2020届吉林省长春市高三质量监测(三)(三模)数学(理)试题(解析版)

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据圆心的连线与公共弦所在直线垂直，即可求得圆心；再结合弦长公式，即可容易求得半径.
【详解】
两圆圆心连线与公共弦垂直，不妨设所求圆心的坐标为 ，
又圆 的圆心为 ，半径为1，
故 ，解得 .故所求圆心为 .
直线 截得 所成弦长 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以直线 截得所求圆的弦长 ，
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用 之间的关系，即可容易求得 ，则 得解，再用并项求和法即可求得结果.
【详解】
由 得 ，作差可得：
，又 得 ，
则 所以 ，
…，
所以 .
故选：D.
【点睛】
本题考查利用 的关系求数列的通项公式，涉及等差数列前 项和的求解，属综合中档题.
12．设椭圆 的左右焦点为 ，焦距为 ，过点 的直线与椭圆 交于点 ，若 ，且 ，则椭圆 的离心率为（）
【详解】
因为 ，又 与向量 共线
故可得 ，解得 .
故选：B.
【点睛】
本题考查向量共线的坐标公式，涉及向量的坐标运算，属基础题.
4．已知函数 的图象为C，为了得到关于原点对称的图象，只要把C上所有的点（）
A．向左平移 个单位B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位D．向右平移 个单位
【答案】A
【解析】利用辅助角公式化简 ，再根据三角函数的奇偶性，即可求得结果.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，求得 ，结合余弦定理，即可求得 的齐次式，据此即可求得结果.
【详解】
根据题意，作图如下：
由 得 ， ，
由
即 ，
整理得 ，
则 ，
得
故选：C.
【点睛】
本题考查椭圆离心率的求解，涉及椭圆的定义，属中档题.
二、填空题
13．一名信息员维护甲乙两公司的5G网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为________
因此改进工艺后生产宣纸的利润为582.02－100=482.02元，
因为482.02>400，所以该公式应该购买这种设备.
【点睛】
本题考查由频率分布直方图计算概率以及平均数，涉及由样本估计总体，属综合基础题.
18．在△ 中，角 所对的边分别为 ，且 .
（1）求证： ；
（2）求 的最大值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
因为 为边长为2的等边三角形，故可得 ，
又因为 ，满足勾股定理，
故可得 ，则 为直角三角形，
则 .
若要满足题意，只需满足ABCD在球大圆上时，点P在球内部即可，
此时球半径最小为 ，体积为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查棱锥外接球问题，涉及棱锥体积的求解，属综合中档题.
三、双空题
16．若 是函数 的两个极值点，则 ____， ____.
A．除了“综合实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图象几何”在第三学段增加较多，约是第二学段的 倍.
B．所有主题中，三个学段的总和“图形几何”条目数最多，占50%，综合实践最少，约占4% .
C．第一、二学段“数与代数”条目数最多，第三学段“图形几何”条目数最多.
D．“数与代数”条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少.“图形几何”条目数，百分比都随学段的增长而增长.
解得 .
故圆心坐标为 ，半径为 ，
故选：C.
【点睛】
本题考查圆方程的求解，涉及两圆位置关系，属综合基础题.
10．某项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究中，列出各个学段每个主题所包含的条目数（如下表），下图是统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是（）
其中 为改进工艺前质量标准值 的平均值，改进工艺后，每张正牌和副牌宣纸的利润都下降2元，请判断该公司是否应该购买这种机器，并说明理由.
【答案】（1）400万元；（2）应该购买，理由见解析
【解析】（1）由频率分布直方图求得 张宣纸中各类宣纸的数量，结合每种宣纸的盈亏即可容易求得结果；
（2）由频率分布直方图求得 ，即可求得各区间的频率分布，据此即可求得结果.
2020届吉林省长春市高三质量监测（三）（三模）数学（理）试题
一、单选题
1．设集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据集合D.
【点睛】
本题考查集合的交运算，属基础题.
