专题16 与双变量有关的恒成立问题(原卷版)

备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第二篇

专题十六 与双变量有关的恒成立问题

一、问题指引

函数背景下的双变量问题，一直是高考的热点与难点，求解基本方法是利用相关知识转化为一个变量的函数问题．

二、方法详解

（一）构造齐次式，换元

【例】（2020年河南高三期末）已知函数()2ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程

为2y x =.

（1）求实数,a b 的值；

（2）设()()()()21212,,0F x f x x mx m R x x x x =-+∈<<分别是函数()F x 的两个零点，求证：0F '

<.

【类题展示1】【四川省2020届高三期末】已知函数()()2

1f x x axlnx ax 2a R 2

=-++∈有两个不同的极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2． （1）求实数a 的取值范围； （2）求证：x 1x 2＜a 2．

【类题展示2】（2020·湖北高三期末）已知函数()1

2ln f x x a x x

=-+⋅. （1）讨论()f x 的单调性；

（2）设()2

ln g x x bx cx =--，若函数()f x 的两个极值点()1212,x x x x <恰为函数()g x 的两个零点，且

()12122x x y x x g +⎛⎫'=-⋅ ⎪⎝⎭的范围是2ln 2,3⎡⎫

-+∞⎪⎢⎣⎭

，求实数a 的取值范围.

(二)各自构造一元函数

【例】（2020·河南高三月考）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax +1（a ∈R ）． （1）求f （x ）的单调区间； （2）设g （x ）＝lnx 3

44x x

-

+，若对任意的x 1∈（0，+∞），存在x 2∈（1，+∞），使得f （x 1）＜g （x 2）成

立，求实数a 的取值范围．

【类题展示】【广东省2020届高三期末】设函数2

()()e ()x

f x x ax a a -=+-⋅∈R . （1）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程；

（2）设2

()1g x x x =--，若对任意的[0,2]t ∈，存在[0,2]s ∈使得()()f s g t ≥成立，求a 的取值范围.

(

（三)消元构造一元函数

【例】已知函数f(x)={e −x +1,x ≤0,2√x, x >0.

函数y =f(f(x)+1)−m(m ∈R)恰有两个零点x 1和x 2．

（1）求函数f(x)的值域和实数m 的最小值；

（2）若x 1

【类题展示】【四川省2020届高三期末已知函数f(x)=x 2+ax −alnx . （1）若函数f(x)在[2,5]上单调递增，求实数a 的取值范围；

（2）当a =2时，若方程f(x)=x 2+2m 有两个不等实数根x 1，x 2，求实数m 的取值范围，并证明x 1x 2<1.

(四)独立双变量，化为两边同函数形式

【例】（2020·深圳市高三期末）已知函数()()1ln f x kx x =-，其中k 为非零实数. （1）求()f x 的极值；

（2）当4k =时，在函数()()2

2g x f x x x =++的图象上任取两个不同的点()11,M x y 、()22,N x y .若

当120x x t <<<时，总有不等式()()()12124g x g x x x -≥-成立，求正实数t 的取值范围：

【类题展示】设函数． （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调递减区间和极小值（其中为自然对数的底数）； （2）若对任何恒成立，求的取值范围．

【类题展示】已知函数f (x )=x +xlnx .

（Ⅰ）求函数f (x )的图象在点(1,1)处的切线方程；

（Ⅰ）若k ∈Z ，且k (x −1)1恒成立，求k 的最大值； （Ⅰ）当n >m ≥4时，证明：(mn n )m >(nm m )n .

(五)把其中一个看作自变量，另一个看作参数

【例】【山东2020高三期末】已知a R ∈，函数()()2ln 12f x x x ax =+-++

（Ⅰ）若函数()f x 在[)2,+∞上为减函数，求实数a 的取值范围；

（Ⅰ）设正实数121m m +=，求证：对)1()(f x f ≥上的任意两个实数1x ，2x ，总有

()()()11221122f m x m x m f x m f x +≥+成立

【类题展示】【福建省2020高三期末】已知函数f(x)=e x −x ，g(x)=(x +k)ln(x +k)−x ． （1）若k =1，f ′(t)=g ′(t)，求实数t 的值．

（2）若a,b ∈R +，f(a)+g(b)≥f(0)+g(0)+ab ，求正实数k 的取值范围．

(六)利用根与系数的关系，把两变量用另一变量表示 【例】（2020山西高三期末）设函数1

()ln ()f x x a x a R x

=-

-∈ ()ln ,k R k

f x x x

=+

∈()y f x =()()

,e f e 20x -=()f x e ()()121212

0,x x f x f x x x >>-<-k