2010年高考试题数学试题(福建卷)文科数学

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2010福建省高考理科数学试卷及答案(文字版)

2010年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工农医类）第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.计算sin 043cos 013-cos 043sin 013的结果等于A.12B.C.2 2.以抛物线24y χ=的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为A.2220y χχ++=B.220y χχ++=C.220y χχ+-=D.2220y χχ+-=3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n s 。

若111a =-，466a a +=-，则当ns 取最小值时，n 等于A.6B.7C.8D.94.函数223,021,0(){n f χχχχχχ+-≤-+>=，的零点个数为 A.0 B.1 C.2 D.35.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于A.2B.3C.4D.56.如图，若Ω是长方体ABCD-1111A B C D 被平面EFCH 截去几何体EFCH 11B C 后得到的几何体，其中E 为线段11A B 上异于1B 的点，F 为线段1BB 上异于1B 的点，且EH//11A D ，则下列结论中不正确．．．的是A.EH//FGB.四边开EFGH 是矩形C.Ω是棱柱D.Ω是棱台 7.若点O 和点F （-2，0）分别为双曲线()22210y a a χ-=>的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任产电一点，则OP FP ⋅的取值范围为A.3⎡-⎣B.3⎡+⎣C.7,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦D.7,4⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦8.设不等式组1,230χχγγχ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域是1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线3490χγ+-=对称，对于1Ω中的任意A 与2Ω中的任意点B ，||AB 的最小值等于A.285B.4C. 125D.2 9.对于复数．．a,b,c,d ,若集合{,,,}S a b c d =具有性质“对任意χ，S γ∈，必有S χγ∈”，则当221,1a b c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩时，b c d ++等于A.1B.-1C.0D.i10.对于具有相同定义域D 的函数()f χ和()g χ，若存在函数()h k b χχ=+（,k b 为常数），对任给的正数m ，存在相应的0D χ∈，使得当D χ∈且0χχ>时，总有0()()0()()f h m h g m χχχχ<-<⎧⎨<-<⎩则称直线l:y =k χ+b 为曲线()y f χ=与()y g χ=的“分渐近线”。

2010年福建省高考数学试卷(文科)答案与解析

2010年福建省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•福建）若集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x＞2}，则A∩B等于（）A．{x|2＜x≤3}B．{x|x≥1}C．{x|2≤x＜3} D．{x|x＞2}【考点】交集及其运算．【分析】结合数轴直接求解．【解答】解：如图，故选A．【点评】本题考查集合的交运算，属容易题，注意结合数轴，注意等号．2．（5分）（2010•福建）计算1﹣2sin222.5°的结果等于（）A．B．C．D．【考点】二倍角的余弦．【专题】三角函数的求值．【分析】利用二倍角公式把要求的式子化为cos45°，从而可得结果．【解答】解：由二倍角公式可得1﹣2sin222.5°=cos（2×22.5°）=cos45°=，故选B．【点评】本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题．3．（5分）（2010•福建）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其侧面积等于（）A．B．2 C．2 D．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力．由图可知，棱柱的底面边为2，高为1，代入柱体体积公式易得答案．【解答】解：由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，∴底面是边长为2的等边三角形，故底面积S==，侧面积为3×2×1=6，故选D．【点评】根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何的表（侧/底）面积或体积，是高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状，一般规律是这样的：如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N棱锥（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台．4．（5分）（2010•福建）i是虚数单位，等于（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】复数的分子、分母化简，可得结果．【解答】解：=，故选C．【点评】本题考查复数的基本运算，考查计算能力．5．（5分）（2010•福建）设x，y∈R且，则z=x+2y的最小值等于（）A．2 B．3 C．5 D．9【考点】简单线性规划的应用．【专题】压轴题．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值．【解答】解：约束条件，对应的平面区域如下图示：当直线Z=x+2y过点（1，1）时，z=x+2y取最小值3，故选B．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．6．（5分）（2010•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【专题】图表型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S 的值，并输出满足条件S＞11时，变量i的值．模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：a S i 是否继续循环循环前/0 1/第一圈 2 2 2 是第二圈8 10 3 是第三圈24 34 4 否此时i值为4故选C【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．7．（5分）（2010•福建）函数的零点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】分段解方程，直接求出该函数的所有零点．由所得的个数选出正确选项．【解答】解：当x≤0时，令x2+2x﹣3=0解得x=﹣3；当x＞0时，令﹣2+lnx=0解得x=100，所以已知函数有两个零点，故选：B．【点评】本题考查函数零点的概念，以及数形结合解决问题的方法，只要画出该函数的图象不难解答此题．8．（5分）（2010•福建）若向量=（x，3）（x∈R），则“x=4”是“||=5”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】向量的模．【分析】当x=4时能够推出|a|=5成立，反之不成立，所以是充分不必要条件．【解答】解：由x=4得=（4，3），所以||=5成立反之，由||=5可得x=±4 所以x=4不一定成立．故选A．【点评】本题考查平面向量和常用逻辑用语等基础知识．9．（5分）（2010•福建）若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．91和91.5 D．92和92【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【专题】图表型．【分析】根据茎叶图写出这组数据，把数据按照从大到小排列，最中间的一个或最中间两个数字的平均数就是中位数，平均数只要代入平均数的公式得到结果．【解答】解：由茎叶图可知：这组数据为87，89，90，91，92，93，94，96，所以其中位数为=91.5，平均数为（87+89+90+91+92+93+94+96）=91.5，故选A．【点评】本题考查茎叶图的基础知识，考查同学们的识图能力，考查中位数与平均数的求法．在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．10．（5分）（2010•福建）将函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象向左平移个单位．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于（）A．4 B．6 C．8 D．12【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】由题意将函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象向左平移个单位．若所得图象与原图象重合，说明是函数周期的整数倍，求出ω与k，的关系，然后判断选项．【解答】解：因为将函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象向左平移个单位．若所得图象与原图象重合，所以是已知函数周期的整数倍，即k•=（k∈Z），解得ω=4k（k∈Z），A，C，D正确．故选B．【点评】本题考查三角函数的周期、图象变换等基础知识，是已知函数周期的整数倍，是本题解题关键．11．（5分）（2010•福建）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．8【考点】椭圆的标准方程；平面向量数量积的含义与物理意义．【专题】综合题；压轴题．【分析】先求出左焦点坐标F，设P（x0，y0），根据P（x0，y0）在椭圆上可得到x0、y0的关系式，表示出向量、，根据数量积的运算将x0、y0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最大值，故选C．【点评】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力．12．（5分）（2010•福建）设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x∈S时，有x2∈S．给出如下三个命题：①若m=1，则S={1}；②若m=﹣，则≤n≤1；③若n=，则﹣≤m≤0．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】元素与集合关系的判断；集合的确定性、互异性、无序性．【专题】集合．【分析】根据题中条件：“当x∈S时，有x2∈S”对三个命题一一进行验证即可：对于①m=1，得，②，则对于③若，则，最后解出不等式，根据解出的结果与四个命题的结论对照，即可得出正确结果有几个．【解答】解：由定义设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x∈S时，有x2∈S知，符合定义的参数m的值一定大于等于1或小于等于0，惟如此才能保证m∈S时，有m2∈S即m2≥m，符合条件的n的值一定大于等于0，小于等于1，惟如此才能保证n∈S时，有n2∈S即n2≤n，正对各个命题进行判断：对于①m=1，m2=1∈S故必有可得n=1，S={1}，②m=﹣，m2=∈S则解之可得≤n≤1；对于③若n=，则解之可得﹣≤m≤0，所以正确命题有3个．故选D【点评】本小题考查集合的运算及不等式和不等式组的解法．属于创新题，解答的关键是对新定义的概念的正确理解，列出不等关系转化为不等式问题解决．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2010•福建）若双曲线﹣=1（b＞0）的渐近线方程式为y=，则b等于 1 ．【考点】双曲线的简单性质；函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题．【分析】根据双曲线的性质求得渐近线方程的表达式求得b．【解答】解：由双曲线方程可得渐近线方程为y=±，又双曲线的渐近线方程式为y=，∴，解得b=1．故答案为1【点评】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题．14．（4分）（2010•福建）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于60 ．【考点】频率分布直方图．【专题】计算题．【分析】根据比例关系设出各组的频率，在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，求出前三组的频率，再频数和建立等量关系即可．【解答】解：设第一组至第六组数据的频率分别为2x，3x，4x，6x，4x，x，则2x+3x+4x+6x+4x+x=1，解得，所以前三组数据的频率分别是，故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=60．故答案为60．【点评】本小题考查频率分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键，属于基础题．15．（4分）（2010•福建）对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：其中为凸集的是②③（写出所有凸集相应图形的序号）．【考点】元素与集合关系的判断．【专题】新定义；集合．【分析】由凸集的定义，可取一些线段试一下，若有不在图形内部的点即可排除．【解答】解：①中取最左边的点和最右边的点的连线，不在集合中，故不为凸集；④中取两圆的公切线，不在集合中，故不为凸集；②③显然符合．故答案为：②③．【点评】本题为新定义题，正确理解定义是解决问题的关键，难度不大．16．（4分）（2010•福建）观察下列等式：①cos2α=2cos2α﹣1；②cos4α=8cos4α﹣8cos2α+1；③cos6α=32cos6α﹣48cos4α+18cos2α﹣1；④cos8α=128cos8α﹣256cos6α+160cos4α﹣32cos2α+1；⑤cos10α=mcos10α﹣1280cos8α+1120cos6α+ncos4α+pcos2α﹣1；可以推测，m﹣n+p= 962 ．【考点】类比推理．【专题】压轴题；规律型．【分析】本小题考查三角变换、类比推理等基础知识，考查同学们的推理能力等．观察等式左边的α的系数，等式右边m，n，p的变化趋势，我们不难归纳出三个数的变化规律，进而得到结论．【解答】解：因为2=21，8=23，32=25，…，128=27所以m=29=512；每一行倒数第二项正负交替出现，1×2，﹣2×4，3×6，﹣4×8，5×10，可推算出p=50，然后根据每行的系数和都为1，可得n=﹣400．所以m﹣n+p=962．故答案为：962．【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2010•福建）数列{a n}中，a1=，前n项和S n满足S n+1﹣S n=（）n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n以及前n项和S n；（Ⅱ）若S1，t（S1+S2），3（S2+S3）成等差数列，求实数t的值．【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差关系的确定．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）根据a n+1=S n+1﹣S n求得a n+1进而根据a1求得数列{a n}的通项公式，根据等比数列的求和公式求得前n项的和．（Ⅱ）根据求得（1）的前n项和的公式，求得S1，S2，S3，进而根据等差中项的性质求得t．【解答】解：（Ⅰ）由S n+1﹣S n=（）n+1得（n∈N*）；又，故（n∈N*）从而（n∈N*）．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，．从而由S1，t（S1+S2），3（S2+S3）成等差数列可得：，解得t=2．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式和求和公式．属基础题．18．（12分）（2010•福建）设平面向量=（m，1），=（2，n），其中m，n∈{1，2，3，4}．（Ⅰ）请列出有序数组（m，n）的所有可能结果；（Ⅱ）记“使得m⊥（m﹣n）成立的（m，n）”为事件A，求事件A发生的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；计数原理的应用．【专题】计算题．【分析】（I）按照第一个数字从小变大的顺序，列举出所有的事件，共有16种结果．（II）根据向量垂直的充要条件，列出关于m，n的关系式．把关系式整理成最简单的形式，根据所给的集合中的元素，列举出所有满足条件的事件，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：（I）有序数对（m，n）的所有可能结果是：（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）共有16个，（II）∵m⊥（m﹣n），∴m2﹣2m+1﹣n=0，∴n=（m﹣1）2∵m，n都是集合{1，2，3，4}的元素．∴事件A包含的基本事件为（2，1）和（3，4），共有2个，又基本事件数是16，∴所求的概率是P==【点评】本题主要考查概率古典概型，考查向量垂直的充要条件，考查运算求解能力、应用意识，是一个比较好的题目，这种题目值得同学们仔细研究．不要没有规律的胡乱写出来，防止漏掉．19．（12分）（2010•福建）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（1，﹣2）．（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】（I）将（1，﹣2）代入抛物线方程求得p，则抛物线方程可得，进而根据抛物线的性质求得其准线方程．（II）先假设存在符合题意的直线，设出其方程，与抛物线方程联立，根据直线与抛物线方程有公共点，求得t 的范围，利用直线AO与L的距离，求得t，则直线l的方程可得．【解答】解：（I）将（1，﹣2）代入抛物线方程y2=2px，得4=2p，p=2∴抛物线C的方程为：y2=4x，其准线方程为x=﹣1（II）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=﹣2x+t，由得y2+2y﹣2t=0，∵直线l与抛物线有公共点，∴△=4+8t≥0，解得t≥﹣又∵直线OA与L的距离d==，求得t=±1∵t≥﹣∴t=1∴符合题意的直线l存在，方程为2x+y﹣1=0【点评】本题小题主要考查了直线，抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合的思想，化归与转化思想，分类讨论与整合思想．20．（12分）（2010•福建）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E 与B1不重合），且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G（Ⅰ）证明：AD∥平面EFGH（Ⅱ）设AB=2AA1=2a，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE﹣D1DCGH 内的概率为p，当点E、F分别在棱A1B1，B1B上运动且满足EF=a时，求p的最小值．【考点】直线与平面平行的判定；几何概型．【专题】综合题；空间位置关系与距离；概率与统计．【分析】（Ⅰ）证明AD∥平面EFGH，只需证明AD∥EH；（Ⅱ）根据几何槪型的概率公式，结合基本不等式求出取自于几何体A1ABFE﹣D1DCGH内的概率为p的最小值，即可求出概率．【解答】（Ⅰ）证明：∵AD∥A1D1，EH∥A1D1，∴AD∥EH，∵AD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH∴AD∥平面EFGH；（Ⅱ）解：根据几何槪型的概率公式可知，点取自于几何体A1ABFE﹣D1DCGH内的概率为P=，∴若p最小，则只需几何体A1ABFE﹣D1DCGH的体积最小，即五边形A1ABFE的面积最小，等价为三角形EFB1的面积最大，∵EF=a，∴=a2，则S△B1EF=≤（B1E2+B1F2）=，当且仅当B1F=B1E时取等号，此时五边形A1ABFE的面积最小为2a2﹣=，则取自于几何体A1ABFE﹣D1DCGH内的概率为P==．【点评】本题主要考查线面平行，考查几何槪型的概率计算，根据体积槪型结合基本不等式求出最值是解决本题的关键．21．（12分）（2010•福建）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（Ⅱ）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；（Ⅲ）是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】解三角形的实际应用．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）先假设相遇时小艇的航行距离为S，根据余弦定理可得到关系式S=整理后运用二次函数的性质可确定答案．（2）先假设小艇与轮船在某处相遇，根据余弦定理可得到（vt）2=202+（30t）2﹣2•20•30t•cos（90°﹣30°），再由t的范围可求得v的最小值．（3）根据（2）中v与t的关系式，设然后代入关系式整理成400u2﹣600u+900﹣v2=0，将问题等价于方程有两个不等正根的问题，进而得解．【解答】解：（1）设相遇时小艇的航行距离为S海里，则S===故当t=时，，v=即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．（2）设小艇与轮船在某处相遇由题意可得：（vt）2=202+（30t）2﹣2•20•30t•cos（90°﹣30°）化简得：=400由于0＜t，即所以当时，v取得最小值10即小艇航行速度的最小值为10海里/小时（3）由（2）知：，设（u＞0）于是400u2﹣600u+900﹣v2=0①小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程①应有两个不等正根，即，解得15＜v＜30所以，v 的取值范围是（15，30）【点评】本题主要考查解三角形、二次函数等基础知识，考查推理论证能力，抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归思想．22．（14分）（2010•福建）中小学生的视力状况受到全社会的广泛关注，某市有关部门对全市3万名高中生的视力状况进行一次抽样调查统计，所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图，从左至右五个小组的频率之比依次是2：4：9：7：3，第五小组的频数是36．（1）本次调查共抽测了300 名学生；（2）本次调查抽测的数据的中位数应在第三小组；（3）如果视力在4.9﹣5.1（含4.9、5.1）均属正常，那么全市高中生视力正常的约有8400 人．【考点】频率分布直方图．【专题】图表型．【分析】（1）先求出每一份有多少人，36÷3=12（人），然后求出总人数12×（2+4+9+7+3）=300（人）；（2）根据中位数的定义，第150和第151个同学视力的平均数是这组数据的中位数，通过计算落在第三小组；（3）先算出300人中视力正常的有多少人，再计算全市高中生视力正常的约有多少人．【解答】解：（1）36÷=300（名）答：本次调查共抽测了300名学生．（2）中位数在第三小组；∵这300个数据的中位数是从小到大排列后的第150和第151个数的平均数，而第150和第151个数位于第三小组∴中位数在第三小组．（3）∵视力在4.9﹣5.1范围内的人有84人，×30000=8400（人）答：全市高中生视力正常的约有8400人．故答案为：300；三；8400．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．。

