函数项级数一致收敛性的判别法

函数项级数一致收敛性的判别法摘 要 函数项级数是数学分析中的重点和难点,因此讨论和分析它的性质和判别方法显得尤为重要,本文给出了函数项级数的定义以及函数项级数一致收敛性的判别定理，并用之来解决函数项级数一致收敛性的一些问题比较容易.关键词 函数项级数；一致收敛性；判别法. 中图分类号 O173.1Function Seies Convergence CriterionAbstrac t ：Function is a mathematical analysis of series of focus and difficult, so the discussion and analysis of its nature and it is particularly important to identify methods.In this paper, the definition of Function series and uniform convergence of Function series of discriminant theorem,and used to solve the series of uniform convergence of Function of some of the problems is easier. Key words ：Function series; Uniform convergence of; Discriminance1 引言及预备知识如果函数项级数具有一致收敛性,函数项级数的和函数或余和易于求得,判别它的一致收敛性可应用一致收敛定义,如果很难求得它的和函数或余和，就根据函数自身的结构,找到判别一致收敛性的判别法.定义1.1[1] 设()12(),,u x u x …()n u x ,…是一列定义在D 上的函数,把这些函数的各项用加号连接起来的表达式()()12u x u x ++…+()n u x +…或()1n n u x ∞=∑, (1)称为函数项级数.a D ∀∈ 函数级数在a 对应一个数值级数1()Un a ∞=∑=12()()u a u a ++...+()n u a +. (2)它的敛散性可用数值级数敛散性的判别法判别,若级数(2)收敛,则称a 是函数级数(1)的收敛点;若级数(2)发散,则称a 是函数级数(1)的发散点.定义 1.2[1] 函数项级数(1)的收敛点的集合,称为函数项级数(1)的收敛域,若收敛域是一个区间,则称此区间是函数项级数的收敛区间.定义 1.3[1]设数集E 为函数项级数()1n n u x ∞=∑的收敛域,则对每个x E ∈记S(x)=()1nn u x ∞=∑称S(x)为函数项级数()1nn u x ∞=∑的和函数.定义1.4[1] 设()n u x ,(n=1,2…)都是在数集D 上有定义的函数,若存在一个在D 上有定义的函数S(x),对任意的ξ>0,存在自然数集N,使得当n ≥N 时.对一切的 x ∈D 均有|()()1nk x s x k u -∣=∑|<ε则称函数项级数()1n n u x ∞=∑在数集D 上一致收敛于()S x .引理1.1[3]函数项级数一致收敛的柯西准则:函数项级数()1n x n u ∞=∑在数集D 上一致收敛的充要条件是:对任意的ε>0,存在自然数集N,使n ≥N 时,对任意的自然数p 及一切x D ∈均有1()n pnk n u x ε+=+<∑.引理 1.2[1]阿贝尔引理 若i) 1ε2ε⋯n ε是单调,ii)对任意正整数k (1≤k ≤n)有|k δ|≤A(这里k δ=1v +2v +⋯k v ),则记}{max k kεξ=有|1nk k k v ε=∑|≤3εA.2 主要结论及初步应用 2.1 地尼判别法定理 1 设0)(≥x n u 在[,]a b 上连续, 1,2n =⋯有()1n n u x ∞=∑在[,]a b 收敛于连续函数)(x f ,则()1n n u x ∞=∑在[,]a b 上一致收敛于)(x f .证 用反证法 若()1n n u x ∞=∑在[,]a b 不一致收敛于连续函数)(x f ,)(x S n 为级数的部分和,则1230,k n n n n ε∃><<<<<和[,]nk x a b ∈使得0()()nk nk nk f x S x ε-≥.对{}[,]nk x a b ⊂应用聚点定理, {}nk x ∃的子列收敛于0[,]x a b ∈,不妨设此子列即为{}nk x 固定m ,当k n m <时0()()()()nk m nk nk nk nk f x S x f x S x ε-≥-≥.令k →∞，由于)()(x S x f m -的连续性,因此000()()m f x S x ε-≥这与01()n n u x ∞=∑收敛于1()nn u x ∞=∑矛盾.例1 证明在区间[0,1]上函数序列),2,1(,1 =⎪⎭⎫⎝⎛+n n x n一致收敛于x e .证 nn x ⎪⎭⎫⎝⎛+1在区间[0,1]上递增趋于x e ,x e 在[0,1]上连续,应用地尼定理 所以nn x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1是一致收敛于xe . 例2 函数序列),2,1(11)( =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=n n x e x f nnx n 是一致收敛.