平行四边形与特殊平行四边形中的折叠型问题

合集下载

第60期特殊平行四边形中的折叠问题

第60期特殊平行四边形中的折叠问题上期微专题探讨了勾股定理与折叠问题的不解之缘，本期我们将一起来探究特殊平行四边形中的折叠问题。

透过现象看本质如图，在矩形ABCD中，把ΔADE沿AE折叠，点D与点F重合，且点F落在BC 边上.我们不难发现，折叠问题的本质其实就是轴对称，折叠的性质就是轴对称的性质。

性质1.图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边、对应角相等.（由折叠性质1可得：ΔADE≌ΔAEF）性质2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分.（由折叠性质2可得： AE是DF的垂直平分线）特殊平行四边形中的折叠问题，既要用到折叠的性质，又要用到特殊平行四边形本身的性质，有时还需要借助勾股定理和图形的相似等知识建立有关线段、角之间的联系。

接下来，我们通过3个例题来探究特殊平行四边形中的折叠问题。

类型一、折叠性质1的应用例1．如图，菱形纸片ABCD中，AM⊥CD于点M，将△ADM沿直线AM折叠后，点D落在点E处，AE交BC于点N，且AE⊥BC．（1）求证：△AME≌△ANB；（2）求∠CBE的度数．分析：本题的已知条件有1. △ADM沿直线AM折叠为△AME2. 菱形ABCD3. AM⊥CD, AE⊥BC那么我们便利用折叠性质和菱形的性质及垂直的特殊条件来寻找线段和角之间的关系。

解：（1）∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD，∠ABC=∠D∵AM⊥CD，AN⊥BC∴∠AMD=∠ANB∴△ADM≌△ABN由折叠得△ADM≌△AEM∴△AME≌△ANB（2）由（1）得∠EAB=∠EAM，AE=AB∵CD//AB，AM⊥CD∴∠MAB=∠AMD = 90°∴∠EAB=∠EAM = 45°∴∠ABE=∠AEB = 67.5°∵AN⊥BN∴∠ABN =90°–∠EAB = 45°∴∠CBE=∠ABE–∠ABN = 67.5°–45° = 22.5°类型二、折叠性质2的应用例2．如图，已知矩形ABCD中，E是AB边的中点，连接CE，将△BCE沿直线CE折叠后，点B落在点B?处，连接AB?并延长交CD 于点F．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB = 6，BC=4，求tan∠CB?F的值．情景再现：本题第（2）问并不困难，难点在第（1）问。

解决特殊平行四边形中折叠问题的4种方法

解决特别平行四边形中折叠问题的4种方法►方法一用方程思想解决特别平行四边形中的折叠问题1、如图1－ZT－１,将矩形AＢCD沿EＦ折叠,使顶点C恰好落在ＡB边的中点Ｃ′上、若ＡＢ=6,BC＝９,则ＢＦ的长为()图1－ZT-1Ａ、4 B、3 2C、4、５D、５2、把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图1－ZT-2所示的方式折叠,使顶点B和点D重合,折痕为ＥF、若AＢ＝3 cm,BＣ＝５cm,则重叠部分△ＤEＦ的面积是______＿＿cm2、:学*科＊网Ｚ＊X＊X*K]图1－ZＴ—２３。

如图１－ZT—3,将长方形纸片ABＣD折叠,使边DC落在对角线AC上,折痕为CE,且点D落在对角线D′处、若AB＝3,ＡＤ＝4,则ED的长为()图1—ＺT-３A、＼f(3,2)B、3C。

１D。

＼f(４,3)［来源:1]4。

如图1-ZT-４,折叠矩形ABCD的一边AＤ,使点D落在BC边上的点F处,已知折痕AE=5 5 ｃm,且EC∶ＦC=BF∶AB=3∶４、那么矩形ABCD的周长为______＿＿cｍ、图１—ZＴ-4５、如图1-ZT—５,在矩形ＡBCD中,点E在边ＣD上,将该矩形沿ＡE折叠,使点D落在边BC上的点F处,过点F作ＦG∥CD,交AE于点G,连接DG、(1)求证:四边形DEFＧ为菱形;(２)若ＣD=8,CF＝4,求CEDＥ的值。

图1-ZT-５►方法二用数形结合思想解决特别平行四边形中的折叠问题6。

如图1—ＺT—6,在矩形ABCＤ中,AB＝4,BＣ=6,Ｅ为BC的中点,将△ABＥ沿AＥ折叠,使点Ｂ落在矩形内点F处,连接CF,则ＣＦ的长为()图1－ZT-6A、95B。

＼f(1２,5)C、＼f(1６,５)D、＼f(18,5)7。

如图１—ZT－7,在平面直角坐标系中,将矩形AOCD沿直线AＥ折叠(点E在边ＤC上),折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处、若点Ｄ的坐标为(10,８),则点E的坐标为＿＿______、图1-ZT－78、如图１－ZT－8,在矩形ABＣD中,AＢ=6 cｍ,E,F分别是边BC,AＤ上一点,将矩形AＢCD沿ＥF折叠,使点C,Ｄ分别落在点C′,D′处、若Ｃ′E⊥ＡD,则ＥＦ的长为＿＿______ｃm。

人教版初中数学讲义八年级下册第07讲专题2 平行四边形(特殊的平行四边形)中的折叠问题(解析版)

第07讲专题1平行（特殊）四边形中的折叠问题类型一：平行四边形中的折叠问题类型二：矩形中的折叠问题类型三：菱形中的折叠问题类型四：正方形中的折叠问题类型一：平行四边形中的折叠问题1．如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC＝，则B′D的长是（）A．1B．C．D．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠ADC＝60°，∴∠CAE＝∠ACB＝45°，∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，∴∠ACB′＝∠ACB＝45°，∠AB′C＝∠B＝60°，∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠ACB′＝90°，∴AE＝CE＝AC＝，∵∠AEC＝90°，∠AB′C＝60°，∠ADC＝60°，∴∠B′AD＝30°，∠DCE＝30°，∴B′E＝DE＝1，∴B′D＝＝．故选：B．2．如图，将▱ABCD折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，若∠AMF＝50°，则∠A＝65°．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，根据折叠的性质可得：MN∥AE，∠FMN＝∠DMN，∴AB∥CD∥MN，∴∠DMN＝∠FMN＝∠A，∵∠AMF＝50°，∴∠DMF＝180°﹣∠AMF＝130°，∴∠FMN＝∠DMN＝∠A＝65°，故答案为：65．3．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114°D．124°【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC，∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°；故选：C．4．如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为36°．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝52°，由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝52°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，∴∠AEF＝∠D+∠DAE＝52°+20°＝72°，∠AED′＝180°﹣∠EAD′﹣∠D′＝108°，∴∠FED′＝108°﹣72°＝36°；故答案为：36°．5．如图，P是平行四边形纸片ABCD的BC边上一点，以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点C，D落在纸片所在平面上C′，D′处，折痕与AD边交于点M；再以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在C′P边上B′处，折痕与AB边交于点N．若∠MPC＝74°，则∠NPB′＝16°．【解答】解：∵点C，D落在纸片所在平面上C′，D′处，折痕与AD边交于点M，∴∠MPC′＝∠MPC＝74°，∴∠BPB′＝180°﹣∠CPC′＝180°﹣2∠PMC＝180°﹣148°＝32°，∵∠BPN＝∠B′PN，∴∠NPB′＝∠BPB′＝16°，故答案为：16．类型二：矩形中的折叠问题6．如图，矩形ABCD沿对角线BD折叠，已知长BC＝8cm，宽AB＝6cm，那么折叠后重合部分的面积是（）A．48cm2B．24cm2C．18.75cm2D．18cm2【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥CB，∴∠ADB＝∠DBC，∵∠C′BD＝∠DBC∴∠ADB＝∠EBD，∴DE＝BE，∴C′E＝8﹣DE，∵C′D＝AB＝6，∴62+（8﹣DE）2＝DE2，∴DE＝，＝DE×CD÷2＝18.75cm2．∴S△BDE故选：C．7．如图，长方形纸片ABCD，E为CD边上一点，将纸片沿BE折叠，点C落在点C'处，将纸片沿AE折叠，点D落在点D'处，且D'恰好在线段BE上．若∠AEC'＝α，则∠CEB＝（）A．B．C．D．【解答】解：由折叠的性质得：∠AED＝∠AED'，∠CEB＝∠C'EB，∵∠AED'＝180°﹣∠CEB﹣∠AED，∠AED'＝∠AEC'+∠C'EB＝α+∠C'EB，∴∠AED'＝180°﹣∠CEB﹣∠AED'，∴2∠AED'＝180°﹣∠CEB，∴2（α+∠CEB）＝180°﹣∠CEB，∴3∠CEB＝180°﹣2α，∴∠CEB＝60°﹣α，故选：A．8．数学老师要求学生用一张长方形的纸片ABCD折出一个45°的角，甲、乙两人的折法如下，下列说法正确的是（）甲：如图1，将纸片沿折痕AE折叠，使点B落在AD上的点B'处，∠EAD即为所求，乙：如图2，将纸片沿折痕AE，AF折叠，使B，D两点分别落在点B'，D'处，AB'与AD'在同一直线上，∠EAF即为所求，A．只有甲的折法正确B．甲和乙的折法都正确C．只有乙的折法正确D．甲和乙的折法都不正确【解答】解：甲：将纸片沿折痕AE折叠，使B点落在AD上的B'点，得到∠EAB＝∠EAD＝45°；乙：将纸片沿折痕AE，AF折叠，使B，D两点落在AC上的点B'，D'，得到∠EAF＝∠EAB'+∠FAB'＝（∠DAC+∠BAC）＝×90°＝45°；故选：B．9．如图，在矩形ABCD中，M是BC上一点，将△ABM沿AM折叠，使点B落在B'处，若∠AMB＝α，则∠B'AD等于（）A．α﹣90°B．α﹣45°C．90°﹣2αD．90°﹣α【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠DAM＝∠AMB＝α，∠BAM＝90°﹣α，根据折叠可知，∠B'AM＝∠BAM＝90°﹣α，∴∠B'AD＝∠B'AM﹣∠DAM＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α，故C正确．故选：C．10．如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFG＝37°点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将纸片两端分别沿EF，GH折叠至如图所示的位置，若EF∥GH，则∠KHD 的度数为（）A．37°B．74°C．96°D．106°【解答】解：∵EF∥GH，∴∠HGC＝∠EFG＝37°，∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠GHD+∠HGC＝180°，∴∠GHD＝143°，根据折叠的性质可得：∠KHG＝∠DHG＝143°，∴∠KHD＝360°﹣∠KHG﹣∠DHG＝360°﹣143°﹣143°＝74°．故选：B．11．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A，D分别落在A1，D1的位置，再将△A1EG沿着AB对折，将△GD1N沿着GN对折，使得D1落在直线GH上，则下列说法正确的是（）①GN⊥DC；②GH⊥GD1；③当MN∥EF时，∠AEF＝120°．A．①②B．①③C．②③D．①②③【解答】解：由折叠可知：∠A1GE＝∠EGH，∠D1GN＝∠MGN，∠GMN＝∠D1＝90°，∠A1＝∠EHG＝90°，∠AEF＝∠A1EF，∴EH∥MN，∵∠A1GE+∠EGH+∠D1GN+∠MGN＝180°，∴∠EGN＝90°，∴GN⊥DC；故①正确；∵∠D1GN＝∠MGN不一定为45°，∴GH不一定垂直GD1，故②错误；∵MN∥EF，EH∥MN，∴EH与EF共线，∴∠AEF＝∠A1EF＝2∠GEF，∵∠AEF+∠GEF＝180°，∴∠AEF＝120°，故③正确；故选：B．类型三：菱形中的折叠问题10．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C′，且DC′是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【解答】解：连接BD，如图所示：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，∵DC′是AB的垂直平分线，∴P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．故选：D．11．如图，菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的点F，那么∠BFC的度数是75°．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠A+∠ABC＝180°，BD平分∠ABC，∵∠A＝120°，∴∠ABC＝60°，∴∠FBC＝30°，根据折叠可得AB＝BF，∴FB＝BC，∴∠BFC＝∠BCF＝（180°﹣30°）÷2＝75°，故答案为：75°．12．如图，菱形ABCD中，∠D＝120°，点E在边CD上，将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，连接BD′，则∠AD′B＝75°．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC＝BC＝AB，CD∥AB，∴∠DAC＝∠DCA，∵∠D＝120°，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠D）＝30°．∵CD∥AB，∴∠BAD′＝∠DCA＝30°．∵将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，∴AD＝AD′，∴AB＝AD′，∴∠AD′B＝∠ABD′＝（180°﹣∠BAD′）＝75°．故答案为75．13．如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，点E是边AB上一点，以DE为对称轴将△DAE折叠得到△DGE，再折叠BE使BE落在直线EG上，点B的对应点为点H，折痕为EF且交BC于点F．（1）∠DEF＝90°；（2）若点E是AB的中点，则DF的长为．【解答】解：（1）由翻折可得∠AED＝∠DEG，∠BEF＝∠HEF，∴∠DEG+∠HEF＝∠AED+∠BEF，∵∠DEG+∠HEF+∠AED+∠BEF＝180°，∴∠DEG+∠HEF＝90°，即∠DEF＝90°．故答案为：90°．（2）∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，由翻折可得AE＝EG，BE＝EH，∠A＝∠EGD，∠B＝∠EHF，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∴EG＝EH，即点G与点H重合．∵∠EGD+∠EHF＝∠A+∠B＝180°，∴点D，G，F三点在同一条直线上．过点D作DM⊥BC，交BC的延长线于点M．∵∠A＝120°，AB＝2，∴∠DCM＝60°，CD＝2，∴CM＝CD＝1，DM＝CD＝，由翻折可得BF＝FG，AD＝DG＝2，设BF＝x，则MF＝2﹣x+1＝3﹣x，DF＝2+x，由勾股定理可得，解得x＝，∴DF＝．故答案为：．类型四：正方形中的折叠问题14．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC＝120°，若将四边形EBCF沿EF 折叠，点B恰好落在AD边上，则∠AEB′为（）A．70°B．65°C．30°D．60°【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠BEF+∠EFC＝180°，∵∠EFC＝120°，∴∠BEF＝180°﹣∠EFC＝60°，∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，∴∠BEF＝∠FEB'＝60°，∴∠AEB'＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB'＝60°，故选：D．15．如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若FN＝3，则正方形纸片的边长为2．【解答】解：设正方形纸片的边长为x，则BF＝AB＝x，BN＝BC＝x，∴Rt△BFN中，NF＝＝x＝3，∴x＝2，故答案为：2．16．如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE折叠至△AB'E处，BE与AC交于点F，若∠EFC＝69°，则∠CAE的大小为（）A．10°B．12°C．14°D．15°【解答】解：∵∠EFC＝69°，∠ACE＝45°，∴∠BEF＝69+45＝114°，由折叠的性质可知：∠BEA＝∠BEF＝57°，∴∠BAE＝90﹣57＝33°，∴∠EAC＝45﹣33＝12°．故选：B．17．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，折痕BF与AE交于点H，点F在AD上，若DE＝5，则AH的长为．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°，由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，∴BF⊥AE，AH＝GH，∴∠BAH+∠ABH＝90°，又∵∠FAH+∠BAH＝90°，∴∠ABH＝∠FAH，∴△ABF≌△DAE（ASA），∴AF＝DE＝5，在Rt△ABF中，BF＝＝＝13，＝AB•AF＝BF•AH，∵S△ABF∴12×5＝13AH，∴AH＝，故答案为：．18．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在边AB上的D'处，点C落在C'处，若∠AD'M＝50°，则∠MNC'的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【解答】解：四边形CDMN与四边形C′D′MN关于MN对称，则∠DMN＝∠D′MN，且∠AMD′＝90°﹣∠AD'M＝40°，∴∠DMN＝∠D′MN＝（180°﹣40°）÷2＝70°由于∠MD′C′＝∠NC′D′＝90°，∴∠MNC'＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°故选：B．。