2010年高考数学(文)真题——福建卷(教师版,含解析)

2010年普通高等学校招生统一考试（福建卷）数学文一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1、若集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＞2}，则A ∩B 等于( )A 、{x |2＜x ≤3} B、{x |x ≥1} C 、{x |2≤x ＜3} D 、{x |x ＞2}1、解析A 画出数轴，容易求得A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}，需要注意不等号中是否包含等号．2、计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A 、12 B 、22 C 、33 D 、322、解析：B 1－2sin 222.5°＝cos45°＝22. 3、若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于( ) A 、3 B 、2 C 、23 D 、63、解析：D 根据题意可知，该棱柱的底面是边长为2的正三角形，高为1，侧棱和底面垂直，故其侧面积为2³1³3＝6.4、 i 是虚数单位，(1+i 1i－)4等于( ) A 、i B 、－i C 、1 D 、－1 4、解析：C 21+i (1+i)2i==1i (1i)(1+i)2－－＝i ，∴(1+i 1i －)4＝i 4＝1.故选C. 5、若x ，y ∈R，且1,230,,x x y y x ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩－则z ＝x ＋2y 的最小值等于( )A 、2B 、3C 、5D 、9 5、解析：B 由z ＝x ＋2y 得y ＝－12x ＋12z ，当直线经过直线x ＝1 和y ＝x 的交点A (1,1)时，截距z 取得最小值，故z ＝1＋2＝3.6、阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于( ) A 、2 B 、3 C 、4 D 、55、解析：C 初始值：s ＝0，i ＝1；第一步：a ＝1²21＝2，s ＝2，i ＝2；第二步：a ＝2²22＝8，s ＝2＋8＝10，i ＝3；第三步：a ＝3²23＝24，s ＝10＋24＝34，i ＝4，故输出4.7、函数f (x )＝223,02ln ,0x x x x x ⎧+≤⎨+>⎩－－的零点个数为( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、37、解析：C 由f (x )＝0，得2230x x x ≤⎧⎨+=⎩－，或02ln 0x x >⎧⎨+=⎩－，解之可得x ＝－3或x ＝e 2，故零点个数为2，选C 项．8、若向量a ＝(x,3)(x ∈R)，则“x ＝4”是“|a |＝5”的( )A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分又不必要条件8、解析：A 由|a |2＝x 2＋9＝25解得x ＝±4，故x ＝4是|a |＝5的充分不必要条件，选A 9、若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )A 、91.5和91.5B 、91.5和92C 、91和91.5D 、92和929、解析：A 按照从小到大的顺序排列为87,89,90,91,92,93,94,96. ∵有8个数据，∴中位数是中间两个的平均数：91922+＝91.5，平均数：87899091929394968+++++++＝91.5，故选A 项．10、将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能．．．等于( ) A 、4 B 、6 C 、8 D 、12 10、解析：B 向左平移π2个单位后的函数解析式为f (x )＝sin(ωx ＋π2ω＋φ)，π2是函数f (x )周期的整数倍，即2πω²n ＝π2 (n ∈N *)，则ω＝4n ，故其值不可能为6.11、若点O 和点F 分别为椭圆24x ＋23y ＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为( ) A 、2 B 、3 C 、6 D 、811、解析：C 由题意得F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)，则20y ＝3(1－204x )(－2≤x 0≤2)，OP FP ⋅＝x 0(x 0＋1)＋20y ＝20x ＋x 0＋20y ＝20x ＋x 0＋3(1－204x )＝14 (x 0＋2)2＋2，当x 0＝2时，OP FP ⋅取得最大值为6.12、设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题： ①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则14≤l ≤1；③若l ＝12，则－22≤m ≤0. 其中正确命题的个数是( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、312、解析：D 对于①，m ＝1，则2,1,l l l ⎧≤⎨≥⎩ 解之可得l ＝1，故S ＝{1}，①正确；对于②，m ＝－12，则2,1,4l l l ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩ 解之可得14≤l ≤1，②正确；对于③，l ＝12，则22,1,2m m m ⎧≥⎪⎨≥⎪⎩ 解之可得－22≤m ≤0，③正确．故正确的答案有3个．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．13、若双曲线24x －22y b ＝1(b ＞0)的渐近线方程为y ＝±12x ，则b 等于__________．13、解析：椭圆2224x y b －＝1的渐近线方程为y ＝±2b x ，渐近线方程为y ＝12x ，故b ＝1.14、将容量为n 的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n 等于________．14、解析：前三组的频率是23420++＝920，则n ＝27920＝60.15、对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集．给出平面上4个点集的图形如下(阴影区域及其边界)：其中为凸集的是_________(写出所有凸集相应图形的序号)． 15、解析：答案：②③根据题意，在①④中任取两点，连接起来，如图所示，不符合题意．16、观察下列等式：①cos2α＝2cos 2α－1；②cos4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1. 可以推测，m －n ＋p ＝__________.16、解析：观察每一个等式中最高次幂的系数：2,8,32,128，m ，构成一个等比数列，公比为4，故m ＝128³4＝512.观察每一个等式中cos 2α的系数：2，－8,18，－32，p ，规律是1³2，－2³4,3³6，－4³8，故p ＝5³10＝50.每一个式子中的系数和为1，故m －1 280＋1 120＋n ＋p －1＝1，代入m 和p ，可求得n ＝－400，故m －n ＋p ＝512＋400＋50＝962.三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（12分）数列{a n }中，a 1＝13，前n 项和n S 满足111()3n n n S S ++-=(n ∈N *) （I ）求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n（II ）若S 1，t （S 1+ S 2），3（S 2+ S 3）成等差数列，求实数t 的值.17、解：(1)由S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1，得a n ＋1＝(13)n ＋1(n ∈N *)；由a 1＝13，故a n ＝(13)n (n ∈N *)．从而，S n ＝111()33113n ⎡⎤⨯⎢⎥⎣⎦－－＝12 [1－(13)n ](n ∈N *)．(2)由(1)可得S 1＝13，S 2＝49，S 3＝1327，从而由S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列可得13＋3³(49＋1327)＝2³(13＋49)t ，解得t ＝2.18.（12分）设平面向量a m =（m ，1），b n =（2，n ），其中m ，n ∈{1,2,3,4}. （I ）请列出有序数组（m ，n ）的所有可能结果；（II ）记“使得a m ⊥（a m －b n ）成立的（m ，n ）”为事件A ，求事件A 发生的概率.18、解：(1)有序数组(m ，n )的所有可能结果为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．(2)由a m ⊥(a m －b n )得m 2－2m ＋1－n ＝0，即n ＝(m －1)2.由于m ，n ∈{1,2,3,4}，故事件A 包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个．又基本事件的总数为16，故所求的概率为P (A )＝21168=. 19、（12分）已知抛物线C 的方程C ：y 2 =2 p x （p ＞0）过点A （1，-2）. （I ）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（II ）是否存在平行于OA （O 为坐标原点）的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由。

