构造等腰三角形解题的辅助线做法

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构造等腰三角形解题的辅助线做法

构造等腰三角形解题的辅助线做法吕海艳等腰三角形是一种特殊的三角形，常与全等三角形的相关知识结合在一起考查。

在许多几何问题中，通常需要构造等腰三角形才能使问题获解。

那么如何构造等腰三角形呢一般有以下四种方法：（1）依据平行线构造等腰三角形；（2）依据倍角关系构造等腰三角形；（3）依据角平分线+垂线构造等腰三角形；（4）依据120°角或60°角，常补形构造等边三角形。

1、依据平行线构造等腰三角形例1：如图。

△ABC中，AB=AB，E为AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于D，求证DE=DF.）[点拔]：若证DE=DF，则联想到D是EF的中点，中点的两旁容易构造全等三角形，方法是过E或F作平行线，构造X型的基本图形，只需证两个三角形全等即可。

证明：过E作EG∥AC交BC于G∴∠1=∠ACB，∠2=∠F∵AB=AC∴∠B=∠ACB∴∠1=∠B∴BE=GE∵BE=CF∴GE=CF在△EDG和△FDC中*∠3=∠4∠2=∠FGE=CF∴△EDG≌△FDC∴DE=DF[评注]：此题过E作AC的平行线后，构造了等腰△BEG，从而达到转化线段的目的。

2、依据倍角关系构造等腰三角形例2：如图。

△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的平分线求证：AB+BD=AB.[点拔]：在已知条件中出现了一个角是另一个角的2倍，可延长CB，构造等腰三角形，问题即可解决。

证明：延长CB至E，使BE=BA，连接AE∵BE=BA∴∠BAE=∠E∵∠ABC=2∠C, ∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E∴∠C=∠EAC=AE∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2…∴∠EAD=∠BAE+∠1=∠E+∠1=∠C+∠2=∠BDA∴EA=ED∵ED=EB+BD，EB=AB，AC=AE∴AC=AB+BD[评注]：当一个三角形中出现了一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找等腰三角形。

3、依据角平分线+垂线，构造等腰三角形例3，如图。

等腰三角形中的常见辅助线

等腰三角形中做辅助线的八种常用方法几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中，使隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化.例如：作“三线”中的一线或平行线证线段相等，利用截长补短证线段和差关系或求角的度数，利用加倍折半法证线段的倍分关系等，将不在同一个三角形的线段转移到同一个三角形（或两个全等三角形）中，然后运用等腰（或全等三角形）的性质来解决问题.方法1 等腰三角形中有底边上的中点时常作底边上的中线1.如图，在三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：（1）DE=DF.（2）DE⊥DF方法2 等腰三角形中没有底边上的中点时常作底边上的高2.如图，△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC，求证：EB⊥AB.方法3 等腰三角形中证与腰有关联的线段时常作腰的平行线或垂线3.如图，在△ABC中，AB=AC ，点P从点B出发沿线段BA移动（点P与A，B不重合），同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.（1）试说明：PD=QD（2）过点P作直线BC的垂线，垂足为E，P，Q在移动的过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.方法4 等腰三角形证与底有关的线段时常作底的平行线4.如图，等边三角形ABC中，D是边AC延长线上一点，延长BC至E，使CE=AD，DG⊥BE于G，求证：BG=EG.方法5补形法构造等腰三角形5.如图，AB∥CD，∠1=∠2，AD=AB+CD，求证：（1）BE=CE；（2）AE⊥DE；（3）AE平分∠BAD.方法6 倍长中线法构造等腰三角形6.如图，△ABC中，AD为中线，点E为AB上一点,AD，CE交于点F，且CE=EF，求证:AB=CF方法7 延长（或截长）法构造等腰三角形7.如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B，CD平分∠ACB交AB于D，求证：AC+AD=BC.方法8 截长补短法构造等腰三角形8.如图,在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，且AB+BD=DC，求∠C的度数.。

三角形全等添加辅助线的5种常用方法

三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等的证明及相关问题，是初中几何部分的基础，也是重点和难点，不管是在中考还是平时的考试中，都是高频出现。

全等三角形的基础知识点就那么几条，很容易掌握，但是一般考试中的题目，不可能直接给出几组条件让我们直接写出证明过程，很多时候都要经过分析思考，添加辅助线，才能得到全等三角形。

下面就简单介绍一下构造全等三角形的五种常用方法。

一、等腰三角形三线合一法
当我们遇到等腰三角形（等边三角形）相关题目时，用三线合一性质，很容易找出思路。

它的原理就是利用三角形全等变换中的对折重叠。

我们来看一个例题：
二、倍长中线法
遇到一个中点的时候，通常会延长经过该中点的线段。

倍长中线指延长中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等。

如图所示，点D为△ABC边BC的中点．延长AD至点E，使得DE＝AD，并连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）。

我们来看一个例题：
三、遇角平分线作双垂线法
在题中遇见角平分线，做双垂直，必出全等三角形。

可以从角平分线上的点向两边作垂线，也可以过角平分线上的点作角平分线的垂线与角的两边相交。

在很多综合几何题当中，关于角平分线的辅助线添加方法最常用的就是这个。

看看在具体题目中怎么操作吧！
四、作平行线法
在几何题的证明中，作平行线的方法也非常实用，一般来讲，在等腰、等边这类特殊的三解形中，作平行线绝对是首要考虑。

五、截长补短法
题目中出现线段之间的和、差、倍、分时，考虑截长补短法；截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段间的等量关系。

初中数学全等三角形辅助线的几种常用做法

初中数学全等三角形辅助线的几种常用做法常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．题型1．中点类辅助线作法三角形问题中涉及中线（中点）时，将三角形中线延长一倍，构造全等三角形是常用的解题思路，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（AD 是三角形ＡＢＣ的底边的中线）。

图1.延长AD ，使AD DE =，连接BE ，这样可以构造ADC EDB ∆≅∆图2.从AB 上任取一点M ，连接MD 并延长，使MD DN =，这样可以构造BDM CDN ∆≅∆ 图3.从AD 上任取一点F ，连接FD 并延长，使FD DE =，这样可以构造BDE CDF ∆≅∆ 1．已知三角形的两边长分别为7和5，那么第三边上中线长x 的取值范围是（）．分析：要求第三边上中线的取值范围，只有将将中线与两个已知边转移到同一个三角形中，然后利用三角形的三边关系才能进行分析和判断．解：如图2所示，设AB=7，AC=5，BC 上中线AD=x ．延长AD 至E ，使DE = AD=x ． ∵AD 是BC 边上的中线，∴BD=CD ∠ADC=∠EDB （对顶角）∴△ADC ≌△EDB ∴BE=AC=5∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE 即7-5＜2x ＜7+5 ∴1＜x ＜62.如图，AD 为ABC ∆的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE EF =，求证：AC BF = 分析：欲证AC=BF ，只需证AC 、BF 所在两个三角形全等，显然图中没有含有AC 、BF 的两个全等三角形，而根据题目条件去构造两个含有AC 、BF 的全等三角形也并不容易。

(完整)等腰三角形时常用的辅助线作法

有等腰三角形时常用的辅助线⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于D，求证：∠BAC = 2∠DBC⑵有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，D为BC中点，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F，求证:DE = DF⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图,△ABC中,AB = AC，在BA延长线和AC上各取一点E、F，使AE = AF，求证：EF⊥BC⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE，连结DE交BC于F求证：DF = EF⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图，△ABC中，AB =AC,F在AC上，E在BA延长线上，且AE = AF,连结DE求证:EF⊥BC⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形---—--等边三角形例：已知，如图，△ABC中，AB = AC,∠BAC = 80o，P为形内一点，若∠PBC = 10o，∠PCB = 30o求∠PAB的度数。

