泰勒公式介绍教学讲义
数学分析-Taylor公式与科学计算PPT课件
03 Taylor公式在科学计算中 的应用
多项式逼近
多项式逼近
利用Taylor公式，可以将复杂的函数展开 为多项式形式，从而实现对复杂函数的 近似计算。这种多项式逼近方法在数值 分析和科学计算中具有广泛的应用。
VS
逼近精度
通过选择合适的阶数和节点，可以控制多 项式逼近的精度。高阶多项式逼近能够更 好地逼近函数，但同时也需要更多的计算 资源和时间。
总结词
通过Taylor展开，可以将微分方程转化为差分方程，从 而简化求解过程。
详细描述
在求解微分方程时，有时可以利用Taylor展开将微分方 程转化为差分方程，从而简化求解过程。这种方法在数 值分析中有着广泛的应用，尤其在处理偏微分方程时非 常有效。
05 结论
Taylor公式的意义与价值
1 2
精确近似
数学分析-Taylor公式与科学计算 PPT课件
目录
• 引言 • Taylor公式简介 • Taylor公式在科学计算中的应用 • 实例演示 • 结论
01 引言
主题简介
数学分析
数学分析是研究函数的极限、连 续性、可微性、可积性和实数完 备性的学科，是数学专业的重要
基础课程之一。
Taylor公式
算过程。
求解微分方程
要点一
初值问题
在求解微分方程时，可以利用Taylor公式对微分方程进行 离散化，从而转化为数值求解问题。通过选择合适的步长 和阶数，可以控制数值解的精度和稳定性。
要点二
边值问题
对于微分方程的边值问题，可以利用Taylor公式将问题转 化为有限元方法或边界元方法等数值方法进行求解。这种 方法在科学计算和工程领域中具有广泛的应用。
02 Taylor公式简介
考研高数总复习泰勒公式(讲义)PPT课件
2.取 x0 0,
在0 与x 之间,令 x (0 1)
则余项
Rn ( x)
f (n1) (x) x n1
(n 1)!
Foil 10
麦克劳林(Maclaurin)公式
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x 2 f (n) (0) x n
误差 Rn ( x) f ( x) P:
1.若在 x 0 点相交
近
似 程
Pn ( x0 ) f ( x0 )
度 越
2.若有相同的切线
来 越
Pn( x0 ) f ( x0 )
好 3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 )
y
o
皮亚诺形式的余项
f (x)
n k0
f
(k)( x0 )( x k!
x0 )k
o[( x
x0 )n ]
Foil 9
注意:
1. 当n 0 时,泰勒公式变成拉氏中值公式
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 )
(在x
与
0
x之
间)
当 n=1 时，略去余项,得到一阶微分近似式
f (x) f (x0 ) f '(x)(x x0 )
注 意 到 f ( x ) (n1) e x
代入公式,得
e x 1 x x 2 x n e x x n1 (0 1).
2!
n! (n 1)!
Foil 13
由公式可知
ex 1 x x2 xn
2!
n!
估计误差 (设 x 0)
Rn ( x)
ex x n1 (n 1)!
2024年高等数学竞赛讲义3第三部分中值定理与泰勒公式
第一节中值定理中值定理是微积分中的重要定理，它揭示了函数在一些区间上的平均变化率与其在该区间上一些点的瞬时变化率之间的关系。
中值定理一般有以下几种形式：1.罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，并且f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=0。
罗尔中值定理的几何意义是，如果一条曲线在两个端点处的斜率相等，那么在这之间必然存在一点，其切线的斜率为0。
2.拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
拉格朗日中值定理的几何意义是，如果一条曲线在两个端点处的斜率相差不大于整个区间的平均变化率，那么在这之间必然存在一点，其切线的斜率等于整个区间的平均变化率。
3.柯西中值定理：若函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，并且g'(x)≠0，则在(a,b)内至少存在一点c，使得[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)=[f'(c)/g'(c)]。
柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，它使得两个函数在一些点上的变化率可以完全不一样。
4.罗尔中值定理（三角函数形式）：若函数f(x)在(0,π/2)上连续，在(0,π/2)内可导，并且f(0)=f(π/2)=0，则在(0,π/2)内至少存在一点c，使得f'(c)=0。
这个定理的几何意义是，如果一条曲线在两个端点处的斜率都为0，则在这之间必然存在一个点，其切线的斜率也为0。
中值定理在微积分中具有非常广泛的应用，它可以用来证明一些重要的定理，例如费马定理和柯西-施瓦茨不等式等。
第二节泰勒公式泰勒公式是微积分中的重要工具，它通过将函数在一些点处展开成无限项的幂级数，来近似表示函数在附近的取值。
一般来说，对于任意可导的函数f(x)，在一些点a处，可以将f(x)在a的一些邻域内展开成泰勒级数的形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...其中f'(a)表示函数f(x)在点a处的导数，f''(a)表示二阶导数，以此类推。
3.3 泰勒公式
2
2 4
cos( ) 2+2
+1
cos = 1 − + − ⋯ + (−1)
+ (−1)
,
2! 4!
