第4讲5(2) 正交试验设计(方差分析)
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第4讲（5） 正交试验设计 （方差分析）
4.5.3 考虑交互作用的正交试验设计
在一些试验中，不仅单个因素对指标分 别有影响，而且因素间还会联合起来对指标 有影响，常称这种联合作用为交互作用. 正交表中，每一列的离差平方和反映了 所排因素的不同水平之间的差异程度.而每两 个因素的交互作用的差异程度也正好是正交 表中另一些列的离差平方和.那些列就称为这 两个因素所在列的交互作用列.
例3 试验结果分析表
水 试 验 1 2 3 4 平 号 列 号 A 1 1 1 1 B 1 1 2 2 A×B 1 1 2 2 C 1 2 1 2 A×C 1 2 1 2 B×C 1 2 2 1 误差列 1 2 2 1 数据 5.26 3.90 6.90 7.03
5
6 7 8
2
2 2 2
1
1 2 2 18.68
2
2 1 1 17.13
1
2 1 2 20.45
2
1 2 1 21.36
1
2 2 1 22.21
2
1 1 2 19.86
5.12
4.40 3.17 4.80
K
( j) 1
23.09
K
( j) 2
17.49
21.9
23.45
20.13
19.22
18.37
20.72 T＝40.58
Sj
fj
3.922
1.298
表4-27 试验方案及结果分析
试验号 1 2 3
油温℃A 1 1 2
含水量％B 1 2 1
油炸时间s C 1 2 1
空列 1 2 2
空列 1 2 2
试验指标
1
0.8 1.5
3 5.1 4.7 3.8 3
4
5 6 7 8 K1j K2j K3j K4j K1j2 K2j2 K3j2
2
2
3 3 4 4 1.8 4.5 9.8 6.8 3.24 20.25 96.04
2.显著性检验 将检验结果填入方差分析表：
例3
误差来源 因子A 因子B A×B 离差平方和 3.922 1.298 4.995 自由度 1 1 1
方差分析表
方 差 F 值
F1 -0.05
18.51
显著性 * * *
3.922 1.298 4.995
71.309 23.6 90.818
A ×C
B×C 误差E 总和
交互作用均不显著，确定因素的优水平时可以不 考虑交互作用的影响。对显著因素B，通过比较K1B和 K2B的大小确定优水平为B2；同理A取A2，C取C1或 C2。优组合为A2B2C1或A2B2C2。
方差分析可以分析出试验误差的大小，从而知道 试验精度；不仅可给出各因素及交互作用对试验 指标影响的主次顺序，而且可分析出哪些因素影 响显著，哪些影响不显著。对于显著因素，选取 优水平并在试验中加以严格控制；对不显著因素， 可视具体情况确定优水平。但极差分析不能对各 因素的主要程度给予精确的数量估计。
F0.05(3,3)=9.28, F0.01(3,3)=29.46
显著性 *
误差e
总
△
0.764
18.879
3
7
0.254
和
因素A显著，因素C不显著，因素B对试验结果无影响，各 因素作用的主次顺序为：A－C－B。
（3）优化条件的确定
通过比较因素A各水平K值，可确定其优水 平为A3；因素B不显著，可根据情况确定优 水平，因素C对试验结果无影响，为缩短加 工时间，应选C1。因此，优化工艺条件为 A3B1C1或A3B2C1。
2
1 2 1 2 11.4 11.5
2
2 1 2 1 10.2 12.7
1
1 2 2 1 12.1 10.8
1
2 1 1 2 12.5 10.4
129.96 132.25
104.04 161.29
146.41 116.64
156.25 108.16
自由度计算： df B df C 2 - 1 1 dfe df 4 df5 1 1 2 （2）显著性检验
2 拟水平设计法
在正交设计中，某个或某几个试验因素的水平个 数是自然形成的，只有确定的个数，不能随意选取水 平数，或有的因素由于受某种条件的限制，不能多取 水平，而又没有现成的混合型正交表可用，这时可采 用拟水平设计法。它是把水平少的因素虚拟一
个或几个水平，使之与正交表相应列的水平 数相等，这种虚拟水平称为拟水平，其设计 方法就称为拟水平法。