有等腰三角形时常用的辅助线⑴作顶角的平分线，底边中线,底边高线例：已知，如图，AB = AC,BD⊥AC于D，求证:∠BAC = 2∠DBC证明：（方法一）作∠BAC的平分线AE,交BC于E,则∠1 = ∠2 = 12∠BAC又∵AB = AC∴AE⊥BC∴∠2＋∠ACB = 90o∵BD⊥AC∴∠DBC＋∠ACB = 90o∴∠2 = ∠DBC∴∠BAC = 2∠DBC(方法二）过A作AE⊥BC于E（过程略）(方法三）取BC中点E，连结AE(过程略)⑵有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，△ABC中，AB = AC,D为BC中点,DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE = DF21EDC BA证明：连结AD.∵D 为BC 中点， ∴BD = CD又∵AB =AC ∴AD 平分∠BAC ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴DE = DF⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图,△ABC 中，AB = AC,在BA 延长线和AC 上各取一点E 、F ，使AE = AF ，求证：EF ⊥BC证明:延长BE 到N ，使AN = AB ，连结CN ，则AB = AN = AC∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC ∵∠B ＋∠ACB ＋∠ACN ＋∠ANC = 180o∴2∠BCA ＋2∠ACN = 180o ∴∠BCA ＋∠ACN = 90o 即∠BCN = 90o ∴NC ⊥BC ∵AE = AF ∴∠AEF = ∠AFE又∵∠BAC = ∠AEF ＋∠AFE ∠BAC = ∠ACN ＋∠ANC ∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC ∴∠AEF = ∠ANCF E DCBAN FE CBA∴EF ∥NC ∴EF ⊥BC⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在△ABC 中，AB = AC,D 在AB 上,E 在AC 延长线上，且BD = CE ，连结DE 交BC 于F 求证：DF = EF证明：（证法一)过D 作DN ∥AE ，交BC 于N ，则∠DNB = ∠ACB,∠NDE = ∠E ，∵AB = AC, ∴∠B = ∠ACB ∴∠B =∠DNB ∴BD = DN 又∵BD = CE ∴DN = EC在△DNF 和△ECF 中 ∠1 = ∠2 ∠NDF =∠E DN = EC ∴△DNF ≌△ECF ∴DF = EF(证法二）过E 作EM ∥AB 交BC 延长线于M ，则∠EMB =∠B（过程略）⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线21NFED C BA21MFED CBA例:已知，如图，△ABC 中，AB =AC ，E 在AC 上，D 在BA 延长线上，且AD = AE ，连结DE求证：DE ⊥BC证明：（证法一）过点E 作EF ∥BC 交AB 于F ，则∠AFE =∠B ∠AEF =∠C ∵AB = AC ∴∠B =∠C ∴∠AFE =∠AEF ∵AD = AE∴∠AED =∠ADE又∵∠AFE ＋∠AEF ＋∠AED ＋∠ADE = 180o ∴2∠AEF ＋2∠AED = 90o 即∠FED = 90o∴DE ⊥FE 又∵EF ∥BC ∴DE ⊥BC（证法二）过点D 作DN ∥BC 交CA 的延长线于N,(过程略）（证法三）过点A 作AM ∥BC 交DE 于M ，（过程略）⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形————--等边三角形例：已知，如图，△ABC 中，AB = AC,∠BAC = 80o ，P为形内一点，若∠PBC = 10o ∠PCB = 30o 求∠PAB 的度数. 解法一：以AB 为一边作等边三角形，连结CE则∠BAE =∠ABE = 60oN M FE D CBA PECBAAE = AB = BE∵AB = AC∴AE = AC ∠ABC =∠ACB ∴∠AEC =∠ACE∵∠EAC =∠BAC－∠BAE= 80o－60o = 20o∴∠ACE = 12（180o－∠EAC）= 80o∵∠ACB= 12（180o－∠BAC)= 50o∴∠BCE =∠ACE－∠ACB= 80o－50o = 30o∵∠PCB = 30o∴∠PCB = ∠BCE∵∠ABC =∠ACB = 50o, ∠ABE = 60o∴∠EBC =∠ABE－∠ABC = 60o－50o =10o ∵∠PBC = 10o∴∠PBC = ∠EBC在△PBC和△EBC中∠PBC = ∠EBCBC = BC∠PCB = ∠BCE∴△PBC≌△EBC∴BP = BE∵AB = BE∴AB = BP∴∠BAP =∠BPA∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50o－10o = 40o∴∠PAB = 12（180o－∠ABP)= 70o解法二：以AC为一边作等边三角形，证法同一。

2等腰三角形中作辅助线的四种常用方法

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方法 4 加倍折半法
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC 于点D，且AB＋BD＝DC，
求∠C的度数．
解：如图，在DC上截取DE，使DE＝BD，连接AE. ∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADE＝90°. ∵BD＝DE，AD＝AD， ∴△ABD≌△AED(SAS)． ∴AB＝AE，∠B＝∠AEB. ∵AB＋BD＝CD，DE＝BD， ∴AB＋DE＝CD.
求证：BD＋DC＝AB．
证明：如图，延长BD至点E，使BE＝AB，连接CE，AE. ∵∠ABE＝60°，BE＝AB， ∴△ABE为等边三角形． ∴∠AEB＝60°，AB＝AE. 又∵∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠AEB.
∵AB＝AC，AB＝AE，∴AC＝AE. ∴∠ACE＝∠AEC.∴∠DCE＝∠DEC. ∴DC＝DE. ∴AB＝BE＝BD＋DE＝BD＋CD，即BD＋DC＝AB.
而CD＝DE＋EC，∴AB＝EC. ∴AE＝EC. ∴∠EAC＝∠C. 设∠EAC＝∠C＝x，∵∠AEB为△AEC的外角， ∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2x. ∴∠B＝2x，∠BAE＝180°－2x－2x＝180°－4x. ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAE＋∠EAC＝120°，
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即180°－4x＋x＝120°. 解得x＝20°，则∠C＝20°.
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∴DE＝DF.
方法 2 作平行线法
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA 移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．
(1)求证：PD＝QD． (2)过点P作直线BC的垂线，垂足为E， P，Q在移动的过程中，线段BE，DE， CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．

