江苏省盐城市盐城中学2019-2020学年高三上学期第一次月考数学试题
【新结构】江苏省盐城市盐城中学2024届高三第一次模拟考试数学试卷+答案解析
【新结构】江苏省盐城市盐城中学2024届高三第一次模拟考试数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的最小正周期是()A.B.C.D.2.已知随机事件A ，B 相互独立，且，则()A.B.C. D.3.已知向量，满足，，则()A.1B.C.2D.4.若从1至9的9个整数中随机取2个不同的数，则这2个数的和是3的倍数的概率为()A. B.C.D.5.已知为数列的前n 项和，则“”是“数列为单增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知，，，，则的值是()A.B.C.D.7.已知球O 与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为，且若球和圆台的体积分别为和，则的最大值为()A.B.C. D.8.已知函数的零点为，存在零点，使，则不能是()A. B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知非零复数在复平面内对应的点分别为，O 为坐标原点，则A.当时，B.当时，C.若，则存在实数t，使得D.若，则10.定义平面斜坐标系xOy，记，，分别为x轴、y轴正方向上的单位向量，若平面上任意一点P的坐标满足：，则记向量的坐标为，给出下列四个命题，正确的选项是()A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，以O为圆心、半径为1的圆的斜坐标方程为11.已知直四棱柱，，底面ABCD是边长为1的菱形，且，点E，F，G分别为，，BC的中点，点H是线段上的动点含端点以为球心作半径为R的球，下列说法正确的是()A.直线AH与直线BE所成角的正切值的最小值为B.存在点H，使得平面EFGC.当时，球与直四棱柱的四个侧面均有交线D.在直四棱柱内，球外放置一个小球，当小球体积最大时，球直径的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
江苏省盐城市盐城中学2020届高三上学期第一次月考数学试题
第1页，总17页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………江苏省盐城市盐城中学2020届高三上学期第一次月考数学试题题号 一 二 总分 得分评卷人 得分一、填空题 本大题共14道小题。
1.如下图，在直角梯形ABCD 中，//,90,4,2,AB CD ADC AB AD E ∠===为BC 中点，若·4AB AC =，则·AE BC =_______________．答案及解析：1.132-【详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设()0CD m m =>，结合题意可得：()()((0,0,4,0,2,2,A B C m C 则 ()(4,0,,2AB AC m ==， 故 44,1AB AC m m ⋅==∴=，即(2C ，则522E ⎛ ⎝⎭，据此有()521513,,3,2,12222AE BC AE BC ⎛⎫==-⋅=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭.答案第2页，总17页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2.设向量(sin 2,cos )a θθ=，(cos ,1)b θ=，则“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的 条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) .答案及解析：2.必要不充分【详解】试题分析：2//(sin 2,cos )//(cos ,1)sin 2cos cos 02sin cos a b θθθθθθθθ⇔⇔=⇔==或1cos 0tan 2θθ⇔==或，所以“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的必要不充分条件考点：向量共线 3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，11132S =，6930a a +=，则12a 的值为____．答案及解析：3.24 【分析】首先根据等差数列的前n 项和公式和等差中项，即可求出6a 的值，再根据等差数列的通项公式和6930a a +=，即可求出9a ，进而求出12a 的值.【详解】因为11132S =，所以，11111()2a a +＝132，即116a ＝132，所以，6a ＝12 又6930a a +=，所以，9a ＝18，因为61292a a a +=，所以，可求得：12a ＝24。
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江苏省盐城市盐城中学2021届高三数学上学期第一次月考试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题）1.已知集合{}=11A x x -<<，{}1,0,3B =-，则A B =__________．【答案】{}0 【解析】 【分析】根据交集的概念，求得两个集合的交集.【详解】交集是两个集合的公共元素组合而成，故{}0A B ⋂=. 故答案为{}0.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2.设幂函数()af x kx =的图像经过点(4,2)，则k α+=__________．【答案】32【解析】由题意得131,2422k k ααα==⇒=∴+= 3.若命题“∃t∈R，t 2﹣a ＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是_____．【答案】0,∞（+）【解析】命题“20t R t a ∃∈，﹣＜”是真命题，040a ∴=﹣（﹣）＞ ． 0a ∴＞， 则实数a 的取值范围是0+∞（，）． 故答案为∞（0，+）． 4.函数()ln(1)f x x =-+______． 【答案】(1,2] 【解析】【详解】由10{20x x ->-≥ 可得，12x <≤ ，所以函数()ln(1)f x x =-+(]1,2 ，故答案为(]1,2.5.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,2P -，则2sin α=______．【答案】45- 【解析】 【分析】根据三角函数定义求cos α和sin α，最后代入公式sin 22sin cos ααα=求值.【详解】解：由题意可得1x =-，2y =，r OP ==x cos r α∴===，y sin r α===， 4225sin sin cos ααα∴==-， 故答案为：45-． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11132S =，6930a a +=，则12a 的值为____． 【答案】24 【解析】 【分析】首先根据等差数列的前n 项和公式和等差中项，即可求出6a 的值，再根据等差数列的通项公式和6930a a +=，即可求出9a ，进而求出12a 的值. 【详解】因为11132S =，所以，11111()2a a +＝132，即116a ＝132，所以，6a ＝12 又6930a a +=，所以，9a ＝18，因为61292a a a +=，所以，可求得：12a ＝24 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的前n 项的公式，熟练掌握通项公式和等差数列的前n 项的公式是解决本题的关键.7.定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，2()2x f x x =-，则(1)f -=＝________．【答案】1- 【解析】由()f x 为奇函数可得：()()()11211f f -=-=--=-，故答案为1-. 8.已知函数()2sin(2)(0)4f x x πωω=->的最大值与最小正周期相同，则函数()f x 在[11]-，上的单调增区间为 ． 【答案】13[,]44- 【解析】 试题分析：由题意可知，函数()2sin()4f x x ππ=-，令22242k x k ππππππ-+≤-≤+，解得1322,44k x k k Z -+≤≤+∈，又[1,1]x ∈-，所以1344x -≤≤，所以函数()f x 在[1,1]-上的单调递增区间为13[,]44-.考点：三角函数的图象与性质.9.设向量(sin 2,cos )a θθ=，(cos ,1)b θ=，则“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的 条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) . 【答案】必要不充分 【解析】 【详解】试题分析：2//(sin 2,cos )//(cos ,1)sin 2cos cos 02sin cos a b θθθθθθθθ⇔⇔=⇔==或1cos 0tan 2θθ⇔==或，所以“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的必要不充分条件考点：向量共线10.已知函数()ln ()x xf x e x ae a R =-∈,若()f x 在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是_____．【答案】(],1-∞ 【解析】 【分析】对函数()f x 求导，根据函数在()0,∞+上单调递增列不等式，分离常数a 后，构造函数()()1ln 0h x x x x=+>，利用导数求得()h x 的最小值，进而求得a 的取值范围. 【详解】依题意，当()0,x ∈+∞时，()'1ln 0x f x e x a x ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭恒成立，即1ln 0x a x +-≥，也即1ln a x x ≤+在()0,∞+上恒成立，构造函数()()1ln 0h x x x x =+>，则()'21x h x x-=，所以函数()h x 在区间()0,1上递减，在区间()1,+∞上递增，在1x =处取得极小值也即是最小值，故()()11h x h ≥=，所以1a ≤. 故答案为(],1-∞.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.11.如下图，在直角梯形ABCD 中，//,90,4,2,AB CD ADC AB AD E ∠===为BC 中点，若·4AB AC =，则·AE BC =_______________．【答案】132- 【解析】【详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设()0CD m m =>，结合题意可得：()()((0,0,4,0,2,2,A B C m C 则 ()(4,0,,2AB AC m ==，故 44,1AB AC m m ⋅==∴=，即()1,2C ，则52,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 据此有()521513,,3,2,12222AE BC AE BC ⎛⎫==-⋅=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭.12.若函数2,0{ln ,0x a x y x a x x -≤=-+>，在区间()2,2-上有两个零点，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】[)0,2ln 2+ 【解析】【详解】试题分析:由题设可知函数与函数在给定的区间和区间内分别有一个根, ,即,所以,故答案[)0,2ln 2+.考点：函数的图象及零点的确定．【易错点晴】本题设置了一道以分段函数的解析式2,0{ln ,0x a x y x a x x -≤=-+>背景的零点个数的综合应用问题.将问题等价转化为两个函数与函数在给定的区间和区间内分别有一个零点的问题.然后建立不等式组,通过解不等式组从而获得答案.13.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知()sin sin sin B C m A m R +=∈，且240a bc -=.且角A 为锐角，则m 的取值范围是_______．【答案】⎝【解析】 【分析】利用正弦定理化简()sin sin sin B C m A m R +=∈，利用余弦定理表示出cos A ，根据A 为锐角列不等式，解不等式求得m 的取值范围.【详解】依题意，由正弦定理得b c ma +=，由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=()2222b c bc a bc+--=2222222a m a a a --=223m =-，由于A 锐角，所以0cos 1A <<，所以20231m <-<，即2322m <<，由于mm <<故答案为⎝. 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理进行边角互化，考查不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 14.已知函数()2ln(2)f x tx x n =+-+，1()g x t x=-，若函数324()(1)83h x x nx n x n =---+-在(),-∞+∞上是增函数，且()()0f x g x ≤在定义域上恒成立，则实数t 的取值范围是______． 【答案】{}21,2e e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦【解析】 【分析】根据()'0h x ≥求得n 的值，由此化简()()0f x g x ≤，利用分类讨论的方法，结合导数的知识列不等式，解不等式求得t 的取值范围.【详解】由于函数324()(1)83h x x nx n x n =---+-在(),-∞+∞上是增函数，所以()()'24210h x x nx n =---≥恒成立，故()241610n n ∆=+-≤，即()220n -≤，所以2n =.故()()0f x g x ≤即()12ln 0tx x t x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭在()0,∞+上恒成立，等价于2ln 010tx x t x +≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩①，或2ln 010tx x t x+≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩②. 由①得ln 21x t xt x⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩③，构造函数()()ln 0x m x x x =->，()'2ln 1x m x x -=，所以()m x 在()0,e 上()'0m x <，()m x 递减，在(),e +∞上()'0m x >，()m x 递增，最小值为()1m e e=-，所以③等价于120t e t ⎧≤-⎪⎨⎪≤⎩，解得12t e ≤-.由②得ln 21x t xt x⎧≥-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩④.由ln 12x x x -=解得21x e =.根据()m x 和1y x =的单调性可知，当且仅当21t e x==时，④成立. 综上所述，t 的取值范围是{}21,2e e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦.故答案为{}21,2e e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦.【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数在实数范围内单调的问题，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，难度较大，属于难题.二、解答题（本大题共6小题）15.已知集合{}2|320A x x x =-+≤，集合{}22B y y x x a ==-+，集合{}2|40C x x ax =--≤，命题:p A B φ⋂≠，命题:q A C ⊆.（1）若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围； （2）若命题p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）3a >；（2）(,0)(3,)-∞⋃+∞ 【解析】 【分析】先求出集合{}12A x x =≤≤和{|1}B y y a =≥-；（1）由题意得=A B φ⋂，由集合的交集运算得a 的取值范围；（2）先求出p q ∧为真命题时a 的取值范围，从而求出p q ∧为假命题时a 的范围.【详解】∵222(1)11y x x a x a a =-+=-+-≥-，∴集合{|1}B y y a =≥-，集合{}{}232012A x x x x x =-+≤=≤≤，集合{}240C x x ax =--≤. （1）由命题p 是假命题，可得=A B φ⋂，即得12a ->，∴3a >. （2）当p q ∧为真命题时，,p q 都为真命题，即A B φ⋂≠，且A C ⊆，∴2121402240a a a -≤⎧⎪--≤⎨⎪--≤⎩330a a a ≤⎧⎪⇒≥-⎨⎪≥⎩，解得03a ≤≤. ∴当p q ∧为假命题时，0a <或3a >，∴a 的取值范围是：(,0)(3,)-∞⋃+∞【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了复合命题为假命题的应用，二次函数的性质，属于基础题.16.ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别是a 、b 、c ，且1cos 3A =． (1)求2sincos 22B CA ++的值； (2)若a =ABC 面积的最大值．【答案】（1）19-；（2）4【解析】 【分析】 (1)将2sincos22B CA ++化简代入数据得到答案.(2)利用余弦定理和均值不等式计算94bc ≤，代入面积公式得到答案. 【详解】()2221sincos2sin 2cos 122B C A A A π+-+=+- 2221cos cos2cos 12cos 122A A A A +=+-=+- 1111321299+=+⨯-=-； (2)由1cos 3A =，可得122sin 19A =-=， 由余弦定理可得222222242cos 2333a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-=， 即有23944bc a =≤，当且仅当32b c ==，取得等号． 则ABC 面积为1192232sin 22434bc A ≤⨯⨯=． 即有32b c ==时，ABC 的面积取得最大值324． 【点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，面积公式，均值不等式，属于常考题型. 17.如图，在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，D 是边BC 上一点，2DC BD =.（1）求AD BC ⋅的值；（2）若()0AB tCD CD -⋅=，求实数t 的值. 【答案】（1）83-（2）1514t = 【解析】 【分析】（1）将,AD BC 都转化为用,AB AC 为基底表示，根据向量数量积的运算，求得AD BC ⋅的值.（2）将原方程()0AB tCD CD -⋅=转化为2AB CD t CD⋅=，同（1）的方法，将CD 转化为用,AB AC 为基底表示，根据向量数量积和模的运算，求出t 的值.