因式分解知识点归纳

初中数学之因式分解知识点汇总

初中数学之因式分解知识点汇总因式分解1. 因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

2. 因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法都是整式变形，两者互为逆变形。

因式分解是将“和差”的形式化为“积”的形式，而整式乘法是将“积”化为“和差”的形式。

注：分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止，即分解因式要彻底。

3. 公因式多项式的各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式。

系数——取各项系数的最大公约数；字母——取各项都含有的字母；指数——取相同字母的最低次幂。

例如：多项式pa+pb+pc 中因式p 即为多项式各项的公因式。

因式分解九大方法：(一)运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

(二)平方差公式1.平方差公式(1)式子：a2-b2=(a+b)(a-b)(2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

(三)因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

(四)完全平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

(2)完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。

初中数学知识点：因式分解考前复习

初中数学知识点：因式分解考前复习
初中数学知识点大全：因式分解
因式分解
因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫把这个多项式因式分解。

因式分解要素：①结果必须是整式②结果必须是积的形式③结果是等式④
因式分解与整式乘法的关系：m(a+b+c)
公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。

公因式确定方法：①系数是整数时取各项最大公约数。

②相同字母取最低次幂③系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。

提取公因式步骤：
①确定公因式。

②确定商式③公因式与商式写成积的形式。

分解因式注意；
①不准丢字母
②不准丢常数项注意查项数
③双重括号化成单括号
④结果按数单字母单项式多项式顺序排列
⑤相同因式写成幂的形式
⑥首项负号放括号外
⑦括号内同类项合并。

(完整版)乘法公式和因式分解知识点

乘法公式和因式分解（一）、知识点：1、单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

2、单项式乘多项式：单项式与多项式相乘，用单项式乘多项式的的每一项，再把所得的积相加。

m(a+b－c)＝ma+mb－mc3、多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(二)、知识要点 1、乘法公式2、因式分解因式分解：（1）把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解。

注、公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

（2）多项式的乘法与多项式因式分解的区别简单地说：乘法是积化和，因式分解是和化积。

3、因式分解的方法：（1）、提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

（2）、运用公式法：运用乘法公式把一个多项式因式分解的方法叫运用公式法。

（3）、分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．（4）、十字相乘法：有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。

简单的说十字相乘法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

注意：十字相乘法不是适合所有二次三项式，只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用，这个特殊关系我们通过例题来说明：注意：我们在用十字相乘法之前一定要根据第一步判断是否能用十字相乘法。

我们在分解常数项和二次项系数时变化多端，目的是交叉相乘之和要等于一次项系数，如何分配常数项和二次项系数要根据情况而定。

因式分解知识点总结

因式分解知识点总结一、因式分解的概念。

1. 定义。

- 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

例如：x^2-4=(x + 2)(x - 2)，就是将多项式x^2-4因式分解为两个整式(x + 2)与(x - 2)的积的形式。

2. 与整式乘法的关系。

- 因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形。

整式乘法是把几个整式相乘化为一个多项式，如(a + b)(a - b)=a^2-b^2；而因式分解是把一个多项式化为几个整式相乘，如a^2-b^2=(a + b)(a - b)。