技巧专题技巧专题等腰三角形7种常用辅助线添加方法

技巧专题等腰三角形7种常用辅助线添加方法方法1.三线合一法例1.如图，△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，过A点的直线EF//BC,且AE=AF.求证: DE=DF.方法2.作一腰的平行线构造等腰三角形法例2.如图，AB=AC,F 为DE的中点，求证BD=CE.例3.如图，AABC中，AB=AC,点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P, Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.(1).如图①，当点P为AB的中点时，求证: PD=QD;(2).如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E,当点P，Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.方法3.截长补短构造等腰三角形法例4.如图，在△ABC中，AB=AC, D是△ABC外一点，且∠ABD=60°，∠ACD=60°求证:BD+DC=AB例5.如图，在AABC中，∠BAC=120°, AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,求∠C.方法4.证与底有关的线段时，通常作底的平行线例6.如图，等边△ABC中，D是边AB延长线上一点，延长BC至E点，使CE=AD, DG⊥BE 于G,求证BG=EG.方法5.加倍折半法，倍长中线法例7.如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC.求证:CD=2CE.方法6.以底或腰为边作等边三角形,出三角形全等例8.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=40°，点P为三角形内一点，且∠PCA=∠PAB=20°.求∠PBC的度数方法7、将以腰为边的一个三角形绕顶角的顶点旋转例9.如图，△ABC中，点P是△ABC内一点，且∠APB>∠APC. 求证:PC> PB.课后培优练习题1.如图，在△ABC中，AB=AC, ∠A=90°，点D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且AE=CF.求证:△DEF 是等腰直角三角形.2.如图，等边△ABC的边BC上任取一点D,作∠ADE=60°，DE交∠C的外角平分线于点E,判断△ADE的形状，并证明你的结论.3.如图，△ABC中，AB=AC, D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB, DF⊥AC，垂足分别为E, F.(1)求证: DE=DF;(2)若∠A=90°，图中与DE相等的有哪些线段? (不需说明理由)4.如图，△ABC中，AC=2AB, AD平分∠BAC交BC于D,E是AD上一点，且EA=EC,求证: EB⊥AB.5.如图，△ABC的面积为1cm2, AP垂直∠ABC的平分线BP于P，求△PBC的面积.6.如图，在△ABC中，AC=BC,∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DF,点E、F分别在AC、BC 上，求证: DE=DF.7.如图，已知AB=AC, ∠A=108°，BD平分∠ABC交AC于D.求证: BC=AB+CD.8.如图，在△ABC中，AB=AC, AE⊥BE于点E,且BC=2BE,若∠EAB=20°，求∠BAC的度数.9.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D, CE ⊥BD. 求证: BD=2CE.10.如图，等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一一点，且PA=CQ,连PQ交AC边于D.(1).求证: PD=DQ;(2).若△ABC的边长为1，求DE的长.。

北师大版八年级下册数学：等腰三角形常见辅助线作法总结(超详细,经典!!!)

等腰三角形常见辅助线做法总结一、常见辅助线添加方法Ⅰ利用等腰三角形“底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线”相互重合解题．1．有底边中点时常连接底边上的中线⑴如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE=AF．求证：DE=DF．⑵如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点,过A的直线EF∥BC，且AE=AF．求证：DE=DF．⑶如图，△ABC中，AB=AC，D、E、F分别在BC、AB、AC上，且BD=CF，BE=CD，G是EF的中点，求证：DG⊥EF．2．遇到等腰常作高⑷如图，△ABC中，2AB=AC，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC，求证：EB⊥AB．⑸如图，点D、E分别在BA、AC的延长线上，且AB=AC、AD=AE，求证：DE⊥BC．Ⅱ利用平行线构造等腰三角形3．遇到等腰常平移腰构造等腰三角形⑹如图，△ABC中，AB=AC，D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，DE交BC于F，求证：DF=EF．4．遇到等腰常平移底构造等腰三角形⑺如图，△ABC中，AB=AC，E在AC上，点D在BA的延长线上，且AD=AE，连DE，求证：DE⊥BC．5．利用“角平分线+平行线”构造等腰三角形⑻如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD=DE，EF∥BC交BD于F，求证：AB=EF．Ⅲ折半加倍方法处理二倍角问题6．作二倍角的平分线构造筀等腰三角形7．将小角加倍成和大角相等构造等腰三角形8．构造等腰三角形，使二倍角是这个等腰三角形顶角的外角(9) 如图，在△ABC中，∠ACB=2∠ABC，求证：2AC＞AB．（10）如图，在△ABC中，∠C=2∠A，BD平分∠ABC交AC于D，求证：AB=CD+BC （用两方法）．Ⅳ线段的截长补短法9．当已知或求证中有一条线段大于另一条线段时可考虑截长补短法(11) 如图，在△ABC中，AB＞AC，求证：∠ACB＞∠B．10．当已知线段或求证中涉及线段的和（差）问题时可考虑截长补短法(12) 如图，△ABC是等边三角形，D是△ABC外一点，且∠BDA=∠ADC=60°，求证：BD+CD=AD．(13) 如图，在△ABC中，∠BAC=120°,AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，求∠D AB的度数．（用两种方法）(14) 如图在△ABC中，∠BAC=108°,AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于D，求证：BC=CD+AB．(用两种方法)二、等腰三角形综合训练1．如图，点E为△ABC边AB上一点，AC=BC=BE，AE=EC，BD⊥AC于D，则∠CBD= 度．2．如图，已知等边△ABC，D在BC延长线上，CE平分∠ACD，且CE=BD，求证：△ADE是等边三角形．3．如图，已知AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 交AB 于D ， EF ∥BC 交AC 于F ，求证：EC 平分∠DEF ．4．如图，∠AOB =30°，OC 平分∠AOB ，P 为OC 上任一点，PD ∥OA 交OB 于D ，PE ⊥OA 于E ，OD =6，求PE 的长．5．如图，AB =AC ，AB 的垂直平分线交AC 于D 点，若AD =BC ，（1）求∠A BC ；（2）若点E 在BC 的延长线上，且CE=CD ，连AE ，求∠CAE ．6．如图，已知等边△ABC ，D 在AC ，延长BC 至E ，使CE =CD ，若 DE =BD ，给出下列结论：①BD 平分∠ABC ；②AB AD 21=；③BC CE 21=；④∠A =2∠E ．其中正确的个数是（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个7．已知，AB =BC ，BD =BE ，∠ABC =∠DBE =α，M 、N 分别是AD 、CE 的中点．（1）如图①，若α=60°，求∠BMN ；（2）如图②，若α=90°，求∠BMN= ；（3）将图②的绕B 点逆时针旋转一锐角，在图③中完成作图，则∠BMN= ．。

八年级数学下册2.解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法 (2)(附答案)