【详解】（1）D 是边BC 上一点，2DC BD =()1133BD BC AC AB ∴==-()121333AD AB AC AB AB AC =+-=+()2133AD BC AB AC AC AB ⎛⎫∴⋅=+⋅- ⎪⎝⎭22121333AC AB AB AC =-+⋅18112cos120333=-+⨯⨯⨯︒18183333=--=-，故83AD BC ⋅=- （2）()0AB tCD CD -⋅=，2AB CD t CD⋅∴=()2233CD CB AB AC ==-，214212cos1207BC =+-⨯⨯⨯︒=2222839CD CB ⎛⎫==⎪⎝∴⎭2233AB CD AB AB AC ⎛⎫⋅=⋅- ⎪⎝⎭22233AB AC AB =-⋅821012cos120333=-⨯⨯⨯︒=1514t ∴=【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查向量数量积和模的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.18.某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座圆弧形拱桥，已知该桥的剖面如图所示，共包括圆弧形桥面ACB 和两条长度相等的直线型路面AD 、BE ，桥面跨度DE 的长不超过12米，拱桥ACB 所在圆的半径为3米，圆心O 在水面DE 上，且AD 和BE 所在直线与圆O 分别在连结点A 和B 处相切.设ADO θ∠=，已知直线型桥面每米修建费用是a 元，弧形桥面每米修建费用是43a元.（1）若桥面（线段AD 、BE 和弧ACB ）的修建总费用为W 元，求W 关于θ的函数关系式； （2）当θ为何值时，桥面修建总费用W 最低？ 【答案】（1）3cos 24sin W a θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，62ππθ≤<.（2）3πθ= 【解析】 【分析】（1）设C 为弧AB 的中点，连结OA ，OC ，OB ，通过解直角三角形以及弧长公式，求得,AD AC 的长，由此计算出修建总费用W 的表达式，根据DE 长度的限制，和圆的直径，求得θ的取值范围.（2）利用导数求得W 的单调区间，进而求得当θ为何值时，W 取得最小值. 【详解】（1）设C 为弧AB 的中点，连结OA ，OC ，OB ，则OA AD ⊥ 在OAD ∆中，3cos tan sin OA AD θθθ==. 又因为AOC ADO θ∠=∠=，所以弧AC 长为3l θ=， 所以423a W l AD a ⎛⎫=⨯+⨯ ⎪⎝⎭43cos 233sin a a θθθ⎛⎫=⋅+⋅ ⎪⎝⎭3cos 24sin a θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当6DE =时，2πθ=；当12DE =时，6πθ=，所以62ππθ≤<所以3cos 24sin W a θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，62ππθ≤<.（2）设()3cos 4sin f θθθθ=+，则()22234sin 34sin sin f θθθθ-'=-=，令()0f θ'=得,362πππθ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭当,63ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f θ'<，函数()f θ单调递减； 当,32ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f θ'>，函数()f θ单调递增； 所以当3πθ=时，函数()fθ取得最小值，此时桥面修建总费用最低.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的最值，考查函数在在实际生活中的运用，考查弧长的计算，属于中档题.19.已知函数21()ln (1)()22x f x ax x a x a a R =-+-+-∈.（1）当1a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程； （2）当0a ≤时，证明：函数()f x 只有一个零点； （3）若函数()f x 的极大值等于0，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）0y =（2）证明见解析（3）(),1-∞ 【解析】 【分析】（1）求得函数在1x =处的导数，由此求得切线方程. （2）通过求()f x 二阶导数，研究其一阶导数，进而求得函数()f x 的单调区间，由此证得函数()f x 只有一个零点.（3）当0a ≤时根据（2）的结论证得结论成立.当0a >，根据()f x 的二阶导数，对a 分成01,1,1a a a <<=>三种情况，利用()f x 的一阶导数，结合零点的存在性定理，求得实数a的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()21ln 22x f x x x =-+，()ln 1f x x x '=+-，()10f '=，()10f =，所以()f x 在1x =处的切线方程为0y =.（2）()()ln 10f x a x x x '=-+>，令()ln 1g x a x x =-+，()1a a x g x x x-'=-= 当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在()0,∞+上单调递减，又()10g =，所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减所以()()10f x f ≤=，所以()f x 只有一个零点1x =.（3）①当0a ≤时，由（2）知，()f x 的极大值为()10f =，符合题意；②当0a >时，令()0g x '=，得x a =，当()0,x a ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当(),x a ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，注意到()10g =，（ⅰ）当01a <<时，()()10g a g >=，又111110a a a g e e e ---⎛⎫=--+=-< ⎪⎝⎭.所以存在()10,x a ∈，使得()10g x =，当()10,x x ∈时， ()()0g x f x ='<，()f x 单调递减，当()1,1x x ∈时，()()0g x f x '=>，()f x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()()0g x f x ='<，()f x 单调递减，所以()f x 的极大值为()10f =，符合题意；（ⅱ）当1a =时，()()()10g x f x g '=≤=恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递减，无极值，不合题意；（ⅲ）当1a >时，()()10g a g >=，又()21aag e a e =-+，令()()211xx x x e ϕ+=>()()210xx x eϕ-'=-<，()x ϕ在()1,+∞上单调递减，所以()()211x eϕϕ<=<，所以()210a a g e a e =-+<， 存在()2,x a ∈+∞，使得()()220g x f x '==，当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()21,x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 的极大值为()2f x ，且()()210f x f >=，不合题意.综上可知，a 的取值范围是(),1-∞.【点睛】本小题主要考查利用导数求切线的斜率，考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.20.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*241n n n a a S n N+=-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若21211n n n n a b S S -++=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围；（3）若()211,22,n n na n c n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数()*n N ∈，从数列{}n c 中抽出部分项（奇数项与偶数项均不少于两项），将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列.当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列. 【答案】（1）21n a n =-（2）n T 21114(21)n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦；21,94⎡⎫⎪⎢⎣⎭（3）1，2，3，4，5和5，4，3，2，1.【解析】 【分析】（1）利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求得数列{}n a 的通项公式.（2）由（1）求得n S 的表达式，然后利用裂项求和法求得{}n b 的前n 项和n T .利用差比较法证得数列{}n T 递增，进而求得n T 的取值范围.（3）先判断出数列{}n c 的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数.然后假设抽出的数列中有三个偶数，推出矛盾，由此证得偶数只有两项.进而证得奇数最多有3项.由此求得所有满足条件的等差数列.【详解】（1）当1n =时，由2241n n n a a S +=-，得2111241a a a +=-，得11a =， 由2241n n n a a S +=-，得2111241n n n a a S ++++=-，两式相减，得22111224n n n n n a a a a a +++-+-=，即()221120n n n n a a a a ++--+=，即()()1120n n n n a a a a ++--+=因为数列{}n a 各项均为正数，所以10n n a a ++>，所以12n n a a +-= 所以数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列.因此，12(1)21n a n n =+-=-，即数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （2）由（1）知21n a n =-，所以2(121)2n n n S n +-==所以22212112(21)(21)n n n n a n b S S n n -++==⋅-+221114(21)(21)n n ⎡⎛⎤=-⎢ ⎥-+⎝⎦⎣ 所以222222246133557n T =++⨯⨯⨯222(21)(21)nn n ++-+222222*********1433557(21)(21)n n ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭21114(21)n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦令21()1(21)f n n =-+，则(1)()f n f n +-=2222118(1)0(21)(23)(23)(21)n n n n n +-=>++++ 所以()f n 是单调递增数列，数列{}n T 递增， 所以129n T T ≥=，又14n T <，所以n T 的取值范围为21,94⎡⎫⎪⎢⎣⎭.（3）2,212,2n n n n k c n k=-⎧⎪=⎨⎪=⎩设奇数项取了s 项，偶数项取了k 项，其中s ，*k N ∈，2s ≥，2k ≥.因为数列{}n c 的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数. 假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数. 设抽出的三个偶数从小到大依次为2i ，2j ，()21pi j p ≤<<，则1122222i ji j --+=+为奇数，而1i ≥，2j ≥，则12j -为偶数，12i -为奇数，所以1i =.又1122222j p j p --+=+为奇数，而2j ≥，3p ≥，则12j -与12p -均为偶数，矛盾．又因为2k ≥，所以2k =，即偶数只有两项， 则奇数最多有3项，即s k +的最大值为5.设此等差数列为1d ，2d ，3d ，4d ，5d ，则1d ，3d ，5d 为奇数，2d ，4d 为偶数，且22d =. 由13224d d d +==，得11d =，33d =，此数列为1，2，3，4，5. 同理，若从大到小排列，此数列为5，4，3，2，1.综上，当等差数列的项数最大时，满足条件的数列为1，2，3，4，5和5，4，3，2，1. 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查裂项求和法，考查数列单调性，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.。
2019～2020学年度学年度江苏省盐城市盐城中学高一第1学期12月月考数学试题及参考答案解析
2019～2020学年度江苏省盐城市盐城中学高一第一学期12月月考数学试题一、单选题 1.7sin3π的值是( )A.12 B.12-C. D.2【试题答案】D【试题解答】原式中的角度变形后,利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果.解:7sinsin 2sin 333ππππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭故选:D.本题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键,属于基础题. 2.函数23cos()56y x π=-的最小正周期是( )A.25π B.52πC.2πD.5π【试题答案】D【试题解答】分析:直接利用周期公式求解即可. ∵23cos 56y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,25ω=,∴2π5πT ω==.故选D:本题主要考查三角函数的图象与性质,属于简单题.由 函数cos()y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由x k ωϕπ+=可得对称轴方程；由2x k πωϕπ+=+可得对称中心横坐标.3.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x >时,()21xf x =-,则当0x <时,()f x 的解析式为( )A.()21xf x -=--B.()21xf x -=-+C.()21xf x -=-D.()12xf x =-+【试题答案】B【试题解答】运用奇函数的定义,设0x <,则0x ->,运用已知解析式,可得所求解析式.解:因为函数()y f x =在R 上为奇函数,所以()()f x f x -=-, 当0x >时,()21xf x =-,当0x <时,则0x ->,可得()21xf x --=-,由()()f x f x -=-,可得()21xf x -=-+,()0x <；故选:B.本题考查奇函数的解析式的求法,考查转化思想和方程思想,属于基础题. 4.函数()log 11a y x =++(0a >且1a ≠)的图象恒过点( ) A.()0,1 B.()0,2C.()1,1-D.()1,2-【试题答案】A【试题解答】由函数log (1)a y x =+的图象恒过定点,利用对数的运算性质log 10a =,得出定点的坐标,解:∵函数()log 11a y x =++(0a >且1a ≠)的图象恒过定点, 令11x +=,则0x =,1y =,∴定点的坐标为()0,1, 故选:A.本题考查的知识点是对数函数的单调性及特殊点,其中熟练掌握对数的运算性质log 10a =,是解答的关键,属于基础题.5.sin 30cos30︒-︒的值为( )A.1B.－1D.【试题答案】B【试题解答】结合同角平方关系和诱导公式对已知式子进行化简即可求值.解:sin 30cos30=︒-︒=cos30sin 301sin 30cos30︒-︒==-︒-︒.故选:B.本题主要考查了同角平方关系在三角化简求值中的应用,属于基础题.6.设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( ) A.3B.6C.9D.12【试题答案】C 【试题解答】()()()()()22log 121log 622221log 223,log 12226,2log 129f f f f -⎡⎤-=+--====∴-+=⎣⎦.故选C.7.已知11222x x e e --=,求3322x x e e --的值为( ) A.2B.8C.10D.14【试题答案】D【试题解答】对原等式两边同时3次方,再利用有理数指数幂的运算性质即可得出.解:Q 11222x x e e --=,∴两边同时3次方得:112238x x e e -⎛⎫= ⎪⎝⎭-,化简得:3311222238x x x x eee e --⎛⎫---= ⎪⎝⎭, 又Q 11222x x e e --=,∴33228614x x e e--=+=,故选:D .本题考查了有理数指数幂的运算性质,属于基础题. 8.sin 2y x =可向右平移ϕ个单位得到sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,则ϕ可以是( ) A.2π B.3π C.6π D.4π 【试题答案】C【试题解答】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,得出结论.解:把sin 2y x =的图象可向右平移ϕ个单位,可以得到()()sin 2sin 22y x x ϕϕ=-=-的图象与sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象相同,则()22,π3k k N ϕπ=+∈,解得()6,πk k N ϕπ=+∈ 故满足条件的为C 故选:C.本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,属于基础题.9.对于函数()lg 25f x x x =-+,有0x 使()00f x =,且()0,1x k k ∈+,k Z ∈,则k 为( ) A.0B.1C.2D.0或2【试题答案】D【试题解答】由函数的解析式可得()1f ,()2f ,()3f ,以及0x →时的函数值的符号,即可判断函数()f x 零点的位置,从而求得k 的值.解:由函数的解析式()lg 25f x x x =-+,定义域为()0,∞+的连续函数, 可得()12530f =-+=>,()2lg 210f =+>,()3lg310f =-<,当0x +→时,()f x →-∞,故函数()f x 在()0,1和()2,3上各存在唯一零点,所以0k =或2, 故选:D.本题主要考查函数的零点的判定定理的应用,属于基础题. 10.函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象的一个对称中心为( ) A.,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭C.,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭D.,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭【试题答案】B【试题解答】利用正弦函数的对称性质可知,26x k ππ+=,从而可得函数()f x 的图象的对称中心为1,0212k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭,k Z ∈再赋值即可得答案.解:sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭Q 令26x k ππ+=,k Z ∈,解得:1212ππ=-x k ,k Z ∈. 所以函数()f x 的图象的对称中心为1,0212k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭,k Z ∈.当0k =时,,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭就是函数的图象的一个对称中心, 故选:B.本题考查正弦函数的对称性,求得其对称中心为1,0212k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭,k Z ∈.是关键,考查赋值法的应用,属于基础题.11.ABC ∆中,若cos sin A B >,则ABC ∆为( ) A.锐角三角形 B.等边三角形C.直角三角形D.钝角三角形【试题答案】D【试题解答】直接利用三角函数关系式的变换和余弦函数的性质的应用及三角形内角和定理的应用求出结果.解:在ABC ∆中,(),0,A B π∈,所以sin 0B >,由于cos sin 0A B >>,则A 为锐角.所以cos cos 2A B π⎛⎫>- ⎪⎝⎭,,222B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,由于函数()cos f x x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为偶函数,且在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减,()2f A f B π⎛⎫>- ⎪⎝⎭,所以2A B π<-.即2B A π->,所以2A B π+<,故2C π>.或2B A π-<-,整理得:22B A ππ>+>,所以该三角形为钝角三角形.故选:D.本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,余弦型函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.12.函数2cos 4sin y x x =+在区间7,6θπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是5,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,则θ的取值范围是( ) A.,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.7,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【试题答案】D【试题解答】函数中含有正弦和余弦两个元,则必然消元,再利用函数的图象解题即可得解.解:22cos 4sin sin 4sin 1y x x x x =+=-++,令sin x t =,可得241y t t =-++,[]1,1t ∈-,由题意函数值域是5,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,由二次函数在[]1,1-的函数图象可知,1,12t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, 即7,6x θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,1sin ,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,如图:可得,62ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 故选:D.本题考查了三角函数的化简和三角函数的性质,考查了函数思想和数形结合思想的应用,属于中档题.二、填空题13.已知扇形的半径为6,圆心角为3π,则扇形的面积为__________. 【试题答案】6π【试题解答】先计算扇形的弧长,再利用扇形的面积公式可求扇形的面积.根据扇形的弧长公式可得362l ππαr ==⨯=, 根据扇形的面积公式可得1126622S lr ππ==⋅⋅=,故答案为6π.本题主要考查扇形的弧长与面积公式,正确运用公式是解题的关键,属于基础题. 14.函数()()sin 0y A x B A ωϕ=++>最大值为5,最小值为－1,则振幅A 为______. 【试题答案】3【试题解答】根据正弦函数的图象和性质,建立方程即可得到结论.解:0A >Q ,∴当sin()1x ωϕ+=时,函数取得最大值,当sin()1x ωϕ+=-时,函数取得最小值, 即51A B A B +=⎧⎨-+=-⎩；解得3A =,2B =,故答案为:3.本题主要考查余弦函数的性质,利用余弦函数的单调性和最值是解决本题的关键,属于基础题.15.设函数()lg 2,21,2x x f x x ⎧-≠=⎨=⎩,若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=恰有5个不同的实数解1x 、2x 、3x 、4x 、5x 则()12345f x x x x x ++++等于______. 【试题答案】3lg 2【试题解答】先根据一元二次方程()()20f x bf x c ++=的根的情况,可判断()21f =必为方程()()20fx bf x c ++=的解,可得到1c b =--,再分2x >和2x <两种情况讨论,求得方程的根,即可()12345f x x x x x ++++的值.解:因为()lg 2,21,2x x f x x ⎧-≠=⎨=⎩,可画函数图象如下所示:又因为关于x 的方程()()20fx bf x c ++=恰有5个不同的实数解根据对称性,由图可知2x =一定是方程的解, 当2x =时,()21f =,则由()()20f x bf x c ++=得10b c ++=.∴12x =,1c b =--.当2x >时,()()lg 2=-f x x ,由()()20fx bf x c ++=,得()()2lg 2lg 210x b x b ---⎣+-=⎡⎤⎦,解得()lg 21x -=,或()lg 21x b -=--,解得212x =、13210b x --=+. 当2x <时,()()lg 2f x x =-,由()()20fx bf x c ++=得()()2lg 2lg 210x b x b -+---=⎡⎤⎣⎦,解得()lg 21x -=,或()lg 21x b -=--,解得48x =-、15210b x --=-.∴()12345f x x x x x ++++()112122108210b b f ----=+++-+-()10lg 102lg83lg2f ==-==.故答案为:3lg 2.这是一道比较难的对数函数综合题,解题时按照题设条件分别根据2x =、2x >和2x <三种情况求出关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=的5个不同的实数解1x 、2x 、3x 、4x 、5x ,然后再求出12345()f x x x x x ++++的值,属于难题.16.已知函数()3,5,x x m f x x x x m ⎧=⎨-<⎩…若函数()()2g x f x mx =-恰有2个不同的零点,则实数m 的取值范围是______. 【试题答案】()52,22,2m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦U【试题解答】含参的定义域,必然要对函数讨论,显然0x =是一个零点,x 不等于0时,21,()5,2x m m f x x x m x ⎧==⎨-<⎩…只需有一个根即可,通过图象法,得出结论.函数()()2g x f x mx =-恰有2个不同的零点,若0x =,因为()00f =,故0x =是一个零点； 若0x ≠,()21,5,2x m f x m x x mx ⎧==⎨-<⎩…,当12m=,即2m =,x m …时,则有无数个解,故2m ≠；当252m x =-,x m <有一解,令()252mg x x =--,x m <,观察()g x 的图象,在x m <时,只有一解,m 应在N ,M 的线段之间, 故()2502m g m m =--…,解得522m -剟, 当2m =-时,251x -=-,2x =±,不成立,故522m -<…,综上,()52,22,2m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦U .故答案为:()52,22,2m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦U本题考查函数的零点与方程的根的问题,难点在于定义域含参的讨论,本题难度较大,综合性强.三、解答题17.已知1cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求5cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭； (2)若02πα-<<,求24cos sin 33ππαα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【试题答案】(1)13-；621+【试题解答】(1)由已知结合诱导公式5cos()cos[()]cos()666πππαπαα+=--=--可求, (2)结合已知及同角平方关系可求sin()6πα-,然后利用诱导公式及同角平方关系可求.解:(1)∵1cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,∴51cos cos cos 6663πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,(2)∵02πα-<<,02πα∴<-<2366πππα∴<-<又1cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭Q ,∴sin 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭,∴24cos sin 33ππαα⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211cos sin 33παπα⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11399=+=.本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式,诱导公式,难度不大,属于基础题. 18.已知sin α,()cos 0ααπ<<是方程250x x m -+=的两根. (1)求实数m 的值； (2)求tan α的值； (3)求21sin cos 2cos ααα+的值.【试题答案】(1)125m =-；(2)4tan 3α=-；(3)256 【试题解答】(1)根据方程的根与系数关系可求sin cos αα+,sin cos ααg,然后结合同角平方关系可求m ,(2)结合(1)可求sin α,cos α,结合同角基本关系即可求tan α,(3)利用221sin cos αα+=将式子化为齐次式,再利用同角三角函数的基本关系,将弦化切,代入可求.解:(1)由题意可知,1sin cos 5αα+=,1sin cos 5m αα⋅=, ∴()2sin cos 12sin cos αααα+=+,∴211525m +=,∴125m =-,(2)方程212505x x --=的两根分别为35-,45, ∵()0,απ∈, ∴sin 0α>, ∴4sin 5α=,3cos 5α=-,则4tan 3α=-, (3)22221sin cos sin cos 2cos sin cos 2cos αααααααα+=++Q 21tan 2tan αα+=+ 2412534623⎛⎫+- ⎪⎝⎭==⎛⎫+- ⎪⎝⎭本题主要考查了同角三角函数关系式和万能公式的应用,属于基本知识的考查. 19.若2()122cos 2sin f x a a x x =--- 的最小值为()g a . (1)求()g a 的表达式；(2)求能使1()2g a =的值,并求当a 取此值时,()f x 的最大值. 【试题答案】(1)()21221222142a ag a a a aa <-⎧⎪⎪=----≤≤⎨⎪->⎪⎩；(2)()f x 的最大值为5 【试题解答】试题分析:(1)通过同角三角函数关系将()f x 化简,再对函数()f x 配方,然后讨论对称轴与区间[1?1?]-，的位置关系,从而求出()f x 的最小值；(2)由()12g a =,则根据()g a 的解析式可知()g a 只能在[)2-+∞，内解方程,从而求出a 的值,即可求出()f x 的最大值.试题解析:(1)()()2122cos 21cos f x a a x x =---- 22cos 2cos 12x a x a =---222cos 2122a a x a ⎛⎫=---- ⎪⎝⎭若12a<-,即2a <-,则当cos 1x =-时,()f x 有最小值,()222121122a a g a a ⎛⎫=-----= ⎪⎝⎭； 若112a -≤≤,即22a -≤≤,则当cos 2a x =时,()f x 有最小值,()2212a g a a =---若12a>,即2a >,则当cos 1x =时,()f x 有最小值,()2221211422a a g a a a ⎛⎫=----=- ⎪⎝⎭所以()21221222142a ag a a a aa <-⎧⎪⎪=----≤≤⎨⎪->⎪⎩； (2)若()12g a =,由所求()g a 的解析式知212122a a ---=或1142a -=由222112122a a a a -≤≤⎧⎪⇒=-⎨---=⎪⎩或3a =-(舍)；由2118142a a a >⎧⎪⇒=⎨-=⎪⎩(舍) 此时()2112cos 22f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,得()max 5f x =,所以()12g a =时,1a =-,此时()f x 的最大值为5.20.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+(0>ω,0ϕπ<<)的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π,且314f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. (1)求ω,ϕ的值；(2)求()f x 图象的对称轴方程； (3)若不等式()2f x m ->在区间3,34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立,求实数m 的取值范围. 【试题答案】(1)2ω=,13ϕπ=；(2)1122x x k ππ==+,k Z ∈；(3)(),4-∞- 【试题解答】(1)由题意可先求周期,进而可求ω,代入3()14f π=-,可求ϕ,即可求解, (2)结合正弦函数的对称轴方程即可求解,(3)由已知可转化为12[2sin(2)]3min m x π+<+,结合正弦函数的性质可求.(1)由题意知,1122T π=,∴2T ππω==, ∴2ω=,()()2sin 2f x x ϕ=+,∴332sin 2cos 142f ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴1cos 2ϕ=,∵0ϕπ<<,∴13ϕπ=,()12sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭,(2)由11232x k πππ+=+可得,1122x k ππ=+,k Z ∈,即对称轴1122x k ππ=+,k Z ∈, (3)∵3,34x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴1112,36x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,()[]12sin 22,03f x x π⎛⎫∴=+∈- ⎪⎝⎭∵12sin 223x m π⎛⎫+-> ⎪⎝⎭恒成立,∴min122sin 23m x π⎡⎤⎛⎫+<+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, ∴22m +<-,∴4m <-,故m 的范围(),4-∞-本题主要考查了利用正弦函数的性质求解函数解析式,还考查了正弦函数的对称性,值域及恒成立问题与最值的相互转化,属于中档试题.21.为了研究某种药物,用小白鼠进行试验,发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同。
江苏省盐城中学2020届高三第一次阶段性质量检测数学试题(PDF版)
16． ABC 中，角 A, B, C 所对边分别是 a, b, c ，且 cos A 1 . 3
（1）求 sin 2 B C cos 2 A 的值； 2
（2）若 a 3 ，求 ABC 面积的最大值.
17．如图，在 ABC 中， BAC 1200 ， AB 2 ， AC 1， D 是边 BC 上一点， | DC | 2 | BD |. （1）求 AD BC 的值；（2）若 ( AB tCD) CD 0 ，求实数 t 的值.
角 A 为锐角，则 m 的取值范围是
．( 6 , 2) 2
14．已知函数 f (x) 2tx ln(x n 2) ， g(x) 1 t ，若函数 h(x) 4 x3 nx 2 (1 n)x n 8 在
x
3
(,) 上是增函数，且 f (x)g(x) 0 在定义域上恒成立，则实数 t 的取值范围是 (, 1 ] {e2} 2e
f f
(1) 1 a (2) 4 2a
4 4
0
0
，解得
a
0
16． ABC 中，角 A, B, C 所对边分别是 a, b, c ，且 cos A 1 . 3
（1）求 sin 2 B C cos 2 A 的值； 2
（2）若 a 3 ，求 ABC 面积的最大值.
（1）求数列{an }的通项公式；
（2）若 bn
an 1 S 2n1 S 2n1
，数列{bn } 的前 n 项和为 Tn ，求 Tn 的取值范围；
（3）若 cn
1 2
(a
n
2
n 2
,
江苏省盐城中学2020届高三数学上学期第一次阶段性考试试题 理