2011年高考福建省数学试卷-文科(含详细答案)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文科）本试卷第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至3页，第II 卷4至6页。

满分150分。

注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II 卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

参考公式：样本数据12,,,n x x x …的标准差 s =．其中x 为样本平均数．柱体体积公式V Sh =其中S 为底面面积，h 为高锥体公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高球的表面积、体积公式24S πR =，343V πR =，其中R 为球的半径．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。

1．若集合{}1,0,1M =-，{}0,1,2N =，则M N ∩等于（）．A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2- 【解】{}0,1M N =∩．故选A ． 2．i 是虚数单位31i +等于（）.A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i - 【解】31i 1i +=-．故选D ．3．若a ∈R ，则“1a =”是“1a =”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【解】当1a =时，有1a =．所以“1a =”是“1a =”的充分条件，反之，当1a =时，1a =±，所以“1a =”不是“1a =”的必要条件．故选A ． 4．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。

福建卷,高考文科数学试卷

2010年普通高等学校招生全国统一考试·文科数学(福建卷)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的.1.(2010福建,文1)若集合A ={x |1≤x ≤3},B ={x |x >2},则A ∩B 等于（）A.{x |2<x ≤3}B.{x |x ≥1}C.{x |2≤x <3}D.{x |x >2}答案:A2.(2010福建,文2)计算1－2sin 222.5°的结果等于（）A.21 B.22 C.33 D.23答案:B3.(2010福建,文3)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积．．．等于（）A.3B.2C.23D.6答案:D 4.(2010福建,文4)i 是虚数单位,(i -1i 1+)4等于（）A.iB.－iC.1D.－1答案:C 5.(2010福建,文5)若x ,y ∈R ,且⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+−≥,,032,1x y y x x 则z =x +2y 的最小值等于（）A.2B.3C.5D.9答案:B6.(2010福建,文6)阅读下图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的i 值等于（）A.2B.3C.4D.5答案:C7.(2010福建,文7)函数f (x )=⎩⎨⎧>+−≤−+0,ln 2,0,322x x x x x 的零点个数为（）A.3B.2C.1D.0答案:B8.(2010福建,文8)若向量a =(x ,3)(x ∈R ),则“x =4”是“|a |=5”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案:A9.(2010福建,文9)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均数分别是（）8 9 79 3 1 6 4 0 2A.91.5和91.5B.91.5和92C.91和91.5D.92和92答案:A 10.(2010福建,文10)将函数f (x )=sin(ωx +φ)的图象向左平移2π个单位.若所得图象与原图象重合,则ω的值不可能．．．等于（）A.4B.6C.8D.12答案:B 11.(2010福建,文11)若点O 和点F 分别为椭圆3422y x +=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则的最大值为（）A.2B.3C.6D.8答案:C12.(2010福建,文12)设非空集合S ={x |m ≤x ≤l }满足:当x ∈S 时,有x 2∈S .给出如下三个命题:①若m =1,则S ={1};②若m =－21,则41≤l ≤1;③若l =21,则－22≤m ≤0.其中正确命题的个数是（）A.0 B.1C.2D.3答案:D 第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.13.(2010福建,文13)若双曲线42x －22b y =1(b >0)的渐近线方程为y =±21x ,则b 等于________________.答案:114.(2010福建,文14)将容量为n 的样本中的数据分成6组,绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1,且前三组数据的频数之和等于27,则n 等于________________.答案:6015.(2010福建,文15)对于平面上的点集Ω,如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω,则称Ω为平面上的凸集.给出平面上4个点集的图形如下(阴影区域及其边界):① ②③其中为凸集的是________________(写出所有凸集相应图形的序号).答案:②③16.(2010福建,文16)观察下列等式:①cos2α=2cos 2α－1;②cos4α=8cos 4α－8cos 2α+1;③cos6α=32cos 6α－48cos 4α+18cos 2α－1;④cos8α=128cos 8α－256cos 6α+160cos 4α－32cos 2α+1;⑤cos10α=m cos 10α－1280cos 8α+1120cos 6α+n cos 4α+p cos 2α－1.可以推测,m －n +p =________________.答案:962三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(2010福建,文17)数列{a n }中,a 1=31,前n 项和S n 满足1+n S －S n =(31)n+1(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式a n ,以及前n 项和S n ;(2)若S 1,t (S 1+S 2),3(S 2+S 3)成等差数列,求实数t 的值.解:(1)由S n+1－S n =(31)n +1,得a n +1=(31)n +1(n ∈N *); 由a 1=31,故a n =(31)n (n ∈N *).从而,S n =311)31(131−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−×n =21［1－(31)n ］(n ∈N *).(2)由(1)可得S 1=31,S 2=94,S 3=2713.从而由S 1,t (S 1+S 2),3(S 2+S 3)成等差数列可得31+3×(94+2713)=2×(31+94)t ,解得t =2.18.(2010福建,文18)设平面向量a m =(m ,1),b n =(2,n ),其中m ,n ∈{1,2,3,4}.(1)请列出有序数组(m ,n )的所有可能结果;(2)记“使得a m ⊥(a m －b n )成立的(m ,n )”为事件A ,求事件A 发生的概率.解:(1)有序数组(m ,n )的所有可能结果为:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个.(2)由a m ⊥(a m －b n )得m 2－2m +1－n =0,即n =(m －1)2.由于m ,n ∈{1,2,3,4},故事件A 包含的基本事件为(2,1)和(3,4),共2个.又基本事件的总数为16,故所求的概率为P (A )=162=81.19.(2010福建,文19)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)过点A (1,－2).(1)求抛物线C 的方程,并求其准线方程;(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ,使得直线l 与抛物线C 有公共点,且直线OA 与l 的距离等于55?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.解:(1)将(1,－2)代入y 2=2px ,得(－2)2=2p ·1,所以p =2.故所求的抛物线C 的方程为y 2=4x ,其准线方程为x =－1.(2)假设存在符合题意的直线l ,其方程为y =－2x +t .由⎩⎨⎧=+−=,4,22x y t x y 得y 2+2y －2t =0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点,所以Δ=4+8t ≥0,解得t ≥－21. 另一方面,由直线OA 与l 的距离d =55可得515||=t ,解得t =±1. 因为－1∉［－21,+∞),1∈［－21,+∞),所以符合题意的直线l 存在,其方程为2x +y －1=0.20.(2010福建,文20)如图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、H 分别是棱A 1B 1、D 1C 1上的点(点E 与B 1不重合),且EH ∥A 1D 1.过EH 的平面与棱BB 1,CC 1相交,交点分别为F 、G.1(1)证明AD ∥平面EFGH ;(2)设AB =2AA 1=2a .在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机选取一点,记该点取自于几何体A 1ABFE —D 1DCGH 内的概率为p .当点E 、F 分别在棱A 1B 1、B 1B 上运动且满足EF =a 时,求p 的最小值.解法一:(1)证明:在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AD ∥A 1D 1.1又∵EH ∥A 1D 1,∴AD ∥EH .∵AD 平面EFGH ,EH ⊂平面EFGH ,∴AD ∥平面EFGH .(2)设BC =b ,则长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积V =AB ·AD ·AA 1=2a 2b ,几何体EB 1F —HC 1G 的体积V 1=(21EB 1·B 1F )·B 1C 1=2b EB 1·B 1F . ∵EB 12+B 1F 2=a 2, ∴EB 1·B 1F ≤22121F B EB +,当且仅当EB 1=B 1F =22a 时等号成立. 从而,V 1≤42b a . 故p =1－V V 1≥1－872422=b a ba ,当且仅当EB 1=B 1F =22a 时等号成立. 所以p 的最小值等于87.解法二:(1)同解法一.(2)设BC =b ,则长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积V =AB ·AD ·AA 1=2a 2b ,几何体EB 1F —HC 1G 的体积V 1=(21EB 1·B 1F )·B 1C 1=2b EB 1·B 1F . 设∠B 1EF =θ(0°≤θ<90°),则EB 1=a cos θ,B 1F =a sin θ.故EB 1·B 1F =a 2sin θcos θ=22a sin2θ≤22a ,当且仅当sin2θ=1,即θ=45°时等号成立. 从而V 1≤42b a . ∴p =1－V V 1≥1－872422=b a ba ,当且仅当sin2θ=1,即θ=45°时等号成立. 所以p 的最小值等于87.21.(2010福建,文21)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t 小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值;(3)是否存在v ,使得小艇以v 海里/小时的航行速度行驶,总能有两种不同的航行方向与轮船相遇?若存在,试确定v 的取值范围;若不存在,请说明理由.解法一:设相遇时小艇的航行距离为S 海里,则S =)3090cos(203024009002°−°⋅⋅⋅−+t t =4006009002+−t t =300)31(9002+−t .故当t =31时,S min =103,v =31310=303. 即小艇以303海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.(2)设小艇与轮船在B 处相遇.由题意可得(vt )2=202+(30t )2－2·20·30t ·cos(90°－30°),化简得v 2=2400t －t 600+900=400(t 1－43)2+675, 由于0<t ≤21,即t1≥2,所以当t1=2时,v 取得最小值1013,即小艇航行速度的最小值为1013海里/小时. (3)由(2)知v 2=2400t －t 600+900,设t 1=u (u >0), 于是400u 2－600u +900－v 2=0.(*)小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇,等价于方程(*)应有两个不等正根,即⎪⎩⎪⎨⎧>−>−,0900,0)-600(900 1600222v v 解得153<v <30. 所以v 的取值范围是(153,30).解法二:(1)若相遇时小艇的航行距离最小,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行方向为正北方向.30oA CO 设小艇与轮船在C 处相遇.在Rt △OAC 中,OC =20cos30°=103,AC =20sin30°=10.又AC =30t ,OC =vt .此时,轮船航行时间t =3010=31,v =31310=303,即小艇以303海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.(2)同解法一.(3)同解法一.22.(2010福建,文22)已知函数f (x )=31x 3－x 2+ax +b 的图象在点P (0,f (0))处的切线方程为y =3x －2.(1)求实数a ,b 的值;(2)设g (x )=f (x )+1−x m 是［2,+∞）上的增函数.①求实数m 的最大值;②当m 取最大值时,是否存在点Q ,使得过点Q 的直线若能与曲线y =g (x )围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,说明理由.解法一:(1)由f ′(x )=x 2－2x +a 及题设得⎩⎨⎧−==′,2)0(,3)0(f f 即⎩⎨⎧−==.2,3b a (2)①由g (x )=31x 3－x 2+3x －2+1−x m , 得g ′(x )=x 2－2x +3－2)1(−x m . ∵g (x )是［2,+∞］上的增函数,∴g ′(x )≥0在［2,+∞］上恒成立,即x 2－2x +3－2)1(−x m ≥0在［2,+∞)上恒成立. 设(x －1)2=t .∵x ∈［2,+∞),∴t ∈［1,+∞),即不等式t +2－tm ≥0在［1,+∞］上恒成立. 当m ≤0时,不等式t +2－tm ≥0在［1,+∞］上恒成立, 当m >0时,设y =t +2－tm ,t ∈［1,+∞). ∵y ′=1+2t m >0,∴函数y =t +2－t m 在［1,+∞)上单调递增. 因此y min =3－m .∵y min ≥0,∴3－m ≥0,即m ≤3.又m >0,故0<m ≤3.综上,m 的最大值为3.②由①得g (x )=31x 3－x 2+3x －2+13−x ,其图象关于点Q (1,31)成中心对称. 证明如下:∵g (x )=31x 3－x 2+3x －2+13−x ,∴g (2－x )=31(2－x )3－(2－x )2+3(2－x )－2+123−−x =－31x 3+x 2－3x +38+x−13, 因此,g (x )+g (2－x )=32. 上式表明,若点A (x ,y )为函数g (x )的图象上的任意一点,则点B (2－x ,32－y )也一定在函数 g (x )的图象上.而线段AB 中点恒为点Q (1,31),由此即知函数g (x )的图象关于点Q 成中心对称. 这也就表明,存在点Q (1,31),使得过点Q 的直线若能与函数g (x )的图象围成两个封闭形,则这两个封闭图形的面积总相等.解法二:(1)同解法一.(2)①由g (x )=31x 3－x 2+3x －2+1−x m , 得g ′(x )=x 2－2x +3－2)1(−x m . ∵g (x )在［2,+∞)上的增函数,∴g ′(x )≥0在［2,+∞)上恒成立,即x 2－2x +3－2)1(−x m ≥0在［2,+∞)上恒成立. 设(x －1)2=t .∵x ∈［2,+∞),∴t ∈［1,+∞),即不等式t +2－tm ≥0在［1,+∞)上恒成立. ∴m ≤t 2+2t 在［1,+∞)上恒成立.令y =t 2+2t ,t ∈［1,+∞),可得y min =3,故m ≤3,即m 的最大值为3.②由①得g (x )=31x 3－x 2+3x －2+13−x , 将函数g (x )的图象向左平移1个长度单位,再向下平移31个长度单位,所得图象相应的函数解析式为φ(x )=31x 3+2x +x3,x ∈(－∞,0)∪(0,+∞). 由于φ(－x )=－φ(x ),∴φ(x )为奇函数,故φ(x )的图象关于坐标原点成中心对称. 由此即得,函数g (x )的图象关于点Q (1,31)成中心对称. 这也就表明,存在点Q (1,31),使得过点Q 的直线若能与函数g (x )的图象围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等.。

