【2014中考复习必备】数学考前50天配套练习考典40几何计算说理与说理计算问题
【2014中考复习必备】数学考前50天配套练习考典19圆、正多边形
考典19 圆、正多边形
1．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弦长为．
2．下列命题中，真命题的个数有个．
①长度相等的两条弧是等弧；
②不共线的三点确定一个圆；
③相等的圆心角所对的弧相等；
④垂直弦的直径平分这条弦．
3．已知两圆的半径R、r分别为方程x2－5x＋6＝0的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是．
4．如果两圆的直径分别为6和14，圆心距为4，那么这两圆的位置关系是．
5．已知两圆的圆心距为4，其中一个圆的半径长为3，那么当两圆内切时，另一圆的半径为．
6．已知⊙O的直径为6cm，点A在直线l上，且AO＝3cm，那么直线l与⊙O的位置关系是．
7．在△ABC中，AD是BC边上的高，且
1
2
AD BC
，E、F分别是AB、
AC的中点，以EF为直径的圆与BC位置关系是（）．
(A)相离(B)相切；(C)相交；(D)相切或相交．
8．AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么线段OE的长是．
9．已知两个同心圆的圆心为O，半径分别是2和3，且2＜OP＜3，那么点P在（）．
(A)小圆内；(B)大圆内；(C)小圆外大圆内；(D)大圆外．
10．下列说法错误的是（）．
(A)正多边形每个内角都相等；
(B)正多边形都是轴对称图形；
(C)正多边形都是中心对称图形；
(D)正多边形的中心到各边的距离相等．
11．正八边形的中心角等于度．
12．一个正多边形绕它的中心旋转36°后，就与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形是正边形．。
【2014中考复习必备】数学考前50天配套练习考典16四边形
考典16 四边形
1．下列命题中，真命题是（）．
(A)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形；
(B)有一组邻边相等的梯形是等腰梯形；
(C)有一组对角互补的梯形是等腰梯形；
(D)有两组对角分别相等的四边形是等腰梯形．
2．对角线互相平分且相等的四边形是（）．
(A)菱形；(B)矩形；(C)正方形；(D)等腰梯形．
3．既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）．
(A)平行四边形；(B)矩形；(C)等腰梯形；(D) 角．
4．在四边形ABCD中，AB＝CD，要使四边形ABCD是中心对称图形，只需添加一个条件，这个条件可以是．(只要填写一种情况) 5．在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，那么依次连结四边形ABCD 各边中点所得的四边形一定是（）．
(A)菱形；(B)矩形；(C)正方形；(D)平行四边形．
6．如果梯形的一条底边长为5，中位线长为7，那么另一条底边的长为．
7．等腰梯形的腰长为5，它的周长是22，则它的中位线长为．8．一个多边形的内角和等于外角和，这个多边形是边形．
9．若一个多边形的内角和等于900°，则这个多边形的边数是．10．已知四边形ABCD，有以下四个条件：
①AB//CD；②AB＝CD；③BC//AD；④BC＝AD．
从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有种．
11．如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC＝10，BD＝14，AB＝8，则△OAB的周长为．12．如图2，在等腰梯形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6cm，则等腰梯形ABCD的面积为_____cm2．
图1 图2。
【2014中考复习必备】数学考前50天配套练习考典28统计题
考典28 统计题1．为配合禁烟行动，某校组织同学们在我区某社区开展了“你支持哪种戒烟方式”的问卷调查，征求市民的意见，并将调查结果整理后制成了如下统计图：根据统计图解答：(1) 同学们一共随机调查了人；(2) 请你把统计图补充完整；(3) 如果在该社区随机咨询一位市民，那么该市民支持“强制戒烟”的概率是；(4) 假定该社区有1万人，请估计该地区支持“警示戒烟”这种方式大约有人．2．为了解本县初三学生体育测试自选项目的情况，从本县初三学生中随机抽取了部分学生的自选项目进行统计，绘制了扇形统计图和频数分布直方图，请根据图中信息，回答下列问题：（1）本次调查共抽取了名学生；（2）将频数分布直方图补充完整；（3）样本中各自选项目人数的中位数是；（4）本县共有初三学生4600名，估计本县有名学生选报篮球项目．3．在2010年上海世博会举行期间，某初级中学组织全校学生参观世博园，亲身体验“城市让生活更美好”的世博理念．为了解学生就学校统一组织参观过的5个场馆的最喜爱程度，随机抽取该校部分学生进行问卷调查（每人应选且只能选一个场馆），数据整理后，绘制成如下的统计图：请根据统计图提供的信息回答下列问题：（1）本次随机抽样调查的样本容量是；（2）本次随机抽样调查的统计数据中，男生最喜爱场馆的中位数是名；（3）估计该校女生最喜爱泰国馆的约占全校学生数的%（保留三个有效数字）；（4）如果该校共有2000名学生，而且六、七、八年级学生人数总和比九年级学生人数的3倍还多200名，试通过计算估计该校九年级学生最喜爱中国馆的人数约为多少名？4．某区为了解预备年级3600名学生每学年参加社会实践活动的时间，随机对该年级50名学生进行了调查，结果如下表：（1）在这个统计中，众数是，中位数是；（2）请你估算该区预备年级的学生中，每学年参加社会实践活动时间不少于10天的大约有人；（3）如果该年级的学生到初二学年时每人平均参加社会实践活动时间减少到6.4天，求平均每学年学生减少参加社会实践活动时间的百分率．。
【2014中考复习必备】数学考前50天配套练习考典6根的判别式、根与系数的关系
考典 6
根的判别式、根与系数的关系
1 ．一元二次方程 x 2 － 2 x ＋ 3 ＝ 0 的根的判别式的值是 ． 2 2 ． 已知关于 x 的方程 x － 4 x ＋ a ＝ 0 有两个相等的实数根，那么 a 的 值是 范围是 ． 3 ．关于 x 的方程 x 2 － 3 x ＋ m ＝ 0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值 ． ．
＝
是
10 ．如果关于 x 的方程 x2 ax a 1 0 有两个相等的实数根，那么 a 的值等于 ． 11 ． 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 有 两个实数根，则下列关 于判别式 b 2 － 4 c 的判断正确的是（ (A) b 2 － 4 c ≥ 0 ； (C) b 2 － 4 c ＝ 0 ； ） ． (B) b 2 － 4 c ＞ 0 ； (D) b 2 － 4 c ＜ 0 ．
） ． (A) 有两个不相等的实数根； (B) 有两个相等的实数根； (C) 没有实数根； (D) 不能确定的． 2 13 ． 若一元二次方程 2 x － mx ＋ m ＝ 0 有两个相等的实数根， 则 m＝ ． 2 2 14 ．如果关于 x 的方程 x － (2 m － 1) x ＋ m ＝ 0 有两个实数根，那么 m 的取值范围是 ．
2