江苏省盐城中学高三年级第一次阶段性考试数学（理）试卷一、填空题1.设集合{1,},{1,3}A m B ==，若{1,2,3}A B =U ，则m = ．2.幂函数()y f x =的图像过点，则(9)f = ．3.函数0()lg(1)(2)f x x x =-+-的定义域为 ．4.函数()ln f x x x =-的单调减区间为 ．5.若命题:1p x <，命题2:log 0q x <，则p 是q 的 条件．6.已知()1x f x x=+，则(1)f -= ． 7.已知 1.20.81212,(),log 22a b c -===，则,,a b c 的大小关系为 ．8.已知函数2()2f x mx x m =+++在(,2)-∞上是增函数，则实数m 的取值范围为 ．9.设()f x 是定义R 在上的奇函数，且满足(1)()f x f x -=，则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++= ．10.已知函数()ln ()m f x x m R x =-∈在区间[1,]e 上取得最小值4，则m = ． 11.已知函数3()f x x x =+，对任意的[2,2],(2)()0k f kx f x ∈--+<恒成立，则x 的取值范围为 ．12.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围为 ．13.若存在x R ∈，使得2342(0x x x a a --≥>且1)a ≠成立，则实数a 的取值范围是 ． 14.已知函数21(0)()21(0)x x f x e x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪++<⎩，若函数(())1y f f x a =--有三个零点，则a 的取值范围为 ．二、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.设集合522{|224},{|230,0}x A x B x x mx m m --=≤≤=+-<>（1）若2m =，求A B I（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.16.已知函数()lg(2)lg(2)f x x x =++-（1）求函数()f x 的定义域并判断()f x 的奇偶性；（2）记函数()()103f x g x x =+，求函数()g x 的值域.17. 已知函数2()f x x bx c =++，其图像与y 轴交点为(0,1)，满足(1)(1)f x f x -=+（1）求()f x ;（2）设()0g x m =>，求函数()g x 在[0,]m 上的最大值；（3）设()ln ()h x f x =，若对于一切[0,1]x ∈，不等式(1)(22)h x t h x +-<+恒成立，求实数t 的取值范围.18. 经市场调查，某商品每吨的价格为(214)x x <<元时，该商品的月供给量为1y 吨，116(8);y ax a =-≥月需求量为2y 吨,222224y x x =--+.当该商品的需求量不小于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量小于供给量时，销售量等于需求量.该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积.(1)若32a =，问商品的价格为多少元时，该商品的月销售额()f x 最大？（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格.若该商品的均衡价格不小于每吨10元，求实数a 的取值范围.19. 已知函数2()ln ()f x ax x a R =+∈（1）当12a =时，求()f x 在区间[1,]e 上的最大值和最小值； （2）如果函数12(),(),()g x f x f x 在公共定义域D 上，满足12()()(),f x g x f x <<那么就称()g x 为12(),()f x f x 的“活动函数”.已知函数2221211()()2(1)ln ,()222f x a x ax a x f x x ax =-++-=+.若在区间(1,)+∞上，函数()f x 是12(),()f x f x 的“活动函数”，求实数a 的取值范围.20. 已知函数1()(2)(1)2ln ,(),()x f x a x x g x xea R -=---=∈，（1）当1a =时，求()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在1(0,)2上无零点，求a 的最小值；（3）若对任意给定的0(0,]x e ∈，在(0,]e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得0()()i f x g x =成立，求a 的取值范围.试卷答案一、填空题1. 22.33. (1,2)(2,)+∞U4. (0,1]5.必要不充分6. 12-7. c b a <<8. 1[,0]4-9.0 10. 3e - 11. 2(2,)3- 12. 1(0,)2 13. 19(0,1)(1,2][2,)⋃+∞U 14. 11(2,3](1,1){3}e e++U U 二、解答题15. {|25},0(3,)A x x m B m m =-≤≤>∴=-Q（1）2,(6,2){|22}m B A B x x ==-∴=-≤<I（2）要使B A ⊆，只要32253m m m -≥-⎧⇒≤⎨≤⎩，因为0m >，所以203m <≤ 16.（1）(2,2),-偶（2）25(6,]4- （3）(,lg 4)-∞17.（1）2()f x x bx c =++，因为图像与y 轴交点为(0,1)，所以1c =因为(1)(1)f x f x -=+，所以函数()f x 的图像关于直线1x =对称，所以2b =- 所以2()21f x x x =-+（2）因为22()21(1)f x x x x =-+=-所以22,1 ()|1|,1x x xg x x xx x x⎧-≥=-=⎨-<⎩当12m<≤时，2max()()g x g m m m==-当11222m+<≤时，max11()()24g x g==当122m+>时，2max()()g x g m m m==-综上2max21,021112(),42212,2m m mg x mm m m⎧-<≤⎪⎪⎪=<≤⎨⎪⎪+->⎪⎩（3）因为()2ln|1|h x x=-，所以(1)2ln||,(22)2ln|21|h x t x t h x x+-=-+=+当[0,1]x∈时|21|21x x+=+所以不等式等价于0||21x t x<-<+恒成立，解得131x t x--<<+，且x t≠由[0,1]x∈得1[2,1],31[1,4]x x--∈--+∈，所以11t-<<又,[0,1]x t t≠∉所以所求的实数t的取值范围是10t-<<18.（1）若32a=，由21y y≥得222243216x x x--+≥-，解得406x-≤≤因为214x<<，所以26x<≤设该商品的月销售额为()f x则12,26(),614y x x f x y x x <≤⎧=⎨<<⎩当26x <≤时，()(3216)f x x x =-所以max ()(6)1056f x f ==元当614x <<时，2()(2224)f x x x x =--+，则2()34224(8)(328)f x x x x x '=--+=--+由()0f x '>得8x <所以()f x 在(6,8)上是增函数，在(8,14)上是减函数当8x =时， max ()(8)1152f x f ==元max 10561152()(8)1152f x f <∴==Q 元（2）设212()(2)240g x y y x a x =-=++-因为8a ≥，所以()g x 在区间(2,14)上是增函数，若该商品的均衡价格不低于10元，即函数()f x 在区间[10,14)上有零点，所以(10)0(14)0g g ≤⎧⎨>⎩，解得8127a <≤ 又因为8a ≥，所以812a ≤≤答：（1）若32a =，商品的每吨价格定为8元时，该商品的月销售额最大，为1152元；（2）若该商品的均衡价格不小于每吨10元，实数a 的取值范围是812a ≤≤.19.（1）当12a =时，21()ln ,2f x x x =+定义域为(0,)+∞ 导函数1()0f x x x '=+>在(0,)+∞上恒成立，所以函数在(0,)+∞上单调增 所以()f x 在区间[1,]e 上单调增， 因为21(1),()122e f f e ==+，所以()f x 在区间[1,]e 上的最大值为212e +和最小值为12（2）由题意2211()()2ln 02f x f x x ax a x -=-+-< 且221()()()2ln 02f x f x a x ax x -=-+->，在区间(1,)+∞上恒成立令221()2ln (1)2g x x ax a x x =-+->，则2()()0x a g x x -'=-< 所以函数()g x 在(1,)+∞上单调减111(1)220224g a a a =-+∴-+≤∴≤Q 令221()()()()2ln 2h x f x f x a x ax x =-=-+-，则(1)[(12)1]()x a x h x x--+'= 又由(1,)x ∈+∞，且14a ≤ 易得(1)[(12)1]()0x a x h x x--+'=>，即()h x 在(1,)+∞上为增函数 则min ()(1)h x h =，只要使(1)0h ≥即可，即1202a a -+≥，解可得12a ≥- 综合可得1124a -≤≤20. （1）当1a =时，2()12ln ,()1f x x x f x x'=--∴=- 由()0f x '>时，得2x >，由()0f x '<时，得02x <<，故()f x 的单调减区间为(0,2]，单调增区间为[2,)+∞（2）因为()0f x <在区间1(0,)2上恒成立不可能，故要使函数()f x 在1(0,)2上无零点，只要对任意的1(0,),()02x f x ∈>恒成立，即对12ln (0,),221x x a x ∈>--恒成立 令2ln 1()2,(0,),12x l x x x =-∈-，则222ln 2()(1)x x l x x +-'=- 再令21()2ln 2,(0,),2m x x x x =+-∈ 则22(1)()0,x m x x --'=< 故()m x 在1(0,)2上为减函数，于是1()()22ln 202m x m >=-> 从而()0l x >，于是()l x 在1(0,)2上为增函数 所以1()()24ln 22l x l <=- 故要使2ln 21x a x >--恒成立，只要24ln 2a ≥-综上，若函数()f x 在1(0,)2上无零点，则a 的最小值为24ln 2-（3）1()(1)x g x x e -'=-当(0,1)x ∈时，()0g x '>函数()g x 单调递增 当(1,]x e ∈时，()0g x '<函数()g x 单调递减 又因为2(0)0,(1)1,()e g g g e e -===所以，函数()g x 在(0,]e 上值域为(0,1]，当2a =时，不合题意当2a ≠时，2(2)()2()a x a f x x ---'=当22x a =-时()0f x '=，由题意得，()f x 在(0,]e 上不单调，故202e a <<-，即22a e <- 此时，所以对任意给定的0(0,]x e ∈，在(0,]e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得0()()i f x g x =成立，当且仅当满足下列条件22()02ln 0(2)22()1(2)(1)21(3)f a a a f e a e ⎧⎧≤-≤⎪⎪⇒--⎨⎨⎪⎪≥---≥⎩⎩ 令22()2ln,2(1)2h a a a a e =-<-- 则2()002h a a a'=-=⇒=-或2a = 故当0a <时，()0h a '>函数()h a 单调递增；当202a e <<-时，()0h a '<函数()h a 单调递减所以，对任意22a e <-，有()(0)0h a h ≤=，即（2）式对任意22a e <-，恒成立，由（3）式解得32(4)1a e ≤--综合（1）（4）可知，当321a e ≤--时，对任意给定的0(0,]x e ∈，在(0,]e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得0()()i f x g x =成立。
2020届江苏省盐城市盐城中学高三上学期第一次月考数学试题(解析版)
2020届江苏省盐城市盐城中学高三上学期第一次月考数学试题一、填空题1 •已知集合A= x 1 x 1 , B 1,0,3 ，则AI B ___________________ 【答案】0【解析】根据交集的概念，求得两个集合的交集•【详解】交集是两个集合的公共元素组合而成，故 A B 0 .故答案为：0【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题2•设幕函数f （x）kx a的图像经过点（4,2），则k3【答案】-21【解析】由题意得k 1,2 4 丄k3223 .若命题“ ？t € R, t2 - a v 0”是真命题，则实数a的取值范围是【答案】（0,）【解析】命题"t R, t2- a v 0 ”是真命题,a>0,则实数a的取值范围是（0,）故答案为（0, + ）•4 .函数f(x) In(x 1) 42x的定义域为__________【答案】（1,2]【解析】【详解】由｛X 1 0可得，1 x 2，所以函数f （x） ln（x 1）、厂的定义域为1,2 2x0，故答案为1,2V 0-4( - a)> 0故答案为: 【点睛】【答案】24【解析】 首先根据等差数列的前 n 项和公式和等差中项，即可求出 差数列的通项公式和 89 30，即可求出a g ，进而求出cll 2的值.【详解】因为 S n 132，所以，=132，即 11 a 6 = 132，所以，a 6 = 122又 a 6 a 9 30，所以，8g = 18，因为 86 812 2a g ，所以，可求得： 3i 2 = 24【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的前 n 项的公式，熟练掌握通项公式和等差数列的前n 项的公式是解决本题的关键 . 7.定义在R 上的奇函数f(x)，当x 0时，f(x) 2xx 2，则f( 1) = _________ .【答案】 1【解析】由f x 为奇函数可得:5.已知角 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合，终边经过点P 1,2 ,则 sin2 【答案】【解析】 5根据三角函数定义求 cos和sin，最后代入公式sin 22sin cos 求【详解】 解：由题意可得OPcos品i,sin5y 2 2、57 5 ，sin22sin cos本题主要考查任意角的三角函数的定义, 属于基础题. 6 .已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为Sn ,S n132,a6a930, 则a i2的值为a 6的值，再根据等1 f 12 1 1，故答案为1.依题意,0,时，f xe x lnx 1x0恒成立，即也即aln x 1_在 x0,上恒成立，构造函数0，则，所以函数 h x 在区间0,1上递减，在区间1,上递增，在8 •已知函数f(x) 2sin(2 x )(0)的最大值与最小正周期相同，贝y 函数f(x)在 4［1,1］上的单调增区间为 _________ •1 3 【答案】［丄，二4 4【解析】试题分析：条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要” ).【答案】必要不充分 【解析】【详解】试题分析：r r 2 a //b (sin 2 ,cos ) / /(cos ,1) sin 2 cos cos 0或 2sin cos1r r1cos 0或tan，所以“ a//b ”是“ tan- ”成立的必要不充分条件【考点】向量共线10 •已知函数f(x) e x lnx ae x (a R),若f x 在0, 上单调递增，贝U 实数a的取值范围是 ______ . 【答案】,11构造函数h x In x — x 0，利用导数求得h x 的最小值，进而求得 a 的取值范x围• 【详解】由题意可知，函数 f (x) 2sin( x1 32k x -2k, k Z ，又x44上的单调递增区间为 [1 ,3].-)，令一2k 4 21[1,1]，所以 x4x 2k ，解得4 23，所以函数f(x)在［1,1］49 .设向量 a (sin2 ,cos ) , b(cos ,1)，则“ ；//b ”是 “ tan£ ”成立的【解析】对函数f x 求导，根据函数在 0,上单调递增列不等式， 分离常数a 后,4 4【考点】三角函数的图象与性质取得极小值也即是最小值，故h x h 1 1,所以a 1.故答案为： ,1 .【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性， 考查不等式恒成立问题的求解策略， 属于中档题• 11•如下图，在直角梯形 ABCD 中，AB//CD, ADC 90°, AB 4, AD ,2, E 为uuv umv nrt uuv uuuvBC 中点，若 AB AC 4，贝V AE BCuuuruuir得：A 0,0 ,B 4,0 ,C m, .2 ,C 0, ,2 ,则 AB 4,0 ,AC【答案】13 2【详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设CD m m 0，结合题意可uuu uuur 故AB AC 4m 4, m1，即 C 1, 2，则 E5 V 2 2, 2uuiu 5 uuLT据此有AE —,— ,BC2 2 uuiu uuu 3/2 ,AE BC22第5页共15页依题意, 由正弦定理得 b c ma ，由余弦定理得cosA2 2b c 2 2bc a 2m a2bc2bc2a2—2m 3，由于A 为锐x ax 012 •若函数y {，在区间2,2上有两个零点，则实数 a 的取值范x a ln x, x 0围为 ___________ • 【答案】0,2 In 2【解析】【详解】试题分析：由题设可知函数 的区间-..和区间--内分别有一个根:_ 」.■， - 与函数；--L J 在给定‘一仃兰0* 4 —a > 01 -a+hi2 > 0故答案0,2 In 2【考点】函数的图象及零点的确定. 【易错点晴】用问题•将问题等价转化为两个函数 .- 与函数；-二-吗■-芒:V 在给定的区间-^<0(-2,0］和区间(0=2〕内分别有一个零点的问题.然后建立不等式组4-0 >0,通— a + lii 2 > 0 过解不等式组从而获得答案 •13 •在 ABC 中，角A , B , C 所对的边分别是a , b , c ，已知sinB sinC msinA m R ，且a 2 4bc 0.且角A 为锐角，则 m 的取值范围是【详解】a >0,即^ <4a <2 2,所以本题设置了一道以分段函数的解析式a,x 0In x, x 背景的零点个数的综合应【解析】利用正弦定理化简 sinB sinC msinA m R ，利用余弦定理表示出 cosA ,根据A 为锐角列不等式，解不等式求得m 的取值范围22 3 2 _角，所以0 cosA 1，所以o 2m 3 1，即—m 2，由于m为正数，故2— m 2.26 _故答案为：6 2 .2【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理进行边角互化，考查不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.114 •已知函数f(x) 2tx ln(x n 2), g(x) t，若函数xh(x) 4x3 nx2 (1 n)x n 8在，上是增函数，且f x g x 0在定义3域上恒成立，则实数t的取值范围是_________ •1 2【答案】, U e22e【解析】根据h' x 0求得n的值，由此化简f x g x 0，利用分类讨论的方法，结合导数的知识列不等式，解不等式求得t的取值范围【详解】4 3 2由于函数h(x) x3 nx2(1 n)x n 8在3上是增函数，所以' 2h x 4x 2nx 1 n 0恒成立，故2 24n 16 1 n 0,即n 2 0,所以n2.故f x g x 0 即2tx l nx 2tx ln x02tx ln x 01 t0①，或1②. t 0x2t In xx由①得tx③,1构造函数m xx1-t 0在0, 上恒成立，等价于xln x 小ln x 1 十，x 0 , m x2,所以m xx x在0,e上m x 0 , m x递减，在e, 上m x 0 , m x递增，最小值为1-,所以③等价于e 1e，解得t丄2e【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数在实数范围内单调的问题, 恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，难度较 大，属于难题 二、解答题2 215 .已知集合 A x | x 3x 20，集合B y y x 2x a ，集合2C x|x ax 4 0，命题 p ： A B ，命题 q: A C .(1) 若命题P 为假命题，求实数a 的取值范围； (2)若命题P q 为假命题，求实数 a 的取值范围.【答案】(1) a 3; (2) ( ,0) (3,)【解析】先求出集合A x 1 x 2和B {y | y a 1}；(1) 由题意得A B=，由集合的交集运算得 a 的取值范围；(2) 先求出P q 为真命题时a 的取值范围，从而求出 P q 为假命题时a 的范围.【详解】••• y2小 /x 2x a (x 1)2a 1 a 1 , •••集合B{y|y a 1},集合 A x x 2 3x 2x 1 x 2 ，集合Cx 2 x ax 4 0(1) 由命题P 是假命题，可得A B =即得a 1 2, • a 3.(2) 当Pq 为真命题时,p,q 都为真命题, 即 A B，且 AC ,2t由②得tIn xx④.由也2x1 解得x1 .根据m X 和y -的单调性可知，当e "且仅当t2e 时，④成立.