等腰三角形七种常见辅助线作法(方法梳理与题型分类讲解)(人教版)(教师版) 25学年八年级数学上册

专题13.14等腰三角形七种常见辅助线作法（方法梳理与题型分类讲解）第一部分【模型归纳与题型目录】题型目录【题型1】作等腰三角形底边上高线求值或证明 (1)【题型2】遇到中点作中线求值或证明 (6)【题型3】过一腰上的某一已知点作另一腰的平行线 (10)【题型4】过一腰上的某一已知点作底边的平行线 (14)【题型5】倍长中线构造等腰三角形 (20)【题型6】截长补短构造等腰三角形 (24)【题型7】延长相交构造或证明等腰三角形 (28)第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】作等腰三角形底边上高线求值或证明【例1】（2024·浙江·模拟预测）如图，ABC V 是等腰三角形，AB AC =．设BAC α∠=．(1)如图1，点D 在线段AB 上，若45ACD BAC ∠+∠=︒，求DCB ∠的度数（用含α的代数式表示）．(2)如图2，已知AB AC BD ==．若180∠+∠=︒ABD BAC ，过点B 作BH AD ⊥于点H ，求证：12BH BC =．【答案】(1)452DCB ∠=+︒α(2)见解析【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，（1）根据等腰三角形的性质可得B ACB ∠=∠，设ACD β∠=，DCB x ∠=，解出方程组，即可求解；（2）延长DB ，交AC 于点F ，过点A 作AE BC ⊥于点E ．根据180∠+∠=︒ABD BAC ，可得ABF BAC α∠=∠=．再由等腰三角形的性质可得1122D DAB ABF α∠=∠=∠=，从而得到1122BAE BAF α∠=∠=，12BE BC =，进而得到DAB BAE ∠=∠，然后根据角平分线的性质定理，可得BH BE =，即可求证．解：（1）∵AB AC =，∴B ACB ∠=∠．设ACD β∠=，DCB x ∠=，则()452180x βαβα+=︒⎧⎨++=︒⎩解得：452x α=+︒，即452DCB ∠=+︒α；（2）如图，延长DB ，交AC 于点F ，过点A 作AE BC ⊥于点E ．∵180∠+∠=︒ABD BAC ，180ABD ABF ∠+∠=︒．∴ABF BAC α∠=∠=．又∵AB BD =，∴1122D DAB ABF α∠=∠=∠=∵AB AC =，∴1122BAE BAF α∠=∠=，12BE BC =∴DAB BAE ∠=∠．又∵BH AD ⊥，BE AE ⊥，∴BH BE =，∴12BH BC =．【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在ABC V 中，2AC AB =，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，E 是AD 上一点，且EA EC =．求证：EB AB ⊥．【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键．作EF AC ⊥于点F ，根据等腰三角形的性质得出12AF FC AC ==，再证明 ≌ABE AFE 即可得出结论．证明：如图，作EF AC ⊥于点F．EA EC = ，12AF FC AC ∴==．2AC AB = ，AF AB ∴=．AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠．在BAE 和FAE 中，AB AF BAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABE AFE ∴ ≌，90ABE AFE ∴∠=∠=︒，EB AB ∴⊥．【变式2】（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）在ABC V 中，AB AC =，过点C 作射线CB '，使ACB ACB '∠=∠（点B '与点B 在直线AC 的异侧）点D 是射线CB '上一动点（不与点C 重合），点E 在线段BC 上，且90DAE ACD ∠+∠=︒．(1)如图1，当点E 与点C 重合时，AD 与CB '的位置关系是，若BC a =，则CD 的长为；（用含a 的式子表示）(2)如图2，当点E 与点C 不重合时，连接DE ，①若30DAE ∠=︒，求BAC ∠的度数；②用等式表示BAC ∠与DAE ∠直间的数量关系，并证明．【答案】(1)互相垂直；12a (2)①60︒；②2BAC DAE∠=∠【分析】（1）根据三角形内角和定理可得AD 与CB '的位置关系是互相垂直，过点A 作AM BC ⊥于点M ，根据等腰三角形性质得到1122CM BM BC ===，利用AAS 证明ACD ACM ≌ ，根据全等三角形性质即可得出12CD CM a ==；（2）当点E 与点C 不重合时，①求解60ACD ∠=︒，可得60ACB ACB '∠=∠=︒，由AB AC =，可得60ABC ACB ∠=∠=︒，可得60BAC ∠=︒；②过点A 作AM BC ⊥于点M 、AN CB '⊥于点N ，利用AAS 证明ACD ACM ≌ ，根据全等三角形性质即可得到2BAC DAE ∠=∠；解：（1）当点E 与点C 重合时，DAE DAC ∠=∠，∵90DAE ACD ∠+∠=︒，∴90DAC ACD ∠+∠=︒，∴90ADC ∠=︒，∴AD CB '⊥，即AD 与CB '的位置关系是互相垂直，若BC a =，过点A 作AM BC ⊥于点M ，如图：则90AMC ADC ∠∠=︒=，∵AB AC =，∴1122CM BM BC a ===，在ACD 与ACM △中，ADC AMC ACD ACM AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS ACD ACM ≌，∴12CD CM a ==，即CD 的长为12a ，（2）解：①∵90DAE ACD ∠+∠=︒，30DAE ∠=︒，∴60ACD ∠=︒，∴60ACB ACB '∠=∠=︒，∵AB AC =，∴60ABC ACB ∠=∠=︒，∴60BAC ∠=︒；②当点E 与点C 不重合时，用等式表示BAC ∠与DAE ∠之间的数量关系是：2BAC DAE ∠=∠，证明如下：过点A 作AM BC ⊥于点M 、AN CB '⊥于点N，如图：则90AMC ANC ∠=∠=︒，∴90CAN ACB '∠+∠=︒，∵90DAE ACD ∠+∠=︒，即90DAE ACB '∠+∠=︒，∴DAE CAN ∠=∠，∵AB AC =，AM BC ⊥，∴22CA B C A A M B M ∠∠=∠=，在ACN △与ACM △中，ANC AMC ACN ACM AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ACN ACM ≌，∴CAN CAM ∠=∠，∴222BAC CAM CAN DAE ∠=∠=∠=∠；【点拨】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．【题型2】遇到中点作中线求值或证明【例3】（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）在Rt ABC △中，AB AC =，45DEF ∠=︒且DEF ∠的顶点E 在边BC 上移动，在移动过程中，边DE ，EF 分别与AB ，AC 交于点M ，N ，(1)当BE CN =且M 与A 重合时，求证：ABE ECN△≌△(2)当E 为BC 中点时，连接MN ，求证：NC AM MN=+【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，（1）根据等腰直角三角形的性质可得==45ABE ECN ∠∠︒，利用三角形外角的性质与等量代换可得BAE CEN =∠∠，在根据全等三角形的判定即可证明；（2）连接AE ，在AC 上截取AM CG =，根据等腰直角三角形的性质可得AE EC =，===45MAE CAE ACE ∠∠∠︒，证得()AME CGE SAS ≌，可得=ME GE ，=MEA GEC ∠∠，利用等量代换可得==45MEN GEN ∠∠︒，证得()MEN GEN SAS ≌，可得MN GN =，即可得证．解：（1）证明：∵AB AC =，90BAC ∠=︒，∴==45ABE ECN ∠∠︒，∵==45AEC AEN CEN CEN ∠∠+∠︒+∠，又∵==45AEC ABE BAE BAE ∠∠+∠︒+∠，∴BAE CEN =∠∠，又∵BE CN =，∴()ABE ECN AAS ≌；（2）证明：连接AE ，在AC 上截取AM CG =，∵AB AC =，90BAC ∠=︒，E 为BC 中点，∴AE BC ⊥，AE EC =，∴===45MAE CAE ACE ∠∠∠︒，在AME △和CGE 中，AM CG MAE GCE AE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AME CGE SAS ≌，∴=ME GE ，=MEA GEC ∠∠，∵90AEG GEC ∠+∠=︒，∴=90MEA AEG ∠+∠︒，即90MEG ∠=︒，∵45DEF ∠=︒，∴==45MEN GEN ∠∠︒，又∵NE NE =，=ME GE ，∴()MEN GEN SAS ≌，∴MN GN =，∵=CN CG GN +，∴=CN AM MN +．【变式1】（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，ABC V 中，AB AC =，D 是BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE AF =，求证：DE DF =．【分析】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质，属于基础题目，熟练掌握上述知识是解题的关键．连接AD ，根据等腰三角形的性质可得∠∠EAD FAD =，然后即可证明AED AFD ≌，进而可得结论．证明：连接AD ，AB AC = ，D 是BC 的中点，∴∠∠EAD FAD =，在AED △和AFD △中，AE AF EAD FAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AED AFD SAS ∴ ≌，DE DF ∴=．【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在ABC 中，B C ∠∠=，过BC 的中点D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E ，F ．(1)求证：DE DF =；(2)若40BDE ∠=︒，求BAC ∠的度数．【答案】(1)见解析；(2)80︒。

初中数学等腰三角形添加辅助线方法与常见陷阱

初中数学等腰三角形添加辅助线方法与常见陷阱方法一：做三线合一中的一线三线合一，是等腰三角形里最重要的性质定理之一。

所谓三线，就是等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线。

必然三线合一。

例题1，是三线合一的最基础的题型，D是BC的中点，那么连接AD，通过三线合一的性质，得出AD⊥BC.方法二：做平行线法这个一般是做一腰的平行线，得出两个角相等，从而得出三角形全等例题2中，这个题是非常常见的考试经典题型。

