七年级乘法公式
七年级数学乘法公式-教案
1欢迎。
下载乘法公式【知识梳理】 （一）平方差公式1．平方差公式： a b a b a 2 b 2 2．平方差公式的特点：（ 1） 左边是两个项式相乘，两项中有一项完全相同，另一项互为相反数 （ 2） 右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方） （3） 公式中的a,b 可以是具体的数，也可是单项式或多项式表达式3． 平方差公式 语言叙述用于计算 逆用公式二）完全平方公式22ab b 22．完全平方公式的特点：号内而像是种每一项的平方，中间一项为左边二项式中两项乘积的 式可由语言表述为：首平方，尾平方，两项乘积在中央 . 3．公式的恒等变形及推广：222（ 1） a b b a a b22( 2)a b a b4．完全平方公式的几种常见变形：2 2 2 2 ( 1) a 2 b 2a b 2ab a b 2ab在公式 a b a 2 2abb 2中, 左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式 . 其中有两项是左边括 应用1．完全平方公式： a2b 22ab b 22 倍，其符号由左边括号内的符号决定 . 本公a b 2 a b a b a b2(2) ab2 2(3) a b 2a b 2 4ab(4) 2 2a b a b 4ab(5) a 2b c 2 a b2c22ab 2ac 2bc5•其他：（拓展内容）a b 3, a b 3 ,a3b3, a3b3完全平方公式的表示完全平方公式的结构特征完全平方公式的应用完全平方公式的变形【典型例题分析】（一）平方差公式题型一：【例1】请根据下图图形的面积关系来说明平方差公式【例2】判断下列各式能否用平方差公式计算，如果不能，应怎样改变才能使平方差公式适用?1 1(1) 2a b a 2b ( 2) 2a 3b 2b 3a ( 3) 3m 2 3m 23 3【分析】应用公式时，应首先判断能不能运用公式，必须是两个二项式相乘；这两个二项式要符合公式特征，公式中的“ a”，“b”与位置、自身的符号无关，观察的要点是“两因式中的两对数是否有一对完全相同，另一对相反” •不能盲目套用公式6.完全平方公式【答案】（1）不能，若改为2b ^a ^a 2b就可以应用公式3 3（2）不能，若改为2a 3b 3b 2a就可以应用公式【例4】类型2： abbab 2 a 2(1) (2xy+1 ) (1-2xy ) (2) (3x-4a ) (4a+3x ) (3) (3 2a)( 32a)(4) (b 2 2a 3)(2a 3 b 2)(3)不能，若改为 3m 2 3m 2就可以应用公式【借题发挥】1 •试判断下列两图阴影部分的面积是否相等【答案】相等2 •下列计算中可以用平方差公式的是()11 (A ) a2 a 2(B )abba 22(C )x y x y(D ) x 2 y x y 2【答案】B题型二：平方差公式的计算及简单应用【例3】类型1: a b a b a 2 b 2 (1)1 2a 1 2a(2) (1 5y)(15y)(3) (3m 2n)(3m2n)1 21 12 1x — x — 2 3 2 3【答案】 (1)原式=1 4a 2； (2)原式=125y 2； 2 2(3)原式=9m 4n ；(4)原式」X 2-4 9(4)【答案】(1)原式=1 4x2y2；(2)原式=9x216a2；(3)原式=4a29 ； (4)原式=4a6b4(1) ( 2x25)( 2x25)(2) ( 2a 3)(2a 3)(3) (-5xy+4z ) (-5xy-4z )(4) 2x2y 3z 2x2y 3z【答案】4 2 2 2 2 2 42 2 (1)原式=4x y 25 ； (2)原式=9 4a ； (3)原式=25x y 16z ； (4)原式=4x y 9z【例6】类型4：ma mb a b m a2 b2(xy+xz) (y-z )【答案】原式=xy2 xz2【方法总结】为了避免错误，初学时，可将结果用“括号”的平方差表示，再往括号内填上这两个数如：(a + b) (a - b)= a2 -b2J计算：(1 + 2x)(1 - 2x)= ( 1 ) 2- ( 2x ) =1-4x【例7】___________ m 2 4 m2.【借题发挥】1. ,括号内应填入下式中的（A.攵―令2 B . 4八拧C .■圧D .須+ 4于【答案】A【例8】运用平方差公式化简：(1) abab a 3b a 3b(2) x2 2 x2 2 x 2 x 2精品文档25欢迎下载(3) 1 x 1 x 1x 2 (4)【例8】用简便方法计算下列各式 2 1 (1) 91 89(2)59.8 60.2(3)-0 39 3 3【答案】(1) 原式= =901 90 1902 128099(2) 原式= =60 0.2 600.2602 0.223599.96【方法总结】 用乘法公式计算，首先要把需要计算的算式写成乘法公式的形式，一般地，给出的算式是可以写成 公式所要求的形式的，利用乘法公式能简化计算。
初中数学7年级乘法公式
乘法是数学中非常重要的运算之一、在初中数学7年级的课程中，学生会学习到乘法公式，以及如何正确应用乘法公式解决问题。
一、乘法的定义及性质乘法是一种加快计算速度的运算方法。
在数学中，乘法是指把两个数的乘法操作称为乘积。
例如，将3和4相乘，结果为12，我们可以写成3×4=12、乘法操作符号“×”表示乘法。
乘法具有一些特殊的性质。
其中，乘法结合律是指三个数相乘的结果不受先后顺序的影响。
例如，(3×4)×5=3×(4×5)=60。
乘法交换律是指两个数相乘的结果也不受先后顺序的影响。
例如，3×4=4×3=12乘法还有一个特别重要的性质是乘法公式。
二、乘法公式乘法公式是用于展开乘法式子的一个重要工具。
在初中数学7年级的课程中，学生将学习到以下几个常见的乘法公式：1.两个一位数相乘的乘法公式：当两个个位数相乘时，可应用如下乘法公式：ab × cd = ad × 10 + ad × b + bc × 10 + bc × d例如：27×36=20×30+20×6+7×30+7×6=9722.一个两位数与一个一位数相乘的乘法公式：当一个两位数与一个个位数相乘时，可应用如下乘法公式：ab × c = c × 10a + c × b3.两个两位数相乘的乘法公式：当两个两位数相乘时，可应用如下乘法公式：ab × cd = ac × 100 + ad × 10 + bc × 10 + bd例如：27×38=20×100+20×8+7×100+7×8=1026三、应用乘法公式解决问题乘法公式在解决实际问题时非常有用。
下面举几个例子，看看如何应用乘法公式解决问题。
沪教版七年级 整式乘法公式,带答案
乘法公式课时目标1. 学会用文字和字母表示平方差公式，知道平方差公式的结构特征.2. 在数的简捷运算、代数式的化简求值及解方程中正确、熟悉地运用平方差公式.3. 学会用文字和字母表示完全平方公式，知道完全平方公式的结构特征.4. 理解平方差公式和完全平方公式中的字母，既可以表示数，又可以表示单项式或多项式等.5. 在运用乘法公式时，逐步树立代换的思想，利用字母的意义，灵活进行乘法运算，如公式的逆用和配方.知识精要一．平方差公式()()__________a b a b +-=注：公式中的 ,a b 既可表示一个数，也可以表示单项式，多项式等代数式. 二、完全平方公式2()__________a b +=2()_______________a b -=推广：2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++22222()2222a b c d a b c d ab bc cd da +++=+++++++ 三、乘法公式的变形应用 （1）平方差公式的常见变形 ● 位置变化如()()__________a b b a +-= ● 符号变化如()()()()a b a b b a b a ---=--⋅-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦22()b a =--22a b -=2222()()()()()a b a b a b a b a b a b ---=-+-=--=-+● 系数变化如()()()()ma mb a b m a b a b +-=+-22()m a b =- （2）完全平方公式的常见变形 ● 符号变化如2222()()2a b a b a ab b --=+=++或 2222()()2a b a b a ab b -+=-=-+ ● 移项变化222()2a b a ab b +=++（1）22___________a b →+=222()2a b a ab b -=-+（2）22____________a b →+=22(1)(2)()()4a b a b ab -=+--=（3）立方和（差）公式：22()()__________a b a ab b +-+=热身练习7. 填空题1. 计算：)121)(121(+---a a =_________________2. 计算：11()()33n n x x -+=______________________3. 计算：2211()(________)24x y x y -+=-4. 将多项式21x +加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，你 添加的这个单项式可以是____________.（只要填一个符合题意的即可）5. 22222()()()_________x y x y x y -+-+=6. 2222(9)(9)(9)x x x -+--_____________=8. 选择题7.下列运算不能用平方差公式的是（ ）A.