表4-26 方差分析表 均方 0.021 F值 6.82 临界值Fa
F0.05(1,3)=10.13 F0.01(1,3)=34.12
显著水平
B
A×B△ C A×C B× C △ 误差e 误差e △ 总 和
0.2346
0.0055 0.0078 0.0091 0.0001 0.0036 0.0923 0.2818
链接7
4.5.4 考虑交互作用正交试验方差分析
例： 用石墨炉原子吸收分光光度法测定食品中的 铅，为了提高测定灵敏度，希望吸光度越大越好， 今欲研究影响吸光度的因素，确定最佳测定条件。
（1）计算
计算各列各水平对应数据之和K1j、K2j及（K1j-K2j）；
计算各列偏差平方和及自由度。
表4-25 试验方案及结果分析表 试验号 1 2 A 1 1 B 1 1 A×B 1 1 C 1 2 A×C 1 2 B×C 1 2 空列 1 2 吸光度 2.42 2.24
120 140
12 12
20 25
（1）试验方案设计
A、C均为三水平，而因素B由于受试验条件的限制， 只能取二水平。可选L18(2*37)表安排试验，但试 验次数太多。若B取三水平，就可直接用L9(34)表 安排试验。为此虚拟一个水平，把因素B凑足三个 水平。根据试验的需要选取重点要考察的那个水平 进行虚拟另一水平。虚拟结果相当于把L9(34)表 作了改造（表4-36）。 第 2列 1 1， 2 2，3 2
许多正交表都列出了相应的交互作用 列表，利用交互作用列表就可以找出任意 两列的交互作用列.任意两个二水平因素的 交互作用列，在正交表中只占一列;任意两 个三水平因素的交互作用列，在正交表中 则占两列 ; 而任意两个 p水平因素的交互作 用列，在正交表中要占(p－1)列.
例3 某厂在梳毛机上探讨梳理工艺对纯毛海军呢细纱重量 不匀率的影响，进行A、B、C三因素二水平正交试验，同 时考虑交互作用A×B、A×C、B×C.（工艺条件太繁故略 去）
0.575
1.845 0.11 12.745
1
1 2 7
0.575
1.845 0.055
10.455
33.545 *
根据F值的大小排出因子的主次： 主 次
A×B、A、B×C、B、（A×C、 C）
A×B的重要性排在A、B的前面，挑选A、B的最优水平时 要从A×B的最优搭配来考虑,同理C的最优水平也应以B×C为 主. A×B的最优搭配的选取是通过A、B搭配效果表决定的。 A、B搭配效果表
它用多水平正交表安排水平数较少的因素的一种方法
例：在高效液相色谱法测定食品中胡萝卜素 的研究中，欲通过正交试验选择柱层析法净 化条件，试验指标为胡萝卜素回收率，不考 虑交互作用，试验因素水平表见表4-35。
表4-35 因素水平表
1
活化温度 ℃ A 100
柱高 cm B 8
过柱体积 ml C 15
2 3
链接13
4.5.3 混合型正交试验方差分析
混合型正交试验方差分析与等水平正交试验 方差分析没有本质区别。 （1）计算
1 22.9 2 SS A＝SS1＝ （3.24 20.25 96.04 46.24） 2 8 ＝ 17.334 df A＝df 1＝4 - 1 ＝3
二水平列：
1 1 2 2 SS j＝ （K1j-K 2j） ＝ （K1j-K 2j） n 8
1
1 1 1 1 1 3
0.235
0.006 0.008 0.009 0.000 0.004 0.00308
76.19
**
2.53 2.96
因素B高度显著，因素A、C及交互作用A×B、A×C、 B×C均不显著。各因素对试验结果影响的主次顺序为： B、A、A×C、C、A×B、B×C。
（3）优化条件确定
B与C的最优搭配：B1C2 从A×B和B×C的最优搭配中,B因素的最优水平矛盾, 但是A×B的重要性排在B×C的前面,所以,从A×B来考选B2, 当B因素选B2时,由B×C的搭配表C选C1,综合考虑其最优工 艺为：A2B2C1. 因为,本例三个因素的所有搭配就是正交表中的8次试 验,从表中试验数据也可以看到,A2B2C1是第7号试验,不匀率 为3.17是8次试验中最小的,即为最优组合（最优工艺）。
2
1 1 2 2 1 10.12 10.09 0.03
2