第①小题，得出三角形全等，得出PD=QD。

第②小题，过点P做PF∥AC，因为△PBF是等腰三角形，PE⊥BF，三线合一得出BE=EF。

又因为三角形全等，得出FD=CD。

所以，得出ED=BC的一半，即为定值。

方法三：截长补短法，或者叫截长取短法简单说，就是在某一条线段上截取一条线段，和已知线段相等。

或者，延长某一线段，使之等于某已知线段。

此解题方法常用，请大家细心钻研，平时多探索，勤学苦练。

例题3，就是一道延长某一线段，使之等于某已知线段，经典考试题型。

例题4，这就是一道在某一条线段上截取一条线段，和已知线段相等，通过等量转换，得出结论的经典考试题型。

方法四：加倍折半法，倍长中线法例题5，解析说过点B做BF∥AC，最后得出的还是线段相等。

其实，这个题还有一个更好的解题思路，就是倍长中线法先提示一下辅助线的添加方法。

因为CE是△ABC的中线，倍长中线CE。

延长CE 至F，使EF=CE，连接BF。

倍长中线，必出三角形全等，最后得出，△DBC≌△FBC，所以DC=CF，所以CD=2CE。

初中数学常见陷阱陷阱1：在较复杂的运算中，因不注意运算顺序或者不合理使用运算律，致使运算出现错误。

常见陷阱是在实数的运算中符号层层相扣。

陷阱2：要求随机或者在某个范围内代入求值时，注意所代值必须要使式子有意义，常见陷阱是候选值里有一个会使分母为零。

陷阱3：注意分式运算中的通分不要与分式方程计算中的去分母混淆。

陷阱4：非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个式子都为0；常见非负数有：绝对值，非负数的算术平方根，完全平方式。

等腰三角形证明以及辅助线做法

巧用“两线合一”构建且证明等腰三角形问题学习了等腰三角形的三线合一后;笔者认为;可以根据学生的实际情况;补充“三线合一”的逆命题的教学;因为这种逆命题虽然不能作为定理用;但它在解题中非常常见的..掌握了它;可以为我们解题增加一种重要思路..它有以下几种形式：①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．线段垂直平分线的性质②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.因此;三角形“一边上的高、这边上的中线及这边所对角的平分线”三线中“两线合一”就能证明它是等腰三角形．为了便于记忆;笔者简言之：两线合一;必等腰..本文重点利用该逆命题作为一种思路正确地添加辅助线;构建等腰三角形且证明之来解决问题..一、我们先来证明“三线合一”性质的逆命题三种情形的正确性：证明①：已知:如图1;△ABC中;AD是BC边上的中线;又是BC边上的高..求证：△ABC是等腰三角形..分析：AD就是BC边上的垂直平分线;利用线段垂直平分线的性质;可以推出AB=AC;所以△ABC是等腰三角形..具体证明过程略..证明②：已知:如图1;△ABC中;AD是∠BAC的角平分线;AD是BC边上的高..求证：△ABC是等腰三角形..分析：利用ASA的方法来证明△ABD≌△ACD;由此推出AB=AC得出△ABC是等腰三角形..具体证明过程略..证明③：已知:如图2;△ABC中;AD是∠BAC的角平分线;AD是BC边上的中线..求证：△ABC是等腰三角形..方法一：分析：要证△ABC是等腰三角形就是要证AB=AC;直接通过证明这两条线段所在的三角形全等不行;那就换种思路;经验告诉我们;在有中点的几何证明题中常用的添辅助线的方法是“倍长中线法”即通过延长三角形的中线使之加倍;以便构造出全等三角形来解决问题的方法;即延长AD到E点;使DE=AD;由此问题就解决了..证明：如图2;延长AD到E点;使DE=AD;连接BE在△ADC和△EDB中AD=DE∠ADC=∠EDBCD=BD∴△ADC≌△EDB∴AC=BE;∠CAD=∠BED∵AD是∠BAC的角平分线∴∠BAD=∠CAD∴∠BED=∠BAD∴AB=BE又∵AC=BE∴AB=AC∴△ABC是等腰三角形..方法二：分析：上面的“倍长中线法”稍微有点麻烦;经验告诉我们;遇到角的平分线;我们可以利用角的平分线的性质：过角的平分线上一点向角的两边作垂线;从而构造出了高;再利用面积公式开辟出新思维..具体做法是：如图2;过点D作DF⊥AB;DE⊥AC垂足分别为F、E..又因AD是∠BAC的角平分线;所以DF=DE..因为BD=DC;利用“等底同高的三角形面积相等”的原理;所以=;再根据“等积三角形高相等则底也相等”;因为===;又因DF=DE;所以AB=AC;可见“面积法”给解题带来了简便;这种方法也正是被人们易忽视的..当然;学生在作出角的平分线上一点到角的两边的距离时;很容易形成思维定势;证明两组直角三角形分别全等;从而证明∠B=∠C;所以AB=AC;此法明显较麻烦些;但是思路要给予肯定..需要提醒读者的是：以上我们证明了“三线合一”的逆定理的正确性;但是这种逆命题不能作为定理来用;掌握了它和它的证明过程;其目的是为我们解题增加一种重要思路和方法..二、利用“三线合一”性质的逆命题添加辅助线;构建且证明等腰三角形来解决问题1、逆命题①的应用即线段垂直平分线的性质的应用例1人教版八上第十二章章节复习题中的第5题：如图4;D、E分别是AB、AC 的中点;CD⊥AB于D;BE⊥AC于E;求证：AC=AB..经笔者验证;学生一拿到题目就找全等三角形或构建全等三角形;所以连接AO图略;证明△AOC≌△AOB或者三组直角三角形分别全等;其中还要用到线段的垂直平分线的性质;证明OA=OB=OC;方法相当地麻烦..分析：题目没有直接给出“CD、BE分别是AB、AC的垂直平分线”这样的语句;所以学生最初拿到这个题目;很难把分立的垂直和平分两个条件联系在一起..如果学生有“两线合一;必等腰”的思维;很容易想到CD、BE分别可以是以AB、AC为底边的等腰三角形底边上的高和中线;即“两线合一”;因此添加辅助线;构造等腰三角形..