()()a b b a ---B.2222()()m n n m -+C.(13)(31)a a -+D.()()a b a b +-- 8.下列各式的计算中正确的是（ ）A.22(3)(3)3m n m n m n +-=-B.2(23)(23)29x x x +-=-C.222(2)24x y x xy y +=++D.22(1)21x x x --=++ 9.已知2244(34)169x y A y x --⋅=-，则A 等于（ ） A.2234x y - B.2243y x - C. 2234x y -- D. 2234x y +10.在一块直径为a +b 的圆形场上，分别划出一个直径为a ，另一个直径为b 的小的圆形场地上植满花卉，剩余的部分铺设草皮，试求需铺设草的场地面积. （用,,a b π的代数式表示）精解名题1.分组讨论探索：你们能理解下列图形所表达的恒等式？ 试写出来，并说出图形的意义(1)a+ a = a a + a恒等式__________________________(2) b=a= + + +恒等式__________________________2.计算：(1) 2(1)(1)(1)x x x+-+；(2) (1)(1)x y x y+---（3）21495033⨯3.已知,x y a xy b+==.求：（1）22x y+（2）33yx+4.求证：四个连续整数的积加上1的和，一定是整数的平方.5.用完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律.6.某高级中学得到政府投资，进行了校园改造建设，他们的操场原来是长方形，改建后变为正方形，正方形的边长比原来的长方形的长少6米，比原来长方形的宽多了6米，问操场的面积比原来大了还是小了？相差多少平方米？7.将多项式29x x +加上一个整式后，使它能成为另一个整式的完全平方，你有哪些方法，请尽量写出不同的解法.备选例题一．用平方差公式解题 1.计算：2432(12)(12)(12)(12)1+++++2.计算：1)13()13)(13)(13(23242+++++3.计算：)1611)(411)(211(+++错误!未找到引用源。
上海市七年级数学-乘法公式
3.十字相乘法
反过来可得：
例如 中常数项是 ，可以分解为 ，而且 ，恰好是一次项系数，所以 。
在对多项式 分解因式时，也可以借助于画十字交叉线来分解， 分解为 ，常数项 分解为 ，把它们用交叉线来表示：
按十字交叉相乘，它们积的和就是 ，所以
不一班教育个别化教学方案
学员姓名：***年级：七年级辅导科目：数学学科教师：陈栋军
授课日期
2017年1月21日
授课时段
教学目标
对学过的整式章节进行复习，强化对于重点知识的理解，灵活运用数学公式的能力,尤其注重整式的乘法公式与因式分解的运用。并且在之前的基础上学习数的开方。
授课单元
单元一乘法公式
成长目标
(3)(a+b+c+d)2(4)(9-a2)2-(3-a)(3-a)(9+a)2
10.计算：(1)20012(2)1.9992
11.证明：(m-9)2-(m+5)2是28的倍数，其中m为整数.(提示：只要将原式化简后各项均能被28整除)
单元二因式分解
1.提取公因式法
利用提取公因式法进行因式分解的一般步骤可概括为“一找、二提、三去除”。“一找”就是第一步要折过去找出多项式中各项的公因式；“二提”就是第二步将所找出的公因式提出来；“三去除”就是第三步当提出公因式后，此时可直接观察提出公因式后剩下的另一个因式，也可以用原多项式去除以公因式，所得的商即为提出公因式后剩下的一个因式。
2． 的相反数是________； 的倒数是________； 的绝对值是________．
3．如果一个数的平方是64，那么它的倒数是________．
七年级数学下册 第三章 3.4 乘法公式(1)课件1
(3) (a+2b)(2b+a); (不能)
(4) (a−b)(a+b) ;
(能)
解:原式＝−(a2 −b2) ＝b2−a2
(5) (2x+y)(y−2x). (不能)
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（一）应用公式(gōngshì)：
例1. 利用平方差公式计算（先确定各题的a与b， 再填空）
(4).(x3y)(x3y).
(5).a(bc)(abc).
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判断并改错(ɡǎi ： cuò)
(1) (a+3)(a-3)=a²-3
( )×
改正： (a+3)(a-3)=a²-9
(2)(5y+2)(5y-2)=5y²-4
( )×
改正： (5y+2)(5y-2)=25y²-4
课外 拓展 (kèwài) 1.已知A=x2+x+1,B=x+p-1,化简AB-pA.并求 当x=-1时它的值.
2.计算(jìsuàn)(x3+2x2-3x-5)(2x3-3x2+x-2)时,若 不展开,求出x4项的系数.
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3.若(x3+mx+n)(x2-5x+3)展开(zhǎn kāi)后不含x3 和x2项,试求m,n的值.
例3：化简求值：
5(x1)(x1)(2x1)(2x1)
33
22
其中 x1. 3
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思考1：用平方差公式(gōngshì)计算：
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
【初一上册数学】七年级秋季班-第5讲：乘法公式
（3）
x
2y
1 3zBiblioteka 2 ____________
；
（4） x2 3x 2
x2 3x 2 __________ ．
【例17】填空： 3a 2b2 (3a 2b)2 _______ ．
【例18】计算：
（1） 2x2 3 2 (3x 1)3x 1 ； （2） a2 9 2 (3 a)(a2 9)(a 3) ；
（5） x y zx y z z2 （______）2 ；（6） 4x y(_______) y2 16x2 ；
（6） 0.2a 3b(_______) 0.04a2 9b2 ．
【例2】如图，在边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形 a b ，把剩下的部分
拼成一个梯形，分别计算这两个图形的面积，验证了公式________________． a bb
4
2
3．完全平方公式推广应用
（1） a b c2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc ；
（2） a b c(a b c) a b2 c2 a2 2ab b2 c2 ；
（3） a b2 a c2 b c2 2a2 2b2 2c2 2ab 2ac 2bc ；
B．1 2
C．1 4
D．1 4
【例6】简便计算： （1） 88 92 ；
（2） 25 1 24 6 ； 77
（3） 20162 2015 2017 ．
2 / 16
【例7】计算：
（1） 2m 3n2m 3n (3m 2n)(3m 2n) ；
（3） x 2 x 2 x2 4 ；
（4） a2 ba2 b a2 a2 ．
（3） 2x 3y2 2x 3y2 ；
（4）
七年级数学从面积到乘法公式
解：n(n+2)+1=(n+1)2
•（你能用“数形结合”的数学思想来说明这一规律吗？）Biblioteka • • • • • • •
18、先阅读后解题 若m2+2m+n2-6n+10=0,求m和n的值 解：把等式的左边分解因式：m2+2m+1+n2-6n+9=0 即(m+1)2+(n-3)2=0,因为(m+1)2≥0，（n-3)2≥0 所以m+1=0,n-3=0,即m=-1,n=3 利用以上解法，解下列问题： 17 2 2 已知x +y -x+4y+ 4 =0,求x和y的值。 解：x2-x+
第九章 从面积到乘法公式
复习课
你知道吗？
• 1、单项式乘单项式：①系数与系数相乘；②相同 字母相乘；③单独字母照抄。 • 2、单项式乘多项式：用单项式去乘以多项式的每 一项，再把所得积相加。 • 3、多项式乘多项式：用其中一个多项的每一项去 乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
你知道吗？
• 15、一个长方形的面积是60cm2，分别以它的长和宽为边 长的两个正方形的面积和是136cm2。求长方形的周长。 解：设长方形的长为a，宽为b 则，ab=60,a2+b2=136
而(a+b)2=a2+2ab+b2=136+60=256
因此，a+b=16
所以，周长为2(a+b)=32
• 16、请阅读以下材料： • 现定义某种运算“★”，对于任意两个数a,b都有a★b=a2-ab+b2. 例如：3★4＝32－3×4＋42＝9－12＋16＝13。 • 请按上面的定义的运算解答下面的问题： (a+1)2-(a+1)(a+2)+(a+2)2=a2+3a+3 • (1)(a+1)★(a+2)=_________________________________ (a+b)2-(a+b)(a-b)+(a-b)2=a2+3b2 • (2)(a+b)★(a-b)=__________________________________ • 17、观察下列算式： • 1×3＋1＝4＝22 • 2×4＋1＝9＝32 • 3×5＋1＝16＝42 • 4×6＋1＝25＝52 • …… • 请将你找出的规律用公式表示出来。
乘法公式 第一课时-数学七年级下册同步教学课件(冀教版)
(2)(3a－4b)(－4b－3a)＝(－4b)2－(3a)2＝16b 2－9a 2.
