人教课标版高中数学必修5《数列的概念与简单表示法第二课时》名师课件2
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【人教A版】数学必修五：2.1《数列的概念与简单表示法(2)》ppt课件
a1=1,an=
1
1 n
an-1(n≥2),
所以 an = n 1 (n≥2),
an 1
n
an= an × an1 × an2 ×…× a3 × a2 ×a1= n 1 × n 2 × n 3 ×…× 2 × 1 ×1= 1 .
an 1
an2
an3
a2 a1
n n 1 n 2
32
n
又∵n=1 时,a1=1,符合上式,∴an= 1 . n
【例 4】 (1)已知数列{an}满足 a1=-1,an+1=an+ 1 ,n∈N*,求通项公式 an.
n(n 1)
(2)设数列{an}中,a1=1,an=
1
1 n
an-1(n≥2),求通项公式
an.
解:(1)∵an+1-an= 1 , n(n 1)
∴a2-a1= 1 ; 1 2
a3-a2= 1 ; 23
5(n 5(n
1) 1)
4, 4.
解这个不等式组得 2≤n≤3,
∴n=2,3, ∴a2=a3 且最小,a2=a3=22-5×2+4=-2.
题后反思 求数列{an}的最大项或最小项的方法. 求数列{an}的最大项或最小项,一种方法是利用函数的最值求解;
另一种是不等式法,求最小项可由
aann
2) 2)
6 7
6 7
n
n
(n (n
1)
6 7
n
1
,
3)
6 7
n 1
,
解得
n n
5, 4,
即
4≤n≤5,
所以 n=4 或 5,
故数列{an}中
a4
人教新课标版数学高二-必修5课件 2.1 数列的概念与简单表示法(二)
名师点评
递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系．对于通项公式，已知n 的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依 次求得其他的项．若项数很大，则应考虑数列是否有规律性．
命题角度2 由递推公式求通项 例3 (1)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－ an－1)＝an(n≥2，n∈N*)都成立．试根据这一结论，完成问题：已知数 列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，求通项an；
①通项公式法：an＝2n. ②递推公式法：aa1n＝ ＋1＝2，an＋2，n∈N*.
③列表法：
n
1
2
3
…
k
…
an
2
4
6
…
2k
…
④图象法：
探究点1 数列的函数特性
例1 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中， 着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的 一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象．
n≥2时， an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝1＋ 2＋2＋…＋2＝2(n－1)＋1＝2n－1.
(n－1)个2
a1＝1也适合上式，
所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1.
(2)若数列{an}中各项均不为零，则有 a1·aa21·aa32·…·aan－n 1＝an(n≥2，n∈N*) 成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，aan－n 1＝ n－n 1(n≥2，n∈N*)，求通项 an.
2．数列递推公式与通项公式的关系
递推公式
通项公式
区别
表示an与它的前一项 前几项)之间的关系
4.1数列的概念(第二课时)课件(人教版)
初生兔子 成熟兔子 第1月 第2月 第3月
第4月 第5月
兔子总数（对）
1+0=1 0+1=1 1+1=2
1+2=3 2+3=5
斐波那契数列：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，...
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12
a3 a2 a1
a4 a3 a2 a5 a4 a3 ......
an an-1 an2
n N * 且n 3 此数列的递推公式
递推公式：如果数列{an}的第1项或前几项已知， 并且数列{an}的第n项an与它的前一 项an－1(或前几项)的关系可以用一 个式子来表示，那么这个式子就叫
做这个数列的递推公式．
an
an1
1
nn 1
n
2，求an
an
2-
1 n
已知数列{an}满足 a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，求 an.
an en1
a2 a1 ( 5 ) a3 a2 ( 5 ) a4 a3 ( 5 )
......
an an-1 ( 5 )
n N * 且n 2 此数列的递推公式
意大利数学家斐波那契，提出了一个关于兔子繁殖的问题：
假定在不死的情况下，一对兔子每月可以生下一对 兔子（一雌一雄），初生兔子在第三个月又能生一 对兔子。由一对初生兔子开始，50个月后会有多少 对兔子？
8
A 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln
1＋1 n
，则
an＝(
)
A．2＋ln n
B.2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n
高中数学人教版必修5课件：2.1数列的概念与简单表示法(2课时)
• 按照一定顺序 排列着的一列数称为数列。
开 以下是不是同一个数列？
动 脑
4，5，6，7，8，9，10。有序性
筋 与10，9，8，7，6，5，4。
-1，1，-1，1，···。 可重复
与1，-1，1，-1，···。
1、数列的概念与一般形式：
数列中的每一个数叫做这个数列的 项 。
各项依次叫做这个数列的 第1项 (首项)，
第2项 ，…，第n项， …
an 与 an 的
数列的一般形式可以写成：
区别是什么？
a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an} 。
an 表示数列a1，a2，a3，…，an，… ，
an 只表示这个数列的第n项 .