(2)!
(2 + 2) !
(0 < < 1)
第三节 泰勒公式
第三章 微分中值定理与导数的应用
例3 求() = ln( 1 + )的阶麦克劳林公式.
解
∵
∴
() (0) = (−1)−1 ( − 1)!,
称为函数()在0 处(或按( − 0 )的幂展开)的次泰勒多项式.
() (0 )
(2) () =
( − 0 ) + () ≈ ()
!
=0
∎佩亚诺余项 () = (( − 0 ) ) 不能具体估算出误差的大小.
+1 ( )
∎拉格朗日余项 () =
″ ( )
( − 0 )2 , 在0 与之间.
产生的误差为 1 () =
2!
第三节 泰勒公式
第三节 泰勒公式
第三章 微分中值定理与导数的应用
第三章 微分中值定理与导数的应用
(3)当 = 0时, 拉格朗日余项的泰勒公式变成拉格朗日中值公式
() = (0 ) + ′ ( )( − 0 )
′
2
() = (0) + (0) +
+ ⋯+
+ ( )
2!
!
称为麦克劳林（Maclaurin）公式.
第三节 泰勒公式
第三节 泰勒公式
第三章 微分中值定理与导数的应用
高数泰勒公式【爆款】.ppt
.精品课件.
48
4、设
，且
证明 由已知极限式得
利用泰勒公式有
，证明
从而
.精品课件.
51
6. 设函数
在
上三阶可导, 且
设
试证存在
使
证: 因 F(0) F(0) F(0) 0,
利用二阶泰勒公式 , 得
F(1) F (0) F(0) 1 F(0) 1 F( )
1 F( )
2!
3!
3!
因
(n.精品1课)件!.
(x x0 )n1
( 在 x0 与
x
之间12 )
二、几个初等函数的麦克劳林公式
f (k) (x) ex , f (k) (0) 1 (k 1, 2,)
ex
1
x
x2 2!
x3 3!
xn n!
Rn (x)
其中
.精品课件.
13
f (k) (x) sin(x k )
p1(x)
特点:
x 的一次多项式 o x0 x
x
f (x0 )
f (x0 )
以直代曲
如何提高精度 ? 需要解决的问题
如何估计误差 ?
若 f (x)是非多项式函数，问是否可用一个n次多项式
Pn (x)
来近似表示
f
(x) ? .精品课件.
3
特例： f (x) ex x 0
由 f (x) f (0) f (0)x
(n 1) !
(
x
x0
)n1
( 在 x0 与x 之间) ②
公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n 阶泰勒公.精品式课件的. 拉格朗日余项 .
泰勒公式详解(Taylorformula)【一元分析学经典讲义】-文档资料
（如下图）
上页 返回 下页
y ex
y ex
y x
y ln( 1 x )
y 1 x
o
o
上页
返回
下页
不足: 1、精确度不高； 2、误差不能估计。
问题: 寻 P ( x ) f ( x ) P ( x ) 找 函 数 , 使 得
R ( x )f( x ) P ( x )可 误 差 估 计
( n 1 ) ( n 1 ) R ( x ) f ( x ) n
则 由 上 式 得
( n 1 ) f ( ) n 1 R ( x ) ( x x ) ( 在 x 与 x 之间 ) n 0 0 n 1 !