(3)
3 4
a
1 3
b
3 4
a
1 3
b
3 4
a
2
1 3
2
b
9 16
a2
1 9
b2 .
(4)
a2
1 2
b2
a2
1 2
b2
a2
2
1 2
b2
2
a4
1 4
b4 .
2 解下列方程：
(1)4x 2＋x－(2x－3)(2x＋3)＝1 ； (2)2(x＋3)(3－x )＋2x＋2x 2＝20. 解：(1)4x 2＋x－(2x－3)(2x＋3)＝1，
(2)你发现了什么规律？请用含有字母的式子表示出来.
解：(2)(2n－1)(2n＋1)＝4n 2－1(n 为正整数)．
4 运用平方差公式计算：(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1).
解：(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1) ＝(22－1)(22＋1)(24＋1) ＝(24－1)(24＋1) ＝28－1 ＝256－1 ＝255.
所以a 2－b 2＝(a－b)(a＋b)＝2×16＝32.
5 已知2a 2＋3a－6＝0，求式子3a (2a＋1)－(2a＋1)(2a－1)的值．
解：原式＝6a 2＋3a－4a 2＋1＝2a 2＋3a＋1， 因为2a 2＋3a－6＝0，所以2a 2＋3a＝6.
所以原式＝7.
6 探究活动： (1)如图①，可以求出阴影
(2)395×405.
解：(1)998×1 002＝(1 000－2)×(1 000＋2)＝1 0002－22
七年级数学下册第2章整式的乘法2.2乘法公式教学课件新版湘教版
3.计算： （1）202×198；
（2）49.8×50.2.
答案：（1）39996；（2）2499.96.
我思 我进步
通过本节课，你有什么收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴 交流。
2.2.2 完全平方公式
思考
计算下列各式，你能发现什么规律： ( a+1 )2=( a+1 )( a+1 )=a2+a+a+12=a2+2·a·1+12， ( a+2 )2=( a+2 )( a+2 )=a2+2a+2a+22=a2+2·a·2+22， ( a+3 )2=( a+3 )( a+3 )=a2+3a+3a+32=a2+2·a·3+32， ( a+4 )2=( a+4 )( a+4 )=a2+4a+4a+42=a2+2·a·4+42. 我们用多项式乘法来推导一般情况： ( a+b )2=( a+b )=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.
（2）1982.
解：（1）1042=( 100+4 )2 （2）1982=( 200-2 )2
= 1002+2×100×4+42
= 2002-2×200×2+22
= 10000+800+16
= 40000-800+16
= 10816.
= 39204.
练习
1.运用完全平方公式计算： （1）( -2a+3 )2； （3）( -x2-4y )2；
七年级 数学 乘法公式
个性化一对一教学辅导教案学科： 数学 学生姓名 年级 七 任课老师 授课时间 一、教学内容：乘法公式二、教学重、难点：难点是整体思想的应用，公式中符号的变化 三、教学过程： 一、复习:①(a+b)(a-b)=a 2-b 2 ②(a+b)2=a 2+2ab+b 2 ③(a-b)2=a 2-2ab+b 2 ④(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3⑤(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3⑥(a +b +c )2=[(a +b )+c ]2=(a +b )2+2(a +b )⋅c +c 2 =a 2+2ab +b 2+2ac +2bc +c 2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac即(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac二、典型例题例1、计算(-a 2+4b)2分析：运用公式(a+b)2=a 2+2ab+b 2时，“-a 2”就是公式中的a ，“4b ”就是公式中的b ；若将题目变形为(4b-a 2)2时，则“4b ”是公式中的a ，而“a 2”就是公式中的b ．1、2)2332(y x -2、22)2()2(a b b a -++3、2)72(y x -4、22)23()32(+-+x x例2、 计算(-2x 2-5)(2x 2-5)分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x 2”符号相反，因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2中的a ，而“2x 2”则是公式中的b ．练习、1、（2a-3b ）（2a+3b ） 2、（5ab －3x ）（－3x －5ab ）3、（－y 2+x ）（x+y 2）4、x （x+5）－（x －3）（x+3）5、（－1+a ）（－1－a ）（1+b 2）把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：()()()()()()()12223244222222222222....a b ab a ba b ab a ba b a b a ba b a b ab+-=+-+=+++-=++--=灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。
11.2 乘法公式(第1课时 平方差公式)(课件)-七年级数学上册(沪教版2024)
；比较图①，图②阴影部分的面积，可以
得到乘法公式 ( a ＋ b )( a － b )＝ a2－ b2
课堂小结
5 −3 − 2 3 − 2
6 − 2 + 2 + 2 − 2 +
=（-2x-3 ）（-2x+3）
=x²-（2y）²+（2x）²-y²
=（-2x）²-3²
= x²-4y ²+4x²-y²
=4x²-9
=5x²-5 y²
分层练习-基础
1. 下列各式能用平方差公式计算的是( B
= 42 − 92 .
课本例题
例2
计算：
（1） − + 1 − − 1 ;
解（1）（ − + 1 − − 1
= − 2 − 12
= 2 − 1.
