二倍角公式的应用,推导万能公式
三角函数推导,公式应用大全,实例
一、两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) =tanAtanB -1tanBtanA +tan(A-B) =tanAtanB 1tanBtanA +-cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB +cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+推导：1、应用三角函数线推导差角公式的方法设角α的终边与单位圆的交点为P 1，∠POP 1＝β，则∠POx ＝α－β．过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，那么OM 即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM ．过点P 作PA ⊥OP 1，垂足为A ，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ，再过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C ，那么cos β＝OA ，sin β＝AP ，并且∠PAC ＝∠P 1Ox ＝α，于是OM ＝OB ＋BM ＝OB ＋CP ＝OA cos α＋AP sin α＝cos βcos α＋sin βsin α．综上所述，.说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题.2、设α、β是两个任意角，把α、β两个角的一条边拼在一起，顶点为O，过B点作OB的垂线，交α另一边于A，交β另一边于C，则有S△OAC=S△OAB+S△OBC..根据三角形面积公式，有，∴.∵，，，∴，∵，∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.或者：sin(a+b)=cos[(π/2)-(a+b)]=cos[(π/2-a)-b]=cos(π/2-a)cosb-sin(π/2-a)sinb=sinacosb-cosasinb（就是利用π/2的诱导公式）3、tan(a+b)=sin(a+b)/cos(a+b)=(sinacosb+cosasinb)/(cosacosb-sinasinb) 分子分母同除以cosacosb 得(tana+tanb)/【1-tanatanb 】 二、倍角公式tan2A =Atan 12tanA2Sin2A=2SinA•CosACos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A1、公式sin2α=2sinα·cosα推导过程sin2α=sin(α+α)=sinα·cosα+cosα·sinα=2sinα·cosα2、公式余弦二倍角公式有三组表示形式，三组形式等价： cos2α=2cos²α-1 cos2α=1-2sin²α cos2α=cos²α-sin²α推导过程cos2α=cos(α+α)=cosα·cosα-sinα·sinα=cos²α-sin²α=2(cos²α)-1 =1-2(sin²α)3、正切二倍角公式tan2α=2tanα/[1-tan²α] 推导过程：tan2α=sin2α/cos2α=2sinα·cosα/cos²α-sin²α=[2sinα·cosα/cos²α]/[cos²α-sin²α/cos²α]=2tanα/[1-tan²α]三、半角公式（正负由所在的象限决定）（正负由所在的象限决定）（正负由所在的象限决定）推导过程：……①sin由等式①，整理得： 将 代入α，整理得：开方，得cos在等式①两边加上1，整理得：将代入 ，整理得：开方，得tansina=cos （π/2-a ）注：四、三倍角公式（常用）四、五、六、七、八、九、十、N 倍角公式(不常用)sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π-a)推导： sin3a =sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin ²a)+(1-2sin ²a)sina =3sina-4sin ³a cos3a =cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos ²a-1)cosa-2(1-cos ²a)cosa =4cos ³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4sina[(√3/2)²-sin²a]=4sina(sin²60°-sin²a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosa[cos²a-(√3/2)²]=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)四倍角公式sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)六倍角公式sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)七倍角公式sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6) 八倍角公式sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8) 九倍角公式sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tan A^6+9*tanA^8)十倍角公式sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4)) cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^ 4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)N倍角公式根据棣美弗定理，(cosθ+ i sinθ)^n = cos(nθ)+ i sin(nθ) 为方便描述，令sinθ=s，cosθ=c 考虑n为正整数的情形：cos(nθ)+ i sin(nθ) = (c+ i s)^n = C(n,0)*c^n + C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 +C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 + ... +C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 + C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 + C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 + ... =>比较两边的实部与虚部实部：cos(nθ)=C(n,0)*c^n + C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 +C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 + ... i*(虚部)：i*sin(nθ)=C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 + C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 + C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 + ... 对所有的自然数n，1. cos(nθ)：公式中出现的s都是偶次方，而s^2=1-c^2(平方关系)，因此全部都可以改成以c(也就是cosθ)表示。
三角函数二倍角公式大全
三角函数二倍角公式大全三角函数二倍角公式整理大全二倍角公式，其实是数学三角函数中常用的一组公式，通过角α的三角函数值的一些变换关系来表示其二倍角2α的三角函数值，二倍角公式包括正弦二倍角公式、余弦二倍角公式以及正切二倍角公式。
下面小编给大家整理了关于三角函数二倍角公式大全的内容，欢迎阅读，内容仅供参考!三角函数二倍角公式1、正弦形式(1)公式(2)推导过程2、余弦形式(1)公式(2)推导过程3、正切形式(1)公式(2)推导过程三角函数变形公式1、降幂公式：2、升幂公式：三角函数相关公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)三倍角公式sin3a=3sina-4(sina)^3cos3a=4(cosa)^3-3cosatan3a=tana__tan(π/3+a)__tan(π/3-a)半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))其它公式a__sin(a)+b__cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中，tan(c)=b/a]a__sin(a)-b__cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中，tan(c)=a/b]1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^21-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2如何记忆三角函数公式1、“奇变偶不变，符号看象限”：“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。