4 ．如果关于 x 的一元二次方程 x 2 － x ＋ m ＝ 0 有两个不相等的实数根， 那么 m 的取值范围是 5 ．如果关于 x 的方程 x ＋ kx ＋ 9 ＝ 0 （ k 为常数）有两个相等的实数根， 则 k＝ ． 是 是 6 ．如果方程 kx 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ 0 有两个不等实数根，则实数 k 的取值范围 ． 7 ．若关于 x 的方程 2 x 2 － ax － 2 a ＝ 0 有两个相等的实数根，则 a 的值 ． 8 ．已知关于 x 的方程 x 2 ＋ 2 x ＋ m 2 ＝ 0 有两个相 等的实数根，那么 m ． 9 ．已知关于 x 的方程 x 2 mx 2 有两个相等的实数根，那么 m 的值 ．
中考数学考前50天得分专练4新人教版
福建省连江明智学校 中考数学 考前50天得分专练4 新人教版一、选择题（下列各题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题3分，满分36分） 1．比1小2的数是（ ）Ａ．3- Ｂ．2- Ｃ．1- Ｄ．1 2．结果为2a 的式子是（ ） Ａ．63a a ÷Ｂ．42a a -Ｃ．12()a -Ｄ．42a a -3．如图，水平放置的下列几何体，主视图不是．．长方形的是（ ）4．如图，直线y kx b =+交坐标轴于A B ，两点，则不等式0kx b +>的解集是（ ） Ａ．2x >-Ｂ．3x >Ｃ．2x <-Ｄ．3x <5．如图，坡角为30的斜坡上两树间的水平距离AC 为2m ，则两树间的坡面距离AB 为（ ） Ａ．4m Ｂ．3mＣ．43m 3Ｄ．43m6．A B C D E ，，，，五个景点之间的路线如图所示．若每条路线的里程(km)a 及行驶的平均速度(km/h)b 用()a b ，表示，则从景点A 到景点C 用时最少．．．．的路线是（ ）Ａ．A E C →→ Ｂ．A B C →→ Ｃ．A E B C →→→Ｄ．A B E C →→→7．如图，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ） Ａ．4 Ｂ．6 Ｃ．16 Ｄ．558．为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x ，则下列方程正确的是（ ） Ａ．225003600x =Ｂ．22500(1)3600x +=Ｃ．22500(1%)3600x += Ｄ．22500(1)2500(1)3600x x +++=9．如图，在ABC △中，点E D F ，，分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．．的是（ ） Ａ．四边形AEDF 是平行四边形Ｂ．如果90BAC ∠=，那么四边形AEDF 是矩形 Ｃ．如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形 Ｄ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形10．已知：m n ，是两个连续自然数()m n <，且q mn =．设p q n q m =+-则p （ ）Ａ．总是奇数Ｂ．总是偶数Ｃ．有时是奇数，有时是偶数 Ｄ．有时是有理数，有时是无理数11．如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为（ ）Ａ．2cmＢ．3cmＣ．23cmＤ．25cm12．如图，在ABC △中，2AB AC ==，20BAC ∠=．动点P Q ，分别在直线BC 上运动，且始终保持100PAQ ∠=．设BP x =，CQ y =，则y 与x 之间的函数关系用图象大致可以表示为（ ）二、填空题（每小题4分，满分24分）13．当99a =时，分式211a a --的值是．14．东海县素有“水晶之乡”的美誉．某水晶商店一段时间内销售了各种不同价格的水晶项链75条，其价格和销售数量如下表：下次进货时，你建议该商店应多进价格为元的水晶项链．15．小明家离学校1.5km ，小明步行上学需min x ，那么小明步行速度(m /min)y 可以表示为1500y x=；水平地面上重1500N 的物体，与地面的接触面积为2m x ，那么该物体对地面压强2(/m )y N 可以表示为1500y x=；，函数关系式1500y x=还可以表示许多不同情境中变量之间的关系，请你再列举1．例．：．16．正ABC △的边长为3cm ，边长为1cm 的正RPQ △的顶点R 与点A 重合，点P Q ，分别在AC ，AB 上，将RPQ △沿着边AB BC CA ，，顺时针连续翻转（如图所示），直至点P 第一 次回到原来的位置，则点P 运动路径的长为cm ．（结果保留π）17．当22x -<<时，下列函数中，函数值y 随自变量x 增大而增大的是（只填写序号）①2y x =；②2y x =-；③2y x=-；④268y x x =++． 18．右图是一山谷的横断面示意图，宽AA '为15m ，用曲尺（两直尺相交成直角）从山谷两侧测量出1m OA =，3m OB =，0.5m O A ''=，3m O B ''=（点A O O A ''，，，在同一条水平线上）则该山谷的深h 为m ．三、计算与求解19．（本小题满分6分）计算：02122sin 45--+．20．（本小题满分6分）解方程：11322xx x-=---．。
人教版数学中考复习《代数计算及通过代数计算进行说理问题》
代数计算及经过代数计算进行说理问题例 12017年北京市中考第29 题在平面直角坐标系中，⊙ C 的半径为 r ，P 是与圆心 C 不重合的点，点 P 对于⊙ C的反称点的定义以下： 若在射线 CP 上存在一点 P ′，知足 CP ＋ CP ′＝ 2r ，则称点 P ′ 为点 P 对于⊙ C 的反称点．如图 1 为点 P 及其对于⊙ C 的反称点 P ′的表示图．特别地，当点 P ′与圆心 C 重合时，规定 CP ′＝ 0． （ 1）当⊙ O 的半径为 1 时，①分别判断点 M(2, 1)，N ( 3,0) ，T (1, 3) 对于⊙ O 的反 2称点能否存在？若存在，求其坐标；②点 P 在直线 y ＝－ x ＋ 2 上，若点 P 对于⊙ O 的反称点 P ′存在，且点 P ′不在 x 轴上，求点 P 的横坐标的取值范围；图 1（ 2）⊙ C 的圆心在 x 轴上，半径为 1，直线 y3 3 与 x 轴、 y 轴分别交于x 23点 A 、 B ，若线段 AB 上存在点 P ，使得点 P 对于⊙ C 的反称点 P ′在⊙ C 的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围．例 2 2017年福州市中考第22 题如图 1，抛物线 y 1 ( x 3)2 1 与 x 轴交于2A 、B 两点（点 A 在点 B 左边），与 y 轴交于点C ，极点为D ．（ 1）求点 A 、B 、C 的坐标；（ 2）联络 CD ，过原点 O 作 OE ⊥ CD ，垂足为 H ， OE 与抛物线的对称轴交于点E ，联络 AE 、AD ．求证：∠AEO ＝∠ ADC ；（ 3）以（ 2）中的点 E 为圆心， 1 为半径画圆， 在对称轴右边的抛物线上有一动点 P ，过 P 作⊙E 的切线，切点为 Q ，当 PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标．图 1例 3 2017年南京市中考第26 题已知二次函数y＝ a(x－m)2－ a(x－m)（ a、 m 为常数，且 a≠0）．（ 1）求证：无论 a 与 m 为什么值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点；（2）设该函数的图像的极点为 C，与 x 轴订交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 D．①当△ ABC 的面积等于 1 时，求 a 的值②当△ ABC 的面积与△ ABD 的面积相等时，求 m 的值．