2 2 − 3 −2 − 3
2 2 − 3 −2 − 3
= −3 + 2 −3 − 2
=
( − 3)
2
− ( 2)
1. 计算：
（1） 2 + 5 2 − 5 ;
解： 1 2 + 5 2 − 5
= 2 ²- 5²
=4²-25
1 2 1
+
2
3
3
3
1 2 1
+
2
3
1
2
1 4
1
−
4
9
1 2 1
−
;
2
3
1 2 1
−
2
3
1
3
= （ 2 ）²−（ ）²
=
2 1 − 2 1 + 2
七年级秋季班-第5讲：乘法公式-教师版
本节课学习乘法公式，需要掌握会用文字和字母表示平方差公式、完全平方公式，知道平方差公式和完全平方公式的结构特征．理解平方差公式和完全平方公式中的字母，既可以表示数，又可以表示单项式或多项式等．做到能够理解补充的立方和、差公式以及完全立方公式．重点是在数的简捷运算、代数式的化简求值及解方程中正确、熟悉地运用平方差公式和完全平方公式．难点是在运用乘法公式时，逐步树立代换的思想，利用字母的意义，灵活进行乘法运算．1．平方差公式两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即：22()()a b a b a b +-=-．2．公式变化（1）位置变化：()()22()()a b b a a b a b a b +-+=+-=-．（2）符号变化：()()2222()()()a b a b a b a b a b b a ---=-+-=--=-．（3乘法公式内容分析知识结构模块一：平方差公式知识精讲【例1】计算：（1）()2(2)_____a a +-=；（2）()2(2)______x y x y -++=； （3）220.10.1______33m n m n ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（4）()()_______n n x y x y -+=；（5）()()22______x y z x y z z -+-++=-（）；（6）()224(_______)16x y y x -=-；（7）()220.23(_______)0.049a b a b -=-． 【难度】★【答案】（1）24a -； （2）224y x -； （3）2240.019m n -； （4）22n x y -；（5）x y -； （6）4x y --； （7）0.23a b +． 【解析】略．【总结】本题考察了平方差公式的运用．【例2】如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形()a b >，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形的面积，验证了公式________________．【难度】★【答案】22()()a b a b a b -=+-． 【解析】略．【总结】本题考察了用面积法推导基本公式．例题解析【例3】对于任意整数n ，能整除代数式(3)(3)(2)(2)n n n n +--+-的整数是（ ）．A ．4B ．3C ．5D ．2【难度】★ 【答案】C【解析】原式=22(9)(4)5n n ---=-， ∴能被5整除，选择C ． 【总结】本题考察了平方差公式．【例4】若3a b -=-，229a b -=，求a b +的值． 【难度】★ 【答案】-3．【解析】22()()a b a b a b +-=-， 223a b a b a b-∴+==--． 【总结】本题考察了平方差公式．【例5】若()122a m a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的结果中不含关于a 的一次项，那么m 的值为（ ）．A ．12B ．12-C ．14D ．14-【难度】★★ 【答案】D ．【解析】1202a m +=的系数是：14m ∴=-，故选D ． 【总结】本题考察了多项式相乘及项与系数的概念．【例6】简便计算：（1）8892⨯；（2）16252477⨯；（3）2201620152017-⨯．【难度】★★【答案】（1）8096； （2）4862449； （3）1． 【解析】（1）原式=(902)(902)810048096-+=-=； （2）原式=11148(25)(25)625624774949+-=-=；（3）原式=2222016(20161)(20161)2016(20161)1--+=--=． 【总结】本题考察了用平方差公式进行简便运算．【例7】计算：（1）()()2323(32)(32)m n m n m n m n +---+； （2）()()()2224x x x +-+； （3）()()()()2222a b a b a a +---⋅-．【难度】★★【答案】（1）2255m n --； （2）416x -； （3）422a b -． 【解析】（1）原式=22222249(94)55m n m n m n ---=--； （2）原式=224(4)(4)16x x x -+=-； （3）原式=424422a b a a b -+=-． 【总结】本题考察了整式的混合运算．【例8】解方程：()()()()22223(3)2x x x x x x -+-+=-+-． 【难度】★★ 【答案】8x =．【解析】222242182x x x x -+-=-- 216x -=- 8x =【例9】已知()()22122163a b a b +++-=，求a b +的值． 【难度】★★ 【答案】4±．【解析】2(22)163a b +-= 24()64a b += 2()16a b += 4a b +=±【总结】本题考察了平方差公式的应用．【例10】计算：()()2114412124x x x ⎛⎫⋅-⋅+⋅+ ⎪⎝⎭．【难度】★★ 【答案】4161x -．【解析】原式=2(21)(21)(41)x x x -++ =22(41)(41)x x -+ =4161x -【总结】本题考察了平方差公式的应用．【例11】已知()258654481t +=，求()()4868t t ++的值． 【难度】★★★ 【答案】654381．【解析】原式=(5810)(5810)t t +-++ =2(58)100t +- =654481-100 =654381．【总结】本题考察了平方差公式的应用．【例12】计算：2222100999897-+-+···221+-． 【难度】★★★ 【答案】5050．【解析】原式=(10099)(10099)(9897)(9897)(21)(21)+-++-+++-=10099989721++++++ =(1001)1002+=5050． 【总结】本题考察了平方差公式的应用．【例13】已知2431-可能被20至30之间的两个整数整除，求这两个整数． 【难度】★★★ 【答案】26，28．【解析】原式=1212(31)(31)+- =1266(31)(31)(31)++- =12633(31)(31)(31)(31)+++-， ∴原式可以被26，28整除．【总结】本题考察了平方差公式的应用以及对整除的概念理解．【例14】计算： （1）()()()24212121+++···()32211++；（2）()()42241(1)1x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++⋅++⋅++⎣⎦⎣⎦．【难度】★★★【答案】（1）642；（2）88(1)x x +-． 【解析】（1）原式=22432(21)(21)(21)(21)1-++++=64211-+ =642；（2）原式=2244(1)(1)[(1)][(1)]x x x x x x x x +++-++++ =222244[(1)][(1)][(1)]x x x x x x +-++++ =4444[(1)][(1)]x x x x +-++ =88(1)x x +-．1．完全平方公式 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍，即：()2222a b a ab b +=++ ()2222a b a ab b -=-+与平方差公式一样，公式中的字母可以代表一个数字，可以代表一个单项式，也可以是一个多项式． 2．完全平方变形应用 （1）()2222()22a b a b a b ++-=+；()()224a b a b ab +--=； （2）()()224a b a b ab +=-+；()()224a b a b ab -=+-；（3）()()222222a b a b ab a b ab +=+-=-+；（4）()()224a b a b ab +--=；()()22222a b a b a b ++-+=．3．完全平方公式推广应用 （1）()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++；（2）()()22222()2a b c a b c a b c a ab b c +++-=+-=++-； （3）()()()222222222222a b a c b c a b c ab ac bc +++++=+++++； （4）()()()222222222222a b a c b c a b c ab ac bc -+-+-=++---．模块二：完全平方公式知识精讲【例15】填空：（1）()223________a b +=； （2）213_________2x y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；（3）()222________a b --=；（4）()2(2)________x y x y +--=；（5）()222____164x y x y ++=+； （6）2246_____(2_____)a ab a ++=+； （7）()()223_____69m n n mn m -⋅=-+． 【难度】★【答案】（1）224129a ab b ++； （2）221394x xy y -+；（3）22444a ab b ++；（4）2244x xy y ---； （5）8xy ； （6）29342b b ；；（7）3m n -．【解析】略．【总结】本题考察了完全平方公式的运用．【例16】填空．（1）()2_______________a b c ++=； （2）()223__________________a b c --=；（3）212____________3x y z ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭； （4）()()223232__________x x x x ++--=．【难度】★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式=222222a b c ab bc ac +++++； （2）原式=222491264a b c ab bc ac ++-+-；（3）原式=22214244933x y z xy yz xz ++--+；（4）原式=4242(32)9124x x x x x -+=---．