自主学习(2min)
• 阅读教科书第28页的内容， 快速找出以下问题的答案： (1)数列按项数的多少来分可分为？ (2)数列按大小顺序来分可分为？
（2）数列an的前5项为 -1，2， - 3，4， - 5.
2、写出下面数列的一个通项公式， 使它的前4项分别是下列各数：
(1)2，4，6，8；
追踪练习 (2)1，3，5，7；
an 2n an 2n 1
(3)3，3，3，3；
an 3
(4) 1，
1， 2
1， 3
1 。an
4
1 n
找数列通项公式的关键是探求第n 项an与序号n的关系。
a3
9
an =？
100
序号n 1 2 3 4
… 10
例如：数列1，2，3，4，5，…，n的通项公
式是＿an＿=n＿。
1、根据下面数列{an}的通项公式， 写出它的前5项：
(1)an
n n 1
追踪练习
(2)an (1)n n
开 以下是不是同一个数列？
动 脑
4，5，6，7，8，9，10。有序性
筋 与10，9，8，7，6，5，4。
-1，1，-1，1，···。 可重复
与1，-1，1，-1，···。
1、数列的概念与一般形式：
数列中的每一个数叫做这个数列的 项 。
各项依次叫做这个数列的 第1项 (首项)，
第2项 ，…，第n项， …
an 与 an 的
数列的一般形式可以写成：
区别是什么？
a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an} 。
an 表示数列a1，a2，a3，…，an，… ，
an 只表示这个数列的第n项 .
自主学习(2min)
• 阅读教科书第28页的内容， 快速找出以下问题的答案： (1)数列按项数的多少来分可分为？ (2)数列按大小顺序来分可分为？
（2）数列an的前5项为 -1，2， - 3，4， - 5.
2、写出下面数列的一个通项公式， 使它的前4项分别是下列各数：
(1)2，4，6，8；
追踪练习 (2)1，3，5，7；
an 2n an 2n 1
(3)3，3，3，3；
an 3
(4) 1，
1， 2
1， 3
1 。an
4
1 n
找数列通项公式的关键是探求第n 项an与序号n的关系。
a3
9
an =？
100
序号n 1 2 3 4
… 10
例如：数列1，2，3，4，5，…，n的通项公
式是＿an＿=n＿。
1、根据下面数列{an}的通项公式， 写出它的前5项：
(1)an
n n 1
追踪练习
(2)an (1)n n
人教版高中数学高二必修五 2.1数列的概念与简单表示法(第2课时)
第2课时数列的递推公式1．知道递推公式是给出数列的一种形式．2．能够根据递推公式写出数列的前几项．递推公式如果已知数列{a n}的______(或前几项)，且任一项a n与它的________________间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．用递推公式给出数列的方法叫做递推法．递推公式也是给出数列的一种重要方法，但并不是所有的数列都有递推公式．【做一做1】已知数列{a n}中，a1＝3，a n＋1＝2a n，则a3等于()A．3 B．6 C．12 D．18答案：首项前一项a n－1(或前几项)【做一做1】C通项公式与递推公式的异同剖析：如表所示．题型一递推公式的应用【例题1】已知数列{a n}的第一项是1，以后各项由公式a n－1＝2a n－2(n＞1)给出，写出这个数列的前5项．分析：先将递推公式变形为a n＝1＋12a n－1，再根据递推公式写出数列的前几项．由a1＝1及a 2＝1＋12a 1，求出a 2这一步是解题的关键，求a 3，a 4，a 5与求a 2类似． 反思：根据递推公式写出数列的前几项，这类问题要弄清楚递推公式中各部分的关系，依次代入n 的值计算即可．解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．题型二 由递推公式写出通项公式【例题2】 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n (n －1)(n ≥2)，写出该数列前5项，并归纳出它的一个通项公式．分析：由首项及递推关系写出前5项，再观察前5项的规律，写出一个通项公式． 反思：由递推公式写出通项公式的步骤：(1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项)；(2)根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式；(3)写出一个通项公式．题型三 易错辨析【例题3】 已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝3a n ＋2，则a 3＝__________.错解：∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＝3a n ＋2.∴a 3＋1＝3a 3＋2，∴2a 3＝－1，∴a 3＝－12. 错因分析：错解中，错认为a n ＋1＝a n ＋1，其实不然，a n ＋1表示数列中的第n ＋1项，而a n ＋1表示数列中的第n 项与1的和．反思：递推公式中往往含有a n ＋m ，其意义是数列中的第n ＋m 项，通常与a n ＋m 不相等．答案：【例题1】 解：∵a n －1＝2a n －2(n ＞1)，∴a n ＝1＋12a n －1(n ＞1)． 