二倍角公式及其推论
二倍角公式及其推论好嘞，以下是为您生成的关于“二倍角公式及其推论”的文章：在我们学习三角函数的奇妙世界里，二倍角公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开许多复杂问题的大门。
咱们先来说说二倍角的正弦公式，sin2α = 2sinαcosα 。
这就好比我们在搭积木，sinα 和cosα 就是两块基础的积木，通过巧妙的组合 2 倍的关系，就搭建成了新的形状。
记得我曾经给学生们讲这个公式的时候，有个小家伙瞪着大眼睛问我：“老师，这到底有啥用啊？”我笑了笑，给他出了一道题：已知一个角的正弦值和余弦值，让他求这个角二倍的正弦值。
小家伙一开始还抓耳挠腮，在我的引导下，运用这个公式，很快就得出了答案，那脸上露出的兴奋劲儿，就像发现了新大陆。
再看看二倍角的余弦公式，cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 -2sin²α 。
这就像是一个变形金刚，可以有多种形态的变化。
比如说，在解决三角形中的一些角度问题时，我们常常需要通过已知的角去求其二倍角的余弦值。
有一次课堂练习，题目给出了一个三角形的两个内角的正弦和余弦值，让求其中一个角二倍的余弦值。
同学们一开始有些迷茫，我就提醒他们可以从不同的形式去尝试运用二倍角的余弦公式，很快大家就找到了思路，算出了答案。
二倍角的正切公式，tan2α = 2tanα / (1 - tan²α) 。
这个公式在求解涉及正切的问题时，威力可不小。
我想起有一次，学生们在做一道关于斜坡角度的实际应用题，需要通过已知的一个小角度的正切值去求其二倍角的正切值，从而得出斜坡在一定条件下的变化情况。
大家一开始被这道题难住了，觉得无从下手。
我就带着他们一步步分析，运用二倍角的正切公式，最终解决了问题。
当他们算出答案的那一刻，教室里充满了欢呼声。
这些二倍角公式的推论，也是非常有用的。
它们就像是公式家族的兄弟姐妹，各自有着独特的本领。
三角函数推导及公式应用大全
三角函数公式1、两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)2、倍角公式tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A)Sin2A=2SinA•CosACos2A = Cos^2 A--Sin^2 A=2Cos^2 A—1=1—2sin^2 A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)^3;cos3A = 4(cosA)^3 -3cosAtan3a = tan a •tan(π/3+a)•tan(π/3-a) 半角公式sin(A/2) = √{(1--cosA)/2}cos(A/2) = √{(1+cosA)/2}tan(A/2) = √{(1--cosA)/(1+cosA)}cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1-cosA)}tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)3、和差化积sin(a)+sin(b) = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] sin(a)-sin(b) = 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] cos(a)-cos(b) = -2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB4、积化和差sin(a)sin(b) = -1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b) = 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b) = 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]cos(a)sin(b) = 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)]5、诱导公式sin(-a) = -sin(a)cos(-a) = cos(a)sin(π/2-a) = cos(a)cos(π/2-a) = sin(a)sin(π/2+a) = cos(a)cos(π/2+a) = -sin(a)sin(π-a) = sin(a)cos(π-a) = -cos(a)sin(π+a) = -sin(a)cos(π+a) = -cos(a)tgA=tanA = sinA/cosA6、万能公式sin(a) = [2tan(a/2)] / {1+[tan(a/2)]^2}cos(a) = {1-[tan(a/2)]^2} / {1+[tan(a/2)]^2}tan(a) = [2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)]^2}7、其它公式a•sin(a)+b•cos(a) = [√(a^2+b^2)]*sin(a+c) [其中,tan(c)=b/a]a•sin(a)-b•cos(a) = [√(a^2+b^2)]*cos(a-c) [其中,tan(c)=a/b]1+sin(a) = [sin(a/2)+cos(a/2)]^2;1-sin(a) = [sin(a/2)-cos(a/2)]^2;;8、其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a)sec(a) = 1/cos(a)9、双曲函数sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2tg h(a) = sin h(a)/cos h(a)公式一：设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）= sinαcos（2kπ＋α）= cosαtan（2kπ＋α）= tanαcot（2kπ＋α）= cotα公式二：设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）= cosαcos（π/2+α）= -sinαtan（π/2+α）= -cotαcot（π/2+α）= -tanαsin（π/2-α）= cosαcos（π/2-α）= sinαtan（π/2-α）= cotαcot（π/2-α）= tanαsin（3π/2+α）= -cosαcos（3π/2+α）= sinαtan（3π/2+α）= -cotαcot（3π/2+α）= -tanαsin（3π/2-α）= -cosαcos（3π/2-α）= -sinαtan（3π/2-α）= cotαcot（3π/2-α）= tanα(以上k∈Z)三角函数公式大全锐角三角函数公式sin α=∠α的对边/ 斜边cos α=∠α的邻边/ 斜边tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）（注：SinA^2 是sinA的平方sin2（A））三倍角公式sin3α=4sinα•sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα•cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a •tan(π/3+a)•tan(π/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina辅助角公式Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin³acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa=4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4sina[(√3/2)²-sin²a]=4sina(sin²60°-sin²a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosa[cos²a-(√3/2)²]=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角和sin(α+β+γ)=sinα•cosβ•cosγ+cosα•sinβ•cosγ+cosα•cosβ•sinγ-sinα•sinβ•sinγcos(α+β+γ)=cosα•cosβ•cosγ-cosα•sinβ•sinγ-sinα•cosβ•sinγ-sinα•sinβ•cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα•tanβ•tanγ)/(1-tanα•tanβ-tanβ•tanγ-tanγ•tanα)两角和差cos(α+β)=cosα•cosβ-sinα•sinβcos(α-β)=cosα•cosβ+sinα•sinβsin(α±β)=sinα•cosβ±cosα•sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα•tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα•tanβ)和差化积sinθ+sinφ= 