广东省2019中考数学复习检测专题训练十：解答题突破_代数几何综合题(涉及二次函数)_含答案

专题训练十 解答题突破

——代数几何综合题(涉及二次函数)

1．(2016·新疆)如图1，抛物线y ＝ax 2

＋bx －3 (a ≠0)的顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A 、B 两点，

与y 轴交于点C ，且BO ＝OC ＝3AO ，直线y ＝－1

3

x ＋1与y 轴交于点D ．

图1

(1)求抛物线的解析式； (2)证明：△DBO ∽△EBC ；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PBC 是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P 点坐标，若不存在，请说明理由．

2．如图2，图3，在每一个四边形ABCD 中，均有AB ∥DC ，AD ⊥AB ，∠ABC ＝30°，CD ＝6，AB ＝12.

图2

图3

(1)如图图2，点M 是四边形ABCD 边AB 上的一点，求△DMC 的面积； (2)点M 是四边形ABCD 边AB 上的任意一点，请你求出△DMC 周长的最小值；

(3)如图3，如果点M 在AB 上，是以1个单位/秒的速度从A 向点B 运动，是否存在一个时刻t ，使得△MCB 是等腰三角形？如存在，请求出此时的t 值；如不存在，请说明理由．

3．(2016·青羊区模拟)如图4所示，一张三角形纸片ABC ，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，沿斜边AB 的中线CD 把这张纸片剪成△AC 1D 1和△BC 2D 2两个三角形(如图5所示)．将纸片△AC 1D 1沿直线D 2B (A →B 方向)平移(点A ，D 1，D 2，B 始终在同一直线上)，当D 1与点B 重合时，停止平移．在平移的过程中，C 1D 1与BC 2交于点E ，AC 1与C 2D 2，BC 2分别交于点F ，P .

图4 图5 图6

(1)当△AC 1D 1平移到如图6所示位置时，猜想D 1E 与D 2F 的数量关系，并说明理由．

(2)设平移距离D 2D 1为x ，△AC 1D 1和△BC 2D 2重复部分面积为y ，请写出y 与x 的函数关系式，以及自变量的取值范围．

(3)对于(2)中的结论是否存在这样的x ，使得重复部分面积等于原△ABC 纸片面积的3

8？若存在，请求

出x 的值；若不存在，请说明理由．

参考答案：

1．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2

＋bx －3，∴c ＝－3.∴C (0，－3)． ∴OC ＝3.

∵BO ＝OC ＝3AO ，∴BO ＝3，AO ＝1.∴B (3,0)，A (－1,0)．

∵该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，∴⎩

⎪⎨⎪⎧

9a ＋3b －3＝0，

a －

b －3＝0.

∴⎩⎪⎨

⎪

⎧

a ＝1，

b ＝－2.

∴抛物线解析式为y ＝x 2

－2x －3.

(2)由(1)知，抛物线解析式为y ＝x 2

－2x －3＝(x －1)2

－4， ∴E (1，－4)．

∵B (3,0)，A (－1,0)，C (0，－3)，∴BC ＝3 2，BE ＝2 5，CE ＝ 2.

∵直线y ＝－1

3x ＋1与y 轴交于点D ，∴D (0,1)．

∵B (3,0)，∴OD ＝1，OB ＝3，BD ＝10， ∴

CE OD ＝2，BC OB ＝2，BE BD ＝ 2.∴CE OD ＝BC OB ＝BE BD

. ∴△BCE ∽△BOD .

(3)存在，理由：设P (1，m )，∵B (3,0)，C (0，－3)， ∴BC ＝3 2，PB ＝m 2

＋4，PC ＝m ＋

2

＋1，

∵△PBC 是等腰三角形，

①当PB ＝PC 时，∴m 2

＋4＝m ＋

2

＋1，

∴m ＝－1.∴P (1，－1)．

②当PB ＝BC 时，∴3 2＝m 2

＋4，∴m ＝±14. ∴P (1，14)或P (1，－14)， ③当PC ＝BC 时，∴3 2＝

m ＋

2

＋1，∴m ＝－3±17，

∴P (1，－3＋17)或P (1，－3－17)，

∴符合条件的P 点坐标为P (1，－1)或P (1，14)或P (1，－14)或P (1，－3＋17)或P (1，－3－17) 2．解：(1)如图1，过C 作CF ⊥AB ，

图1

∴四边形AFCD 为矩形． ∴AF ＝CD ＝6，BF ＝AB －AF ＝6， 在Rt △BCF 中，∠ABC ＝30°，BF ＝6， ∴CF ＝BF tan 30°＝2 3，ME ＝2 3.

则S △DMC ＝1

2CD ·ME ＝6 3.

(2)如图2，作点D 关于直线AB 的对称点D ′，

图2

连接D ′C ，交AB 于点M ，则点M 就是所求的点． ∴△DMC 周长的最小值为

DM ＋MC ＋CD ＝D ′M ＋MC ＋CD ＝CD ′＋DC .

∵AD ＝CF ＝2 3，∴DD ′＝2AD ＝4 3. ∵DC ＝6，CD ′＝CD 2

＋DD ′2

＝2 21， ∴△DMC 周长的最小值为 2 21＋6.

(3)分三种情况讨论．

1)如图3，

图3

当MC＝CB时，

由(1)可知，BC＝2CF＝4 3，

∴MF＝FB＝6.∴MB＝12.

图4

即点M与点A重合时．

∴t＝0.

2)当MB＝BC，如图4时，MB＝BC＝4 3，

则AM＝12－4 3，

∴t＝12－4 3.

3)当MB＝MC时，作MH⊥BC，如图5.

图5

∴HB＝HC＝2 3.

∴MH＝2，MB＝4.

∴AM＝8，∴t＝8.

综上所述，当t为0或8或12－4 3时，三角形MBC为等腰三角形．3．解：(1)D1E＝D2F.理由如下：∵C1D1∥C2D2，∴∠C1＝∠AFD2.

又∵∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，

∴DC＝DA＝DB，即C1D1＝C2D2＝BD2＝AD1.

∴∠C1＝∠A.∴∠AFD2＝∠A.∴AD2＝D2F.

同理：BD1＝D1E.

又∵AD1＝BD2，∴AD2＝BD1.∴D1E＝D2F.