又a 1＝1，∴a 2＝1＋12a 1＝1＋12×1＝32， a 3＝1＋12a 2＝1＋12×32＝74， a 4＝1＋12a 3＝1＋12×74＝158， a 5＝1＋12a 5＝1＋12×158＝3116. ∴这个数列的前5项是a 1＝1，a 2＝32，a 3＝74，a 4＝158，a 5＝3116.【例题2】 解：a 1＝1，a 2＝a 1＋12×1＝1＋12＝32， a 3＝a 2＋13×2＝32＋16＝53， a 4＝a 3＋14×3＝53＋112＝74， a 5＝a 4＋15×4＝74＋120＝95. 故数列的前5项分别为1，32，53，74，95. 由于1＝2×1－11，32＝2×2－12，53＝2×3－13，74＝2×4－14，95＝2×5－15， 故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2n －1n ＝2－1n. 【例题3】 正解：a 1＝3，则a 2＝3a 1＋2＝3×3＋2＝11，a 3＝3a 2＋2＝3×11＋2＝35.1数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1＝a n －3，则a 3等于( )A ．－7B ．－4C ．－1D ．22在数列{a n }中，a 1＝13，a n ＝2a n －1(n ≥2)，则a 5等于( ) A.43 B.83 C.163 D.3233(2011·北京东城二模)已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)，则a 6等于( )A ．16B ．8 C． D ．44数列{a n }中，a 2＝1，且a n ＋1＝na n ，则a 3＝__________.5数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝12n a +，试写出a 2，a 3，a 4，a 5.答案：1．A 2.C 3.D 4.25．解：a 2＝112a +＝121+＝3.a 3＝21172233a +=+=. a 4＝3132217a +=+. a 5＝41741221717a +=+=.。
高中数学 2.1数列的概念与简单表示法课件(二) 新人教A版必修5
一、复习
5. 数列的表示法 以数列 2, 4, 6, 8, 10, 12, · · · 为例 以数列: 通项公式法: 通项公式法 an=2n 5 1 2 3 4 列表法 n …
an 2 a1= 2 an= an-1 +2 (n>1) 4 6 8 10
…
图象法 递推法
已知数列{a 的第 的第1项 或前几项）， ），且任意一项 已知数列 n}的第 项（或前几项），且任意一项 an与前一项 n-1（或前几项）间的关系可以用一个公式 与前一项a 或前几项） 来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式. 来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式 递推公式
数列的概念与简单表示法
第二课时
一、复习
1. 定义：按一定顺序排列着的一列数称为数列 定义：按一定顺序排列着的一列数称为数列 a … … 简记为{a 2. 数列的一般形式： 1， a2， a3， ， an， 简记为 n} 数列的一般形式： 3. 数列的分类 4. 数列的实质 从映射的观点看，数列可以看作是：序号到数列项 从映射的观点看，数列可以看作是： 的映射 从函数的观点看，数列项是序号的函数 的函数。 从函数的观点看，数列项是序号的函数。
第1层1+2+… …+n=n*(n+1)/2 个 层 第2层1+2+… …+（n-1）=n*(Байду номын сангаас-1)/2 个 层 （ ） ………… 第n层1个 层 个 堆共n层 第n堆共 层 堆共 共1+3+6+… …+ n*(n+1)/2 个
二、练习
1. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别 写出下面数列的一个通项公式，使它的前 项分别 是下列各数： 是下列各数： (1) 3, 5, 7, 9 · · · (2) 1, 0， 1 , 0， 1，0, − 1, 0， − L (3) 10, 100, 1000, 10000 · · · (4) 9, 99, 999, 9999 · · · (5) 5, 55, 555, 5555 · · · (6) 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999 · · · 1 (7) 0, lg 2, lg 3 , lg 2, · · · 2 (8) 3, 8, 15, 24， · · · (9) −1, 8 , − 15 , 24 , ⋅⋅⋅ 5 7 9
数列的概念与简单表示法第二课时改省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
f x x2
连续旳曲线
9
4
an n2
孤立旳点
1
01 234 5 6
5
做出常数数列：4,4,4,4,图象
4
是些孤立点
3
做出摆动数列：- 1，1，- 1，1，图象
2
1
0
1
2
3
4
5
根据数列旳前若干项写出旳通项公式 旳形式唯一吗？请举例阐明。
以数列: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ···为例
当n-1≥1即n≥2时Sn-1才有意义.