2．已知复数 的实部为3，其中 为虚数单位，则复数 的虚部为（）
【详解】
（1）由频率分布直方图可知，一刀（100张）宣纸中有正牌宣纸100×0.1×4=40张，
有副牌宣纸100×0.05×4×2=40张，
有废品100×0.025×4×2=20张，
所以该公司一刀宣纸的年利润为40×10+40×5+20×（-10）=400元，
所以估计该公式生产宣纸的年利润为400万元;
公式在所生产的宣纸中随机抽取了一刀（100张）进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌纸的利润是10元，副牌纸的利润是5元，废品亏损10元.
（1）估计该公式生产宣纸的年利润（单位：万元）；
（2）该公司预备购买一种售价为100万元的机器改进生产工艺，这种机器的使用寿命是一年，只能提高宣纸的质量，不影响产量，这种机器生产的宣纸的质量标准值 的频率，如下表所示：
即 的最大值为 .
【点睛】
本题考查利用正弦定理解三角形，涉及均值不等式求和的最小值，以及正切的差角公式，属综合中档题.
19．四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ， ， ， ， 为 的中点，平面 平面 ， 为 上一点， 平面 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 与底面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值.
第一、二学段“数与代数”条目数最多，第三学段“图形几何”条目数最多，故 正确；
对 中，显然“数与代数”条目数虽然随着学段的增长而增长，
而其百分比却一直在减少；而“图形几何”条目数，
百分比随着学段数先减后增，故 错误；
故选：D
【点睛】
本题考查统计图表的辨识和应用，属基础题.
11．已知数列 的各项均为正数，其前 项和 满足 ，设 ， 为数列 的前 项和，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据复数的乘法运算化简复数 ，由其实部即可求得参数 .
【详解】
，
∴ .
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的乘法运算，实部和虚部的辨识，属基础题.
3．已知向量 ， ， ，若向量 与向量 共线，则实数 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据向量的加法运算，求得 的坐标，由向量共线的坐标公式，即可容易求得结果.
【详解】
由 为奇函数，
得
当 时， .
故为得到关于原点对称的图像，只要把 向左平移 个单位即可.
故选：A
【点睛】
本题考查辅助角公式，函数图像的平移，以及余弦型函数的奇偶性，属综合中档题.
5．函数 的图象大致为（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据解析式求得函数奇偶性，以及 即可容易求得结果.
【详解】
因为 的定义域为 ，且 ，故 为偶函数，
排除C，D，验算特值 ，排除A,
故选：B
【点睛】
本题考查函数图像的辨识，涉及函数奇偶性的判断和指数运算，属基础题.
6．在 的展开式中，一定含有（）
A．常数项B． 项C． 项D． 项
【答案】C
【解析】利用二项式的通项公式，即可容易求得结果.
【详解】
由通项公式 代入 验证，
【答案】
【解析】根据极值点的定义，即可由方程的根与系数之间的关系，即可求得 以及 ，再结合对数运算即可容易求得结果.
【详解】
，
.
故答案为： ； .
【点睛】
本题考查利用导数求函数的极值点，涉及对数运算，属综合基础题.
四、解答题
17．笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即“文房四宝”.笔、墨、纸、砚之名，起源于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始于唐代，产于泾县”，而唐代泾县隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸”，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌（优等品和合格品），某公司年产宣纸10000刀（每刀100张），公司按照某种质量标准值 给宣纸确定质量等级，如下表所示：
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，构造等差数列，即可由等差数列的前 项和进行求解.
【详解】
根据题意，设正六边形的中心为 ，
容易知 均为等边三角形，
故 长度构成依次为 的等差数列
∴周长总和为 ，
故选：C
【点睛】
本题考查等差数列的前 项和的求解，属基础题.
9．已知圆 的圆心在 轴上，且与圆 的公共弦所在直线的方程为 ，则圆 的方程为（）
当 时，可得其含有 项；当 ，可得其含有 项；
当 时，可得其含有 项；
故选：C.