简单证明：连结BC;∵CD⊥AB;AD=BD∴AC=BC注：利用线段垂直平分线的性质同理可得：AB=BC∴AC=AB由于逆命题①的应用与线段垂直平分线的性质相一致;所以笔者在此就不过多的举例..2、逆命题②的应用例2已知：如图5;在△ABC中;AD平分∠BAC;CD⊥AD;D为垂足;AB>AC..求证：∠2=∠1+∠B分析：由“AD平分∠BAC;CD⊥AD”可以想到AD可以是同一个等腰三角形底边上的高和底边所对角的平分线;即“两线合一”;因此添加辅助线;构造等腰三角形..简单证明：延长CD交AB于点E;由题目提供的条件;可证△AED≌△ACD;∠2=∠AEC;又∠AEC=∠1+∠B;所以结论得证..例3在学习等腰三角形知识时;会遇到这个典型题目：如图6;在△ABC中;∠BAC=900;AB=AC;BE平分∠ABC;且CD⊥BE交BE的延长线于点D;求证：CD=BE分析：由已知条件可知：BD满足了逆命题②的“两线合一”;所以延长CD和BA;交于点F;补全等腰三角形..简单证明：由所添辅助线可证△BFD≌△BCD;可知△BCF是等腰三角形∴CD=DF=CF再证△ABE≌△ACF∴BE=CF∴CD=BE可见;学会“两线合一;必等腰”的思维;对满足“三线合一”性质的逆命题的条件;添加适当的辅助线来构造等腰三角形;为我们解决相关问题开辟了新思维..笔者认为;三个逆命题中以逆命题②在几何证明的应用中尤为突出..例4逆命题②还可以与中位线综合应用：已知：如图7;在△ABC中;AD平分∠BAC;交BC于点D;过点C作AD的垂线;交AD 的延长线于点E;F为BC的中点;连结EF..求证：EF∥AB;EF=AC-AB分析：由已知可知;线段AE既是∠BAC的角平分线;又是EC边上的高;即“两线合一”;就想到把AE所在的等腰三角形构造出来;因而就可添辅助线：分别延长CE、AB交于点G..简单证明：由所添辅助线可证△AGE≌△ACE;得出△AGC是等腰三角形;AG=AC ∴EG=CE又∵点F是BC的中点∴EF是△BGC的中位线∴EF∥AB;EF=BG=AG-AB=AC-AB3、逆命题③应用：例5已知：如图8;△ABC中;AD是它的角平分线;且BD=CD;DE∥AC、DF∥AB分别与AB、AC相交于点E;F..求证：DE=DF分析：根据已知条件;利用相似性知识;可证：点E;F分别是AB、AC的中点初中阶段不能用三角形的中位线的逆定理;又因点D是BC的中点;再利用三角形中位线的性质可知;DE=AC;DF=AB;可见只要证明AC=AB;题目所求证的结论就可得证..因为AD既是∠BAC的角平分线;又是BC边上的中线;即“两线合一”;所以△ABC是等腰三角形可证;方法见逆命题③的证明..证明：过程略..还有的题目没有直接给出“两线合一”的条件;而是需要证明其中一个条件或者通过作辅助线构建另一个条件;使题目符合“两线合一”思路..例6如图9;梯形ABCD中;AB∥CD;E是BC的中点;DE平分∠ADC;求证：AD=CD+AB例7分析：拿到这个题目;学生的思维很活跃;有的用“截长补短法”；有的用“角的平分线性质”；有的用“梯形问题转化为三角形问题”的方法；笔者发现有几个学生延长DC、AE相交于点F;易证△ABE≌△FCE;所以AB=CF;AE=EF;可见只要证明AD=FD;题目所求证的结论就可得证..可是学生想到这一步;思维受阻：DE此时既是∠ADC的角平分线;又是AF边上的中线;△DAF肯定是等腰三角形;就是不知道怎么证明..可见;学生如果有“两线合一;必等腰”的思维和掌握了它的证明方法;那么此法是可行..只是此法用于这个题目较为麻烦、不可取;但是对于学生的思维火花还是要给予肯定的..由于笔者在研究过程中;发现逆命题③的应用不是很多;所以在此就不过多的举例..三、请读者小试牛刀学习了以上“两线合一;必等腰”的新思路;笔者最后再一次警告读者：由于“三线合一”性质的逆命题①与线段垂直平分线的性质相吻合;所以可直接应用；但是运用逆命题②或③添加辅助线构造的等腰三角形必须先要证明;不能作为定理用;切记切记谨防与“三线合一”性质搞混淆..请读者试解下面问题前2题提示;后3题不予提示1、已知;如图10;△ABC中;∠BAC＝90°;AD⊥BC于D;∠ABC的平分线交AD于E;交AC于P;∠CAD的平分线交BP于Q..求证：△QAD是等腰三角形..提示：可证∠AQB=90°;延长AQ..此题把逆命题②与直角三角形的性质综合应用解法：AD⊥BC于D;∠ADF=∠ADB=90°;∠ABC+∠BAD=90°;∠CAD+∠BAD=90°;∠AB C=∠BAD∠ABC/2=∠BAD/2;∠DBE=∠QAE;∠BED=∠AEQ;对顶角;故∠BDE=∠AQE=9 0°;∠ABQ=∠FBQ;BQ=BQ;∠BQA=∠BQF=90°;RT△BQA≌RT△BQF;ASAAQ=FQ;Q为RT △ADF斜边AF的中点;AQ=DQ;△QAD是等腰三角形.2、如图图略;读者自己画;在△ABC中AB≠AC;M为BC的中点;AD平分∠BAC交BC于点D;BE⊥AD于E;CF⊥AD于F．求证：ME=MF．提示：延长BE、CF．3、如图图略;BE、CF是△ABC的角平分线;AM⊥CF于M;AN⊥BE于N．求证：MN∥BC．画图时;注意AB≠AC解法∵BE为∠ABC的角平分线;BE⊥AG;∴∠BAM=∠BGM;∴△ABG为等腰三角形;∴BM也为等腰三角形的中线;即AM=GM．同理AN=DN;∴MN为△ADG的中位线;∴MN∥BC．4、如图图略;已知梯形ABCD中;AB∥CD;∠C的平分线CE⊥AD于E;且DE=2AE;CE 把梯形ABCD分成两部分;求这两部分面积之比．画图时;注意AB为上底;CD为下底;E 点在线段AD上5、BD、CE是△ABC的两个外角的平分线;AD⊥BD于D;AE⊥CE于E．求证：1DE∥BC．2DE 等于△ABC的周长的一半．画图时;注意BD;CE在直线BC的同侧等腰三角形“三线合一”性质的逆命题的应用不断为学生开辟了新思维;强化了学生通过添加辅助线解题的能力;而且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想..。