综上所述, t 的取值范围是丄2e故答案为—U e 2 2e考查利用导数求解不等式a 1 2 a 3 1 a 4 0 a3，解得0a 3.22 2a 4 0a 0p q 为假命题时，a 0 或 a 3，••• a 的取值范围是：（,0） （3,）【点睛】 本题考查了集合交集的运算，考查了复合命题为假命题的应用，二次函数的性质，属于 基础题•116. ABC 中，角A , B, C 所对边分别是 a 、b 、c ,且cos A -.3B C（1）求 sin 2cos2A 的值；2⑵若a ,3，求△ ABC 面积的最大值.【答案】（1）B C【解析】（1）将sin 2cos2A 化简代入数据得到答案•29（2）利用余弦定理和均值不等式计算 bc ，代入面积公式得到答案4则厶ABC 面积为IbcsinA 1 - 乙2 土22 2 43 43—时，△ ABC 的面积取得最大值 * •24【点睛】 本题考查了三角恒等变换，余弦定理，面积公式，均值不等式，属于常考题型,.2B C. 2A 1 sincos2A sin -222 A 2八 ,1 cosAcos2cos A 1 -22,11 -」2 1 1 -；29 9⑵由cosA1 ，可得si nA i 门392、2 3 < b 2 c 2 2be 2bc - bc -bc ,3 3 3即有bc < 3 a 249-，当且仅当bc 3，取得等号即有b【详解】由余弦定理可得a 2 b 2 c 22cos 2 A 12cos 2A 1UU UT UULT2 UUUAB31UUUTUULTACUUUAB1UULT一2 UUU 2一AB1 UUUUULT-AB AC3(2) UUUAB1 2 cos120UUUTtCDUULTCD13UUUAB3 'UUUCDUULTADUUUBCUUU Q CD 2 UUUCB3UULTUUU ABACUUT 2BCUU U CD 2 UUUCB328UUUUUUT Q AB CD UUU 2 UUU 2UULTAB AB AC3 3UUU2CD2 UUU 2-AB2 UUUTUUUAC AB3cos120 717 .如图，在ABC 中，BAC 120 , AB 2 , AC 1, D 是边BC 上一点, lur uuu DC 2 BD .uuu UULTLUUT(2)若AB tCD CD8 15【答案】（1）（2）t3 14UULT UUU UUU UUUT【解析】（1 ）将AD,BC都转化为用AB, AC为基底表示，根据向量数量积的运算，求/ 曰UUUT UUU得AD BC的值•UUU UUTUULT UUU UUUT AB CD UUU （2）将原方程AB tCD CD 0转化为t LUU 2，同（1）的方法，将CD转化CDUUU UULT为用AB,AC为基底表示，根据向量数量积和模的运算，求出t的值.【详解】UU UU（1）Q D是边BC上一点，DC2BDUU1UU1UUL UUUBD BC AC AB33UUL UU1UU UUU2AD AB1AC AB-AB330 ,求实数t的值.31 UUU T AC3制，和圆的直径，求得的取值范围.(2)利用导数求得 W 的单调区间，进而求得当 为何值时， W 取得最小值.【详解】(1)设C 为弧AB 的中点，连结OA , OC , OB ，则OA AD8 21 2 cos120 3 3 10 T15 14【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理, 数学思想方法，属于中档题 • 18 .某公园为了美化环境和方便顾客,考查向量数量积和模的运算， 考查化归与转化的计划建造一座圆弧形拱桥，已知该桥的剖面如图 所示，共包括圆弧形桥面 ACB 和两条长度相等的直线型路面 AD 、BE ,桥面跨度DE 的长不超过12米，拱桥ACB 所在圆的半径为3米，圆心O 在水面DE 上，且AD 和BE 所在直线与圆O 分别在连结点 A 和B 处相切•设 ADO，已知直线型桥面每米修4a 一 兀•3W 元，求W 关于的函数(2)当为何值时，桥面修建总费用W 最低？【答案】 (1) 3cos W 2a 4sin【解析】 (1) 设C 为弧AB 的中点，连结OA , OC , OB ，通过解直角三角形以及弧长公式， 求得AD,A C 的长，由此计算出修建总费用 W 的表达式，根据 DE 长度的限在OAD 中，ADtan又因为 AOC ADO 3cossin，所以弧AC 长为I 3关系式; )的修建总费用为当孑3时，f，函数f 单调递减;当一，一时，fo ，函数f 单调递增;2 2所以当 时，函数f取得最小值，此时桥面修建总费用最低 •3【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的最值， 考查函数在在实际生活中的运用, 计算，属于中档题•X1 19•已知函数 f (x) axlnx (1 a)x a (a R).22(1) 当a 1时，求函数f x 在x 1处的切线方程； (2) 当a 0时，证明：函数 f x 只有一个零点； (3) 若函数f x 的极大值等于0 ,求实数a 的取值范围 【答案】(1) y 0 (2)证明见解析(3),1【解析】(1)求得函数在x 1处的导数，由此求得切线方程所以W4a ~3込 a 2a 4 sin 3cos sin当DE6时,2 ；当 DE12时,6，所以62a , 3cos4sin3_~2sin4sin 2；~2 sin3，令考查弧长的所以W(2)通过求f X的二阶导数，研究其一阶导数，进而求得函数 f X的单调区间，由此证得函数f X只有一个零点•(3)当a 0时根据(2)的结论证得结论成立.当a 0，根据f x的二阶导数，对a分成0 a 1,a 1,a 1三种情况，利用f 的一阶导数，结合零点的存在性定理,求得实数a的取值范围.【详解】x2(1)当a 1 时，f x xl nx2In x 1所以f x在x 1处的切线方程为y0.(2) f x alnx x 1 x 0，令g x aln x x当a 0时, x在0, 上单调递减，又所以当x0,1 时，f x x单调递增，当x1,时，f单调递减所以0,所以f只有一个零点x 1 .(3)①当a 0时, 由(2)知, x的极大值为f 10，符合题意;②当a 0时，令g x 0,得a，当x 0,a 时,单调递增,a, 时, x单调递减，注意到(i)当01a1 时，g a g 1 0,又g e a1e a0.所以存在X10,a，使得g x1 0，当x 0,为时,单调递减，当x 为，1时，g x x单调递增，当x 1, 时, x 0 , f x单调递减，所以 f x的极大值为f 1 0，符合题意; (ii)当a 1 时，g x0恒成立，f x在0, 上单调递减, 无极值，不合题意;(iii)当a 1 时，g a g 1 0,又g 2 aa e 1，令2xX 1 0, x 在1,上单调递减，e 'X所以 x1-1，所以 g e a a 2 e a 1 0,e存在x 2 a,使得 g X 2 f X 2 0,当 x 0,1时,f x 0, f x 单调递减，当X 1,x 2 时，f x 0, f x 单调递增，当 X X 2,时，f x 0, f x 单调递减，所以f X 的极大值为f X 2 ,且f X 2 f 1 0,不合题意.综上可知， a 的取值范围是,1 .【点睛】本小题主要考查利用导数求切线的斜率， 考查利用导数研究函数的零点， 考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，综 合性较强，属于难题•2 *20.已知正项数列 a n 的前n 项和为S n ，且a n 2a n 4S n 1 n N .和 5 , 4 , 3, 2 , 1.(2)由(1 )求得S n 的表达式，然后利用裂项求和法求得 较法证得数列 T n 递增，进而求得T n 的取值范围(3)先判断出数列 C n 的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数•然后假设抽出的数列中(1) 求数列 a n 的通项公式;(2) 若b na n 1-，数列b n 的前n 项和为T n ，求T n 的取值范围;S 2n 1 S 2n 1(3) 若C n1-a n 1 , n 为奇数*2n N ,从数列C n 中抽出部分项(奇数项与偶n22, n 为偶数数项均不少于两项)，将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列 •当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列【答案】(1) a n 2n1( 2) T n1 (2n 1)22,丄(3) 1, 2 , 3, 4 , 59 4【解析】(1)利用a nS 1, n 1S nS n 1, n，求得数列a n 的通项公式•b n 的前n 项和T n .利用差比有三个偶数，推出矛盾，由此证得偶数只有两项 •进而证得奇数最多有 3项•由此求得所有满足条件的等差数列. 【详解】n, n 2k 1（3） C n n22, n 2k设奇数项取了 s 项，偶数项取了 k 项，其中s ，k N *，s 2，k 2.2 2 a n 1an22a n 1 2 a n 4a . 1，即 a n 12a n 2 a n 1 a n 0 ,即a n 1 a n2a n 1 a n因为数列 a n 各项均为正数,所以 a n 1 a n 0，所以 a n 1a n 2所以数列 a n 是以1为首项, 2为公差的等差数列•因此，a n1 2(n 1) 2n1，即数列a n 的通项公式为a n 2n 11，两式相减, 得12an 14Sn 由 a ； 2a n 4S n 1，得 a ； 12(1)当 n 1 时，由 a ； 2a n24S n 1，得 a 1 2a 1 4a 11，得 a i1，(2)由1） 知 a n2n 1，所以S nn(1 2n 1)2n所以b na n 1S2n 1 S2n 12n (2n 1)2(2 n 1)21 (2n 1)21 (2n 1)2所以T n2n(2n 1)2(2n1)21 1 3232(2n1(2n 1)2411 (2n 1)2令 f (n)(2n 1)2，则f(n 1)f(n) 1 2(2n 1)(2n 3)28(n 1)(2n 3)2(2n1)2 0 所以f n是单调递增数列，数列 T n 递增,所以T n T 1-，又T n -，所以T n 的取值范围为 9 4因为数列 c n 的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数 假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数 设抽出的三个偶数从小到大依次为2i ， 2j ， 2p 1 i j p ，2 j 2 P又2——— 2j 1 2P 1为奇数，而j 2， p 3，则2j 1与2P 1均为偶数，矛盾。
江苏省盐城市高三上学期数学第一次月考试卷
江苏省盐城市高三上学期数学第一次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）(2019·江南模拟) 已知集合，（为整数集），则（）A .B .C .D .2. （2分）(2020·随县模拟) 设，，，则，，的大小关系是（）A .B .C .D .3. （2分）若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i，则a=（）A . -1B . 0C . 1D . 24. （2分）(2018·保定模拟) 已知向量，向量，函数，则下列说法正确的是（）A . 是奇函数B . 的一条对称轴为直线C . 的最小正周期为D . 在上为减函数5. （2分）(2020·天津模拟) 已知是定义在R上的偶函数且在区间单调递减，则（）A .B .C .D .6. （2分）下面四个命题中正确的是：（）A . “直线a,b不相交”是“直线a,b为异面直线”的充分非必要条件B . “平面”是“直线l垂直于平面内无数条直线”的充要条件C . “a垂直于b在平面内的射影”是“直线”的充分非必要条件D . 直线a平行于平面内的一条直线”是“直线平面”的必要非充分条件7. （2分） (2016高一下·惠阳期中) 在△ABC中，∠A= ，AB=2，且△ABC的面积为，则边AC的长为（）A . 1B .C . 2D . 38. （2分）下列函数中，周期为π的奇函数是（）A . y=sinxB . y=sin2xC . y=tan2xD . y=cos2x9. （2分） (2017高一下·长春期末) 若x, y满足约束条件 ,则z=x+2y的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）若函数f（x）满足f′（x）﹣f（x）=2xex ， f（0）=1，其中f′（x）为f（x）的导函数，则当x＞0时，的最大值为（）A .B . 2C . 2D . 4二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分） (2016高二上·重庆期中) 过直线x=4上动点P作圆O：x2+y2=4的两条切线PA，PB，其中A，B 是切点，则下列结论中正确的是________．（填正确结论的序号）①|OP|的最小值是4；② • =0；③ • =4；④存在点P，使△OAP的面积等于；⑤任意点P，直线AB恒过定点．12. （1分） (2019高一上·石河子月考) 已知函数 .（1）作出函数的图象；（2）由图象写出函数的单调区间.13. （1分）函数的最大值与最小值之和为________14. （1分） (2016高一上·宿迁期末) 已知方程3x+x=5的根在区间[k，k+1）（k∈Z），则k的值为________15. （1分） (2018高一上·台州期中) 已知f（x）=9x-t•3x ，，若存在实数a，b同时满足g （a）+g（b）=0和f（a）+f（b）=0，则实数t的取值范围是________．16. （1分） (2019高一上·启东期中) 正数满足，则的值为________．17. （1分）设向量，不平行，若向量λ+与﹣2平行，则实数λ的值为________三、解答题 (共5题；共50分)18. （10分） (2017高一上·蓟县期末) 已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+ ）+a（ω＞0）图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求a和ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．19. （10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=， b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．20. （10分） (2018高一下·沈阳期中) 已知向量且（1）求及；（2）若的最小值是，求实数的值.21. （10分） (2016高一上·宿迁期末) 已知函数f（x）=1﹣为定义在R上的奇函数．（1）求f（x）的解析式；（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；（3）若f（lnm）+f（2lnn）≤1﹣3lnm，求实数m的取值范围．22. （10分）(2018·茂名模拟) 已知 .（1）讨论的单调性；（2）若有三个不同的零点，求的取值范围.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共7分)11-1、12-1、12-2、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共50分)18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。
江苏省盐城市盐城中学2024届高三11月月考数学试题
B． ln (2b - a +1) > 0
C． ln a - 2b > 0
D． ln a - 2b < 0
7．已知函数 f (x) 的定义城为 R，且满足 f (- x) = f ( x) ， f (x) + f (4 - x) = 0 ，且当
x Î[0, 2] 时， f (x) = x2 - 4 ，则 f (2023) = （ ）
无法确定 a - 2b 与1的大小，故 ln a - 2b 与 0 的大小无法确定，CD 都错. 故选：B. 7．A
【分析】根据题目条件得到 f (x) = f ( x - 8) ，故 f ( x) 的一个周期为 8，从而得到
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f (2023) = f (-1) = f (1) ，计算出 f (1) = -3 ，得到答案. 【详解】因为 f (-x) = f (x) ，所以 f éë-(4 - x)ùû = f (4 - x) ，即 f ( x - 4) = f (4 - x) ， 又 f (x) + f (4 - x) = 0 ，故 f (x) + f ( x - 4) = 0 ，即 f (x) = - f ( x - 4) ①， 用 x - 4 代替 x 得 f (x - 4) = - f ( x - 8) ②， 由①②得 f (x) = f ( x - 8) ，故 f ( x) 的一个周期为 8， 故 f (2023) = f (8´ 253 -1) = f (-1) ，
2x + sin x
是奇函数，排除 A；
x=π 当 时，
f
(π0) =
- lnπ 2π
<
，排除 C；
当1 <
2019-2020学年江苏省盐城市高三(上)期中数学试卷试题及答案(Word版)
2019-2020学年江苏省盐城市高三（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．已知集合2{|10}A x x =-=，[0B =，)+∞，则AB = ．2．已知角α的始边为x 轴的正半轴，点(1P ，是其终边上一点，则cos α的值为 ． 3．“1x >”是“2x >”的 条件．4．若向量(,)a l m =，(3,2)b =，//a b ，则实数m 的值为 ．5．函数y =的定义域为 ．6．若函数()y f x =为奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x =+，则(7)f -的值为 ． 7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若35S S =，且公差0d ≠，则1a d的值为8．若4sin()5πα+=-，则cos 2α的值为 ．9．若函数()sin f x x x =的图象关于直线x a =对称，则||a 的最小值是 ． 10．若函数221,0(),0x ax x a x f x e x ⎧++-<=⎨⎩…在(1,)-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 ．11．若数列{}n a 满足121a a ==，32a =，则数列1{}n n a a +是等比数列，则数列{}n a 的前19项和的值为 ．12．如图，在ABC ∆中，AB ，AC =23AD AB =，13AE AC =，DM ME =，BN NC =，若MN BC ⊥，则cos A 的值为 ．13．在ABC ∆中，1AC =，AB =D 为BC 的中点，2CAD BAD ∠=∠，则BC 的长为 ． 14．设函数32()|23|f x x x a =--，若对任意的实数a ，总存在0[0x ∈，2]，使得0()f x m …，则实数m 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．若函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，0)2πϕ<<的图象经过点，且相邻的两个零点差的绝对值为6．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 的图象向右平移3个单位后得到函数()g x 的图象，当[1x ∈-，5]时，求()g x 的值域．16．设p ：“x R ∀∈，sin 2n x a +…”； q ：“2()f x x x a =--在区间[1-，1]上有零点．” （1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p q ∨为真命题，且p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．17．如图所示是某社区公园的平面图，ABCD 为矩形，200AB =米，100BC =米，为了便于居民观赏花草，现欲在矩形ABCD 内修建5条道路AE ，DE ，EF ，BF ，CF ，道路的宽度忽略不计，考虑对称美，要求直线EF 垂直平分边AD ，且线段EF 的中点是矩形的中心，求这5条路总长度的最小值．