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ= 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ= 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ= -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差sinαsinβ= [cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)]/2诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (—a)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变,符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2）/〔1+tan＾(α/2)〕cosα=〔1-tan＾(α/2)〕/1+tan＾(α/2)〕tanα=2tan(α/2)/〔1-tan＾(α/2)〕其它公式(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0一,诱导公式口诀:(分子)奇变偶不变,符号看象限.1. sin (α+k•360)=sin αcos (α+k•360)=cos atan (α+k•360)=tan α2. sin(180°+β)=-sinαcos(180°+β)=-cosa3. sin(-α)=-sinacos(-a)=cosα4*. tan(180°+α)=tanαtan(-α)=tanα5. sin(180°-α)=sinαcos(180°-α)=-cosα6. sin(360°-α)=-sinαcos(360°-α)=cosα7. sin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinα8*. Sin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinα9*. Sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+a)=-sinα10*.sin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinα二,两角和与差的三角函数1. 两点距离公式2. S(α+β): sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβC(α+β): cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ3. S(α-β): sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβC(α-β): cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ4. T(α+β):T(α-β):5*.三,二倍角公式1. S2α: sin2α=2sinαcosα2. C2a: cos2α=cos2α-sin2a3. T2α: tan2α=(2tanα)/(1-tan2α)4. C2a': cos2α=1-2sin2αcos2α=2cos2α-1四*,其它杂项(全部不可直接用)1.辅助角公式asinα+bcosα=sin(a+φ),其中tanφ=b/a,其终边过点(a, b) asinα+bcosα=cos(a-φ),其中tanφ=a/b,其终边过点(b,a) 2.降次,配方公式降次:sin2θ=(1-cos2θ)/2cos2θ=(1+cos2θ)/2配方1±sinθ=[sin(θ/2)±cos(θ/2)]21+cosθ=2cos2(θ/2)1-cosθ=2sin2(θ/2)3. 三倍角公式sin3θ=3sinθ-4sin3θcos3θ=4cos3-3cosθ4. 万能公式5. 和差化积公式sinα+sinβ=sinα-sinβ=cosα+cosβ=cosα-cosβ=6. 积化和差公式sinαsinβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]sinαsinβ-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]cosαcosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]7. 半角公式另：三角函数口诀三角知识,自成体系,记忆口诀,一二三四.一个定义,三角函数,两种制度,角度弧度.三套公式,牢固记忆,同角诱导,加法定理.同角公式,八个三组,平方关系,导数商数.诱导公式,两类九组,象限定号,偶同奇余.两角和差,欲求正弦,正余余正,符号同前.两角和差,欲求余弦,余余正正,符号相反.两角相等,倍角公式,逆向反推,半角极限.加加减减,变量替换,积化和差,和奇互变.锐角三角函数公式sin α=∠α的对边/ 斜边cos α=∠α的邻边/ 斜边tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）（注：SinA^2 是sinA的平方sin2（A））三倍角公式sin3α=4sinα•sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα•cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a •tan(π/3+a)•tan(π/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina辅助角公式Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin³acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa=4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4sina[(√3/2)²-sin²a]=4sina(sin²60°-sin²a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosa[cos²a-(√3/2)²]=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角和sin(α+β+γ)=sinα•cosβ•cosγ+cosα•sinβ•cosγ+cosα•cosβ•sinγ-sinα•sinβ•sin γcos(α+β+γ)=cosα•cosβ•cosγ-cosα•sinβ•sinγ-sinα•cosβ•sinγ-sinα•sinβ•cos γtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα•tanβ•tanγ)/(1-tanα•tanβ-tanβ•tanγ-tan γ•tanα)两角和差cos(α+β)=cosα•cosβ-sinα•sinβcos(α-β)=cosα•cosβ+sinα•sinβsin(α±β)=sinα•cosβ±cosα•sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα•tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα•tanβ)和差化积sinθ+sinφ= 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ= 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ= 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ= -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差sinαsinβ= [cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)]/2诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (—a)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变,符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2）/［1+tan＾(α/2)］cosα=［1-tan＾(α/2)］/1+tan＾(α/2)］tanα=2tan(α/2)/［1-tan＾(α/2)］其它公式(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0。
2025届高考数学一轮总复习第五章三角函数第三节两角和与差二倍角的三角函数公式
(1)熟记公式结构特征以及符号规律.