从2010年高考福建数学试题看数学创新题的考查趋势

方式有不同的解决方法，但难易程度则不同，给考生创造了不同的思维空间．
② ＣＳＲ＝８ｏＲ一ｃｓＲ＋１Ｏ４ｃｓ８ｏ； ③ ｃｓａ＝３ｃｓｔ一８ｏｏ６２ｏ２２ｃｓＲ＋１ｃｓ口一；＇８ｏ１ ④ ｃｓＲ＝１８ｏ一５ｃｓＲ＋６ｃｓＲｏ８２ｃｓ２６ｏ１０ｏ
２．实现适度开放，突出创新意识开放性问题能给每一位考生提供不同的平台，让考生用自己掌握的知识、熟悉的方式去表达对问题的理解的机会．实现适度开放，突出创新意识，这是２１００年高考福建数学试题的又一亮点．许多试题的设计体现了创新的意识，并注意试题的适度开放．在题型、题量、结构、内容分布、重点知识保持稳定的基础上，在试题的选材、情景、设问、编
恒等式，可以求出ｍ、，Ｐ的值．当然这种解法不ｖ／、仅思维量大，而且运算量也较大．
定深度和广度、能体现数学素养的数学试题，注重问题的多样化，体现思维的发散性，反映数、形运动变化的特点，着重考查数学主体内容．文理数
ｊ
力，突出能力考查，充分发挥数学科考试的选拔功能和对中学数学教学的积极的导向作用．本文试图从２１００年高考福建数学试题出发，探讨数学创新题的考查趋势，以其在新一轮的高三数学复习教学中，让学生在知识和方法的应用中提高综合能力和基本素质，形成科学的世界观和方法论．

2010福建高考数学试卷及答案

2010福建高考数学试卷及答案【2010福建高考数学试卷及答案】第一部分选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知函数 f (x) = x² + ax + b 是一个顶点坐标为(1, m) 且与 x 轴交于两个不等点的抛物线（3 ≤ m ≤ 4），那么 a 是____, b 是____。

【解析】函数 f (x) 是一个抛物线，顶点坐标为（1，m），说明它的对称轴 x=1，那么抛物线的方程为f(x)=(x-1)²+a+1，把点（1，m）代入方程，可以得到二元一次方程m=(1-1)²+a+1，即a=m-1。

再由于抛物线与x轴交于两个不等点，说明抛物线的表达式f(x)=x²+ax+b，在抛物线上方，即对应其自变量x的取值，函数值全部为正，即f(x)>0。

根据这一条件，可以得出b>0。

所以该题的解为：a=m-1，b>0. 【答案】a=m-1，b>0.2. 下列数列按顺序排列是________。

n₁=1，n₂=1，n₃=—5，n₄=—1，n₅=5，n₆=1，n₇=—5，n₈=________。

【解析】观察数列可以发现，n₁和n₂都是1，后面的每两项的正负号和数值相同，且前一对正负号后面都是负数和正数。

所以根据这个规律，数列继续下去应该是—5，5，—5，5，________。

所以该题的解为：5.【答案】5.3. 设 a ≠ 1，若 a² + 2a + 2 = 0, 则 a³ + 2a²+ 2a =________。

【解析】将 a³ + 2a² + 2a 写成 a(a² + 2a + 2) 的形式，可以看出括号里的内容与题干中的方程相同。

所以 a³ +2a² + 2a = a × （—2a） = （—2a²）.【答案】（—2a²）.4. 半径为 r 的水管里沟能流过最大的圆盘的半径是________。

2010年福建卷高考理科数学试题真题及答案

2010年高考福建数学试题（理科解析）本文来自学联网第I卷（选择题共60分）本文来自学联网一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

本文来自学联网1．的值等于（）本文来自学联网A. B. C. D. 本文来自学联网【答案】A本文来自学联网【解析】原式= ，故选A。

本文来自学联网【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数，考查基础知识，属保分题。

本文来自学联网2．以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )本文来自学联网A. B. C. D. 本文来自学联网【答案】D本文来自学联网【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为，故所求圆的方程为，即，选D。

本文来自学联网【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。

本文来自学联网3．设等差数列的前n项和为,若, ,则当取最小值时,n等于本文来自学联网A.6B.7C.8D.9本文来自学联网【答案】A本文来自学联网【解析】设该数列的公差为，则，解得，本文来自学联网所以，所以当时，取最小值。

本文来自学联网【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。

本文来自学联网4．函数的零点个数为( )本文来自学联网A.0B.1C.2D.3本文来自学联网【答案】C本文来自学联网【解析】当时，令解得；本文来自学联网当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C。

本文来自学联网【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。

本文来自学联网5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的值等于（）本文来自学联网A.2B.3C.4D.5本文来自学联网【答案】C本文来自学联网【解析】由程序框图可知，该框图的功能是本文来自学联网输出使和本文来自学联网时的的值加1，因为，，本文来自学联网所以当时，本文来自学联网计算到，故输出的是4，选C。

一道高考题的解法探讨与教学启示——2010年高考数学福建卷文科第16题

．
ＣＳｓｔＣ．ＣＳｓ＋＋ｉｓ口，Ｏｉ２？ｉＯｉｎ＇ｏｎ … ｃ．ｎ根＋ｍｉ
和解方程知识可解得，、Ｐ的值，也应该是考生在ｚ这
考试中解决该题的基本方法．（解略，可见数学详通讯２１．１１０１１、２上半月（生）学）
６ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
福建中学数学
２１年第３期０１
比较困难（文下面将展开论述）本，因此在具体解决时应从本题的结构入手，运用合情推理，联想二项式定理，运用二项式系数的赋值法思想，结合数列
以及依据二项式定理（Ｏ＋ｓ）ＣＳ＋．ＣＳｉｉ＝Ｏｉｎ。
试题强调回归课本知识，对双基考查更深入．在不
确，给予证明，如果不正确，举例说明．（ Ⅲ）是否存在非零实数，使得（Ｉ）中的
１
直线与双曲线 ÷ 一１交于一点Ｐ，且法以及数学思想方法的灵活应用，并显现出一定的Ｙ＝相４
ＣＳａ＋１２ｃｓａ＋１ＯＯ１０ｏ７Ｓａ＋ｐｃｓａ一１贝ｍ一，Ｃｏ，ｚ＋Ｐ＝
识分析问题与解决问题的能力，考查学生发现新知识的能力，课标》在推理与证明部分设计了合情推理的内容，要求学生通过运用合情推理探索与发现数学结论和思路，体会合情推理在数学发现中的作用．而培养学生的合情推理能力是一项长期的工作，它不可能在一天、几天、甚至几个月内完成，需要教师持之以恒、循序渐进，并在所有的数学教学活动中具有培养学生合情推理能力的意识．因此，在教学活动中，应当把培养学生的合情推理能力作为明确的教学目标，同时辅助以相应的数学素材和教学设计，使这个目标得到落实，让合情推理能力的培养贯穿于教学的始终，使学生形成一种良好的合

2010年高考福建(文科)数学试题-高考真卷

（I）证明：AD∥平面EFGH；（II）设AB=2AA1="2" a .在长方体ABCD－A1B1C1D1内随机选取一点．记该点取自几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p，当点E，F 分别在棱A1B1上运动且满足EF=a时，求p的最小值. 【知识点】立体几何综合
难度：0.64 组卷：659 题型：解答题更新：2010/6/11
【知识点】根据抛物线上的点求标准方程抛物线的应用
难度：0.65 组卷：903 题型：解答题更新：2019/12/26
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19 . 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH∥A1D1. 过EH的平面与棱BB1，C C1相交，交点分别为F， A．
【知识点】高中数学综合库
难度：0.94 组卷：758 题型：解答题更新：2010/6/11
17 . （本小题满分12分）设平面向量a m =（m，1），b n =（2，n），其中m，n∈{1,2,3,4}.
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（I）请列出有序数组（m，n）的所有可能结果；（II）记“使得a m ⊥（a m－b n）成立的（m，n）”为事件A，求事件A发生的概率.
6 . 函数 A．3
的零点个数为（） B．2
C．1
【知识点】分段函数的性质及应用求函数零点或方程根的个数
D．0
难度：0.65 组卷：207 题型：单选题更新：2017/9/8
7 . 若向量a=（x，3）（x∈R），则“x=4”是“| a |=5”的 A.充分而不必要 B.必要而不充分 C充要条件 D.既不充分也不必要条件【知识点】充分条件与必要条件

