欧氏空间

第八章 欧式空间

基础训练题

1. 证明，在一个欧氏空间里，对任意的向量α，β，以下等式成立： (1) 222222βαβαβα＋＝－＋＋；

(2) 〈α，β 〉＝2

24141βαβα－－＋.

[提示：根据向量内积的定义及向量模的定义易证.]

2. 在欧氏空间R 4中，求一个单位向量与 α1＝(1, 1, 0, 0)，α2＝(1, 1, －1, －1)，α3＝(1, －1, 1, －1)

都正交.

解:ε=⎪⎭

⎫ ⎝⎛21,21,21,21－－.

3. 设a 1, a 2, …, a n 是n 个实数，证明: )(222211n n i i a a a n a ＋＋＋ ≤

∑=.

证明: 令α=(1,1, …,1), β=(|a 1|,|a 2|,…, |a n |)

〈α , β〉=∑=n

i i a 1≤|α|·|β |=)(2

2221n a a a n +++ . 4. 试证，欧氏空间中两个向量α, β正交的充分必要条件是：对任意的实数t ，都有

|α＋t β| ≥ |α|.

证明: 〈α +t β,α +t β〉=〈α , α〉+2t 〈α , β〉+t 2〈β , β〉

必要性: 设α与β正交, 对任意的实数t ,则

〈α +t β,α +t β〉=〈α , α〉+t 2〈β , β〉≥〈α , α〉

所以 |α＋t β| ≥ |α|.

充分性: 当β=0时,结论成立.

当β≠0时,取t 0=2,ββα〉

〈-,则

〈α +t 0β,α +t 0β〉=〈α , α〉22

,ββα〉〈-. 由已知

〈α +t 0β,α +t 0β〉≥〈α , α〉

故 22

,ββα〉〈=0, 所以〈α , β〉= 0. 即α , β正交.

5. 在欧氏空间R 4中，求基{α1, α2, α3, α4}的度量矩阵，其中

α1＝(1, 1, 1, 1), α2＝(1, 1, 1, 0), α3＝(1, 1, 0, 0), α4＝(1, 0, 0, 0) .

解: 度量矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛1111122212331234. 6. 在欧氏空间R 3中，已知基α1＝(1, 1, 1), α2＝(1, 1, 0), α3＝(1, 0, 0)的度量矩阵为

B ＝⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--321210102

求基ε1＝(1, 0, 0), ε2＝(0, 1, 0), ε3＝(0, 0, 1)的度量矩阵.

解: 度量矩阵为 ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----343485353.

7. 证明

α1＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21,21,21,21， α2＝⎪⎭

⎫ ⎝⎛21,21,21,21－－

α3＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21,21,21,21－－，α4＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,21,21,21－ 是欧氏空间R 4的一个规范正交基.

[提示:令u =(α1, α2, α3, α4),计算uu T 即可.]

8. 设{ε1, ε2, ε3}是欧氏空间V 的一个基, α1＝ε1＋ε2, 且基{ε1, ε2, ε3}的度量

矩阵是

A ＝⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----612121211.

（1）证明α1是一个单位向量；

（2）求k ,使α1与

β1＝ε1＋ε2＋k ε3

正交.

证明: (1) 〈ε1 , ε1〉=1, 〈ε1 , ε2〉=1-, 〈ε2 , ε2〉=2

〈α1 , α1〉=〈ε1 , ε1〉+2〈ε1 , ε2〉+〈ε2 , ε2〉=1

所以α1一个单位向量.

（2）k =1-.

9. 证明，如果{ε1, ε2,…,εn }是欧氏空间V 的一个规范正交基，n 阶实方阵A ＝(a ij )是正交矩阵，令

(η1, η2,…,ηn )＝(ε1, ε2,…,εn )A ,

那么{η1, η2,…,ηn }是V 的规范正交基.

证明: 〈 ηi ,ηj 〉=kj n

k ki a a ∑=1=⎩⎨⎧≠=时当时当j i j i ,0,1 . 10. 设A 是n 阶正交矩阵，证明：

（1）若det A ＝1，则－1是的一个特征根；

（2）若n 是奇数，且det A ＝1，则1是A 的一个特征根.

证明:（1）det(－I －A ) = det(－A A T －A )

= det A ·det(－A T －A )

= det A ·det(－I －A )

=－det(－I －A )

所以det(－I －A )=0,即－1是的一个特征根.

（2）= det(A A T －A )

= det A ·det(A T －A )

= det A ·(-1)n

·det(I －A ) =－det(I －A )

所以det(I －A )=0, 即1是A 的一个特征根.

10. 证明，n 维欧氏空间V 的两个正交变换的乘积是一个正交变换；一个正交变换的逆变换还是一个正交变换.

[提示: 根据正交矩阵的乘积是正交矩阵, 正交矩阵

的逆矩阵是正交矩阵,结论易证.]

11. 证明，两个对称变换的和还是对称变换. 两个对称变换的乘积是不是对称变换？找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件.

证明: 两个对称变换的和还是对称变换易证. 两个对称变换的乘积不一定是.例如:令ε1 , ε2是R 2的一个规范正交基,分别取R 2 的两个对称线性变换τσ,,使得

),(21εεσ＝（ε1 , ε2）⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛0001 ， ),(21εετ＝（ε1 , ε2）⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛0110 ， 可以验证στ不是对称变换.

两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件是它们可换.

12. 设是n 维欧氏空间V 的一个线性变换，证明，如果σ满足下列三个条件中的任意两个，那么它必然满足第三个：（1）σ是正交变换；（2）σ是变换；（3）σ2＝ι（ι是恒等变换）.

[提示:根据σ是正交变换当且仅当σ在一个规范正交基下的矩阵是正交矩阵, σ是对称变换当且仅当σ在一个规范正交基下的矩阵是对称矩阵, 结论易证.]

13. 设σ是n 维欧氏空间V 的线性变换，若对于任意α, β∈V , 有〈σ(α), β〉＝－〈α, σ(β)〉，则说σ是斜对称的. 证明

(1) 斜对称变换关于V 的任意规范正交基的矩阵都是斜对称实矩阵；

(2) 若线性变换σ关于V 的某一规范正交基的矩阵是斜对称的，则σ是斜对