分析例 12017年北京市中考第29 题在平面直角坐标系中，⊙ C 的半径为 r ，P 是与圆心 C 不重合的点，点P 对于⊙ C 的反称点的定义以下：若在射线CP上存在一点P′，知足CP＋CP′＝2r，则称点P′为点 P 对于⊙ C 的反称点．如图 1 为点 P 及其对于⊙ C 的反称点 P′的表示图．特别地，当点P′与圆心 C 重合时，规定CP′＝ 0．（ 1）当⊙ O 的半径为 1 时，①分别判断点M(2, 1)，N (3,0)，T (1,3) 对于⊙O的反2称点能否存在？若存在，求其坐标；②点 P 在直线 y＝－ x＋ 2 上，若点 P 对于⊙ O 的反称点P′存在，且点 P′不在 x 轴上，求点 P 的横坐标的取值范围；图 1 （ 2）⊙ C 的圆心在 x 轴上，半径为 1，直线 y3 x 2 3 与x轴、y轴分别交于3点 A、 B，若线段 AB 上存在点 P，使得点 P 对于⊙ C 的反称点 P′在⊙ C 的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围．动感体验请翻开几何画板文件名“ 15 北京 29”，拖动点圆心 C 在 x 轴上运动，能够体验到，当点 P′在圆内时， CP 的变化范围是 1＜CP≤ 2．思路点拨1．反称点 P′能否存在，就是看CP′能否大于或等于0．2．第（ 2）题反称点 P′在圆内，就是 0≤ CP′＜1，进一步转变为0≤ 2－ CP＜ 1．满分解答（ 1）①对于 M(2, 1)， OM＝ 5 ．因为OM′＝ 2 5 ＜0，所以点M不存在反称点（如图 2）．如图 3，对于 N (3,0) ，ON ＝3．因为 ON ′＝ 2 3 1 ，所以点 N ′的坐标为 ( 1,0) ．22 2 2 2如图 4，对于 T (1, 3) ，OT ＝ 2．因为 OT ′＝ 0，所以点 T 对于⊙ O 的反称点 T ′是(0,0)．图 2图 3图 4②如图 5，假如点 P ′存在，那么 OP ′＝2－ OP ≥0．所以 OP ≤ 2．设直线 y ＝－ x ＋2 与 x 轴、 y 轴的交点分别为 A 、B ，那么 OA ＝OB ＝ 2．假如点 P 在线段 AB 上，那么 OP ≤ 2．所以知足 OP ≤ 2 且点 P ′不在 x 轴上的点 P 的横坐标的取值范围是 0≤x ＜2．（ 2）由 y3 x2 3 ，得 A(6, 0)，B (0,2 3) ．所以 tan ∠A ＝OB3 ．3OA3所以∠ A ＝ 30°．因为点 P ′在⊙ C 的内部，所以 0≤ CP ′＜1． 解不等式组0≤2－ CP ＜1，得 1＜CP ≤2．过点 C 作 CP ⊥AB 于 P ，那么 CP ＝ 1AC ．所以2＜AC ≤4．2所以 2≤ OC ＜ 4．所以圆心 C 的横坐标的取值范围是 2≤x ＜ 4（如图 6，图 7 所示）．图5图6 图7考点伸展第（ 2）题假如把条件“反称点 P ′在⊙ C 的内部”改为“反称点P ′存在”，那么圆心 C 的横坐标的取值范围是什么呢？假如点 P ′存在，那么 CP ′≥ 0．解不等式 2－ CP ≥0，得 CP ≤ 2．所以 AC ≤4．所以圆心 C 的横坐标的取值范围是2≤x ＜ 6．例 2 2017年福州市中考第 22 题1 2与 x 轴交于 如图 1，抛物线 y( x 3) 12A 、B 两点（点 A 在点 B 左边），与 y 轴交于点C ，极点为 D ．（ 1）求点 A 、B 、C 的坐标；（ 2）联络 CD ，过原点 O 作 OE ⊥ CD ，垂足为 H ， OE 与抛物线的对称轴交于点 E ，联络 AE 、AD ．求证：∠AEO ＝∠ ADC ；（ 3）以（ 2）中的点 E 为圆心， 1 为半径画圆， 在对称轴右边的抛物线上有一动点 P ，过 P 作⊙E 的切线，切点为 Q ，当 PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标．图 1动感体验请翻开几何画板文件名“ 14 福州 22”，拖动点 P 在抛物线上运动，能够体验到，当 PE 最小时， PQ 也最小．思路点拨1．计算点 E 的坐标是重点的一步，充足利用、发掘等角（或同角）的余角相等．2．求 PE 的最小值，设点 P 的坐标为 (x, y)，假如把 PE 2 表示为 x 的四次函数，运算很麻烦．假如把 PE 2 转变为 y 的二次函数就比较简易了．满分解答（ 1）由 y1(x 21 1 x 27，得 D(3, 1) ， C(0, 7) ．3) 3x2222由 y1 21 [( x 22]1 32)( x 32) ，(x 3)13) (x222得 A(3 2,0) ， B(3 2,0) ．（ 2）设 CD 与 AE 交于点 F ，对称轴与 x 轴交于点 M ，作 DN ⊥ y 轴于 N ．如图 2，由 D (3, 1) ， C(0, 7) ，得 DN ＝3， CN9．所以 tan DCN DN2 ．22CN 3如图 3，由 OE ⊥ CD ，得∠ EOM ＝∠ DCN ．所以 tanEOMEM 2 ．OM3所以 EM ＝2，E(3, 2)．由 A(32,0) ， M (3,0) ，得 AM2 ．所以 tan AEMAM 2， tan DAM DM12 ．EM2AM22所以∠ AEM ＝∠ DAM ．于是可得∠ AED ＝90°．如图 4，在 Rt △EHF 与 Rt △ DAF 中，因为∠ EFH ＝∠ DFA ，所以∠ HEF ＝∠ ADF ，即∠ AEO ＝∠ ADC ．图 2图 3图 4（ 3）如图 5，在 Rt △ EPQ 中， EQ 为定值，所以当 PE 最小时， PQ 也最小． 设点 P 的坐标为 (x, y) ，那么 PE 2＝ (x － 3)2＋(y －2) 2． 已知 y1 (x 3)2 1 ，所以 (x 3)2 2 y 2 ．2所以 PE 2(2 y 2) ( y 2) 2 y 2 2 y 6 ．所以当 y ＝ 1 时， PE 获得最小值．解方程 1( x2 1 1 ，得 x ＝5，或 x ＝1（在对称轴左边，舍去） ．3)2所以点 P 的坐标为 (5, 1) ．此时点 Q 的坐标为 (3, 1) 或 ( 19 , 13 ) （如图 6 所示）．5 5图5 图6 图7考点伸展第（ 3）题能够这样求点 Q 的坐标：设点 Q 的坐标为 (m, n)． 由 E(3, 2) 、 P(5, 1)，可得 PE 2＝ 5．又已知 EQ 2＝ 1，所以 PQ 2＝ 4．22m19 ,( m 3)( n2)1, m 13,25列方程组( m 5)2( n 1)2解得n 1 1,134,n 2.5还能够如图 7 那样求点 Q 的坐标：对于 Q(m, n)，依据两个暗影三角形相像，能够列方程组m 3 n 2 1 ．n 1 5 m2相同地，对于 Q ′(m, n)，能够列方程组m3 2 n 1 ．1 n 5 m2例 3 2017年南京市中考第 26 题已知二次函数 y ＝ a(x －m)2－ a(x －m)（ a 、 m 为常数，且 a ≠0）． （ 1）求证：无论 a 与 m 为什么值，该函数的图像与 x 轴总有两个公共点；（ 2）设该函数的图像的极点为 C ，与 x 轴订交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于点 D ．①当△ ABC 的面积等于 1 时，求 a 的值②当△ ABC 的面积与△ ABD 的面积相等时，求 m 的值．动感体验请翻开几何画板文件名 “ 13 南京 26”，拖动 y 轴上表示实数 a 的点能够改变 a 的值，拖动点 A 能够改变 m 的值．分别点击按钮“ m 1 ”、“ m 2 ”、“ m 3”，再改变实数 a ，能够体验到，这 3 种状况下，点 C 、 D 到 x 轴的距离相等．请翻开超级画板文件名“ 13 南京 26”， 拖动 点 A 能够改变 m 的值，竖直拖动点 C 能够改变 a 的值．分别点击按钮，可获得△ ABC 的面积与△ ABD 的面积相等的三种情况。
