2019-2020年高三数学一轮复习第三章导数及其应用第四节导数的综合应用夯基提能作业本理

2019-2020年高三数学一轮复习第三章导数及其应用第四节导数的综合应用夯基提能作业本理1.(xx山东枣庄一模,10)设函数f(x)在R上存在导数f '(x),∀x∈R,有f(-x)+f(x)=x2,在(0,+∞)上, f '(x)<x,若f(4-m)-f(m)≥8-4m,则实数m的取值范围为( )A.[-2,2]B.[2,+∞)C.[0,+∞)D.(-∞,-2]∪[2,+∞)2.(xx安徽A10联盟3月模拟,12)已知函数f(x)=-k,若x=2是函数f(x)的唯一一个极值点,则实数k的取值范围为( )A.(-∞,e]B.[0,e]C.(-∞,e)D.[0,e)3.电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y=x3-x2-40x(x>0),为使耗电量最小,则速度应定为.4.(xx北京,19,13分)设函数f(x)=-kln x,k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.5.(xx天津,20,14分)已知函数f(x)=nx-x n,x∈R,其中n∈N*,且n≥2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x);(3)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x1,x2,求证:|x2-x1|<+2.B组提升题组6.设函数f(x)=ae x(x+1)(其中e=2.718 28…),g(x)=x2+bx+2,已知它们的图象在x=0处有相同的切线.(1)求函数f(x),g(x)的解析式;(2)求函数f(x)在[t,t+1](t>-3)上的最小值;(3)判断函数F(x)=2f(x)-g(x)+2的零点个数.7.设f(x)=+xln x,g(x)=x3-x2-3.(1)如果存在x1,x2∈[0,2]使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M;(2)如果对任意的s,t∈都有f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围.答案全解全析A组基础题组1.B 令g(x)=f(x)-x2(x∈R),∵g(-x)+g(x)=f(-x)-x2+f(x)-x2=0,∴函数g(x)为奇函数.∵x∈(0,+∞)时,g'(x)=f '(x)-x<0,故函数g(x)在(0,+∞)上是减函数,可知g(x)在R上是减函数,∴f(4-m)-f(m)=g(4-m)+(4-m)2-g(m)-m2=g(4-m)-g(m)+8-4m≥8-4m,∴g(4-m)≥g(m),∴4-m≤m,解得m≥2,故选B.2.A f '(x)=-k=(x>0).设g(x)=,则g'(x)=,则g(x)在(0,1)内单调减,在(1,+∞)内单调增.∴g(x)在(0,+∞)上有最小值,为g(1)=e,结合g(x)=与y=k的图象可知,要满足题意,只需k≤e,选A.3.答案40解析易知y'=x2-39x-40.令y'=x2-39x-40=0,得x=-1(舍去)或x=40,当0<x<40时,y'<0;当x>40时,y'>0,所以当x=40时,y有最小值.4.解析(1)由f(x)=-kln x(k>0)得f '(x)=x-=.由f '(x)=0解得x=.f(x)与f '(x)在区间(0,+∞)上的情况如下表:所以, f(x)的单调递减区间是(0,),单调递增区间是(,+∞); f(x)在x=处取得极小值f()=.(2)证明:由(1)知, f(x)在区间(0,+∞)上的最小值为f()=.因为f(x)存在零点,所以≤0,从而k≥e.当k=e时, f(x)在区间(1,)上单调递减,且f()=0,所以x=是f(x)在区间(1,]上的唯一零点.当k>e时, f(x)在区间(0,)上单调递减,且f(1)=>0, f()=<0,所以f(x)在区间(1,]上仅有一个零点. 综上可知,若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.5.解析(1)由f(x)=nx-x n,可得f '(x)=n-nx n-1=n(1-x n-1),其中n∈N*,且n≥2.下面分两种情况讨论:①当n为奇数时.令f '(x)=0,解得x=1,或x=-1.当x变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表:所以, f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减,在(-1,1)内单调递增.②当n为偶数时.当f '(x)>0,即x<1时,函数f(x)单调递增;当f '(x)<0,即x>1时,函数f(x)单调递减.所以, f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.(2)证明:设点P的坐标为(x0,0),则x0=, f '(x0)=n-n2.曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f '(x0)(x-x0),即g(x)=f '(x0)(x-x0).令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=f(x)-f '(x0)(x-x0),则F'(x)=f '(x)-f '(x0).由于f '(x)=-nx n-1+n在(0,+∞)上单调递减,故F'(x)在(0,+∞)上单调递减.