平行四边形中的折叠问题课件.

平行四边形中的折叠问题课件.一、教学内容本节课我们将探讨《几何》教材第四章第三节“平行四边形中的折叠问题”。

内容详细涉及平行四边形的性质，尤其是通过折叠操作来探讨平行四边形对角线的性质、对边关系以及角的关系。

二、教学目标1. 理解并掌握平行四边形的基本性质，尤其是通过折叠操作呈现的性质。

2. 学会运用折叠方法解决平行四边形中的相关问题，提高空间想象力和逻辑思维能力。

3. 能够将平行四边形的折叠问题与其他几何知识相结合，形成综合解决问题的能力。

三、教学难点与重点教学难点：通过折叠操作推导出平行四边形对角线的性质以及与角度的关系。

教学重点：平行四边形的基本性质及其在折叠问题中的应用。

四、教具与学具准备教具：多媒体课件、平行四边形模型、剪刀、尺子、量角器。

学具：每组一份平行四边形纸张模型、剪刀、尺子、量角器。

五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用多媒体展示生活中常见的平行四边形折叠实例，如包装盒、纸飞机等，引导学生观察并思考折叠后的性质变化。

2. 知识讲解（15分钟）通过课件和模型，讲解平行四边形的基本性质，以及折叠操作对平行四边形的影响。

3. 例题讲解（10分钟）选取一道典型例题，讲解如何运用折叠方法解决平行四边形中的问题。

4. 随堂练习（10分钟）学生独立完成两道练习题，巩固折叠问题的解法。

5. 小组讨论（10分钟）学生分组讨论解题过程中遇到的问题，分享解题心得。

六、板书设计1. 平行四边形的性质2. 折叠操作对平行四边形的影响3. 例题及解题步骤4. 练习题及答案七、作业设计1. 作业题目：（1）已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相等，求证：四边形ABCD是矩形。

（2）将一个平行四边形沿对角线折叠，得到一个三角形，求证：这个三角形的面积等于原平行四边形面积的一半。

2. 答案：（1）根据平行四边形性质，对角线相等，故四边形ABCD是矩形。

（2）设平行四边形ABCD的面积为S，折叠后得到的三角形面积为S'，则S' = 1/2 S。

人教版八年级数学下第十八章平行四边形专题4 特殊平行四边形中的折叠问题

人教版八年级下第十八章平行四边形专题4 特殊平行四边形中的折叠问题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 如图，直线BC与⊙A相切于点C，过B作CB的垂线交⊙O于D，E 两点，已知AC＝，CB＝a，则以BE，BD的长为两根的一元二次方程是（）A．x2+bx+a2＝0B．x2﹣bx+a2＝0C．x2+bx﹣a2＝0D．x2﹣bx﹣a2＝02 . 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，△BCD与△BC′D关于直线BD轴对称，BC=6，CD=3，点C 与点C′对应，BC′交AD于点E，则线段DE的长为（）A．3B．C．5D．3 . 现有边长AB＝10，BC＝5的矩形纸片ABCD，对角线BD.在AB上取一点G，以DG为折痕，使DA落在DB上，则AG的长是：（）A．B．C．D.二、填空题4 . 一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_____________cm.三、解答题5 . 如图，在△ABC中，AB=17cm，AC=8cm，BC=15cm，将AC沿AE折叠，使得点C与AB上的点D重合．(1)证明：△ABC是直角三角形；(2)求△AEB的面积．6 . 四边形ABDF中，点C、E分别在AF、DF上，且AB=AC，BD=DE，∠BDF=2∠ABC，M为CE的中点．（1）画出△ACM关于点M成中心对称的图形；（2）求证：AM⊥DM；（3）若AM=DM，求∠ABC的度数.7 . 综合与实践：问题情境：在矩形ABCD中，点E为BC边的中点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B与点F重合，直线AF交直线CD于点A．特例探究实验小组的同学发现：（1）如图1，当AB＝BC时，AG＝BC＋CG，请你证明该小组发现的结论；（2）当AB＝BC＝4时，求CG的长；延伸拓展：（3）实知小组的同学在实验小组的启发下，进一步探究了当AB∶BC＝∶2时，线段AG，BC，CG之间的数量关系，请你直接写出实知小组的结论：___________．参考答案一、单选题1、2、3、二、填空题1、三、解答题1、2、3、。

平行四边形中的折叠问题课件.

平行四边形中的折叠问题课件.一、教学内容本节课我们将探讨人教版八年级数学上册第四章《平行四边形》中的折叠问题。

具体内容包括：平行四边形的性质，折叠后图形的特点，以及如何通过折叠解决问题。

重点章节为4.3节“平行四边形的判定”。

二、教学目标1. 让学生掌握平行四边形的基本性质，并能运用这些性质解决折叠问题。

2. 培养学生空间想象力和逻辑思维能力，提高解决实际问题的能力。

3. 通过折叠实践活动，让学生体会数学与生活的联系，激发学习兴趣。

三、教学难点与重点难点：平行四边形折叠后图形的形状变化，以及如何利用性质解决问题。

重点：平行四边形的性质及判定方法，折叠问题的解决方法。

四、教具与学具准备教具：平行四边形模型、折叠示例图、多媒体课件。

学具：剪刀、彩纸、直尺、圆规。

五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）让学生动手折叠一张平行四边形纸片，观察折叠后的形状变化，引导学生发现数学问题。

2. 例题讲解（15分钟）讲解折叠问题中涉及到的平行四边形性质，并通过例题演示解题方法。

例题：一个平行四边形沿着一条对角线折叠，求折叠后图形的周长。

3. 随堂练习（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

练习题：一个平行四边形沿着一条高折叠，求折叠后图形的面积。

4. 小组讨论（5分钟）分组讨论折叠问题的解题方法，促进学生交流与合作。

6. 知识拓展（5分钟）介绍平行四边形折叠在生活中的应用，激发学生兴趣。

六、板书设计1. 平行四边形的性质2. 折叠问题的解决方法3. 例题及解答步骤七、作业设计1. 作业题目：（1）一个平行四边形沿着一条对角线折叠，求折叠后图形的周长和面积。

（2）一个平行四边形沿着一条高折叠，求折叠后图形的周长和面积。

2. 答案：（1）周长：原平行四边形的周长；面积：原平行四边形面积的一半。

（2）周长：原平行四边形的周长；面积：原平行四边形面积的一半。

八、课后反思及拓展延伸本节课通过折叠实践活动，让学生掌握了平行四边形性质在折叠问题中的应用。

北师大版九年级数学上学期题型全攻略专题01 特殊平行四边形中的折叠问题全梳理(解析版)

