人教版高中数学必修二《祖暅原理与空间几何体体积》

高
S为底面面积， h为柱体高
学以致用
例1：如图，在长方体 ABCD ABCD 中，
截下一个棱锥 C ADD ,求棱锥的体积与剩
余部分的体积之比。
D'
解： 长方体可以看成直四棱柱 ADD'A' BCC'B'
A'
设它的底面 ADD'A' 面积为S，高为h，
C' B'
则它的体积为V Sh 因为棱锥 C A'DD'
D
C
的底面面积为
1S 2
高是h,所以棱锥
C AA'DD'
B
的体积
VC A'DD

1 1 Sh 32
1 Sh 6
余下的体积
Sh 1 Sh 5 Sh 66
所以体积比为 1: 5
探究点四 球体的体积计算公式
实验:
给出如下几何模型
R
R
步骤
１．拿出圆锥 和圆柱
２．将圆锥倒立放 入圆柱
知道它们前后的体积相等的条件为:
1 .高度相同 2.同一层上每页纸大小(面积)一样 3.每层与放作业本的桌面平行
祖暅的介绍：
祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。受家庭的 影响，尤其是父亲的影响，他从小对数学具有浓 厚的兴趣。祖冲之除了在计算圆周率方面的成就，还与 他的儿子祖暅一起，用巧妙的方法解决了柱体，锥体， 球体的体积计算。他们当时采用的原理，在西方被称为 “卡瓦列利”原理，但这是在祖氏父子以后一千多年才由 意大利数学家卡瓦列利发现的。为了纪念祖氏父子的 这一伟大发现，数学上也称这个原理为“祖暅原理”。
解： 六角螺帽的体积V是一个正六棱柱的体积V1与一个圆柱的 体积V2的差
V1 V2
3 122 6 10
4 3.14


10 2
2

10

3.74 103 0.785 103
mm3 mm3
所以一个毛坯的体积为
V 3.74103 0.785103 2.96103 mm3 2.96cm3
３．取出半球和新的几何体做它们的截面
R
结论:截面面积相等
则两个几何体的体积相等
V球

4 R3
3
学以致用
例、下图是一个奖杯的三视图(单位:cm),试讲出它由那些 几何体构成,并计算这个奖杯的体积(精确到0.01cm)。
学以致用
画出奖杯的水平直观图
并计算体积
学以致用
练习2.有一堆形状规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg，已知底面六边形边长为 12mm，高为10mm，内孔直径是10mm，那么约有毛坯多少个？（铁的比重是 7.8 g/cm3）
定理 柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底
面 积s和高h的积。
V柱体= sh
推论 底面半径为r，高为h圆柱的体积是
V圆柱= r2h
总结 柱体体积公式及其探索思路？
柱体的体积公式Ｖ柱体＝Ｓｈ
柱体的代表 Ｖ长方体＝Ｓｈ
+
等底面积等高 的任意两个柱 体的体积相等
探究点二 锥体的体积计算公式
问题5：两个底面积相等、高也相等的棱锥
祖暅(gèng)原理：幂势既同，则积不容异。 祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面 (阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的 体积一定相等。
应用祖暅原理可以说明：等底面积、等高的两 个柱体或椎体的体积相等.
探究点一 柱体的体积计算公式
设有底面积都等于S，高都等于h的任 意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使 它们的下底面在同一个平面α内（如图）
约有毛坯 5.8 103 7.8 2.96 250（个）
答：这堆毛坯约有250个．
课堂小结：
1、本节课你学到了哪些数学知识？ 2、本节课你能感受到哪些数学思想？
1.柱体、锥体、 台体的体积
柱体 V Sh S S'
台体V 1 (S SS S)h 3 S' 0
（圆锥）的体积之间有怎样的关系呢？为什么？
探究点二 锥体的体积计算公式
锥体体积公式及其探索思路？
锥体的体积公式Ｖ锥体＝?
锥体的代表 ?
等底面积等高的
+ 任意两个锥体的 体积相等
问题6：三棱柱分割
成三个三棱锥,他们三个 的体积相等吗？为什么？
A’
A’
A C’
B’
C’ B’
C B
A
C
B
总结 锥体体积公式
锥体的体积公式Ｖ锥体＝?
锥体的代表 三棱锥
等底面积等高的
+ 任意两个锥体的 体积相等
总结提升：
探究点三 台体的体积计算公式
问题7：你能根据锥体的体积计算公式推导台体的体积计算公式
设棱台上底面积为S‘， 下底面积为S，高为h， 大棱锥的高为h1，小 棱锥的高为h2，则
V VP ABC VP ABC
人教版必修2
第一章 空间几何体
问题1长方体的长、宽、高分别是a、b、c，那么它的 体积是什么？ 能否用另外一种形式来表示长方体的体积呢？
V 长方体 abc
V 长方体 sh
问题2改变一下形状，底面积和高有没有改变？
如果用一个平行于水平面的平面去截这堆书，这些 水平截面的面积有什么关系？ 体积有没有改变？ 从这个事实中你得到什么启发？
1 (S SS S)h 3
两个底面积相等、高也相等的棱台（圆台）的体积 相等
1
Ｖ圆台＝ 3
πh
(r12
r1r2
r22 )
反思感悟 问题8：柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
S S
S 0
S为底面面积， S，S’分别为上、下
h为锥体高
底面面积，h 为台体
问题3
用平行于底的的平面截柱体，截面面积相等 吗？为什么？
棱柱、圆柱的截面性质:平行于底面的截面与底面全等.
问题4长方体的体积计算公式
能否推广到一般的棱柱（圆柱） 体积的计算呢？
由祖暅原理可知：等底面积等高的任意两个柱体的
体积 相等，而长方体的体积为V长方体= sh，所以与
长方体等底面积等高的棱柱、圆柱有如下定理：
锥体 V 1 Sh 3
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2.球的体积公式
3.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、 台、球等常见的几何体的体积和.
4. 化归思想、极限思想.
反思提升：
多面体和圆柱，圆锥，圆台的表面积我们 可以用展开几何体的方式得到，球能展开 吗？你能否用我们今天学到的球的体积公 式得到球的表面积公式呢？