泰勒(Taylor)公式
一、问题的提出
二、 Pn 和 Rn 的确定
三、泰勒(Taylor)定理 四、简单的应用
五、小结
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一、问题的提出
f ( x ) x 1 . 设 在 处 连 续 , 则 有 0
f ( x ) f ( x ) [ ] 0
f ( x ) f ( x ) 0
( n 1 )
f ( ) n 1 x R ( x ) ( x x )( x之 其 中 在 与 间 ) . n 0 0 ( n 1 )!
上页 返回 下页
( a , b ) ( n 1 ) R ( x ) 假 设 , 在 内 具 有 直 到 阶 证明: 由 n
导 数 , 且
n
的 区 间 上 满 足 柯 西 中 值 定 理 的 条 件 , 得
R ( ) R ( ) R ( x ) n 1 n 1 n 0 n n ( n 1 )( x ) ( n 1 )( x ) 0 1 0 1 0
高中数学(人教版)泰勒公式课件PPT课件演示文稿
第22页，共27页。
例1 计算无理数 的近似值,使其误差不超过
例2 在区间
上用近似公式
计算Байду номын сангаас
当用下列各式计算时,欲使误差小于0.001，
A可取多大？ (1)
y
x
x3 3!
4 yx
2
y
x
x3 3!
x5 5!
(2)
6 4 2 024 6
(3)
2
4
第23页，共27页。
三、泰勒公式的应用
(一) 近似计算
(二) 求极限 (三) 其它应用
x0 )n2
用 洛 必 达
Rn( x0 ) 0
lim
R(n1) n
(
x)
xx0 n!( x x0 )
法
则
R(n1) n
(
x0
)
0
1 lim
n! x x0
R(n1) n
(
x)
R(n1) n
(
x0
)
x x0
1 n!
R(n) n
(
x0
)
0
第7页，共27页。
➢ 泰勒(Taylor)中值定理1
如果函数
(1在x0与x 之间)
用 柯
Rn (1 ) Rn ( x0 ) (n 1)(1 x0 )n 0
(n
Rn(2 ) 1)n(2
x0
)n1
西 中 值
( 2在x0与1之间)
定 理
R(n) n
(n
)
Rn( n )
(
x0
)
(n 1)2(n x0 ) 0
R(n1) n
(
)
(n 1) !
数学分析6.3泰勒公式(讲义)
第六章微分中值定理及其应用2 泰勒公式(讲义)一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式若f在x0可导，则有f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+o(x-x0).即在点x0附近，用f(x0)+f’(x0)(x-x0)逼近函数f(x)时，其误差为(x-x0)的高阶无穷小量.若要求误差为o((x-x0)n)，可参考n次多项式：P n(x)=a0+a1 (x-x0)+a2(x-x0)2+…+a n(x-x0)n. 则P n(x0)=a0；P n’(x0)=a1；P n”(x0)=2!a2；…；P n(n)(x0)=n!a n. 即a0=P n(x0)；a1=P n ′(x0)1!；a2=P n′′(x0)2!；…；a n=P n(n)(x0)n!.若f在点x0存在直到n阶的导数，则由这些导数构造的n次多项式：T n(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x-x0)+f′′(x0)2!(x-x0)2+…+f(n)(x0)n!(x-x0)n，称为函数f在点x0处的泰勒多项式，T n(x)的各项系数f(k)(x0)k!(k=1,2,…,n)称为泰勒系数。
f(x)与其泰勒多项式T n(x)在点x0有相同的函数值和直至n阶导数值，即f(k)(x0)=T n(k)(x0), k=0,1,2,…,n.定理6.8：若f在x0存在直到n阶的导数，则有f(x)=T n(x)+o((x-x0)n)，即f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x-x0)+f′′(x0)2!(x-x0)2+…+f(n)(x0)n!(x-x0)n+o((x-x0)n).