专题01特殊平行四边形中的折叠问题全梳理目录【方法归纳】 (1)【考法一、三角形翻折问题】 (1)【考法二、四边形翻折问题】 (16)【课后练习】 (28)【方法归纳】1.折叠的基本性质：翻折前后对应的边与角相等；2.对于翻折都不确定的情况，注意分类讨论，避免漏掉解；3.方程思想：灵活设未知数，通过勾股定理建立方程，解出答案4.综合性：把折叠性质与四边形性质相结合，建立边角之间的关系。

【考法一、矩形翻折问题】例．如图，在矩形OABC 中8AB =，4BC =，点D 为对角线OB 中点，点E 在OC 所在的直线上运动，连结DE ，把ODE 沿DE 翻折，点O 的对应点为点F ，连结BF ．(1)当点F 在OC 下方时（如图1），求证：DE BF ∥．(2)当点F 落在矩形的对称轴上时，求EF 的长．(3)是否存在点E ，使得以D ，E ，F ，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求OE 的长；若不存在，请说明理由．当四边形△中，在Rt ABO222=+=OB AB AO8BC OC⊥∴∥，且D为OBDM BC中位线，DM∴为OCBOE EF BD DO ∴==，，25OE OD ∴==；如图，当四边形DEBF 为平行四边形时，DF OD BE ∴=，25BE ∴=，在Rt BEC △中，EC =826OE ∴=-=；DF OD BD DF == ，25BE OD ∴==，在Rt BCE 中，2CE BE =-在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，现将纸片折叠，点D 的对应点记为点P ，折痕为EF （点E 、F 是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．【初步思考】（1）若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）当点P与点A重合时，DEF∠=_____︒，当点E与点A重合时，DEF∠=______︒；【深入探究】（2）若点P落在矩形ABCD的内部（如图②），且点E、F分别在AD、DC边上，AP的最小值是______；【拓展延伸】（3）若点F与点C重合，点E在AD上，射线BA与射线FP交于点M（如图③）在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段AM与线段DE的长度相等？若存在，请求出线段AE的长度；若不存在，请说明理由．【答案】（1）90；45（2）2（3）存在某一情况，使得线段AM与线段DE的长度相等，线段AE的长度为65或4211【分析】（1）当点P与点A重合时，画出图形可得结论；当点E与点A重合时，则EF平分DAB∠，即可得出答案；（2）当F与C重合，点P在对角线AC上时，AP有最小值，根据折叠的性质求8CD PC==，由勾股定理求10AC=，即可得出结果；（3）分两种情况根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．【详解】解：（1）四边形ABCD是矩形，90DAB D∴∠=∠=︒，当点P与点A重合时，EF是AD的中垂线，90DEF∴∠=︒，当点E与点A重合时，如图，则EF平分DAB∠，==，则AF=设DF PF x当A，P，F在一直线上时，当x最大为8时，AP最小值为四边形ABCD是矩形，A ADC B∴∠=∠=∠=90∠由折叠的性质得：EPM ，AM DE=∴=，AM EP四边形ABCD是矩形，∴∠=∠=∠=︒，DAM ADC B90∠=∠由折叠的性质得：EPC ADC ∴∠=∠=︒，GAM GPE90变式2．【问题情境】折纸操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘，下面是折纸过程．【动手操作】步骤1：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，展平纸片；步骤2：点M 为边AD 上任意一点（与点A ，D 不重合），ABM 沿BM 折叠得到A BM '△，折痕BM 交EF 于点N ．【问题探究】（1）如图1，当点A 的对称点A '落在EF 上时，连接AN ．求证：四边形ANA M '为菱形；（2）已知2BC AB =，继续对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合，折痕GH 与EF 交于点O ．将ABM 沿BM 折叠，连接MO ，若点A 的对称点A '恰好落在线段MO 上，此时2AM =．①尺规作图：请在图2中用直尺和圆规，作点A 的对称点A '（保留作图痕迹，不写作法）；②求AB 的长度；【拓展迁移】如图3，在矩形纸片ABCD 的边AB 上取一点P ，折叠纸片，使P ，B 两点重合，展平纸片，得到折痕EF ；点B '为EF 上任意一点（与点E ，F 不重合），折叠纸片使B ，B '两点重合，得到折痕l 及点P 的对应点P '，折痕l 交EF 于点K ，展平纸片，连接BP '，KP '．（3）猜想P B K ∠'与BC P '∠的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②6AB =；（3）3P BC BP K ''∠∠＝，理由见解析【分析】（1）根据折叠可得出NA NA '=，MA MA '=，AMB A MB '∠=∠，，证明AD EF ∥，利用平行线的性质得出AMB MNA '∠=∠，则A MB MNA ''∠=∠，利用等角对等边得出MA NA ''=，即可得证；（2）①以M 为圆心，MA 为半径画弧交MO 于A '即可；②利用折叠的性质，矩形的判定与性质可得出2BH AB A B AG OG '====，证明()HL OA B OHB ' ≌，得出OA OH OG '==，在Rt MGO △中，根据勾股定理，可求出OG ，进而求出AB ；（3）连接PK ，BK ，延长BK 交P B ''于点M ，可证明EB B MBB ''≌ ，得出BE B M '=，90FEB BMB '∠=∠=︒，由折叠可得BK PK P K B K ''===，利用等边对等角和三线合一的性质可得出P BK BP K ''∠=∠，KBB KB B ''∠=∠，MB MP ''=，利用线段垂直平分线的性质BP BB ''=，利用三线合一性质可得出P BK KBB ''∠=∠，则P BK BP K KBB KB B ''''∠=∠=∠=∠，由（1）中BC EF ∥，可得出B BC KB B ''∠=∠，即可得证．【详解】（1）证明：连接AA '，∵ABM 沿BM 折叠，得到A BM '△，∴BM 垂直平分AA '，∴NA NA '=，MA MA '=，AMB A MB '∠=∠，由折叠可知：AEF BEF ∠=∠，∵180AEF BEF ∠+∠=︒，∴90BEF ∠=︒，∵四边形ABCD 为矩形，∴90DAB ∠=︒，∴90BEF DAB ∠=∠=︒，∴AD EF ∥，∴AMB MNA '∠=∠，∴A MB MNA ''∠=∠，∴MA NA ''=，∴MA NA NA MA ''===，∴四边形ANA M '为菱形；点A'即为所求，解：连接BO，由折叠可知：AB A B'=，MA 由（1）得90∠=∠=︒GHB HGA∵l为折痕，∴P B B PBB'''∠=∠，BP B P''=，l ∴KP KP'=，=，KB KB'∴KBB KB B''∠=∠，∵B B BB''=，∴BE B M '=，90FEB BMB '∠=∠=︒，由折叠可知：KP KB =，EP EB =，90FEB ∠=︒，∴KP KB '=，KP KB ''=∴P BK BP K ''∠=∠，MB MP ''=∴BP BB ''=，∴P BK BP K KBB KB B ''''∠=∠=∠=∠，由（1）可知BC EF ∥，∴B BC KB B ''∠=∠，∴3P BC BP K ''∠=∠．【点睛】本题考查了矩形与折叠，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．变式3．如图1，在矩形ABCD 中，点E 是边AB 上的一点，连接DE ．(1)若DE 平分ADC ∠，点G 是CD 上的一点，连接EC ，EG ，且EC EG =．过点C 作CQ EG⊥于Q ，CQ 延长线交ED 于H ，过点H 作HP CD ⊥于P ，如图．①填空：AED △的形状是______三角形；②求证：PHC BEC△△≌(2)将图1的矩形ABCD 画在纸上，若DE 平分ADC ∠，沿过点E 的直线折叠，点C 恰好落在AD 上的点C '处，点B 落在点B '处，得到折痕EF ，B C ''交AB 于点M ，如图．求证：MC ME '=．(3)如图，延长DE 交CB 的延长线于点K 使得AB BK =，此时恰好BE BC =，连接AC 交DK 于点J ，连接BJ ．请证明：KJ AJ BJ >+．【答案】(1)①等腰直角；②见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）①根据矩形的性质和角平分线的性质可得45AED ADE ∠=∠=︒，进而得出结果；②可证得BCE PCH ∠=∠，EC HC =，90HPC B ︒∠=∠=，进而得出结论；（2）连接C E '，可证得Rt Rt EC A C EB ''' ≌，可得C EA EC B '''∠=∠，根据等角对等边即可得出结论；（3）在线段EK 上取点I ，使得KI AJ =，连接BI ，可证KBE ABC ≌△△，得BKE BAC ∠=∠，在证KBI ABJ ≌△△，得KBI ABJ ∠=∠，90IBJ KBA ︒∠=∠=，得出IJ BJ >，进一步得出结论．【详解】（1）① 四边形ABCD 是矩形，∴90A ADC ∠=∠=︒，DE 平分ADC ∠，∴1452ADE ADC ∠=∠=︒，∴9045AED ADE ∠=︒-∠=︒，∴AED ADE ∠=∠，∴AE DE =，∴AED △等腰直角三角形，故答案为：等腰直角②证明：如图，过点E 作EW CD ⊥于W ．EC EG = ，EGC ECG ∴∠=∠，CH EG ⊥ ，90HCP EGC ∴∠+∠=︒，90BCE ECG ∠︒∠+= ，BCE PCH ∴∠=∠，45EDW DEW ∠︒∠== ，45EHC EDW PCH PCH ∴∠=∠︒+∠=+∠，DEC DEW CEW ∠=∠+∠，EW BC ∥，BCE CEW PCH ∴∠=∠=∠，DEC EHC ∴∠=∠，EC HC ∴=，90HPC B ∠=∠=︒PHC BEC ∴△△≌．（2）证明：如图，连接C E '，由（1）知，AED △为等腰直角三角形，AD AE ∴=，四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴=，90EAC B '∠=∠=︒，由折叠知，B C BC ''=，B B '∠=∠，AE B C ''∴=，EAC B ''∠=∠，又EC C E ''=，在Rt EC A '△和Rt C EB ''△中，EC C E ''=，AE B C ''=，∴Rt Rt EC A C EB ''' ≌，C EA EC B '''∴∠=∠，MC ME '∴=．（3）如图，在线段EK 上取点I ，使得KI AJ =，连接BI ，在AJB 与KIB △中，BK AB =，ABC ABK ∠=∠，BE BC =，KBE ABC ∴△△≌，BKE BAC ∴∠=∠．KI AJ = ，BK AB =，BKE BAC ∠=∠，KBI ABJ ∴△△≌，KBI ABJ ∴∠=∠，90IBJ IBA ABJ IBA KBI KBA ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，IBJ ∴△为直角三角形，IJ BJ ∴>，KJ AJ BJ ∴>+．【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，准确添加常用辅助线，构造特殊三角形和证明全等三角形是解本题的关键。