18．如图，在ABC ∆中，5AB =，4AC =，点D 为ABC ∆内一点，满足2BD CD ==，且50AB AC DB DC +=．（1）求sin sin ABCBCD∠∠的值；（2）求边BC 的长．19．在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次拓展．如数列1，2，经过第1次拓展得到数列1，3，2；经过第2次拓展得到数列1，4，3，5，2；设数列a ，b ，c 经过第n 次拓展后所得数列的项数记为n P ，所有项的和记为n S ． （1）求1P ，2P ，3P ；（2）若2019n P …，求n 的最小值；（3）是否存在实数a ，b ，c ，使得数列{}n S 为等比数列，若存在，求a ，b ，c 满足的条件；若不存在，请说明理由．20．设函数()(1)x f x e x x a =---，a 为常数．（1）当0a =时，求函数()f x 的图象在点(0P ，(0))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ； ①当a Z ∈时，求a 的最小值； ②当1a =时，求12x x +的值．2019-2020学年江苏省盐城市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．已知集合2{|10}A x x =-=，[0B =，)+∞，则AB = {1} ．【解答】解：集合2{|10}{1A x x =-==-，1}，[0B =，)+∞， {1}AB ∴=．故答案为：{1}．2．已知角α的始边为x 轴的正半轴，点(1P ，是其终边上一点，则cos α的值为 3．【解答】解：角α的始边为x 轴的正半轴，点(1P ，是其终边上一点，则1cos3α==， 故答案为：13．3．“1x >”是“2x >”的 必要不充分 条件．【解答】解：若“1x >”，则“2x >”不成立，反之，“2x >”时“1x >”，成立， 故答案为：必要不充分．4．若向量(,)a l m =，(3,2)b =，//a b ，则实数m 的值为 3． 【解答】解：向量(,)a l m =，(3,2)b =， 当//a b 时，1230m ⨯-=， 解得23m =． 故答案为：23．5．函数y =的定义域为 [2，)+∞ ．【解答】解：要使函数有意义，则21log 0x -+…得2log 1x …得2x …， 即函数的定义域为[2，)+∞， 故答案为：[2，)+∞．6．若函数()y f x =为奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x =+，则(7)f -的值为 3- ．【解答】解：()f x 为奇函数，且0x >时，2()log (1)f x x =+，(7)f f ∴-=-（7）2log 83=-=-．故答案为：3-．7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若35S S =，且公差0d ≠，则1a d 的值为 2【解答】解：由35S S =，且公差0d ≠， 11543352a d a d ⨯∴+=+，可得：1270a d +=． 则172a d =-． 故答案为：72-．8．若4sin()5πα+=-，则cos 2α的值为 25． 【解答】解：4sin()5πα+=-，可得4sin 5α=， 2167cos 212sin 122525αα=-=-⨯=-． 故答案为：725-．9．若函数()sin f x x x =的图象关于直线x a =对称，则||a 的最小值是6．【解答】解：函数1()sin 2(sin )2sin()23f x x x x x x π==-=- 的图象关于直线x a =对称， 则32a k πππ-=+，即56a k ππ=+，k Z ∈． 令1k =-，可得||a 的最小值是6π，故答案为：6π．10．若函数221,0(),0x ax x a x f x e x ⎧++-<=⎨⎩…在(1,)-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 [0，1] ．【解答】解：根据题意，函数221,0(),0x ax x a x f x e x ⎧++-<=⎨⎩…在(1,)-+∞上是增函数，当0a =时，21,0(),0x x x f x e x +<⎧=⎨⎩…，满足在(1,)-+∞上是增函数，0a <时，不满足题意；当0a >时，必有021211a a a >⎧⎪⎪--⎨⎪-⎪⎩……，解可得：01a <…；故a 的取值范围为01a 剟； 故答案为：[0，1]．11．若数列{}n a 满足121a a ==，32a =，则数列1{}n n a a +是等比数列，则数列{}n a 的前19项和的值为 1534 ．【解答】解：数列1{}n n a a +是等比数列， ∴11n n n n a a q a a +-=即11n n aq a +-=， 121a a ==，32a =，∴312a q a ==， 则数列{}n a 的奇数项和偶数项分别成公比为2的等比数列，且奇数项分别为1，2，4，8⋯ 偶数项分别为1，2，4，8⋯前19项和的910899101212(1242)(1242)22215341212--++++⋯+++++⋯+=+=+-=-- 故答案为：153412．如图，在ABC ∆中，AB，AC =23AD AB =，13AE AC =，DM ME =，BN NC =，若MN BC ⊥，则cos A【解答】解：连接DN 、EN ，DM ME =，则M 是线段DE 中点，2NM ND NE ∴=+， BN NC =，23AD AB =，∴23CB BA ND NB BD =+=+， 同理223BC CA NE NC CE =+=+，2233BA CANM ND NE ∴=+=+， 由CB CA AB CA BA =+=-，22()()33BA CAMN CB CA BA ∴=+- 2222cos 22333333BA CA A CA BA BA CA CA BA=--=--，若MN BC ⊥，AB =AC =∴0=，cos A ∴=．13．在ABC ∆中，1AC =，AB =D 为BC 的中点，2CAD BAD ∠=∠，则BC 的长为【解答】解：在ABD ∆中，由正弦定理，有sin sin BD ABBAD ADB=∠∠，∴sin ADB ∠=， 在ADC ∆中，由正弦定理，有sin sin AC DC ADC CAD =∠∠，∴sin sin CADADC DC∠∠=． D 为BC 的中点，2CAD BAD ∠=∠，∴sin 22sin cos BAD BAD BAD BAD ∠=∠=∠∠，∴cos BAD ∠=∴4BAD π∠=，2CAD π∠=，∴34BAC π∠=， ∴由余弦定理，有2222?cos BC AB AC AB AC BAC =+-∠221()5=+--=，BC ∴=．．14．设函数32()|23|f x x x a =--，若对任意的实数a ，总存在0[0x ∈，2]，使得0()f x m …，则实数m 的取值范围是 5(,]2-∞ ．【解答】解：设()f x 的最大值是M （a ）， 令32()23g x x x a =--， 则2()666(1)g x x x x x '=-=-，故()g x 在[0，1)递减，在(1，2]递增， 故()min g x g =（1）1a =--， 而(0)g a g =-<（2）4a =-， 故()[1g x a ∈--，4]a -， 由1402a a --+-=，解得：32a =，①32a …时，M （a ）|1|1a a =--=+，②32a <时，M （a ）|4|4a a =-=-， 故M （a ）31,234,2a a a a ⎧+⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩…， 故M （a ）52min =，故52m …， 故答案为：(-∞，5]2．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．若函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，0)2πϕ<<的图象经过点，且相邻的两个零点差的绝对值为6．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 的图象向右平移3个单位后得到函数()g x 的图象，当[1x ∈-，5]时，求()g x 的值域． 【解答】解：（1）()f x 相邻的两个零点差的绝对值为6，记()2sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的周期为T ，则62T=， 又2T πω=，∴6πω=，∴()2sin()(0)62f x x ππϕϕ=+<<；()f x的图象经过点，∴(0)2sin )2f πϕϕ==<<，∴3πϕ=，∴函数()f x 的解析式为()2sin()63f x x ππ=+．（2）将函数()f x 的图象向右平移3个单位后得到函数()g x 的图象，由（1）得，()2sin()63f x x ππ=+，∴函数()g x 的解析式为()2sin[(3)]2sin()6366g x x x ππππ=-+=-；当[1x ∈-，5]时，2[,]6633x ππππ-∈-，则2sin()[66x ππ-∈． 综上，当[1x ∈-，5]时，()g x的值域为[．16．设p ：“x R ∀∈，sin 2n x a +…”； q ：“2()f x x x a =--在区间[1-，1]上有零点．” （1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p q ∨为真命题，且p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）p 为真命题，则2(sin )max a x +…，1a ∴-…；（2）p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p ，q 一真一假，若q 为真命题，则2a x x =-在[1x ∈-，1]在有解， 又2y x x =-，[1x ∈-，1]的值域为1[,2]4-，∴124a -剟．①p 真q 假，1124a a a -⎧⎪⎨-⎪⎩或…， 则1214a a >-<-或…．②p 假q 真，1124a a <-⎧⎪⎨-⎪⎩剟，则a ∈∅．综上，实数a 的取值范围是1[1,)(2,)4--+∞．17．如图所示是某社区公园的平面图，ABCD 为矩形，200AB =米，100BC =米，为了便于居民观赏花草，现欲在矩形ABCD 内修建5条道路AE ，DE ，EF ，BF ，CF ，道路的宽度忽略不计，考虑对称美，要求直线EF 垂直平分边AD ，且线段EF 的中点是矩形的中心，求这5条路总长度的最小值．【解答】解：解法一：设((0,))2ADE πθθ∠=∈，过E 作EH AD ⊥于H ，EF 垂直平分AD ，∴1502DH BC ==（米)，∴50cos DE θ=（米)，50tan EH θ=（米)， 又EF 的中点是矩形ABCD 的中心，2002200100tan EF EH θ∴=-=-（米)，记这5条路总长度为()f θ（米)， 则50()4200100tan ((0,))cos 2f πθθθθ=+-∈， 即2sin ()200100((0,))cos 2f θπθθθ-=+∈， ∴2(2sin )cos (2sin )(cos )()100cos f θθθθθθ''---'=，化简得22sin 1()100cos f θθθ-'=，由()0f θ'=，可得6πθ=， 列表如下：由上表可知，当6πθ=时，()f θ取最小值2()20010020063f π=+=+)．答：5条道路的总长度的最小值为200+（米)．解法二：过E 作EH AD ⊥于H ，设EH x =（米)( 0100)x <<． 因EF 垂直平分AD ，故1502AH BC ==（米)， 又EF 的中点是矩形ABCD 的中心，2002EF x ∴=-（米)；在Rt AEH ∆中，AE =（米)，由对称性可得，AE DE CF BF ====（米)；记这5条路总长度为()f x （米)，∴()2002,(0100)f x x x =-<<，∴()f x '==，令()0f x '=，解得x =． 列表如下：答：5条道路的总长度的最小值为200+米．18．如图，在ABC ∆中，5AB =，4AC =，点D 为ABC ∆内一点，满足2BD CD ==，且50AB AC DB DC +=．（1）求sin sin ABCBCD∠∠的值；（2）求边BC 的长．【解答】解：（1）设BC a =，AC b =，AB c =， 由50AB AC DB DC +=，得54cos 522cos 0A D +=，即cos cos A D =-， 又A ，D 为三角形的内角，所以sin sin A D =； 在ABC ∆中，由sin sin a b A ABC =∠，得4sin sin a A ABC=∠； 同理2sin sin a D BCD =∠， 所以42sin sin ABC BCD=∠∠， ∴sin 2sin ABCBCD∠=∠；（2）在ABC ∆中，由余弦定理得22222225441cos 225440b c a a a A bc +-+--===，同理28cos 8a D -=，由（1）可得22418408a a --=-，解得BC a ==19．在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次拓展．如数列1，2，经过第1次拓展得到数列1，3，2；经过第2次拓展得到数列1，4，3，5，2；设数列a ，b ，c 经过第n 次拓展后所得数列的项数记为n P ，所有项的和记为n S ． （1）求1P ，2P ，3P ；（2）若2019n P …，求n 的最小值；（3）是否存在实数a ，b ，c ，使得数列{}n S 为等比数列，若存在，求a ，b ，c 满足的条件；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因原数列有3项，经第1次拓展后的项数1325P =+=；经第2次拓展后的项数2549P =+=； 经第3次拓展后的项数39817P =+=．（2）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，由数列经第n 次拓展后的项数为n P ，则经第1n +次拓展后增加的项数为1n P -， 所以1(1)21n n n n P P P P +=+-=-， 所以11222(1)n n n P P P +-=-=-，由（1）知114P -=，所以111422n n n P-+-==， ∴121n n P +=+，由1212019n n P +=+…，即122018n +…，解得10n …， 所以n 的最小值为10．（3）设第n 次拓展后数列的各项为a ，1a ，2a ，3a ，⋯，m a ，c ， 所以123n m S a a a a a c =++++⋯++，因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，所以11112223()()()()n m m S a a a a a a a a a a a c c +=+++++++++⋯++++， 即11223332n m S a a a a c +=+++⋯++，所以13()n n S S a c +=-+， 得1232S a b c =++，25155S a b c =++，3144514S a b c =++， 因为数列{}n S 为等比数列，所以3212S S S S =，可得0a c +=， 则12323S a b c b =++=，由10S ≠得0b ≠， 反之，当0a c +=且0b ≠时，13n n S S +=，0n S ≠，13n nS S +=，所以数列{}n S 为等比数列， 综上，a ，b ，c 满足的条件为0a c +=且0b ≠． 20．设函数()(1)x f x e x x a =---，a 为常数．（1）当0a =时，求函数()f x 的图象在点(0P ，(0))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ； ①当a Z ∈时，求a 的最小值；②当1a =时，求12x x +的值．【解答】解：（1）当0a =时，()(1)x f x e x x =--，()1x f x xe ∴'=-，(0)1k f ∴='=-，(0)1f =-，∴函数()f x 的图象在点(0P ，(0))f 处的切线方程为1(0)y x +=--，即10x y ++=；（2）①()(1)x f x e x x a =---，()1x f x xe ∴'=-，f '（1）10e =->，(0)10f '=-<，∴存在0(0,1)x ∈使得0()0f x '=，即0010x x e -=，当0(,)x x ∈-∞时，()0f x '<，当0(x x ∈，)+∞时，()0f x '>， ∴函数()f x 在0(,)x -∞单调递减，在0(x ，)+∞上单调递增，0000001()()(1)1x min f x f x e x x a a x x ∴==---=---， 函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ， ()0min f x ∴<，00110a x x ∴---<， 0011()a x x ∴>-+， 1y x x =+在(0,1)上单调递减，2y ∴>，即0012x x +>， 0011()121x x -+<-=-， 1a ∴-…，∴当a Z ∈时，a 的最小值为1-．②当1a =时，()(1)1x f x e x x =---， 函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ， 可得1x ，2x 为()0f x =的两根， 由()0f x =，即(1)10x e x x ---=， 可得101x x e x +=>-，即有1x >或1x <-，若m为()0f x=的一个根，即有11mmem+=-，则111mmmee m--==+，可得m-也满足11xxex+=-，可得120x x+=．。
盐城中学高三年级数学月考试卷1