中考数学专题复习： 几何与函数问题专项练习附答案
中考数学专题复习：几何与函数问题专项练习附答案【知识纵横】客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。
几何与函数问题就是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性。
函数与几何的综合题，对考查学生的双基和探索能力有一定的代表性，通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何的性质，沟通函数与几何的有机联系，可以培养学生的数形结合的思想方法。
【典型例题】【例1】己知AB=2,AD=4f ZDAB=90\AD//BC(如图).E是射线BC上的动点(点E与点B不重合),M是线段庞的中点.(1)设BE=x,△ABM的面积为y,求y关于工的函数解析式，并写出函数的定义域；(2)如果以线段AB为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段况的长；(3)联结交线段AM于点N,如果以A N,D为顶点的三角形与任;相似,【思路点拨】(1)取AB中点H,联结MH;(2)先求出DE；(3)分二种情况讨论。
【例2】(山东青岛)己知：如图(1),在RtAACB中，ZC=90S AC=4cm, BC=3cm,点F由B出发沿HA方向向点A匀速运动，速度为lcm/s；点。
由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ.若设运动的时间为f(s)(0<Z<2),解答下列问题：(1)当，为何值时，PQ//BC?(2)设△AQP的面积为y(cm2),求y与，之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻使线段PQ恰好把Rt/\ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时/的值；若不存在，说明理由；(4)如图(2),连接PC,并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP'C,那么是否存在某一时刻，，使四边形PQPC为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由・刀图(1)图(2)P'【思路点拨】(1)设BP为t,则AQ=2t,证△4QQ s AABC；(2)过点P作PH A-AC 于H.(3)构建方程模型，求t;(4)过点P作PMA.A C于PNTBC于N,若四边形POP'C 是菱形，那么构建方程模型后，能找到对应f的值。
【2014中考复习必备】数学考前50天配套练习考典27几何证明、说理题
考典27 几何证明、说理题1．已知：如图1，梯形ABCD中，AD//BC，E
是BC的中点，∠BEA＝∠DEA，联结AE、BD相交
于点F，BD⊥CD．
（1）求证：AE＝CD；
（2）求证：四边形ABED是菱形．图1
2．如图2，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点
O为边AC的中点，点D为边AB上一点，过点C作
AB的平行线，交DO的延长线于点E．
（1）证明：四边形ADCE为平行四边形；
（2）当四边形ADCE为怎样的四边形时，
AD＝BD，并加以证明．图2
3．如图3，已知△ABC中，点D、E、F分别是
线段AC、BC、AD的中点，连FE、ED，BF的延长
线交ED的延长线于点G，联结GC．
求证：四边形CEFG为梯形．
图3
4．如图4，EF 是平行四边形ABCD 的对角线BD
的垂直平分线，EF 与边AD 、BC 分别交于点E 、F ．
（1）求证：四边形BFDE 是菱形；
（2）若E 为线段AD 的中点，求证：AB ⊥BD . 图4
5．已知：如图5，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，
DE 是直角边AB 的垂直平分线，∠DBA ＝∠ABC ，连接AD ．
求证：(1) 四边形ABCD 是梯形；
（2）BC AD 21
．
图5
6．如图6，AB 是⊙O 的弦，点D 是AB 的中点，
过B 作AB 的垂线交AD 的延长线于C ．
求证：AD ＝DC ．
图6。
2014年中考数学专题(考点知识梳理+典例精析+巩固训练+考点训练)复习：第32讲 与圆有关的计算
37 C. 2
考点训练
35 D. 2
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(2)(2012· 宁波)如图，用邻边分别为 a，b(a<b)的矩形硬 纸板裁出以 a 为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、 两个半圆均相切的两个小圆．把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧 面， 小圆恰好能作为底面， 从而做成两个圣诞帽(拼接处所用 材料忽略不计)，则 a 与 b 满足的关系式是( )
考点训练
D．6π
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(2)(2012· 临沂)如图，AB 是⊙O 的直径，点 E 为 BC 的 中点，AB＝4，∠BED＝120° ，则图中阴影部分的面积之和 为( )
A．1
考点知识梳理
3 B. 2
C. 3
D．2 3
考点训练 首页 上一页 下一页
中考典例精析
基础巩固训练
【点拨】(1)根据图示知∠BAB′ ＝45° ，所以根据弧长 nπr 公式 l＝ 求得 BB′的长； 180 (2)首先证明△ABC 是等边三角形，其次证△EDC 为等 边三角形，而 BE 和弦 BE 围成的部分的面积等于 DE 和弦 DE 围成的部分的面积．
第32讲 与圆有关的计算
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考点一弧长、扇形的面积 1．如果弧长为 l，圆心角为 n° ，圆的半径为 r，那么弧 nπr 长的计算公式为：l＝ . 180 2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图 形叫做扇形．若扇形的圆心角为 n° ，所在圆半径为 r，弧长 nπr2 1 为 l，面积为 S，则 S＝ ，或 S＝ lr. 360 2 (注：公式中的 n 表示 1° 的圆心角的倍数，所以不写单 位．)
【2014中考复习必备】数学考前50天配套练习考典36面积的存在性问题
考典36 面积的存在性问题
1．如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；
（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
2．如图2，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，CB∥OA，OC＝4，BC＝3，OA＝5，点D在边OC上，CD＝3，过点D作DB的垂线DE，交x轴于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点B和点E．
①求二次函数的解析式和它的对称轴；
②如果点M在它的对称轴上且位于x轴上
方，满足S△CEM＝2S△ABM，求点M的坐标．
图2
3．如图3，已知：抛物线y＝x2＋bx－3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，并且OA = OC．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）过点C作CE // x轴，交抛物线于点E，设抛物线的顶点为点D，试判断△CDE的形状，并说明理由；