特殊平行四边形中的折叠问题

特殊平行四边形中的折叠问题——透过现象看本质—轴对称教学目标：1.理解折叠问题的本质—轴对称变换，回顾轴对称变换的概念和性质。

2.学会利用轴对称的知识以及勾股定理求折叠问题中的线段长。

3.学会利用轴对称的知识解决特殊平行四边形中的若干几何问题。

4.体会方程思想在解决线段长度类问题中的作用；经历角平分线、平行线、等腰三角形三者之间的转化，学会用联系的角度看问题。

重点与难点：本节课重点是利用勾股定理列方程求线段长，会用折痕是角平分线证明等腰三角形。

难点是利用勾股定理列方程求线段长，涉及折叠的几何综合题的证明。

教学过程教学环节学生活动教师活动设计意图一、激趣导入如图，将矩形ABCD沿线段AE折叠，使D落在BC上的点F处。

（1）找出图中折叠前后能够互相重合的线段和角（2）若连接DF，AE与DF有什么关系？题后反思：学生口答点评学生的答案，总结知识点，归纳题后反思。

回顾知识的同时引入折叠的本质，为后面例题的讲解提供了一般思路。

二、例题解析例1. 如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE 折叠，使点D落在边BC上的点F处(1)若AD=10，AB=8，求CE的长(2)过点F作FG∥CD，交AE于点G，连接DG．求证：四边形DEFG为菱形题后反思：（1）折叠得对应边相等（2）长度计算——找Rt△（不能直接求出时，设未知数，利用勾股定理列方程）（3）折痕为角平分线,结合平行线间内错角的转化，往往可以得到一个等腰三角形观察口答学生思考，口述，答案呈现。

教师及时点评，引导学生回答，并利用多媒体技术展示答案。

引出折叠类问题中长度计算的一般方法：利用勾股定理直接或间接的求线段长，利用折痕是角平分线，解决与角平分线、平行线、等腰三角形三者之间的若干证明三、变式拓展变式一：如图,矩形ABCD中,AB=2,AD=4,将矩形沿EF折叠使B 与D重合,A位于图中G处（1）求证：△DEF为等腰三角形题后反思：证明两条线段相等，在不同三角形中可考虑全等，若放在同一三角形中可考虑证等腰，即两底角相等。

专题02特殊平行四边形中的折叠问题教师版

专题02特殊平行四边形中的折叠问题正方形 MCD 中∙ AB=6. G 是BC 的中点・将ZUBG 沿/G 对折至MFG.延长GF 交DC 于点E,则DE 的长是（）【解析】连接血，-AB=AD=AF y ZD=ZAFE=90 ,由折拄的性质得：Rr 厶ABG 空RIdiFG 、在ZUFE 和ZUDE 中，9∕AE=AE. AD=AF.ZD=ZAFE. ：.Rt^AFE^Rt∕∖ADE. ：.EF=DE.设 DE=FE P ,则 CG=3, £C=6-x.在直角△ ECG 中，根据勾股定理，得：（6^）2∙9=C Y ÷3）% 解得x=2•则 DE=2.2. （2019 •全国初三单•元测试）如图，在菱形ABCD /E 丄BC 于E,将△磁沿所在宜线翱折得厶城尺若AB=I. ZB=45° •则ZU £F 与菱形MCD 重叠部分（阴影部分）的面积为（）・D 2√2-2【解析】•••在边长为2的菱形MCD 中，∠5=45o ,应为BC 边上的1⅛∖ Λ-4∑=√2>由折叠的性质可知，△曲F 为等腰直角三角形∙ ∙∙∙S.m 尸丄M ∙zlF=2, Sqm ∙∙∙CF=BF-BO2迈-2, ∖9AB∕∕CD. .9.ZGCF=ZB=45a ,又由折叠的性质知，ZF=ZB=45° , :∙CG=GF=2-【典型例题】B. 1.5C. 2D. 2.51.（2020 •河北定州初三二模）如图, A. 2∙∙∙Sg尸'G C∙GF=3-2迈，重徨部分的面积为：2・1- （3-2 ） =2 JJ-2.故选D 3・（2020 •全国）如图.把矩形纸片MCD沿EF折叠后•使得点D与点Big合•点C落在点C'的位宜上.（1）折證后∙ DC的对应线段是_, CF的对应线段是_: （2）若Z 1=50° ,求Z2、Z3的度数：（3）若AB=S. D£=10,求CF的长度・【答案】（1）由折叠的性质可得：折叠后∙ DC的对应线段是BC ∙ CF的对应线段是C尺故答案为：BC . C F.（2）由折叠的性质可得：Z2=ZBEF. e：AD//BC.ΛZl=Z2=50o・ΛZ2=ZBΓF=50o, ΛZ3=lS0o -50° -50° =80° ；故答案为：50° , SO：.BE=IQ t：.AE= y JBE2 -AB2 =6∙ΛJZ>=5C=6∙10=16. VZl=ZBΣF=50c , ABF=B£=10,（3）VJB=Sf DE=I0,：.CF=BC-BF=I6 • 10=6.故答案为：6【专题训练］一、选择题1.（2020 •海南临扁）如图.在矩形纸片MCQ中.曲=3•点E在边BC上，将皿朋沿直线/E折迄点B恰好落在对角线ZIC上的点F处，若ZEAOZECA.则AC的长是（）戏 ------------------- DB. 6C. 4D. 5【解析】•••将△磁沿直线应折叠，点B恰好落在对角线FC上的点F处,：.AF=AB t ZM民Z民90。

特殊平行四边形：折叠问题

折叠问题1．如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′为度．2．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF ，若∠ABE ＝20°，那么∠EFC ′的度数为度．3．如图,把一个长方形纸片对折两次,然后剪下一个角.为了得到一个正方形,剪刀与折痕所成的角的度数应为度．4．如图，已知矩形纸片ABCD ，点E 是AB 的中点，点G 是BC 上的一点，︒>∠60BEG ，现沿直线EG 将纸片折叠，使点B 落在约片上的点H 处，连接AH ，则与BEG ∠相等的角有个。

A.4B. 3C.2D.1EDBC′FCD ′A5．如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B '处，点A 对应点为A '，且C B '=3，则AM 的长是6.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，AB ＝3，BC ＝6，沿AE•翻折梯形ABCD ，使点B 落在AD 的延长线上，记为B ′，连结B ′E 交CD 于F ，则DE:FC=A. 13B. 14C. 15D. 167.如图，在梯形ABCD 中，∠DCB ＝90°，AB ∥CD ，AB ＝25，BC ＝24. 将该梯形折叠，点A 恰好与点D 重合，BE 为折痕，那么AD 的长度为_______．8．如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是 . 9.如图2是一张矩形纸片ABCD ，AD =10cm ，若将纸片沿DE 折叠，使DC 落在DA 上，点C 的对应点为点F ，若BE =6cm ，则CD 的长是A B CDMNA 'B ' F E DB A C①② 3 410.将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长是11．如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则A'G 的长是。

四边形中的折叠问题+应用题

FE DABC四边形中的折叠问题折叠可以带来全等图形，在平行四边形中，对角线把它分成全等的三角形，因此在四边形中经常会遇到折叠问题。

解决此类问题的关键是要注意观察折叠前后的图形，发现它们之间的关系，找到边、角中的变量和不变量，寻找全等三角形，同时还会经常综合运用到四边形的有关知识。

一、例题讲解例1 如图，将一张对边平行的纸条先沿EF 折叠，点A 、B 分别落在'A 、'B 处，线段FB '与AD 交于点M ，再将纸条的另一部分CFMD 沿MN 折叠，点C 、D 分别落在'C 、'D 处，且使MD '经过点F ．（1）求证：四边形MNFE 是平行四边形；（2）当翻折角BFE =∠ 度时，四边形MNFE 是菱形．（将答案直接填写在横线上）例2 如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，EC 与AD 相交于点F.（1）求证：△FAC 是等腰三角形；（2）若AB=4，BC=6，求△FAC 的周长和面积.例3如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知cm CE 6=，cm AB 16=，求BF 的长．例4 在梯形纸片ABCD 中，AD BC ∥，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C '处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '．（1）求证：四边形CDC E '是菱形；（2）若BC CD AD =+，试判断四边形ABED 的形状，并加以证明16．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ．现将A ，C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ，试求AF 的长和重叠部分△AEF 的面积．18．如图，E 是矩形ABCD 的边AD 上一点，且BE ＝ED ，P 是对角线BD 上任意一点，PF ⊥BE ，PG ⊥AD ，垂足NEFMD'A'B'C'ABCDF E DC B A分别为F、G．求证：PF＋PG＝AB．分式方程和不等式应用题：1．（2011•德阳）某商场分两批购进同一种电子产品，第二批单价比第一批单价多10元，两批购进的数量和所用资金见下表：购进数量（件）所用资金（元）第一批x 16000第二批2x 34000（1）该商场两次共购进这种电子产品多少件？（2）如果这两批电子产品每件售价相同，除产品购买成本外，每天还需其他销售成本60元，第一批产品平均每天销售10件．售完后，因市场变化，第二批电子产品比第一批平均每天少销售2件，商场为了使这两批电子产品全部售完后总利润不低于20%，那么该商场每件电子产品的售价至少应为多少元？1200135010001200B A 售价（元/件）进价（元/件）价格商品2．（2011•河池）大众服装店今年4月用4000元购进了一款衬衣若干件，上市后很快售完，服装店于5月初又购进同样数量的该款衬衣，由于第二批衬衣进货时价格比第一批衬衣进货时价格提高了20元，结果第二批衬衣进货用了5000元．（1）第一批衬衣进货时的价格是多少？（2）第一批衬衣售价为120元/件，为保证第二批衬衣的利润率不低于第一批衬衣的利润率，那么第二批衬衣每件售价至少是多少元？3．（2011•防城港）上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了2000元，第二批用了5500元，第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元．（1）求两批水果共购进了多少千克？（2）在这两批水果总重量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元？二元一次方程组和不等式的应用:1．茶叶作为一种饮料不仅清香可口，而且具有独特的药用价值，特别是绿茶中含有较多的叶酸，对人的健康很有帮助，某批发茶商第1次用39万元购进A 、B 两种品牌绿茶，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如下表：（总利润=单件利润×销售量）（1）该茶商第1次购进A 、B 两种绿茶各多少件？（2）该茶商第2次以原价购进A 、B 两种绿茶，购进B 种绿茶的件数不变，而购进A 种绿茶的件数是第1次的2倍，A 种绿茶按原价销售，而B 种绿茶打折销售，若两种绿茶销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润不少于75000元，则B 种绿茶最低售价为每件多少元？2．（2012•包头）某商场用36000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元．其中甲种商品每件进价120元，售价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元．（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8160元，乙种商品最低售价为每件多少元？3．为了防控甲型H7N9禽流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶．（1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？（2）该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？二次函数周长最小问题：如图，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （-2，0）、B （6，0）、C （0，32 ），抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过A 、B 、C 三点。

人教版八年级数学下册第18章《四边形》利用特殊四边形的性质巧解折叠问题 (含答案)