2010年高考数学试题(新课程卷)分类解析(七)--算法初步与框图

建议
文理试题要求不同的试卷有广东卷、山东卷、湖南卷、陕
西卷、天津卷和辽宁卷，这些试卷（湖南卷外）的文理试题除
本专题是高中数学课程中新增的教学内容．２１高考数考查的知识点基本相同，只是理科试题的难度比文科试题的难００年学试题中出现算法试题的试卷有广东卷、山东卷、新课程全国度大，主要表现在所涉及的算法的循环次数或循环体中所执行卷、江苏卷、浙江卷、福建卷、天津卷、安徽卷、辽宁卷、湖的步骤上．南卷、北京卷、陕西卷和上海卷．文的目的，在于对２１本００年的复习提出建议．
一
例１（东卷・１）某城市缺水问题比较突出，为了制广理３
出现的算法试题进行分析，得出命题特点，并对这一部分内容定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中ｎ居民的月均用水量分别为位
根据图１所示的程序框图，若ｎ＝２，且
的作用。
② 结构图：了解结构图；会运用结构图梳理已学过的知识、
整理收集到的资料信息．２从出现的试题看考试内容与要求．（）１出现的试题均是选择题或填空题，并且都是用程序框图表示算法，要求学生能读懂算法并选择答案或填空．
（）２试题着重考查算法基本逻辑结构，并且除北京卷与湖南
１
＇
图２所示的程序框图，若
则输出的结果ｓ为
分别为１．，１，２，１５．，５

2010年福建高考文科数学试题

有关司考的思考（非经验）写在前面九月是个必然降临的节日，也许你会想起那个六月份的自己，也许你是那个为司考而不顾体重、放弃美容觉的女孩，也许你是那个为司考彷徨、蹉跎岁月的翩翩少年，恍惚之间来到九月，或自信满满，或怅然若失，可是谁会忘记自己在图书馆、自习室留下的汗水，还记得，你说过我们一起过司考，当你抛弃往日的浮躁与琐碎纵情在考场的喧嚣和寂静中，或许你眼中再也没有往日的神采，那么不必失落，恭喜你。

当最后一刻铃声响起，离开逼仄的考场，这一切其实已经不再重要。

......正文偶尔有些同学和师弟妹问起司考验或者请教之类的事情，不知如何表达，也许不是一两句话就能说明白，大致整理了一下，只是个人经历，非经验。

一、诉讼法和行政法我认为诉讼法和行政法是拿分的关键，因为民法和刑法学的再好也好不到哪里去，再差也差不了多少。

那诉讼法和行政法就很关键，要花大量的时间理解和做题。

对于诉讼法这类的程序法要有清晰的逻辑和框架，比如民事诉讼法，你要先理解诉讼是如何进行的，首先得有人起诉，这里会有管辖的问题（重点），再就是五日内受理或不受理，若受理然后15日内发起诉书副本给被告，然后确定证据交换期限，交换证据，开庭审理，再就是质证....最后宣判，再有可能就是二审，再审程序等等，这个程序中每一个环节会涉及哪些问题自己一定清楚，比如引起再审有几种情况，证据的一些种类，受理时会产生管辖问题，审理时第三人的问题,遗漏诉讼请求、遗漏当事人如何处理（不同的诉讼阶段有不同的处理方式）等等，还有仲裁，比较民诉来记。

至于简易程序，非诉讼程序理解就行。

刑事诉讼法也是这样的，理清整个诉讼过程，不过刑事诉讼法更复杂一些，因为刑诉比民诉多了公安机关和检察院，比如：移送起诉啦，补充侦查啦，法定不起诉啦（显著轻、过时效、特赦、告诉和死掉），酌定不起诉啦之类的，还有漏罪和漏人的情况（不同阶段处理也不同），二审再审不开庭的各种情况，总之要努力建立知识框架，过程略慢，不必着急，就是一个反复的过程。