（3）设点M在抛物线的对称轴l上，且△MCD的面积等于△CDE的面积，请写出点M的坐标（无需写出解题步骤）．
图3
4．如图4，在△ABC中，∠C＝90°，A C＝3，BC＝4，若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，设AE＝x．试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．
图4。
【2014中考复习必备】数学考前50天配套练习考典1实数的概念与运算
考典 1
1 ．分解素因数： 12 ＝ 2 ．计算 ( － 3) 2 的结果是（
实数的概念与运算
． ） ．
3 ． － 2 的绝对值等于 _______ ． 4 ．下列实数中，无理数是 （ ． ） (A) 9 ； (B) 3 8 ； （ C ） 5 ． 4 的平方根是 6 ．计算： 2 8 7 ．下列运算正确的是（
1 ； a
(B)
b3 ；
(C)
m2 1 ；
ab 3 ．
14 ．下列根式中，与 18 为同类二次根式的是（ (A) 2 ； 15 ．已知 (A) 1 ； (B) 3 ； (C) 5 ；
） ． (D) 6 ． )．
2a 4与 2 是同类二次根式 , 实数 a 的值可以是 (
(B) 2 ； (C)3 ；
(D) 4 ．
1 (A) 9 3
； （ D ） 3.3030030003 ． 2
． ．
） ． (C) ． ．
1 92
3；
(B) 9 3 ；
1 3
3；
(D) 9 3 ．
1 2
2 8 ．计算： ( 3 2)
9 ．计算 ( 2 1)(2
2 )
10 ．求值： sin30 °· tan60 °＝ ． 11 ．下列运算正确的是（ ） (A) 4 ＝± 2 ； (B) － ( x － 1) ＝－ x － 1 ； (C) － 3 2 ＝ 9 ； (D) － |－ 2| ＝－ 2 ． 12 ．分母有理化： 1 ． 2 1 13 ．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ (A) ） ． (D)
第一部分
答错的原因主要是粗心． 最好的源自议是：简单题的答题策略简单题错失一道将悔恨不已，因此要加强简单题的准确性训练．
【2014中考复习必备】数学考前50天配套练习考典13二次函数的图象与性质
考典13 二次函数的图象与性质
1．二次函数y＝－(x－1)2＋2图像的顶点坐标是（）．
（A）(1,2)；（B）(－1,2)；（C）(－1,－2)；（D）(1,－2)．2．二次函数y＝2x2－3图像的顶点坐标为．
3．抛物线y＝x2＋2x＋1的顶点坐标是．
4．抛物线y＝1
2x
2 先向上平移3个单位，再向右平移2个单位，得到新
抛物线的解析式为____________．
5．如果将抛物线y＝x2－3向左平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后的抛物线表达式是．
6．将抛物线y＝－3x2＋1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的新抛物线的表达式是．
7．将二次函数y＝－(x－1)2－2的图像沿y轴向上平移3个单位，那么平移后的二次函数解析式为．
8．二次函数y＝－2x2＋3x的图像在对称轴的左侧是．（填“上升”或“下降”）
9．已知一个二次函数的图像在y轴左侧部分是上升的，在y轴右侧部分是下降的，又经过点A（1，1）．那么这个二次函数的解析式可以是
（写出符合要求的一个解析式即可）．
10．已知f（x）＝ax2+bx+c（其中a、b、c为常数，且a≠0），小红在用描点法画y＝f（x）的图像时，列出如右边的表格，根据该表格，下列判断中，不正确的是（）．
(A)抛物线y＝f（x）开口向下；
(B)抛物线y＝f（x）的对称轴是直线x＝1；
(C) f（4）＝─ 5；(D) f（5）＜f（6）．。
中考数学冲刺讲义第5讲-几何计算与说理
PC AB
第 1 页 共 14 页
（3）要求 QPC 的大小，而题中与 QPC 有关的条件是“ PQ AD ”，由（2）知若 PC AB
过点 P 向 AB 和 BC 作垂线 PN 和 PM，可得 PN AD ，所以 PN PQ ，既而可得
PM AB
PM PC
RtPCM ∽ RtPQN ，易得 QPC 90 ．
13
（1）如图 1，当点 E 与点 C 重合时，求 CM 的长；
（2）如图 2，当点 E 在边 AC 上时，点 E 不与点 A、C 重合，设 AP = x，BN = y，求 y
关于 x 的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）若 AME ∽ ENB（ AME 的顶点 A、M、E 分别与 ENB 的顶点 E、N、B 对应），
∴ CPM QPN ．
∵ MPN 90 ，∴ CPM QPM QPN QPM MPN 90 ，
即 QPC 90 ．
第 2 页 共 14 页
【例 2】 在 RtABC 中，∠ACB = 90°，BC = 30，AB = 50．点 P 是 AB 边上任意一点，直线
PE⊥AB，与边 AC 或 BC 相交于 E．点 M 在线段 AP 上，点 N 在线段 BP 上，EM = EN， sin EMP 12 ．
2
离为 x， SAPQ SPBC
y
，其中 SAPQ 表示 APQ 的面积， SPBC 表示 PBC
【2014中考复习必备】数学考前50天配套练习考典26几何画图、计算题
图3
4 ．如图 4 ，在梯形 ABCD 中， DC ∥ AB ， AD ＝ BC ， BD 平分∠ ABC ，∠ A ＝ 60° ． （ 1 ）求∠ CDB 的度数； （ 2 ）当 AD ＝ 2 时，求对角线 BD 的长和梯形 ABCD 的面积．
图4
5 ．如图 5 ， AB 是⊙ O 的直径， C 是⊙ O 上一点， CD ⊥ AB ，垂足为点 D ， F 是 AC 的中点， OF 与 AC 相 交于点 E ， AC 8 cm， EF 2 cm． （ 1 ）求 AO 的长； （ 2 ）求 sinC 的值． 图5
2 ．如图 2 ，在△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90° ，AC ＝ 6 ，BC ＝ 8 ， CD 是边 AB 上的中线． （ 1 ）求 CD 的长； （ 2 ）请过点 D 画直线 AB 的垂线，交 BC 于点 E（直 接画在图中） ，并求 CE 的长．
A D
C
B
图2
3 ．如图 3 ，在△ ABC 中，∠ C ＝ 90° ，点 D 、 E 分 别在边 AC 、AB 上，BD 平分∠ ABC ，DE ⊥ AB ， AE 8 ， 3 sin A ． 5 （ 1 ）求 CD 的长； （ 2 ）求 t anDB C的值．
6 ．已知：如图， BC 是⊙ O 的弦，点 A 在⊙ O 上， 4 AB ＝ AC ＝ 10 ， sin ABC ． 5 （ 1 ）求弦 BC 的长； （ 2 ）求∠ OBC 的正切的题
1 ．如图 1 ，在单位长度为 1 的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交 点 A、 B、 C． （ 1 ）请完成如下操作： ①以点 O 为原点，网格边长为单位长，建立平面直角坐标 系； ②根据图形提供的信息， 标出该圆弧所在圆 的圆心 D ，并连结 AD 、 CD ． （ 2 ）请在（ 1 ）的基础上，完成下列填空： ①写出点的坐标： C _______ 、 D _______ ； ②⊙ D 的半径 = _______ ； （ 3 ）求∠ ACO 的正弦值． 图１
【2014中考复习必备】数学考前50天配套练习考典29函数