《四边形》利用特殊四边形的性质巧解折叠问题名师点金：四边形的折叠问题是指将四边形按照某种方式折叠，然后在平面图形内按照要求完成相应的计算和证明．折叠的本质是图形的轴对称变换，折叠后的图形与原图形全等．平行四边形的折叠问题1．如图，将平行四边形纸片ABCD沿AC折叠，点D落在点E处，AE恰好经过BC边的中点．若AB＝3，BC＝6，求∠B的度数．(第1题)矩形的折叠问题2．(中考·衢州)如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．如图②.(1)求证：EG＝CH；(2)已知AF＝2，求AD和AB的长．(第2题)菱形的折叠问题3．如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的F点，连结CF，那么∠BFC的度数是( ) A．60° B．70° C．75° D．80°(第3题)(第4题)正方形的折叠问题4．如图，正方形纸片ABCD的边长AB＝12，E是DC上一点，CE＝5，折叠正方形纸片使点B和点E重合，折痕为FG，则FG的长为________．5．(中考·德州)如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点A，点D重合)．将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连结BP，BH.(1)求证：∠APB＝∠BPH.【导学号：71412046】(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论．(第5题)专训2 利用特殊四边形的性质巧解动点问题名师点金：利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看成特殊点，再运用从特殊．．．到一般的思想．．．．．．，将特殊点转化为一般点(动点)来解答．平行四边形中的动点问题1．如图，在▱ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F两点不重合)，且保持BE＝DF，连结AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并对你的猜想加以证明．(第1题)矩形中的动点问题2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.连结AF，CE.(1)试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长；(2)动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．(第2题)菱形中的动点问题3．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，动点E在边BC上，动点F在边CD 上．(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．(第3题)正方形中的动点问题4．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA 上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．(第4题)专训3 全章热门考点整合应用名师点金：本章内容是中考的必考内容，主要考查与矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等问题．近几年又出现了许多与特殊平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等、相似、函数知识相结合的综合题．其主要考点可概括为：三个图形，三个技巧．三个图形图形1矩形1．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连结AF，CE.(1)求证：△BEC≌△DFA；(2)连结AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形，并说明理由．(第1题)图形2菱形2．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，将△ABC绕点C顺时针旋转120°，得到△EDC，连结BD，交AC于F.(1)猜想AC与BD的位置关系，并给予证明；(2)求线段BD的长．(第2题)图形3正方形3．如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F.(1)求证：AF－BF＝EF；(2)将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′，若正方形ABCD的边长为3，求点F′与旋转前图形中的点E之间的距离．(第3题)4．如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AF⊥BE.(1)求证：AF＝BE.(2)如图②，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等？并说明理由．(第4题)三个技巧技巧1解与四边形有关的折叠问题的技巧(轴对称变换法)5．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，求阴影部分的周长．(第5题)技巧2解与四边形有关的旋转问题的技巧(特殊位置法)6．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O 绕顶点O 转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？请说明理由．(第6题)技巧3 解与四边形有关的动态问题的技巧(固定位置法)7．如图，在Rt △ABC 中，∠B＝90°，AC ＝60 cm ，点D 从点C 出发沿CA 方向以4 cm /s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2 cm /s 的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D ，E 运动的时间是t s (0≤t≤15)．过点D 作DF⊥BC 于点F ，且DF ＝12DC ，连结EF.若四边形AEFD 为菱形，则t 的值为( )(第7题)A．5B．10C．15D．208．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积．(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由．(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系，并说明理由．(第8题)答案专训1(第1题)1．解：设AE与BC相交于点F，如图．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC.∴∠1＝∠3.∵平行四边形纸片ABCD沿AC折叠，点D落在点E处，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2.∴FC＝FA.∵F为BC边的中点，BC＝6，∴AF＝CF＝BF＝12×6＝3.又∵AB＝3，∴△ABF是等边三角形．∴∠B＝60°.(第2题)2．(1)证明：由折叠知A′E＝AE＝EG，BC＝CH.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC.易得四边形AEA′D是正方形，∴A′E＝AD.∴EG＝CH.(2)解：∵∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A＝90°，AF＝2，∴DG＝FG＝AF＝ 2.由勾股定理得DF＝2.∴A D＝2＋ 2.如图，由折叠知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠4＝90°，∠1＋∠3＝90°.∵∠1＋∠AFE＝90°，∴∠AFE＝∠3.由(1)知，AE＝BC.又∵∠A＝∠B＝90°，∴△EFA≌△CEB.∴AF＝BE.∴AB＝AE＋BE＝AD＋AF＝2＋2＋2＝2＋2 2.3．C点拨：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠A＋∠ABC＝180°，BD平分∠ABC.∵∠A＝120°，∴∠ABC＝60°，∴∠FB C＝30°.根据折叠可得AB＝BF，∴BF＝BC.∴∠BFC＝∠BCF＝(180°－30°)÷2＝75°.故选C.4．13 点拨：如图，过点F作FM⊥BC，垂足为M，连结BE，FE，设BE交FG于点N，由折叠的性质知FG⊥BE，∴∠C＝∠BNG＝90°，∴∠1＝∠BEC.易知FM＝BC，∠FMG＝∠C，∴△FMG≌△BCE，∴MG＝CE＝5，由勾股定理得FG＝FM2＋MG2＝13.(第4题)5．(1)证明：由折叠知PE＝BE，∠EPH＝∠EBC＝90°，∴∠EBP＝∠EPB.∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP，即∠BPH＝∠PBC.又∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC，∴∠APB＝∠BPH.(2)解：△PDH的周长不发生变化．证明如下：过B作BQ⊥PH，垂足为Q.如图．由(1)知∠APB＝∠QPB，又∵∠A＝∠BQP＝90°，BP＝BP，∴△ABP≌△QBP.∴AP＝QP，AB＝BQ.又∵AB＝BC，∴BC＝BQ.又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，∴Rt△BCH≌Rt△BQH，∴CH＝QH.∴△PDH的周长为：PD＋DH＋PH＝AP＋PD＋DH＋CH＝AD＋CD＝8(定值)．(第5题)专训21．解：AE＝CF，AE∥CF.证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠ABE＝∠CDF.在△ABE和△CDF中，∵AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，BE＝DF，∴△ABE≌△CDF.∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.∵∠AEB＋∠AED＝∠CFD＋∠CFB＝180°，∴∠AED＝∠CFB.∴AE∥CF.2．解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠OAE＝∠OCF，∠AEO＝∠C FO.∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA＝OC.∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.∴四边形AFCE为平行四边形．又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形．设AF＝CF＝x cm，则BF＝(8－x)cm，(第2题)在Rt△ABF中，AB＝4 cm，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5.∴AF＝5 cm.(2)显然当P点在AF上，Q点在CD上时，A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上，Q点在DE或CE上时，也不可能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，如图，连结AP，CQ，则以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，此时PC＝QA.∵点P 的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，∴PC＝5t cm，QA＝(12－4t)cm.∴5t＝12－4t，解得t＝4 3 .∴当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝43 .3．证明：(1)如图①，连结AC.∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，∴AB＝BC＝CD，∠BCD＝180°－∠B＝120°.∴△ABC是等边三角形．又∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°.∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°.∴∠FEC＝∠CFE.∴EC＝CF.∴BE＝DF.(第3题)(2)如图②，连结AC.由(1)知△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝60°.又∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.由(1)知∠BCD＝120°.又∵∠ACB＝60°，∴∠ACF＝60°，∴∠B＝∠ACF.∴△ABE≌△ACF.∴AE＝AF.∴△AEF是等边三角形．(第4题)4．(1)证明：如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠EBF＝∠C＝∠GDH＝90°，AB＝BC＝CD＝AD.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝BE＝CF＝DG.∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.∴∠1＝∠2，EH＝EF＝FG＝GH.∴四边形EFGH为菱形．∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠3＝90°.∴∠HEF＝90°.∴四边形EFGH是正方形．(2)解：直线EG经过一个定点．理由如下：如图，连结BD，DE，BG.设EG 与BD交于O点．∵BE瘙綊DG，∴四边形BGDE为平行四边形．∴BD与EG互相平分．∴BO＝OD.∴点O为正方形的中心．∴直线EG必过正方形的中心．专训31．(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，BC＝DA.∵E，F分别是AB，CD的中点，∴BE＝DF.∴△BEC≌△DFA(S.A.S.)．(2)解：四边形AECF是矩形，理由：∵AE＝12AB，CF＝12CD，AB＝CD，∴AE＝CF.又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．∵CA＝CB，E为AB的中点，∴CE⊥AB，∴∠AEC＝90°.∴四边形AECF是矩形．2．解：(1)AC⊥BD.证明：连结AD，由题意知，△ABC≌△EDC，∠ACE＝120°.∵△ABC是等边三角形，∴AC＝DC，∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴CD＝AD＝AC＝AB＝BC，∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.(2)由(1)知，四边形ABCD为菱形，∴∠DBC＝12∠ABC＝30°.∵BC＝CD，∴∠BDC＝∠DBC＝30°，∴∠BDE＝30°＋60°＝90°. ∵∠ACE＋∠ACB＝180°， ∴B，C ，E 三点在一条直线上， ∴BE＝2.∴BD＝BE 2－DE 2＝22－12＝ 3. 3．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝AD ，∠BAD＝∠BAF＋∠EAD＝90°. ∵DE⊥AG，∴∠AED＝∠DEG＝90°. ∴∠EAD＋∠ADE＝90°. ∴∠ADE＝∠BAF. 又∵BF∥DE，∴∠BFA＝∠DEG＝90°. ∴∠AED＝∠BFA. 在△AED 和△BFA 中，∵⎩⎨⎧∠AED＝∠BFA，∠ADE＝∠BAF，AD ＝BA ，∴△AED≌△BFA(A .A .S .)． ∴BF＝AE. ∵AF－AE ＝EF ， ∴AF－BF ＝EF.(2)解：如图，由题意知将△ABF 绕A 点旋转得到△ADF′，B 与D 重合，连结F′E，由(1)易得DE ＝AF.(第3题)根据题意知：∠F′AE＝90°，DE＝AF＝AF′，∴∠F′AE＝∠AED＝90°.即∠F′AE＋∠AED＝180°.∴AF′∥DE.∴四边形AE DF′为平行四边形．又∠AED＝90°，∴四边形AEDF′是矩形．∵AD＝3，∴EF′＝AD＝3.4．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BA，∠D＝∠BAE＝90°，∴∠DAF＋∠BAF＝90°.∵AF⊥BE，∴∠ABE＋∠BAF＝90°.∴∠DAF＝∠ABE.∴△DAF≌△ABE.∴AF＝BE.(2)解：MP与NQ相等．理由如下：过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，∵MP⊥NQ，∴AF⊥BE，由(1)知AF＝BE.易证四边形AMPF，四边形BNQE都是平行四边形，∴AF＝MP，BE＝NQ，∴MP＝NQ.5．解：∵在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，∴CD＝AB＝10，AD＝BC＝5.又∵将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，根据轴对称的性质可得，A 1E ＝AE ，A 1D 1＝AD ，D 1F ＝DF.设线段D 1F 与线段AB 交于点M ，则阴影部分的周长为 (A 1E ＋EM ＋MD 1＋A 1D 1)＋(MB ＋MF ＋FC ＋CB) ＝AE ＋EM ＋MD 1＋AD ＋MB ＋MF ＋FC ＋CB ＝(AE ＋EM ＋MB)＋(MD 1＋MF ＋FC)＋AD ＋CB ＝AB ＋(FD 1＋FC)＋10 ＝AB ＋(FD ＋FC)＋10 ＝10＋10＋10＝30.点拨：要求阴影部分的周长，我们可以把两块阴影部分的周长相加，找到它们的周长和与原矩形边长的关系，从而得到问题的答案．6．解：两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是14.理由如下：∵四边形ABCD 是正方形， ∴OB＝OC ，∠OBE＝∠OCF＝45°， ∠BOC＝90°.∵四边形A′B′C′O 是正方形， ∴∠EOF＝90°，∴∠EOF＝∠BOC. ∴∠EOF－∠BOF＝∠BOC－∠BOF，即∠BOE＝∠COF.∴△BOE≌△COF.∴S △BOE ＝S △COF .∴两个正方形重叠部分的面积等于S △BOC . ∵S 正方形ABCD ＝1×1＝1. ∴S △BOC ＝14S 正方形ABCD ＝14.∴两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是14.7．B 点拨：因为DF ＝12DC ，DC ＝4t cm ，所以DF ＝2t cm .又因为AE ＝2t cm ，所以AE ＝DF.因为AE∥DF，所以可推出四边形AEFD 为平行四边形．令AE ＝AD ，则60－4t ＝2t.解得t ＝10.所以当t ＝10时，四边形AEFD 为菱形．8．解：(1)在菱形ABCD 中，AC⊥BD，BG ＝12BD ＝12×16＝8，由勾股定理得AG＝AB2－BG2＝102－82＝6，∴AC＝2AG＝2×6＝12.∴菱形ABCD的面积＝12AC·BD＝12×12×16＝96.(第8题)(2)OE＋OF的值不发生变化．理由：如图①，连结AO，则S△ABD ＝S△ABO＋S△AOD，所以12BD·AG＝12AB·OE＋12AD·OF，即12×16×6＝12×10·OE＋12×10·OF，解得OE＋OF＝9.6，是定值，不变．(3)OE＋OF的值发生变化，OE，OF之间的数量关系为OE－OF＝9.6.理由：如图②，连结AO，则S△ABD ＝S△ABO－S△AOD，所以12BD·AG＝12AB·OE－12AD·OF，即12×16×6＝12×10·OE－12×10·OF，解得OE－OF＝9.6.。