2010年福建省高考数学试卷(理科)答案与解析

2010年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2010•福建）计算sin137°cos13°+cos103°cos43°的值等于（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】先根据诱导公式将sin137°cos13°+cos103°cos43°转化为sin43°cos13°﹣sin13°cos43°，再根据两角差的正弦公式得到答案．【解答】解：∵sin137°cos13°+cos103°cos43°=sin（180°﹣43°）cos13°+cos（90°+13°）cos43°=sin43°cos13°﹣sin13°cos43°=sin（43°﹣13°）=sin30°=故选A．【点评】本题主要考查诱导公式与两角和与差的正弦公式．这种题型经常在选择题中出现，应给与重视．2．（5分）（2010•福建）以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A．x2+y2+2x=0 B．x2+y2+x=0 C．x2+y2﹣x=0 D．x2+y2﹣2x=0【考点】圆的一般方程；抛物线的简单性质．【分析】先求抛物线y2=4x的焦点坐标，即可求出过坐标原点的圆的方程【解答】解：因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2﹣2x+y2=0，故选D．【点评】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题．3．（5分）（2010•福建）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．【解答】解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（﹣11）+8d=﹣6，解得d=2，所以，所以当n=6时，S n取最小值．故选A．【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．4．（5分）（2010•福建）函数的零点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】分段解方程，直接求出该函数的所有零点．由所得的个数选出正确选项．【解答】解：当x≤0时，令x2+2x﹣3=0解得x=﹣3；当x＞0时，令﹣2+lnx=0解得x=100，所以已知函数有两个零点，故选：B．【点评】本题考查函数零点的概念，以及数形结合解决问题的方法，只要画出该函数的图象不难解答此题．5．（5分）（2010•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【专题】图表型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S 的值，并输出满足条件S＞11时，变量i的值．模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：a S i 是否继续循环循环前/0 1/第一圈 2 2 2 是第二圈8 10 3 是第三圈24 34 4 否此时i值为4故选C【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．6．（5分）（2010•福建）如图，若Ω是长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（）A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台【考点】直线与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平行线等分线段定理．【分析】根据直线与平面平行的性质定理可知EH∥FG，则EH∥FG∥B1C1，从而Ω是棱柱，因为A1D1⊥平面ABB1A1，EH∥A1D1，则EF⊥平面ABB1A1，又EF⊂平面ABB1A1，故EH⊥EF，从而四边形EFGH是矩形．【解答】解：因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1，又EH⊄平面BCC1B1，平面EFGH∩平面BCC1B1=FG，所以EH∥平面BCB1C1，又EH⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面BCB1C1=FG，所以EH∥FG，故EH∥FG∥B1C1，所以选项A、C正确；因为A1D1⊥平面ABB1A1，EH∥A1D1，所以EH⊥平面ABB1A1，又EF⊂平面ABB1A1，故EH⊥EF，所以选项B也正确，故选D．【点评】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力．7．（5分）（2010•福建）若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质；平面向量数量积的运算．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a，则双曲线的方程可得，设出点P，代入双曲线方程求得y0的表达式，根据P，F，O的坐标表示出，进而求得的表达式，利用二次函数的性质求得其最小值，则的取值范围可得．【解答】解：因为F（﹣2，0）是已知双曲线的左焦点，所以a2+1=4，即a2=3，所以双曲线方程为，设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，所以=x0（x0+2）+=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值=，故的取值范围是，故选B．【点评】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．8．（5分）（2010•福建）设不等式组所表示的平面区域是Ω1，平面区域是Ω2与Ω1关于直线3x﹣4y﹣9=0对称，对于Ω1中的任意一点A与Ω2中的任意一点B，|AB|的最小值等于（）A．B．4 C．D．2【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域Ω1，根据对称的性质，不难得到：当A点距对称轴的距离最近时，|AB|有最小值．【解答】解：由题意知，所求的|AB|的最小值，即为区域Ω1中的点到直线3x﹣4y﹣9=0的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线3x﹣4y﹣9=0的距离最小，故|AB|的最小值为，故选B．【点评】利用线性规划解平面上任意两点的距离的最值，关键是要根据已知的约束条件，画出满足约束约束条件的可行域，再去分析图形，根据图形的性质、对称的性质等找出满足条件的点的坐标，代入计算，即可求解．9．（5分）（2010•福建）对于复数a，b，c，d，若集合S={a，b，c，d}具有性质“对任意x，y∈S，必有xy∈S”，则当时，b+c+d等于（）A．1 B．﹣1 C．0 D．i【考点】复数的基本概念；集合的含义．【专题】压轴题．【分析】直接求解比较麻烦，它是选择题可以取特殊值验证．【解答】解：由题意，可取a=1，b=﹣1，c2=﹣1，c=i，d=﹣i，或c=﹣i，d=i，所以b+c+d=﹣1+i+﹣i=﹣1，故选B．【点评】本题属创新题，考查复数与集合的基础知识；一般结论对于特殊值一定成立．10．（5分）（2010•福建）对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数）对任给的正数m，存在相应的x0∈D使得当x∈D且x＞x0时，总有，则称直线l：y=ka+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐进线”．给出定义域均为D={x|x＞1}的四组函数如下：①f（x）=x2，g（x）=②f（x）=10﹣x+2，g（x）=③f（x）=，g（x）=④f（x）=，g（x）=2（x﹣1﹣e﹣x）其中，曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线”的是（）A．①④B．②③C．②④D．③④【考点】极限及其运算；数列的应用．【专题】压轴题；新定义．【分析】本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）﹣g（x）→0进行作答，是一道好题，思维灵活，要透过现象看本质．【解答】解：f（x）和g（x）存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）﹣g（x）→0．对于①f（x）=x2，g（x）=，当x＞1时便不符合，所以①不存在；对于②f（x）=10﹣x+2，g（x）=肯定存在分渐近线，因为当时，f（x）﹣g（x）→0；对于③f（x）=，g（x）=，，设λ（x）=x﹣lnx，＞0，且lnx＜x，所以当x→∞时x﹣lnx越来愈大，从而f（x）﹣g（x）会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；对于④f（x）=，g（x）=2（x﹣1﹣e﹣x），当x→+∞时，，因此存在分渐近线．故，存在分渐近线的是②④选C故选C【点评】本题较难，涉及到部分大学内容，属于拓展类题目二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）（2010•福建）在等比数列{a n}中，若公比q=4，前3项的和等于21，则该数列的通项公式a n=4n﹣1．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列的通项公式，把q代入前3项的和，进而求得a1则数列的通项公式可得．【解答】解：由题意知a1+4a1+16a1=21，解得a1=1，所以通项a n=4n﹣1．故答案为：4n﹣1．【点评】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题．12．（4分）（2010•福建）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，可知三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，再求解面积即可．【解答】解：由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为，侧面积为3×2×1=6，所以其表面积为．【点评】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力．13．（4分）（2010•福建）某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于0.128．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题．【分析】根据题意，分析可得，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，则必有必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确；又有每个问题的回答结果相互独立，结合相互独立事件的概率乘法公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错；有相互独立事件的概率乘法公式，可得P（A）=1×0.2×0.8×0.8=0.128，故答案为0.128．法二：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，由此分两类，第一个答错与第一个答对；有相互独立事件的概率乘法公式，可得P（A）=0.8×0.2×0.8×0.8+0.2×0.2×0.8×0.8=0.2×0.8×0.8=0.128，故答案为0.128．【点评】本题考查相互独立事件的概率的乘法公式，考查基础知识的同时，进一步考查同学们的分析问题、解决问题的能力．14．（4分）（2010•福建）已知函数和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同．若，则f（x）的取值范围是．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据函数和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同确定ω的值，再由x的范围确定的范围，最后根据正弦函数的图象和性质可得到答案．【解答】解：∵函数和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同，∴由题意知，ω=2，因为，所以，由三角函数图象知：f（x）的最小值为，最大值为，所以f（x）的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想．15．（4分）（2010•福建）已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时f（x）=2﹣x给出结论如下：①任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k﹣1，2k）．其中所有正确结论的序号是①②④．【考点】抽象函数及其应用；函数的周期性．【专题】函数的性质及应用．【分析】依据题中条件注意研究每个选项的正确性，连续利用题中第（1）个条件得到①正确；连续利用题中第（2）个条件得到②正确；利用反证法及2x变化如下：2，4，8，16，32，判断③命题错误；据①②③的正确性可得④是正确的．【解答】解：①f（2m）=f（2•2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2），正确；②取x∈（2m，2m+1），则∈（1，2]；f（）=2﹣，从而f（x）=2f（）=…=2m f（）=2m+1﹣x，其中，m=0，1，2，…从而f（x）∈[0，+∞），正确；③f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1，假设存在n使f（2n+1）=9，即存在x1，x2，﹣=10，又，2x变化如下：2，4，8，16，32，显然不存在，所以该命题错误；④根据前面的分析容易知道该选项正确；综合有正确的序号是①②④．【点评】本题通过抽象函数，考查了函数的周期性，单调性，以及学生的综合分析能力，难度不大．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（13分）（2010•福建）将甲、乙两颗骰子先后各抛一次，a，b分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出的点数．（Ⅰ）若点P（a，b）落在不等式组表示的平面域的事件记为A，求事件A的概率；（Ⅱ）若点P（a，b）落在x+y=m（m为常数）的直线上，且使此事件的概率最大，求m的值及最大概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；等可能事件的概率．【专题】计算题；数形结合．【分析】（Ⅰ）由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件总数为6×6，画出图形，满足条件的事件A可以列举出有6个整点，根据古典概型概率公式得到结果．（Ⅱ）点P（a，b）落在x+y=m（m为常数）的直线上，且使此事件的概率最大，只需基本事件最多，由x，y∈[1，6]，画出图形，直线x+y=m过（1，6）时适合，求得x+y=7，此时有6个整点，得到结果．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件总数为6×6=36，如图a所示，满足条件的事件A有（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（3，1）6个整点．故．（Ⅱ）点P（a，b）落在x+y=m（m为常数）的直线上，且使此事件的概率最大，只需基本事件最多，注意到x，y∈[1，6]，如图b所示，直线x+y=m过（1，6）（正方形一条对角线）时适合，求得x+y=7，此时有6个整点，最大．【点评】本题考查古典概型，在解题时要利用图形判断出满足条件的事件数，本题利用数形结合的知识，是一个综合题．17．（13分）（2010•福建）已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题．【分析】（1）先设出椭圆C的标准方程，进而根据焦点和椭圆的定义求得c和a，进而求得b，则椭圆的方程可得．（2）先假设直线存在，设出直线方程与椭圆方程联立消去y，进而根据判别式大于0求得t的范围，进而根据直线OA与l的距离求得t，最后验证t不符合题意，则结论可得．【解答】解：（1）依题意，可设椭圆C的方程为（a＞0，b＞0），且可知左焦点为F（﹣2，0），从而有，解得c=2，a=4，又a2=b2+c2，所以b2=12，故椭圆C的方程为．（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=x+t，由得3x2+3tx+t2﹣12=0，因为直线l与椭圆有公共点，所以有△=（3t）2﹣4×3（t2﹣12）≥0，解得﹣4≤t≤4，另一方面，由直线OA与l的距离4=，从而t=±2，由于±2∉[﹣4，4]，所以符合题意的直线l不存在．【点评】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．18．（13分）（2010•福建）如图，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC﹣A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径．（1）证明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；（2）设AB=AA1，在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC﹣A1B1C1内的概率为P．当点C在圆周上运动时，记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为θ（0°＜θ≤90°），当P取最大值时，求cosθ的值．【考点】平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题；平面与圆柱面的截线．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）欲证平面A1ACC1⊥平面B1BCC1，关键是找线面垂直，根据直线与平面垂直的判定定理知BC⊥平面A1ACC1；（2）根据AC2+BC2=AB2为定值可求出V1的最大值，从而得到P=的最大值，P取最大值时，OC⊥AB，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面A1ACC1的一个法向量与平面B1OC的一个法向量，然后求出两法向量的夹角从而得到二面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC，因为AB是圆O直径，所以BC⊥AC，又AC∩AA1=A，所以BC⊥平面A1ACC1，而BC⊂平面B1BCC1，所以平面A1ACC1⊥平面B1BCC1．（Ⅱ）设圆柱的底面半径为r，则AB=AA1=2r，故三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为=AC•BC•r，又因为AC2+BC2=AB2=4r2，所以=2r2，当且仅当时等号成立，从而V1≤2r3，而圆柱的体积V=πr2•2r=2πr3，故P=，当且仅当，即OC⊥AB时等号成立，所以P的最大值是．P取最大值时，OC⊥AB，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，设OB为y轴的正半轴，OC为x轴正半轴，OO1为z轴的正半轴，则C（r，0，0），B（0，r，0），B1（0，r，2r），因为BC⊥平面A1ACC1，所以是平面A1ACC1的一个法向量，设平面B1OC的法向量，由，故，取z=1得平面B1OC的一个法向量为，因为0°＜θ≤90°，所以===．【点评】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想．19．（13分）（2010•福建）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；数形结合．【分析】（1）如图设小艇的速度为v，时间为t相遇，则由余弦定理得：OC2=AC2+OA2﹣2×AC×OAcos∠OAC，即：vt2=400+900t2﹣1200tcos60°=900t2﹣600t+400=再由二次函数法求解最值．（2）根据题意，要用时最小，则首先速度最高，即为：30海里/小时，然后是距离最短，则由（1）可得：OC2=AC2+OA2﹣2×AC×OAcos∠OAC即：（30t）2=400+900t2﹣1200tcos60°解得：t=，再解得相应角．【解答】解：（1）如图设小艇的速度为v，时间为t相遇，则由余弦定理得：OC2=AC2+OA2﹣2×AC×OAcos∠OAC即：v2t2=400+900t2﹣1200tcos60°=900t2﹣600t+400=当t=时，取得最小值，此时，v=30（2）要用时最小，则首先速度最高，即为：30海里/小时，则由（1）可得：OC2=AC2+OA2﹣2×AC×OAcos∠OAC 即：（30t）2=400+900t2﹣1200tcos60°解得：t=，此时∠BOD=30°此时，在△OAB中，OA=OB=AB=20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．【点评】本题主要考查函数模型的建立和应用，主要涉及了余弦定理，二次函数法求最值，还考查了数形结合的思想．20．（14分）（2010•福建）已知函数f（x）=x3﹣x，其图象记为曲线C．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1，f（x1））处的切线交于另一点P2（x2，f（x2）），曲线C与其在点P2（x2，f（x2））处的切线交于另一点P3（x3，f（x3）），线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值．【考点】利用导数研究函数的单调性；定积分；合情推理的含义与作用．【专题】计算题；证明题；压轴题．【分析】（1）先求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0解得的区间为增区间和fˊ（x）＜0解得的区间为减区间，注意单调区间不能并；（2）先求出点P1与点P2的横坐标的关系，再求定积分求出围成封闭图形的面积S1，利用同样的方法求出面积S2即可．【解答】解：（1）由f（x）=x3﹣x得f′（x）=3x2﹣1=，当和时，f′（x）＞0；当，时，f′（x）＜0，因此，f（x）的单调递增区间为和，单调递减区间为，．（2）曲线C与其在点P1处的切线方程为y=（3x12﹣1）（x﹣x1）+x13﹣x1，即即y=（3x12﹣1）x﹣2x13，由解得x=x1或x=﹣2x1故x2=﹣2x1，进而有S1=|（x3﹣3x13x+2x13）dx|=，用x2代替x1，重复上述计算过程，可得x3=﹣2x2和，又x2=﹣2x1≠0，所以S2≠0，因此有【点评】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想．21．（14分）（2010•福建）本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）已知矩阵M=，，且，（Ⅰ）求实数a，b，c，d的值；（Ⅱ）求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．（2）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|．（3）已知函数f（x）=|x﹣a|．（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求≤【考点】复合变换与二阶矩阵的乘法；简单曲线的极坐标方程；绝对值不等式的解法．【专题】压轴题；选作题．【分析】选作题1：（Ⅰ）由矩阵MN的表达式，把他们相乘使左边等于右边既可求解实数a，b，c，d的值．（Ⅱ）矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线，可选直线y=3x上的两点做矩阵M所对应的线性变换下的像，即可确定原直线的像．选做题2：（Ⅰ）由极坐标转化为直线坐标方程．（Ⅱ）将直线的参数方程代入圆的直角坐标系，根据根与系数关系求出两实根的关系式，再有t的几何意义求解．选做题3：（Ⅰ）首先把函数的参数表达式≤3，解不等式求出a的值．（Ⅱ）由上题解得的当a=2时，f（x）=|x﹣2|，可设函数g（x）=f（x）+f（x+5），求出g（x）的函数表达式使其≥m对一切实数x恒成立．求解M的范围．【解答】（1）选修1：解：（Ⅰ）由题设得，解得；（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线y=3x上的两（0，0），（1，3），由，，得点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的变换下的线的像是（0，0），（﹣2，2），从而直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y=﹣x．（2）选修2：解：（Ⅰ）由ρ=2sinθ得x2+y2﹣2y=0，即=5．（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得=5，即t2﹣3t+4=0，由于﹣4×4=2＞0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以，又直线l过点P（3，），故由上式及t的几何意义得：|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．（3）选修3：解：（Ⅰ）由f（x）≤3得|x﹣a|≤3，解得a﹣3≤x≤a+3，又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，所以，解得a=2．（Ⅱ）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，设g（x）=f（x）+f（x+5），于是g（x）=|x﹣2|+|x+3|=，所以，当x＜﹣3时，g（x）＞5；当﹣3≤x≤2时，g（x）=5；当x＞2时，g（x）＞5．实数m的取值范围是m≤5．【点评】选作题1主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力．计算量小属于较容易的题．选作题2主要考查坐标系与参数方程的关系，考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．较复杂．选修3：本小题涉及不等式，主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力．较复杂．。