二、因式分解的方法。

1. 提公因式法。

- 公因式的确定。

- 系数：取各项系数的最大公因数。

例如，对于多项式6x^2+9x，系数6和9的最大公因数是3。

- 字母：取各项相同的字母。

在6x^2+9x中，相同的字母是x。

- 字母的指数：取相同字母的最低次幂。

对于6x^2+9x，x的最低次幂是1。

所以公因式是3x。

- 提公因式的步骤。

- 找出公因式。

- 用多项式除以公因式，得到另一个因式。

例如，6x^2+9x = 3x(2x+3)。

2. 公式法。

- 平方差公式。

- 公式：a^2-b^2=(a + b)(a - b)。

- 应用条件：多项式必须是两项式，并且这两项都能写成平方的形式，符号相反。

例如，9x^2-16y^2=(3x + 4y)(3x - 4y)，这里9x^2=(3x)^2，16y^2=(4y)^2。

- 完全平方公式。

- 公式：a^2+2ab + b^2=(a + b)^2，a^2-2ab + b^2=(a - b)^2。

- 应用条件：多项式是三项式，其中有两项能写成平方的形式，且这两项的符号相同，另一项是这两个数乘积的2倍。

例如，x^2+6x + 9=(x + 3)^2，这里x^2=x^2，9 = 3^2，6x=2× x×3。

3. 十字相乘法（拓展内容，人教版教材部分有涉及）- 对于二次三项式ax^2+bx + c(a≠0)，如果能找到两个数m和n，使得m + n=b 且mn = ac，那么ax^2+bx + c=(x + m)(x + n)。

因式分解知识点总结

第一讲因式分解知识梳理1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。

即：多项式f几个整式的积例：-ax+-bx=-x(a-∖-b)3 3 3因式分解，应注意以下几点。

1.因式分解的对象是多项式；2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5.结果如有相同因式，应写成幕的形式；6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。

2.因式分解的方法：(1)提公因式法：①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。

公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。

'系数一一取各项系数的最大公约数＜字母——取各项都含有的字母指数一一取相同字母的最低次塞例：↑2a3b3c-Sa3b2c3+βa4b2c2的公因式是解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6,它们的最大公约数为2；字母部分/匕3g。

302。

3,。

力力：都含有因式/∕c,故多项式的公因式是2a3b2c.②提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。

注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。

多项式中第一项有负号的，要先提取符号。

例1：把12/b78。

从一2447√分解因式.解析：本题的各项系数的最大公约数是6,相同字母的最低次耗是ab,故公因式为6abo 解：↑2a2b-↑Sab2-24aV=6ab(2a-3b-4a2b2)例2：把多项式3。

-4)+x(4-R)分解因式解析：由于4-x=-(x-4),多项式3(x-4)+M4-x)可以变形为3(x-4)-X(X-4),我们可以发现多项式各项都含有公因式(工-4),所以我们可以提取公因式(x-4)后,再将多项式写成积的形式.解：3(x-4)+x(4-x)=3(x-4)-x(x-4)=(3-x)(x-4)例3：把多项式-f+2为分解因式解：-X2+2x=-(x2-2x)=-x(x-2)(2)运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

因式分解知识点归纳总结一

因式分解知识点归纳总结一（一）运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

（二）平方差公式1．平方差公式（1）式子：a2-b2=(a+b)(a-b)（2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

（三）因式分解1．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

（四）完全平方公式（1）把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

（2）完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。

③有一项是这两个数的积的两倍。

（3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

（4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。

这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

（5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

（五）分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式．如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式．原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m+ n)＝(m +n)•(a +b)．这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．（六）提公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式．2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：1．必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数．2．将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：①列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况；②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数．3．将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式．（七）分式的乘除法1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式．3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分．4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2，(x-y)3＝-(y-x)3．5．分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理．当然，简单的分式之分子分母可直接乘方．6．注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减．（八）分数的加减法1．通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形．约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来．2．通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变．3．一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．4．通分的依据：分式的基本性质．5．通分的关键：确定几个分式的公分母．通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．6.类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．7．同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

(完整版)因式分解知识点归纳

n m n a a +=同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

35())a b b += 、幂的乘方法则：mnm aa (（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。

如：幂的乘方法则可以逆用：即考点四、十字相乘法（1）二次项系数为1的二次三项式2x px q ++中，如果能把常数项q 分解成两个因式a b 、的积，并且a b +等于一次项系数p 的值，那么它就可以把二次三项式2x px q ++分解成()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22例题讲解1、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=51 2 解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例题讲解2、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x(4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x2、二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2 条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例题讲解1、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x。