平行四边形中的折叠问题含答案

平行四边形中的折叠问题一、新课导入（一）学习目标熟练掌握平行四边形的性质与判定，并能运用相关性质、判定解决平行四边形中的折叠问题．（二）预习导入1．如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，点A落在点A′处，若∠A=55°，∠ABD=45°，则∠A′BC的大小为（）．A．30°B．35°C．40°D．45°2．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C'处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和△BC'F的周长之和是________．二、典型问题知识点一：在折叠中求角度和边长例1如图，矩形ABCD中，点M，N分别在AD、BC边上．将矩形ABCD沿MN翻折，点C恰好落在AD边上的点F处．若MD=1，∠MNC=60°，则∠EFM的度数为_______，AB的长为________．分析：由折叠变换可得EF=CD，MD=EM=1，∠MNC=∠FNM=60°，∠C=∠EFN=90°，由平行线的性质可得∠FMN=∠MNC=60°，即可求得∠EFM的度数，由直角三角形的性质可求得EF的长，即为AB的长．知识点二：在折叠中判定平行四边形例2如图，已知矩形ABCD，将纸片折叠，使顶点A与C重合，折痕EF分别于DC，AB 交于E，F．求证：E，A，F，C四点构成的四边形为菱形．分析：连接AE，AC，AC交EF于O，由折叠的性质得，AO=CO，EF⊥AC，根据全等三角形的性质得到AF=CE，则即可得解．三、阶梯训练A组：基础练习1．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处．若∠1=∠2=50°，则∠A'为_________．2．把矩形ABCD按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=4cm，BC=8cm，则DF的长度是________cm．3．如图，▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为_________．4．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE，若∠D=80°，则∠ECF的度数是__________．5．在▱ABCD中，点E为AB边的中点，连接CE，将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G 处，连接AG并延长，交CD于F．求证：四边形AECF是平行四边形．6．准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M 点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，BE=2，求菱形BFDE的面积．B组：拓展练习7．如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ的度数为_________．8．如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，点P是AB边的中点，折叠纸片，使点C落在直线DP上的C处，折痕为经过点D的线段DE．则∠DEC的度数为_________．9．如图，正方形ABCD的边长AB=12，翻折AD到GN分别交CD于点M，交BC于点N，BN=5，连接AN．（1）求△AEN的面积；（2）试判断EF与AN的关系，并说明理由．平行四边形中的折叠问题答案预习导入1．B．2．6．例130°，3．例2连接AE，AC交EF于O．由折叠的性质得，AO=CO，EF⊥AC，∴AE=CE，AF=CF．∵AB∥CD，∴∠ECO=∠OAF．在△AOF与△COE中，∠ 쫠⩊＝∠ ，쫠 ＝，∠쫠 ⩊＝∠ ，∴△AOF≌△COE．∴AF=CE．∴AE=AF=CE=CF．∴E，A，F，C四点构成的四边形为菱形．1．105°．2．5．3．7．4．40°．5．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥FC．∵点E是AB边的中点，∴AE=BE．∵将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G处，∴BE=GE，∠CEB=∠CEG．∴AE=GE．∴∠FAE=∠AGE．∵∠BEG=∠FAE+∠AGE，∴∠FAE=12∠BEG．又∵∠CEB=∠CEG=12∠BEG，∴∠FAE=∠CEB．∴AF∥EC．∴四边形AECF是平行四边形．6．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD．∴∠ABD=∠CDB．由翻折变换的性质可知，∠ABE=∠EBD，∠CDF=∠FDB，∴∠EBD=∠FDB．∴EB∥DF．∵ED∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．（2）∵四边形BFDE为菱形，∴∠EBD=∠FBD．∵∠EBD=∠ABE，∴∠EBD=∠FBD=∠ABE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°．∴∠EBD=∠FBD=∠ABE=30°．∴AB=3．∴菱形BFDE的面积S=DE×AB=23．7．30°．8．75°．9．（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°．由折叠的性质，得NE=AE．设NE=AE=x，则BE=AB-AE=12-x．在Rt△ABN中，由勾股定理，得52+（12-x）2=x2，解得x=16924．∴AE=16924．∴△AEN的面积=12AE×BN=84548．（2）EF⊥AN，EF=AN，理由如下：作FH⊥AB于H，如图所示．则FH=AD=AB，∠EFH+∠FEH=90°．由折叠的性质，得EF⊥AN，∴∠NAB+∠FEH=90°．∴∠EFH=∠NAB．在△EFH和△NAB中，∠ ⩊h＝∠ 쫠 ，⩊h＝쫠 ，∠⩊h ＝∠ ＝90°，∴△EFH≌△NAB．∴EF=AN．。

平行四边形和特殊平行四边形中的翻折问题 (2)

平行四边形和特殊平行四边形中的翻折问题一学习目标1 经历观察，动手操作，认识图形翻折的过程，知道经过翻折运动的图形保持形状，大小不变的性质。

2 利用翻折性质解决有关问题。

二知识引入活动一：（一）折纸条要求：1 一条折痕；2 适当分类（设计意图：让学生在动手操作中充分感受和经历翻折的过程，已达到对翻折充分的认识）（二）画图要求：1 反应折的过程；2将折叠前和折叠后的图形在同一个图形中画出来；3 标注新生成的点。

步骤：1 找折痕 2 找对称点 3 连线（通过这一活动，学生从折纸条到画图，既培养了学生动手操作能力，又培养了学生画图的能力及对图形的观察能力，通过画图让学生体会出翻折部分前后组成的图形是轴对称图形）（三）观察图形后回答以下问题（通过观察学生能够更加透彻的理解翻折与原图形的联系，并注意提示学生关注新生成的几何元素）1 指出图中的全等形2 围绕新生成的点有哪些三角形？3 找出图中相等的边和角4 图中有特殊三角形吗？5 图中有轴对称图形吗？活动二：平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F处. 则翻折前后的△ABE与△FBE 的关系为______, AB=_____, AE=_____,∠ABE= ∠_____, ∠AEB= ∠______, ∠A= ∠_____, 四边形ABFE是图形，点A的对称点为点_____. 联线AF被_____垂直且平分。

三典型例题1已知：如图，在平行四边形ABCD中，△BCD沿着BD翻折使点C落在C’处，∠DBC=15°，求∠BOD的度数。

2 已知矩形ABCD ，四边形CDEF 沿着EF 折叠，使点C 落在ＡＤ边上的C ’处，点D 落在D ’处，∠EFC=60°，求证：C ’E=2D ’E 。

3 已知正方形ABCD 中，四边形EDCF 沿着EF 翻折，点C 恰好落在AB 边上的C ’处，点D 落在D ’处，正方形边长为3，BC ’=1，求BF 的长。

专题02 特殊平行四边形中折叠和旋转问题的六种考法(老师版)