2n n nx2 y2江苏省盐城中学 2021 届高三年级第一次阶段性质量检测正确的有( )数学A.点P 的横坐标为20B.△PFF 的周长为803 1 2 3C.∠FPF小于πD.△PFF的内切圆半径为3无锡韩杰整理2020.09 1 2 3 1 2 4一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M = x|-1<x<2，N = x|1≤x≤3，则M∩N= ()A.-1,3B.-1,2C.1,2D.2,32.已知直线l:x-2y+a -1= 0与圆x-12+y+22= 9相交所得弦长为4，则a = ()A. 1 或2B. 1 或-9C. 1 或-2D. 1 或912.若存在实常数k和b，使得函数F x和G x对其公共定义域上的任意实数x都满足：F x≥kx+b和G x≤kx+b恒成立，则称此直线y= kx+b为F x和G x的“隔离直线”，已知函数f x= x 2x∈R，g x=1x<0，h x= 2e ln x(e 为自然对数的底数)，则()xA.m x= f x-g x在x∈-1,0内单调递增；323.设x、y∈R，则“|x|≤4且|y|≤3”是“+≤1”的()B.f x和g x之间存在“隔离直线”，且b的最小值为-4；C.f x和g x之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是-4,1；16 9A.必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.关于二次函数y= 2x2+4x-1，下列说法正确的是()A.图像与y轴的交点坐标为0,1B.图像的对称轴在y轴的右侧C.当x<0时，y的值随x值的增大而减小D. y 的最小值为-3D.f x和h x之间存在唯一的“隔离直线”y= 2 e x-e.三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.13.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)= 2x f(e)+ln x，则f(e)等于．14.关于x的不等式x2-ax+b<0的解集为x|1<x<2，则不等式bx+a >5的解集为．5.在数列{a }中，a =1，a = 1-1(n≥2，n∈N)，则a= ( )15.已知F ，F是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且PF>PF，线段PF 的垂直平分线过F ，n 1 2 n a n - 1+ 2020 1 2 1 2 1 2A.1B.2C. -1D. 2若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则e1+e2的最小值为．22216.若ln x1-x1-y1+2= 0，x2+2y2-4-2ln2= 0，当x2= 时,(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为.6.函数y= x -2ax-8a (a >0)，记y≤0的解集为A，若-1,1⊆A，则a 的取值范围()( 第一个空3 分，第二个空2 分)A.1,+∞B.1,+∞C.1,1D.1,12 4 4 2 4 2四、解答题：本题共6 小题，共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.7.如果关于x的不等式x3-ax2+1≥0在-1,2上恒成立，则实数a 的取值范围为()17.已知二次函数f x= ax2+b-2x+3，且-1,3是函数f x的零点.A.a ≤322B. a ≤2C. a ≤0D. a ≤1(1)求f x 解析式；(2)解不等式f x≤3.8.过抛物线E:y2= x的焦点F任作两条互相垂直的直线l1，l2，分别与抛物线E交于A，B两点和C，D两点，则AB+4C D的最小值为()A. 4B. 9C. 5D. 8二、多选题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得 3 分，有选错的得0 分.9.若等比数列a n的公比为q，前4项的和为a1+14，且a2，a3+1，a4 成等差数列，则q的值可能为()18.记S 为数列a的前n 项和，已知S = n2 + 2n．A.12B. 1C. 2D. 3(1)求数列a n 的通项公式；110.设正实数a,b满足a +b= 1，则()(2)若a n b n= 1，求满足b1b2+b2b3+⋯+b n b n+ 1<7的正整数n的最大值．111A.a+b有最小值4 B. ab 有最小值2221C. a + b 有最大值 2D. a + b 有最小值2211.已知点P 是双曲线E :16-29= 1的右支上一点，F1F2双曲线E的左、右焦点，△P F1F2的面积为20，则下列说法试卷来自网络图片，若有侵权，敬请联删19. 已知圆 C 的圆心在 x 轴上，且经过点 A (1，0)，B (3，2) (1) 求圆 C 的标准方程； (2) 若直线 l 过点 P (0，2)，且与圆 C 相切，求直线 l 方程．21. 已知抛物线 C : y 2 = 2px (p > 0) 经过点 M (1，2). 点 P 在 y 轴左侧 ( 不含 y 轴 ). 抛物线 C 上存在不同的两点 A ,B 满足 PA ,PB 的中点均在 C 上。
江苏省盐城市第一中学2019-2020届高三6月调研考试数学试题(含附加卷)附答案
盐城市第一中学2019-2020届高三调研考试数学试题 2020.06一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．设全集{}0,1,2U =，集合{}0,1A =，则U C A =________．2．设121i z i i +=+-，则||z =_________. 3．双曲线221916x y -=的左焦点到渐近线的距离为________． 4．从123，，中选2个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为________． 5．如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为6．阅读如图所示的程序框，若输入的n 是30，则输出的变量S 的值是______.7．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，且59a =，则数列{}n a 的前n 项和为______．8．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4πα+＝_______..9．已知函数f （x ）()2111x x log x x ≤⎧=⎨-⎩，，＞，则函数(())1y f f x =-的所有零点构成的集合为_____.10．若对任意1x >-，不等式2122x a x x +≤++恒成立，则a 的取值范围是______. 11．在日常生活中，石子是我们经常见到的材料，比如在各种建筑工地或者建材市场上常常能看到堆积如山的石子，它的主要成分是碳酸钙.某雕刻师计划在底面边长为2m 、高为4m 的正四棱柱形的石料1111ABCD A B C D -中，雕出一个四棱锥O ABCD -和球M 的组合体，其中O 为正四棱柱的中心，当球的半径r 取最大值时，该雕刻师需去除的石料约重___________kg .（最后结果保留整数，其中 3.14π≈，石料的密度32.4g/p cm =，质量m pV =）12．如图，在圆的内接四边形ABCD 中，对角线BD 为圆的直径，5AB =，4=AD ，1CD =，点E 在BC 上，且()310AE AB R t AC t ∈=+u u u r u u u r u u u r ，则AE AC ⋅u u u r u u u r 的值为________． 13．已知函数()211ln x f x k x k x -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[)1,k ∈+∞，曲线()y f x =上总存在两点()11,M x y ，()22,N x y ，使曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行()12x x ≠，则12x x +的取值范围为______.14．在ABC V 中，记角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，面积为S ，则22S a bc+的最大值为______ 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本题满分14分)如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12A A AC =，D ，E ，F 分别为线段AC ，1A A ，1C B 的中点. （1）证明：//EF 平面ABC ；（2）证明：1C E ⊥平面BDE .16．(本题满分14分) 在ABC V 中，a ，b ，c 分别是角A ，B，C 的对边，已知()3,m a c b =-u r ，()cos ,cos n B C =-r ，且m n ⊥u r r . （1）求sin B 的值；（2）若2b =，ABC V 的面积为64，求ABC V 的周长.17．(本题满分15分)某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）．（1）求()f x 的函数关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?18．(本题满分15分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，直线:10m x y -+=经过椭圆C 的上顶点，直线:10n x +=交椭圆C 于,A B 两点，P 是椭圆C 上异于,A B 的任意一点，直线,AP BP 分别交直线:40l x +=于,Q R 两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：OQ OR ⋅uuu r uuu r （O 为坐标原点）为定值．。
2020届江苏省盐城市盐城中学高三上学期第一次月考数学试题(解析版)
2020届江苏省盐城市盐城中学高三上学期第一次月考数学试题一、填空题1．已知集合{}=11A x x -<<，{}1,0,3B =-，则A B =__________．【答案】{}0【解析】根据交集的概念，求得两个集合的交集. 【详解】交集是两个集合的公共元素组合而成，故{}0A B ⋂=. 故答案为：{}0. 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2．设幂函数()a f x kx =的图像经过点(4,2)，则k α+=__________． 【答案】32【解析】由题意得131,2422k k ααα==⇒=∴+= 3．若命题“∃t ∈R ，t 2﹣a ＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是_____．【答案】0,+∞（） 【解析】命题“20t R t a ∃∈，﹣＜”是真命题，040a ∴=﹣（﹣）＞ ． 0a ∴＞， 则实数a 的取值范围是0+∞（，）．故答案为∞（0，+）．4．函数()ln(1)f x x =-______． 【答案】(1,2] 【解析】【详解】由10{20x x ->-≥ 可得，12x <≤ ，所以函数()ln(1)f x x =-(]1,2 ，故答案为(]1,2.5．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,2P -，则2sin α=______． 【答案】45-【解析】根据三角函数定义求cos α和sin α，最后代入公式sin 22sin cos ααα=求值. 【详解】解：由题意可得1x =-，2y =，r OP ==5x cos r α∴===-，5y sin r α===， 4225sin sin cos ααα∴==-， 故答案为：45-． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11132S =，6930a a +=，则12a 的值为____． 【答案】24【解析】首先根据等差数列的前n 项和公式和等差中项，即可求出6a 的值，再根据等差数列的通项公式和6930a a +=，即可求出9a ，进而求出12a 的值. 【详解】因为11132S =，所以，11111()2a a +＝132，即116a ＝132，所以，6a ＝12 又6930a a +=，所以，9a ＝18，因为61292a a a +=，所以，可求得：12a ＝24 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的前n 项的公式，熟练掌握通项公式和等差数列的前n 项的公式是解决本题的关键.7．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，2()2x f x x =-，则(1)f -=＝________．【答案】1-【解析】由()f x 为奇函数可得：()()()11211f f -=-=--=-，故答案为1-.8．已知函数()2sin(2)(0)4f x x πωω=->的最大值与最小正周期相同，则函数()f x 在[11]-，上的单调增区间为 ．【答案】13[,]44-【解析】试题分析：由题意可知，函数()2sin()4f x x ππ=-，令22242k x k ππππππ-+≤-≤+，解得1322,44k x k k Z -+≤≤+∈，又[1,1]x ∈-，所以1344x -≤≤，所以函数()f x 在[1,1]-上的单调递增区间为13[,]44-.【考点】三角函数的图象与性质.9．设向量(sin 2,cos )a θθ=，(cos ,1)b θ=，则“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的 条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) . 【答案】必要不充分 【解析】【详解】试题分析：2//(sin 2,cos )//(cos ,1)sin 2cos cos 02sin cos a b θθθθθθθθ⇔⇔=⇔==或1cos 0tan 2θθ⇔==或，所以“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的必要不充分条件【考点】向量共线10．已知函数()ln ()x x f x e x ae a R =-∈,若()f x 在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】(],1-∞【解析】对函数()f x 求导，根据函数在()0,∞+上单调递增列不等式，分离常数a 后，构造函数()()1ln 0h x x x x=+>，利用导数求得()h x 的最小值，进而求得a 的取值范围. 【详解】依题意，当()0,x ∈+∞时，()'1ln 0x f x e x a x ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭恒成立，即1ln 0x a x +-≥，也即1ln a x x ≤+在()0,∞+上恒成立，构造函数()()1ln 0h x x x x=+>，则()'21x h x x -=，所以函数()h x 在区间()0,1上递减，在区间()1,+∞上递增，在1x =处取得极小值也即是最小值，故()()11h x h ≥=，所以1a ≤.故答案为：(],1-∞. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.11．如下图，在直角梯形ABCD 中，//,90,4,2,AB CD ADC AB AD E ∠===为BC 中点，若·4AB AC =，则·AE BC =_______________．【答案】132-【解析】【详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设()0CD m m =>，结合题意可得：()()()()0,0,4,0,,2,0,2,A B C m C 则 ()()4,0,,2AB AC m ==， 故 44,1AB AC m m ⋅==∴=，即()1,2C ，则52,22E ⎛⎫⎪⎪⎝⎭， 据此有()521513,,3,2,12222AE BC AE BC ⎛⎫==-⋅=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭.12．若函数2,0{ln ,0x a x y x a x x -≤=-+>，在区间()2,2-上有两个零点，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】[)0,2ln2+【解析】【详解】试题分析：由题设可知函数与函数在给定的区间和区间内分别有一个根, ,即,所以,故答案[)0,2ln2+.【考点】函数的图象及零点的确定． 【易错点晴】本题设置了一道以分段函数的解析式2,0{ln ,0x a x y x a x x -≤=-+>背景的零点个数的综合应用问题.将问题等价转化为两个函数与函数在给定的区间和区间内分别有一个零点的问题.然后建立不等式组,通过解不等式组从而获得答案.13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知()sin sin sin B C m A m R +=∈，且240a bc -=.且角A 为锐角，则m 的取值范围是_______．【答案】62⎝ 【解析】利用正弦定理化简()sin sin sin B C m A m R +=∈，利用余弦定理表示出cos A ，根据A 为锐角列不等式，解不等式求得m 的取值范围. 【详解】依题意，由正弦定理得b c ma +=，由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=()2222b c bc a bc+--=2222222a m a a a --=223m =-，由于A 为锐角，所以0cos 1A <<，所以20231m <-<，即2322m <<，由于m 为正数，故m <<故答案为：2⎛ ⎝.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理进行边角互化，考查不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.14．已知函数()2ln(2)f x tx x n =+-+，1()g x t x=-，若函数324()(1)83h x x nx n x n =---+-在(),-∞+∞上是增函数，且()()0f x g x ≤在定义域上恒成立，则实数t 的取值范围是______． 【答案】{}21,2e e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦【解析】根据()'0h x ≥求得n 的值，由此化简()()0f x g x ≤，利用分类讨论的方法，结合导数的知识列不等式，解不等式求得t 的取值范围. 【详解】 由于函数324()(1)83h x x nx n x n =---+-在(),-∞+∞上是增函数，所以()()'24210h x x nx n =---≥恒成立，故()241610n n ∆=+-≤，即()220n -≤，所以2n =.故()()0f x g x ≤即()12ln 0tx x t x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭在()0,∞+上恒成立，等价于2ln 010tx x t x +≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩①，或2ln 010tx x t x+≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩②. 由①得ln 21x t xt x⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩③，构造函数()()ln 0x m x x x =->，()'2ln 1x m x x -=，所以()m x 在()0,e 上()'0m x <，()m x 递减，在(),e +∞上()'0m x >，()m x 递增，最小值为()1m e e =-，所以③等价于120t e t ⎧≤-⎪⎨⎪≤⎩，解得12t e ≤-.由②得ln 21x t xt x⎧≥-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩④.由ln 12x x x -=解得21x e =.根据()m x 和1y x =的单调性可知，当且仅当21t e x==时，④成立. 综上所述，t 的取值范围是{}21,2e e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦.故答案为{}21,2e e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数在实数范围内单调的问题，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，难度较大，属于难题.二、解答题15．已知集合{}2|320A x x x =-+≤，集合{}22B y y x x a ==-+，集合{}2|40C x x ax =--≤，命题:p A B φ⋂≠，命题:q A C ⊆.（1）若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围； （2）若命题p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）3a >；（2）(,0)(3,)-∞⋃+∞【解析】先求出集合{}12A x x =≤≤和{|1}B y y a =≥-； （1）由题意得=A B φ⋂，由集合的交集运算得a 的取值范围；（2）先求出p q ∧为真命题时a 的取值范围，从而求出p q ∧为假命题时a 的范围. 【详解】∵222(1)11y x x a x a a =-+=-+-≥-，∴集合{|1}B y y a =≥-， 集合{}{}232012A x x x x x =-+≤=≤≤，集合{}240C x x ax =--≤. （1）由命题p 是假命题，可得=A B φ⋂，即得12a ->，∴3a >. （2）当p q ∧为真命题时，,p q 都为真命题，即A B φ⋂≠，且A C ⊆，∴2121402240a a a -≤⎧⎪--≤⎨⎪--≤⎩330a a a ≤⎧⎪⇒≥-⎨⎪≥⎩，解得03a ≤≤.