1 2 1 1 2 10.19 10.02 0.17
2.66
2.58 2.36 2.4 2.79 2.76
0.0055 0.0078 0.0091 0.0001 0.0036
返回15
链接
（2）显著性检验
变异来源 A 平方和 自由度 0.0210 1
1 2 同理 SS C＝SS 3＝ （ 10.2 - 12.7） ＝0.781 8 1 2 SS空列 ＝SS 4＝ （ 12.2 - 10.8） ＝0.211 8 1 2 SS 5＝ （ 12.5 - 10.4） ＝0.551 8 SSe SS 4 SS 5 0.211 0.551 0.762
变异来源 A B△ C 误差e 平方和 17.334 0.00125 0.781 0.763 自由度 3 1 1 2 表4-28 方差分析表 均方 5.778 0.00125 0.781 0.381 3.07
F0.05(1,3)=10.13 F0.01(1,3)=34.12
F值 22.75
临界值Fa
3
4 5 6 7 8 K1j K2j K1j-K2j SSj
1
1 2 2 2 2 9.9 10.31 -0.41 0.021
2
2 1 1 2 2 9.42 10.79 -1.37 0.235
2
2 2 2 1 1 10.21 10 0.21
1
2 1 2 1 2 10.23 9.98 0.25
1
2 2 1 2 1 10.24 9.97 0.27
列 列号 号
1
(1)
2
3 (2)
3
2 1 (3)
4
5 6 7
5
4 7 6
6
7 4 5
7
6 5 4
(4)
1
(5)
2
3 (6)
3
2 1
本例中将A、B因素分别安排在第一、二列上，再由交 互作用列表查出，一、二列的交互作用列为第三列，A×B 排在第三列，接下来排因素C在第四列，一、四列的交互作 用列为第五列，所以A×C排在第五列，二、四列的交互作 用列为第六列，所以B×C排在第六列，第七列空列为误差 列.
4.995
0.015
0.575
1.845
0.095
1
1
1
1
1
1
1
返回12
返回11
1.误差估计 因为
S4 S7 ,所以将第四列的离差平方和并入误差离
差平方和中得：
S E S4 S7 0.015 0.095 0.11
f E f4 f7 1 1 2
S E 0.11 SE 0.055 fE 2
B1 A1 A2 B2 5.26+3.90=9.16 6.90+7.03=13.93 5.12+4.40=9.52 3.17+4.80=7.97
A与B的最优搭配：A2B2
链接7
B、C搭配效果表
B1 C1 C2 5.26+5.12=10.38 3.90+4.40=8.30 B2 6.90+3.17=10百度文库07 7.03+4.80=11.83
首先，选择合适的正交表,因为都是二水平的且有三个单 解： 个因素和三个交互作用,这就需要正交表至少有6列,我们选 择 L ( 27 ) . 8
有交互作用的正交试验设计必须按照交互作用列表来进 行表头设计.其原则是:有交互作用的两个单个因素先排,紧接 着就排它们交互作用列.
L8 ( 27 ) 交互作用列表
拟水平列：第2列
表4-36
试验号 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 K1j K2j K3j k1j k2j k3j 调整R＇ 优水平 优组合 主次顺序 A 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 275.5 252.0 270.0 91.8 84.0 90.0 7.8 A1
因素 列号
A 1
B 2
A×B 3
C 4
A×C 5
B×C 误差列 6 7
这样就完成了表头设计，在安排试验时交互作用列中的 水平数不起作用，即安排试验时只考虑A、B、C三因素的水 平数来安排相应的试验就可以了.把8个试验数据填在下表的 数据列中. 在进行极差分析或方差分析时，交互作用列的极差或离 差平方和与其它单个因素一样计算，这里只介绍方差分析. ( j) K2 将各列“1”、“2”水平的数据和 K1( j ) 、离差平 方和 S j 、自由度 f j 算出并填入下表相应位置.
