实数的完备性 (2)

是区间(0, 1)的一个无限开覆盖。
在具体问题中，一个点集的开覆盖往往是由该问题的 某些具体条件所确定。 函数f 在 (a, b) 内连续， 0, x (a , b), x 0, 使
有几个定理与之等价，区间套定理、聚点定理、有限
覆盖定理，他们一起构成了实数完备性定理。
一、区间套定理
定义1 设闭区间列 {[an , bn ]} 满足如下条件 :
1. [an , bn ] [an1 , bn1 ] , n 1, 2, ,
2. lim(bn an ) 0 ,
n
[充分性] 0, N 0, n N , 有 an aN .
{an } 中几乎所有的项. 即在区间 [a N , a N ]内含有
1 1 1 令 , N 1 , 在[a N1 , a N1 ]内含{an }几乎所有项， 2 2 2 1 1 记[ 1， 1 ] [a N1 , a N1 ], 2 2 1 1 1 令 2 , N 2 , 在[a N 2 2 , a N 2 2 ]内含{an }几乎所有项， 2 2 2 1 1 记[ 2， 2 ] [a N 2 2 , a N 2 2 ] [ 1， 1 ], 2 2
因为E是无限点集，故两个子区间中至少有一个 含有E中无穷多个点，记这个区间为 [a2 , b2 ]， 则 [a1 , b1 ] [a2 , b2 ] 且b2 a2 1 (b1 a1 ) M， 2
再将 [a2 , b2 ] 等分为两个子区间， 则其中至少有一个子区间含有E中无穷多个点 ,
( [[ ]] ) an bn
区间套定理主要用于存在性问题的研究.
存在性的问题是数学分析的核心问题,许多问题都归结
为证明存在某种性质的点.
如果没有实数的基本定理(单调有界定理,区间套定理等)， 这种存在性的回答是非常困难的. 用区间套证题通常分为三个步骤： (1) 分析所要证明存在的点满足的所谓“邻域性质”，由 此构造区间套（这一步往往是技术性的,有一定的难度）； (2) 由区间套定理,确认点的存在性（关键的一步）； (3) 验证所得到的点就是所要找的点.
但是定理1中的 是不存在的, 这是因为
1 0, . n n1

{[ a , b ]} n n 若 是区间套 所确定 推论 [an , bn ], n 1,2,
的点 , 则 0，N 0, n N , 有
[an , bn ] U ( , ).
常用的表达形式。在现在数学中，正是利用它来定义各种
抽象空间的完备性的。因此，常常称它为完备性定理。
二、聚点定理
定 义 2 : ( 聚 点 的 定 义)
设S为数轴上的点集，为定点（它可以属于 S，也 可以不属于S）。
若 的任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称 为点集S的一个聚点。
1 如 S {(1) }的聚点为 1, 1. n n S { }的聚点为 1, n1 [a , b], S (a , b)的聚点为
实数的完备性
完备性是实数集的一个十分重要的性质，它不但是
实分析的理论基础，而且是泛函分析中各种抽象空间的 空间性质的丰富源泉。完备性通俗地讲就是对极限“运 算”是封闭的。其中的柯西收敛原理在现代数学中利用 它来定义各种抽象空间的完备性。
在高等数学中大家学过几个关于数列极限的存在定 理。比如单调有界定理，柯西收敛原理，有界数列必 有收敛之列等，这些定理都刻画了实数的完备性。还
在什么情况下应用闭区间套定理呢？ 一般来说, 证明问
题需要找到具有某种性质 P 的一个数,常常应用闭区间套定理 将这个数“套”出来。 怎样应用闭区间套定理呢? ① 首先构造一个具有性质P的闭区间. 性质要根据性质P来定。 ② 其次，通常采用二等分法， 将此闭区间二等分 ，至少有
一个闭区间具有性质P。
区间套定理 聚点定理
定理3 (维尔斯特拉斯（Weierstrass)聚点定理)
实轴上的任意有界无限点集 E 至少有一个聚点。 证： 因为E是有界点集， M 0, 使E [ M , M ]，
记 [a1 , b1 ] [ M , M ]，
现将 [a1 , b1 ] 等分为两个子区间。

a1a2 an an 1



x
bn 1bn b2 b1
证 由定义1 的条件1 可知, 数列{an}递增, 有上界 b1.所以由单调有界定理, 可知 {an} 的极限存在.
或者

{ } [an , bn ].

