高一数学指数函数经典例题

2

(2)

【例3】比较大小:

高一数学指数函数平移问题

x 1 x 2 x 1 x 2 ⑴y=2 与 y=2 . ⑵y =2 与 y =2 f(x)的图象 向左平移a 个单位得到f(x + a)的图象；向右平移a 个单位得到f(x — a)的图象； 向上平移a 个单位得到f(x) + a 的图象；向下平移a 个单位得到f(x) — a 的图象. 指数函数•经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域： 1 (1)y = 3厂 (2)y = ..2x 2 1 (3)y = .3 3x 1 解 (1)定义域为x € R 且x 丰2 .值域y > 0且沪

1 . ⑵由2x+

2 — 1 >0,得定义域｛x|x >— 2｝，值域为y 》0. ⑶由 3— 3x-1 > 0,得定义域是｛x|x < 2｝，: 0<

3 — 3x — 1 v 3,二值域是 0 < y V 3 .

及时演练 求下列函数的定义域与值域 (1) y

(2) y (|)|x|；

【例2】指数函数y = ax , y = b x , y = c x , y = d x 的图像如图2. 6 — 2所示, 则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A . a v b v 1 v c v d C . b v a v 1 v d v c B . a v b v 1 v d v c D . c v d v 1 v a v b 选(c)，在x 轴上任取一点(x , 0)，则得 b v a v 1 v d v c . J

y

y=c E

r

匪.6-2

及时演练 指数函数①' ②「J —」 满足不等式1’ 一」；「-,则它们的图象是().

(1) 2、3 2、5 4、8 8、

9

16的大小关系是:

(2)0.6

3

•••0.6 5 > (3) 2

图像如图 2. 6-3，取 x = 3.6，得 4.53・6>3.73.6二 4.54*1 >3.73・6. 说明 如何比较两个幕的大小：若不同底先化为同底的幕，

再利用指数函数的单调性进行比较，如例

2中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幕比较大小时，有两个技巧，其一借助 1作桥梁，如例2

中的(2).其二构造一个新的幕作桥梁，这个新的幕具有与 4.54」同底与3.73.6同指数的特点，即为

4.53.6(或 3.74.1)，如例 2 中的(3).

1 【例5】 已知函数f(x) = a - 2*+ 1，若f(x)为奇函数，则a=

.

1 1 【解析】 解法

1: T f(x)的定义域为R ，又T f(x)为奇函数，• f(0) = 0,即a - 2+1 = 0.「. a = q 1 1 1 1 解法 2

：T

f(x)为奇函数，.•• f( 一 x) = 一 f(x)，即 a — 2-x + 1 = 2%+ 1 一a ，解得 a = ^.【答

案】

2

3 2

【例6】求函数y = (3)x — 5x + 6的单调区间及值域.

4

3

解 令u = x 2 — 5x + 6,贝Uy =(2)u 是关于u 的减函数，而u = x 2 — 5x

5

5

+ 6在x € ( x,—］上是减函数，在x € ［ — , 3 )上是增函数..•.函数

y =(3)"一5x + 6的单调增区间是(x, 5］，单调减区间是 谆, x ).

(3)4.5 4" _______ 3.73・6 1

解(1) T . 2 2 2 , 3 2

2 > 1，该函数在 2 4 v — v

5 9 4 函数y = 2

1 3 又一 v - v 3 8 9

16 v ..2 •

解(2) T 0.6 5 > 1,

3 (2)

2

3

,5 4 2 ® , 1 8 2 8 ,

9

16

)上是增函数，

解(3)借助数4.53・6打桥，利用指数函数的单调性,

4.54.1 >4.53・6，作函数 y 〔 = 4.5x , y 2= 3.7x 的

及时演练(1)1.72.5 与 1.73

( 2 ) 0.8 0.1 与 0.8 0.2

( 3 ) 1.703 与 0.93.1

(4)3.52.1 和

2.0

2.7

【例4】比较大小n1a n 与n a n 1 (a >0且a ^1, n >1).

1

• aE v 1,

n(n 1)

当a > 1 时，T n > 1,

1 n(n 1)

> 0,

当 01, ・ n(n 1)

…a > 1,

5 1 i

又■「u = x 2 — 5x + 6 = (x )2 》 ,

2 4 4

3 1

函数y = (—)u ，在u € [ — , *)上是减函数，

4 4 所以函数y =(?)x2— 5x + 6的值域是(0, 也•

4 —

— —

【例7】求函数y = (-)x (2)x + 1(x > 0)的单调区间及它的最大值.

— — — — — —

解 y=£)x ]2 (-)x — [(2)x 2]2 4，令尸(2)x ，v x >o ，

— —

••• 0V U < —,又T U = g )x 是乂€ [0 ,+* )上的减函数，函数 y = (u

)2

— — — — — —

在u € (0，-］上为减函数，在 纭，—)上是增函数•但由0V (-)x < -

— — — —

得X 》—，由—w (—)x w —，得0= x W —，-函数y =(—广 (一)x + —单调增

2 2 3

4 2

区间是［—，+* )，单调减区间［0，—］

a x 2 — _ 2(a x| a x 2)

a x 2 — _ (a x| —)®2 —) (a x

2

+ —) > 0，• f(x —) V f(x 2)，故f(x)在R 上为增函数.

当x = 0时, 函数y 有最大值为—•

【例8】已知f(x)= x

a x

a

—(a >—)

(—)判断f(x)的奇偶性; 解(—)定义域是R .

⑵求f(x)的值域;

⑶证明f(x)在区间(— 8，+^ )上是增函数.

a x

—

f(—x) =

x a x

a

—

-=—f(x)，

••

f(x)为奇函数.

x

(2)

函数尸Oh ，

山 >0 — —V y V —，即 f(x)的值域为(—

—,—).

—y

(—)设任意取两个值x —

x?€ (— m ，+m )且 x —V x 2. f(x —) — f(x 2)

x l

—

a | =x | —

a 1

T a > —，x — V x 2，a x — V a x 2， (a x —

+ —)