因式分解知识点归纳总结

因式分解知识点归纳总结因式分解是数学中的一个重要知识点，它在代数的各个领域中有着广泛的应用。

因式分解是将一个多项式表示为乘积的形式，使得每个乘积因子都是原多项式的一个因子。

通过因式分解，我们可以更好地理解多项式的结构、性质和特点。

一、基本概念和思想1.多项式：由变量和常数的乘积相加或相减而成的代数表达式。

2.因式：在乘积中的每个项。

3.因式分解：将一个多项式表示为乘积的形式。

4.公因式提取：在多个项中提取出一个公共的因子，然后将其提取出来。

5.公式：将其中一种特殊形式的多项式因式分解的方法。

二、因式分解的基本方法1.提取公因子：在多个项中提取出一个公共的因子。

2.完全平方公式：将二次多项式表示为完全平方的形式。

3.平方差公式：将二次多项式表示为一个平方差的形式。

4.组合因式法：将多项式按照特定的方式分组，然后进行因式分解。

5.因式定理：根据多项式的特征和性质，通过试探法找到一个因式，然后进行因式分解。

6.代换法：通过适当的代换，将多项式转化为一个更易于因式分解的形式。

三、因式分解的应用1.简化运算：可以通过因式分解将复杂的数学计算简化为更简单的形式，提高计算的速度和效率。

2.解方程：通过因式分解将方程转化为一个乘积的形式，可以更方便地求解方程的解。

3.获得更多信息：因式分解可以给出多项式的根的信息，从而帮助我们更好地理解多项式的特点和性质。

4.拓展推广：通过因式分解的方法，可以推广到更高次数的多项式，进行更深入的数学研究和应用。

四、因式分解的注意事项1.因式分解的结果应尽可能简化，即将多项式表示为最简形式的乘积。

2.对于不同类型的多项式，有不同的因式分解方法，需要根据具体情况选择合适的方法。

3.因式分解中的变量可以是实数、复数或其他数学对象，需要根据具体情况进行分析和处理。

4.在进行因式分解时，需要注意运算规则和性质，避免出现错误。

总结起来，因式分解是数学中的一个重要概念和方法，它在代数的各个领域中有着广泛的应用。

中考数学常考的知识点：因式分解

中考数学常考的知识点：因式分解（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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整式的乘法和因式分解知识点汇总

整式的乘法和因式分解知识点汇总整式乘除与因式分解一、知识点1.幂的运算性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即，am·an＝am＋n（m、n为正整数）。

例如：(－2a)2(－3a2)3 = 4a2·-27a6 = -108a8.2.幂的乘方性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即，a(mn)＝(am)n（m、n为正整数）。

例如：(－a5)5 = (-1)5·a25 = a25.3.积的乘方性质：积的乘方等于各因式乘方的积。

即，(ab)n = an·bn（n为正整数）。

例如：(－a2b)3 = (-1)3·a6·b3 = -a6b3.4.幂的除法性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

即，a/m ÷ a/n = a(m-n)（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）。

例如：(1) x8÷x2 = x6；(2) a4÷a = a3；(3) (ab)5÷(ab)2 = a3b3.5.零指数幂的概念：a0 = 1（a≠0）。

任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1.例如：若(2a-3b)0=1成立，则a,b满足任何条件。

6.负指数幂的概念：a-p = 1/ap（a≠0，p是正整数）。

任何一个不等于零的数的-p（p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数。

例如：(m/n)-2 = n2/m2.7.单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

例如：(1) 3a2b·2abc·abc2 = 6a4b2c3；(2) (-m3n)3·(-2m2n)4 = -8m14n7.8.单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。

例如：(1) 2ab(5ab+3ab) = 16a2b2；(2) (ab2-2ab)·ab = a2b3-ab2.9.多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。

(完整版)八年级数学因式分解知识点

第四章因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：一、提公因式法.如多项式),(c b a m cm bm am ++=++其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．二、运用公式法.运用公式法，即用))((,)(2),)((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！=))((b a n m ++思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。