【点睛】
本题考查二项式的通项公式，属基础题.
7．已知直线 和平面 ，有如下四个命题：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 ；④若 ，则 .其中真命题的个数是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据面面垂直，线面垂直以及线面平行的判定，即可容易判断.
【答案】D
【解析】根据统计图表，结合每个选项即可容易求得结果.
【详解】
结合统计图表可知，
除了“综合实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，
尤其“图象几何”在第三学段增加较多，约是第二学段的 倍，故 正确；
所有主题中，三个学段的总和“图形几何”条目数最多，占50%，
综合实践最少，约占4%，故 正确；
【解析】（1）利用正弦定理将边化角，结合 ，即可容易求得；
（2）根据（1）中所求得到 之间的关系，再将 转化为关于 的函数，利用均值不等式求得函数的最值，则 的最值得解.
【详解】
(1)在 中，由 及正弦定理，
得
则 ，
.
（2）由（1）知 ，
又因为 ，故可得 ，
由均值不等式可得 ，当且仅当 时等号成立
因此 ，
14．等差数列 中， ，公差 ，且 ，则实数 的最大值为_________.
【答案】
【解析】根据等差数列的基本量，用 表示出 ，分离参数求得函数的值域，即可容易求得结果.
【详解】
由 得 ，
整理得 ，又 ，
故 .
故实数 的最大值为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查等差数列基本量的求解，涉及分式函数值域的求解，属综合中档题.
(2)由频率分布直方图可得
这种机器生产的宣纸质量指标 的频率如下表所示：
则一刀宣纸中正牌的张数为100×0.6826=68.26张，
副牌的张数约为100×（0.9544－0.6826）=27.18张，
废品的张数约为100×（1－0.9544）=4.56张，
估计一刀宣纸的利润为：68.26×（10－2）+27.18×（5－2）+4.56×9（－10）=582.02，
【详解】
①若 ，则一定有 ，故①正确；
②若 ，则 ，又因为 ，故可得 ，故②正确；
③若 ，故可得 // ，又因为 ，故可得 ，故③正确；
④若 ，则 或 ，故④错误；
综上所述，正确的有①②③.
故选：C
【点睛】
本题考查线面垂直，面面垂直的判定以及线面平行的判定，属综合基础题.
8．风雨桥是侗族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亭组成，其塔俯视图通常是正方形、正六边形和正八边形.下图是风雨桥中塔的俯视图.该塔共5层，若 ， ，则五层正六边形的周长和为（）
15．现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面 为正方形， ，侧面 为等边三角形，线段 的中点为 ，若 .则所需球体原材料的最小体积为___________.
【答案】
【解析】根据题意，讨论球体体积最小时的状态，求得此时的球半径，则问题得解.
【详解】
根据题意，取 中点为 ，连接 ，取 中点为 ，连接 ，如下所示：
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）通过线面平行，推证出点 的位置，再结合面面垂直，推证出 平面 ，即可由线面垂直推证面面垂直；
（2）以 点为坐标原点建立空间直角坐标系，由线面角求得 长度，进而再由向量法求得二面角的大小即可.
【详解】
（1）连 交 于 ，连 ，如下图所示：
因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
【答案】0.88
【解析】根据相互独立事件概率计算公式和对立事件的概率计算公式直接求解即可．
【详解】
＂至少有一个公司不需要维护＂的对立事件是＂两公司都需要维护＂，
所以至少有一个公司不需要维护的概率为 ，
故答案为0.88．
【点睛】
本题主要考查概率的求法以及相互独立事件概率计算公式和对立事件的概率计算公式的应用．
所以 ，又 为 中点，
所以 为 中点，由 ≌ ，
∴
∴ 为 中点，
∵ ，且 ，则 为平行四边形，
∵
∴ ，又 平面 ，
平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 ，
故 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以平面 ⊥平面 .即证.