2024/9/28
11
3．Sn与an之间旳关系： 由旳定义可知，当n=1时，S1=a1；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1，
即an
S1(n 1) Sn Sn1(n
2)
阐明：数列旳前n项和公式也是给出数列旳一 种措施.
2024/9/28
12
例 4 已知下列数列{an}A的组前 n 专项题和 基Sn，础训练
an
与它的前一项 an－1(或前几项)之间的关系，并且这个关系可
以用一个公式来表示．
题型一 根据递推关系求数列旳项
例2 . 已知数列1｛an｝旳第1项是1，后来旳各项 由公式 an 1 an 1 给出，写出这个数列旳前5项.
解 :据题意可知：a1=1, a2
1
1 a1
1 a3 1 a2
11 2
3, 2
4. 数列旳通项公式：
假如数列 an旳第n项 an与项数n之间旳关系能够用一种公式
an=f(n)来表达，那么这个公式就叫做这个数列旳通项公式. 5 .数列能够看成以正整数集N*(或它旳有限子集{1,2,3,...n})为 定义域旳函数an=f(n)
人教版高中数学必修五第二章2.1.2数列的概念及简单表示法PPT教学课件
例
2 、已知数列{a n }的通项公式为
a
n
＝(n
＋1
)11
0 1
n
，试问数列{a
n
}有没
有最大项？若有，求最大项；若没有，说明理由.
思路探究：①a n ＋1－a n 等于多少？②n 为何值时，a n ＋1－a n > 0 ？an＋1－ an<0?
数列吗？
学习目标
LEARNING OBJECTIVES
[提示] 不能．数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定 的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．
学习目标
LEARNING OBJECTIVES
[基础自测]
1 ．思考辨析
(1)根据通项公式可以求出数列的任意一项．( )
(n
n －1
≥2 )，则
a
5 ＝_ _ _ _ _ _ _ _ .
8
1
5 [a 2＝1 ＋a 1＝1 ＋1 ＝2 ，
1
13
a
3
＝1
＋a
2
＝1
＋ 2
＝ 2
，
1
25
a
4
＝1
＋a
3
＝1
＋ 3
＝ 3
，
1
38
a
5
＝1
＋a
4
＝1
＋ 5
＝ 5
.]
02
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
)
A ．－3
B ．－1 1
C ．－5
D ．1 9
D [a 3＝a 2＋a 1＝5 ＋2 ＝7 ， a 4＝a 3＋a 2＝7 ＋5 ＝1 2 ， a 5＝a 4＋a 3＝1 2 ＋7 ＝1 9 ，故选 D .]
高中数学《2.1 数列的概念与简单表示法》第2课时 新人教A版必修5
所以数列中有最大项，最大项为第 9,10 项， 且 a9＝a10＝1101190. 法二 假设数列{an}中有最大项，并设第 k 项为最大项，则
解 an＋1－an＝n＋n＋112＋2 1－n2n＋2 1 ＝n＋1[2nn＋2＋112＋－1n]2[n2n＋＋112＋1] ＝[n＋122n＋＋1]1n2＋1， 由 n∈N*，得 an＋1－an>0，即 an＋1>an. ∴数列{an}是递增数列．
单调性是数列的一个重要性质．判断数
列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断an ＋1与an(n∈N*)的大小，若an＋1>an恒成立，则{an} 为递增数列；若an＋1<an恒成立，则{an}为递减数 列．用作差法判断数列增减性的步骤为：①作
∴an2＋2nan－1＝0，
解得 an＝－n± n2＋1.
∵an>0，∴an＝ n2＋1－n.
(2)证明 作商比较，
∵an＋1＝ an
n＋12＋1－n＋1 n2＋1－n
＝
n2＋1＋n n＋12＋1＋n＋1<1.