特殊平行四边形中折叠和旋转问题的六种考法目录解题知识必备 (1)压轴题型讲练 (2)类型一、菱形中的折叠问题 (2)类型二、菱形中的旋转问题 (6)类型三、矩形中的折叠问题 (10)类型四、矩形中的旋转问题 (15)类型五、正方形中折叠问题 (21)类型六、正方形中旋转问题 (25)压轴能力测评（10题） (32)1.菱形的性质与判定1.菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积12ab．（a、b是两条对角线的长度）2.菱形的判定①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．2.矩形的性质与判定1矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．2矩形的判定①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）3.正方形的性质与判定1.定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形．2.正方形与矩形、菱形的关系矩形邻边相等正方形菱形一个角是直角正方形3.性质定理正方形即是矩形又是菱形，因而它具备两者所有的性质．性质定理1：正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等．性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角．4.判定定理：判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形．判定定理2：有一个内角是直角的菱形是正方形．类型一、菱形中的折叠问题例题：（2024九年级下·江苏南京·专题练习）如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在AB BC ，上，沿EF 翻折后，点B 落在边CD 上的G 处，若EG CD ⊥，43BE DG ==，，则AE 的长为．∵EG CD ⊥，∴BH EG ∥，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB CD AB BC CD ==，∥，∴BE GH ∥，∴四边形BEGH 是平行四边形，∴4GH BE =＝，由折叠得4GE BE ==，∴4BH GE ==，∵3DG =，∴347DH DG GH =+=+=，∵2227BH CH BC CH CD -=+==，B 80D ∠=︒，则BCF ∠的度数是．【答案】80︒/80度【分析】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边对等角和平行线的性质，首先根据平行的性质得到BC CD =，由折叠得BC CF =，然后求出CF CD =，然后根据等边对等角和平行线的性质求解即可．【详解】∵四边形ABCD 是菱形∴BC CD=由折叠可得，BC CF=∴CF CD=∴80CFD D ∠=∠=︒∵四边形ABCD 是菱形∴AD BC∥∴80BCF DFC ∠=∠=︒．故答案为：80︒．【变式训练2】（23-24八年级下·河北邢台·期中）如图，在菱形纸片ABCD 中，60A ∠=︒．（1）C ∠=︒．（2）点E 在BC 边上，将菱形纸片ABCD 沿DE 折叠，点C 对应点为点C '，且DC '是AB 的垂直平分线，则DEC ∠的大小为︒．∵C D '是AB 的垂直平分线，∴190∠=︒，∴9090ADC A '∠=︒-∠=︒-∵在菱形ABCD 中，AB CD ∥上一点，连接BE ，交CD 于点G ，BFE △是BCE 沿BE 折叠所得，且点C 的对应点F 恰好落在AB 上，连接FG ．(1)求证：四边形CEFG 为菱形；(2)若86AC BC ==，，求DG 的长．类型二、菱形中的旋转问题例题：（2024·河南·三模）如图，菱形OABC 的顶点(0,0)O ，(1,0)A -，=60B ∠︒，若菱形OABC 绕点O 顺时针旋转90︒后得到菱形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2024次得到菱形202420242024OA B C ，那么点2024C 的坐标是（）A ．12⎫⎪⎪⎝⎭B ．1,2⎛ ⎝⎭C ．12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．12⎛- ⎝⎭【答案】D【分析】本题考查了旋转的性质、菱形的性质，含30︒直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，根据题意得到旋转的规律是解题的关键．根据题意得到点2024C 与点C 重合，在菱形中算出C 点坐标，即可解答．【详解】解：作CD OA ⊥于D ，则90CDO ∠=︒，四边形OABC 是菱形，()()0,0,1,0O A -，点O 按顺时针方向分别旋转90180270︒︒︒、、后，得到如图的图形，每相邻两个菱形有一个顶点重合，则图中阴影部分的面积为2cm ．分别落在边BF(1)求证：DF BF=；(2)将菱形AEFG绕点A按逆时针方向旋转．设旋转角()0180BAEαα∠=︒≤≤︒，且6AB=，AE= 60DAB GAE∠=∠=︒．①如图②，当90α=︒时，则线段DF的长度是多少？②连接BD，当DFB△为直角三角形时，则旋转角α的度数为多少度？由（1）得当菱形AEFG没有旋转时，类型三、矩形中的折叠问题例题：（23-24八年级下·北京昌平·期中）矩形ABCD 中，4cm AD =，10cm AB =，按如图方式折叠，使点B 落与点D 重合，折痕为EF ，则DE =cm ．【答案】5.8【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，先由折叠的性质可得EB ED =，再由矩形的性质可得90A ∠=︒，设cm BE DE x ==，则()10cm AE x =-，可由勾股定理建立方程()222410x x +-=，解方程即可得到答案．【详解】解：由翻折的性质可知，EB ED =，∵四边形ABCD 是矩形，∴90A ∠=︒，设cm BE DE x ==，则()10cm AE x =-，在Rt ADE △中，由勾股定理得222AD AE DE +=，()222410x x ∴+-=，221610020x x x ∴++-=，解得 5.8x =，∴ 5.8cm DE =；故答案为：5.8．【变式训练1】（23-24八年级下·辽宁大连·期中）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 是边BC 上一点，将ABE沿AE 折叠，使点B 落在点F 处，连接CF ．当CEF △为直角三角形时，CE 的长是．设BE 长为x ，则CE 由翻折可得EF BF =由勾股定理的AC =∴CF AC AF =-=∴6BE AB ==，∴862CE =-=．故答案为：5或2．【变式训练2】（2024·河南驻马店·二模）如图所示，在矩形ABCD 中，36AB AD ==，，点P 在AD 上，且2PD =，点E 是线段BC 上不与端点重合的一个动点，连接BP EP ，，将BPE 关于直线PE 对称的三角形记作FPE △，若PF 垂直于矩形的任意一边，则线段BE 的长是．综上所述，满足条件的BE的值为52或5．【变式训练3】（2024·江苏徐州·三模）如图，矩形ABCD中，沿AE折叠．点D的对应点为D¢．(1)求点D¢刚好落在对角线AC上时，D C'的长；(2)求点D¢刚好落在此矩形的对称轴上时，线段DE的长．∴设DE FG x ==，由折叠的性质可知，AD 22532GD AD AG ''∴=-=4AN DM ∴==，MN AD =设DE x =，则EM DM =-由折叠的性质可知，AD '在Rt AND '中，D N AD '=4AN DM ∴==，5MN AD ==设DE x =，则EM DE DM =-类型四、矩形中的旋转问题例题：（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在矩形ABCD中，3AB=，4=AD，以点C为旋转中心，将矩形ABCD 沿顺时针方向旋转，得到矩形EFCG，点A、B、D的对应点分别是点E、F、G．(1)如图1，当点F落在矩形ABCD的对角线AC上时，求线段AF的长；(2)如图2，当点F落在矩形ABCD的边CD的延长线上时，连接AE，取AE的中点M，求证：12CM AE=；(3)如图3，当点F落在矩形ABCD的对角线BD的延长线上时，求CDF的面积．∴AB EF =，BC FC =，∴()SAS ABC EFC ≌，∴AC EC =，ACB FCE ∠=∠又BCD ACB ACD ∠=∠+∠在Rt BDC 中，2BD BC =由矩形旋转可知：CB CF =CH BD ⊥，12BH FH BF ∴==，【点睛】本题考查旋转的问题，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握矩形的性质和旋转的性质是解题的关键．【变式训练1】（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()5,0-，点C 的坐标为()0,3，将长方形OABC 绕O 按顺时针方向旋转α度得到OA B C '''，此时直线OA '、直线B C ''分别与直线BC 相交于点P 、Q ．当4590α︒<≤︒，且BP PQ =时，线段PQ 的长是．∵12POQ S PQ OC =⋅，S ∴PQ OP =．设BP x =，∵BP PQ =，三角形的面积等，旋转()0180αα︒<<︒，得到矩形AEFG ，点B 的对应点是点E ，点C 的对应点是点F ，点D 的对应点是点G ，连结CF ．（1）如图①，当90α=︒时，CF 的长为；（2）如图②，点M 是CF 的中点，连结BM ，在旋转过程中，线段BM 的最大值为．（2）连接AC ，BD 交于点∵ABCD 是矩形，∴OB OC OA OD ===，∵点M 是CF 的中点，∴OM 是ACF △的中位线，【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线，勾股定理，圆的性质，掌握这些知识点灵活运用是解题关键．【变式训练3】（2024·(1)如图1，连接BG ，求证：BG 平分AGC ∠；(2)如图2，在（1）的条件下连接BE 交CG 于点H ，求证：H 是BE 的中点；(3)如图3，在旋转的过程中，若C ，D ，F 三点共线，23AG GB =，求AB BC的值．∴BMH BMG ∠=∠=∵四边形ABCD 为矩形，∴90A BCD ∠=∠=︒，∵BG 平分AGC ∠，∴BA BM =．【点睛】本题考查了旋转性质，矩形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．类型五、正方形中折叠问题例题：（2024·上海浦东新·三模）如图，在正方形ABCD的边AB上取一点E，连接CE，将BCE沿CE翻折，点B 恰好与对角线AC上的点F重合，连接DF，若2BE=，则CDF的面积是．∴∠=︒，ABABC90Q V沿CE翻折，BCE∴==，BCBE EF2∴∠=∠=EAF AEF45AE对折至AFE∆，延长EF交DC于点G，则DG的长是（）A．4B．103C．3D．83在正方形ABCD中，将ABE沿AE对折至AB AF∴=，BE EF=AD AF∴=，D∠=∠Rt RtADG AFG∴≌一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形ABCD内部点M处，将纸片展平，连接,PM BM，延长PM交CD于点Q，连接BQ若正方形ABCD的边长为6，1FQ=，则AP的长为．再由重合）．将ADEV沿AE对折至AFE△，延长EF交边BC于点G，连接AG．（1）EAG ∠=；（2）如图2，若E 为CD 的中点，则CG =．【答案】45︒/45度2【分析】（1）根据折叠性质得到ADE AFE △≌△，得到90ADE AFE ∠=∠=︒，AD AF AB ==，证明ABG AFG △≌△，即可证明．（2）根据ADE AFE △≌△，ABG AFG △≌△得到,DE EF FG BG ==，设CG x =，则3,32DE EF CE FG BG x =====-，根据勾股定理计算即可．【详解】（1）∵正方形ABCD ，ADE V 沿AE 对折至AFE △，∴ADE AFE △≌△，∴90ADE AFE ABG BAD ∠=∠=∠=∠=︒，AD AF AB ==，DAE FAE ∠=∠，∵AF AB AG AG =⎧⎨=⎩，∴()HL ABG AFG ≌，∴FAG BAG ∠=∠，∴11145222EAG EAF FAG DAF BAF BAD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，故答案为：45︒．（2）根据（1）得ADE AFE △≌△，ABG AFG △≌△，∴,DE EF FG BG ==，设CG x =，则3,32DE EF CE FG BG x =====-，∴39322EG x x =+-=-，∴2229322x x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2x =，故答案为：2．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．类型六、正方形中旋转问题例题：（2024·江西九江·一模）【特例感知】如图1，点1C 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，11C B AB ⊥于点1B ，11C D AD ⊥于点1D （1）求证：四边形111AB C D 是正方形．（2）111::BB CC DD =；【规律探究】将正方形111AB C D 绕点A 旋转得到图2，连接1BB ，1CC ，1DD （3）111::BB CC DD 的比值是否会发生变化请说明理由．【拓展应用】如图3，在图2的基础上，2B ，2C ，2D 分别是1BB ，1CC ，1DD 的中点．（4）求证：四边形．222AB C D 是正方形．∴四边形1COD D 是平行四边形，1CD OD AB ∴==，∴四边形1BAD O 是平行四边形，易得：11D AD B AB OCB ≌≌C B B COB AB B ∴∠=∠=∠角线AC 上，点A '落在CD 的延长线上，那么AA B ''∠=度．【答案】22.5【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；根据旋转的性质以及，进而即可求解．∵45,ACA AC A C''∠=︒=∴()1180452CAA ∠=︒-︒='∴90AA B A AB ''''∠=︒-∠=故答案为：22.5．G ，OC 到点E ，使2OG OD =，2OE OC =，然后以OG 、OE 为邻边作正方形OEFG ，连接AG ，DE ．(1)求证：DE AG ⊥；(2)如图2，正方形ABCD 固定，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转α角（0360α︒<<︒），得到正方形OE F G '''；①在旋转过程中，当OAG '∠是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD 的边长为2，在旋转过程中，AF '长的最大值为______．OA OD ∴=，OA OD ⊥，四边形OEFG 是正方形OG OE∴=在AOG 和DOE 中，OA OD AOG DOE =⎧⎪∠=∠⎨，同理可求30BOG '∠=︒，180DOG BOG α'∴=∠=︒-∠45FOE ∴∠=︒，OG GF =正方形ABCD 的边长为21122OA AC AB BC ∴==+2222OG OD OA ===⨯不重合），以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连接BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）猜想如图1中线段BG ，线段DE 的数量关系是______；线段BG ，DE 的位置关系____类比探究：（2）将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形，请你判断（1）①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；拓展应用：（3）已知5AB =，2CE =，在正方形CEFG 绕点C 旋转的过程中，当点D E G ，，在同一条直线上时，DG 的长度是多少？请直接写出答案得BCG DCE ∠=∠，即可由SAS 证明BCG DCE ≌△△，得到BG DE =，延长BG 交DE 于点H ，由全等三角形的性质得到CBG CDE ∠=∠，进而得到90CDE DGH ∠+∠=︒，得到90DHG ∠=︒，即得BG DE ⊥；（2）（1）中得到的结论仍然成立，同理（1）证明即可求证；（3）根据题意，画出图形，分两种情况解答即可求解；此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用正方形的性质证明三角形全等是解题的关键．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，∴BC DC =，CG CE =，90BCD ECG ∠=∠=︒，∴BCG DCE ∠=∠，在BCG 和DCE △中，BC DC BCG DCE CG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BCG DCE ≌，∴BG DE =，延长BG 交DE 于点H ，∵BCG DCE ≌△△，∴CBG CDE ∠=∠，又∵90CBG BGC ∠+∠=︒，∴90CDE DGH ∠+∠=︒，∴90DHG ∠=︒，∴BH DE ⊥，即BG DE ⊥，故答案为：BG DE =，BG DE ⊥；（2）（1）中得到的结论仍然成立，在图2中证明如下：∵四边形ABCD 、四边形CEFG 都是正方形，∴BC CD =，CG CE =，90BCD ECG ∠=∠=︒，∴BCG DCE ∠=∠，∴()SAS BCG DCE ≌，∴BG DE =，CBG CDE ∠=∠，又∵BHC DHO ∠=∠，90CBG BHC ∠+∠=︒，∴90CDE DHO ∠+∠=︒，∴90DOH ∠=︒，连接CF 与DE 相交于点O ，∵四边形CEFG 是正方形，∴CF GE ⊥，OG OC =，CG CE =∴90COD ∠=︒，∴2OG OC ==，∵5AB =，由（1）（2）可知，BG ∴BG DG ⊥，∴90BGD ∠=︒，∵5AB =，2CE =，∴225552BD =+=设BG DE x ==，则DG一、单选题1．（2023·海南三亚·二模）如图，将边长为4，锐角为60︒的菱形ABCD 沿EF 折叠，使顶点B 恰好落在边AD 的中点处，记为B '，则BF 的长度为（）A ．113B ．72C ．3D ．5290CHD ∴∠=︒，边长为4，锐角为60︒的菱形4AD CD BC ∴===，∠90HCF CHD ∴∠=∠=︒，'边EF BC 、相交于点H ，则四边形CDEH 的面积为（）．A 2B 2dmC ．)21dmD ．)21dm ∵四边形是正方形，∴45EDF ∠=︒．∵正方形ABCD 绕点D 按顺时针方向旋转∴45EDC ∠=︒，∴点C D F 、、共线，且二、填空题3．（23-24八年级下·北京东城·期末）如图，在矩形ABCD中，E为AB上一点，将矩形的一角沿CE向上折叠，点B△的周长为12，CDF的周长为24，则AF的长为．的对应点F恰好落在边AD上．若AEF∠=时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P．（1）EF与DC的关系是，（2）DP的长为．【答案】相等且垂直31-【分析】（1）连接BD 交AC 于O ，由菱形的性质得出1260302CD AB BCD BAD ACD BAC BAD ∠∠︒∠∠∠︒＝＝，＝＝，＝＝＝，由直角三角形的性质求出112OB AB ＝＝，由直角三角形的性质得出2AC ＝3，由旋转的性质得出260AE AB EAG BAD ∠∠︒＝＝，＝＝，求出2CE AC AE -＝＝32-，证出90CPE ∠︒＝，即可得出结论；（2）由直角三角形的性质得出31333PE PC PE --＝，＝＝，即可得出结果．【详解】解：（1）连接BD 交AC 于O ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴1260302CD AB BCD BAD ACD BAC BAD OA OC AC BD ∠∠︒∠∠∠︒⊥＝＝，＝＝，＝＝＝，＝，，∴112OB AB ＝＝，∴33OA OB ＝＝，∴23AC ＝，由旋转的性质得：2BC AD EF FG GA CD AE AB ========，60EAG BAD ∠∠︒＝＝，∴2CE AC AE -＝＝32-，∵四边形AEFG 是菱形，∴EF AG ∥，∴60CEP EAG ∠∠︒＝＝，∴90CEP ACD ∠∠︒＋＝，∴90CPE ∠︒＝，∴EF DC ⊥，∵2EF CD ==，∴EF 与DC 的关系是相等且垂直，故答案为：相等且垂直；三、解答题5．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，正方形ABCD ，8AB =．将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转角度α（090α︒<<︒），得到正方形AEFG ，EF 交CD 于点M ，延长FE 交BC 于点N ．(1)求证：MN DM BN =+；(2)顺次连接D ，E ，C ，F ，得到四边形DECF ．在旋转过程中，四边形DECF 能否为矩形？若能，求出BN 的值；若不能，请说明理由．∵四边形ABCD 是正方形，∴90B D ∠=∠=︒，AB AD =∵四边形ABCD 是正方形，∴8BC CD AB ===，BCD ∠由旋转得：CD EF =，故当,CD EF 互相平分时，四边形∵,CD EF 互相平分，∴四边形CEDF 为平行四边形，∵CD EF =，在CD 边上的点F 处，得到折痕DE ，连接EF ．若4=AD ，则四边形AEFD 的周长为________；（2）【探究】如图②，点E 、G 分别是ABCD Y 的边AB CD 、上的点，将四边形AEGD 沿GE 折叠，点A 、D 的对应点分别为A '、D ¢，点A '恰好落在CD 边上．①求证：四边形AEA G '为菱形；②若6AB =，3CB =，120B ∠=︒，1CA '=，则DG 的长为________．AD DF ∴=，AE EF =，AED FED ∠=∠，DF AE ∥，FDE AED ∴∠=∠，FED FDE ∴∠=∠，DF EF ∴=，4AD DF EF AE ∴====，3AD BC ∴==，6AB BD ==，ADC ∠=设DG x =，则6A G CD A C DG =---'='四边形AEA G '为菱形，5AG A G x '∴==-，120ADC B ∠=∠=︒，30HGD ∴∠=︒，方向旋转90︒至BE '．延长AE 交直线CE '于点F ，连接DE ．(1)如图①，若F 在线段E C '的延长线上，求证：四边形BE FE '为正方形；(2)如图②，若F 恰为线段CE '的中点，请猜想线段DA 、DE 的数量关系并加以证明；(3)解决问题：若15AB =，3CF =，请直接写出DE 的长．【答案】(1)证明见解析(2)DA DE =，证明见解析(3)317【分析】（1）由旋转的性质可知：CBE ABE '∠=∠，BE BE '=，证明CBE ABE '=，可得90E '∠=︒，再说明90FEB ∠=︒可得四边形BE FE '是矩形，再结合BE BE '=即可证明；（2）过点D 作DH AE ⊥，垂足为H ，证明AEB DHA △≌△和AEB CE B '≌，根据全等三角形的性质即可解答；（3）作DH AE ⊥于H ，由勾股定理可求得AE ，再由AEB DHA ≌可得DH AE =，AH BE =，进而求出HE ，最后在Rt DGE 中，由勾股定理计算可得DE ．【详解】（1）解：四边形BE FE '是正方形理由：由旋转可知：90EBE '∠=︒，BE BE '=，∴CBE ABE '∠=∠，在BE C '△和AEB △中，BC AB CBE ABE BE BE =⎧⎪∠=''=∠⎨⎪⎩∴()SAS CBE ABE ='，∴90E AEB '∠=∠=︒，又180AEB FEB ∠+∠=︒，90AEB ∠=︒90FEB ∴∠=︒，∴四边形BE FE '是矩形．∵BE BE '=．∴四边形BE FE '是正方形；（2）AD DE =．证明：如图，过点D 作DH AE ⊥，垂足为H ，则90∠=︒DHA ，1+3=90∠∠︒四边形ABCD 是正方形，AB DA ∴=，90DAB ∠=︒．2190∴∠+∠=︒23∴∠=∠90AEB DHA ∠=∠=︒，AEB DHA ∴△≌△．AH BE ∴=．BE E F'=∵AH E F'∴=∵90ABC EBE '∠=∠=︒，∴ABE CBE '∠=∠∵AB BC =，BE BE '=，∴AEB CE B'≌∴AE CE '=，∵AH E F CF '==，∴AH HE =，∵DH AE ⊥，AD DE ∴=；（3）解：作DH AE ⊥于H ，如图．设BE 的长为x ，∵四边形BE FE '是正方形，∴BE BE E F x ''===，由（2）可知，AEB DHA ≌，∴3AE CE x '==+，在Rt ABE 中，由勾股定理得：222AE AB BE =-，()222312x x +=-，解得9x =（负值舍去）∴9AH BE ==，12DH AE ==，如图1，点E 是矩形ABCD 的边BC 上一点，连接AE ，把ABE 沿AE 折叠得到AB E '，点B '在矩形ABCD 的内部，延长AB '交射线DC 于点F ，连接EF ，已知58AB BC ==，．(1)当E 是BC 的中点时，求DF ．(2)如图2，当BE CF =时，AF 与BC 相交于点G ，求BE 的长；(3)如图3，当AE EF =时，求ABE 的面积．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，掌熟练运用相关判定和性质定理成为解题的关键．9．（23-24八年级下·河南南阳综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；操作二：在AD 上选一点P ，沿BP 折叠，使点A 落在矩形内部点M 处，把纸片展平，连接PM BM ，．根据以上操作，当点M 在EF 上时，写出图1中一个30︒的角：_______．(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD 按照（1）中的方式操作，并延长PM 交CD 于点Q ，连接BQ ．①如图2，当点M 在EF 上时，MBQ ∠=________°，CBQ ∠=________°；②改变点P 在AD 上的位置（点P 不与点A ，D 重合），如图3，判断MBQ ∠与CBQ ∠的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD 的边长为10cm ，当1cm FQ =时，直接写出AP 的长．30∵∴12 EN BN MN BM ===∴BE EN BN==，∴BEN是等边三角形，60MBE∠=︒∴∵∴QC CD DF=--由（2）可知，QM==，设AP PM x PD222+=∴PD DQ PQ∵∴=，DQ6cmQC由（2）可知，QM==，设AP PM x PD22∴+=PD DQ PQ10．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）在矩形ABCD 中，8AB =，3BC =，以点A 为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD ，旋转角为()0180αα︒<<︒，得到矩形AEFG ，点,,B C D 的对应点分别为点,,E F G ．(1)如图①，当点E 落在DC 边上时，线段DE 的长度为___________；(2)如图②，当点E 落在线段CF 上时，AE 与DC 相交于点H ，连接AC ．①求证：ACD CAE △≌△；②求线段DH 的长度．(3)如图③设点P 为边FG 的中点，连接PB ，PE ，在矩形ABCD 旋转过程中，BEP △的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．过A作AM PE⊥于E，∵点B到PE的距离小于∴当A，M，B三点共线时高最大，∵1122 APES PE AM S=⋅=△∴382455 AM⨯==，∴245 BM AM AB=+=+∴1122 BEPS MB PE=⋅=最大。