4.5.3 考虑交互作用的正交试验设计
在一些试验中，不仅单个因素对指标分 别有影响，而且因素间还会联合起来对指标 有影响，常称这种联合作用为交互作用. 正交表中，每一列的离差平方和反映了 所排因素的不同水平之间的差异程度.而每两 个因素的交互作用的差异程度也正好是正交 表中另一些列的离差平方和.那些列就称为这 两个因素所在列的交互作用列.
例3 试验结果分析表
水 试 验 1 2 3 4 平 号 列 号 A 1 1 1 1 B 1 1 2 2 A×B 1 1 2 2 C 1 2 1 2 A×C 1 2 1 2 B×C 1 2 2 1 误差列 1 2 2 1 数据 5.26 3.90 6.90 7.03
5
6 7 8
2
2 2 2
1
1 2 2 18.68
2
2 1 1 17.13
1
2 1 2 20.45
2
1 2 1 21.36
1
2 2 1 22.21
2
1 1 2 19.86
5.12
4.40 3.17 4.80
K
( j) 1
23.09
K
( j) 2
17.49
21.9
23.45
20.13
19.22
18.37
20.72 T＝40.58
Sj
fj
3.922
1.298
表4-27 试验方案及结果分析
试验号 1 2 3
油温℃A 1 1 2
含水量％B 1 2 1
油炸时间s C 1 2 1
空列 1 2 2
空列 1 2 2
试验指标
1
0.8 1.5
3 5.1 4.7 3.8 3
4
5 6 7 8 K1j K2j K3j K4j K1j2 K2j2 K3j2
2
2
3 3 4 4 1.8 4.5 9.8 6.8 3.24 20.25 96.04
2.显著性检验 将检验结果填入方差分析表：
例3
误差来源 因子A 因子B A×B 离差平方和 3.922 1.298 4.995 自由度 1 1 1
方差分析表
方 差 F 值
F1 -0.05
18.51
显著性 * * *
3.922 1.298 4.995
71.309 23.6 90.818
A ×C
B×C 误差E 总和
交互作用均不显著，确定因素的优水平时可以不 考虑交互作用的影响。对显著因素B，通过比较K1B和 K2B的大小确定优水平为B2；同理A取A2，C取C1或 C2。优组合为A2B2C1或A2B2C2。
方差分析可以分析出试验误差的大小，从而知道 试验精度；不仅可给出各因素及交互作用对试验 指标影响的主次顺序，而且可分析出哪些因素影 响显著，哪些影响不显著。对于显著因素，选取 优水平并在试验中加以严格控制；对不显著因素， 可视具体情况确定优水平。但极差分析不能对各 因素的主要程度给予精确的数量估计。
F0.05(3,3)=9.28, F0.01(3,3)=29.46
显著性 *
误差e
总
△
0.764
18.879
3
7
0.254
和
因素A显著，因素C不显著，因素B对试验结果无影响，各 因素作用的主次顺序为：A－C－B。
（3）优化条件的确定
通过比较因素A各水平K值，可确定其优水 平为A3；因素B不显著，可根据情况确定优 水平，因素C对试验结果无影响，为缩短加 工时间，应选C1。因此，优化工艺条件为 A3B1C1或A3B2C1。
2
1 2 1 2 11.4 11.5
2
2 1 2 1 10.2 12.7
1
1 2 2 1 12.1 10.8
1
2 1 1 2 12.5 10.4
129.96 132.25
104.04 161.29
146.41 116.64
156.25 108.16
自由度计算： df B df C 2 - 1 1 dfe df 4 df5 1 1 2 （2）显著性检验
2 拟水平设计法
在正交设计中，某个或某几个试验因素的水平个 数是自然形成的，只有确定的个数，不能随意选取水 平数，或有的因素由于受某种条件的限制，不能多取 水平，而又没有现成的混合型正交表可用，这时可采 用拟水平设计法。它是把水平少的因素虚拟一
个或几个水平，使之与正交表相应列的水平 数相等，这种虚拟水平称为拟水平，其设计 方法就称为拟水平法。
表4-26 方差分析表 均方 0.021 F值 6.82 临界值Fa