考典29 函数1．甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地480千米的目的地，乙车比甲车晚出发2小时（从甲车出发时开始计时）图中折线OABC、线段DE分别表示甲、乙车所行路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图像.（线段AB表示甲出发不足2小时因故停车检修）请根据图像提供的信息，解决如下问题：（1）乙车所行路程y与x时间的函数解析式是________________，定义域是_______________；（2）两车在途中第二次相遇时，它们距出发地____________千米；（3）两车在途中第一次相遇时，它们距出发地____________千米.2．A、B两城间的公路长为450千米，甲、乙两车同时从A城出发沿这一公路驶向B城，甲车到达B城1小时后沿原路返回．如图是它们离A 城的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图像．（1）求甲车返回过程中y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）乙车行驶6小时与返回的甲车相遇，求乙车的行驶速度．3．如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA 运动至点A停止．设点P运动的路程为x（cm），△ABP的面积为y(cm2)，y关于x的函数图象如图2所示．（1）BC边的长是cm；（2）矩形ABCD的面积为cm2；（3）图2中M点的坐标是；（4）若点P的运动速度为2cm/s，设点P运动的时间为t（s）, 试求当点P运动到线段DA上时△ABP的面积y(cm2)关于t（s）的函数关系式，并写出其定义域，且在图3的直角坐标系内画出其相应的图像．图1 图2 图34．甲车从A地出发以60km/h的速度沿公路匀速行驶0.5小时后，乙车也从A地出发，以80km/h的速度沿该公路与甲车同向匀速行驶．（1）设乙车出发之后行驶的时间为x（小时），分别写出甲车、乙车行驶路程y1、y2（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数关系式；（2）利用（1）中建立的函数关系式，求乙车出发后几小时追上甲车．。
【2014中考复习必备】数学考前50天配套练习考典37抛物线的平移问题
抛物线的平移问题
1 x 1 交坐标轴于 A 、 B 两点，以线段 AB 2
1 ．如图 1 ，已知直线 y
为边向上作正方形 ABCD ，过点 A 、D 、C 的抛物线与直线另一个交点为 E ． （ 1 ）请直接写出点 C 、 D 的坐标； （ 2 ）求抛物线的解析式； （ 3 ）若正方形以每秒
5 个单位长度的速度沿直线 AB 下滑，直至顶
点 D 落在 x 轴上时停止，抛物线也随着正方形一起平移，同时停止，求抛 物线上 C 、 E 两点间的抛物线弧所扫过的面积．
图1
2 ．如图 2 ，已知一次函数 y
1 x m的图象经过点 A( － 2,3) ， 并 2
与 y 轴相交于点 B ， 二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx － 2 的图象经过点 A 和点 B ． （ 1 ）分别求这两个函数的解析式； （ 2 ）如果将二次函数的图象沿 y 轴向上平移， 平移后的图象与一次函数的图象相交于点 P ，与 y 轴相交于点 Q ，当 PQ // x 轴时，试问二次函数的图 象平移了几个单位？ 图2
3. 、 B 两点，线段 4
OA 上有一动点 P 由原点 O 向点 A 运动，速度 为每秒 1 个单位长度， 设运 动时间为 t 秒．过 点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 C ，以 C 为顶点 的抛 物线 y ＝ ( x ＋ m ) 2 ＋ n 与直 线 AB 的另一个交点为 D ． （ 1 ）求 CD 的长； （ 2 ）设△ COD 的 OC 边上的高为 h ，当 t 为何值时， h 的值最大？
图4
图3
4 ．如图 4 ， 已知在直角 坐标平面内， 点 A 的坐标为（ 3 ，0 ） ， 第一 象限内的点 P 在直线 y ＝ 2 x 上，∠ PAO = 45 °． （ 1 ）求点 P 的坐标； （ 2 ）如果二次函数的图像经过 P 、 O 、 A 三点，求这个二次函数的解 析式，并写出它的图像的顶点坐标 M ； （ 3 ）如果将第（ 2 ）小题的二次函数的图像向上或向下平移，使它的 顶点落在直线 y ＝ 2 x 上的点 Q 处，求△ APM 与△ APQ 的面积之比．
中考数学压轴试题复习 第三部分 专题一 代数计算及通过代数计算进行说理问题-人教版初中九年级全册数学
§3．1 代数计算及通过代数计算进行说理问题课前导学计算说理是通过计算得到结论；说理计算侧重说理，说理之后进行代入求值．压轴题中的代数计算题，主要是函数类题．函数计算题必考的是待定系数法求函数的解析式，按照设、列、解、验、答五步完成，一般来说，解析式中待定几个字母，就要代入几个点的坐标．还有一类计算题，就是从特殊到一般，通过计算寻找规律．代数计算和说理较多的一类题目，是确定直线与抛物线的交点个数.联立直线和抛物线的解析式组成方程组，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，然后根据∆确定交点的个数．我们介绍一下求函数图像交点坐标的几何方法．如图1，已知直线y ＝x ＋1与x 轴交于点A ，抛物线y ＝x 2－2x －3与直线y ＝x ＋1交于A 、B 两点，求点B 的坐标的代数方法，就是联立方程组，方程组的一个解是点A 的坐标，另一个解计算点的坐标．几何法是这样的：设直线AB 与y 轴分别交于C ，那么tan ∠AOC ＝1．作BE ⊥x 轴于E ，那么1BE AE=．设B(x , x 2－2x －3)，于是22311x x x --=+． 请注意，这个分式的分子因式分解后，(1)(3)11x x x +-=+．这个分式能不能约分，为什么？因为x ＝－1的几何意义是点A ，由于点B 与点A 不重合，所以x ≠－1，因此约分以后就是x －3＝1．这样的题目一般都是这样，已知一个交点求另一个交点，经过约分，直接化为一元一次方程，很简便．图1例 1 2014年某某省某某市中考第25题在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1,1），(－2,－2)，，…，都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．（1）若点P(2, m)是反比例函数nyx=（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y＝3kx＋s－1（k、s为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）若二次函数y＝ax2＋bx＋1（a、b是常数，a＞0）的图象上存在两个“梦之点”A(x1, x1)、B(x2, x2)，且满足－2＜x1＜2，| x1－x2|＝2，令2157 248t b b=-+，试求t的取值X围．动感体验请打开几何画板文件名“14某某25”，拖动y轴正半轴上表示实数a的点，可以体验到，A、B两点位于y轴同侧，A、B两点间的水平距离、竖直距离都是2，并且对于同一个a，有两个对应的b和b′，但是t随b、t随b′变化时对应的t的值保持相等．思路点拨1．“梦之点”都在直线y＝x上．2．第（2）题就是讨论两条直线的位置关系，分重合、平行和相交三种情况．3．第（3）题放弃了也是明智的选择．求t关于b的二次函数的最值，b的取值X围由“梦之点”、－2＜x1＜2和| x1－x2|＝2三个条件决定，而且－2＜x1＜2还要分两段讨论．