例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。

第二、三项为一组。

解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

因式分解总结知识点

因式分解总结知识点一、多项式的基本知识1.多项式的定义多项式是由多个单项式相加或相减而成的代数式。

一般的形式为：$P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$。

其中，$a_n, a_{n-1}, \cdots, a_1, a_0$ 是常数，$x$ 是变元，$a_nx^n, a_{n-1}x^{n-1}, \cdots, a_1x, a_0$ 分别称为多项式 $P(x)$ 的各项，$a_n$ 称为多项式 $P(x)$ 的首项系数，$a_0$ 称为常数项。

2.多项式的次数如果多项式 $P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$ 中 $a_n \neq 0$，则$n$ 称为多项式的次数，记作 $\deg P(x) = n$。

3.多项式的分类按照多项式的次数和各项系数的类型，多项式分为一元多项式和多元多项式，一元多项式又可以分为单项式和多项式，多项式还可以按照各项系数的类型分为整系数多项式、有理系数多项式、实系数多项式和复系数多项式等等。

二、因式分解的基本方法1.提公因式法提公因式法是因式分解的一个基本方法，它适用于形如 $ax^2 + bx + c$ 的二次三项式，其中 $a, b, c$ 是常数。

例如对于 $2x^2 + 3x + 1$，我们可以先找到它的两个因式 $2x$ 和 $1$，然后将原多项式分解为 $(2x + 1)(x + 1)$。

2.公式法公式法是因式分解的另一个基本方法，它适用于一些特定形式的多项式，如平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，完全平方公式 $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$，立方和公式 $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ 等等。

3.分组分解法分组分解法是对多项式中的部分项进行合并，以便进行进一步的因式分解。

数学中的因式分解知识点总结

数学中的因式分解知识点总结因式分解是数学中重要的基础概念之一，它在代数运算、方程求解、函数图像等领域都有广泛的应用。

本篇文章将对数学中的因式分解知识点进行总结和归纳，旨在帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

一、因式分解的基本概念因式分解是将一个数、一个代数式或一个多项式表示为若干个乘积的形式，其中每个乘积因子都是不可再分解的。

因式分解可以简化复杂的式子，方便进行进一步的计算和求解。

在因式分解中，常用的因式分解形式有公因式、差平方公式、完全平方式、三项完全平方式等。

二、公因式的因式分解公因式是多个代数式的公共因子，通过提取公因式，可以将一个多项式进行因式分解。

公因式的因式分解是因式分解的基础，也是其他形式的因式分解的前提。

公因式分解的关键是找到所有项的公共因子，然后将其提取出来作为公因式。

三、差平方公式的因式分解差平方公式（a²-b²）=(a+b)(a-b) 是平方差公式的一个特例。

差平方公式的因式分解运用了平方差公式的性质，通过将一个二次多项式表示为两个一次多项式的乘积形式，从而进行因式分解。

在应用差平方公式进行因式分解时，需要根据具体的题目要求，将其转化为差平方的形式，然后使用差平方公式进行因式分解。

四、完全平方式的因式分解完全平方式是将一个二次多项式表示为两个一次多项式乘积的形式，数学中非常常见的一种因式分解形式。

完全平方式的因式分解要求将二次多项式写成一个二次平方的形式（(a±b)²），然后应用完全平方式进行因式分解。

在应用完全平方式进行因式分解时，需要根据题目给出的多项式，将其转化为完全平方式的形式，然后应用完全平方式进行因式分解，得到最终的结果。

五、三项完全平方式的因式分解三项完全平方式是将一个三次多项式表示为三个一次多项式乘积的形式，同样也是一种常见的因式分解形式。

三项完全平方式的因式分解要求将三次多项式写成三个完全平方式的乘积形式（(a±b)³），然后应用三项完全平方式进行因式分解。

初二上学期数学《因式分解》知识点整理初二上册数学因式分解知识点

初二上学期数学《因式分解》知识点整理初二上册数学因式分解知识点（1）因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

