伯努利不等式

伯努利不等式

数学中的伯努利不等式是说：对任意整数n≥0，和任意实数x≥-1，有 (1+x)^n≥1+nx 成立；

如果n≥0是偶数，则不等式对任意实数x成立。

可以看到在n = 0,1，或x = 0时等号成立，而对任意正整数n≥2 和任意实数x≥-1，x≠0，有

严格不等式：

(1+x)^n＞1+nx。

伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。

设x＞-1,且x≠0,n是不小于2的整数,则(1+x)^n≥1+nx.

证明:

用数学归纳法:

当n=1,上个式子成立,

设对n-1,有:

(1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x成立,

则

(1+x)^n

=(1+x)^(n-1)(1+x)

>=[1+(n-1)x](1+x)

=1+(n-1)x+x+(n-1)x^2

>=1+nx

就是对一切的自然数,当

x>=-1,有

(1+x)^n>=1+nx

下面把伯努利不等式推广到实数幂形式：

若r ≤0或r ≥ 1，有(1+x)^r ≥ 1 + rx

若0 ≤ r ≤ 1，有(1+x)^r ≤ 1 + rx

这个不等式可以直接通过微分进行证明，方法如下：

如果r=0，1，则结论是显然的

如果r≠0，1，作辅助函数f(x)=(1+x)^r-(1+rx), 那么

f'(x)=r*(1+x)^(r-1)-r, 则f'(x)=0 <==> x=0;

下面分情况讨论：

1. 0 < r < 1，则对于x > 0，f'(x) < 0；对于− 1 < x < 0，f'(x) > 0。因此f(x)在x = 0处取最大值0，故得(1+x)^r ≤ 1+rx。

2. r < 0或r > 1，则对于x > 0，f'(x) > 0；对于− 1 < x < 0，f'(x) < 0。因此f(x)在x = 0处取最小值0，故得(1+x)^r ≥ 1+rx 证毕