证：记R n(x)=f(x)-T n(x)，Q n(x)=(x-x0)n，则R n (x 0)=R n ’(x 0)=…R n (n)(x 0)=0；Q n (x 0)=Q n ’(x 0) =…=Q n n-1(x 0)=0，Q n (n)(x 0)=n!. ∵f (n)(x 0)存在，∴在x 0的某邻域U(x 0)内f 存在(n-1)阶导函数f (n-1)(x). 根据洛必达法则：limx→x 0R n (x)Q n (x)=limx→x 0R n ′(x)Q n ′(x)=…=limx→x 0R n (n−1)(x)Q n(n−1)(x)=limx→x 0f (n−1)(x )−f (n−1)(x 0)−f (n )(x 0)(x−x 0)n!(x−x 0)=1n!lim x→x 0[f (n−1)(x )−f (n−1)(x 0)x−x 0−f (n )(x 0)]=0.∴R n (x)=f(x)-T n (x)=o (Q n (x))=o ((x-x 0)n )，即f(x)=T n (x)+o ((x-x 0)n ) f(x)=f(x 0)+ f ′(x 0)1!(x-x 0)+f ′′(x 0)2!(x-x 0)2+…+f (n)(x 0)n!(x-x 0)n +o ((x-x 0)n ). (泰勒公式)注：1、R n (x)=f(x)-T n (x)称为泰勒公式的余项，形如o ((x-x 0)n )的余项称为佩亚诺型余项。
《函数的Taylor公式》课件
分段的taylor公式
分段的taylor公式定义
01
对于分段定义的函数，其taylor公式是在每个分段内展开函数的
一种方法，需要考虑分段点处的连续性和导数。
分段的taylor公式的收敛性
02
taylor公式的推导
一次taylor公式
总结词：线性逼近
详细描述：一次taylor公式可以将一个函数在某一点的值近似为其在该点处的导 数值与自变量增量的线性组合，即 f(x)≈f(a)+f′(a)(x−a)。
二次taylor公式
总结词
二次多项式逼近
详细描述
二次taylor公式在某一点的值近似为该点处的二阶导数与自变量增量的二次多项 式，即 f(x)≈f(a)+f′(a)(x−a)+12!f″(a)(x−a)2。
近似计算误差估计
taylor公式还可以提供近似计算的误 差估计，帮助我们了解近似值的精度 。
函数性质的研究
研究函数的局部行为
taylor公式可以用来研究函数在某一 点的局部行为，例如求函数的极值点 或拐点。
函数展开与收敛性
taylor公式可以用来研究函数的展开 和收敛性，从而深入了解函数的性质 。
函数的分析和计算非常有用。
适用范围广：Taylor公式适用于各种 类型的函数，包括连续可导的函数。
局限性
收敛性：Taylor公式的收敛速度可能 很慢，需要足够多的项才能达到所需 的精度。
区间限制：Taylor公式只在一定区间 内收敛，超出这个区间公式就不再成 立。
taylor公式的进一步研究
高等数学3(6)泰勒公式课件
)
(
x
x00
)n
f (n1) ( )
(n 1)!
(
x
x00
)n1
n阶泰勒公式 (在x0与x之间).
(5)在泰勒公式中, 若x0 0, 则介于0, x之间,故
可表为 x (0 1),这时的泰勒公式,即
按x的幂(在零点)展开的泰勒公式称为: 麦克劳林(Maclaurin,C.(英)1698-1746)公式
f (n1) ( )
(n 1)!
得
Rn ( x)
(x)
Rn(n) (n ) (n) (n )
R(n) n
(
n
(n) (n
) )
R(n) n
(
x0
)
(n)( x0 )
R(n1) n
(
)
(n1) ( )
(在x0与 n之间也在x0与x之间)
注意到
R ( n 1) n
(
x)
f
(n1) (x), (n1) (x) (n 1)!
注意:
Pn(k )( x0 ) f (k )( x0 )
11
泰勒公式
下面给出带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式. 定理1 (带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式) 设
1函数f (x)在x0点的某个邻域O x0 内有定义;
2 在此邻域内f (x)有直到n 1阶导数;
3 f n (x0)存在. 称为f ( x)按( x x0 )的幂展开的
应用
理论分析 近似计算
特点(1)易计算函数值;
(2)导数与积分仍为多项式;
(3)多项式由它的系数完全确定, 而其系数
又由它在一点的函数值及导数值确定.