F0.05(1,3)=10.13 F0.01(1,3)=34.12
显著水平
B
A×B△ C A×C B× C △ 误差e 误差e △ 总 和
0.2346
0.0055 0.0078 0.0091 0.0001 0.0036 0.0923 0.2818
链接7
4.5.4 考虑交互作用正交试验方差分析
例： 用石墨炉原子吸收分光光度法测定食品中的 铅，为了提高测定灵敏度，希望吸光度越大越好， 今欲研究影响吸光度的因素，确定最佳测定条件。
（1）计算
计算各列各水平对应数据之和K1j、K2j及（K1j-K2j）；
计算各列偏差平方和及自由度。
表4-25 试验方案及结果分析表 试验号 1 2 A 1 1 B 1 1 A×B 1 1 C 1 2 A×C 1 2 B×C 1 2 空列 1 2 吸光度 2.42 2.24
120 140
12 12
20 25
（1）试验方案设计
A、C均为三水平，而因素B由于受试验条件的限制， 只能取二水平。可选L18(2*37)表安排试验，但试 验次数太多。若B取三水平，就可直接用L9(34)表 安排试验。为此虚拟一个水平，把因素B凑足三个 水平。根据试验的需要选取重点要考察的那个水平 进行虚拟另一水平。虚拟结果相当于把L9(34)表 作了改造（表4-36）。 第 2列 1 1， 2 2，3 2
许多正交表都列出了相应的交互作用 列表，利用交互作用列表就可以找出任意 两列的交互作用列.任意两个二水平因素的 交互作用列，在正交表中只占一列;任意两 个三水平因素的交互作用列，在正交表中 则占两列 ; 而任意两个 p水平因素的交互作 用列，在正交表中要占(p－1)列.
例3 某厂在梳毛机上探讨梳理工艺对纯毛海军呢细纱重量 不匀率的影响，进行A、B、C三因素二水平正交试验，同 时考虑交互作用A×B、A×C、B×C.（工艺条件太繁故略 去）
0.575
1.845 0.11 12.745
1
1 2 7
0.575
1.845 0.055
10.455
33.545 *
根据F值的大小排出因子的主次： 主 次
A×B、A、B×C、B、（A×C、 C）
A×B的重要性排在A、B的前面，挑选A、B的最优水平时 要从A×B的最优搭配来考虑,同理C的最优水平也应以B×C为 主. A×B的最优搭配的选取是通过A、B搭配效果表决定的。 A、B搭配效果表
它用多水平正交表安排水平数较少的因素的一种方法
例：在高效液相色谱法测定食品中胡萝卜素 的研究中，欲通过正交试验选择柱层析法净 化条件，试验指标为胡萝卜素回收率，不考 虑交互作用，试验因素水平表见表4-35。
表4-35 因素水平表
1
活化温度 ℃ A 100
柱高 cm B 8
过柱体积 ml C 15
2 3
链接13
4.5.3 混合型正交试验方差分析
混合型正交试验方差分析与等水平正交试验 方差分析没有本质区别。 （1）计算
1 22.9 2 SS A＝SS1＝ （3.24 20.25 96.04 46.24） 2 8 ＝ 17.334 df A＝df 1＝4 - 1 ＝3
二水平列：
1 1 2 2 SS j＝ （K1j-K 2j） ＝ （K1j-K 2j） n 8
1
1 1 1 1 1 3
0.235
0.006 0.008 0.009 0.000 0.004 0.00308
76.19
**
2.53 2.96
因素B高度显著，因素A、C及交互作用A×B、A×C、 B×C均不显著。各因素对试验结果影响的主次顺序为： B、A、A×C、C、A×B、B×C。
（3）优化条件确定
B与C的最优搭配：B1C2 从A×B和B×C的最优搭配中,B因素的最优水平矛盾, 但是A×B的重要性排在B×C的前面,所以,从A×B来考选B2, 当B因素选B2时,由B×C的搭配表C选C1,综合考虑其最优工 艺为：A2B2C1. 因为,本例三个因素的所有搭配就是正交表中的8次试 验,从表中试验数据也可以看到,A2B2C1是第7号试验,不匀率 为3.17是8次试验中最小的,即为最优组合（最优工艺）。
2
1 1 2 2 1 10.12 10.09 0.03
2
1 2 1 1 2 10.19 10.02 0.17
2.66
