测重力加速度

设计性实验 重力加速度的测量

重力加速度g 是一个反映地球引力强弱的地球物理常数，它与地球上各个地区的经纬度、海拔高度及地下资源的分布有关，一般说来，两极的g 最大，赤道附近的g 最小，两者相差约1/300。重力加速度的测定在理论、生产和科学研究中都具有重要意义。 实验研究课题

1、测定本地区重力加速度g 值，测量结果至少有4 位有效数字，并要求百分误差小于1％。

2、试比较各种实验测量方法的优缺点。讨论各种实验测量方法中，哪些量可测得精确？哪些量不易测准？并说明如何减小或消除影响精确测量的各种因素等。

可选择的仪器

单摆、三线摆、复摆、圆球、重锤、米尺、游标卡尺、光电门、数字毫秒计(手机秒表代替)、杨氏模量测量仪等。 设计方案举例：

测量重力加速度的方法很多，有单摆、复摆、开特摆、三线摆、气垫导轨法和自由落体仪法等等，它们各有特点。

下面例举几种比较典型的方案。 方案一、单摆法 一、实验目的：

1、掌握实验原理及方法，进一步熟悉根据什么以及如何选择实验仪器和测量工具；

2、利用单摆测定重力加速度g 值；

3、分析受力情况，讨论误差原因，评价测量结果。 二、实验原理

单摆是用重量可忽视的细线吊起一质量为m 的小重锤，使其左右摆动，当摆角为θ时，重锤所受合外力大小sin =−f mg θ（图1），其中g 为当地的重力

加速度，这时锤的线加速度为sin −g θ。设单摆长为 L ，则摆的角加速度 sin /=−g L αθ。当摆角很小时（小于 5°），可认为 ，这时sin ≈θθ，即振动的角加速度和角位移成比例，式中的负号表示角加速度和角位移的方向总是相反。此时单摆的振动是简谐振动。从理论分析得知，其振动周期 T 和上述比例系数的关系是

2=

T π

ω

，所以

2=T （2），式中L 为单摆摆长,是摆锤重心到悬点的距离, g 为当地的重力加速度。 将测出的摆长L 和对应和周期 T 代入上式可求出当地的重力加速度之值。又可将此式改写成 2

24=L

T g π ，这表示2T 和L 之间，具

有线性关系，如果针对各种摆长测出各对应周期并绘制图线，则可从图线的斜率求出 g 值。

三、方案的实施：

⑴ 选择仪器：单摆、支架、小球、细线、游标卡尺、米尺、光电门、秒表、铁架台等。 ⑵ 操作步骤： ① 制作单摆；

②按实验内容要求自己设计实验方案及数据表格； ③测出相关的数据，填入相关表格；

④改变摆长，再重复测量，测绘周期与摆长的关系曲线。 ⑶ 数据处理： A 、计算法

①计算出平均测量值g ；

②根据珠海地区重力加速度的公认值g = 9.7882/m s ，求出相对不确定度g E ，并求得测量结果为：=±Δg g g (其中Δ=⋅g g E g )

B 、直线拟合法: 由式（2）可知，2T 和 L 之间具有线性关系， 用2T —L 直线的斜率求出重力加速度g 。

四、分析讨论题：

1、摆长是指哪两点距离？如何测量才能减小误差？

2、如何测量单摆周期？为什么计算周期个数时应从摆球通过平衡位置时开始计时？

3、根据间接测量误差传递公式，分析哪个物理量对重力加速度测量的影响最

大？

4、单摆在摆动中受到空气的阻尼后，振幅会越来越小，试问它的周期是否会变

化？

方案二、复摆法 一、实验目的：

1、掌握实验原理及方法，进一步熟悉根据什么以及如何选择实验仪器和测量工具；

2、利用复摆测定重力加速度g 值；

3、分析受力情况，讨论误差原因，评价测量结果。

二、实验原理：

一个围绕定轴摆动的刚体就是复摆。当复摆的摆动角θ很小时，复摆的振动可视为简谐振动。根据转动定律有

22=−=−d mgb J J dt

θ

θβ

即

220+

=d mgb

dt J θθ 可知其振动角频率

=ω 角谐振动的周期为

2=T （1） 式中J 为复摆对回转轴的转动惯量；m 为复摆的质量；b 为复摆重心至回转轴的距离；g 为重力加速度。如果用J c 表示复摆对过质心轴的转动惯量，根据平行轴定理有

2=+c J J mb (2) 将式（2）代入式（1）得

2=T π

（3） 以b 为横坐标，T 为纵坐标，根据实验测得b 、T 数据，绘制以质心为原点的T -b 图线，如下图所示。左边一条曲线为复摆倒挂时的′′−T b 曲线。过T 轴上

1=T T 点作b 轴的平行线交两条曲线于点A 、B 、C 、D 。则与这4点相对应的4个悬点′A 、′B 、′C 、′D 都有共同的周期T 1。

设1′=OA b ，2′=OB b ，1′′=OC b ，2

′′=OD b ，则有

122==T π

或

122==T π

消去c j ，得

122==T π

（4） 将式（4）与单摆周期公式相比较 ，可知与复摆周期相同的单摆的摆长

L '11′=+b b 或 L '22

′=+b b ，故称11′+b b （或22′+b b ）为复摆的等值摆长。因此只要测得正悬和倒悬的T -b 曲线，即可通过作b 轴的平行线，求出周期T 及与之相应

的11′+b b 或22

′+b b ，再由式（4）求重力加速度g 值。

复摆的周期可以测得非常精确，但直接测量摆长 L 相当困难，

一是重心G 的位置不易确定，重心到转轴的距离b 难以精确测定；二是复摆不可能做成密度均匀的理想形状，其J 难以精确计算。不过，可以利用复摆的共轭特性来间接测量等值摆长′L 较方便。 复摆的共轭特性是指在重心G 的两旁总可以找到两个共轭点O 和′O （与重心三点共线），当两点之间的距离等于等效摆长 ′L 时，以O 为悬点的摆动周期和以′O 为悬点的摆动周期正好相等。 根据复摆的这一共轭特性，只要能找到T = T ′的两个点O 和′O ，