【总结】本题考察了三项和的完全平方公式和平方差公式的运用．例题解析【例17】填空：()2232(32)_______a b a b +--=． 【难度】★ 【答案】24ab ．【解析】原式=2222(9124)(9124)24a ab b a ab b ab ++--+=． 【总结】本题考察了完全平方公式的运用．【例18】计算：（1）()()2223(31)31x x x ---+； （2）()2229(3)(9)(3)a a a a --++-；（3）()()222323x y x y ++-； （4）22110.5(0.5)33a b a b ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭．【难度】★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式=422424129(91)42110x x x x x -+--=-+；（2）原式=42421881(81)18162a a a a -+--=-+； （3）原式22222241294129818x xy y x xy y x y =+++-+=+； （4）原式222211111124394393a ab b a ab b ab =++-+-=．【总结】本题考察了完全平方公式的运用．【例19】下列各式能用完全平方公式计算的有（）个．① ()()2332a b b a --；②()23(23)a b a b -+--； ③()23(32)a b b a --+；④()()2332a b a b -+． A ．1B ．2C ．3D ．4【难度】★ 【答案】B【解析】两个括号内各项都相等或都互为相反数，则适用于完全平方公式．两个括号内有些项相等，有些项互为相反数，则适用平方差公式．则①③适用于完全平方公式，选择B ．【总结】本题主要考查对完全平方公式的理解和运用．【例20】若2,1a b a c -=-=，则()()222a b c c a --+-的值是（ ）．A ．9B ．10C ．2D ．1【难度】★★ 【答案】B【解析】由已知得：23a b c a b a c --=-+-=， 9110∴=+=原式，选择B ． 【总结】本题考察了完全平方公式的运用．【例21】如果实数a b c ，，满足222a b c ab ac bc ++=++，那么（）．A ．a b c ，，全相等B ．a b c ，，不全相等C ．a b c ，，全不相等D ．a b c ，，可能相等，也可能不等【难度】★★ 【答案】A【解析】化简得：2220a b c ab ac bc ++---=2220a b c ab ac bc ++---=2221(222222)02a b c ab ac bc ++---=2221[()()()]02a b b c a c -+-+-= a b c ∴==．【总结】本题考察了完全平方公式的变形及其运用．【例22】已知123a b a c b c +=+=+=，，，则222_______a b c ab ac bc +++++=． 【难度】★★ 【答案】7．【解析】原式=2221[()()()]2a b b c a c +++++=1(149)72++=．【总结】本题考察了完全平方公式的变形及其运用．【例23】如果多项式219x kx ++是一个完全平方式，那么k 的值为________． 【难度】★★ 【答案】23k =±．【解析】由已知得：2211()93x kx x ++=±，23k ∴=±． 【总结】本题考察了完全平方式的概念，注意两种情况的考虑．【例24】若()227499x a x bx -=-+，则_______a b +=． 【难度】★★ 【答案】45．【解析】由已知得：2914a a b⎧=⎨=⎩， 解得：334242a a b b ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或． 45a b ∴+=．【总结】本题考察了完全平方式的概念．【例25】若22151525m n m n -=+=，，则()2013mn 的值为_________．【难度】★★ 【答案】1．【解析】由已知得：2221()225m n m mn n -=-+=， 2222()()2mn m n m n ∴=+--=， 1mn ∴=， 2013()1mn ∴=．【总结】本题考察了完全平方式的应用．【例26】已知()()22364a b a b +=-=，，则______ab =． 【难度】★★ 【答案】8．【解析】224()()32ab a b a b =+--=， 8ab ∴=．【总结】本题考察了完全平方式的应用以及变形．【例27】若712a b ab +==，，则22a ab b -+的值为_________． 【难度】★★ 【答案】13．【解析】原式=2()3493613a b ab +-=-=． 【总结】本题考察了完全平方式的应用以及变形．【例28】用简便方法运算：（1）299.7； （2）221.372 1.378.638.63+⨯⨯+； （3）229.610.4⨯．【难度】★★【答案】（1）9940.09； （2）100； （3）9968.0256． 【解析】（1）原式=2(1000.3)10000600.099940.09-=-+=； （2）原式=22(1.378.63)10100+==； （3）原式=22(100.4)(100.4)-+ 2(1000.16)=- 10000320.0256=-+ 9968.00256=．【总结】本题考察了完全平方式在简便运算中的应用．【例29】若2(1)()6m m m n ---=，求222m n mn +-的值．【难度】★★ 【答案】18．【解析】化简得：226m m m n --+=， 即：6m n -=-，∴原式=2()361822m n -==．【总结】本题考察了完全平方式的应用及其变形．【例30】（1）已知()2133a b ab -==，，求()2a b +与()223a b +的值．（2）已知22410a b a b +=+=，，求22a b 与()2a b -的值．【难度】★★【答案】（1）25，57； （2）9， 4． 【解析】（1）22()()4131225a b a b ab +=-+=+=， 2223()3[()2]31957a b a b ab +=-+=⨯=； （2）2222[()()]16106ab a b a b =+-+=-=， 3ab ∴=，229a b ∴=．∴222()21024a b a ab b ab -=-+=-=． 【总结】本题考察了完全平方式的应用．【例31】（1）已知222x y z a xy xz yz b ++=++=，，求()()222()x y x z y z +++++的值；（2）已知2225a b c bc ac ab ++---=，求()()()222a b b c a c -+-+-的值． 【难度】★★★【答案】（1）22a b +； （2）10．【解析】（1）原式=2222()22x y z xy yz xz a b +++++=+； （2）原式=2222()10a b c ab ac bc ++---=．【例32】已知(2018)(2016)2017x x --=，求22(2018)(2016)x x -+-的值． 【难度】★★★ 【答案】4038．【解析】原式=2[(2018)(2016)]2(2018)(2016)x x x x ---+-- =422017+⨯ =4038．【总结】本题综合性较强，考察了完全平方式的应用，注意对题目的准确理解．【例33】已知35a b b c -=-=，2221a b c ++=，求ab ac bc ++的值． 【难度】★★★【答案】225-．【解析】2222221[()()()]2a b c ab ac bc a b b c a c ++---=-+-+-，199361()2252525ab ac bc ∴---=++ 27212525ab ac bc ∴++=-=-． 【总结】本题考察了完全平方式的应用及其变形．【例34】（1）已知222450x y x y +--+=，求()2112x xy --的值； （2）试说明不论x y 、取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数． 【难度】★★★【答案】（1）2-；（2）略．【解析】（1）由已知，得：22(1)(2)0x y -+-=，所以12x y ==，， 原式= -2；（2）原式=22(3)(2)2x y ++-+，22(3)0(2)0x y +≥-≥，．∴不论x y 、取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数．【总结】本题考察了完全平方式的应用及其变形，另外考察了利用完全平方公式的思想完成配方，从而说明代数式的值恒正，综合性较强．【例35】（1）已知16x x -=，求221x x+的值；（2）已知2310x x ++=，求①1x x +； ②221x x +； ③441x x+的值． 【难度】★★★【答案】（1）38． （2）-3， 7， 47．【解析】(1)22211()238x x x x +=-+=；(2)由已知得：11303x x x x++=+=-，即：， ∴22211()27x x x x +=+-=； ∴ 4224211()247x x x x+=+-=． 【总结】本题考察了完全平方式的应用及其变形的应用．1、立方和、差公式 两数和（或差）乘以它们的平方和与积的差（或和），等于这两个数的立方和（或差）， 这两个公式叫做乘法的立方和公式与立方差公式．即：()2233()a b a ab b a b +-+=+，()2233()a b a ab b a b -++=-．2、完全立方公式 ()3322333a b a a b ab b +=+++．()3322333a b a a b ab b -=-+-．模块三：立方和、差，完全立方公式知识精讲【例36】填空，使之符合立方和或立方差公式： （1）()33(__________)27x x -=-； （2）()323(__________)827x x +=+；（3）()()22_____24__________a ab b ++=；（4）()()22_____964__________a ab b -+=． 【难度】★【答案】（1）239x x -+； （2）2469x x -+； （3）3328a b a b --，； （4）3332278a b a b ++，． 【解析】略．【总结】本题考察了立方和与立方差公式的应用．【例37】用完全立方公式计算：（1）()32x +；（2）()332x y +；（3）()345a b -．【难度】★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式=326128x x x +++． （2）原式=32232754368x x y xy y +++． （3）原式=322364240300125a a b ab b -+-． 【总结】本题考察了完全立方公式的应用．【例38】计算： （1）()()()22223(39)339x y x xy y x y x xy y +-+--++．