稳中求变深化理念适度创新考查潜能——2010年高考福建卷试题分析

定．
具有较好的现实意义．同时试卷还检测考生是否具备在自然语言、图形语言和符号语言之间进行熟练
的转化和思考的能力．理１、文２取材于考生熟如９１
辩证唯物论的观点认为，事物的统一、稳定是
悉的背景，要求考生能够将“ 相遇”距离最短”时闯 “ “
２（Ｉ（、２１０）ｉ）１（）① 、（）①、（）①题都是２３
考查基础知识和基本技能的题目，生只要按照课考标＞＞要求，把教材的相关内容搞清楚就很轻松解答上述题目，因此，以上题目属于容易题，总分值约
为７４分．第７、９３４１（、１（、、８、１、１、７ Ⅱ）８ Ⅱ）
序，避命题的“ 式化” 如理科卷解析几何题题序规模。
聚焦２１年高考数学福建卷，我们可以看到，００
福建卷的命题在稳定中求变，在变革中深化课标理念，适度创新抑制“ 题海战术” ，考查潜能彰显选拔．１．试卷分析１稳中求变．１考试大纲和考试说明对考试性质、考试要求、考试内容、考试形式及试题结构等都作了明确的阐述，它是广大师、生复习备考的依据，也是高考命题的依据，００年高考数学福建卷严守２１考试大纲和考试说明的各项规定，在知识内容
５、１、１、１、１（、１（Ｉ、１（、、６】２６Ｉ）８７）９Ｉ）
大学所需要的知识：函数与导数（包括三角函数、数列）率统计、不等式、向量等作重点考查．如：、概理科卷第１、１、２题，文科第１、２０５１６２题都是以

2013年高考真题——文科数学(福建卷)解析版

2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（文史类）第I 卷（选择题共60分）一．选择题1．复数i z 21--=（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】本题考查的知识点是复数的几何意义．由几何意义可知复数在第三象限． 2．设点),(y x P ，则“2=x 且1-=y ”是“点P 在直线01:=++y x l 上”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题考查的知识点是逻辑中充要条件的判定．因为)1,2(点代入直线方程，符合方程，即“2=x 且1-=y ”可推出“点P 在直线01:=++y x l 上”；而点P 在直线上，不一定就是)1,2(点，即“点P 在直线01:=++y x l 上”推不出“2=x 且1-=y ”．故“2=x 且1-=y ”是“点P 在直线01:=++y x l 上”的充分而不必要条件．3．若集合}4,3,1{},3,2,1{==B A ，则B A 的子集个数为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．16 【答案】C【解析】本题考查的是集合的交集和子集．因为}3,1{=B A ，有2个元素，所以子集个数为422=个．4．双曲线122=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于（）A ．21B ．22C ．1D ．2【答案】B【解析】本题考查的是双曲线的性质．因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等，故可取双曲线的一个顶点为)0,1(，取一条渐近线为x y =，所以点)0,1(到直线x y =的距离为22．5．函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】本题考查的是对数函数的图象．由函数解析式可知)()(x f x f -=，即函数为偶函数，排除C ；由函数过)0,0(点，排除B,D ．6．若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+012y x y x ，则y x z +=2的最大值和最小值分别为（）A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和0 【答案】B【解析】本题考查的简单线性规划．如图，可知目标函数最大值和最小值分别为4和2．7．若122=+yx ，则y x +的取值范围是（）A ．]2,0[B ．]0,2[-C ．),2[+∞-D ．]2,(--∞ 【答案】D【解析】本题考查的是均值不等式．因为y x y x 222221⋅≥+=，即222-+≤yx ，所以2-≤+y x ，当且仅当y x 22=，即y x =时取等号．8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n 后，输出的)20,10(∈S ，那么n 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】本题考查的是程序框图．循环前：2,1==k S ；第1次判断后循环：3,3==k S ；第2次判断后循环：4,7==k S ；第3次判断后循环：5,15==k S ．故4=n ． 9．将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P ，则ϕ的值可以是（） A ．35π B ．65π C ．2π D ．6π 【答案】B【解析】本题考查的三角函数的图像的平移．把)23,0(P 代入)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f ，解得3πθ=，所以)232sin()(ϕπ-+=x x g ，把)23,0(P 代入得，πϕk =或6ππϕ-=k ，观察选项，故选B10．在四边形ABCD 中，)2,4(),2,1(-==BD AC ，则该四边形的面积为（）A ．5B ．52C ．5D ．10 【答案】C【解析】本题考查的是向量垂直的判断以及向量的模长．因为022)4(1=⨯+-⨯=⋅BD AC ，所以BC AC ⊥，所以四边形的面积为522)4(212||||2222=+-⋅+=⋅BD AC ，故选C 11．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为a x b yˆˆˆ+=．若某同学根据上表中前两组数据)0,1(和)2,2(求得的直线方程为a x b y '+'=，则以下结论正确的是（）A ．a a b b'>'>ˆ,ˆ B ．a a b b '<'>ˆ,ˆ C ．a a b b '>'<ˆ,ˆ D ．a a b b '<'<ˆ,ˆ 【答案】C【解析】本题考查的是线性回归方程．画出散点图，可大致的画出两条直线（如下图），由两条直线的相对位置关系可判断a a b b'>'<ˆ,ˆ．故选C 12．设函数)(x f 的定义域为R ，)0(00≠x x 是)(x f 的极大值点，以下结论一定正确的是（）A ．)()(,0x f x f R x ≤∈∀B ．0x -是)(x f -的极小值点C ．0x -是)(x f -的极小值点D ．0x -是)(x f --的极小值点【答案】D【解析】本题考查的是函数的极值．函数的极值不是最值，A 错误；因为)(x f --和)(x f 关于原点对称，故0x -是)(x f --的极小值点，D 正确．二．填空题13．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<=20,tan 0,2)(3πx x x x x f ，则=))4((πf f 【答案】2-【解析】本题考查的是分段函数求值．2)1(2)1()4tan())4((3-=-=-=-=f f f f ππ．14．利用计算机产生1~0之间的均匀随机数a ，则事件“013<-a ”发生的概率为【答案】31 【解析】本题考查的是几何概型求概率．013<-a ，即31<a ，所以31131==P ．15．椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，焦距为c 2．若直线与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠，则该椭圆的离心率等于【答案】13-【解析】本题考查的是圆锥曲线的离心率．由题意可知，21F MF ∆中，︒=∠︒=∠︒=∠90,30,60211221MF F F MF F MF ，所以有⎪⎩⎪⎨⎧==+==+12212221222132)2(MF MF a MF MF c F F MF MF ，整理得13-==ace ，故答案为13-．16．设T S ,是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数)(x f y =满足；（i ）}|)({S x x f T ∈=；（ii ）对任意S x x ∈21,，当21x x <时，恒有)()(21x f x f <．那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合： ①*,N B N A ==；②}108|{},31|{≤≤-=≤≤-=x x B x x A ； ③R B x x A =<<=},10|{．其中，“保序同构”的集合对的序号是（写出所有“保序同构”的集合对的序号）【答案】①②③【解析】本题考查的函数的性质．由题意可知S 为函数的一个定义域，T 为其所对应的值域，且函数)(x f y =为单调递增函数．对于集合对①，可取函数)(2)(N x x f x∈=，是“保序同构”；对于集合对②，可取函数)31(2729≤≤--=x x y ，是“保序同构”；对于集合对③，可取函数)10)(2tan(<<-=x x y ππ，是“保序同构”．故答案为①②③．三．解答题17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差1d =，前n 项和为n S ．（1）若131,,a a 成等比数列，求1a ；（2）若519S a a >，求1a 的取值范围．本小题主要考查等比等差数列、等比数列和不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想．满分12分．解：（1）因为数列{}n a 的公差1d =，且131,,a a 成等比数列，所以2111(2)a a =⨯+，即21120a a --=，解得11a =-或12a =．（2）因为数列{}n a 的公差1d =，且519S a a >，所以21115108a a a +>+；即2113100a a +-<，解得152a -<<18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥面，//AB DC ，AB AD ⊥，5BC =，3DC =，4AD =，60PAD ∠= ．（1）当正视图方向与向量AD的方向相同时，画出四棱锥P ABCD -的正视图.（要求标出尺寸，并画出演算过程）；（2）若M 为PA 的中点，求证：//DM PBC 面；（3）求三棱锥D PBC -的体积．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的三视图和体积等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力．运算求解能力，考查数形结合能力、化归与转化思想，满分12分．解法一：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ，由已知得，四边形ADCE 为矩形，3AE CD == 在Rt BEC ∆中，由5BC =，4CE =,依勾股定理得： 3BE =，从而6AB =又由PD ⊥平面ABCD 得，PD AD ⊥从而在Rt PDA ∆中，由4AD =，60PAD ∠=︒,得PD =正视图如右图所示：（Ⅱ）取PB 中点N ，连结MN ，CN 在PAB ∆中，M 是PA 中点，∴MN AB ，132MN AB ==，又CD AB ,3CD =∴MN CD ，MN CD =∴四边形MNCD 为平行四边形，∴DM CN 又DM ⊄平面PBC ，CN ⊂平面PBC ∴DM 平面PBC（Ⅲ）13D PBC P DBC DBC V V S PD --∆==⋅又6PBC s ∆=，PD =，所以D PBC V -=解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）取AB 的中点E ，连结ME ,DE在梯形ABCD 中，BE CD ，且BE CD =∴四边形BCDE 为平行四边形∴DE BC ，又DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ∴DE 平面PBC ，又在PAB ∆中，ME PBME ⊄平面PBC ,PB ⊂平面PBC ∴ME 平面PBC .又DE ME E = ,∴平面DME 平面PBC ，又DM ⊂平面DME ∴DM 平面PBC（Ⅲ）同解法一 19．（本小题满分12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，在将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率．（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成22⨯的列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附表：本小题主要考查古典概型、抽样方法、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然和或然思想、化归与转化思想等，满分12分．解：（Ⅰ）由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有600.053⨯=（人），记为1A ，2A ，3A ；25周岁以下组工人有400.052⨯=（人），记为1B ，2B从中随机抽取2名工人，所有可能的结果共有10种，他们是：12(,)A A ，13(,)A A ，23(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B其中，至少有名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B .故所求的概率：710P =（Ⅱ）由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手600.2515⨯=（人），“25周岁以下组”中的生产能手400.37515⨯=（人），据此可得22⨯列所以得：222()100(15251545)251.79()()()()6040307014n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯因为1.79 2.706<，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”20．（本小题满分12分）如图，在抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ．点C 在抛物线E 上，以C 为圆心OC 为半径作圆，设圆C 与准线l 的交于不同的两点,M N ．（1）若点C 的纵坐标为2，求MN ；（2）若2AFAM AN =⋅，求圆C 的半径．本小题主要考查抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．解：（Ⅰ）抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-，由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2) 所以点C 到准线l 的距离2d =，又||CO =所以||2MN ===.（Ⅱ）设200(,)4y C y ，则圆C 的方程为242220000()()416y y x y y y -+-=+，即22200202y x x y y y -+-=.由1x =-，得22002102y y y y -++=设1(1,)M y -，2(1,)N y -，则：222000201244(1)240212y y y y y y ⎧∆=-+=->⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩由2||||||AF AM AN =⋅，得12||4y y =所以2142y +=，解得0y =0∆>所以圆心C的坐标为3(2或3(,2从而233||4CO =，||CO C21（本小题满分12分）如图，在等腰直角三角形OPQ ∆中，90OPQ ∠=，OP =，点M 在线段PQ 上．（1）若OM =，求PM 的长；（2）若点N 在线段MQ 上，且30MON ∠= ，问：当POM ∠取何值时，OMN ∆的面积最小？并求出面积的最小值．本小题主要考查解三角形、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．解：（Ⅰ）在OMP ∆中，45OPM ∠=︒，OM =OP =，由余弦定理得，2222cos 45OM OP MP OP MP =+-⨯⨯⨯︒，得2430MP MP -+=，解得1MP =或3MP =．（Ⅱ）设POM α∠=，060α︒≤≤︒，在OMP ∆中，由正弦定理，得sin sin OM OPOPM OMP=∠∠，所以()sin 45sin 45OP OM α︒=︒+，同理()sin 45sin 75OP ON α︒=︒+故1sin 2OMN S OM ON MON ∆=⨯⨯⨯∠()()221sin 454sin 45sin 75OP αα︒=⨯︒+︒+()()1sin 45sin 4530αα=︒+︒++︒=====因为060α︒≤≤︒，30230150α︒≤+︒≤︒，所以当30α=︒时，()sin 230α+︒的最大值为1，此时OMN ∆的面积取到最小值．即230POM ∠=︒时，OMN ∆的面积的最小值为8-22（本小题满分14分）已知函数()1x af x x e=-+（a R ∈，e 为自然对数的底数）．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求a 的值；（2）求函数()f x 的极值；（3）当1a =的值时，若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的最大值．本小题主要考查函数与导数，函数的单调性、极值、零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想．满分14分．解：（Ⅰ）由()1x a f x x e =-+，得()1xaf x e '=-．又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴，得()10f '=，即10ae -=，解得a e =．（Ⅱ）()1x af x e'=-，①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 为(),-∞+∞上的增函数，所以函数()f x 无极值． ②当0a >时，令()0f x '=，得x e a =，ln x a =．(),ln x a ∈-∞，()0f x '<；()ln ,x a ∈+∞，()0f x '>．所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，故()f x 在ln x a =处取得极小值，且极小值为()ln ln f a a =，无极大值．综上，当0a ≤时，函数()f x 无极小值；当0a >，()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ，无极大值．（Ⅲ）当1a =时，()11xf x x e =-+令()()()()111xg x f x kx k x e =--=-+，则直线l ：1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，等价于方程()0g x =在R 上没有实数解．假设1k >，此时()010g =>，1111101k g k e -⎛⎫=-+<⎪-⎝⎭，又函数()g x 的图象连续不断，由零点存在定理，可知()0g x =在R 上至少有一解，与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾，故1k ≤．又1k =时，()10xg x e =>，知方程()0g x =在R 上没有实数解．所以k 的最大值为1．解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．（Ⅲ）当1a =时，()11xf x x e =-+．直线l ：1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，等价于关于x 的方程111x kx x e-=-+在R 上没有实数解，即关于x 的方程：()11xk x e -=（*）在R 上没有实数解．①当1k =时，方程（*）可化为10x e =，在R 上没有实数解． ②当1k ≠时，方程（*）化为11x xe k =-．令()xg x xe =，则有()()1xg x x e '=+．令()0g x '=，得1x =-，当x 变化时，()g x '的变化情况如下表：当1x =-时，()min g x e=-，同时当x 趋于+∞时，()g x 趋于+∞，从而()g x 的取值范围为1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．所以当11,1k e ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭时，方程（*）无实数解，解得k 的取值范围是()1,1e -．综上，得k 的最大值为1．。