(2)注意与诱导公式、同角三角函数关系式相结合综合应用.
(3)注意配方法、因式分解、整体换元思想的运用.
对点训练1(1) 已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α=(
A.
5
3
2
B.3
1
C.
3
(2)若
D.
3
tan(α-β)=2,tan
5
1+tan
(2)由已知得 2tan θ=7,即 tan2θ-4tan θ+4=0,解得
1-tan
1
1
(3)对于 A,sin 15°cos 15°=2sin 30°=4,A 项错误;
tan θ=2.
对于B,sin 75°cos 15°+cos 75°sin 15°=sin(75°+15°)=sin 90°=1,B项正确;
12
(2)若 3sin α-sin β=
π
8
π
1-ta n 2
8
D.
tan
π
10,α+β= ,则
2
sin α=
,cos 2β=
.
3 10
(2)
10
答案 (1)AD
4
5
17π
π
π
π
解析(1)A,sin =sin(2π+π- )=sin(π- )=sin
6
6
6
6
π
π
B,sin12 cos12
C,cos
)
)
1+cos40°
(3)由于 cos 40°=2cos 20°-1,所以 cos 20°=±
高一数学二倍角公式的应用推导万能公式教案湘教版必修2
第二十三教时教材：续二倍角公式的应用，推导万能公式目的：要求学生能推导和理解半角公式和万能公式，并培养学生综合分析能力。
过程：一、解答本章开头的问题：（课本 P3）令∠AOB = θ , 则AB = a cos θ OA = a sin θ ∴S 矩形ABCD = a cos θ×2a sin θ = a 2sin2θ≤a 2 当且仅当 sin2θ = 1，即2θ = 90︒，θ = 45︒时, 等号成立。
此时，A,B 两点与O 点的距离都是a 22 二、半角公式在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的例一、求证：α+α-=αα+=αα-=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 222 证：1︒在 α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2α代α 即得： 2sin 21cos 2α-=α ∴2cos 12sin 2α-=α 2︒在 1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2α代α 即得： 12cos 2cos 2-α=α ∴2cos 12cos 2α+=α 3︒以上结果相除得：α+α-=αcos 1cos 12tan 2 注意：1︒左边是平方形式，只要知道2α角终边所在象限，就可以开平方。
2︒公式的“本质”是用α角的余弦表示2α角的正弦、余弦、正切 3︒上述公式称之谓半角公式（大纲规定这套公式不必记忆）α+α-±=αα+±=αα-±=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 4︒还有一个有用的公式：αα-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan（课后自己证） 三、万能公式 例二、求证：2tan 12tan 2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan 2sin 2222α-α=αα+α-=αα+α=α B C a θ A O D证：1︒2tan 12tan 22cos 2sin 2cos 2sin21sin sin 222α+α=α+ααα=α=α 2︒2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1cos cos 222222α+α-=α+αα-α=α=α 3︒2tan 12tan 22sin 2cos 2cos 2sin 2cos sin tan 222α-α=α-ααα=αα=α 注意：1︒上述三个公式统称为万能公式。
二倍角公式的应用
二倍角公式的应用一．复习两角和（差）的三角公式()βαβαβαsin sin cos cos cos =± ()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=±二．二倍角公式的推导1.余弦二倍角推导由()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+，其中αβ=令：得ααα22sin cos 2cos -=利用公式1cos sin 22=+αα可变形得：αααα22sin 212cos 1cos 22cos -=-=2.正弦二倍角推导()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+，其中αβ=令：得αααcos sin 22sin =3.正切二倍角推导()βαβαβαtan tan 1tan tan tan -+=+，αβ=令：ααα2tan 1tan 22tan -=注：ππαk +≠2且()Z k k ∈+≠ππα4三．二倍角公式的应用1.公式的直接应用（注意角的取值范围） 例1：已知),2(,135sin ππαα∈=求sin2α，cos2α，tan2α的值。