又因为F'(x0)=0,所以当x∈(0,x0)时,F'(x)>0,当x∈(x0,+∞)时,F'(x)<0,所以F(x)在(0,x0)内单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,所以对于任意的正实数x,都有F(x)≤F(x0)=0,即对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x).(3)证明:不妨设x1≤x2.由(2)知g(x)=(n-n2)(x-x0).设方程g(x)=a的根为x'2,可得x'2=+x0.当n≥2时,g(x)在(-∞,+∞)上单调递减.又由(2)知g(x2)≥f(x2)=a=g(x'2),可得x2≤x'2.类似地,设曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=h(x),可得h(x)=nx.当x∈(0,+∞)时, f(x)-h(x)=-x n<0,即对于任意的x∈(0,+∞), f(x)<h(x).设方程h(x)=a的根为x'1,可得x'1=.因为h(x)=nx在(-∞,+∞)上单调递增,且h(x'1)=a=f(x1)<h(x1),因此x'1<x1.由此可得x2-x1<x'2-x'1=+x0.因为n≥2,所以2n-1=(1+1)n-1≥1+=1+n-1=n,故2≥=x0.所以,|x2-x1|<+2.B组提升题组6.解析(1)f '(x)=ae x(x+2),g'(x)=2x+b.由题意,两函数图象在x=0处有相同的切线,∴f '(0)=2a,g'(0)=b.∴2a=b, f(0)=a=g(0)=2,∴a=2,b=4.∴f(x)=2e x(x+1),g(x)=x2+4x+2.(2)由(1)得f '(x)=2e x(x+2).由f '(x)>0得x>-2,由f '(x)<0得x<-2,∴f(x)在(-2,+∞)上单调递增,在(-∞,-2)上单调递减.∵t>-3,∴t+1>-2.当-3<t<-2时, f(x)在[t,-2]上单调递减,在[-2,t+1]上单调递增,∴f(x)min=f(-2)=-2e-2.当t≥-2时, f(x)在[t,t+1]上单调递增,∴f(x)min=f(t)=2e t(t+1).∴当-3<t<-2时, f(x)min=-2e-2;当t≥-2时, f(x)min=2e t(t+1).(3)由(1)得F(x)=4e x(x+1)-x2-4x.求导得F'(x)=4e x(x+1)+4e x-2x-4=2(x+2)·(2e x-1),由F'(x)>0得x>-ln 2或x<-2,由F'(x)<0得-2<x<-ln 2,所以F(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减,故F(x)极小值=F(-ln 2)=2+2ln 2-(ln 2)2=2+ln 2(2-ln 2)>0,F(-4)=4e-4×(-4+1)-16+16=-12e-4<0,故函数F(x)=2f(x)-g(x)+2只有一个零点.7.解析(1)存在x1,x2∈[0,2]使得g(x1)-g(x2)≥M成立,等价于[g(x1)-g(x2)]max≥M,因为g(x)=x3-x2-3,所以g'(x)=3x2-2x=3x,列表分析如下:x 0 2 g'(x) - 0 +g(x) -3 递减- 递增 1 由上表可知在区间[0,2]上,g(x)min=g=-,g(x)max=g(2)=1,所以[g(x1)-=g(x)max-g(x)min=,所以满足条件的最大整数M=4.(2)对任意的s,t∈都有f(s)≥g(t)成立等价于在区间上,函数f(x)的最小值不小于g(x)的最大值.由(1)知,在区间上,g(x)的最大值为g(2)=1.所以在区间上, f(x)min≥1.又因为f(1)=a,所以a≥1.下面证当a≥1时,在区间上, f(x)≥1恒成立.当a≥1且x∈时,f(x)=+xln x≥+xln x,记h(x)=+xln x,则h'(x)=-+ln x+1,h'(1)=0,当x∈时,h'(x)=-+ln x+1<0;当x∈(1,2]时,h'(x)=-+ln x+1>0,所以函数h(x)=+xln x在区间上递减,在区间(1,2]上递增,所以在区间上,h(x)min=h(1)=1,即h(x)≥1,所以当a≥1且x∈时, f(x)≥1恒成立,故满足条件的a的取值范围为[1,+∞).2019-2020年高三数学一轮复习第三篇导数及其应用第1节导数的概念与计算基丛点练理【选题明细表】知识点、方法题号导数的概念与运算1,2,9,11导数的几何意义3,4,5,6,7,8,10导数的综合12,13,14,151.(xx莆田模拟)已知f(x)=ln x,则f′(e)的值为(D)(A)1 (B)-1 (C)e (D)解析:因为f(x)=ln x,所以f′(x)=,则f′(e)=.2.(xx榆林模拟)函数y=x2sin x的导数为(A)(A)y′=2xsin x+x2cos x (B)y′=2xsin x-x2cos x(C)y′=x2sin x+2xcos x (D)y′=x2sin x-2xcos x解析:y′=(x2)′sin x+x2 (sin x)′=2xsin x+x2cos x.3.(xx山西大学附中模拟)曲线y=在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(A)(A)e2(B)2e2(C)4e2(D)e2解析:曲线y=在点(4,e2)处的切线斜率为k=e2,切线为y-e2=e2(x-4),令x=0,y=-e2,令y=0得x=2,所以S=e2.4.(xx北京房山模拟)如图,直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线,则f′(4)等于(A)(A) (B)3(C)4 (D)5解析:直线过点(0,3),(4,5),所以直线斜率k=,即f′(4)=.5.(xx成都模拟)函数f(x)=2ln x+x2-bx+a(b>0,a∈R)在点(b,f(b))处的切线斜率的最小值是(B)(A)2 (B)2 (C) (D)1解析:因为f(x)=2ln x+x2-bx+a,所以f′(x)=+2x-b,所以k=f′(b)=+2b-b=+b≥2,当且仅当=b时取等号,即b=时,k取得最小值2.6.