用怎样的多项式去逼近给定的函数
泰勒公式ppt课件
在计算复杂函数的近似值时，泰勒公式可以将函数展开为多项式，从而快速得到 函数的近似值。这对于解决一些实际问题，如数值分析、近似计算等具有重要的 意义。同时，泰勒公式的误差项也可以给出近似计算的精度估计。
04
泰勒公式的扩展与推广
泰勒级数的收敛性
定义
泰勒级数是将一个函数表示为无 穷级数的和，而这个无穷级数在 某个点附近的收敛性决定了泰勒
泰勒公式的应用场景
近似计算
信号处理
在科学计算和工程领域中，常常需要 计算复杂的数学函数，而泰勒公式可 以提供近似的函数值。
在信号处理中，泰勒公式用于分析信 号的频谱和波形，例如傅里叶变换和 小波变换等。
数值分析
在数值分析中，泰勒公式用于求解微 分方程、积分方程等数学问题，提供 数值解的近似值。
02
与函数值之间的距离有关。
应用
了解收敛速度有助于选择合适的 泰勒级数进行近似计算，以提高
计算精度。
泰勒级数的误差估计
定义
误差估计是指在应用泰勒级数进行近似计算时， 估计计算结果与真实值之间的误差大小。
方法
通过比较泰勒级数展开式与原函数的差值，可以 得到误差估计的上界和下界。
应用
误差估计有助于了解近似计算的精度，从而选择 合适的泰勒级数进行近似计算。
公式。
泰勒公式的数学推导
利用等价无穷小替换，将复杂的 函数转化为简单的多项式函数， 再利用多项式函数的性质进行推
导。
利用函数的幂级数展开式，将复 杂的函数展开成幂级数形式，再
利用幂级数的性质进行推导。
利用函数的泰勒级数展开式，将 复杂的函数展开成泰勒级数形式 ，再利用泰勒级数的性质进行推
导。
泰勒公式的几何解释
《高等数学教学资料》03第三节泰勒公式.docx
笫三节泰勒公式对于一些比较复杂的两数，为了便于研究,往往希望用一些简单的函数來近似表达.多项 式函数是最为简单的一类函数,它只要对自变量进行有限次的加、减、乘三种算术运算，就能 求出其函数值，因此，多项式经常被用于近似地表达函数，这种近似表达在数学上常称为逼近. 英国数学家泰勒(Taylor. Brook, 1685-1731)在这方面作出了不朽的贡献.其研究结果表明: 具有直到n + 1阶导数的函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的函数值及各阶导数 值组成的n 次多项式近似表达.本节我们将介绍泰勒公式及其简单应用.分布图示★引言 ★多项式逼近 ★泰勒中值定理★例1★常用函数的麦克劳林公式★例5 ★内容小结 ★习题3・3 ★返回 内容要点问题：设函数/(X )在含有勺的开区间(Q,历内具有直到八+ 1阶导数，问是否存在一个77 次多项式函数/2/J (X )= 6f 0+a 1(X-X O ) + «2(X-X O )2 ++ (3.1)使得 且误差R n M = fM-PnM 是比勺)”高阶的无穷小，并给出误差估计的具体表达式.泰勒中值公式fM = /(勺)+ /©0)(兀一勺)+ / 即)(X-勺尸 + …+ —―(X-x ())" + R n (x) (3.3) 2! tv.拉格朗日型余项 心(兀)=广刊忆)(兀一兀()严 (3.4) (/? + 1)!皮亚诺形式余项R n (x) = o[(x -x ()r 1. (3.6) 带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式/(X) = /(0) + /z (0)x + /+... + 2^21 疋 + 0(0) (3.9)2! iv. ★例2★例6★课堂练习 (3.2)例题选讲直接展开法例1写出函数/(x) = x 3lnx 在斗)=1处的四阶泰勒公式.解 /(x) = x 3lnx, /(I) = 0,0 = 1 + 1 + 丄+ ••• + 丄, 2! nl其误差从公式(3.11)或(3.⑵可得近似公式心"0) +门0)’+警宀…+畔疋 2!m 误差估计式(3.8)相应变成 I^WI< M S + 1)! I 兀I" (3.13)(3.⑷间.f\x)3x 2 lnx + ^2,/*(x)6xlnx + 5x,/"(x)61nx +11,/%)」，X/⑸(兀)=—2, 兀一 r (i )=u 厂⑴=5, r (i )=n, /⑷(1) = 6, 严)©=-于是小心(-1) +詁-1)2 +牛-1)3 +扣"-召(兀-1P,其中§在1与兀之 例2 (E01)求f(x) = e v 的n 阶麦克劳林公式.解•・• fXx)=f \x)=^=f (n \x)=e x ,••・ /(0)=/z (0)=r (0)=... =/°°(0) =1,注意到/(”"(％) =严代入泰勒公式，得 //+! =l + x + —+ ••• + —+ ——厂 (0<6><1), 2! nl (川+1)!由公式可知e v ~ 1 + X + — + • •・ + 2!其误差=x z,+1 < -------- X(n + 1)! (斤 + 1)!取兀=1,得 /?! 曲(0<6><1)例3 (E02)求/(x) = sinx的//阶麦克劳林公式.