解：∵),2(,135sin ππαα∈=∴1312sin 1cos 2-=--=αα∴sin2α = 2sin αcos α = 169120-cos2α = 169119sin 212=-αtan2α =1191202cos 2sin -=a a2.公式的逆用例2：求下列各式的值：（1）15cos 15sin（2）5.22tan 15.22tan 22-（2）22tan 22.5tan 4511tan 22.5=︒=-3.公式的活用 例3：化简（1）sincos22θθ（2）2sin 20cos 20cos 40cos80︒︒︒︒解：（1）11sincos2sin cos sin 222222θθθθθ=⨯=（2）2sin 20cos 20cos 40cos80︒︒︒︒=sin 40cos 40cos80︒︒︒=1sin 80cos802︒︒=1sin1604︒=1sin 204︒注：（2）可以推广为11sin 2sin cos cos 2...cos 22n nn ααααα++=4.降幂公式（二倍角公式的变形）（1）21cos 2sin 2αα-=（2）21cos 2cos 2ββ-=以下列举几个例子：1）函数22cos 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是 （A ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数解：直接用降幂公式得cos(2)sin 22y x xπ=-=，故选A 。
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
记法 S2α C2α
T2α
二倍角公式 公式
sin 2α＝____2_s_in__α_c_o_s_α_
cos 2α＝___c_o_s2_α_－__s_i_n_2α_ cos 2α＝___1_－__2_s_i_n_2α_ cos 2α＝___2_c_o_s_2α_－___1
解析： ∵sin β＝ 1100，
∴cos
2β＝1－2sin2β＝1－2×
11002＝45.
由 β∈0，π2，且 cos 2β＝45＞0，可推得 2β∈0，π2. ∴α＋2β∈(0，π)．
∵α∈0，π2，且 sin α＝102，
∴cos α＝ 1－sin2α＝7102.
又∵2β∈0，π2，且 cos 2β＝45，
2．二倍角公式的变形
(1)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α；
1－cos 2α＝2sin2α.
(2)降幂公式：cos2α＝1＋c2os 2α；
sin2α＝1－c2os
2α .
(3)万能公式：sin 2α＝1＋2tatannα2α；
cos 2α＝11－＋ttaann22αα.
化简求值 自主练透型 求下列各式的值： (1)sin110°－cos 310°；(2)cos 20°cos 40°cos 80°.
解析： (1)原式＝cossi1n01°－0°co3ss1in0°10°
＝212cossin1100°－°co2s31s0in°10°
＝4（sin
30°cos 10°－cos 30°sin 2sin 10°cos 10°
10°）
＝4ssiinn2200°°＝4.
(2)原式＝2sin
20°·cos 20°·cos 40°·cos 2sin 20°
7二倍角的三角函数(学生版)
1.7二倍角的正弦、余弦、正切公式一、教学目标：1.掌握三角函数和差倍角公式的运用。
2 能熟悉应用公式进行化解、求值。
二、教学重难点：重点：诱导公式的化简，和差公式以及倍角公式的运用。
难点：和差倍角公式的顺用、逆用。
三、知识点梳理：1.二倍角公式sin 2α=2sin cos ααcos 2α=22cos sin αα-= 22cos 1α-=212sin α-tan 2α=22tan 1tan αα-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+⇒降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； 2.公式变形 22cos 1cos 2αα+=，22cos 1sin 2αα-=，αααcos 1cos 12tan 2+-=是二倍角余弦公式的变形，通常被称为“降次公式”。
实际是降幂扩角的变形方法。
3.如果将降幂扩角“公式”适当变通，得到 2cos 12sinαα-±=，2cos 12cos αα+±=，αααcos 1cos 12tan +-±=即为半角公式。
与前面学过的其他公式不同，用这组公式时要求出2α的范围 4.αααααsin cos 1cos 1sin 2tan-=+=也是半角公式。
与其余公式不同的是这个公式应用时不用求2α的范围，只要知道sin α，cos β的值即可。
5.万能公式2tan12tan2sin 2ααα+=2tan12tan 1cos 22ααα+-=2tan12tan 2tan 2ααα-=其中tan α的万能公式就是二倍角公式。
2所谓“万能”是指我们可以将α角的任何三角式（包含α角的任意三角函数值）转化为只含有2tanα的代数式，从而将多元问题化归为一元问题，简化了问题的结构。
示例：求函数xxy cos 2sin 3+=的值域令t =2tanα ∵t ∈R ∴212sin tt x += 2211cos t t x +-=∴2332t t y +=t ∈R这是一个分式函数其解法我们在第一章中已接触过了。
3.1.3正弦余弦正切的二倍角公式
＝12sin
1 20°·2sin
1 100°·2sin
140°
＝18sin 20°sin 80°sin 40°
＝18cos 10°cos 50°cos 70°＝18y.