20012010年高考试题——高考文科数学试题Word版含答案

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历年高考数学三角函数经典试题

历届高考中的“三角函数的图像与性质”试题精选（自我测试）(卷A)一、选择题：（每小题5分，计50分）题号12345678910答案１．（2009陕西理科）若3s i n c o s 0αα+=,则 21c o s s in2αα+的值为（A ）103（B ）（C ）23 (D) 2-２．（2007江苏）下列函数中，周期为2π的是（）A ．s in 2x y =B ．s in2y x =C ．co s 4xy = D ．c o s4y x =３．（2007江西文）若0＜x ＜2π，则下列命题中正确的是（） A ．sin x ＜x π2 B ．sin x ＞x π2 C ．sin x ＜x π3 D ．sin x ＞xπ3４．（2009山东）将函数y=sin2x 的图象向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是(A) y=2cos 2x（B ）y=2sin 2x (C) y=1+sin(2x+4π)(D)y=cos2xi5 .（2007福建理)已知函数f(x)＝sin()()的最小正周期为，则该函数的图象（）A 关于点（，0）对称B 关于直线x ＝对称C 关于点（，0）对称D 关于直线x ＝对称6（2007江苏）函数()s i n 3c o s ([,0])f x x x x π=-∈-的单调递增区间是（） A ．5[,]6ππ-- B ．5[,]66ππ-- C ．[,0]3π- D ．[,0]6π-7．（2005福建理）函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则（） A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==８．(2009辽宁)已知函数()s i n ()(0)f x x ωϕω-+>的图象如图所示，则ω =９．（2009宁夏）有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R, 2s i n+2c o s =122p : ∃x 、y ∈R, sin(x-y)=sinx-siny3p : ∀x ∈[]0,π,1cos 22x -=sinx 4p : sinx=cosy ⇒x+y=2π其中假命题的是（A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （3）1p ，3p （4）2p ，4p10.(2009宁夏)已知函数y=sin （ωx+ϕ）（ω>0, -π≤ϕ<π）的图像如图所示，则ϕ=________________4．（2009江西）若函数()f x =（1+ 3tanx ）cos, 0≤x ＜2π,则()f x 的最大值为A ．1 B. 2 C. 3+1 D. 3+25.(2010天津)在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若223a b b c -=，s i n 23s i n C B =，则A=6．（2003全国理，广东）函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为（） A ．21+B ．12-C ．2D ．27.( 2007广东文)已知简谐运动()2s i n ()(||)32f x x ππϕϕ=+<的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T 和初相ϕ分别为（）8.（2005浙江理）已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是( )(A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋19．（2005全国Ⅰ卷文、理）当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为( )（A ）2 （B ）32 （C ）4 （D ）3410. (2002年广东、江苏、河南，全国文、理，全国新课程文、理，天津文、理)在)2,0(π内，使xx cos sin >成立的x 的取值范围是（） (A))45,()2,4(ππππ (B)),4(ππ (C))45,4(ππ (D))23,45(),4(ππππ 二.填空题: （每小题5分，计20分）11.（2006湖南文）若)4sin(3)4sin()(ππ-++=x x a x f 是偶函数，则a = .12.（2004全国Ⅲ卷理）函数xx y cos 3sin +=在区间]2,0[π上的最小值为 .13.（2005上海文、理）函数()[]s i n2s i n 0,2f x x x x π=+∈的图像与直线y k =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是____________14.（2007四川理）下面有五个命题：①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =Z k k ∈π,2|. ③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 36)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =ππ+= ⑤函数).2sin(π-=x y 在（0，π）上是减函数。

2010年全国高考文科数学试题及答案-福建

2010年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科数学试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合}31{≤≤=x x A ，}2{>=x x B ，则A B ⋂等于 ( ) A. }32{≤<x x B. }1{≥x x C.}32{<≤x x D.}2{>x x2.计算2012sin 22.5-的结果等于 ( ) A.12B.22C.33D.323.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积．．．等于 ( )A.3 B.2 C.23 D.64.i 是虚数单位，4)i-1i1(+等于 ( )A.iB.-iC.1D.-15.若R ,∈y x ，且⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≥,,032,1x y y x x ，则y x z 2+=的最小值等于 ( )A.2B.3C.5D.96.阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于 ( )A.2B.3C.4D.57.函数⎩⎨⎧>+-≤-+=0,ln 2,0,32)(2x x x x x x f 的零点个数为 ( )A.3B.2C.1D.08.若向量a =(,x 3))R (∈x ，则“4=x ”是“||5a =”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件9.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是 ( )A.91.5和91.5B.91.5和92C.91和91.5D.92和9210.将函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象向左平移2π个单位。

若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能．．．等于 ( ) A.4 B.6 C.8 D.12 11.若点O 和点F 分别为椭圆13422=+yx的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP的最大值为 ( )A.2B.3C.6D.812.设非空集合}{l x m x S ≤≤=满足：当S x ∈时，有S x ∈2.给出如下三个命题：①若1m =，则}1{=S ；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则202m -≤≤.其中正确命题的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13. 若双曲线2x4-22y b=1(b>0)的渐近线方程式为y=1x 2±，则ｂ等于。

2010年福建省高考数学试卷（理科）及解析

2010年福建省高考数学试卷（理科一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1、（2010•福建）计算sin137°cos13°+cos103°cos43°的值等于（）A、B、C、D、考点：两角和与差的余弦函数。

分析：先根据诱导公式将sin137°cos13°+cos103°cos43°转化为sin43°cos13°﹣sin13°cos43°，再根据两角差的正弦公式得到答案．解答：解：∵sin137°cos13°+cos103°cos43°=sin（180°﹣43°）cos13°+cos（90°+13°）cos43°=sin43°cos13°﹣sin13°cos43°=sin（43°﹣13°）=sin30°=故选A．点评：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正弦公式．这种题型经常在选择题中出现，应给与重视．2、（2010•福建）以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A、x2+y2+2x=0B、x2+y2+x=0C、x2+y2﹣x=0D、x2+y2﹣2x=0考点：圆的一般方程；抛物线的简单性质。

分析：先求抛物线y2=4x的焦点坐标，即可求出过坐标原点的圆的方程解答：解：因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2﹣2x+y2=0，故选D．点评：本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题．3、（2010•福建）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A、6B、7C、8D、9考点：等差数列的前n项和。

2010年高考数学理科试题福建卷(word附参考答案)

2010年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工农医类）第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.计算sin 043cos 013-cos 043sin 013的结果等于A.12B. C.22.以抛物线24y χ=的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 A.2220y χχ++= B.220y χχ++= C.220y χχ+-= D.2220y χχ+-=3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n s 。

若111a =-，466a a +=-，则当n s 取最小值时，n 等于A.6B.7C.8D.94.函数223,021,0(){n f χχχχχχ+-≤-+>=，的零点个数为A.0B.1C.2D.35.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于A.2B.3C.4D.56.如图，若Ω是长方体ABCD-1111A B C D 被平面EFCH 截去几何体EFCH 11B C 后得到的几何体，其中E 为线段11A B 上异于1B 的点，F 为线段1BB 上异于1B 的点，且EH//11A D ，则下列结论中不正确．．．的是A.EH//FGB.四边开EFGH 是矩形C.Ω是棱柱D.Ω是棱台7.若点O 和点F （-2，0）分别为双曲线()22210y a aχ-=>的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任产电一点，则OP FP ⋅的取值范围为A.3⎡-⎣B.3⎡+⎣C.7,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦D.7,4⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦8.设不等式组1,230χχγγχ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域是1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线3490χγ+-=对称，对于1Ω中的任意A 与2Ω中的任意点B ，||AB 的最小值等于A.285B.4C. 125D.29.对于复数．．a,b,c,d ,若集合{,,,}S a b c d =具有性质“对任意χ，S γ∈，必有S χγ∈”，则当221,1a b c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩时，b c d ++等于 A.1 B.-1 C.0 D.i10.对于具有相同定义域D 的函数()f χ和()g χ，若存在函数()h k b χχ=+（,k b 为常数），对任给的正数m ，存在相应的0D χ∈，使得当D χ∈且0χχ>时，总有0()()0()()f h m h g m χχχχ<-<⎧⎨<-<⎩则称直线l:y =k χ+b 为曲线()y f χ=与()y g χ=的“分渐近线”。

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