n1

设
lim an ,
n
从而由定义1 的条件2 可得
lim bn lim(bn an ) lim an .
n n n
因为 {an} 递增, {bn} 递减, 所以
an bn ,
这样就证明了 的存在性. 下面来证明唯一性. 设 1 也满足
an 1 bn ,
于是按定义 2，存在 {xn} 的一个收敛子列 以 ξ 为其极限.
证毕。
注： 聚点定理和致密性定理在有理数域不一定成立。
1 n 1 n 如：S {(1 ) }, { xn } {(1 ) }, n n
S是有界的无限有理点集，在实数域内的唯一聚
点为e，因而在有理数域没有聚点。 数列{xn}是有理数域内的有界数列，但其极限
则[ 2， 2 ]也含{an }几乎所有项，
1 1 1 依次令 3 ，4 ， ，n 2 2 2
仿以上方法得到闭区间列 {[ n , n ]},
其中每个区间都包含 {an }几乎所有项，
且 [n , n ] [n1 , n1 ], n 1,2, 1 n n n1 0, ( n ), 即 { [ n , n ]}是闭区间套。 2 由区间套定理，存在唯一的一个数 [ n , n ], n 1,2,
0，N 0, n N , 有 [ n , n ] U ( , ). 由推论得 ：
因此在 U ( ; ) 内含有 {an }中除有限项外的所有项，
即 lim an .
n
柯西收敛原理的意义不仅在于它提供了判断数列收敛 的一个充分必要条件，而且，他还是刻画实数完备性的最
则称 {[an , bn ]} 为闭区间套, 简称区间套.
定义1 中的条件1 实际上等价于条件
a1 a2 an bn b2 b1 .
定理1(区间套定理)
若 {[an , bn ]} 是一个区间套,
则存在唯一的实数 , 使
[an , bn ], n 1, 2, ,
n
定义2 定义2 定义2 显然，
三个定义等价性的证明:
2
1
只需证： 定义2 定义2
取 1 1, 则x1 U ( ; 1 ) S， 显然 x2 x1，
(
(
x 2 x1
)
)
0, x U ( , ) S , 设 为S（按定义2 ）的聚点，
注意这种技巧！
取 2 min{1 / 2,| x1 |},则x2 U ( ; 2 ) S，
取 n min{1 / n,| xn1 |},则xn U ( ; n ) S，
且xn与x1，x2， xn1互异，
无限地重复以上步骤，得到S中各项互异的数列 { xn }, 1 且满足： | xn | n ，从而 lim xn . 证毕。 n n
n
整数集Z和自然数集N没有聚点。
任何有限数集没有聚点. 聚点概念的另两个等价定义:
定 义2 对于点集S , 若点的任意邻域内都含有S中
异于的点，即U o ( ; ) S ,
则称 为S的一个聚点。
定义 2 若存在各项互异的收敛数列 { xn } S ,
lim xn , 则称为S的一个聚点。
注 区间套定理中的闭区间若改为开区间, 那么结
1 论不一定成立. 例如对于开区间列 0， , 显然 n 1 1 1. 0, 0, , n 1, 2, , n n1 1 2. lim 0 0. n n
用聚点定理证明致密性定理
定理4（致密性定理）有界数列必含有收敛子列。 证 设{xn}为有界数列 , 若{xn}中有无限多个相等的项， 则由这些项组成的子列是一个常数列，总是收敛的。
若{xn}中不含无限多个相等的项，则{xn}在数轴上
对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理， 点集{xn}至少有一个聚点， 记为，
也可以用以下方式定义开覆盖: 定义3’： 设 S 为数轴上的点集, H 为开区间的集合:
H {( i , i ), i I }
若Leabharlann Baidu
S ( i , i ),
iI
则称 H 为 S 的一个开覆盖,或称 H 覆盖 S.
2 1 3 n1 n1 ( , ), 如：( 0， ), ( ， ), ， 3 2 4 n n2
是无理数e.从而任一子列均收敛于e。故{xn}在有 理数域内没有收敛的子列。
三、有限覆盖定理
定义3（开覆盖的定义）
设 S 为数轴上的点集，H 为开区间的集合，即 H 的每一个元素都是形如 ( , ) 的开区间. 若 S
中任何一点都含在 H 中至少一个开区间内，则
称 H 为 S 的一个开覆盖，或称 H 覆盖 S. 若 H 中开区间的个数是无限的（有限）的，则 称 H 为 S 的一个无限开覆盖（有限开覆盖）。
记这个区间为 [a3 , b3 ]， 1 M 则 [a2 , b2 ] [a3 , b3 ] 且b3 a3 (b2 a2 ) ， 2 2 按此办法无限制的进行下去，得到一个 区间列 {[an , bn ]}, 满足：
[an , bn ] [an1 , bn1 ], n 1,2, M bn an n1 0 ( n ) 2
且
即{[an , bn ]}是闭区间套，
且其中每一个闭区间都含E中无穷多个点。由区间套 定理，存在唯一点 [an , bn ], n 1,2,
由于 lim a n lim bn , 所以 0，N 0, n N , 有
n n
[an , bn ] U ( ; ) 按定义2， ξ为S的一个聚点。
对m, n N , 有 an A / 2 及 am A / 2.
| an am || an A | | am A | / 2 / 2 .
{an }收敛 0, N , m, n N , 有 an am .
③ 继续二等分法，得到满足闭区间套定理条件的和具有性质 P 的闭区间列，根据闭区间套定理，就得到唯一一个具有性 质P的数。
定理 2 （ Cauchy 收敛准则） :
{an }收敛 0, N 0, m, n N , 有 an am .
证: (必要性) 设 lim an A, 则对 0, N 0, n