∵y≠0，∴x＝18.从而有 sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°
＝116.
必修4 第三章 三角恒等变换
栏目导引
＝12·sin
20°cos
20°cos 40°cos sin 20°
80°
＝14·sin
40°cos sin
40°cos 20°
80°
＝18·sin
80°cos 80° sin 20°
＝116·ssiinn12600°°＝116.
必修4 第三章 三角恒等变换
栏目导引
(2)原式＝cos2π8－sin2π8＝cos
必修4 第三章 三角恒等变换
栏目导引
∴cos π4－x＝1123， sin π4＋x＝sin π2－π4－x＝cos π4－x＝1123
119 ∴原式＝11629＝111596.
13
必修4 第三章 三角恒等变换
栏目导引
二倍角公式的应用——化简 化简：(1)cocsos107°0(°1＋1＋3ctoasn4100°°)；
＝116.
必修4 第三章 三角恒等变换
栏目导引
方法二：先将正弦变成余弦，再逆用二倍角公式
原式＝cos 80°·12·cos 40°·cos 20°
＝2sin
20°cos 20°cos 40°cos 4sin 20°
80°
＝sin
40°cos 40°cos 4sin 20°
80°
＝sin88s0in°c2o0s°80°
二倍角万能公式
二倍角万能公式二倍角万能公式是高中数学中的一个重要公式，它在解决三角函数的问题中起到了至关重要的作用。
通过二倍角万能公式，我们可以快速求解复杂的三角函数问题，简化计算的过程。
二倍角万能公式的形式为：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ，sin(2θ) = 2sinθcosθ，tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan²θ)。
其中，θ为任意角度。
让我们来看一下cos(2θ)的推导过程。
我们知道，根据三角函数的定义，cos(2θ)可以表示为cos(θ + θ)。
利用和角公式，我们可以将其展开为cos²θ - sin²θ。
接下来，让我们来看一下sin(2θ)的推导过程。
同样地，我们知道sin(2θ)可以表示为sin(θ + θ)。
利用和角公式，我们可以将其展开为2sinθcosθ。
让我们来看一下tan(2θ)的推导过程。
tan(2θ)可以表示为sin(2θ) / cos(2θ)。
根据之前的推导，我们可以将其转化为2tanθ / (1 - tan²θ)。
二倍角万能公式的应用非常广泛，可以用于解决各种与三角函数相关的问题。
下面，我们将通过一些例子来说明二倍角万能公式的具体应用。
例1：求解cos(120°)的值。
根据二倍角万能公式cos(2θ) = cos²θ - sin²θ，我们可以将120°表示为60°的二倍角。
即θ = 60°，代入公式中，cos(120°) = cos²60° - sin²60°。
由于60°是一个特殊角，我们可以直接得出cos(60°) = 1/2，sin(60°) = √3 / 2。
代入公式，cos(120°) = (1/2)² - (√3 / 2)² = -1/2。
高考数学教材复习全国版第20讲 二倍角公式与简单的三角恒等变换(3课件)
2β 的值为 (
7
A.
25
3
α= ,则
5
)
18
B.
25
则 cos
1
A.
5
π
+
4
1
B.
4
[答案] (1)A (2)B
[解析] (1)由题意得 sin(α-β)cos
7
C.25
18
D.25
(2)[2018·
厦门外国语学校月考] 已知 tan
2
cos
=(
1
θ+
=4,
tan
所以 sin
3
β=- ,所以
tan +tan
1-tan tan
3π
0<α+β<π,所以 α+β= 4 .
=
4
7+
3
4
1-7×
3
=-1,又
课前双基巩固
7. sin α-cos α= 2sin(α+φ)中的 φ=
.
[答案]
π
2kπ-4 ,k∈Z
[解析] sin α-cos α= 2
2
2
2
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sin
2
α- 2 cos α ,则 cos φ= 2 ,sin φ=- 2 ,
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厦门外国语学校月考] 已知 tan
(2)[2018·
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A.