∴当p q ∧为假命题时，0a <或3a >，∴a 的取值范围是：(,0)(3,)-∞⋃+∞ 【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了复合命题为假命题的应用，二次函数的性质，属于基础题.16．ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别是a 、b 、c ，且1cos 3A =． (1)求2sincos 22B CA ++的值； (2)若a =ABC △面积的最大值． 【答案】（1）19-；（2）4【解析】(1)将2sin cos22B CA ++化简代入数据得到答案. (2)利用余弦定理和均值不等式计算94bc ≤，代入面积公式得到答案.【详解】()2221sin cos2sin 2cos 122B C AA A π+-+=+- 2221cos cos2cos 12cos 122A A A A +=+-=+- 1111321299+=+⨯-=-； (2)由1cos 3A =，可得sin 3A ==， 由余弦定理可得222222242cos 2333a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-=， 即有23944bc a =≤，当且仅当32b c ==，取得等号． 则ABC △面积为119sin 224bc A ≤⨯=． 即有32b c ==时，ABC △的面积取得最大值4． 【点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，面积公式，均值不等式，属于常考题型. 17．如图，在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，D 是边BC 上一点，2DC BD =.（1）求AD BC ⋅的值；（2）若()0AB tCD CD -⋅=，求实数t 的值. 【答案】（1）83-（2）1514t = 【解析】（1）将,AD BC 都转化为用,AB AC 为基底表示，根据向量数量积的运算，求得AD BC ⋅的值.（2）将原方程()0AB tCD CD -⋅=转化为2AB CD t CD⋅=，同（1）的方法，将CD 转化为用,AB AC 为基底表示，根据向量数量积和模的运算，求出t 的值. 【详解】 （1）D 是边BC 上一点，2DC BD =()1133BD BC AC AB ∴==-()121333AD AB AC AB AB AC =+-=+()2133AD BC AB AC AC AB ⎛⎫∴⋅=+⋅- ⎪⎝⎭22121333AC AB AB AC =-+⋅18112cos120333=-+⨯⨯⨯︒18183333=--=-，故83AD BC ⋅=- （2）()0AB tCD CD -⋅=，2AB CD t CD⋅∴=()2233CD CB AB AC ==-，214212cos1207BC =+-⨯⨯⨯︒=2222839CD CB ⎛⎫== ⎪⎝∴⎭2233AB CD AB AB AC ⎛⎫⋅=⋅- ⎪⎝⎭22233AB AC AB=-⋅821012cos120333=-⨯⨯⨯︒=1514t ∴=【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查向量数量积和模的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.18．某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座圆弧形拱桥，已知该桥的剖面如图所示，共包括圆弧形桥面ACB 和两条长度相等的直线型路面AD 、BE ，桥面跨度DE 的长不超过12米，拱桥ACB 所在圆的半径为3米，圆心O 在水面DE 上，且AD 和BE 所在直线与圆O 分别在连结点A 和B 处相切.设ADO θ∠=，已知直线型桥面每米修建费用是a 元，弧形桥面每米修建费用是43a元.（1）若桥面（线段AD 、BE 和弧ACB ）的修建总费用为W 元，求W 关于θ的函数关系式；（2）当θ为何值时，桥面修建总费用W 最低？ 【答案】（1）3cos 24sin W a θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，62ππθ≤<.（2）3πθ= 【解析】（1）设C 为弧AB 的中点，连结OA ，OC ，OB ，通过解直角三角形以及弧长公式，求得,AD AC 的长，由此计算出修建总费用W 的表达式，根据DE 长度的限制，和圆的直径，求得θ的取值范围.（2）利用导数求得W 的单调区间，进而求得当θ为何值时，W 取得最小值. 【详解】（1）设C 为弧AB 的中点，连结OA ，OC ，OB ，则OA AD ⊥ 在OAD ∆中，3cos tan sin OA AD θθθ==. 又因为AOC ADO θ∠=∠=，所以弧AC 长为3l θ=， 所以423a W l AD a ⎛⎫=⨯+⨯ ⎪⎝⎭43cos 233sin a a θθθ⎛⎫=⋅+⋅ ⎪⎝⎭3cos 24sin a θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当6DE =时，2πθ=；当12DE =时，6πθ=，所以62ππθ≤<所以3cos 24sin W a θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，62ππθ≤<.（2）设()3cos 4sin f θθθθ=+，则()22234sin 34sin sin f θθθθ-'=-=，令()0f θ'=得,362πππθ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭当,63ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f θ'<，函数()f θ单调递减； 当,32ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f θ'>，函数()f θ单调递增； 所以当3πθ=时，函数()f θ取得最小值，此时桥面修建总费用最低.【点睛】 本小题主要考查利用导数求函数的最值，考查函数在在实际生活中的运用，考查弧长的计算，属于中档题.19．已知函数21()ln (1)()22x f x ax x a x a a R =-+-+-∈. （1）当1a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）当0a ≤时，证明：函数()f x 只有一个零点；（3）若函数()f x 的极大值等于0，求实数a 的取值范围.【答案】（1）0y =（2）证明见解析（3）(),1-∞【解析】（1）求得函数在1x =处的导数，由此求得切线方程.（2）通过求()f x 的二阶导数，研究其一阶导数，进而求得函数()f x 的单调区间，由此证得函数()f x 只有一个零点.（3）当0a ≤时根据（2）的结论证得结论成立.当0a >，根据()f x 的二阶导数，对a 分成01,1,1a a a <<=>三种情况，利用()f x 的一阶导数，结合零点的存在性定理，求得实数a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()21ln 22x f x x x =-+，()ln 1f x x x '=+-，()10f '=，()10f =，所以()f x 在1x =处的切线方程为0y =.（2）()()ln 10f x a x x x '=-+>，令()ln 1g x a x x =-+，()1a a x g x x x-'=-= 当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在()0,∞+上单调递减，又()10g =，所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减所以()()10f x f ≤=，所以()f x 只有一个零点1x =.（3）①当0a ≤时，由（2）知，()f x 的极大值为()10f =，符合题意；②当0a >时，令()0g x '=，得x a =，当()0,x a ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当(),x a ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，注意到()10g =，（ⅰ）当01a <<时，()()10g a g >=，又111110a a a g e e e ---⎛⎫=--+=-< ⎪⎝⎭.所以存在()10,x a ∈，使得()10g x =，当()10,x x ∈时， ()()0g x f x ='<，()f x 单调递减，当()1,1x x ∈时，()()0g x f x '=>，()f x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()()0g x f x ='<，()f x 单调递减，所以()f x 的极大值为()10f =，符合题意； （ⅱ）当1a =时，()()()10g x f x g '=≤=恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递减，无极值，不合题意；（ⅲ）当1a >时，()()10g a g >=，又()21a ag e a e =-+，令()()211x x x x e ϕ+=> ()()210x x x e ϕ-'=-<，()x ϕ在()1,+∞上单调递减，所以()()211x eϕϕ<=<，所以()210a a g e a e =-+<， 存在()2,x a ∈+∞，使得()()220g x f x '==，当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()21,x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 的极大值为()2f x ，且()()210f x f >=，不合题意.综上可知，a 的取值范围是(),1-∞.【点睛】本小题主要考查利用导数求切线的斜率，考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.20．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*241n n n a a S n N +=-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若21211n n n n a b S S -++=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围； （3）若()211,22,n n na n c n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数()*n N ∈，从数列{}n c 中抽出部分项（奇数项与偶数项均不少于两项），将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列.当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列.【答案】（1）21n a n =-（2）n T 21114(21)n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦；21,94⎡⎫⎪⎢⎣⎭（3）1，2，3，4，5和5，4，3，2，1. 【解析】（1）利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求得数列{}n a 的通项公式. （2）由（1）求得n S 的表达式，然后利用裂项求和法求得{}n b 的前n 项和n T .利用差比较法证得数列{}n T 递增，进而求得n T 的取值范围.（3）先判断出数列{}n c 的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数.然后假设抽出的数列中有三个偶数，推出矛盾，由此证得偶数只有两项.进而证得奇数最多有3项.由此求得所有满足条件的等差数列.【详解】（1）当1n =时，由2241n n n a a S +=-，得2111241a a a +=-，得11a =，由2241n n n a a S +=-，得2111241n n n a a S ++++=-，两式相减，得22111224n n n n n a a a a a +++-+-=，即()221120n n n n a a a a ++--+=，即()()1120n n n n a a a a ++--+=因为数列{}n a 各项均为正数，所以10n n a a ++>，所以12n n a a +-=所以数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列.因此，12(1)21n a n n =+-=-，即数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.（2）由（1）知21n a n =-，所以2(121)2n n n S n +-== 所以22212112(21)(21)n n n n a n b S S n n -++==⋅-+221114(21)(21)n n ⎡⎛⎤=-⎢ ⎥-+⎝⎦⎣ 所以222222246133557n T =++⨯⨯⨯222(21)(21)n n n ++-+ 2222222111111111433557(21)(21)n n ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭ 21114(21)n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦令21()1(21)f n n =-+，则(1)()f n f n +-=2222118(1)0(21)(23)(23)(21)n n n n n +-=>++++ 所以()f n 是单调递增数列，数列{}n T 递增，所以129n T T ≥=，又14n T <，所以n T 的取值范围为21,94⎡⎫⎪⎢⎣⎭. （3）2,212,2nn n n k c n k=-⎧⎪=⎨⎪=⎩ 设奇数项取了s 项，偶数项取了k 项，其中s ，*k N ∈，2s ≥，2k ≥.因为数列{}n c 的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数.假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数.设抽出的三个偶数从小到大依次为2i ，2j ，()21pi j p ≤<<， 则1122222i ji j --+=+为奇数，而1i ≥，2j ≥，则12j -为偶数，12i -为奇数，所以1i =. 又1122222j pj p --+=+为奇数，而2j ≥，3p ≥，则12j -与12p -均为偶数，矛盾。
2019-2020学年江苏省盐城市职业中学高三数学理月考试卷含解析
2019-2020学年江苏省盐城市职业中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数在[－1,5]上的最大值为M，最小值为m，则M+m= （）A．0 B．2 C．4 D．6参考答案：D令而则关于中心对称，则在上关于中心对称，故答案选2. 若＝在上恒正，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：C3. 已知函数y=x3-3x+c的图像与x恰有两个公共点．则c=A．一2或2 B．一9或3 C．一1或1 D．一3或1参考答案：4. 等差数列{a n}的前n项和是S n，a3＋a8>0, S9<0, 则S1, S2, S3, ……,S n中最小的是（）A．S9 B．S8 C．S5 D．S4参考答案：C5. 若点到直线的距离为4，且点在不等式表示的平面区域内，则实数的值为A.7B.－7C.3D.－3参考答案：答案：D6. 如果自然数的各位数字之和等于8，我们称为“吉祥数”。
将所有“吉祥数”从小到大排成一列…，若，则（）A.84B.82C.39D.37参考答案：A【知识点】单元综合由题意，一位数时只有8一个；二位数时，有17，26，35，44，53，62，71，80共8个三位数时：（0，0，8）有1个，（0，1，7）有4个，（0，2，6）有4个，（0，3，5）有4个，（0，4，4）有2个，（1，1，6）有3个，（1，2，5）有6个，（1，3，4）有6个，（2，2，4），有3个，（2，3，3）有3个，共1+4×3+2+3×3+6×2=36个，四位数小于等于2015：（0，0，1，7）有3个，（0，0，2，6）有2个，（0，1，1，6）有6个，（0，1，2，5）有7个，（0，1，3，4）有6个，（1，1，1，5）有3个，（1，1，2，4）有6个，（1，1，3，3）有3个，（1，2，2，3）有3个，共有3×4+6×3+2+7=39个数，∴小于等于2015的一共有1+8+36+39=84个，即a84=2015【思路点拨】利用“吉祥数”的定义，分类列举出“吉祥数”，推理可得到结论．二填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
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江苏省盐城市盐城中学2019-2020学年高三上学期
第一次月考数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、填空题
1. 已知集合，，则__________．
2. 设幂函数的图像经过点，则__________．
3. 若命题“?t∈R，t2﹣a＜0”是真命题，则实数a的取值范围是_____．
4. 函数的定义域为______．
5. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点
，则______．
6. 已知等差数列的前项和为，，，则的值为
____．
7. 定义在R上的奇函数，当时，，则
＝________．
8. 已知函数的最大值与最小正周期相同，则函数
在上的单调增区间为__________．
9. 设向量，，则“”是“”成立
的条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) .
10. 已知函数,若在上单调递增，则实数的取值范围是_____．
11. 如下图，在直角梯形中，
为中点，若，则
_______________．
12. 若函数，在区间上有两个零点，则实数的取值范围为__________．
13. 在中，角，，所对的边分别是，，，已知
，且.且角为锐角，则的取值范围是_______．
14. 已知函数，，若函数
在上是增函数，且在定义域上恒成立，则实数的取值范围是______．
二、解答题
15. 已知集合，集合，集合
，命题，命题.
（1）若命题为假命题，求实数的取值范围；
（2）若命题为假命题，求实数的取值范围.
16. 中，角A，B，C所对边分别是a、b、c，且．
(1)求的值；
(2)若，求面积的最大值．
17. 如图，在中，，，，是边上一点，.
（1）求的值；
（2）若，求实数的值.
18. 某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座圆弧形拱桥，已知该桥的剖面如图所示，共包括圆弧形桥面和两条长度相等的直线型路面、，桥面跨度的长不超过米，拱桥所在圆的半径为米，圆心在水面上，且和所在直线与圆分别在连结点和处相切.设，已知直线型桥面每米修建费用是元，弧形桥面每米修建费用是
元.
（1）若桥面（线段、和弧）的修建总费用为元，求关于的函数关系式；
（2）当为何值时，桥面修建总费用最低？
19. 已知函数.
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）当时，证明：函数只有一个零点；
（3）若函数的极大值等于，求实数的取值范围.
20. 已知正项数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求的取值范围；
（3）若，从数列中抽出部分项（奇数项与偶数项均不少于两项），将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列.当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列.。