解f\x) = cosx,= -sinx, /^(x) = -cosx, /(4>(x) = sinx,P(n\z、• |n 兀'...... , f (x) = sin x + —,\ /丿由此得厂(0) = 1,厂(0) = 0, r(0) = -l,严(0) = 0,……,sinx的各阶导数依序循环地取四个数0,1,0,-1,令n = 2m,则+尺2加⑴,其中sin 6r + (2/72 + 1)—(兀)=― ----------- 兀加+】(ov&vi).取加= 1,2,3的近似函数与原函数图像比较.(2加 + 1)!常用初等函数的麦克劳林公式:e x =1 + 兀 + — + ・・・ + — + x2! nl (n + 1)!ln(l + x) = x ——+ -------- + (—1)〃——+。
15 泰勒公式教案.ppt
f (x)
f (x0 )
f (x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(x
x0
)2
f
(n) (x0 n!
)
(x
x0
)n
Rn
(x)
其中：Rn (x)称作f (x)在x0点n次泰勒展开的余项,
且Rn (x)有估计式：
..........
6
Rn (x)
f
(n1)[x0 (x
(n 1)!
x0
常见函数的麦克劳林..公........ 式
7
例1.求函数f (x) ex的带有拉格朗日余项的n阶 麦克劳林公式. 解： f (x) f (x) f (x) f (n) (x) ex
f (0) f (0) f (0) f (n) (0) 1
ex 1 x x2 xn ex xn1
进而：f (x) Pn (x)
皮亚诺余项
问题：
若满足条件的 Pn (x)存在，则 Pn (x)与f (x)有怎样关系？
由：lim f (x) Pn (x) 0 xx0 (x x0 )n
对任意k n,有：
lim f (x) Pn (x) lim (x x0 )n f (x) Pn (x) 0
例4.求极限：lim x0
x
ln(1 x2
x)
解：由：ln(1 x) x x2 o(x2 ) 2
x ln(1 x) x2 o(x2 ) 2
lim
x ln(1 x)
lim
x2 2
o(x2 )
x0
x2
x0
x2
..........
1
o(x2 )
lim lim
泰勒公式的讲解
类似可以定义更高阶的偏导数.
z = f (x , y) 的三阶偏导数共有八 ( 23 ) 种情形：
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×
又如 z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶偏导数为
( y
n z ) n 1 x y
二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 .
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(t ) h f x ( x0 ht , y0 k t ) k f y ( x0 ht , y0 k t )
( 0) ( h x k y)f( x0 , y0)
2 ( t ) h f xx( x0 ht , y0 kt )
2hk f x y ( x0 ht , y0 k t )
P1
凸 区 域
P2
P1
非 凸 P2 区 域
首页
×
一元函数中值定理回顾
定理17. 8 （中值定理）设二元函数 f 在凸开域 D 上
连续，在int D 内可微，则对D 内任意二点
P(a, b)，Q(a h, b k ) int D，存在某 (0 1)，
使得
f (a h, b k ) f (a , b) f x (a h, b k )h f y (a h, b k )k
w x
f2 y z
y z f 2 ( x y z, x y z )
w ( f1 ) ( y z f 2 ) xz z z
2
f12 x y f11 y( x z ) f12 x y 2 z f 22 y f 2
f 22 x y
当 n 0 时,公式(1)成为
课件：D4_2 泰勒公式
注意到
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
④ 公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
* 可以证明:
④ 式成立
特例: (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变给为出拉格朗日中值定理
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
可见 误差
在泰勒公式中若取
则有
称为马克劳林（ Maclaurin ）公式 . 由此得近似公式
例4. 用近似公式
计算 cos x 的近似值,
使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围. 解: 近似公式的误差
令
解得 即当
能准确到 0.005 .