2.解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法

解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法——形成精准思维模式，快速解题◆类型一利用“三线合一”作辅助线一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE＝∠ABC.若BE＝2，则BC ＝________.2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.3．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA＝EC，连接EB.求证：EB⊥AB.二、构造等腰三角形4．如图，在△ABC中，BP平分∠BAC，且AP⊥BP于点P，连接CP.若△PBC的面积为2，则△ABC的面积为()A．3 B．4 C．5 D．65．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE.◆类型二巧用等腰直角三角形构造全等6．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上．求证：DE＝DF.◆类型三等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：BC＝AB＋CD.8．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，且P A＝CQ，连接PQ交AC于点D.(1)求证：PD＝DQ；(2)若△ABC的边长为1，求DE的长．【方法8】参考答案与解析1．42．证明：连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠F AD.在△AED和△AFD中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AF ，∠EAD ＝∠F AD ，AD ＝AD ，∴△AED ≌△AFD ，∴DE ＝DF .3．证明：过点E 作EF ⊥AC 于点F .∵EA ＝EC ，∴AF ＝FC ＝12AC .∵AC ＝2AB ，∴AF＝AB .∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠F AE .又∵AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AFE (SAS)，∴∠ABE ＝∠AFE ＝90°，∴EB ⊥AB .4．B5．证明：如图，延长BA 和CE 交于点M .∵CE ⊥BD ，∴∠BEC ＝∠BEM ＝90°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠MBE ＝∠CBE .又∵BE ＝BE ，∴△MBE ≌△CBE ，∴EM ＝EC ＝12MC .∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC ＝∠MAC ＝90°，BA ＝AC ，∴∠ABD ＋∠BDA ＝90°.∵∠BEC ＝90°，∴∠ACM ＋∠CDE ＝90°.∵∠BDA ＝∠EDC ，∴∠ABE ＝∠ACM .又∵AB ＝AC ，∴△ABD ≌△ACM (ASA)，∴DB ＝MC ，∴BD ＝2CE .6．证明：连接CD .∵AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 是AB 的中点，∴CD 平分∠ACB ，CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°，∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∠B ＝∠C ＝45°，∴∠ACD ＝∠B ＝∠BCD ，∴CD ＝BD .∵ED ⊥DF ，∴∠EDF ＝∠EDC ＋∠CDF ＝90°.又∵∠CDF ＋∠BDF ＝90°，∴∠EDC ＝∠FDB ，∴△ECD ≌△FBD ，∴DE ＝DF .7．证明：如图，在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE .∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD .又∵BD ＝BD ，∴△ABD ≌△EBD (SAS)，∴∠BED ＝∠A ＝108°，∴∠CED ＝180°－∠BED ＝72°.又∵AB ＝AC ，∠A ＝108°，∴∠ACB ＝∠ABC ＝12×(180°－108°)＝36°，∴∠CDE＝180°－∠ACB －∠CED ＝180°－36°－72°＝72°.∴∠CDE ＝∠DEC ，∴CD ＝CE ，∴BC ＝BE ＋EC ＝AB ＋CD .8．(1)证明：过点P 作PF ∥BC 交AC 于点F ，∴∠AFP ＝∠ACB ，∠FPD ＝∠Q ，∠PFD ＝∠QCD .∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝∠ACB ＝60°，∴∠AFP ＝60°，∴△APF 是等边三角形，∴PF ＝P A ＝CQ ，∴△PFD ≌△QCD ，∴PD ＝DQ .(2)解：由(1)知△APF是等边三角形，∵PE⊥AC，∴AE＝EF.由(1)知△PFD≌△QCD，∴DF＝CD，∴DE＝EF＋DF＝12AF＋12CF＝12AC.又∵AC＝1，∴DE＝12.综合滚动练习：平行四边形的性质与判定时间：45分钟分数：100分得分：________一、选择题(每小题4分，共32分)1．在▱ABCD中，若∠A＋∠C＝120°，则∠A的度数是()A．100°B．120°C．80°D．60°2．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是() A．AB∥CD B．AB＝CDC．AC＝BD D．OA＝OC第2题图第5题图3．在平行四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是()A．4∶3∶3∶4 B．7∶5∶5∶7C．4∶3∶2∶1 D．7∶5∶7∶54．平面直角坐标系中，已知▱ABCD的三个顶点坐标分别是A(m，n)，B(2，－1)，C(－m，－n)，则点D的坐标是()A．(－2，1) B．(－2，－1)C．(－1，－2) D．(－1，2)5．如图，▱ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为()A．BE＝DF B．BF＝DEC．AE＝CF D．∠1＝∠26．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E.若AB＝6，EF＝2，则BC的长为()A．8 B．10 C．12 D．14第6题图第7题图7．如图，在▱ABCD中，∠B＝80°，AE平分∠BAD交BC于E，CF∥AE交AD于F，则∠BCF等于()A．40°B．50°C．60°D．80°8．(2017·龙东中考)在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD的周长是()A．22 B．20 C．22或20 D．18二、填空题(每小题4分，共24分)9．已知AB∥CD，添加一个条件____________，使得四边形ABCD为平行四边形．10．如图，在▱ABCD中，∠C＝40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为________．第10题图第11题图11．如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF.若∠BAE＝55°，则∠D1AD＝________．12．如果平行四边形的一条边长是8，一条对角线长为6，那么它的另一条对角线长m 的取值范围是____________．13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点．已知AB＝4，∠F＝∠CDE，则BF的长为________．第13题图第14题图14．★如图，▱ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF＝3，则AB的长是________．三、解答题(共44分)15．(7分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形．16.(8分)如图，▱ABCD中∠BAD的平分线交BC于点E，且AE＝BE，求▱ABCD各内角的度数．17．(9分)(2017·湘潭中考)如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若AB＝2BC，∠F＝36°，求∠B的度数．18．(10分)如图，▱ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，点E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于点O.(1)求证：BO＝DO；(2)若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AD的长．19．(10分)★如图，AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE＝FE.求证：BF＝AC.[提示：延长AD到N，使DN＝AD，构造平行四边形进行证明]参考答案与解析1．D 2.C 3.D 4.A 5.C 6.B7.B8．C解析：设AE平分∠A交BC于点E，在平行四边形ABCD中，AD∥BC，则∠DAE ＝∠AEB.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE.①当BE＝3，EC＝4时，AB＝3，BC＝7，∴平行四边形ABCD的周长为2(AB＋BC)＝2×(3＋7)＝20.②当BE＝4，EC＝3时，AB＝4，BC＝7，∴平行四边形ABCD的周长为2(AB＋BC)＝2×(4＋7)＝22.故选C.9．AB＝CD(答案不唯一)10．50° 11.55° 12.10<m <22 13.414．1 解析：由题可知∠ECF ＝∠ABC ＝60°，则∠CEF ＝30°.设CF ＝x ，则CE ＝2CF ＝2x .在Rt △CEF 中，CF 2＋EF 2＝CE 2，即x 2＋3＝(2x )2，解得x ＝1，则CE ＝2.∵AE ∥BD ，AB ∥DE ，∴四边形ABDE 为平行四边形，∴AB ＝DE .又∵AB ＝CD ，∴AB ＝12CE ＝1.15．证明：∵∠1＋∠B ＋∠ACB ＝180°，∠2＋∠D ＋∠CAD ＝180°，∠B ＝∠D ，∠1＝∠2，∴AB ∥CD ，∠DAC ＝∠ACB ，∴AD ∥BC .(5分)∴四边形ABCD 是平行四边形．(7分)16．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∠B ＝∠D ，∴∠AEB ＝∠DAE .(2分)∵AE 是∠BAD 的平分线，∴∠BAE ＝∠DAE ，∴∠BAE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE .(4分)∵AE ＝BE ，∴△ABE 是等边三角形，∴∠D ＝∠B ＝60°.(6分)∵∠B ＋∠C ＝180°，∴∠C ＝120°.∴▱ABCD 各内角的度数分别是∠B ＝∠D ＝60°，∠BAD ＝∠C ＝120°.(8分)17．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴∠D ＝∠ECF .(2分)在△ADE 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠D ＝∠ECF ，DE ＝CE ，∠AED ＝∠FEC ，∴△ADE ≌△FCE (ASA)．(5分)(2)解：∵△ADE ≌△FCE ，∴AD ＝FC .∵AD ＝BC ，AB ＝2BC ，∴AB ＝FB .(7分)∴∠BAF＝∠F ＝36°，∴∠B ＝180°－2×36°＝108°.(9分)18．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ，∴∠ODF ＝∠OBE .(2分)在△ODF 与△OBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ODF ＝∠OBE ，∠DOF ＝∠BOE ，DF ＝BE ，∴△ODF ≌△OBE ，(4分)∴BO ＝DO .(5分)(2)解：∵BD ⊥AD ，∴∠ADB ＝∠GDO ＝90°.∵∠A ＝45°，∴∠DBA ＝∠A ＝45°.∵EF ⊥AB ，∴∠G ＝∠A ＝45°，∠DOG ＝45°，∴OD ＝DG .(7分)∵AB ∥CD ，EF ⊥AB ，∴DF ⊥OG ，∴OF ＝FG ，△DFG 是等腰直角三角形，∴DF ＝GF ＝1，∴DO ＝DG ＝ 2.(8分)∵DO ＝BO ，∴在等腰Rt △ADB 中，AD ＝DB ＝2DO ＝2 2.(10分)19．证明：如图，延长AD 到N ，使DN ＝AD ，连接BN ，CN .(2分)∵AD 为△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，∴四边形ABNC 是平行四边形，∴BN ＝AC ，BN ∥AC ，∴∠1＝∠4.(6分)∵AE ＝FE ，∴∠1＝∠2.∵∠2＝∠3，∠1＝∠4，(8分)∴∠3＝∠4，∴BN ＝BF ，∴BF ＝AC .(10分)。

等腰三角形中做辅助线的七种常用方法典中典数学

等腰三角形中做辅助线的七种常用方法典中典数学
等腰三角形中做辅助线的七种常用方法如下：
1.作腰的平行线：根据“平行线分线段成比例”定理，得出线段之间的关系，然后利用等腰三角形的性质可得出结论。

2.作底边上的高：利用“面积法”或“全等法”进行证明，利用等腰三角形的“三线合一”性质可得出线段之间的关系。

3.作腰的延长线：根据等腰三角形的性质，利用“三角形中位线”定理或“全等”得出线段之间的关系。

4.作底边的中线：根据“等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线重合”的性质，利用“全等法”或“面积法”进行证明。