（2）公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式。

（3）确定公因式的方法：公因数的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的。

（4）提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

（5）提出多项式的公因式以后，另一个因式的确定方法是：用原来的多项式除以公因式所得的商就是另一个因式。

（6）如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“—”号，使括号内的第一项的系数是正的，在提出“—”号时，多项式的各项都要变号。

（7）因式分解和整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程，整式乘法的结果是整式，因式分解的结果是乘积式。

（8）运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

（9）平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：a2—b2=（a+b）（a—b）（10）具备什么特征的两项式能用平方差公式分解因式①系数能平方，（指的系数是完全平方数）②字母指数要成双，（指的指数是偶数）③两项符号相反。

（指的两项一正号一负号）（11）用平方差公式分解因式的关键：把每一项写成平方的形式，并能正确地判断出a，b分别等于什么。

（l2）完全平方公式：两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。

字母表达式：a2±2ab+b2=（a±b）2 （13）完全平方公式的特点：①它是一个三项式。

②其中有两项是某两数的平方和。

③第三项是这两数积的正二倍或负二倍。

④具备以上三方面的特点以后，就等于这两数和（或者差）的平方。

初中数学之因式分解知识点汇总

初中数学之因式分解知识点汇总因式分解1. 因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

2. 因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法都是整式变形，两者互为逆变形。

因式分解是将“和差”的形式化为“积”的形式，而整式乘法是将“积”化为“和差”的形式。

注：分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止，即分解因式要彻底。

3. 公因式多项式的各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式。

系数——取各项系数的最大公约数；字母——取各项都含有的字母；指数——取相同字母的最低次幂。

例如：多项式pa+pb+pc 中因式p 即为多项式各项的公因式。

因式分解九大方法：(一)运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

(二)平方差公式1.平方差公式(1)式子：a2-b2=(a+b)(a-b)(2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

(三)因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

(四)完全平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

(2)完全平方式的形式和特点①项数：三项。

因式分解(一)

D.
a2 7a 12 a 3 a 4
【知识点二】提公因式法计算： 3.8 5 4.3 5 1.9 5 逆用乘法分配律
3.8 5 4.3 5 1.9 5 5 3.8 4.3 1.9
提取公因式： ap bp cp p a b c ， p 公因式思考：如何确定公因式？例： 6a 3b 8a 2b2 12a 2bc ①先系数：系数的最大公约数为 2 ②再字母：所有项公共字母为 ab
例 3. （ 1）因式分解： a2 ab
.
（2）因式分解： 3x2 18x （3）因式分解： 16x2 y xy （4）因式分解： 3m2n 6mn2
. . .
练习 3-1 . （1）因式分解： a2 a
.
（2）因式分解： 2a2 4a
.
（3）因式分解： 2m2 m
.
练习 3-2 . 把多项式 4a3 4a 2 16a 因式分解，结果是（）
.
（2）因式分解： x2 9
.
（3）因式分解： 9x2 4
.
练习 6-1 . （1）因式分解： x2 4
.
（2）因式分解： x2 9 y2
.
练习 6-2 . （1）因式分解： 9 4 p2
.
（2）因式分解： 16m2 25
.
例 7. 因式分解： x4 y4
.
练习 7-1 . 因式分解： a4 16
.
③后指数：公共字母最小指数为 a2b
因式分解： 6a3b 8a2b2 12a2bc 2a2b 3a 4b 6c
注意：（1）公因式要提尽，千万不能有所遗漏 . (2) 要符合代数式的书写规范 ①单项式要写在多项式的前面 ②相同的因式要写成幂的形式 ③括号内多项式的首项系数一般变为正数例： 9a2b 15ab2c 3ab 3a 5bc