时, 由给定Leabharlann 近似公式计算的结果2. 利用泰勒公式求极限 例5. 求 解: 用泰勒公式将分子展到
用洛必塔法则 不方便 !
项, 由于
例6 利用主部求极限 解：
§4.2 泰勒公式
一、问题引入 二、泰勒公式 二、泰勒公式的应用
一 问题引入
泰勒研究了这些问题，并能确定这类问题的主部，其结论称为泰勒定理
二 泰勒定理
2 证明 作辅助函数
则有
即有：
化简得：
3 说明
阶的导数 , 则当
时, 有
①
其中
②
公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 . 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
例3. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 解: 已知 的麦克劳林公式为
令x=1,得 由于
欲使
由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此
说明: 注意舍入误差对计算结果的影响. 本例
若每项四舍五入到小数点后 6 位,则 各项舍入误差之和不超过 总误差为
§2.7泰勒公式
f (2 )(1 c)2 ]
1[ 2
f (1) c2
f (2 ) (1 c)2 ]
A [c2 (1 c)2 ] A .
2
2
例 5．设在(a,b) 内， f (x) 0 ，证明：x1, x2 (a,b) ，
不等式 f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) 成立。
。
3．用于证明等式或证明不等式
带拉格朗日余项的泰勒公式常来用证明与中间 值相联的不等式，其关键是注意泰勒公式中展开 点 x 的 选择，通常选已知区间的端点，中间点或 函数的极值点和导数为零的点。这类题的特点是 已知函数可导的阶数较高（二阶以上），同时还有 若干个已知函数值或导数值。
例 4．设 f (x) 在[0,1] 上二阶可导，且 f (0) f (1) 0 ，
(x )(x )(n) (x )0 ，
对 Rn (x)与(x) 在以x 及 x 为端点的区间上应用柯西 定理，得
Rn (x) Rn (x) Rn (x ) Rn (1) (x) (x)(x ) (1)
（1 在 x 与 x 之间）
再对 Rn (x) 与(x) 在以 x 及 1 为端点的区间上 应用柯西定理，得
Pn(n) (x) n!an .
把 x x 代入上列各式，再由②得
a0 f (x ) ，
a1 f (x ) ，
a2
f
(x ) 2!
，
， an
f
(n) (x ) n!
。
∴
Pn (x)
f
(x )
f
(x )(x x )
f
( x 2!
) (x x )2
f
(
n) (x n!
)
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x n n!
当x0在 的某f( 邻 n 1 )(x)域 M 时 内 Rn(x)(nM 1)!xx0n1
R n ( x ) o (x ( x 0 ) n )( x x 0 )
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泰勒(Taylor)中值定理 : 若 f(x)在包 x0的 含 某(a ,开 b )内 区 具 间 有
直到 n1阶的导数 ,则当 x(a,b)时, 有 f (x) f (fx0(n)n) (!xf0)((x x0 )xx ( 0 )nx 0 )Rn(xf)2(x!0)(xx0)2 ①
f (nn)(!x0R )(nx(x)x0)(nnM f1()(nn!1x)1()n!)1((x在 x0x)0 n与 1 x之)间
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二、几个初等函数的麦克劳林公式
(1) f(x)ex
f(k)(x)ex, f(k )(0 ) 1(k 1 ,2 , )
Hale Waihona Puke e x 1xx2 2!
x3 3!
