角平分线、线段的垂直平分线定理专题复习

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图1
D
A B
C
m 图2
D A B C
j i
k
图3O
B C A
图5C D O A B
P E
F
I
R
Q
A 图4C D O A
B F E 角平分线定理、线段垂直平分线定理专题复习
一、知识梳理：
（一）线段垂直平分线的性质： 1、（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ， 若点C 在直线m 上，则AC ＝BC. 定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.
2、线段垂直平分线性质定理的逆定理
（1）线段垂直平分线的逆定理：
到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，
且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.
定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.
3、关于三角形三边垂直平分线的定理 （1）关于三角形三边垂直平分线的定理：
三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂 直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC. 定理的作用：证明三角形内的线段相等.
（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：
若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.
（二）角平分线的性质定理： 1、角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4，已知OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点， 若CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D ，则CF ＝DF. 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；
角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.
2、角平分线性质定理的逆定理：
角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.
定理的数学表示：如图5，已知点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ， 若PC ＝PD ，则点P 在∠AOB 的平分线上.
定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 注意：角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.
3、关于三角形三条角平分线的定理：
（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.
定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么： ① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；
② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI.
定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系： 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.
A （1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.
二、典型例题：
例1、如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边 AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm
及时练习：
（1）如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ， 如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC=_________;
（2）如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ， 如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是______;
（3）如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ， 如果∠A=28度，那么∠EBC=___. 例2、已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE.
及时练习：
已知：在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC. 求证：点O 在BC 的垂直平分线.
例3、在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC 的底角∠B 的大小为_______________。

及时练习：
在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为40°，则底角B 的大小为________________。

例4、如图8，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，且∠C ＝2∠B ，求证：BD ＝AC ＋CD.
C
A
P
B
F E C
例5、已知：如图，点B 、C 在∠A 的两边上，且AB=AC ，P 为∠A 内一点，PB=PC ，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别是E 、F 。

求证：PE=PF
及时练习：
已知： PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 平分线，它们交于P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ，求证：BP 为∠MBN 的平分线。

例6、如图10，已知在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，E 为BC 中点，连接AE 、DE ，DE 平分∠ADC ，求证：AE 平分∠BAD.
及时练习：
如图所示，AB=AC ，BD=CD ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：DE=DF 。

例7、如图11，已知在四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，且∠BAD 与∠BCD 互补， 求证：AD ＝CD.
三、课堂练习：
1.如图，AC=AD ，BC=BD ，则（ ）
A. CD 垂直平分AD
B. AB 垂直平分CD
C. CD 平分∠ACB
D. 以上结论均不对
2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（ ） A.直角三角形B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
图
7E D A C B 3. △ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于D ，如果AC=5 cm ，BC=4cm ，那么△DBC 的周长是（ ） A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm
4. 如图所示，AB//CD ，O 为∠A 、∠C 的平分线的交点，OE ⊥AC 于E ， 且OE=2，则AB 与CD 之间的距离等于______________。

5. 已知，如图，在△ABC 中，AB =AC ，O 是△ABC 内一点，且OB =OC ， 求证：AO ⊥B C.
6. 如图7，在△ABC 中，AC ＝23，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，△ACE 的周长为50，求BC 边的长.
7. 已知：如图所示，∠ACB ，∠ADB 都是直角，且AC=AD ，P 是AB 上任意一点，求证：CP=DP .
8. 如图，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ，E 是DC 上一点，AE 平分∠DAB ．
(1)如果BE 平分∠ABC ，求证：点E 是
DC 的中点； (2)如果E 是DC 的中点，求证：BE 平分∠ABC ．
C A B D
P
9. 如图，在△ABC中，AB=BC=AC，AD⊥BC于D，E、F分别为AB、AC中点．求证：DA平分∠EDF．
10. 如图，在直线MN上找一点P，使点P到直线AB和射线OC的距离相等．
四、课外作业：
1.下列命题中正确的命题有（）
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；
②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；
④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；
⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2. △ABC中，AB=AC，AC的中垂线交AB于E，△EBC的周长为20cm，AB=2BC，则腰长为________________。

，，表示三条互相交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路的3. 如图所示，直线l l l
123
距离相等，则可供选择的地址有（）
A. 一处
B. 二处
C. 三处
D. 四处
4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N.
求证：CM=2BM.
5. 如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC.
6. 如图，△ABC中，∠ABC=1000，∠ACB的平分线交AB于E，在AC上取一点D，使∠CBD=200，连结DE．求∠CED的度数．。