《因式分解-提公因式法》知识点归纳

因式分解-提公因式法知识点归纳1. 什么是因式分解-提公因式法？因式分解是将一个多项式写成两个或多个不可再因式分解的多项式相乘的形式。

提公因式法是一种常用的因式分解方法，它通过提取多项式中的公因式来简化多项式的表示。

2. 如何进行因式分解-提公因式法？步骤1：提取公因式首先，观察多项式中是否存在公因式，即是否有因子可以整除多项式的每一项。

如果存在公因式，将其提取出来。

例如：2x^2 + 4x = 2x(x + 2)步骤2：判断多项式的可进一步因式分解性质提取公因式后，判断剩余的部分是否还可以进行进一步因式分解。

常见的因式分解性质包括二次平方差公式、差平方公式等。

例如：x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)3. 因式分解-提公因式法的应用因式分解-提公因式法在解决各种数学问题时广泛应用，包括但不限于以下几个方面：3.1. 简化多项式因式分解-提公因式法可以将复杂的多项式简化为更简洁的形式，从而使问题的求解更加方便。

例如：3x^2 + 6x = 3x(x + 2)3.2. 解方程在解方程时，因式分解-提公因式法可以帮助我们找到方程的根。

例如：x^2 - 4 = 0通过因式分解得到：(x + 2)(x - 2) = 0解得x的值为2和-2。

3.3. 求导数在微积分中，因式分解-提公因式法常常用于求函数的导数。

例如：f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1可以通过因式分解-提公因式法得到导数：f'(x) = 3x^2 + 6x + 33.4. 求极限在求极限的过程中，因式分解-提公因式法可以帮助我们简化复杂的表达式，使得求解更加便利。

例如：lim(x->0) (x^2 - 4x) / x通过因式分解-提公因式法，可以将上述表达式化简为：lim(x->0) x(x - 4) / x = lim(x->0) (x - 4) = -44. 因式分解-提公因式法的重要性因式分解-提公因式法是数学中的基础操作之一，对于深入理解和解决复杂的数学问题至关重要。

数学中的因式分解知识点

数学中的因式分解知识点在数学中，因式分解是指将一个多项式或一个整数分解为若干个乘积的形式，其中每一个乘积因子都是原多项式或整数的因子。

因式分解是数学中的基础概念之一，它在代数、方程与不等式、多项式、分式等诸多领域具有重要的应用。

本文将主要介绍因式分解的一些基本概念和常见方法。

一、整数因式分解整数因式分解是指将一个整数表示为几个素数的乘积的形式。

这种分解方法也叫做质因数分解。

对于任何一个大于1的整数，都可以找到一组素数，使得它们的乘积等于该整数。

例如，对于整数60，可以进行如下的因式分解：60 = 2 × 2 × 3 × 5上述式子中的2、3和5都是素数，它们的乘积正好等于60。

其中2、3、5就是60的质因数。

通过整数的因式分解，我们可以更好地理解整数的性质，例如判断整数的奇偶性、最大公约数、最小公倍数等。

同时，整数因式分解也为解决一些与整数相关的问题提供了有效的方法。

二、多项式因式分解多项式因式分解是指将一个多项式表示为若干个乘积的形式。

在进行多项式因式分解时，可以根据多项式的特点应用不同的方法。

1. 提取公因式法提取公因式法是一种常用的多项式因式分解方法，它适用于多项式中每一项都含有相同的因子的情况。

通过提取公因式，可以将多项式分解为含有公因式的乘积形式。

例如，对于多项式3x^2 + 6x，我们可以进行如下的因式分解：3x^2 + 6x = 3x(x + 2)上述分解过程中，我们提取出了3x这个公因式。

通过提取公因式，我们将多项式3x^2 + 6x分解为了3x和x + 2两个乘积。

2. 平方差公式平方差公式也是一种常用的多项式因式分解方法，它适用于多项式的形式为a^2 - b^2的情况。

平方差公式可以将这种多项式分解为两个因式的乘积。

例如，对于多项式x^2 - 9，我们可以进行如下的因式分解：x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)上述分解过程中，我们利用了平方差公式将多项式x^2 - 9分解为(x + 3)和(x - 3)两个乘积。