图文解析（1）因为点P(2, m)是“梦之点”，所以P(2, 2)．所以4yx =．（2）“梦之点”一定在直线y＝x上，直线y＝3kx＋s－1与直线y＝x的位置关系有重合、平行、相交．图1 图2 图3①如图1，当直线y ＝3kx ＋s －1与直线y ＝x 重合时，有无数个“梦之点”．此时k ＝13，s ＝1．②如图2，当直线y ＝3kx ＋s －1与直线y ＝x 平行时，没有“梦之点”．此时k ＝13，s ≠1．③如图3，当直线y ＝3kx ＋s －1与直线y ＝x 相交时，有1个“梦之点”．此时k ≠13，“梦之点”的坐标为11(,)3131s s k k ----． （3）因为A (x 1,x 1)、B (x 2,x 2)两点是抛物线与直线y ＝x 的交点，联立y ＝ax 2＋bx ＋1和y ＝x ，消去y ，整理，得ax 2＋(b －1)x ＋1＝0．所以x 1x 2＝1a＞0．所以A 、B 两点在y 轴的同侧． 如图4，由| x 1－x 2|＝2，可知A 、B 两点间的水平距离、竖直距离都是2．已知－2＜x 1＜2，我们分两种情况来探求a 的取值X 围：①当A 、B 两点在y 轴右侧时，0＜x 1＜2，2＜x 2＜4．所以0＜x 1x 2＜8．②当A 、B 两点在y 轴左侧时，－2＜x 1＜0，－4＜x 2＜－2．所以0＜x 1x 2＜8． 综合①、②，不论0＜x 1＜2或－2＜x 1＜0，都有0＜x 1x 2＜8．所以0＜1a ＜8．所以a ＞18． 由ax 2＋(b －1)x ＋1＝0，得x 1＋x 2＝1b a -，x 1x 2＝1a． 由| x 1－x 2|＝2，得(x 1－x 2)2＝4．所以(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4．所以22(1)44b a a--=．整理，得22(1)44b a a -=+． 所以2157248t b b =-+＝2109(1)48b -+＝21094448a a ++＝261(21)48a ++．如图5，这条抛物线的开口向上，对称轴是直线12a =-，在对称轴右侧，t 随a 的增大而增大．因此当18a =时，t 取得最小值，t ＝2161(1)448++＝176． 所以t 的取值X 围是t ＞176．图4 图5考点伸展第（3）题我们也可以这样来讨论：一方面，由| x 1－x 2|＝2，得(x 1－x 2)2＝4．所以(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4． 所以22(1)44b a a--=．整理，得22(1)44b a a -=+． 另一方面，由f (2)＞0，f (－2)＜0，得f (2)f (－2)＜0． 所以[42(1)1][42(1)1]a b a b +-+--+＜0．所以22(41)4(1)a b +--＝22(41)4(44)a a a +-+＝18a -＜0．所以a ＞18．例 2 2014年某某省某某市中考第23题设m 是不小于－1的实数，使得关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2－3m ＋3＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）若12111x x +=，求132m-的值； （2）求2121211mx mx m x x +---的最大值． 动感体验请打开几何画板文件名“14某某23”，拖动x 轴上表示实数m 的点运动，可以体验到，当m 小于1时，抛物线与x 轴有两点交点A 、B ．观察点D 随m 运动变化的图像，可以体验到，当m ＝－1时，点D 到达最高点．思路点拨1．先确定m 的取值X 围，由两个条件决定．2．由根与系数的关系，把第（1）题的已知条件转化为关于m 的方程．3．第（2）题首先是繁琐的式子变形，把m 提取出来，可以使得过程简便一点． 图文解析（1）因为方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2－3m ＋3＝0有两个不相等的实数根，所以∆＞0． 由∆＝4(m －2)2－4(m 2－3m ＋3)＝－4m ＋4＞0，得m ＜1．又已知m 是不小于－1的实数，所以－1≤m ＜1．由根与系数的关系，得122(2)24x x m m +=--=-+，21233x x m m ⋅=-+． 若12111x x +=，那么1212x x x x +=⋅．所以22433m m m -+=-+． 整理，得210m m --=．解得m =m =．所以323(12m -=-=．所以132m -2． （2）2121211mx mx m x x +---＝121211x x m m x x ⎡⎤+-⎢⎥--⎣⎦＝122112(1)(1)(1)(1)x x x x m m x x ⎡⎤-+--⎢⎥--⎣⎦＝12121212()21()x x x x m m x x x x ⎡⎤+--⎢⎥-++⎣⎦＝22(24)2(33)1(24)33m m m m m m m m ⎡⎤-+--+-⎢⎥--++-+⎣⎦ ＝222+42m m m m m m ⎡⎤---⎢⎥-⎣⎦＝22(1)(1)m m m m m ⎡⎤---⎢⎥-⎣⎦＝222m m -+-＝2(1)3m -++．所以当m ＝－1时，它有最大值，最大值为3（如图1所示）．图1考点伸展当m变化时，抛物线y＝x2＋2(m－2)x＋m2－3m＋3＝0的顶点的运动轨迹是什么？因为抛物线的对称轴是直线x＝－(m－2)，所以抛物线的顶点的纵坐标y＝(m－2)2－2(m－2)2＋m2－3m＋3＝m－1．因为x＋y＝－(m－2)＋m－1＝1为定值，所以y＝－x＋1．也就是说，抛物线的顶点(x, y)的运动轨迹是直线y＝－x＋1（如图2所示）．图2例 3 2014年某某省某某市中考第26题如图1，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的对称轴为x＝2，且经过原点，直线AC的解析式为y＝kx＋4，直线AC与y轴交于点A，与二次函数的图象交于B、C两点．（1）求二次函数解析式； （2）若1=3AOB BOC S S △△，求k 的值； （3）若以BC 为直径的圆经过原点，求k 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“14某某26”，拖动点C 在抛物线上运动，可以体验到，当以BC 为直径的圆经过原点时，△BMO ∽△ONC ．思路点拨1．第（2）题先将面积比转化为AB 与BC 的比，进而转化为B 、C 两点的横坐标的比．2．第（2）题可以用直线的解析式表示B 、C 两点的坐标，再代入抛物线的解析式列方程组；也可以用抛物线的解析式表示B 、C 两点的坐标，再代入直线的解析式列方程组．3．第（3）题先联立抛物线与直线，根据一元二次方程根与系数的关系，得到B 、C 两点的横坐标的和与积，再构造相似三角形列方程．图文解析（1）因为原点O 关于直线x ＝2的对称点为(4, 0)，所以抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的解析式为y ＝－x (x －4)＝－x 2＋4x ．（2）如图2，因为1==3AOB BOC S AB S BC △△，所以1=4B C x x ．设x B ＝m ，那么x C ＝4m ． 将点B (m , km ＋4)、C (4m , 4km ＋4)分别代入y ＝－x (x －4)，得4(4),444(44).km m m km m m +=--⎧⎨+=--⎩①② ①－②÷4，整理，得m 2＝1．所以m ＝1．将m ＝1代入①，得k ＋4＝3．解得k ＝－1．此时点C 落在x 轴上（如图3）．（3）因为B 、C 是直线y ＝kx ＋4与抛物线的交点，设B (x 1,kx 1＋4)，C (x 2,kx 2＋4)． 