姜启源 数学模型第五版第5章 ppt课件

该期间的年平均增长率约为 r=(log2)/39=1.8%
为什么？
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2. 人口指数增长模型的建立 马尔萨斯1798年提出
假设 • t 时刻人口数量为连续、可微函数x(t).
• 单位时间人口增长率为常数r.
• 初始时刻(t=0)的人口为x0
模型 解释
单位时间内x(t)的增量为rx(t)
dx rx, dt
1. 模型建立 r(x)abx a = r r(x)r(1x/xm) r(0)=r, r(xm)=0 b = r/xm
dxr(x1x),
dt
xm
x(0)x0
rx~人口自身增长 (1-x/xm)~资源和环境阻滞人口增长
dx/dt
x
渐近线
xm
S形曲线
xm/2
x增加先快后慢
O
xm/2
xm x
x0 0
t
拐点
6. 指数增长模型的应用及局限性
• 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合. • 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代. • 不符合19世纪后多数地区人口增长规律. • 可用于短期而不能用于较长期的人口预测. • 改进的指数模型计算结果有所改善, 但它未反映增
长率下降的机理, 函数形式也不易确定, 不便于应用.
x(0) x0
x(t) x0ert
• 与常用公式一致? x(t)x0(er)t x0(1r)t
? • t→∞, x(t)→∞, 按指数规律无限增长.
3. 指数增长模型的参数估计 (数据拟合) 方法一 直接用人口数据和线性最小二乘法.
x(t) x0ert
1790年 (t=0) 至2000年美国人口数据 最小二乘法 MATLAB编程计算
1. 两个基本的人口模型 2. 用美国人口数据估计参数
3. 模型检验和增长预测
指数增长模型
1. 一个常用的人口预测公式
今年人口 x0, 年增长率 r
k年后人口
x k
x(1r)k 0
基本前提~增长率r在k年内保持不变.
• 已知增长率预测未来人口. • 根据人口统计数据估计增长率——由x0, xk估计r. 例. 从1960年到1999年( 39年时间)世界人口翻番.
1. 模型建立
logistic 模型
dxr(x1x),
dt
xm
x(0)x0
求解
~可分离变量方程
x xm
x(t)
xm
1 ( xm 1)e rt
x0
作 xm/2 图 x0
0
logistic曲线
t1/2
t
2. 参数估计
模型
方法一 数值微分计算增长率, 线性最小二乘估计参数.
≈ x(tk)/x(tk)
精品资料
5.1 人口增长预测
世界人口增长
人口翻番时间
123年
47年
中国人口增长
39年
• 20世纪的一段时间内人口增长速度过快. • 年净增人口由最多的2000多万降到2011年的600多万. • 老龄化提速, 性别比失调等凸显,开始调整人口政策.
• 建立数学模型描述人口发展规律，是制定 积极、稳妥人口政策的前提.
x(tk)/x(tk)≈ rk
r =0.2052/10年
x0=3.9 (原始数据)
4. 改进的指数增长模型
美国人口增长率/10年
r 0.4
• 修改人口增长率为常数的假设. 0.35
0.3
r(t)=r0r1t
0.25
0.2
dx
d tr(t)x(r0r1 t)x,
x(0)x00.15 0.1
x(t)x0e(r0tr1t2/2)
3. 指数增长模型的参数估计 (数据拟合)
方法二 对人口数据作数值微分估计增长率.
设x(t) 在t0, t1, …, tn(等间距△t)的函数值为x0, x1, …, xn x(t)在各点的导数近似值 x(tk)xk 1 2 txk 1,k1 ,2 , ,n 1 , x ( t0 ) 3 x 0 2 4 t x 1 x 2 ， x ( tn ) x n 2 4 2 x n t 1 3 x n 数 中值 点微 公分 式
需分析人口增长率下降的机理, 修改假设建立新模型.
logistic 模型
1. 模型建立 • 人口增长到一定数量后增长率下降的原因——
资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用, 且阻滞作用随人口增加而变大. r是x的减函数 • 简单、便于应用的线性函数 r(x)abx系数a,b ？
内禀(固有)增长率r ~理论上x = 0时的增长率. r(0)= r 人口容量xm~资源和环境对人口的最大容量. r(xm)= 0
第五章 微分方程模型
• ~含自变量、未知函数及其导数的方程.
• 描述随时间连续变化物体或过程的动态变化规律.
• 采用机理分析方法或类比法建立微分方程. 物理领域 ~工程技术, 科学研究 电路原理
例. 火箭发射——由燃料燃烧推力发射的火箭 加速度、速度、高度的微分方程.
非物理领域 ~,,
特定的内在规律
0.05 0
5
10
1800年r≈ 0.3
t
15
20
25
2000年r≈ 0.1
10年增长率数据 线性最小二乘法 r0=0.3252，r1=0.0114 x0=3.9 (原始数据)
5. 美国人口用指数增长模型计算结果的比较
1960年以后3个结果明显不同
5. 美国人口用指数增长模型计算结果的比较
x 450
数值微分
最小二乘法 r =0.2805/10年 xm =352.0548 x0=3.9 (原始数据)
r 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05
0
x
50
100
150
200
250
300
2. 参数估计
模型
x(t)
xm
1 ( xm 1)e rt
x0
方法二 直接用数据和非线性最小二乘估计参数.
400
350
300
250
200
150
100
50
0
0
5
t
10
15
20
25
指数模型(方法一)
x 300
250
200
150
100
50
0
t
0
5
10
15
20
25
指数模型(方法二)
x 300
250
200
150
100
50
0
t
0
5
10
15
20
25
改进的指数模型
用指数模型计算的美国人口与实际数据相差很大.
200多年时间内假设增长率为常数违背实际情况.
例. ——含人口数量及增长率的微分方程.
第 5.1 人口增长
五 5.2 药物中毒急救
章 5.3 捕鱼业的持续收获
微 分
5.4 资金、劳动力与经济增长 5.5 香烟过滤嘴的作用 5.6 火箭发射升空
方 5.7 食饵与捕食者模型
程 5.8 赛跑的速度
模 5.9 万有引力定律的发现
型 5.10 传染病模型和SARS的传播