多项式的因式分解知识点总结

多项式的因式分解知识点总结多项式的因式分解是数学中的重要内容之一。

通过将多项式分解为较简单的因子，我们可以更好地理解和运用多项式在代数运算中的性质。

本文将对多项式的因式分解进行知识点总结。

一、因式分解的基本概念多项式的因式分解是将一个多项式表示为若干个较简单的因式相乘的形式的过程。

常见的多项式的因式分解包括线性因式、二次因式和高次多项式的因式分解。

二、线性因式分解线性因式是指次数为1的因式，其表达形式为$(x-a)$，其中a为常数。

对于形如$f(x)=ax+b$的一次多项式，若存在一个实数a使得$f(a)=0$，则多项式$f(x)$可被$(x-a)$整除，即$f(x)$可以写成$(x-a)$与一个次数较低的多项式的乘积形式。

三、二次因式分解二次因式是指次数为2的因式，其表达形式为$(x-a)(x-b)$，其中a 和b为常数。

对于形如$f(x)=ax^2+bx+c$的二次多项式，若其可以被二次因式$(x-a)(x-b)$整除，则多项式$f(x)$可以进行二次因式分解。

四、高次多项式的因式分解高次多项式的因式分解相对较为复杂，在一般情况下需要通过观察多项式的类型和使用适当的方法进行分解。

常见的高次多项式的因式分解方法包括公因式提取法、配方法、短除法和因式定理等。

1. 公因式提取法：当多项式中存在公因式时，可以通过提取公因式的方式进行因式分解。

例如，对于多项式$f(x)=3x^3+9x^2+6x$，可以提取公因式得到$f(x)=3x(x^2+3x+2)$，然后再对$(x^2+3x+2)$进行二次因式分解。

2. 配方法：对于特定形式的多项式，可以通过选取合适的配方方式将其因式分解。

例如，对于多项式$f(x)=x^2+5x+6$，可以使用常见的配方法$(x+2)(x+3)$进行因式分解。

3. 短除法：短除法是一种用于高次多项式的因式分解的方法。

通过逐步将多项式除以已知的因式，从而逐步缩小多项式的次数，最终得到完整的因式分解。

因式分解知识点归纳总结一

因式分解知识点归纳总结一（一）使用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

假如把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2假如把乘法公式反过来，就能够用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做使用公式法。

（二）平方差公式1．平方差公式（1）式子：a2-b2=(a+b)(a-b)（2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

（三）因式分解1．因式分解时，各项假如有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2．因式分解，必须实行到每一个多项式因式不能再分解为止。

（四）完全平方公式（1）把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就能够得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

（2）完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。

③有一项为哪一项这两个数的积的两倍。

（3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

（4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也能够表示多项式。

这里只要将多项式看成一个整体就能够了。

（5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

（五）分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式．假如我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式．原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m +n)做到这个步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出这两项还有公因式(m+n)，所以还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m+ n)＝(m +n)•(a +b)．这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子能够看出，假如把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就能够用分组分解法来分解因式．（六）提公因式法1.在使用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，能够用设辅助元的方法把它转化为单项式，也能够把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式实行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式．2. 使用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)实行因式分解要注意：1．必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数．2．将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：①列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况；②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数．3．将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式．（七）分式的乘除法1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．2.分式实行约分的目的是要把这个分式化为最简分式．3.假如分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．假如分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分．4.分式约分中注意准确使用乘方的符号法则，如x-y＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2，(x-y)3＝-(y-x)3．5．分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理．当然，简单的分式之分子分母可直接乘方．6．注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减．（八）分数的加减法1．通分与约分虽都是针对分式来说，但却是两种相反的变形．约分是针对一个分式来说，而通分是针对多个分式来说；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来．2．通分和约分都是依据分式的基本性质实行变形，其共同点是保持分式的值不变．3．一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．4．通分的依据：分式的基本性质．5．通分的关键：确定几个分式的公分母．通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．6.类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．7．同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。