5.过顶点作底边的平行线：根据“平行线分线段成比例”定理和“等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线重合”的性质，可得出线段之间的关系。

6.过一腰上的某一点作另一腰的平行线：根据“平行线分线段成比例”定理和等腰三角形的性质，可得出线段之间的关系。

7.作一角平分线：利用角平分线的性质，可得出线段和角度之间的关系，然后利用等腰三角形的性质可得出结论。

等腰三角形常见的辅助线的做法

等腰三角形常见的辅助线的做法
如何快速解决好等腰三角形问题，做到孰能生巧？今天总结了以下四种和等腰三角形题型有关的常见辅助线添加方法
方法一：做三线合一中的一线
三线合一，是等腰三角形里最重要的性质定理之一。

所谓三线，就是等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线。

必然三线合一。

方法二：做平行线法
这个一般是做一腰的平行线，得出两个角相等，从而得出三角形全等
方法三：截长补短法，或者叫截长取短法
简单说，就是在某一条线段上截取一条线段，和已知线段相等。

或者，延长某一线段，使之等于某已知线段。

此解题方法常用，请大家细心钻研
方法四：加倍折半法，倍长中线法。

等腰三角形中做辅助线的八种常用方法

等腰三角形中做辅助线的八种常用方法以等腰三角形中做辅助线的八种常用方法为标题，写一篇文章。

一、连接底边中点和顶点的直线在等腰三角形中，连接底边中点和顶点的直线是最常见的辅助线之一。

通过连接底边中点和顶点的直线，可以将等腰三角形分为两个等边三角形，从而为解决问题提供了更多可能性。

二、平分底角另一种常见的辅助线是平分底角。

通过连接底边两个顶点与底角的平分线，可以将等腰三角形分成两个相等的小三角形，从而使得问题的解决更加简单明了。

三、平分顶角平分顶角也是一种常用的辅助线方法。

通过连接顶点与底边中点的直线，可以将等腰三角形分为两个相等的小三角形，从而使得问题的解决更加方便。

四、连接底边两个顶点与三角形顶点的直线通过连接底边两个顶点与三角形顶点的直线，可以形成一个内切等边三角形。

这个内切等边三角形可以为解决问题提供更多线索。

五、连接底边两个顶点与顶角平分线的交点通过连接底边两个顶点与顶角平分线的交点，可以形成一个四边形。

这个四边形可以为解决问题提供更多线索。

六、连接底边两个顶点与底边中点的连线通过连接底边两个顶点与底边中点的连线，可以形成一个等腰梯形。

这个等腰梯形可以为解决问题提供更多线索。

七、连接底边两个顶点与对边中点的连线通过连接底边两个顶点与对边中点的连线，可以形成一个平行四边形。

这个平行四边形可以为解决问题提供更多线索。

八、连接对边中点的连线通过连接对边中点的连线，可以形成一个等腰三角形的中线。

这个中线可以为解决问题提供更多线索。

在解决等腰三角形相关问题时，可以灵活运用以上八种常用的辅助线方法。

通过合理选择辅助线，可以使问题的解决更加简单明了。

当然，在运用辅助线的过程中，需要注意辅助线与等腰三角形的关系，确保辅助线的引入能够帮助解决问题，而不会导致问题的复杂化。

总结起来，通过连接底边中点和顶点的直线、平分底角、平分顶角、连接底边两个顶点与三角形顶点的直线、连接底边两个顶点与顶角平分线的交点、连接底边两个顶点与底边中点的连线、连接底边两个顶点与对边中点的连线以及连接对边中点的连线这八种常用的辅助线方法，我们可以更加灵活地解决等腰三角形相关问题。

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构造等腰三角形解题的辅助线做法
吕海艳
等腰三角形是一种特殊的三角形，常与全等三角形的相关知识结合在一起考查。

在许多几何问题中，通常需要构造等腰三角形才能使问题获解。

那么如何构造等腰三角形呢一般有以下四种方法：
（1）依据平行线构造等腰三角形；
（2）依据倍角关系构造等腰三角形；
（3）依据角平分线+垂线构造等腰三角形；
（4）依据120°角或60°角，常补形构造等边三角形。

1、依据平行线构造等腰三角形
例1：如图。

△ABC中，AB=AB，E为AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于D，求证DE=DF.
[点拔]：若证DE=DF，则联想到D是EF的中点，中点的两旁容易构造全等三角形，方法是过E或F作平行线，构造X型的基本图形，只需证两个三角形全等即可。

"
证明：过E作EG∥AC交BC于G
∴∠1=∠ACB，∠2=∠F
∵AB=AC
∴∠B=∠ACB
∴∠1=∠B
∴BE=GE
∵BE=CF
∴GE=CF
在△EDG和△FDC中
∠3=∠4
∠2=∠F
(
GE=CF
∴△EDG≌△FDC
∴DE=DF
[评注]：此题过E作AC的平行线后，构造了等腰△BEG，从而达到转化线段的目的。

2、依据倍角关系构造等腰三角形
例2：如图。

△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的平分线
求证：AB+BD=AB
[点拔]：在已知条件中出现了一个角是另一个角的2倍，可延长CB，构造等腰三角形，问题即可解决。

证明：延长CB至E，使BE=BA，
连接AE
（
∵BE=BA
∴∠BAE=∠E
∵∠ABC=2∠C, ∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E
∴∠C=∠E
AC=AE
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∴∠EAD=∠BAE+∠1=∠E+∠1=∠C+∠2=∠BDA
∴EA=ED
∵ED=EB+BD，EB=AB，AC=AE
∴AC=AB+BD
…
[评注]：当一个三角形中出现了一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找等腰三角形。

3、依据角平分线+垂线，构造等腰三角形
例3，如图。

△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于D，求证：BF=2CD
[点拔]：遇到BD平分∠ABC且BD⊥CD，可延长CD、BA交于E，使角平分线BD又成为底边上的中线和高。

证明：分别延长BA、CD交于点E
∵CD⊥BD
∴∠BDC=∠BDE=90°
∴∠1+∠E=90°
∵∠BAC=90°
∴∠3+∠E=90°
—
∴∠1=∠3
在△BAF和△CAE中
∠1=∠3
AB=AC
∠BAC=∠CAE=90°
∴△BAF≌△CAE
∴BF=CE
在△BDE和△BCD中
∠1=∠2
BD=BD
∠BDE=∠BDC
《
∴△BDE≌△BDC
∴CD=ED
∴CE=2CD
∵BF=CE
∴BF=2CD
[评注]：当一个三角形中出现垂直于角平分线的线段时，通常延长此线段与角的另一边相交，我们就可以寻找到等腰三角形。

4、依据60°角或120°角，常补形构造等边三角形
例4,、如图。

∠BAD=120° BD=DC AB+AD=AC
求证：AC平分∠BAD
{点拨}：由AB+AD=AC知，应延长BA,将AB+AD集中成为一条线段，
使AE=AD 则∠EAD=60°△ADE为等边三角形，余下的只要证∠CAD=60°既得证明：延长BA到E,使AE=AD 连接DE
?
∵∠BAD=120°
∴∠DAE=180-120=60°
又AE=AD
∴△DAE是等边三角形
∴DE=AD ∠E=60°
∵BE=AB+AE AC=AB+AD
AE=AD
∴BE=AC
在△BDE和△CDA中
BD=CD
BE=CA
DE=AD
∴△BDE≌△CDA
∴∠CAD=∠E=60°
∵∠BAD=120°
∴∠BAC=∠CAD=60°
∴AC平分∠BAD
{评注}：在三角形的问题中，120°角也是常见角，可以利用120°的外角找到60°的角，经过添加线段的关系，构造等边三角形。