3.1 二维随机变量及其联合分布函数

如 果 二 维 随 机 变 量 ( X , Y )全 部 可 能 取 到 的 不
相同的值是有限对或可列无限多对, 相同的值是有限对或可列无限多对, 则称( X , Y )是 二维离散型随机变量. 二维离散型随机变量. 二维连续型随机变量是非离散型随机变量中的 一类. 一类.
二维随机变量 二维连续型随机变量
(1)常数 常数A 求： (1)常数 、B与C； 与 ； (2) (X,Y)关于 与Y的边缘分布函数 ； 关于X与 的边缘分布函数 关于 由联合分布函数的性质， 解 (1) 由联合分布函数的性质，有 π π
F ( ∞ , ∞ ) = A( B + )( C + )=1
2 2 π y F ( −∞ , y ) = A B − C + arctan = 0 2 3 π x F ( x , − ∞ ) = A B + arctan C − = 0 2 2
即对于任意固定的y , 当 x 2 > x1时 F ( x 2 , y ) ≥ F ( x1 , y );
对于任意固定的x , 当 y 2 > y1时 F ( x , y 2 ) ≥ F ( x , y1 ).
(3) 极限性质 F ( −∞ , y ) = 0,
F ( x ,−∞ ) = 0,
F ( −∞ ,−∞ ) = 0, F (∞ , ∞ ) = 1.
P { x1 < X ≤ x2 , Y ≤ y} = F ( x2 , y ) − F ( x1 , y )
P { X ≤ x , Y ≤ y} = F ( x , y )
四、边缘分布函数 作为一个整体, 二维随机向量 (X, Y ) 作为一个整体 用联合分布 来刻画. 都是一维随机变量, 来刻画 而 X 和Y 都是一维随机变量 各有自己的分 称为边缘分布 边缘分布. 布, 称为边缘分布 定理3.2 定理3.2 设 F ( x , y ) 为随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数 ,
(4) 处处右连续性
F ( x + 0, y ) = F ( x , y ), F ( x , y + 0) = F ( x , y ),
即 F ( x , y )关 于 x右 连 续 ， 关于y也右连续.
(5) 非负性
对 于 任 意 x 1 < x 2 , y1 < y 2 , 有
F ( x2 , y2 ) + F ( x1 , y1 ) − F ( x2 , y1 ) − F ( x1 , y2 ) ≥ 0.
y
y2
( x1 , y2 )
( x2 , y2 )
y1 ( x1 , y1 )
( x2 , y1 )
x2
O
x1
x
(2) 分布函数的性质 定理3.1 定理3.1 联合分布函数具有以下性质
(1) 有界性 0 < F ( x , y ) < 1 (2) 单调不减性
F ( x , y )是 变 量 x和 y的 不 降 函 数 ,
FX ( x) = F ( x, ∞) ,
FY ( x ) = F (∞, y ) .
称 为 随 机 变 量 ( X , Y ) 关 于 X 和 Y 的 边缘 分 布 函 数 .
设二维随机向量( , ) 例3.1 设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为
x y F ( x, y) = A B + arctan C + arctan 2 3
的 无 穷 矩 形 域 内 的 概率 .
y
( x, y) •
X ≤ x,Y ≤ y
o
x
随机点( X , Y )落在矩形域 {( x , y ) x1 < x ≤ x2 ,
y1 < y ≤ y2 }的 概 率 为
P { x1 < x ≤ x2 , y1 < y ≤ y2 }
= F ( x2 , y2 ) + F ( x1 , y1 ) − F ( x2 , y1 ) − F ( x1 , y2 ).
解得 A=
, B= , C = . 2 2 π
2
1
π
π
于是 ，
1 π x π y F ( x, y) = 2 + arctan + arctan 2 2 3 π 2
(2) (X,Y)关于 的边缘分布函数 关于X的边缘分布函数 关于
1 π x π y FX ( x ) = F ( x , ∞ ) = lim 2 + arctan + arctan y →∞ π 2 2 3 2 1 1 x = + arctan 2 π 2
称 分 函 . 简 为 布 数
பைடு நூலகம்
如 果 将 二 维 随 机 变 量 ( X , Y )看 成 是 平 面 上 随
机点的坐标, 那么, 机点的坐标, 那么 分布函数 F ( x , y ) 在 ( x , y ) 处的
函 数 值 就 是 随 机 点 ( X , Y ) 落 在 以( x , y )为 右 上 顶 点
三、用联合分布函数表示概率
如果知道了二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布函数 F ( x , y ) ， 那么可以求出它落在任何矩形内的概率. 那么可以求出它落在任何矩形内的概率
P{ x1 < X ≤ x2 , y1 < Y ≤ y2} = F ( x2 , y2 ) + F ( x1 , y1 ) − F ( x1 , y2 ) − F ( x2 , y1 )
关于Y的边缘分布函数 类似可求得 (X,Y)关于 的边缘分布函数 关于
FY ( y ) = F ( ∞ , y ) = 1 + 1 arctan y 2 π 3
设二维随机向量( , ) 例3.2 设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为
1 − e − x − e − y − e − x − y − λxy , x > 0, y > 0 F ( x, y) = 0, 其他
第3章 章
一、二维随机变量的概念
某城市为了制定一项政策， 某城市为了制定一项政策，需要研究每个家庭的 经济状况. 经济状况. 该试验的样本空间可以抽象地写成
Ω = {ω } = { 被抽取的家庭} ，
上的随机变量， 而收入 X ( ω ) 和支出 Y ( ω ) 是定义在 Ω 上的随机变量，
二维随机变量 随机变量， 称 ( X ( ω ) , Y ( ω ) ) 为二维随机变量，简单写成 ( X , Y ) .
称该分布为二维指数分布, 称该分布为二维指数分布,其中参数 λ ≥ 0 . 二维指数分布 则边缘分布函数为
1 − e − x , x > 0 FX ( x) = F ( x, + ∞) = x≤0 0,
1 − e − y , y > 0 FY ( y) = F ( +∞, y) = y≤0 0,
二维离散型随机变量
二、联合分布函数
(1)分布函数的定义 分布函数的定义 定义 设( X , Y )是二维随机变量，对于任意实
数 x , y , 二元函数 二元函数:
F ( x , y ) = P { X ≤ x ,Y ≤ y }
称 为 二 维 随 机 变 量 ( X , Y )的 联 合 分 布 函 数 ，