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f (x) f (x0) f(x 0 )x ( x 0 )f2(x!0)(xx0)2
特例: f (nn)(!x0)(xx0)nf((nn1)1()!)(x(x0在 )nx10与 x之)
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变给为出拉格朗日中值定理
f(x)f (x0) f()x (x0) (在 x0与 x之)
令 pn(x)a 0 a 1 ( x x 0 ) a 2 ( x x 0 ) 2 a n ( x x 0 ) n
则 pn(x)
a1 2a2(xx0) n a n (x x 0 )n 1
pn (x ) 2 !a2 n ( n 1 ) a n ( x x 0 ) n 2
特点: p1(x0) f (x0)
p1(x0) f(x0)
p1(x)
o x0 x x
以直代曲
如何提高精度 ? 需要解决的问题
如何估计误差 ?
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1. 求 n 次近似多项式 pn(x),要求: p n (x 0 )f(x 0 ),p n (x 0 )f(x 0 ), ,p n ( n )(x 0 ) f( n )(x 0 )
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
可见
f f
(x) (x)
f f
(x0) f(x 0 )x ( x 0 ) (x0) f(x 0 )x ( x 0 )
f
2(!()(在 xxx00与 )2x之)
误差 R1(x)f2(!)(xx0)2 (在 x0与 x之)间 df
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补例：求函数 f (x) x 按(x-4)的幂展开的带有
f (x) f (x0) f(x 0)x ( x 0)f2(x!0)(xx0)2 f (nn)(!x0)(xx0)n o[(xx0)n] ④
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
公式 ④ 称为 f ( x) 按(x-x0)的幂展开的带有佩亚诺(Peano)
余项的n 阶泰勒公式 .
拉格朗日型余项的3 阶泰勒公式 .
解：
f
(x)
1
1
x2
,
f (x)1x23,
2
4
f
(x)
3
5
x 2,
f
(4)
(x)
15
7
x2
,
8
16
故 f(4 ) 1 , f(4 ) 1,f(4 )3,
4
3 2
2 5 6
f ( fx(2 )x)4 ff((xn(nf)x((!04 x4))0) ) (6 fxf14 ((4 (x )xx0 (0 x ))4 nx )( 4 2 f) f3 x ((!0 5 (n4 nf) 1 1)2 2 1(()1!(x4 ()x)f !( )4 x 2((4 )xx !3 )03 4 () )(x2 f1 x0在 (2 5 )4 4)8 n((!x x10 0) 在 )7 2 与 (2(x4x x 与 之 44)x)4之 4 )间 间 )
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在泰勒公式中若取 x 0 0 , x ( 0 1 ) ,则有
f (x)f (0) f(0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
f (n1)( x)xn1
o(xn)
(n1)!
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 . 由此得近似公式
若在f (公xf)(式x)成f(立xf0的()0 )区f间( fx 上(0 0))x xf( (nx 10 f)() 2x(!0))fx22M (x !0, 则)(x有误fx(0差nn))2!(估0 )计 xn式
第三节
第三章
泰勒 ( Taylor )公式
理论分析
用多项式近似表示函数 — 应用
近似计算
一、泰勒公式的建立 二、几个初等函数的麦克劳林公式
三、泰勒公式的应用
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一、泰勒公式的建立
在微分应用中已知近似公式 :
y
f ( x) f(x 0)f(x 0)x ( x 0)
y f(x)
p1(x)
x 的一次多项式
其中 Rn(x)f((nn 1)1()!)(xx0)n1 ( 在 x0与 x之)间 ②
公式 ① 称为 f ( x) 按(x-x0)的幂展开的带有拉格朗日型余
项的n 阶泰勒公式 . 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
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注意到 R n(x)o [x (x0)n]
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
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R n (x ) f(x ) p n (x )
Rn (x) (x x0 )n1
Rn(n1) ( )
(n 1) !
(在 x0与 x之)间
pn (n 1)(x)0, R n (n 1 )(x )f(n 1 )(x )
Rn(x)f((nn 1)1()!)(xx0)n1 (在 x0与 x之)间
pn(n)(x)
n!an
a0pn(x0)f(x0),
a1pn (x0)f(x0),
a221!pn(x0)21 ! f(x0), ,ann1!pn(n)(x0)n1 ! f(n)(x0)
故 pn(x) f ( x0 ) f(x 0 )x ( x 0 )21 ! f(x0)x (x0)2
n1 ! f(n )(x 0 )x ( x 0 )n Pn(x)称为函数f(x) 按(x-x0)的幂展开的 n 次近似多项式.