联立y ＝－x 2＋4x 和y ＝kx ＋4，消去y ，整理，得x 2＋(k －4)x ＋4＝0．所以x 1＋x 2＝4－k ，x 1x 2＝4．如图5，若以BC 为直径的圆经过原点，那么∠BOC ＝90°．作BM ⊥y 轴，⊥y 轴，垂足分别为M 、N ，那么△BMO ∽△ONC ．根据BM ON MO NC=，得1212(4)4x kx kx x -+=+． 所以212121212(4)(4)[4()16]x x kx kx k x x k x x =-++=-+++．将x 1＋x 2＝4－k ，x 1x 2＝4代入，得24[44(4)16]k k k =-+-+．解得54k =-．图2 图3 图4考点伸展第（2）题也可以先用抛物线的解析式设点B 、C 的坐标，再代入直线的解析式列方程组． 将点B (m ,－m 2＋4m )、C (4m ,－16m 2＋16m )分别代入y ＝kx ＋4，得 2244,16164 4.m m km m m km ⎧-+=+⎪⎨-+=+⎪⎩①②①×4－②，得12m 2＝12．所以m ＝1．将m ＝1代入①，得3＝k ＋4．解得k ＝－1．例 4 2014年某某省株洲市中考第24题已知抛物线252(2)4k y x k x +=-++和直线2(1)(1)y k x k =+++． （1）求证：无论k 取何实数值，抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）抛物线与x 轴交于A 、B 两点，直线与x 轴交于点C ，设A 、B 、C 三点的横坐标分别是x 1、x 2、x 3，求x 1·x 2·x 3的最大值；（3）如果抛物线与x 轴的两个交点A 、B 在原点的右边，直线与x 轴的交点C 在原点的左边，又抛物线、直线分别交y 轴于点D 、E ，直线AD 交直线CE 于点G （如图1），且CA ·GE ＝CG ·AB ，求抛物线的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“14株洲24”，拖动y 轴上表示实数k 的点运动，可以体验到，抛物线与x 轴总是有两个交点．观察x 1·x 2·x 3随k 变化的函数图像，可以体验到，x 1·x 2·x 3是k 的二次函数．还可以体验到，存在一个正数k ，使得AD 与BE 平行．思路点拨1．两个解析式像庞然大物，其实第（1）题的语境非常熟悉，走走看，豁然开朗．2．第（2）题x 1·x 2·x 3的最小值由哪个自变量决定呢？当然是k 了．所以先求x 1·x 2·x 3关于k 的函数关系式，就明白下一步该怎么办了．x 1·x 2由根与系数的关系得到，x 3就是点C 的横坐标．3．第（3）题的等积式转化为比例式，就得到AD //BE ．由此根据OD ∶OA ＝OE ∶OB 列方程，再结合根与系数的关系化简．还是走走看，柳暗花明．图文解析（1）因为222(52)17(2)42()424k k k k k +∆=+-⨯=-+=-+＞0，所以无论k 取何实数值，抛物线与x 轴有两个不同的交点．（2）由2(1)(1)y k x k =+++，得C (－(k ＋1), 0)．所以x 3＝－(k ＋1)．由根与系数的关系，得x 1·x 2＝(52)4k +． 所以x 1·x 2·x 3＝1(52)(1)4k k -++＝21(572)4k k -++． 因此710x =-当时，x 1·x 2·x 3取得最大值，最大值＝14949(52)410010-⨯-+＝980． （3）如图2，由CA ·GE ＝CG ·AB ，得CA CG AB GE =． 所以AG //BE ，即AD //BE ．所以OD OE OA OB =，即212(52)(1)4k k x x ++=．所以22122(52)(1)4k k x x x ++=⋅．所以222(1)1k x +=． 所以x 2＝k ＋1，或－k －1（舍）．又因为x 1＋x 2＝k ＋2，所以x 1＝1，即A (1, 0)．再将点A (1, 0)代入252(2)4k y x k x +=-++，得5201(2)4k k +=-++． 解得k ＝2．所以抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3．图2 图3考点伸展把第（3）题中的条件“CA ·GE ＝CG ·AB ”改为“EC ＝EB ”，其他条件不变，那么抛物线的解析式是怎样的呢？如图3，因为点E 在y 轴上，当EC ＝EB 时，B 、C 两点关于y 轴对称，所以B (k ＋1, 0)． 将点B (k ＋1, 0)代入252(2)4k y x k x +=-++，得252(1)(2)(1)04k k k k ++-+++=． 解得k ＝2．所以抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3．。
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几何计算说理与说理计算问题
1 ．如图 1 ，在平面直角坐标系中，二次函数 y ＝ ax 2 ＋ 6 x ＋ c 的图像经 过点 A (4, 0) 、 B ( － 1,0) ，与 y 轴交于点 C ，点 D 在线段 OC 上， OD ＝ t ，点 E 在第二象限，∠ ADE ＝ 90 °， tan DAE （ 1 ）求这个二次函数的解析式； （ 2 ）求线段 EF 、 OF 的长（用含 t 的代数式表示） ； （ 3 ）当∠ ECA ＝∠ OAC 时，求 t 的值．
图3
4 ．在 Rt △ ABC 中， AB ＝ BC ＝ 4 ，∠ B ＝ 90 °，将一直角三角板的直 角顶点放在斜边 AC 的中点 M 处，将三角板绕点 M 旋转，三角板的两直角 边分别与边 AB 、BC 或其延长线上交于 D 、E 两点 ( 假设三角板的两直角边 足够长 ) ，如图 4 、图 5 表示三角板旋转过程中的两种情形． （ 1 ）直角三角板绕点 M 旋转过程中，当 BE ＝ 腰三角形； 时，△ MEC 是等
（ 2 ）直角三角板绕点 M 旋转到图 1 的情形时，求证： MD ＝ ME ； （ 3 ）如图 6 ，若将直角三角板的直角顶点 M 在 斜边 AC 上移动，设 AM ∶ MC ＝ m ∶ n ( m 、 n 为正数 ) ，试判断 MD 、 ME 的数量关系，并说明 理由．图4图5 Nhomakorabea图6
C
CD CD 的值是否 发生变 AC BC 化，若不变，试求出这个不变的值，若变化， 试说明理由．
BC 的长度 变化 时，
A
B
图2
3 ．在△ ABC 中，∠ BAC ＝ 90 °， AB ＜ AC ， M 是 BC 边的中点， MN ⊥ BC 交 AC 于点 N ．动点 P 从点 B 出发沿射线 BA 以每秒 3 厘米的速度运 动．同时动点 Q 从点 N 出发沿射线 NC 运动，且始终保持 MQ ⊥ MP ．设运 动时间为 t 秒（ t ＞ 0 ） ． （ 1 ）△ PBM 与△ QNM 相似吗？以图 3 为例说明理由； （ 2 ）若∠ ABC ＝ 60 °， AB 4 3 厘米． ①求动点 Q 的运动速度； ②设△ APQ 的面积为 S ( 平方厘米 ) ，求 S 与 t 的 函数关系式； （ 3 ）探求 BP 2 、 PQ 2 、 CQ 2 三者之间的数量关系，以图 3 为例说明理 由．
1 ， EF ⊥ OD ，垂足为 F ． 2
图1
2 ．如图 2 ，已知 △ ABC 中，∠ ACB ＝ 90 °，点 P 到∠ ACB 两边的距离 相等，且 PA ＝ PB ． （ 1 ）先用尺规作出符合要求的点 P （保留作图痕迹，不需要写作法） ， 然后判断 △ ABP 的形状，并说明理由； （ 2 ）设 PA ＝ m ， PC ＝ n ，试用 m 、 n 的代数 式表示 △ ABC 的周长和面积； （ 3） 设 CP 与 AB 交于点 D ， 试探索当边 AC 、