2.58 2.36 2.4 2.79 2.76
0.0055 0.0078 0.0091 0.0001 0.0036
返回15
链接
（2）显著性检验
变异来源 A 平方和 自由度 0.0210 1
1 2 同理 SS C＝SS 3＝ （ 10.2 - 12.7） ＝0.781 8 1 2 SS空列 ＝SS 4＝ （ 12.2 - 10.8） ＝0.211 8 1 2 SS 5＝ （ 12.5 - 10.4） ＝0.551 8 SSe SS 4 SS 5 0.211 0.551 0.762
变异来源 A B△ C 误差e 平方和 17.334 0.00125 0.781 0.763 自由度 3 1 1 2 表4-28 方差分析表 均方 5.778 0.00125 0.781 0.381 3.07
F0.05(1,3)=10.13 F0.01(1,3)=34.12
F值 22.75
临界值Fa
3
4 5 6 7 8 K1j K2j K1j-K2j SSj
1
1 2 2 2 2 9.9 10.31 -0.41 0.021
2
2 1 1 2 2 9.42 10.79 -1.37 0.235
2
2 2 2 1 1 10.21 10 0.21
1
2 1 2 1 2 10.23 9.98 0.25
1
2 2 1 2 1 10.24 9.97 0.27
列 列号 号
1
(1)
2
3 (2)
3
2 1 (3)
4
5 6 7
5
4 7 6
6
7 4 5
7
6 5 4
(4)
1
(5)
2
3 (6)
3
2 1
本例中将A、B因素分别安排在第一、二列上，再由交 互作用列表查出，一、二列的交互作用列为第三列，A×B 排在第三列，接下来排因素C在第四列，一、四列的交互作 用列为第五列，所以A×C排在第五列，二、四列的交互作 用列为第六列，所以B×C排在第六列，第七列空列为误差 列.
4.995
0.015
0.575
1.845
0.095
1
1
1
1
1
1
1
返回12
返回11
1.误差估计 因为
S4 S7 ,所以将第四列的离差平方和并入误差离
差平方和中得：
S E S4 S7 0.015 0.095 0.11
f E f4 f7 1 1 2
S E 0.11 SE 0.055 fE 2
B1 A1 A2 B2 5.26+3.90=9.16 6.90+7.03=13.93 5.12+4.40=9.52 3.17+4.80=7.97
A与B的最优搭配：A2B2
链接7
B、C搭配效果表
B1 C1 C2 5.26+5.12=10.38 3.90+4.40=8.30 B2 6.90+3.17=10百度文库07 7.03+4.80=11.83
首先，选择合适的正交表,因为都是二水平的且有三个单 解： 个因素和三个交互作用,这就需要正交表至少有6列,我们选 择 L ( 27 ) . 8
有交互作用的正交试验设计必须按照交互作用列表来进 行表头设计.其原则是:有交互作用的两个单个因素先排,紧接 着就排它们交互作用列.
L8 ( 27 ) 交互作用列表
拟水平列：第2列
表4-36
试验号 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 K1j K2j K3j k1j k2j k3j 调整R＇ 优水平 优组合 主次顺序 A 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 275.5 252.0 270.0 91.8 84.0 90.0 7.8 A1
因素 列号
A 1
B 2
A×B 3
C 4
A×C 5
B×C 误差列 6 7
这样就完成了表头设计，在安排试验时交互作用列中的 水平数不起作用，即安排试验时只考虑A、B、C三因素的水 平数来安排相应的试验就可以了.把8个试验数据填在下表的 数据列中. 在进行极差分析或方差分析时，交互作用列的极差或离 差平方和与其它单个因素一样计算，这里只介绍方差分析. ( j) K2 将各列“1”、“2”水平的数据和 K1( j ) 、离差平 方和 S j 、自由度 f j 算出并填入下表相应位置.