN；（2）DN﹣BM=MN．在线段DN上截取DQ=BM，在△AMN和△AQN中，∴△AMN≌△AQN（SAS），∴MN=QN，∴DN﹣BM=MN．点评：本题考查了旋转的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．29．（7分）（2011•武汉）（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：=；（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；②如图3，求证：MN2=DM•EN．考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：（1）可证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出=；（2）①根据三角形的面积公式求出BC边上的高，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长，根据等于高之比即可求出MN；②可得出△BGD∽△EFC，则DG•EF=CF•BG；又由DG=GF=EF，得GF2=CF•BG，再根据（1）==，从而得出答案．解答：（1）证明：在△ABQ和△ADP中，∵DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴=，同理在△ACQ和△APE中，=，∴=．（2）①作AQ⊥BC于点Q．∵BC边上的高AQ=，∵DE=DG=GF=EF=BG=CF。