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=4,
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案;(2)由已知条件求得 sin θcos θ
三角函数公式推导和应用大全
三角函数公式推导和应用大全三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。
其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
三角函数看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在中文名三角函数公式外文名Formulas of trigonometric functions应用学科数学、物理、地理、天文等适用领域范围几何，代数变换，数学、物理、地理、天文等适用领域范围高考复习目录1 定义式2 函数关系3 诱导公式4 根本公式▪和差角公式▪和差化积▪积化和差▪倍角公式▪半角公式▪万能公式▪辅助角公式5 三角形定理▪正弦定理▪余弦定理三角函数公式定义式编辑锐角三角函数任意角三角函数图形直角三角形任意角三角函数正弦〔sin〕余弦〔cos〕正切〔tan或tg〕余切〔cot或ctg〕正割〔sec〕余割〔csc〕表格参考资料来源：现代汉语词典．三角函数公式函数关系编辑倒数关系：；；商数关系：；．平方关系：；；．三角函数公式诱导公式编辑公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系：公式三：任意角与的三角函数值之间的关系：公式四：与的三角函数值之间的关系：公式五：与的三角函数值之间的关系：公式六：及与的三角函数值之间的关系：记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如〔2k+1〕90°±α，那么函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。
形如2k×90°±α，那么函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限〞意义：k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。
4.6二倍角与半角的正弦、余弦和正切公式角
4.6二倍角与半角的正弦、余弦和正切公式【知识梳理】1、二倍角公式： αααcos sin 22sin =；)(2αS ααα22sin cos 2cos -=；)(2αC ααα2tan 1tan 22tan -=；)(2αT跟踪例题1：已知),2(,135sin ππ∈α=α，求sin2α，cos2α，tan2α的值。
跟踪例题2：若tan θ = 3，求sin2θ - cos2θ 的值。
2、升幂公式：1cos 22cos 2-=αα αα2sin 212cos -=)(2αC ' 降幂公式：22cos 1sin 22cos 1cos 22αααα-=+=跟踪例题1：（1）15cos 15sin ； （2）8sin 8cos22ππ-；（3）5.22tan 15.22tan 22-； （4） 75sin 212-．3、半角公式：α+α-±=αα+±=αα-±=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin万能公式：2tan 12tan2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan2sin 2222ααααααααα-=+-=+=跟踪例题1：.2tan ,2cos ,2sin ,23,54sin αααπαπα求且<<-=3、给角求值问题跟踪例题1：求0sin10sin50sin 70的值。
跟踪例题2：求94cos 93cos 92cos9cos ππππ的值。
4、给值求值跟踪例题1：已知,534cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+x π若ππ471217<<x ，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值。
跟踪例题2：已知.2tan ,270180,53cos ααα求且︒︒<<-=5、三角函数式化简跟踪例题1：化简()︒︒︒︒+∙-70sin 170cos 85tan 5tan = .跟踪例题2：化简)4(sin 4tan 21cos 222απαπα+⎪⎭⎫⎝⎛--跟踪例题3：化简：()()παααααπ<<-+∙-⎪⎭⎫⎝⎛-0cos 1cos 12tan 23cos跟踪例题4：已知,223παπ<<试化简ααsin 1sin 1--+6、三角恒等式的证明 跟踪例题1：求证：()xx x x 4cos 14cos 32tan 1tan 22-+=+跟踪例题2：求证：θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 1-++=-+跟踪例题3：求证：.2cos cos sin 22tan 23tan xx x x x +=-7、二倍角公式使用技巧跟踪例题1：已知()πα,0∈，化简：()αααααcos 222sin 2cos cos sin 1+⎪⎭⎫⎝⎛-∙++=跟踪例题2：计算：()︒︒︒--12sin 212cos 4312tan 3= 8、三角函数综合应用跟踪例题1：已知函数()x x x x f 2cos 3sin 2sin -⎪⎭⎫⎝⎛-=π.（1）求()x f 的最小正周期和最大值； （2）讨论()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππ上的单调性。
二倍角公式
二倍角公式的应用1、什么是二倍角公式，二倍角公式怎么来的2、二倍角公式的理解，重点是“倍”的理解先熟悉公式，口算下列各题 0002220202tan15(1)sin 22.5cos 22.5;(2)cos sin ;(3);(4)12sin 75881tan 15ππ---一、公式的正应用5124441342ππααααα=<<.sin ,sin cos tan .例已知，求，， 变式训练：（1）已知4cos ,812,sin ,cos ,tan 85444ααααπαπ=-<<求的值. （2）4.,cos A ,tan 2,tan(22)5ABC B A B ∆==+在中求的值 11tan 2,tan 3112tan ,tan ,tan(2)73αααβαβ===+例2.（）已知求的值 （）已知求的值 二、公式的逆应用例3.()(1)8sin cos cos cos .48482412ππππ︒︒︒︒2sin10sin30sin50sin70 2tan 22.51 (4)tan 1-tan 22.512tan 12ππ-。