（2）()2222()()()a b a b a ab b a ab b +-++-+．【难度】★★【答案】（1）354y ； （2）66a b -．【解析】（1）原式=33333(27)(27)54x y x y y +--=；（2）原式=333366()()a b a b a b -+=-．例题解析【例39】化简求值：()()22224(1)(1)x x x x x x +-++-++，其中23x =-．【难度】★★【答案】11627．【解析】原式=3338127x x x ++-=+，当23x =-时，原式=3216112()77632727⨯-+=-+=．【总结】本题考察了立方和与立方差公式的运用．【例40】已知3a b +=且2ab =，求33a b +的值． 【难度】★★ 【答案】9．【解析】原式=22()()a b a ab b +-+=2()[()3]a b a b ab ++-， 当3a b +=且2ab =时，原式=3(96)9⨯-=． 【总结】本题考察了立方和与立方差公式的运用．【例41】已知：14x x +=．求下列各式的值：（1）221x x +；（2）331x x+． 【难度】★★★【答案】（1）14； （2）52．【解析】（1）原式=21()216214x x +-=-=；（2）原式=22111()()()52x x x x x x++-+=．【总结】本题考察了立方和立方差公式．【习题1】填空：（1）__________4343a b a b ⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）212_______23a b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭；（3）()()____________x y z z x y +---=；（4）212___________3x y z ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．【难度】★【答案】（1）22916b a -； （2）22124439a ab b -+；（3）222222x y z xy xz yz ----++； （4）22212444933x y z xy xz yz ++-+-．【解析】略．【总结】本题考察了完全平方公式和平方差公式的综合运用．【习题2】若22848x y x y +=-=，，则______y x -=． 【难度】★ 【答案】-6．【解析】22()()x y x y x y +-=-，6x y ∴-=， 6y x ∴-=-．【总结】本题考察了平方差公式的运用．【习题3】已知()22210x y x y +--+=，则()999______x y +=．【难度】★★ 【答案】1．【解析】由已知得：2()2()10x y x y +-++= 2(1)0x y +-= 1x y ∴+= ∴原式=1．【总结】本题考察了完全平方公式的应用．随堂检测【习题4】若2216x kxy y -+是一个完全平方式，则k 的值是（ ）．A ．8B ．16C ．8±D ．16±【难度】★★ 【答案】C【解析】由已知得：原式=2(4)x y ± 8k ∴=±，故选C ．【总结】本题考察了完全平方公式的概念，注意两种情况的分类．【习题5】计算： （1）()2(2)()()x y x y x y x y +--+-+； （2）241645255x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）()22(2)a b a b +--； （4）()2()()x y x y x y +-++；（5）2224(2)(42)m n m mn n +-+．【难度】★★【答案】（1）2225x y -； （2）4256625x -； （3）236a ab -+； （4）222x xy +； （5）368m n +． 【解析】（1）原式=2222224()25x y y x x y ---=-； （2）原式=2241616256()()2525625x x x -+=-； （3）原式=222222(44)36a ab b a ab b a ab ++--+=-+； （4）原式=22222222x y x xy y x xy -+++=+； （5）原式=368m n +．【总结】本题考察了平方差公式与完全平方公式在整式乘法中的应用．【习题6】运用平方差公式计算： （1）()()9783-⨯-；（2）21899033⨯；（3）9.610.4⨯；（4）22016201620152017-⨯．【难度】★★【答案】（1）8051； （2）880999； （3）99.84； （4）2016．【解析】（1）原式=(907)(907)8100498051+-=-=； （2）原式=1118(90)(90)810080993399-+=-=；（3）原式=(100.4)(100.4)1000.1699.84-+=-=； （4）原式=22016201620161)20161)--+（（=2016．【总结】本题考察了平方差公式在简便运算的中运用．【习题7】如果()332(332)32a b a b +++-=，求a b +的值． 【难度】★★ 【答案】2±．【解析】化简得：2(33)432a b +-=，即29()36a b +=， 所以2()4a b +=，所以2a b +=±．【总结】本题考察了平方差公式的运用，注意结果中的两种情况的讨论．【习题8】已知2254690a ab b a ++-+=，求a b +的值． 【难度】★★ 【答案】-3．【解析】化简得：222(69)(44)0a a a ab b -++++=，即22(3)(2)0a a b -++= ∴3020a a b -=+=，， 解得：36a b ==-，，3a b ∴+=-．【总结】本题考察了完全平方公式的应用．【习题9】已知132a b ab +==，，求：（1）22a b +；（2）22a ab b ++；（3）44a b +；（4）b a a b+； （5）33a b +的值． 【难度】★★【答案】（1）8； （2）182； （3）1632； （4）16； （5）452． 【解析】（1）原式=2()2918a b ab +-=-=；（2）原式=211()9822a b ab +-=-=； （3）原式=2222211()2646322a b a b +-=-=； （4）原式=2216a b ab+=； （5）原式=222345()()()[()3]3(9)22a b a ab b a b a b ab +-+=++-=⨯-=． 【总结】本题考察了完全平方公式的变形及其应用．【习题10】计算：（1）已知15a a+=，则4221_______a a a ++=． （2）2217a a +=，则1_____a a +=，1______a a-=． （3）已知14a a -=，求221a a +和441a a+的值． 【难度】★★★【答案】（1）24； （2）3±，； （3）18， 322．【解析】（1）原式=222111()2124a a a a++=+-+=； （2）22211()29a a a a +=++=， 13a a∴+=±；22211()25a a a a -=+-=， 1a a∴+=． （3）22211()218a a a a +=-+=，4224211()2322a a a a +=+-=． 【总结】本题考察了完全平方公式的变形及其应用．【习题11】已知2212x y x y +=+=，，求66x y +的值．【难度】★★★ 【答案】132． 【解析】222()2x y x y xy +=+-，2222()()121xy x y x y ∴=+-+=-=-，12xy ∴=-． 方法一： 3325()[()3]2x y x y x y xy ∴+=++-=，663323313()22x y x y x y ∴+=+-=； 方法二：44222227()22x y x y x y +=+-=， 662244222213()()2()2x y x y x y x y x y ∴+=++-+=． 【总结】本题考察了完全平方公式的变形及其应用．【习题12】若A =()24821(21)(21)(21)++++···()3221+，则2016A -的末位数字是多少？【难度】★★★【答案】9．【解析】23264(21)(21)(21)(21)21A =-++-=-由12345222428216232=====，，，，得到：642的末位数字是6 6161--=-，2016A ∴-的末位数字是：9．【总结】本题考察了平方差公式的运用以及通过找规律得到个位数字的特征，综合性较强．【作业1】如果22()()4a b a b +--=，则一定成立的是( )．A ．a 是b 的相反数B ．a 是b -的相反数C ．a 是b 的倒数D ．a 是b -的倒数 【难度】★【答案】C【解析】∵22()()44a b a b ab +--==，∴1ab =， a b ∴、互为倒数，选择C ．【总结】本题考察了完全平方公式的变形及其应用．课后作业【作业2】若整式241x Q ++是完全平方式，请你写一个满足条件的单项式Q 是 ．【难度】★【答案】444x x ±或．【解析】（1）2241(21)x Q x ++=±，4Q x =±；（2）22241(21)Q x x ++=+，44Q x =；（3）22141(2)4x Q x x ++=+，2116Q x =，不符合题意． 【总结】本题考察了完全平方公式的变形．【作业3】若把代数式222x x +-化为2()x m k ++的形式，其中m k ，为常数，则m k +的值 为（ ）A ．2-B ．4-C ． 2D ．4 【难度】★【答案】A【解析】22222213(1)3x x x x x +-=++-=+-，13m k ∴==-，． 2m k ∴+=-，故选择A ．【总结】本题考察了利用完全平方公式的思想进行配方．【作业4】计算：2222222212345699100-+-+-++-的值是( ) A ．5050B ．5050-C ．10100D ．10100- 【难度】★★【答案】B【解析】原式(12)(12)(34)(34)(99100)(99100)=+-++-+++- (123499100)=-++++++=5050-．【总结】本题考察了平方差公式的应用，注意符号的变化．【作业5】若22(2)(3)13x x ++-=，则(2)(3)x x +-= ．【难度】★★【答案】6．【解析】222[(2)(3)](2)2(2)(3)(3)25x x x x x x +--=+-+-+-=2(2)(3)251312x x ∴-+-=-=，(2)(3)6x x ∴-+-=，即：(2)(3)6x x +-=．【总结】本题考察了完全平方公式的应用．【作业6】计算：（1）22111933y x y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）22(5)(5)x x x x -++-；（3）22222()()()x y x y x y -++；（4）()2223(49)(49)(23)m n m n m n m n +--++-；（5）()22a b c -+；（6）2201620182017⨯-．