又 an>0，∴an＋1<an， 故数列{an}是递减数列．
题型二 求数列的最大(小)项
第2课时 数列的性质与递推公式
【课标要求】 1．理解数列的函数特性，掌握判断数列增减性的方法． 2．理解数列的递推公式，能根据递推公式写出数列的前 n项． 【核心扫描】 1．判断数列的增减性，利用数列的增减性求最大项、最 小项．(重点) 2．由递推公式求数列的通项公式．(重、难点)
自学导引
1．数列的函数性质 (1)数列可以看成以_正__整__数__集__N_*(或它的有限子集_{_1_,_2_，__…__，__n_}_) 为定义域的函数an＝f(n)，即当自变量按照_从__小__到__大__的顺序依 次取值时，所对应的一列函数值． (2)在数列{an}中，若an＋1>an，则{an}是递增数列；若an＋1<an， 则{an}为递减数列；若an＋1＝an，则{an}为常数列．
高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法第二课时数列的性质和递推公式课件新人教A版必修5
当 an1 >1 时,数列{an}是递减数列. an
对于任意 n(n∈N*),若 an≠0,则当 an1 =1 时,数列{an}是常数列. an
(2)利用数列的图象直观地判断.
5.周期数列的概念 对于摆动数列-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,…,我们视察后可以发现,数列的项1,1 重 复 出 现 , 用 公 式 表 示 为 an=an+2. 若 记 f(n)=an, 则 可 以 表 示 为 f(n)= f(n+2),即数列中的项循环出现,我们称此类数列为周期数列. 周期数列的递推公式的一般情势为an+k=an(n∈N*,k∈N*,k≥2),如数列1,2, 3,1,2,3,1,2,3,…是周期为3的周期数列,满足an+3=an(n∈N*). 6.判断周期数列的方法 要判断一个数列是否具有周期性或求解一个周期数列,主要方法是通过递推 公式求出数列的若干项,视察得到规律或由递推公式直接发现规律.
解:(1)因为 an+1-an= 1 = 1 - 1 ,所以 a2-a1= 1 =1- 1 ;
n(n 1) n n 1
1 2 2
a3-a2= 1 = 1 - 1 ;a4-a3= 1 = 1 - 1 ;
23 2 3
34 3 4
…
an-an-1= 1 = 1 - 1 ; (n 1)n n 1 n
以上各式累加得,an-a1=1- 1 + 1 - 1 +…+ 1 - 1 =1- 1 .所以 an+1=1- 1 ,所以 an=- 1 .
②作商法:即作商 an1 (务必要确定 an 的符号)后与 1 比较对于任意 n(n∈N*),若 an>0, an
则当 an1 >1 时,数列{an}是递增数列; an
人教A版高中数学必修五课件2.1数列的概念与简单表示法2
注意：①一些数列的通项公式不是唯一的
②不是每一个数列都能写出它的通项公式 ③
20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
是些孤立点
5 4
数2
1
0 -1 1 2 3 4 5
我们好孤单！ 我们好孤单！
例2：图2.1-5中的三角形称为希尔宾斯基（ Sierpinski）三角形。在下图4个三角形中，着 色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请 写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标 系中画出它的图象。
数列的定义：
按一定顺序排列着的一列数称为 (数列具有有序性) 通项公式 的第 如果数列 n项与项数之间的关系可以用一个公 式来表示，那么这个公式就叫做这个数列 的 通项公式
例1：写出下面数列的一个通项公式，使它的 前4项分别是下列各数：
根据数列的前若干项写 出的通项公式的形式唯 一吗？请举例说明。
情景设置
递推公式也是数列的一种表示方法。
1、观察下面数列特点，用适当的数填空， 并写出每个数列的一个通项公式：
2、数列{an}通项公式是：an=n2-7n+6 (1)这个数列的第4项是多少？ (2)150是不是这个数列的项？若是这 个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项起各项都是正数？
P382,4,6
3、根据下列各个数列{an}的首项及 递推公式，写出它的前5项，并猜想 归纳通项公式(1)a1=0,an+1=an+(2n1)n∈N*
(2)a1=1,an+1=n∈N*
本节学习的主要内容有： 1、数列的有关概念 2、数列的通项公式； 3、数列的实质； 4、本节课的能力要求是： (1)会由通项公式求数列的任一项； (2)会用观察法由数列的前几项 求数列的通项公式
人教课标版高中数学必修5《数列的概念与简单表示法》教学课件2
数列是特殊的函数 an f (n)
n
f(n)
1 2
aa21
3
a3
n
an
数列的通项公式
如果数列{an}的第an项与n之间的关系可 以用一个公式来表示，那么这个公式就叫 做这个数列的通项公式。
以堆放钢管数为例：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
序号
1234 567
项
4 5 6 7 8 9 10
通项公式 an=n+3(n7)
数列的图像表示
an=an-1+1(2 n 7)
如果已知数列{an}的第1项，且任一项an与它 的前一项an-1间的关系可以用一个公式表示， 则这个公式叫做这个数列的递推公式。
例3
已知数列{an}的第1项是1，以后各项由公式
an=1+1/an-1给出，写出这个数列的前5项。
解：
a1 1,
a2
1
1 a1
1 1 1
2,
a3
1
1 a2
1
1 2
3, 2
a4
1
1 a3
11
3 2
5, 3
1
58
a5
1
a4
11
3
. 5
练习
1.用适当的数填空： （1） 2,4,（8）,16,32,（64）,128; （2）（ 1）,4,9,16,25,（36 ）,49.