（3） 变式训练 24cos (1)cos36cos72 (2)sin15cos30sin 75 (3)1tan 2tan 2ααα- 三、公式的变形应用22222221sin 2sin cos 2sin cos =sin cos 1cos 22cos 1cos 22sin 1cos 21cos 2cos sin 22ααααααααααααααα±=+±±+=-=+-==（）降幂一次角翻倍，升幂一次角减半 例4.化简变式训练例5.已知α为第二象限角，且sin α=sin()4sin 2cos 21πααα+++变式训练：例6.已知sin cos (0,)αααπ-=∈，求sin 2α变式训练1. 1sin cos sin 225ααα-=求2. sin cos (0,)4πααα-=∈，求tan 2α 3.在ABC 中，sin C cos 1sin2C C +=-，求sin C 的值 例7.半角公式的应用2221cos cos ,21co 1cos sin ,22s t 12an 2cos ααααααα+-=+=-= 7cos sin cos tan 25222αααα=已知求、、的值 变式训练：3cos ,0sin cos tan 52222πααααα⎛⎫=∈-⎪⎝⎭已知，，求、和． 例8.综合应用 已知13tan(-)=,sin ,(,)252ππαββπ=∈，求tan(2)αβ-的值 变式训练：已知33cos(),4522πππαα+=≤<，求cos(2)4πα+的值 例9.万能公式的推导及应用 22222tan1tan 2tan 222sin ,cos ,tan 1tan 1tan 1tan 222ααααααααα-===++-tan 24sin 23cos 25tan 2αααα=-+-已知，求． 变式训练：已知1,tan 2202παα<=<，求sin ,cos ,tan ααα的值。
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课题十：二倍角公式的应用，推导万能公式
教学第一环节：衔接阶段
● 回收上次课的教案，检查学生的作业，做判定。
● 了解家长的反馈意见
● 通过交流，了解学生思想动态，稳定学生的学习情绪
● 了解学生上次学习的情况，查漏补缺，为后面的备课方向提供依据 教学第二个环节：教学内容
一、解答本章开头的问题：
令∠AOB = θ , 则AB = a cos θ OA = a sin θ
∴S 矩形ABCD = a cos θ×2a sin θ = a 2sin2θ≤a 2 当且仅当 sin2θ = 1，
即2θ = 90︒，θ = 45︒时, 等号成立。
此时，A,B 两点与O 点的距离都是a 2
2 二、半角公式：在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的
例一、求证：α
+α-=αα+=αα-=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 222 证：1︒在 α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2
α代α 即得： 2sin 21cos 2α-=α ∴2
cos 12sin 2α-=α 2︒在 1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2
α代α 即得： 12
cos 2cos 2-α=α ∴2cos 12cos 2α+=α 3︒以上结果相除得：α
+α-=αcos 1cos 12tan 2 注意：1︒左边是平方形式，只要知道2
α角终边所在象限，就可以开平方。
2︒公式的“本质”是用α角的余弦表示2
α角的正弦、余弦、正切 3︒上述公式称之谓半角公式（大纲规定这套公式不必记忆） α+α-±=αα+±=αα-±=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 4︒还有一个有用的公式：α
α-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan
（课后自己证） 三、万能公式 B C a θ A O D
例二、求证：2
tan 12tan 2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan
2sin 2
222α-α=αα+α-=αα+α=α 证：1︒2
tan 12tan 22cos 2sin 2cos 2sin 21sin sin 2
22α+α=α+ααα=α=α 2︒2
tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1cos cos 2
2
2222α+α-=α+αα-α=α=α 3︒2
tan 12tan 22sin 2cos 2cos 2sin 2cos sin tan 2
22α-α=α-ααα=αα=α 注意：1︒上述三个公式统称为万能公式。
（不用记忆）
2︒这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切
即：)2
(tan αf 所以利用它对三角式进行化简、求值、证明， 可以使解题过程简洁
3︒上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小 教学第三个环节：知识总结 万能公式：2
tan 12tan 2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan 2sin 2
222α-α=αα+α-=αα+α=α 教学第四个环节：知识应用环节 已知5cos 3sin cos sin 2-=θ
-θθ+θ，求3cos 2θ + 4sin 2θ 的值。
解：∵5cos 3sin cos sin 2-=θ
-θθ+θ ∴cos θ ≠ 0 (否则 2 = - 5 ) ∴53tan 1tan 2-=-θ+θ 解之得：tan θ = 2 ∴原式572
122421)21(3tan 1tan 24tan 1)tan 1(3222222=+⨯⨯++-=θ+θ⨯+θ+θ-= 教学第五个环节：布置作业
1、若α、β、γ为锐角，求证：α + β + γ = 4
π 2、求函数x x x f sin cos )(2+=在]4
,4[ππ-上的最小值。