【难度】★★【答案】见解析．【解析】（1）原式222244111()()9981y x y x y x =-+=-； （2）原式=4242(5)1025x x x x x --=-+-；（3）原式=2222224428448()()()2x y x y x y x x y y -+=-=-+；（4）原式=222222412916814129m mn n m n m mn n ++-++-+=22899m n -+；（5）原式=2224424a b c ab ac bc ++-+-；（6）原式=2(20171)(20171)20171-+-=-．【总结】本题主要考察了乘法公式在计算中的运用，注意公式的准确运用．【作业7】已知2(1)()5a a a b ---=-，求222a b ab +-的值． 【难度】★★ 【答案】252． 【解析】由已知得：225a a a b --+=-，5b a ∴-=-．2222a b ab +-∴=原式2()2522a b -==． 【总结】本题考察了完全平方公式的变形及其应用．【作业8】已知实数a 、b 满足2()1a b +=，2()25a b -=，求22a b ab ++的值．【难度】★★【答案】7．【解析】由224()()24ab a b a b =+--=-，得：6ab =-，2()167a b ab ∴=+-=+=原式．【总结】本题考察了完全平方公式的变形．【作业9】已知201520172016a ⨯=，201620182017b ⨯=，201720192018c ⨯=，比较三者大小． 【难度】★★【答案】a b c <<． 【解析】2201611201620162016a -==-， 同理：112017,201820172018b c =-=-． a b c ∴<<．【总结】本题考察了平方差公式在比较大小中的运用．【作业10】已知22690x xy y -+=，求代数式2235(2)4x y x y x y +⋅+-的值． 【难度】★★★ 【答案】145． 【解析】化简得：2(3)0x y -=，3x y ∴=，359514265x y y y x y y y ++∴===--原式． 【总结】本题考察了非负数的性质和平方差公式的运用．【作业11】已知12020a x =+，11920b x =+，12120c x =+，求222a b c ab bc ca ++---的 值．【难度】★★★【答案】3．【解析】由已知得：121a b b c a c -=-=--=-，，，2221[()()()]2a b b c a c ∴=-+-+-原式1(141)32=++=． 【总结】本题考察了完全平方公式的变形及其应用，综合性较强，要注意观察．【作业12】求多项式222451213x xy y y -+-+的最值．【难度】★★★【答案】最小值是1．【解析】原式=2222(2)3(44)1x xy y y y -++-++=222()3(2)11x y y -+-+≥，∴代数式有最小值，最小值是1．【总结】本题考察了完全平方公式的逆用，从而判定代数式的大小．。
北师大版七年级下册辅导班教案第三讲乘法公式
-识别应用场景：学生在解决实际问题时，需能够识别哪些问题可以用乘法公式来解决，哪些问题需要其他方法。
-计算准确性：学生在运用乘法公式进行计算时，需注意细节，避免出现计算错误。
举例：在讲解平方差公式时，解释为何a² - b²可以分解为(a+b)(a-b)，引导学生理解公式背后的逻辑关系。在解决实际问题时，指导学生如何识别问题中的关键信息，选择合适的乘法公式进行求解。
北师大版七年级下册辅导班教案第三讲乘法公式
一、教学内容
北师大版七年级下册辅导班教案第三讲乘法公式
1.完全平方公式：a² = (a+b)² = a² + 2ab + b²，(a-b)² = a² - 2ab + b²
2.平方差公式：a² - b² = (a+b)(a-b)
3.立方和公式：a³ + b³ = (a+b)(a² - ab + b²)，a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²)
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了乘法公论加深了对乘法公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
今天在讲解乘法公式这一章节时，我发现学生们对于完全平方公式和平方差公式的推导和应用掌握得还不错，但在立方和公式的理解上似乎有些困难。在今后的教学中，我需要针对这个情况做出一些调整。
七下数学课件： 乘法公式(第2课时 平方差公式)(课件)
解：=y2-22-(y2+4y-5)
=y2-4-y2-4y+5
=- 4y + 1
【名师点拨】不符合平方差公式运算条件的，则需按照乘法法则进行运算。
运用平方差公式进行计算
利用平方差公式计算：
1）(a+3b)(a-3b)
2）(3+a)(-3+a)
3）(-2x2-3y)(-2x2+3y)
4）20182 － 2015×2021
1)对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：
(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式。
2)公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，
当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把
字母平方，而系数忘了平方的错误。
运用平方差公式进行计算
平方差公式运用
=5050．故答案为D.
平方差公式与几何面积-提高
4张长为a，宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a＋b）的正方形，图
中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2，若S1＝S2，则a，b满足的关系式是（
A．a＝1.5b
B．a＝2b
C．a＝2.5b
D．a＝3b
1
【详解】解：由题意可得：S2＝4×2b（a＋b）＝2b（a＋b）；
1）(x+1)(x-1)
相加和为0
2 − + −1 = 2 -1
=
2）(m+2)(m-2)
2+2 −2 −4 =2 -4
=
相加和为0
3）(2x+1)(2x-1) =
4）(a+b)(a-b) =
苏科版数学七年级下册乘法公式课件2
(4)(-ab+3c)(-3c-ab)=a²b²-9c²
(√ )
改正：
(5) (-m+7)(7-m)=m²-49
(×)
改正：(-m+7)(7-m)=(7-m)(7-m)=(7-m)²
王敏捷同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，
售货员刚拿起计算器，王敏捷就说出应99.96元，结果与售 货员计算出的结果相吻合。
问题：利用平方差公式计算的关键是_准_确__确_定__a_和_b_
怎样确定a与b_符_号__相_同_的__项_是_a_,符__号_相_反_的__项_是_b__
1.计算（口答）： （1）（x+1)(x-1) = x²-1 (2) (x+2)(x-2) = x²- 4 (3) (m+n)(m-n) = m²-n² (4) (m+6)(m-6) = m²- 6 ²= m²-36 (5) (x+2y)(x-2y) = x²-(2y)²= x²-4y² (6) (3x-2)(3x+2) = (3x)²-2²= 9x²-4 (7) (b+5a)(b-5a) = b²- (5a)²=b²-25a²
(a+b)(a-b)= a2 - b2 两数和与这两数差的积， 等于它们的平方差
1)左边为两个数的和与差的积,右边为两个 数的平方差 2)有些式子通过适当变形实质上能用公式 3)公式中的a和b可以是数,也可以是整式 4)最后结果必须化简
运用平方差公式计算:
5678×5680-56792
=(5679-1)(5679+1)-56792 =56792 -1 -56792 = -1
售货员很惊讶地说：“你好象是个神童，怎么算得这么快？”
七年级数学上册专题知识讲义-乘法公式、整式的除法(附练习及答案)
乘法公式、整式的除法【考向解读】一、考点突破本讲考点主要包括：平方差公式、完全平方公式，同底数幂的除法、单项式除以单项式、多项式除以单项式。
通过多项式的乘法运算得到乘法公式，再运用公式计算多项式的乘法，培养从一般到特殊，再从特殊到一般的思维能力；通过乘法公式的几何背景，培养运用数形结合思想和整体思想解决问题的能力。
平方差公式是中考命题中比较重要的考点之一，单独命题的题型多为填空题,选择题和简单的计算题，这一知识点也常融入其他知识命题;完全平方公式在中考中占有重要地位，它在数的运算，代数式的化简，方程,函数等方面都有极其广泛的应用。
整式的除法在中考中出现的频率比较高,题型多见选择题与填空题,有时也会出现化简求值题，因此运算必须熟练。
二、重点、难点提示重点：平方差公式、完全平方公式，整式的除法及零指数幂的运算。
难点：乘法公式中字母的广泛含义及整式除法法则的应用。
【重点点拨】知识脉络图【典例精析】能力提升类例1 计算：（1）（－2a－b）（b－2a）；（2）（2x＋y－z）2．一点通：第（1）题中的b－2a＝－2a＋b，把－2a看成平方差公式中的“a”即可；第（2）题有多种解法，可把2x看成完全平方公式中的“a”，把y－z看成公式中的“b”，也可把2x＋y看成公式中“a”，把z看成公式中的“b”。
答案：（1）（－2a－b）（b－2a）＝（－2a－b）（－2a＋b）＝（－2a）2－b2＝4a2－b2；（2）（2x＋y－z）2＝[（2x＋y）－z]2＝（2x＋y）2－2z（2x＋y）＋z2＝4x2＋4xy＋y2－4xz －2yz ＋z 2．点评：这两题都可以运用乘法公式计算，第（1）题先变形，再用平方差公式；第（2）题把三项和看成两项和，两次运用完全平方公式。
例2 计算：（1）[（－3xy ）2·x 3－2x 2·（3xy 2）3·12y ]÷（9x 4y 2）；（2）[（x ＋2y ）（x －2y ）＋4（x －y ）2]÷（6x ）．一点通：本题是整式的混合运算，解题时要注意运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里的。
浙教版数学七年级下3.4《乘法公式》ppt课件3
1 1 2 (6) ( m n) 2 5
1、比较下列各式之间的关系：
(1) (-a-b)2 与(a+b)2
(2) (a-b)2 与 (b-a)2
（3）(-b+a)2 与(-a+b)2
相等
相等
相等
互为相反数的两式的完全平方结果一样。
例2：一花农有2块正方形茶花苗圃，边长分
别为30.1m，29.5m。现将这两块苗圃的边长都 增加1.5m，求两块苗圃的面积分别增加了多少 m² 。
b
a
a
b
请用两种不同的方法计算这个大正 方形的面积。 你能得到怎样的恒等式？
和的完全平方公式: (a+b)2=a2+2ab+b2
两数和的平方,等于这两数的平方和,加上这两数 积的2倍.