平行四边形与特殊平行四边形中的折叠型问题

第60期特殊平行四边形中的折叠问题

解决特殊平行四边形中折叠问题的4种方法

人教版初中数学讲义八年级下册第07讲 专题2 平行四边形(特殊的平行四边形)中的折叠问题(解析版)

平行四边形中的折叠问题课件.

人教版八年级数学下第十八章 平行四边形 专题4 特殊平行四边形中的折叠问题

平行四边形中的折叠问题课件.

北师大版九年级数学上学期题型全攻略专题01 特殊平行四边形中的折叠问题全梳理(解析版)

特殊平行四边形中的折叠问题

专题02特殊平行四边形中的折叠问题教师版

特殊平行四边形：折叠问题

四边形中的折叠问题+应用题

人教版八年级数学下册 第18章 《四边形》利用特殊四边形的性质巧解折叠问题 (含答案)

平行四边形中的折叠问题含答案

平行四边形和特殊平行四边形中的翻折问题 (2)

专题02 特殊平行四边形中折叠和旋转问题的六种考法(老师版)

人教版初中数学讲义八年级下册第07讲专题2 平行四边形(特殊的平行四边形)中的折叠问题(解析版)

人教版八年级数学下第十八章平行四边形专题4 特殊平行四边形中的折叠问题

人教版八年级数学下册第18章《四边形》利用特殊四边形的性质巧解折叠问题 (含答案)