2.写出下列数列的前五项： （1） a1=5,an=an-1+3 (n2), （2）a1=5,an=an-1+3 (n2).
画图时，两条坐标轴的单位长度可不同。
以堆放钢管数为例：
an
10
9
(6,9)
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an an1
a3 a2
从而an
( 1 ) n 1 3
经检验：an
(1)n1(n 3
1)
形如 an an-1 f (n) (n 2) — —累加法 形如 an f (n) (n 2) — — 累乘法
an1
例4
已知数列{a n }满足a1
2,
an1
1 1
an an
,
（1）写出数列的前5项
例2 已知数列{an}满足，a1＝1，an＝an－1＋3 (n≥2)， ① 求a2, a3 ②证明 an＝3n-2
解： ① a1 1, an an1 3(n 2)
a2 4, a3 7
②（累加法）
a1 1,a2 a1 3, a3 a2 3, , an an1 3 将上述式子相加得an 3n 2，(n 2)
解：易得数列的前6项为： 1,2,4,8,16,32.
an 2n1.
通项公式与递推公式的区别与联系
通项公式 递推公式
区别
联系
项an是序号n的函数式an＝f(n)
已知首项（或前几项）及相 可以确定数列
邻项间的关系式
例1 数列 1,3,6,10,15,的递推公式是（
）
( A) an1 an n, n N * (B) an an1 n, n N *, n 2 (C) an1 an n 1, n N *, n 2 (D) an an1 n 1, n N *, n 2
经检验，an 3n 2，(n 1)
例3 设{an}是首项为 1 的正项数列，且满足关系： an＝3an＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
解： an＝3an1(n N*)
an 3,即 an1 3, an2 3, , a2 3, a1 3
an1
an
an1
a3
a2
将上述式子相乘得：an1 an2 a2 a1 =3n1
（2）猜想该数列的规律，并求a1 • a2 • a3 •• a2015的值
解：（1）写出数列的前5项为：2,3, 1 , 1 ,2;
23
（2）可以看出该数列每隔4项，各项的值重复 出现一次，可见该数列作为函数具有周期性，周 期为4，且a1 • a2 • a3 • a4 1。
故a1 • a2 • a3 • a2015 3.
数列递推公式的主要题型： (1)根据数列的递推公式，及首项(或前几项)
求数列的前几项 (2)根据数列的递推公式求数列的通项公式，
常用方法——观察法、累加法、累乘法
《必修5》
1.体会递推公式是数列的一种表示方法． 2.理解递推公式的含义，能够根据递推公式写
出数列的前几项． 3.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式.
通项公式： 项an与项数n之间的关系， an f (n)
如果一个数列{an}的首项a1 1, 从第二项起每一项等于 它的前一项的2倍再加上1，即an 2an1 1(n 2),像这 样给出数列的方法叫做递推法，其中an 2an1 1(n 2) 称为递推公式。
如果一个数列{an}的首项a1 1, 从第二项起每一项等于 它的前一项的2倍再加上1，即an 2an1 1(n 2),像这 样给出数列的方法叫做递推法，其中an 2an1 1(n 2) 称为递推公式。
写出上述材料中数列 {an}的前5项
已知数列{an}满足a1 1, a2 2, an2 an1 2an , 写出数列的前6项，