2 (a-b) =
？
2 2ab+b
差的完全平方公式：(a-b)2= a2
两数差的平方,等于这两数的平方和,减去这 两数积的2倍. 平方差公式和完全平方公式也称乘法公式.
例1
运用完全平方公式计算：
(1)(x+2y)2;
(2)(2a-5)2; (3) (-2s+t)2; (4) (-3x-4y)2.
(5)(-2a2+b)2
完全平方公式
a b
2
a 2ab b
2
2
a b
2
a2 2ab b2
口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放
完全平方公式：
(5) 简便计算： 199
2
_____
提高拓展： 1 2 2 1、计算： (1)( a ) 2 (2)(x 1)( x 1)
七年级数学乘法公式周练教案(5)
七年级数学教案（5）乘法公式的复习一、复习:(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2②符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2③指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4④系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2⑤换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2⑥增项变化，(x-y+z)(x-y-z)⑦连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)⑧逆用公式变化，(x-y+z)2-(x+y-z)2例1．已知2=+ba，1=ab，求22ba+的值。
例2．已知8=+ba，2=ab，求2)(ba-的值。
例3：计算19992-2000×1998例4：已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和(a-b)2的值。
例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
求x2-z2的值。
例6：判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？例7．运用公式简便计算（1）1032 （2）1982例8．计算（1）(a +4b -3c )(a -4b -3c ) （2）(3x +y -2)(3x -y +2)例9．解下列各式（1） 已知a 2+b 2=13，ab =6，求(a +b )2，(a -b )2的值。
（2） 已知(a +b )2=7，(a -b )2=4，求a 2+b 2，ab 的值。
（3） 已知a (a -1)-(a 2-b )=2，求222a b ab+-的值。
（4） 已知13x x-=，求441x x+的值。
例10．计算 （1）(x 2-x +1)2 （2）(3m +n -p )2二、乘法公式的用法练习计算：()()53532222x y x y +-计算：()()()()111124-+++a a a a计算：()()32513251x y z x y z +-+-+--计算：()()57857822a b c a b c +---+已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。
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2.2.3运用乘法公式进行计算
教学目标：
1.熟练应用平方差公式和完全平方公式进行计算.(重点)
2.理解公式中的字母可以代表多项式.(重点、难点)
教学过程
一、平方差公式
1.公式表示:(a+b)(a-b)=_____.
2.说明:字母a,b不仅可以代表单个的数或字母,也可代表一个单项式或一个_______.
3.特征:左边两个多项式相乘,在这两个多项式中,一部分项___ _______,另一部分项互为相反数.右边等于_____________的平方减去_______________的平方.
二、完全平方公式
1.公式表示:(a±b)2=__________.
2.说明:字母a,b不仅可以代表单个的数或字母,也可以代表一个单项式或一个_______.
3.结构特征:左边为两个整式和(或差)的_____.右边为这两个整式的_______,再加上(或减去)这两个整式________.
三、思维诊断：
对的打“√”错的打“×”
(1)m-n-x+y=m-(n-x+y).( )
(2)a-b-c+1=(a-b)-(c-1).( )
(3)m-a+b-c=m+(a-b+c).( )
(4)(x-y+z)2=[(x-y)+z]2.( )
四、自主探究：
1、计算:(m-2n+3t)(m+2n-3t).
【思路点拨】确定相同项和相反项→应用平方差公式计算→应用完全平方公式计算.
【自主解答】(m-2n+3t)(m+2n-3t)
=[m+(3t-2n)][m-(3t-2n)]
=m2-(3t-2n)2
=m2-(9t2-12tn+4n2)
=m2-9t2+12tn-4n2.
知识点 2 利用完全平方公式解决较复杂问题
【例2】计算:(x-2y+z)2.
【解题探究】(1)完全平方公式等号左边为几项式的平方?
提示:两项.
(2)而x-2y+z是三项式,应该怎么办?
提示:把(x-2y)看作一项.
(3)如何利用完全平方公式计算(x-2y+z)2?
提示:原式=[(x-2y)+z]2
=(x-2y)2+2(x-2y)·z+z2
=x2-4xy+4y2+2xz-4yz+z2.
【总结提升】适用完全平方公式的条件
完全平方公式适用的前提是两项式的平方,故在利用完全平方公式时,有时需把一项拆成两项的和或差,有时需把某几项结合在一起,当作一项,只有把题目变形,具备完全平方公式的特征时,才可使用.
五、课堂训练，夯实基础
题组一:运用平方差公式解决较复杂问题
1.计算(a+2)(a-2)(a2+4)的结果是()
A.a4+16
B.-a4-16
C.a4-16
D.16-a4
【解析】选C.原式=(a2-4)(a2+4)=a4-16.
2.一个正方形的边长增加了3cm,它的面积增加了51cm2,这个正方形原来的边长是()
A.5cm
B.6cm
C.7cm
D.8cm
【解析】选C.设正方形原来的边长为xcm,
则(x+3)2-x2=51,
所以(x+3+x)(x+3-x)=51,(2x+3)×3=51,
所以2x+3=17,解得x=7.
3.计算:(3x+2y)(9x2+4y2)(3x-2y)=.
【解析】原式=(3x+2y)(3x-2y)(9x2+4y2)
=(9x2-4y2)(9x2+4y2)=81x4-16y4.
答案:81x4-16y4
4.如果(a+b+1)(a+b-1)=63,那么a+b的值为.
【解析】因为(a+b+1)(a+b-1)=63,即(a+b)2-1=63,所以(a+b)2=64,所以
a+b=±8.
答案:±8
5.计算:(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1.
【解析】原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1
=(22-1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1
=(24-1)(24+1)…(232+1)+1=264-1+1=264.
六、反思总结
利用乘法公式可以使多项式的计算更为简便，但必须注意正确选择乘法公式。
七、布置作业：
P50A组3题。