设曲线y=在点（,1）处的切线与直线x-ay+1=0平行,则实数a等于(A)(A)-2 (B)1 (C)-1 (D)2解析:因为y′==,所以y′=-1,由条件知=-1,所以a=-1.7.(xx三明质检)已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是(D)(A)[0,) (B)[,)(C)(,] (D)[,π)解析:函数导数y′==-4×,因为e x+≥2,所以y′∈[-1,0),所以α∈[π,π).8.若曲线y=2x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则切线l的方程为.解析:设切点为(x0,y0),y′=4x,则4x0=4⇒x0=1,所以y0=2,所以切线方程为y-2=4(x-1),即4x-y-2=0.答案:4x-y-2=09.已知函数f(x)=sin x+cos x,且f′(x)=2f(x),f′ (x)是f(x)的导函数,则=.解析:f′(x)=cos x-sin x,由f′(x)=2f(x)得-cos x=3sin x,即tan x=-.====.答案:10.已知点M是曲线y=x3-2x2+3x+1上任意一点,曲线在M处的切线为l,求:(1)斜率最小的切线方程;(2)切线l的倾斜角α的取值范围.解:(1)y′=x2-4x+3= (x-2)2-1≥-1,所以当x=2时,y′=-1,y=,所以斜率最小的切线过(2,),斜率为-1,所以切线方程为x+y-=0.(2)由(1)得k≥-1,所以tan α≥-1,所以α∈[0,)∪[,π).能力提升练(时间:15分钟)11.设曲线y=sin x上任一点(x,y)处切线的斜率为g(x),则函数y=x2g(x)的部分图象可以为(C)解析:根据题意得g(x)=cos x,所以y=x2g(x)=x2cos x为偶函数.又x=0时,y=0.故选C.12.已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=2x2-7x+6,则曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程是(C)(A)y=2x-1 (B)y=x(C)y=3x-2 (D)y=-2x+3解析:令x=1得f(1)=1,由f(2-x)=2x2-7x+6,两边求导可得f′(2-x)·(2-x)′=4x-7,令x=1可得-f′(1)=-3,即f′(1)=3.所以所求切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.13.若函数f(x)=x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.解析:f′(x)=x-a+.因为f(x)存在垂直于y轴的切线,所以x+-a=0有解,所以a=x+≥2.答案:[2,+∞)14.定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1,f′(x)为f(x)的导函数,已知y=f′(x)的图象如图所示,若两个正数a,b满足f(2a+b)<1,则的取值范围是.解析:观察图象,可知f(x)在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数,由f(2a+b)<1=f(4),可得画出以(a,b)为坐标的可行域(如图阴影部分所示),而可看成(a,b)与点P(-1,-1)连线的斜率,可求得(,5)为所求范围.答案:(,5)15.设函数f(x)=ax+(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求出此定值. 解:(1)f′(x)=a-,于是解得或因a,b∈Z,故f(x)=x+.(2)在曲线上任取一点(x0,x0+).由f′(x0)=1-知,过此点的切线方程为y-=[1-](x-x0).令x=1得y=,即切线与直线x=1交点为(1,).令y=x,得y=2x0-1,即切线与直线y=x的交点为(2x0-1,2x0-1).直线x=1与直线y=x的交点为(1,1).从而所围成的三角形的面积为|-1||2x0-1-1|=|||2x0-2|=2.所以,所围成的三角形的面积为定值2.精彩5分钟1.已知曲线方程f(x)=sin2x+2ax(x∈R),若对任意实数m,直线l:x+y+m=0都不是曲线y=f(x)的切线,则a的取值范围是(B)(A)(-∞,-1)∪(-1,0) (B)(-∞,-1)∪(0,+∞)(C)(-1,0)∪(0,+∞) (D)a∈R且a≠0,a≠-1解题关键:转化为方程f′(x)=-1无解,其中-1为直线l的斜率.解析:f′(x)=2sin xcos x+2a=sin 2x+2a,直线l的斜率为-1,由题意知关于x的方程sin 2x+2a=-1无解,所以|2a+1|>1,解得a<-1或a>0.2.(xx长春模拟)已知曲线y=-3ln x+1的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为(A)(A)3 (B)2 (C) 1 (D)解题关键:设切点的横坐标为x0,由方程y′=求得x0.解析:设切点的横坐标为x0,则y′=-=,解得x0=3或x0=-2.又x0>0,所以x0=3.故选A.3.曲线y=ln(2x)上任意一点P到直线y=2x的距离的最小值是.解题关键:转化为求两平行线的距离.解析:如图,所求最小值即曲线的斜率为2的切线与y=2x两平行线间的距离,也即切点到直线y=2x的距离.由y=ln(2x),得y′==2,得x=,y=ln(2×)=0,即与直线y=2x平行的曲线y=ln(2x)的切线的切点坐标是(,0),y=ln(2x)上任意一点P到直线y=2x的距离的最小值,即=.答案:。