泰勒公式介绍教学讲义

(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
可见
f f
(x) (x)
f f
(x0) f(x 0 )x ( x 0 ) (x0) f(x 0 )x ( x 0 )
f
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2(!()(在 xxx00与 )2x之)
误差 R1(x)f2(!)(xx0)2 (在 x0与 x之)间 df
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补例：求函数 f (x) x 按(x-4)的幂展开的带有
pn(n)(x)
n!an
a0pn(x0)f(x0),
a1pn (x0)f(x0),
a221!pn(x0)21 ! f(x0), ,ann1!pn(n)(x0)n1 ! f(n)(x0)
故 pn(x) f ( x0 ) f(x 0 )x ( x 0 )21 ! f(x0)x (x0)2
n1 ! f(n )(x 0 )x ( x 0 )n Pn(x)称为函数f(x) 按(x-x0)的幂展开的 n 次近似多项式.
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R n (x ) f(x ) p n (x )
Rn (x) (x x0 )n1
Rn(n1) ( )
(n 1) !
(在 x0与 x之)间
pn (n 1)(x)0, R n (n 1 )(x )f(n 1 )(x )
Rn(x)f((nn 1)1()!)(xx0)n1 (在 x0与 x之)间
拉格朗日型余项的3 阶泰勒公式 .
解：
f
(x)
1
1
x2
,
f (x)1x23,
2
4
f
(x)
3
5
x 2,
f
(4)
(x)
15
7
x2
,
8
16
故 f(4 ) 1 , f(4 ) 1,f(4 )3,
4
3 2
2 5 6
f ( fx(2 )x)4 ff((xn(nf)x((!04 x4))0) ) (6 fxf14 ((4 (x )xx0 (0 x ))4 nx )( 4 2 f) f3 x ((!0 5 (n4 nf) 1 1)2 2 1(()1!(x4 ()x)f !( )4 x 2((4 )xx !3 )03 4 () )(x2 f1 x0在 (2 5 )4 4)8 n((!x x10 0) 在 )7 2 与 (2(x4x x 与 之 44)x)4之 4 )间 间 )
令 pn(x)a 0 a 1 ( x x 0 ) a 2 ( x x 0 ) 2 a n ( x x 0 ) n
则 pn(x)
a1 2a2(xx0) n a n (x x 0 )n 1
pn (x ) 2 !a2 n ( n 1 ) a n ( x x 0 ) n 2
f (x) f (x0) f(x 0)x ( x 0)f2(x!0)(xx0)2 f (nn)(!x0)(xx0)n o[(xx0)n] ④
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
公式 ④ 称为 f ( x) 按(x-x0)的幂展开的带有佩亚诺(Peano)
余项的n 阶泰勒公式 .
第三节
第三章
泰勒 ( Taylor )公式
理论分析
用多项式近似表示函数 — 应用
近似计算
一、泰勒公式的建立 二、几个初等函数的麦克劳林公式
三、泰勒公式的应用
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一、泰勒公式的建立
在微分应用中已知近似公式 :
y
f ( x) f(x 0)f(x 0)x ( x 0)
y f(x)
p1(x)
x 的一次多项式
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f (x) f (x0) f(x 0 )x ( x 0 )f2(x!0)(xx0)2
特例: f (nn)(!x0)(xx0)nf((nn1)1()!)(x(x0在 )nx10与 x之)
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变给为出拉格朗日中值定理
f(x)f (x0) f()x (x0) (在 x0与 x之)
当x0在 的某f( 邻 n 1 )(x)域 M 时 内 Rn(x)(nM 1)!xx0n1
R n ( x ) o (x ( x 0 ) n )( x x 0 )
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泰勒(Taylor)中值定理 : 若 f(x)在包 x0的 含 某(a ,开 b )内 区 具 间 有
直到 n1阶的导数 ,则当 x(a,b)时, 有 f (x) f (fx0(n)n) (!xf0)((x x0 )xx ( 0 )nx 0 )Rn(xf)2(x!0)(xx0)2 ①
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在泰勒公式中若取 x 0 0 , x ( 0 1 ) ,则有
f (x)f (0) f(0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
f (n1)( x)xn1
o(xn)
(n1)!
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 . 由此得近似公式
若在f (公xf)(式x)成f(立xf0的()0 )区f间( fx 上(0 0))x xf( (nx 10 f)() 2x(!0))fx22M (x !0, 则)(x有误fx(0差nn))2!(估0 )计 xn式
f (nn)(!x0R )(nx(x)x0)(nnM f1()(nn!1x)1()n!)1((x在 x0x)0 n与 1 x之)间
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二、几个初等函数的麦克劳林公式
(1) f(x)ex
f(k)(x)ex, f(k )(0 ) 1(k 1 ,2 , )
e x 1x
x2 2!
x3 3!
特点: p1(x0) f (x0)
p1(x0) f(x0)
p1(x)
o x0 x x
以直代曲
如何提高精度 ? 需要解决的问题
如何估计误差 ?
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1. 求 n 次近似多项式 pn(x),要求: p n (x 0 )f(x 0 ),p n (x 0 )f(x 0 ), ,p n ( n )(x 0 ) f( n )(x 0 )
x n n!
其中 Rn(x)f((nn 1)1()!)(xx0)n1 ( 在 x0与 x之)间 ②
公式 ① 称为 f ( x) 按(x-x0)的幂展开的带有拉格朗日型余
项的n 阶泰勒公式 . 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
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注意到 R n(x)o [x (x0)n]
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为