证 由于 ]1,0[,11)(lim ∈+=∞→x ex f xn n ， 又因 ()x n n xnnx xn e n x e n xe e xf x f +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--+=-11)1(1)()(, 11-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≤n xnxe n x e ,01111→-+⎪⎭⎫⎝⎛+-≤n n e n e .故)(x f n 一致收敛于)(x f .这类例题它在区间上是连续的,并且它收敛于一个连续用地尼判别法显得比较有效.2..2 狄利克雷判别法定理2 设1) ()n u x ∑的部分和函数列1()(),(1,2,)n n n u x u x n ∞===∑在D 上一致有界,2)对于每一个x D ∈{}()n u x 是单调的,3)在D 上()n v x 一致收敛于)(0∞→n 则级数()()nnu x v x ∑在D 上一致收敛.证明 1)存在正整数M,对一切的x D ∈,有()n u x M <因此当p n ,为任何正整数时12()()()()()2n n n p n p n u x u x u x u x u x M ++++++≤-≤.对于每一个x D ∈,再由2)及阿贝尔引理得到())(2)()()()(21x v x u x u x u x u p n p n p n n n ++++++≤+++ ,())()(2x v x v M npn -≤+.再由3)对任给的ε>0,存在正整数N ,当N n >时, 对一切的x D ∈有()n v x ε<.所以11()()()()2(2)6n n n p n p u x v x u x v x M M εεε++++++≤+=,于是由一致收敛性的柯西准则级数()()n n u x v x ∑在D 上一致收敛.例3 )0(,1sin sin 1+∞≤≤+∑∞=x n nxx n .解 设()sin sin ,n u x x nx=()n v x =由于1cos ()212(1cos )2nn k x u x n x=≤≤++∑.于是()n u x ∑的部分和一致有界,而nx v 1)(≤故()n v x 一致收敛于0,由狄利克雷判别法,原级数一致收敛例4 若数列{}n a 单调且收敛于零,则级数nx a n cos ∑在)0](2,[πααπα<<-上一致收敛.证 在()απα-2,上有212sin 21212sin21212sin 2)21sin(cos 1+≤+≤-+=∑=αx x x n kx nk . 所以级数nx cos ∑的部分和函数列在]2,[απα-上一致有界于是令nx x v nx x u n n cos )(,cos )(==.则由狄利克雷判别法可得级数在]2,[απα-上一致收敛.这个例子是由简单的几个函数构成的把它拆分成两部分)(x u n 在给定区间上是有界函数)(x v n 收敛于零,故用狄利克雷判别法较为有效.3 阿贝尔判别法定理3 设1)()n u x ∑在区间D 上一致收敛2)对于每一个x I ∈{}()n v x 是单调的3){}()n v x 在D 上一致有界,即对一切x I ∈和正整数n ,存在正数M 使得()v x M ≤则级数()()nnu x v x ∑在D 上一致收敛.证明 由1)任给ε0〉,存在某正数N 使得当 N n >任何正整数p ,对一切x D ∈有12()()()n n n p u x u x u x ε+++++<.又由2),3)及阿贝尔定理()11()()()()()2()3n n n p n p n p n p u x v x u x v x u x v x M εε++++++++≤+=.于是根据函数项级数一致收敛性的柯西准则得到()()n n u x v x ∑一致收敛.例5 ]1,0[,)(12∈+∑∞=+x n n x x n nn解 21(),()nn n x x u x v x n n +⎛⎫== ⎪⎝⎭由于 21()n u x n≤, 于是()n u x ∑一致收敛,又因对固定的[0,1]x ∈{()n v x }单调递增,且()n v x ε<. 故由阿贝尔判别法，原级数一致收敛.例6 证明:若级数n a ∑收敛则狄利克雷级数∑∞=1n xnna 当0≥x 时一致收敛. 证明 设x n n n n x v a x u 1)(,)(==因为∑∞=1n n a 当0≥x 时一致收敛,)(x v n 当x 固定时是单调的且11≤x n ,故由阿贝尔判别法可知∑∞=1n xn n a 当0≥x 时一致收敛.这种题型可以看作是两个调和级数的相加,因为)(x u n 在给定区间上它是收敛的并且)(x v n 是单调函数,应用阿贝尔判别法较为有效.参 考 文 献[1]华东师范大学数学系.数学分析下册[M].北京,高等出版社,2001.[2]毛一波.函数项级数一致收敛的判定[J].重庆文理学院学报(自然科学出版社),2006(4)：2-4. [3]吴良森.毛羽辉等,数学分析习题精解[M].北京科学出版社,2002：17-30.[4]关冬月.关于一致收敛的几个问题[J].内蒙古农业大学学报,2003.24 (3)：5-6. [5]裴礼文.数学分析中的典型问题与解法[M].北京:高等教育出版社:34_56.。